Objemové vzorce pre čísla rotácie okolo osi. Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu. Výpočet objemu telesa vytvoreného rotáciou plochého útvaru okolo osi

Použitie integrálov na nájdenie objemov rotačných telies

Praktická užitočnosť matematiky je daná tým, že bez

špecifické matematické znalosti sťažujú pochopenie princípov zariadenia a použitia moderná technológia. Každý človek vo svojom živote musí vykonávať pomerne zložité výpočty, používať bežne používané zariadenia, nájsť potrebné vzorce v referenčných knihách a zostaviť jednoduché algoritmy na riešenie problémov. AT moderná spoločnosť vyžadujú viac špecialít vysoký stupeň vzdelávanie je spojené s priamou aplikáciou matematiky. Pre školáka sa tak matematika stáva odborne významným predmetom. Vedúca úloha patrí matematike pri formovaní algoritmického myslenia, vychováva schopnosť konať podľa daného algoritmu a navrhovať nové algoritmy.

Pri štúdiu témy použitia integrálu na výpočet objemov rotačných telies navrhujem, aby študenti na voliteľných hodinách zvážili tému: "Objemy rotačných telies pomocou integrálov." Tu je niekoľko pokynov na riešenie tejto témy:

1. Oblasť plochej postavy.

Z kurzu algebry vieme, že pojem určitý integrál viedol praktické úlohy..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Aby sme našli objem rotačného telesa vytvoreného rotáciou krivočiareho lichobežníka okolo osi Ox, ohraničeného prerušovanou čiarou y=f(x), osou Ox, priamkami x=a a x=b, vypočítame podľa vzorca

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Objem valca.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Kužeľ sa získa otáčaním správny trojuholník ABC(C=90) okolo osi Ox, na ktorej leží noha AC.

Segment AB leží na čiare y=kx+c, kde je https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Nech a=0, b=H (H je výška kužeľa), potom Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Objem zrezaného kužeľa.

Zrezaný kužeľ možno získať otáčaním pravouhlý lichobežník ABCD (CDOx) okolo osi Ox.

Úsečka AB leží na priamke y=kx+c, kde , c = r.

Keďže priamka prechádza bodom A (0; r).

Priama čiara teda vyzerá takto https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Nech a=0, b=H (H je výška zrezaného kužeľa), potom https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Objem lopty.

Loptičku je možné získať otáčaním kruhu so stredom (0;0) okolo osi x. Polkruh umiestnený nad osou x je daný rovnicou

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Téma: "Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu"

Typ lekcie: kombinované.

Účel lekcie: naučiť sa počítať objemy rotačných telies pomocou integrálov.

Úlohy:

upevniť schopnosť vybrať krivočiare lichobežníky z radu geometrické tvary a vypracovať zručnosť výpočtu plôch krivočiarych lichobežníkov;

zoznámiť sa s pojmom trojrozmerná postava;

naučiť sa počítať objemy rotačných telies;

prispieť k rozvoju logické myslenie, kompetentná matematická reč, presnosť pri konštrukcii výkresov;

pestovať záujem o predmet, pracovať s matematickými pojmami a obrazmi, pestovať vôľu, samostatnosť, vytrvalosť pri dosahovaní konečného výsledku.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Skupinový pozdrav. Komunikácia študentov o cieľoch vyučovacej hodiny.

Dnešnú lekciu by som chcel začať podobenstvom. „Bol jeden múdry muž, ktorý vedel všetko. Jedna osoba chcela dokázať, že mudrc nevie všetko. Chytil motýľa v rukách a spýtal sa: „Povedz mi, mudrc, ktorý motýľ je v mojich rukách: mŕtvy alebo živý? A on sám si myslí: "Ak povie živá, zabijem ju, ak povie mŕtva, pustím ju von." Mudrc po premýšľaní odpovedal: "Všetko je vo vašich rukách."

Preto dnes pracujme plodne, získajme novú zásobáreň vedomostí a nadobudnuté zručnosti a schopnosti uplatníme v neskoršom veku a v praktických činnostiach.„Všetko je vo vašich rukách.“

II. Opakovanie predtým naučeného učiva.

Pripomeňme si hlavné body predtým študovaného materiálu. Za týmto účelom dokončíme úlohu „Odstrániť ďalšie slovo“.

(Študenti povedia ďalšie slovo.)

správne "Diferenciálny". Skúste zvyšné slová pomenovať bežné slovo. (Integrovaný počet.)

Pripomeňme si hlavné etapy a pojmy súvisiace s integrálnym počtom.

Cvičenie. Obnoviť preukazy. (Študent vyjde von a píše fixkou potrebné slová.)

Práca v zošitoch.

Bol odvodený Newtonov-Leibnizov vzorec anglický fyzik Isaac Newton (1643-1727) a nemecký filozof Gottfried Leibniz (1646-1716). A to nie je prekvapujúce, pretože matematika je jazyk, ktorým hovorí samotná príroda.

Zvážte, ako sa tento vzorec používa pri riešení praktických úloh.

Príklad 1: Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami

Riešenie: Stavajme ďalej súradnicová rovina funkčné grafy . Vyberte oblasť obrázku, ktorú chcete nájsť.

III. Učenie sa nového materiálu.

Venujte pozornosť obrazovke. Čo je zobrazené na prvom obrázku? (Obrázok znázorňuje plochý obrázok.)

Čo je zobrazené na druhom obrázku? Je toto číslo ploché? (Obrázok zobrazuje trojrozmerný obrázok.)

Vo vesmíre, na zemi a v každodennom živote sa stretávame nielen s plochými postavami, ale aj s trojrozmernými, ale ako vypočítať objem takýchto telies? Napríklad: objem planéty, kométy, meteoritu atď.

Myslia na objem pri stavbe domov a prelievaní vody z jednej nádoby do druhej. Pravidlá a metódy na výpočet objemov mali vzniknúť, iná vec je, nakoľko boli presné a opodstatnené.

1612 bola pre obyvateľov rakúske mesto Linz, kde žil vtedy slávny astronóm Johannes Kepler, je veľmi produktívny najmä na hrozno. Ľudia pripravovali sudy na víno a chceli vedieť prakticky určiť ich objemy.

Uvažované Keplerove diela teda znamenali začiatok celého prúdu výskumu, ktorý vyvrcholil v poslednom štvrťrok XVII v. dizajn v dielach I. Newtona a G.V. Leibnizov diferenciálny a integrálny počet. Od tej doby matematika magnitúdových premenných zaujala popredné miesto v systéme matematických vedomostí.

Dnes sa teda budeme venovať takýmto praktickým činnostiam, preto

Téma našej lekcie: "Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu."

Splnením nasledujúcej úlohy sa naučíte definíciu revolučného telesa.

"Labyrint".

Cvičenie. Nájdite východisko z neprehľadnej situácie a zapíšte si definíciu.

IVVýpočet objemov.

Pomocou určitého integrálu môžete vypočítať objem telesa, najmä rotačného telesa.

Rotačné teleso je teleso získané otáčaním krivočiareho lichobežníka okolo jeho základne (obr. 1, 2)

Objem rotačného telesa sa vypočíta podľa jedného zo vzorcov:

1. okolo osi x.

2. , ak rotácia krivočiareho lichobežníka okolo osi y.

Žiaci si zapisujú základné vzorce do zošita.

Učiteľ vysvetlí riešenie príkladov na tabuli.

1. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi y krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Riešenie.

Odpoveď: 1163 cm3.

2. Nájdite objem telesa získaný rotáciou parabolického lichobežníka okolo osi x. y = , x = 4, y = 0.

Riešenie.

V. Simulátor matematiky.

2. Volá sa množina všetkých primitívnych prvkov danej funkcie

ALE) neurčitý integrál,

B) funkcia,

B) diferenciácia.

7. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi x krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami:

D/Z. Fixácia nového materiálu

Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okvetného lístka okolo osi x y=x2, y2=x.

Nakreslíme grafy funkcie. y=x2, y2=x. Graf y2 = x sa transformuje do tvaru y = .

Máme V = V1 - V2 Vypočítajme objem každej funkcie:

Záver:

Určitý integrál je akýmsi základom pre štúdium matematiky, ktorý je nevyhnutným príspevkom k riešeniu problémov praktického obsahu.

Téma „Integrál“ názorne demonštruje prepojenie matematiky a fyziky, biológie, ekonómie a techniky.

rozvoj moderná veda nemysliteľné bez použitia integrálu. V tomto smere je potrebné začať ho študovať v rámci stred špeciálne vzdelanie!

VI. Klasifikácia.(S komentárom.)

Veľký Omar Khayyam - matematik, básnik, filozof. Volá byť pánmi svojho osudu. Vypočujte si úryvok z jeho tvorby:

Hovoríš, že tento život je len okamih.
Vážte si to, čerpajte z toho inšpiráciu.
Ako to miniete, tak to prejde.
Nezabudnite: ona je vaším výtvorom.

Definícia 3. Rotačné teleso je teleso získané otáčaním plochého útvaru okolo osi, ktorá nepretína útvar a leží s ním v rovnakej rovine.

Os otáčania môže pretínať aj obrazec, ak je osou symetrie obrazca.

Veta 2.
, os
a priame úsečky
a

otáča sa okolo osi
. Potom sa objem výsledného rotačného telesa môže vypočítať podľa vzorca

(2)

Dôkaz. Pre takéto telo je sekcia s úsečkou je kruh s polomerom
, znamená
a vzorec (1) poskytuje požadovaný výsledok.

Ak je obrázok obmedzený grafmi dvoch spojitých funkcií
a
a úsečky
a
, navyše
a
, potom pri otáčaní okolo osi x dostaneme teleso, ktorého objem

Príklad 3 Vypočítajte objem torusu získaného otáčaním kružnice ohraničenej kružnicou

okolo osi x.

R Riešenie. Zadaná kružnica je zdola ohraničená grafom funkcie
, a nad -
. Rozdiel druhých mocnín týchto funkcií:

Požadovaný objem

(graf integrandu je horný polkruh, takže integrál napísaný vyššie je oblasť polkruhu).

Príklad 4 Parabolický segment so základňou
, a výška , sa točí okolo základne. Vypočítajte objem výsledného tela ("citrón" od Cavalieriho).

R Riešenie. Umiestnite parabolu tak, ako je znázornené na obrázku. Potom jeho rovnica
, a
. Poďme zistiť hodnotu parametra :
. Takže požadovaný objem:

Veta 3. Nech je krivočiary lichobežník ohraničený grafom spojitej nezápornej funkcie
, os
a priame úsečky
a
, navyše
, otáča sa okolo osi
. Potom objem výsledného rotačného telesa možno nájsť podľa vzorca

(3)

dôkazový nápad. Rozdelenie segmentu
bodky

, na časti a nakreslite rovné čiary
. Celý lichobežník sa rozloží na pásy, ktoré možno považovať približne za obdĺžniky so základňou
a výška
.

Valec, ktorý je výsledkom rotácie takéhoto obdĺžnika, sa rozreže pozdĺž tvoriacej čiary a rozloží sa. Dostaneme „takmer“ rovnobežnosten s rozmermi:
,
a
. Jeho objem
. Takže pre objem rotačného telesa budeme mať približnú rovnosť

Aby sme získali presnú rovnosť, musíme prejsť na limit pri
. Vyššie napísaný súčet je celočíselným súčtom funkcie
, teda v limite dostaneme integrál zo vzorca (3). Veta bola dokázaná.

Poznámka 1. Vo vetách 2 a 3 podmienka
možno vynechať: vzorec (2) je vo všeobecnosti necitlivý na znamienko
a vo vzorci (3) to stačí
nahradené
.

Príklad 5 Parabolický segment (základňa
, výška ) sa točí okolo výšky. Nájdite objem výsledného telesa.

Riešenie. Usporiadajte parabolu tak, ako je znázornené na obrázku. A hoci os rotácie pretína postavu, ona – os – je osou symetrie. Preto by sa mala brať do úvahy iba pravá polovica segmentu. Parabolická rovnica
, a
, znamená
. Pre objem máme:

Poznámka 2. Ak je krivočiara hranica krivočiareho lichobežníka daná parametrickými rovnicami
,
,
a
,
potom je možné s náhradou použiť vzorce (2) a (3). na
a
na
keď sa zmení t od
predtým .

Príklad 6 Obrazec je ohraničený prvým oblúkom cykloidy
,
,
a os x. Nájdite objem telesa získaný otočením tohto údaja okolo: 1) osi
; 2) nápravy
.

Riešenie. 1) Všeobecný vzorec
V našom prípade:

2) Všeobecný vzorec
Pre našu postavu:

Odporúčame študentom, aby si všetky výpočty robili sami.

Poznámka 3. Nech je krivočiary sektor ohraničený súvislou čiarou
a lúče
,

, sa otáča okolo polárnej osi. Objem výsledného telesa možno vypočítať podľa vzorca.

Príklad 7 Časť postavy ohraničená kardioidom
, ležiaci mimo kruhu
, sa otáča okolo polárnej osi. Nájdite objem výsledného telesa.

Riešenie. Obe čiary, a teda aj číslo, ktoré obmedzujú, sú symetrické okolo polárnej osi. Preto je potrebné brať do úvahy len časť, pre ktorú
. Krivky sa pretínajú v
a

pri
. Ďalej, údaj možno považovať za rozdiel dvoch sektorov, a teda objem možno vypočítať ako rozdiel dvoch integrálov. Máme:

Úlohy na nezávislé riešenie.

1. Kruhový segment, ktorého základňa
, výška , sa točí okolo základne. Nájdite objem rotačného telesa.

2. Nájdite objem rotačného paraboloidu, ktorého základňa , a výška je .

3. Postava ohraničená astroidom
,
sa otáča okolo osi x. Nájdite objem tela, ktorý sa získa v tomto prípade.

4. Obrázok ohraničený čiarami
a
sa otáča okolo osi x. Nájdite objem rotačného telesa.

I. Objemy revolučných telies. Predbežne si preštudujte kapitolu XII, str. 197, 198, podľa učebnice G. M. Fikhtengol'ts* Podrobne analyzujte príklady uvedené na str. 198.

508. Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou elipsy okolo osi x.

Touto cestou,

530. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou okolo osi Ox oblúka sínusoidy y \u003d sin x z bodu X \u003d 0 do bodu X \u003d It.

531. Vypočítajte povrch kužeľa s výškou h a polomerom r.

532. Vypočítajte povrch tvorený

rotácia astroidu x3 -) - y* - a3 okolo osi x.

533. Vypočítajte plochu povrchu tvorenú inverziou slučky krivky 18 y-x(6-x)r okolo osi x.

534. Nájdite povrch torusu, ktorý vznikne rotáciou kružnice X2 - j - (y-3)2 = 4 okolo osi x.

535. Vypočítajte plochu povrchu tvorenú rotáciou kruhu X = a cost, y = asint okolo osi Ox.

536. Vypočítajte plochu povrchu vytvorenú rotáciou slučky krivky x = 9t2, y = St - 9t3 okolo osi Ox.

537. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou oblúka krivky x = e * sint, y = el cost okolo osi Ox

od t = 0 do t = -.

538. Ukážte, že plocha vytvorená rotáciou oblúka cykloidy x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) okolo osi Oy sa rovná 16 u2 o2.

539. Nájdite plochu získanú rotáciou kardioidy okolo polárnej osi.

540. Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou lemniskátu okolo polárnej osi.

Dodatočné úlohy pre kapitolu IV

Plochy rovinných postáv

541. Nájdite celú oblasť oblasti ohraničenú krivkou A os Oh.

542. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

543. Nájdite časť oblasti regiónu umiestnenú v prvom kvadrante a ohraničenú krivkou

l súradnicové osi.

544. Nájdite oblasť oblasti, ktorá sa v nej nachádza

slučky:

545. Nájdite oblasť oblasti ohraničenú jednou slučkou krivky:

546. Nájdite oblasť oblasti vo vnútri slučky:

547. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

548. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou

A os Oh.

549. Nájdite oblasť regiónu ohraničenú osou Oxr

rovné a zakrivené

Okrem nájdenie plochy plochého obrazca pomocou určitého integrálu (pozri 7.2.3.) najdôležitejšou aplikáciou témy je výpočet objemu rotačného telesa. Materiál je jednoduchý, ale čitateľ musí byť pripravený: je potrebné vedieť riešiť neurčité integrály stredná zložitosť a aplikujte Newtonov-Leibnizov vzorec v určitý integrál, n Vyžadujú sa aj silné kresliace schopnosti. Vo všeobecnosti existuje veľa zaujímavých aplikácií v integrálnom počte; pomocou určitého integrálu môžete vypočítať plochu postavy, objem rotačného telesa, dĺžku oblúka, povrchovú plochu telo a oveľa viac. Predstavte si nejaké plochá postava na súradnicovej rovine. Zastúpený? ... Teraz je možné túto figúrku tiež otáčať a otáčať dvoma spôsobmi:

- okolo osi x ;

- okolo osi y .

Poďme sa pozrieť na oba prípady. Zaujímavý je najmä druhý spôsob otáčania, ktorý spôsobuje najväčšie ťažkosti, no v skutočnosti je riešenie takmer rovnaké ako pri bežnejšom otáčaní okolo osi x. Začnime s najobľúbenejším typom rotácie.

Výpočet objemu telesa vytvoreného rotáciou plochého útvaru okolo osi VÔL

Príklad 1

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním obrazca ohraničeného priamkami okolo osi.

Riešenie: Rovnako ako v prípade problému s hľadaním oblasti, riešenie začína kresbou plochej postavy. Teda v lietadle XOY potrebuješ postaviť postavu, ohraničené čiarami, , zároveň nezabudnite, že rovnica definuje os . Nákres je tu celkom jednoduchý:

Požadovaná plochá postava je zatienená modrou farbou, je to ona, ktorá sa otáča okolo osi. V dôsledku rotácie sa získa taký mierne vajcovitý lietajúci tanier s dvoma ostrými vrcholmi na osi. VÔL, symetrické okolo osi VÔL. V skutočnosti má telo matematický názov, pozrite sa do referenčnej knihy.

Ako vypočítať objem rotačného telesa? Ak je telo vytvorené ako výsledok rotácie okolo osiVÔL, je mentálne rozdelená na paralelné vrstvy malej hrúbky dx ktoré sú kolmé na os VÔL. Objem celého telesa sa zjavne rovná súčtu objemov takýchto elementárnych vrstiev. Každá vrstva, ako okrúhly plátok citróna, je vysoký nízky valec dx a so základným polomerom f(X). Potom je objem jednej vrstvy súčinom základnej plochy π f 2 do výšky valca ( dx), alebo π∙ f 2 (X)∙dx. A plocha celého rotačného telesa je súčtom elementárnych objemov alebo zodpovedajúceho určitého integrálu. Objem rotačného telesa možno vypočítať podľa vzorca:

Ako nastaviť integračné limity "a" a "be" je ľahké uhádnuť z dokončeného výkresu. Funkcia... čo je táto funkcia? Pozrime sa na výkres. Plochý obrazec je zhora ohraničený grafom paraboly. Toto je funkcia, ktorá je zahrnutá vo vzorci. V praktických úlohách môže byť plochá postava niekedy umiestnená pod osou VÔL. To nič nemení - funkcia vo vzorci je odmocnená: f 2 (X), teda, objem rotačného telesa je vždy nezáporný, čo je celkom logické. Vypočítajte objem rotačného telesa pomocou tohto vzorca:

Ako sme už uviedli, integrál sa takmer vždy ukáže ako jednoduchý, hlavnou vecou je byť opatrný.

odpoveď:

V odpovedi je potrebné uviesť rozmer - kubické jednotky. To znamená, že v našom rotačnom tele je približne 3,35 "kociek". Prečo práve kubický Jednotky? Pretože je to najuniverzálnejšia formulácia. Môžu to byť kubické centimetre, môžu byť Metre kubické, možno kubické kilometre a pod., toľko malých zelených mužíkov sa vo vašej fantázii zmestí do lietajúceho taniera.

Príklad 2

Nájdite objem telesa vytvoreného rotáciou okolo osi VÔL obrazec ohraničený čiarami , , .

Toto je príklad „urob si sám“. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Príklad 3

Vypočítajte objem telesa získaného otáčaním okolo osi x úsečky obrazca ohraničeného priamkami , , a .

Riešenie: Znázornime na výkrese plochý obrazec ohraničený čiarami , , , , pričom nezabúdajme, že rovnica X= 0 určuje os OY:

Požadovaná figúrka je vytieňovaná modrou farbou. Keď sa točí okolo osi VÔL vznikne plochý uhlový bagel (podložka s dvoma kužeľovými plochami).

Objem rotačného telesa sa vypočíta ako rozdiel v objeme tela. Najprv sa pozrime na postavu, ktorá je zakrúžkovaná červenou farbou. Keď sa točí okolo osi VÔL výsledkom je zrezaný kužeľ. Označme objem tohto zrezaného kužeľa ako V 1 .

Zvážte obrázok, ktorý je zakrúžkovaný v zelenej farbe. Ak tento obrazec otočíme okolo osi VÔL, potom získate aj zrezaný kužeľ, len o niečo menší. Označme jej objem podľa V 2 .

Je zrejmé, že rozdiel v objeme V = V 1 - V 2 je objem nášho "donutu".

Na zistenie objemu rotačného telesa používame štandardný vzorec:

1) Číslo zakrúžkované červenou farbou je zhora ohraničené priamkou, preto:

2) Obrázok zakrúžkovaný zelenou farbou je zhora ohraničený priamkou, preto:

3) Objem požadovaného rotačného telesa: