Zvážte lietadlo p a čiara, ktorá ju pretína . Nechaj ALE je ľubovoľný bod v priestore. Nakreslite čiaru cez tento bod , rovnobežne s čiarou . Nechaj . Bodka sa nazýva bodová projekcia ALE do lietadla p v paralelnom prevedení pozdĺž danej línie . Lietadlo p , na ktorú sa premietajú body priestoru sa nazýva premietacia rovina.
p - projekčná rovina;
- priamy dizajn; ;
; ; ;
Ortogonálny dizajn je špeciálny prípad paralelného dizajnu. Ortogonálne premietanie je rovnobežné premietanie, v ktorom je premietacia čiara kolmá na rovinu premietania. Ortogonálne premietanie je široko používané v technickom kreslení, kde sa obrazec premieta do troch rovín - horizontálnej a dvoch zvislých.
Definícia:
Ortografická projekcia bodu M do lietadla p volal základňu M 1 kolmý MM 1, znížený z bodu M do lietadla p.
Označenie: , 
, .
Definícia: Ortografická projekcia postavy F do lietadla p je množina všetkých bodov roviny, ktoré sú ortogonálnymi priemetmi množiny bodov obrazca F do lietadla p.
Ortogonálny dizajn, ako špeciálny prípad paralelného dizajnu, má rovnaké vlastnosti:
p - projekčná rovina;
- priamy dizajn; ;
1) ;
2) , .
- Priemetne rovnobežných čiar sú rovnobežné.
PROJEKCIA PLOCHY PLOCHEJ POSTAVY
Veta: Plocha priemetu plochého mnohouholníka do určitej roviny sa rovná ploche premietnutého mnohouholníka vynásobenej kosínom uhla medzi rovinou mnohouholníka a rovinou premietania.
1. fáza: Premietnutý obrazec je trojuholník ABC, ktorého strana AC leží v premietacej rovine a (rovnobežnej s premietacou rovinou a).
Dané:
dokázať:
Dôkaz:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Podľa vety o troch kolmiciach;
ВD - výška; V 1 D - výška;
5. - lineárny uhol dihedrálny uhol ;
6. ; ; ; 
;
2. fáza: Premietnutý obrazec je trojuholník ABC, ktorého žiadna zo strán neleží v premietacej rovine a a nie je s ňou rovnobežná.
Dané:
dokázať:
Dôkaz:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(1. fáza);
5. ; ; ;
(1. fáza);
Etapa: Navrhnutý obrazec je ľubovoľný mnohouholník.
Dôkaz:
Mnohouholník je rozdelený uhlopriečkami nakreslenými z jedného vrcholu na konečný počet trojuholníkov, pre každý z nich platí veta. Preto bude veta platiť aj pre súčet plôch všetkých trojuholníkov, ktorých roviny zvierajú s premietacou rovinou rovnaký uhol.
Komentujte: Dokázaná veta platí pre všetky plochá postava, ohraničený uzavretou krivkou.
Cvičenia:
1. Nájdite plochu trojuholníka, ktorého rovina je naklonená k rovine premietania pod uhlom, ak je jeho priemet pravidelný trojuholník so stranou a.
2. Nájdite plochu trojuholníka, ktorého rovina je naklonená k premietacej rovine pod uhlom, ak je jeho priemet rovnoramenný trojuholník so stranou 10 cm a základňou 12 cm.
3. Nájdite plochu trojuholníka, ktorého rovina je naklonená k premietacej rovine pod uhlom, ak je jeho priemet trojuholník so stranami 9, 10 a 17 cm.
4. Vypočítajte plochu lichobežníka, ktorého rovina je sklonená k premietacej rovine pod uhlom, ak je jeho priemetom rovnoramenný lichobežník, ktorého väčšia základňa je 44 cm, strana je 17 cm a uhlopriečka je 39 cm.
5. Vypočítajte projekčnú plochu pravidelný šesťuholník so stranou 8 cm, ktorej rovina je sklonená k premietacej rovine pod uhlom.
6. Kosoštvorec so stranou 12 cm a ostrý uhol zviera s danou rovinou uhol. Vypočítajte plochu priemetu kosoštvorca na tejto rovine.
7. Kosoštvorec so stranou 20 cm a uhlopriečkou 32 cm zviera s danou rovinou uhol. Vypočítajte plochu priemetu kosoštvorca na tejto rovine.
8. Priemet vrchlíka na vodorovnú rovinu je obdĺžnik so stranami a . Nájdite oblasť vrchlíka, ak sú bočné strany rovnaké obdĺžniky naklonené k vodorovnej rovine pod uhlom a stredná časť vrchlíka je štvorec rovnobežný s rovinou projekcie.
11. Cvičenia na tému "Priamky a roviny vo vesmíre":
Strany trojuholníka sú 20 cm, 65 cm, 75 cm Z vrcholu väčšieho uhla trojuholníka k jeho rovine je nakreslená kolmica rovnajúca sa 60 cm. Nájdite vzdialenosť od koncov kolmice k väčšej strane. trojuholníka.
2. Z bodu oddeleného od roviny vo vzdialenosti cm sa nakreslia dva naklonené, ktoré s rovinou zvierajú uhly rovné , a medzi sebou - pravý uhol. Nájdite vzdialenosť medzi priesečníkmi naklonenej roviny.
3. Párty správny trojuholník sa rovná 12 cm Bod M je zvolený tak, aby úsečky spájajúce bod M so všetkými vrcholmi trojuholníka zvierali s jeho rovinou uhly. Nájdite vzdialenosť od bodu M k vrcholom a stranám trojuholníka.
4. Cez stranu štvorca je nakreslená rovina pod uhlom k uhlopriečke štvorca. Nájdite uhly, pod ktorými sú dve strany štvorca naklonené k rovine.
5. Rovnoramenná noha správny trojuholník sklonený k rovine a prechádzajúci cez preponu pod uhlom . Dokážte, že uhol medzi rovinou a a rovinou trojuholníka je .
6. Dihedrálny uhol medzi rovinami trojuholníkov ABC a DBC je . Nájdite AD, ak AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
testovacie otázky na tému "Priamky a roviny vo vesmíre"
1. Vymenujte základné pojmy stereometrie. Formulujte axiómy stereometrie.
2. Dokážte dôsledky axióm.
3. Aká je vzájomná poloha dvoch priamok v priestore? Definujte pretínajúce sa, rovnobežné, pretínajúce sa čiary.
4. Dokážte kritérium pre pretínajúce sa čiary.
5. Aká je vzájomná poloha priamky a roviny? Uveďte definície pretínajúcich sa, rovnobežných čiar a rovín.
6. Dokážte znamienko rovnobežnosti priamky a roviny.
7. Aká je vzájomná poloha dvoch rovín?
8. Definujte rovnobežné roviny. Dokážte kritérium pre rovnobežnosť dvoch rovín. Formulujte vety o rovnobežných rovinách.
9. Definujte uhol medzi čiarami.
10. Dokážte znamienko kolmosti priamky a roviny.
11. Uveďte definície podstavy kolmice, podstavy šikminy, priemetu šikminy do roviny. Formulujte vlastnosti kolmej a šikmej, spustenej do roviny z jedného bodu.
12. Definujte uhol medzi priamkou a rovinou.
13. Dokážte vetu o troch kolmičkách.
14. Uveďte definície dihedrálneho uhla, lineárneho uhla dihedrálneho uhla.
15. Dokážte znamienko kolmosti dvoch rovín.
16. Definujte vzdialenosť medzi dvoma rôznymi bodmi.
17. Definujte vzdialenosť od bodu k priamke.
18. Definujte vzdialenosť od bodu k rovine.
19. Definujte vzdialenosť medzi priamkou a rovinou rovnobežnou s ňou.
20. Definujte vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami.
21. Definujte vzdialenosť medzi šikmými čiarami.
22. Definujte ortogonálny priemet bodu do roviny.
23. Definujte ortogonálny priemet obrazca do roviny.
24. Formulujte vlastnosti priemetov do roviny.
25. Formulujte a dokážte vetu o premietacej ploche plochého mnohouholníka.
Zvážim otázku vzorca pre projekcie plôch pravouhlého štvorstenu. Najprv zvážim ortogonálny priemet úsečky ležiacej v rovine α , pričom zvýrazním dva prípady umiestnenia tejto úsečky vzhľadom na priamku l=α∩π .
Prípad 1
AB∥l(obr. 8). Segment A1B1, ktorý je ortogonálnym priemetom segmentu AB, je rovnaký a rovnobežný s segmentom AB.
Ryža. osem
Prípad 2
CD⊥l(obr. 8). Podľa vety o troch kolmiciach je priamka C 1 D 1 , ktorá je kolmým priemetom priamky CD, kolmá aj na priamku l. Preto ∠CEC 1 je uhol medzi rovinou α a rovinou priemetov π , t.j. C0D=C1D1. Preto |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
Teraz zvážte otázku ortogonálnej projekcie trojuholníka.
Plocha ortogonálnej projekcie trojuholníka na rovinu sa rovná ploche premietnutého trojuholníka vynásobenej kosínusom uhla medzi rovinou trojuholníka a rovinou projekcií.
Dôkaz. Projekčná plocha trojuholníka. Podľa vety o troch kolmiciach je priamka B 1 H 1 - kolmý priemet priamky BH - kolmá na priamku l, preto je úsečka B 1 H 1 výškou trojuholníka A 1 B 1 C 1. Preto . Touto cestou, .
a) Nech je jedna zo strán, napríklad AC, premietnutého trojuholníka ABC rovnobežná s priamkou l=α∩π (obr. 9) alebo na nej leží.
Potom je jeho výška VN kolmá na priamku l, a plocha sa rovná, t.j.
Ryža. 9
b) Žiadna zo strán premietnutého trojuholníka ABC nie je rovnobežná s priamkou l (obr. 10). Nakreslite čiaru cez každý vrchol trojuholníka rovnobežnú s čiarou l. Jedna z týchto čiar leží medzi ďalšími dvoma (na obrázku je to priamka m), a preto delí trojuholník ABC na trojuholníky ABD a ACD s výškami BH a CE, ktoré sú nakreslené na ich spoločnú stranu AD (resp. pokračovanie), ktoré je rovnobežné s l. Priamka m 1 - kolmý priemet priamky m - rozdeľuje aj trojuholník A 1 B 1 C 1 - kolmý priemet trojuholníka ABC - na trojuholníky A 1 B 1 D 1 a A 1 C 1 D 1 , kde . Ak vezmeme do úvahy (9) a (10), dostaneme
AT nedávne časy v úlohe C2 sú úlohy, v ktorých je potrebné zostrojiť rez mnohostenom rovinou a nájsť jeho plochu. Takáto úloha je navrhnutá v demo verzii. Často je vhodné nájsť oblasť rezu cez oblasť jeho ortogonálnej projekcie. Prezentácia poskytuje vzorec pre takéto riešenie a podrobná analýzaúloha, ktorá je doplnená sériou kresieb.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Príprava na Jednotnú štátnu skúšku - 2014 z matematiky. Nájdenie plochy prierezu cez oblasť jej ortogonálnej projekcie. Úloha C2 Učiteľ matematiky MBOU stredná škola č. 143 v Krasnojarsku Kňazkina T.V.
Zvážte riešenie takéhoto problému: V pravouhlom rovnobežnostene, . Rez rovnobežnostena prechádza bodmi B a D a zviera uhol s rovinou ABC. Nájdite oblasť sekcie. Často je vhodné nájsť oblasť rezu cez oblasť jeho ortogonálnej projekcie. Nájdenie plochy trojuholníka z hľadiska plochy jeho ortogonálnej projekcie je ľahko znázornené na nasledujúcom obrázku:
CH je výška trojuholníka ABC , C'H je výška trojuholníka ABC " , čo je ortogonálna projekcia trojuholníka ABC . Z pravouhlého trojuholníka CHC " : Obsah trojuholníka ABC " je obsah trojuholníka ABC je Preto plocha trojuholníka ABC sa rovná ploche trojuholníka ABC' delenej kosínusom uhla medzi rovinami trojuholníka ABC a trojuholníka ABC", čo je ortogonálna projekcia trojuholníka ABC.
Pretože oblasť ľubovoľného mnohouholníka môže byť reprezentovaná ako súčet plôch trojuholníkov, plocha mnohouholníka sa rovná ploche jeho ortogonálnej projekcie do roviny vydelenej kosínusom uhla medzi roviny mnohouholníka a jeho priemet. Túto skutočnosť využijeme pri riešení nášho problému (pozri snímku 2) Plán riešenia je nasledovný: A) Postavíme sekciu. B) Nájdite jeho kolmý priemet na rovinu podstavy. C) Nájdite oblasť ortogonálnej projekcie. D) Nájdite plochu prierezu.
1. Najprv musíme postaviť túto sekciu. Je zrejmé, že úsečka BD patrí do roviny rezu a základnej roviny, to znamená, že patrí do priesečníka rovín:
Uhol medzi dvoma rovinami je uhol medzi dvoma kolmicami, ktoré sú nakreslené na priesečník rovín a ležia v týchto rovinách. Nech bod O je priesečníkom uhlopriečok základne. OC - kolmá na priesečník rovín, ktorý leží v rovine základne:
2. Určte polohu kolmice, ktorá leží v rovine rezu. (Pamätajte, že ak je priamka kolmá na priemet šikmej, tak je kolmá aj na najšikmejšiu. Šikmú hľadáme jej priemetom (OC) a uhlom medzi priemetom a šikmým jeden). Nájdite tangens uhla COC ₁ medzi OC ₁ a OC
Preto je uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou väčší ako medzi OCi a OC. To znamená, že úsek je umiestnený nejako takto: K je priesečník OP a A₁C₁, LM||B₁D₁ .
Takže tu je naša sekcia: 3. Nájdite projekciu rezu BLMD na základnú rovinu. Na tento účel nájdeme projekcie bodov L a M .
Štvoruholník BL₁M₁D je priemet rezu na rovinu základne. 4. Nájdite obsah štvoruholníka BL₁M₁D . Ak to chcete urobiť, odčítajte obsah trojuholníka L₁CM₁ od oblasti trojuholníka BCD Nájdite obsah trojuholníka L₁CM₁. Trojuholník L₁CM₁ je podobný trojuholníku BCD. Poďme nájsť koeficient podobnosti.
Za týmto účelom zvážte m trojuholníkov OPC a OKK₁ : Preto plocha trojuholníka L₁CM₁ je 4/25 plochy trojuholníka BCD (pomer plôch podobných obrázkov sa rovná štvorcu koeficient podobnosti). Potom sa plocha štvoruholníka BL₁M₁D rovná 1-4/25 = 21/25 plochy trojuholníka BCD a rovná sa
5. Teraz nájdite 6 . A nakoniec dostaneme: Odpoveď: 112
K téme: metodologický vývoj, prezentácie a poznámky
Overovacia práca z disciplíny „Inžinierska počítačová grafika“ pozostáva zo štyroch testovacie úlohy na preukázanie súladu. Na splnenie úloh budete mať 15-20 minút....
Príprava na jednotnú štátnu skúšku-2014 z matematiky. Použitie derivátu a antiderivátu (prototypy B8 z otvorenej banky úloh USE)
Prezentácia s krátky kurz teórie a riešenia rôznych prototypov B8 z otvorená banka USE priradenia. Je možné využiť na interaktívnu tabuľu alebo PC pre študentov pre samoukov....
Príprava na jednotnú štátnu skúšku-2014 z matematiky. Riešenie úlohy C1.
Materiál poskytuje riešenia úlohy C1 (trigonometrická rovnica) a 4 spôsoby výberu koreňov patriacich do intervalu: pomocou trigonometrickej kružnice, pomocou funkčného grafu, vyčíslenia ...
Podrobný dôkaz vety o ortogonálnej projekcii mnohouholníka
Ak - projekcia bytu n -gon do roviny, teda, kde je uhol medzi rovinami polygnov a. Inými slovami, projekčná plocha plochého mnohouholníka sa rovná súčinu plochy premietnutého mnohouholníka a kosínusu uhla medzi rovinou premietania a rovinou premietnutého mnohouholníka.
Dôkaz. ja etapa. Najprv urobme dôkaz pre trojuholník. Zoberme si 5 prípadov.
1 prípad. ležať v projekčnej rovine .
Nech sú projekcie bodov do roviny, resp. V našom prípade. Predpokladajme, že. Nech - výška, potom z vety o troch kolmiciach môžeme dospieť k záveru, že - výška (- priemet naklonenej, - jej základňa a priamka navyše prechádza základňou naklonenej).
Zvážte. Je obdĺžnikový. Podľa definície kosínusu:
Na druhej strane, keďže a teda, podľa definície, je lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú polroviny rovín a s hraničnou čiarou, a preto je jeho miera tiež mierou uhla medzi projekčné roviny trojuholníka a samotný trojuholník, tzn.
Nájdite pomer plochy k:
Všimnite si, že vzorec zostáva pravdivý, aj keď . V tomto prípade
2 prípad. Leží len v rovine premietania a je rovnobežná s rovinou premietania .
Nech sú projekcie bodov do roviny, resp. V našom prípade.
Nakreslíme priamku cez bod. V našom prípade priamka pretína rovinu premietania, čo znamená, že lemma pretína aj rovinu premietania. Nech je v bode Keďže potom body ležia v tej istej rovine, a keďže je rovnobežná s premietacou rovinou, vyplýva zo znamienka rovnobežnosti priamky a roviny, že. Preto je rovnobežník. Zvážte a. Sú rovnaké na troch stranách (- spoločné, ako protiľahlé strany rovnobežníka). Všimnite si, že štvoruholník je obdĺžnik a je rovnaký (pozdĺž nohy a prepony), preto je rovnaký na troch stranách. Preto.
Pre 1 prípad platí: t.j.
3. prípad. Leží len v rovine premietania a nie je rovnobežná s rovinou premietania .
Nech je bod priesečníkom priamky s premietacou rovinou. Všimnime si, že i. Pri 1 príležitosti: i. Tak to dostaneme
4 prípad. Vrcholy neležia v projekčnej rovine . Zvážte kolmice. Vezmite najmenšiu spomedzi týchto kolmic. Nech je kolmá. Môže sa ukázať, že buď len, alebo len. Potom ešte berieme.
Vyčleňme bod z bodu na úsečke tak, a z bodu na úsečke, bod, aby. Takáto konštrukcia je možná, pretože - najmenšia z kolmíc. Všimnite si, že ide o projekciu a podľa konštrukcie. Dokážme to a sme si rovní.
Zoberme si štvoruholník. Podmienkou - kolmicami na jednu rovinu teda podľa vety teda. Pretože konštrukciou, potom na základe rovnobežníka (na rovnobežných a rovnakých protiľahlých stranách), môžeme dospieť k záveru, že - rovnobežník. Znamená, . Podobne je dokázané, že . Preto a sú rovnaké na troch stranách. Preto. Všimnite si, že a ako protiľahlé strany rovnobežníkov, teda na základe rovnobežnosti rovín, . Keďže tieto roviny sú rovnobežné, zvierajú s rovinou premietania rovnaký uhol.
Pre predchádzajúce prípady platí:
5 prípad. Premietacia rovina pretína strany . Pozrime sa na rovné čiary. Sú kolmé na premietaciu rovinu, takže podľa vety sú rovnobežné. Na spoločne nasmerovaných lúčoch s počiatkami v bodoch vyčleňujeme rovnaké úsečky tak, aby vrcholy ležali mimo rovinu premietania. Všimnite si, že ide o projekciu a podľa konštrukcie. Ukážme, že je to rovné.
Od a podľa konštrukcie teda. Preto na základe rovnobežníka (na dvoch rovnakých a rovnobežných stranách) - rovnobežníka. Podobne sa dá dokázať, že a sú rovnobežníky. Ale potom, a (ako protiľahlé strany), teda je rovnaký v troch stranách. Znamená, .
Okrem toho, a teda na základe rovnobežnosti rovín. Keďže tieto roviny sú rovnobežné, zvierajú s rovinou premietania rovnaký uhol.
Pre príslušný prípad 4:.
II etapa. Rozdeľme plochý mnohouholník na trojuholníky pomocou uhlopriečok nakreslených z vrcholu: Potom podľa predchádzajúcich prípadov pre trojuholníky: .
Q.E.D.
Pripomeňme si, že uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi danou priamkou a jej priemetom do roviny (obr. 164).
Veta. Plocha ortogonálneho priemetu mnohouholníka do roviny sa rovná ploche premietnutého mnohouholníka vynásobenej kosínom uhla vytvoreného rovinou mnohouholníka a rovinou premietania.
Každý polygón možno rozdeliť na trojuholníky, ktorých súčet plôch sa rovná ploche polygónu. Preto stačí dokázať vetu o trojuholníku.
Nech sa \(\Delta\)ABC premietne do roviny R. Zvážte dva prípady:
a) jedna zo strán \(\Delta\)ABC je rovnobežná s rovinou R;
b) žiadna zo strán \(\Delta\)ABC nie je rovnobežná R.
Zvážte prvý prípad: nech [AB] || R.
Nakreslite rovinu (AB). R 1 || R a premietať ortogonálne \(\Delta\)ABC na R 1 a ďalej R(obr. 165); dostaneme \(\Delta\)ABC 1 a \(\Delta\)ABC.
Podľa vlastnosti projekcie máme \(\Delta\)ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) ABC, a preto
S \(\Delta\)ABC1 = S \(\Delta\)ABC
Nakreslíme ⊥ a úsečku D 1 C 1 . Potom ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ je uhol medzi rovinou \(\Delta\) ABC a rovinou R jeden . Preto
S \(\Delta\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1 / 2 |AB| CD 1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
a teda S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)ABC cos φ.
Prejdime k úvahe druhý prípad. Nakreslite rovinu R 1 || R cez tento vrchol \(\Delta\)ABC, vzdialenosť, z ktorej k rovine R najmenší (nech je to vrchol A).
Poďme navrhnúť \(\Delta\)ABC v lietadle R 1 a R(obr. 166); nech sú jeho projekcie \(\Delta\)AB 1 C 1 a \(\Delta\)ABC.
Nech (BC) \(\cap \) p 1 = D. Potom
S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \( \Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
Úloha. Cez stranu podstavy pravidelného trojuholníkového hranola je vedená rovina pod uhlom φ = 30° k rovine jeho podstavy. Nájdite plochu výslednej časti, ak je strana základne hranola a= 6 cm.
Znázornime rez týmto hranolom (obr. 167). Keďže hranol je pravidelný, jeho bočné hrany sú kolmé na rovinu podstavy. Preto je \(\Delta\)ABC projekciou \(\Delta\)ADC, takže
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
alebo
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$
