Viac jednoduchým spôsobom. Ak to chcete urobiť, vyberte z zátvoriek. Dostanete: z(az + b) = 0. Faktory je možné zapísať: z=0 a az + b = 0, keďže výsledkom oboch môže byť nula. V zápise az + b = 0 posunieme druhého doprava s iným znamienkom. Odtiaľ dostaneme z1 = 0 a z2 = -b/а. Toto sú korene originálu.

Ak existuje neúplná rovnica tvaru az² + c = 0, v tomto prípade ich nájdeme jednoduchým prevodom voľného termínu na pravá strana rovnice. Zmeňte aj jeho znamenie. Získate záznam az² \u003d -s. Vyjadrite z² = -c/a. Vezmite odmocninu a zapíšte dve riešenia - kladnú a zápornú hodnotu odmocniny.

Poznámka

Ak sú v rovnici zlomkové koeficienty, vynásobte celú rovnicu príslušným faktorom, aby ste sa zlomkov zbavili.

Vedieť riešiť kvadratické rovnice je nevyhnutné pre školákov aj študentov, niekedy môže pomôcť aj dospelému v bežnom živote. Existuje niekoľko špecifických metód rozhodovania.

Riešenie kvadratických rovníc

Kvadratická rovnica v tvare a*x^2+b*x+c=0. Koeficient x je požadovaná premenná, a, b, c - číselné koeficienty. Pamätajte, že znamienko „+“ sa môže zmeniť na znamienko „-“.

Na vyriešenie tejto rovnice musíte použiť Vietovu vetu alebo nájsť diskriminant. Najbežnejším spôsobom je nájsť diskriminant, pretože pre niektoré hodnoty a, b, c nie je možné použiť Vietovu vetu.

Ak chcete nájsť diskriminant (D), musíte napísať vzorec D=b^2 - 4*a*c. Hodnota D môže byť väčšia, menšia alebo rovná nule. Ak je D väčšie alebo menšie ako nula, potom budú dva korene, ak D = 0, zostane iba jeden koreň, presnejšie môžeme povedať, že D má v tomto prípade dva ekvivalentné korene. Dosaďte do vzorca známe koeficienty a, b, c a vypočítajte hodnotu.

Potom, čo ste našli diskriminant, na nájdenie x použite vzorce: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, kde sqrt je funkcia na získanie druhej odmocniny daného čísla. Po výpočte týchto výrazov nájdete dva korene vašej rovnice, po ktorých sa rovnica považuje za vyriešenú.

Ak je D menšie ako nula, potom má stále korene. V škole sa tento úsek prakticky neštuduje. Vysokoškoláci by si mali uvedomiť, že pod odmocninou sa objavuje záporné číslo. Zbavíme sa ho tak, že oddelíme imaginárnu časť, čiže -1 pod odmocninou sa vždy rovná imaginárnemu prvku „i“, ktorý sa vynásobí odmocninou s rovnakým kladným číslom. Napríklad, ak D=sqrt(-20), po transformácii sa získa D=sqrt(20)*i. Po tejto transformácii sa riešenie rovnice zredukuje na rovnaké zistenie koreňov, ako je opísané vyššie.

Vietov teorém spočíva vo výbere hodnôt x(1) a x(2). Používajú sa dve rovnaké rovnice: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Navyše, veľmi dôležitým bodom je znamienko pred koeficientom b, nezabudnite, že toto znamienko je opačné ako v rovnici. Na prvý pohľad sa zdá, že výpočet x(1) a x(2) je veľmi jednoduchý, no pri riešení narazíte na to, že čísla bude treba vybrať presne.

Prvky na riešenie kvadratických rovníc

Podľa pravidiel matematiky môžu byť niektoré faktorizované: (a + x (1)) * (b-x (2)) = 0, ak sa vám podarilo previesť pomocou matematických vzorcov Podobným spôsobom túto kvadratickú rovnicu, potom pokojne napíšte odpoveď. x(1) a x(2) sa budú rovnať susedným koeficientom v zátvorkách, ale s opačným znamienkom.

Tiež nezabudnite na neúplné kvadratické rovnice. Možno vám chýbajú niektoré pojmy, ak áno, potom sa všetky jeho koeficienty jednoducho rovnajú nule. Ak pred x^2 alebo x nič nepredchádza, potom sa koeficienty a a b rovnajú 1.

Transformácia úplnej kvadratickej rovnice na neúplnú vyzerá takto (pre prípad \(b=0\)):

V prípadoch, keď \(c=0\) alebo keď sa oba koeficienty rovnajú nule, je všetko podobné.

Upozorňujeme, že \(a\) sa nerovná nule, nemôže sa rovnať nule, pretože v tomto prípade sa zmení na:

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Najprv musíte pochopiť, že neúplná kvadratická rovnica je stále, preto ju možno vyriešiť rovnakým spôsobom ako obvyklú kvadratickú (cez). K tomu jednoducho doplníme chýbajúcu zložku rovnice s nulovým koeficientom.

Príklad : Nájdite korene rovnice \(3x^2-27=0\)
Riešenie :

		Máme neúplnú kvadratickú rovnicu s koeficientom \(b=0\). To znamená, že rovnicu môžeme napísať v nasledujúcom tvare:
\(3x^2+0\cbodka x-27=0\)		V skutočnosti je tu rovnaká rovnica ako na začiatku, ale teraz ju možno vyriešiť ako obyčajný štvorec. Najprv si zapíšeme koeficienty.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Vypočítajte diskriminant pomocou vzorca \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Nájdite korene rovnice pomocou vzorcov \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapíšte si odpoveď

Odpoveď : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Príklad : Nájdite korene rovnice \(-x^2+x=0\)
Riešenie :

		Opäť neúplná kvadratická rovnica, ale teraz sa koeficient \(c\) rovná nule. Rovnicu napíšeme ako úplnú.

Bibliografický popis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metódy riešenia kvadratických rovníc // Mladý vedec. 2016. №6.1. S. 17-20..02.2019).



Náš projekt je venovaný spôsobom riešenia kvadratických rovníc. Účel projektu: naučiť sa riešiť kvadratické rovnice spôsobmi, ktoré nie sú zahrnuté v školských osnovách. Úloha: nájdite všetky možné spôsoby riešenia kvadratických rovníc a naučte sa ich sami používať a oboznámte spolužiakov s týmito metódami.

Čo sú to „kvadratické rovnice“?

Kvadratická rovnica - rovnica tvaru sekera2 + bx + c = 0, kde a, b, c- nejaké čísla ( a ≠ 0), X- neznámy.

Čísla a, b, c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice.

• a sa nazýva prvý koeficient;
• b sa nazýva druhý koeficient;
• c - voľný člen.

A kto ako prvý „vynašiel“ kvadratické rovnice?

Niektoré algebraické techniky na riešenie lineárnych a kvadratických rovníc boli známe už pred 4000 rokmi v starovekom Babylone. Nájdené staroveké babylonské hlinené tabuľky, datované niekde medzi 1800 a 1600 pred Kristom, sú najskorším dôkazom štúdia kvadratických rovníc. Tie isté tablety obsahujú metódy na riešenie určitých typov kvadratických rovníc.

Potreba riešenia rovníc nielen prvého, ale aj druhého stupňa v staroveku bola spôsobená potrebou riešenia problémov súvisiacich s hľadaním plôch zemských a zemných prác vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie, resp. samotnú matematiku.

Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s tým moderným, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu prišli. Takmer všetky doteraz nájdené klinopisné texty uvádzajú len problémy s riešeniami uvedenými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu ich nájdenia. Napriek tomu vysoký stupeň vývoj algebry v Babylone, v klinopisných textoch chýba pojem záporné číslo a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

Babylonskí matematici približne zo 4. storočia p.n.l. použil metódu štvorcového doplnku na riešenie rovníc s kladnými koreňmi. Okolo roku 300 p.n.l. Euklides prišiel so všeobecnejšou metódou geometrického riešenia. Prvým matematikom, ktorý našiel riešenia rovnice so zápornými koreňmi vo forme algebraického vzorca, bol indický vedec. Brahmagupta(India, 7. storočie nášho letopočtu).

Brahmagupta načrtol všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jednu kanonickú formu:

ax2 + bx = c, a>0

V tejto rovnici môžu byť koeficienty záporné. Brahmaguptove pravidlo sa v podstate zhoduje s naším.

V Indii boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov bežné. V jednej zo starých indických kníh sa o takýchto súťažiach hovorí: „Ako slnko prežiari hviezdy svojou žiarou, tak vedec človek zatmenie slávy v populárnych zostavách, ponúkanie a riešenie algebraických problémov. Úlohy sa často obliekali do poetickej podoby.

V algebraickom pojednaní Al-Khwarizmi je uvedená klasifikácia lineárnych a kvadratických rovníc. Autor uvádza 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. ax2 = bx.

2) „Štvorce sa rovnajú číslu“, t.j. ax2 = c.

3) "Korene sa rovnajú číslu", t.j. ax2 = c.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú koreňom“, t.j. ax2 + c = bx.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslu“, t.j. ax2 + bx = c.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j. bx + c == ax2.

Pre Al-Khwarizmiho, ktorý sa vyhýbal použitiu záporné čísla, členy každej z týchto rovníc sú členy, nie odčítanie. V tomto prípade sa zjavne neberú do úvahy rovnice, ktoré nemajú kladné riešenia. Autor načrtáva metódy riešenia týchto rovníc pomocou metód al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutie sa, samozrejme, úplne nezhoduje s naším. Nehovoriac o tom, že je to čisto rétorické, treba si napríklad uvedomiť, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého typu Al-Khwarizmi, ako všetci matematici pred 17. storočím, neberie do úvahy nulu. riešenie, pravdepodobne preto, že pri konkrétnych praktických úlohách na tom nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc Al-Khwarizmi stanovuje pravidlá ich riešenia pomocou konkrétnych numerických príkladov a následne ich geometrických dôkazov.

Formuláre na riešenie kvadratických rovníc na modeli Al-Khwarizmi v Európe boli prvýkrát opísané v „Knihe počítadla“, napísanej v roku 1202. taliansky matematik Leonard Fibonacci. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel.

Táto kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé úlohy z tejto knihy boli prenesené takmer do všetkých európskych učebníc 14. – 17. storočia. Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jeden kanonický tvar x2 + bx = c so všetkými možnými kombináciami znakov a koeficientov b, c bolo sformulované v Európe v roku 1544. M. Stiefel.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice v všeobecný pohľad Viet má, ale Viet uznával len pozitívne korene. talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli medzi prvými v 16. storočí. brať do úvahy okrem pozitívnych aj negatívne korene. Až v XVII storočí. vďaka práci Girard, Descartes, Newton a ďalších vedcov naberá spôsob riešenia kvadratických rovníc modernú podobu.

Zvážte niekoľko spôsobov riešenia kvadratických rovníc.

Štandardné spôsoby riešenia kvadratických rovníc z školské osnovy:

1. Faktorizácia ľavej strany rovnice.
2. Metóda výberu plného štvorca.
3. Riešenie kvadratických rovníc podľa vzorca.
4. Grafické riešenie kvadratická rovnica.
5. Riešenie rovníc pomocou Vietovej vety.

Zastavme sa podrobnejšie pri riešení redukovaných a neredukovaných kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety.

Pripomeňme, že na vyriešenie vyššie uvedených kvadratických rovníc stačí nájsť dve čísla, ktorých súčin sa rovná voľnému členu a súčet sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom.

Príklad.X 2 -5x+6=0

Musíte nájsť čísla, ktorých súčin je 6 a súčet je 5. Tieto čísla budú 3 a 2.

Odpoveď: x 1 = 2, x 2 =3.

Túto metódu však môžete použiť pre rovnice, ktorých prvý koeficient sa nerovná jednej.

Príklad.3x 2 +2x-5=0

Zoberieme prvý koeficient a vynásobíme ho voľným členom: x 2 +2x-15=0

Korene tejto rovnice budú čísla, ktorých súčin je - 15 a súčet - 2. Tieto čísla sú 5 a 3. Aby sme našli korene pôvodnej rovnice, vydelíme získané korene prvým koeficientom.

Odpoveď: x 1 = -5/3, x 2 =1

6. Riešenie rovníc metódou „prenosu“.

Uvažujme kvadratickú rovnicu ax 2 + bx + c = 0, kde a≠0.

Vynásobením oboch jej častí a dostaneme rovnicu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Nech ax = y, odkiaľ x = y/a; potom dospejeme k rovnici y 2 + by + ac = 0, ktorá je ekvivalentná danej rovnici. Jeho korene nájdeme v 1 a 2 pomocou Vietovej vety.

Nakoniec dostaneme x 1 = y 1 /a a x 2 = y 2 /a.

Pri tejto metóde sa koeficient a násobí voľným členom, akoby sa naň „preniesol“, preto sa nazýva metóda „prenosu“. Táto metóda sa používa, keď je ľahké nájsť korene rovnice pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Príklad.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Koeficient 2 "prenesieme" na voľný člen a náhradou dostaneme rovnicu y 2 - 11y + 30 = 0.

Podľa Vietovej inverznej vety

y1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odpoveď: x 1 = 2,5; X 2 = 3.

7. Vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice.

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Ak a + b + c \u003d 0 (t. j. súčet koeficientov rovnice je nula), potom x 1 \u003d 1.

2. Ak a - b + c \u003d 0 alebo b \u003d a + c, potom x 1 \u003d - 1.

Príklad.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Pretože a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), potom x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Odpoveď: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Príklad.132x 2 + 247x + 115 = 0

Pretože a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), potom x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Odpoveď: x 1 = -1; X 2 =- 115/132

Existujú aj ďalšie vlastnosti koeficientov kvadratickej rovnice. ale ich použitie je zložitejšie.

8. Riešenie kvadratických rovníc pomocou nomogramu.

Obr 1. Nomogram

Ide o starú a v súčasnosti zabudnutú metódu riešenia kvadratických rovníc, umiestnenú na strane 83 zbierky: Bradis V.M. Štvormiestne matematické tabuľky. - M., Vzdelávanie, 1990.

Tabuľka XXII. Nomogram na riešenie rovníc z2 + pz + q = 0. Tento nomogram umožňuje bez riešenia kvadratickej rovnice určiť korene rovnice jej koeficientmi.

Krivková stupnica nomogramu je zostavená podľa vzorcov (obr. 1):

Za predpokladu OS = p, ED = q, OE = a(všetky v cm), z obr. 1 podobnosť trojuholníkov SAN a CDF dostaneme pomer

odkiaľ po zámenách a zjednodušeniach nasleduje rovnica z 2 + pz + q = 0, a list z znamená označenie akéhokoľvek bodu na zakrivenej stupnici.

Ryža. 2 Riešenie kvadratickej rovnice pomocou nomogramu

Príklady.

1) Pre rovnicu z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram dáva korene z 1 = 8,0 a z 2 = 1,0

Odpoveď: 8,0; 1,0.

2) Riešte rovnicu pomocou nomogramu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Koeficienty tejto rovnice vydelíme 2, dostaneme rovnicu z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram dáva korene z 1 = 4 az 2 = 0,5.

Odpoveď: 4; 0,5.

9. Geometrická metóda riešenia kvadratických rovníc.

Príklad.X 2 + 10x = 39.

V origináli je tento problém formulovaný nasledovne: "Druhá mocnina a desať odmocnín sa rovnajú 39."

Zoberme si štvorec so stranou x, na jeho stranách sú postavené obdĺžniky tak, že druhá strana každého z nich je 2,5, teda plocha každého z nich je 2,5x. Výsledný obrazec sa potom doplní do nového štvorca ABCD, pričom v rohoch sa doplnia štyri rovnaké štvorce, pričom strana každého z nich je 2,5 a plocha je 6,25.

Ryža. 3 Grafický spôsob riešenie rovnice x 2 + 10x = 39

Plochu S štvorca ABCD možno znázorniť ako súčet plôch: pôvodný štvorec x 2, štyri obdĺžniky (4∙2,5x = 10x) a štyri pripojené štvorce (6,25∙4 = 25), t.j. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Nahradením x 2 + 10x číslom 39 dostaneme S \u003d 39 + 25 \u003d 64, čo znamená, že strana štvorca ABCD, t.j. segment AB \u003d 8. Pre požadovanú stranu x pôvodného štvorca dostaneme

10. Riešenie rovníc pomocou Bezoutovej vety.

Bezoutova veta. Zvyšok po delení polynómu P(x) binomom x - α sa rovná P(α) (teda hodnote P(x) pri x = α).

Ak je číslo α koreňom polynómu P(x), potom je tento polynóm bezo zvyšku deliteľný x -α.

Príklad.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Vydelenie P(x) číslom (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 alebo x-3=0, x=3; Odpoveď: x1 = 2, x2 =3.

Záver: Schopnosť rýchlo a racionálne riešiť kvadratické rovnice je jednoducho potrebná na riešenie zložitejších rovníc, napríklad zlomkových racionálnych rovníc, rovníc vyššie stupne, bikvadratické rovnice a na strednej škole trigonometrické, exponenciálne a logaritmické rovnice. Po preštudovaní všetkých nájdených metód na riešenie kvadratických rovníc môžeme spolužiakom odporučiť, aby okrem štandardných metód riešili aj prenosovou metódou (6) a riešili rovnice pomocou vlastnosti koeficientov (7), keďže sú prístupnejšie na pochopenie. .

Literatúra:

1. Bradis V.M. Štvormiestne matematické tabuľky. - M., Vzdelávanie, 1990.
2. Algebra ročník 8: učebnica pre ročník 8. všeobecné vzdelanie inštitúcie Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. vydanie, prepracované. - M.: Osveta, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. História matematiky v škole. Príručka pre učiteľov. / Ed. V.N. Mladší. - M.: Osveta, 1964.

Vzorce pre korene kvadratickej rovnice. Zvažujú sa prípady skutočných, viacnásobných a zložitých koreňov. Faktorizácia štvorcový trojčlen. Geometrická interpretácia. Príklady určovania koreňov a faktorizácie.

Základné vzorce

Zvážte kvadratickú rovnicu:
(1) .
Korene kvadratickej rovnice(1) sa určujú podľa vzorcov:
; .
Tieto vzorce je možné kombinovať takto:
.
Keď sú známe korene kvadratickej rovnice, potom môže byť polynóm druhého stupňa reprezentovaný ako súčin faktorov (faktorovaný):
.

Ďalej predpokladáme, že ide o reálne čísla.
Zvážte diskriminant kvadratickej rovnice:
.
Ak je diskriminant kladný, potom kvadratická rovnica (1) má dva rôzne reálne korene:
; .
Potom má rozklad štvorcového trinomu tvar:
.
Ak je diskriminačný nula, , potom kvadratická rovnica (1) má dva viacnásobné (rovnaké) skutočné korene:
.
Faktorizácia:
.
Ak je diskriminant záporný, potom kvadratická rovnica (1) má dva komplexne konjugované korene:
;
.
Tu je pomyselná jednotka, ;
a sú skutočnými a imaginárnymi časťami koreňov:
; .
Potom

.

Grafická interpretácia

Ak stavať funkčný graf
,
čo je parabola, potom priesečníky grafu s osou budú koreňmi rovnice
.
Keď , graf pretína os x (os) v dvoch bodoch.
Keď sa graf dotkne osi x v jednom bode.
Keď , graf nepretína os x.

Nižšie sú uvedené príklady takýchto grafov.

Užitočné vzorce súvisiace s kvadratickou rovnicou

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Vykonávame transformácie a aplikujeme vzorce (f.1) a (f.3):




,
kde
; .

Takže sme dostali vzorec pre polynóm druhého stupňa v tvare:
.
Z toho vidno, že rovnica

vykonaná o
a .
To je a sú koreňmi kvadratickej rovnice
.

Príklady určenia koreňov kvadratickej rovnice

Príklad 1

(1.1) .

Riešenie

.
V porovnaní s našou rovnicou (1.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Keďže diskriminant je kladný, rovnica má dva skutočné korene:
;
;
.

Odtiaľ dostaneme rozklad štvorcového trinomu na faktory:

.

Graf funkcie y = 2 x 2 + 7 x + 3 pretína os x v dvoch bodoch.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Pretína os x (os) v dvoch bodoch:
a .
Tieto body sú koreňmi pôvodnej rovnice (1.1).

Odpoveď

;
;
.

Príklad 2

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(2.1) .

Riešenie

Kvadratickú rovnicu napíšeme vo všeobecnom tvare:
.
V porovnaní s pôvodnou rovnicou (2.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Keďže diskriminant je nula, rovnica má dva viacnásobné (rovnaké) korene:
;
.

Potom má faktorizácia trojčlenky tvar:
.

Graf funkcie y = x 2 - 4 x + 4 sa v jednom bode dotýka osi x.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Dotýka sa osi x (osi) v jednom bode:
.
Tento bod je koreňom pôvodnej rovnice (2.1). Keďže tento koreň je počítaný dvakrát:
,
potom sa takýto koreň nazýva násobok. To znamená, že sa domnievajú, že existujú dva rovnaké korene:
.

Odpoveď

;
.

Príklad 3

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(3.1) .

Riešenie

Kvadratickú rovnicu napíšeme vo všeobecnom tvare:
(1) .
Prepíšme pôvodnú rovnicu (3.1):
.
V porovnaní s (1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdenie diskriminantu:
.
Diskriminant je negatívny, . Preto neexistujú žiadne skutočné korene.

Môžete nájsť zložité korene:
;
;
.

Potom


.

Graf funkcie nepretína os x. Neexistujú žiadne skutočné korene.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Nepretína abscisu (os). Preto neexistujú žiadne skutočné korene.

Odpoveď

Neexistujú žiadne skutočné korene. Komplexné korene:
;
;
.

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich riešiť je nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimneme, že všetky kvadratické rovnice možno rozdeliť do troch tried:

1. Nemať korene;
2. Majú presne jeden koreň;
3. Majú dva rôzne korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako určiť, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom jednoducho číslo D = b 2 − 4ac .

Tento vzorec musí byť známy naspamäť. Odkiaľ pochádza, nie je teraz dôležité. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

1. Ak D< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
3. Ak D > 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako si z nejakého dôvodu mnohí ľudia myslia. Pozrite si príklady a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Napíšeme koeficienty pre prvú rovnicu a nájdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme rovnakým spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Zostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant sa rovná nule - koreň bude jedna.

Všimnite si, že koeficienty boli napísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to zdĺhavé – ale nebudete si miešať šance a neurobíte hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak si „naplníte ruku“, po chvíli už nebudete musieť vypisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po 50-70 vyriešených rovniciach - vo všeobecnosti nie tak veľa.

Korene kvadratickej rovnice

Teraz prejdime k riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť pomocou vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov – dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnať)\]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Môže sa použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú, keď sa do vzorca dosadia záporné koeficienty. Tu opäť pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, namaľte každý krok - a veľmi skoro sa zbavte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica je trochu odlišná od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Je ľahké vidieť, že v týchto rovniciach chýba jeden z členov. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nepotrebujú ani vypočítať diskriminant. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnica ax 2 + bx + c = 0 sa nazýva neúplná kvadratická rovnica, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient premennej x alebo voľného prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b \u003d c \u003d 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 \u003d 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jedinú koreň: x \u003d 0.

Pozrime sa na ďalšie prípady. Nech b \u003d 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu tvaru ax 2 + c \u003d 0. Poďme ju mierne transformovať:

Pretože aritmetika Odmocnina existuje len od nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len pre (−c /a ) ≥ 0. Záver:

1. Ak neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 + c = 0 spĺňa nerovnosť (−c / a ) ≥ 0, korene budú dva. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (-c / a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný - v neúplných kvadratických rovniciach neexistujú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c / a ) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo je na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Polynóm stačí rozložiť na faktor:

Vyňatie spoločného faktora zo zátvorky

Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Odtiaľ pochádzajú korene. Na záver analyzujeme niekoľko z týchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Neexistujú žiadne korene, pretože štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.