Anoshina O.V.

Hlavná literatúra

1. V. S. Šipačov, Vyššia matematika. Základný kurz: učebnica a
workshop pre bakalárov [Certifikát Ministerstva školstva Ruskej federácie] / V. S.
Shipachev; vyd. A. N. Tichonova. - 8. vydanie, prepracované. a dodatočné Moskva: Yurayt, 2015. - 447 s.
2. V. S. Šipačov, Vyššia matematika. Celý kurz: učebnica
pre akad. Bakalársky stupeň [Certifikát UMO] / V. S. Shipachev; vyd. ALE.
N. Tichonova. - 4. vydanie, Rev. a dodatočné - Moskva: Yurayt, 2015. - 608
s
3. Danko P.E., Popov A.G., Koževniková T..Ya. vyššia matematika
v cvičeniach a úlohách. [Text] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Kozhevnikov. O 2:00 - M .: absolventská škola, 2007. - 304+415c.

Nahlasovanie

1.
Test. Vykonávané v súlade s:
Úlohy a usmernenia vykonávať kontrolné práce
v disciplíne „APLIKOVANÁ MATEMATIKA“, Jekaterinburg, FGAOU
VO „Ruská štátna odborná pedagogika
Univerzita“, 2016 - 30. roky.
Možnosť kontrolná práca vyberte podľa poslednej číslice
kniha záznamov.
2.
Skúška

Neurčitý integrál, jeho vlastnosti a výpočet Priraďovací a neurčitý integrál

Definícia. Zavolá sa funkcia F x
priraďovacia funkcia f x definovaná na
nejaký interval, ak F x f x pre
každé x z tohto intervalu.
Napríklad funkcia cos x je
priraďovacia funkcia sin x , keďže
cos x hriech x .

Je zrejmé, že ak F x je primitívny derivát
funkcie f x , potom F x C , kde C je nejaká konštanta, je tiež
priraďovacia funkcia f x .
Ak F x je nejaký primitívny prvok
funkcia f x , potom ľubovoľná funkcia formulára
F x F x C je tiež
priraďovacia funkcia f x a ľubovoľná
primitívne môžu byť zastúpené v tejto forme.

Definícia. Totalita všetkých
primitívne deriváty funkcie f x ,
definované na niektorých
medzi tým je tzv
neurčitý integrál z
funkcie f x na tomto intervale a
označujeme f x dx .

Ak F x je nejaká primitívna derivácia funkcie
f x , potom píšu f x dx F x C , hoci
správnejšie by bolo písať f x dx F x C .
My, podľa zavedenej tradície, budeme písať
f x dx F x C .
Teda ten istý symbol
f x dx bude označovať ako celok
množina primitív funkcie f x ,
a akýkoľvek prvok tejto sady.

Integrálne vlastnosti

Deriváciou neurčitého integrálu je
integrand a jeho diferenciál k integrandu. naozaj:
1.(f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx.

Integrálne vlastnosti

3. Neurčitý integrál z
diferenciál nepretržite (x)
diferencovateľná funkcia je rovná sama sebe
táto funkcia až do konštanty:
d (x) (x) dx (x) C,
keďže (x) je primitívnym derivátom (x).

Integrálne vlastnosti

4. Ak funkcie f1 x a f 2 x majú
primitív, potom funkcia f1 x f 2 x
má tiež primitívny derivát a
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
1
X
2. x a dx
C, (a 1).
1
dx
3. ln x C .
X
X
a
4.a x dx
C.
V a
5. e x dx e x C .
6. hriech xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8,2 ctgx C.
hriech x
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x

Tabuľka neurčitých integrálov

11.
dx
arcsin x C .
1x2
dx
1
X
12. 2 2 arctan C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2x2
X
arcsin C..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 a
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C.
2
sh x

Vlastnosti diferenciálov

Pri integrácii je pohodlné použitie
vlastnosti: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Príklady

Príklad. Vypočítajte cos 5xdx .
Riešenie. V tabuľke integrálov nájdeme
cos xdx sin x C .
Poďme sa transformovať daný integrál k stolu
využívajúc skutočnosť, že d ax adx .
potom:
d5 x 1
= čos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= hriech 5 x C .
5

Príklady

Príklad. Vypočítajte x
3x x 1 dx .
Riešenie. Keďže pod znakom integrálu
je teda súčet štyroch členov
rozšíriť integrál ako súčet štyroch
integrály:
2
3
2
3
2
3
X
3
X
X
1
dx
X
dx
3
X
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Nezávislosť typu premennej

Pri výpočte integrálov je to pohodlné
použite nasledujúce vlastnosti
integrály:
Ak f x dx F x C , potom
f x b dx F x b C .
Ak f x dx F x C , potom
1
f ax b dx F ax b C .
a

Príklad

Vypočítať
1
6
2
3
X
dx
2
3
X
C
.
3 6
5

Integračné metódy Integrácia podľa častí

Táto metóda je založená na vzorci udv uv vdu .
Metódou integrácie po častiach sa berú tieto integrály:
a) x n sin xdx, kde n 1,2...k;
b) x n e x dx, kde n1,2...k;
c) x n arctgxdx , kde n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , kde n 0, 1, 2,... k .
Pri výpočte integrálov a) a b) zadajte
n 1
zápis: x n u , potom du nx dx , a napr
sin xdx dv , potom v cos x .
Pri výpočte integrálov c), d) označme pre u funkciu
arctgx, ln x a pre dv berú x n dx.

Príklady

Príklad. Vypočítajte x cos xdx .
Riešenie.
u x, du dx
=
x čos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Príklady

Príklad. Vypočítajte
x ln xdx
dx
u ln x, du
X
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Variabilná metóda výmeny

Nech je potrebné nájsť f x dx , a
priamo vyzdvihnúť primitíva
pre f x nemôžeme, ale vieme to
ona existuje. Často nájdené
antideriváty zavedením novej premennej,
podľa vzorca
f x dx f t t dt , kde x t a t je nové
premenlivý

Integrácia funkcií obsahujúcich štvorcovú trojčlenku

Zvážte integrál
axb
dx,
x px q
obsahujúce štvorcový trojčlen v
menovateľ integrandu
výrazov. Berie sa aj takýto integrál
metóda zmeny premenných,
predtým identifikovaný v
menovateľ plné námestie.
2

Príklad

Vypočítajte
dx
.
x4x5
Riešenie. Poďme transformovať x 2 4 x 5 ,
2
výber celého štvorca podľa vzorca a b 2 a 2 2ab b 2 .
Potom dostaneme:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Príklad

Nájsť
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Určitý integrál, jeho hlavné vlastnosti. Newtonov-Leibnizov vzorec. Aplikácie určitého integrálu.

Pojem určitého integrálu vedie k
problém nájsť oblasť krivočiary
lichobežník.
Nech je uvedený nejaký interval
spojitá funkcia y f (x) 0
Úloha:
Nakreslite jeho graf a nájdite F oblasť obrázku,
ohraničené touto krivkou, dve priamky x = a a x
= b, a zospodu - segment osi x medzi bodmi
x = a a x = b.

Údaj aABb sa nazýva
krivočiary lichobežník

Definícia

b
f(x)dx
Pod určitým integrálom
a
od danej spojitej funkcie f(x) na
tento segment je pochopený
zodpovedajúci prírastok
primitívne, tzn
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Čísla a a b sú hranice integrácie,
je interval integrácie.

pravidlo:

Určitý integrál sa rovná rozdielu
hodnoty primitívneho integrandu
funkcie pre hornú a dolnú hranicu
integrácia.
Predstavenie zápisu rozdielu
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x) dx F (b) F (a)
a
Newtonov-Leibnizov vzorec.

Základné vlastnosti určitého integrálu.

1) Hodnota určitého integrálu nezávisí od
zápis integračnej premennej, t.j.
b
b
a
a
f (x) dx f (t) dt
kde x a t sú ľubovoľné písmená.
2) Určitý integrál s tým istým
vonku
integrácia je nulová
a
f (x) dx F (a) F (a) 0
a

3) Pri prestavovaní hraníc integrácie
určitý integrál obráti svoje znamienko
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(aditívna vlastnosť)
4) Ak je interval rozdelený na konečné číslo
čiastkové intervaly, potom určitý integrál,
brané pozdĺž intervalu sa rovná súčtu istý
integrály prebraté všetky jeho čiastkové intervaly.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx

5) Konštantný multiplikátor možno vybrať
pre znamienko určitého integrálu.
6) Určitý integrál algebraiky
súčty konečného počtu spojitých
funkcie sa rovná rovnakej algebraike
súčet určité integrály z týchto
funkcie.

3. Zmena premennej v určitom integráli.

3. Nahradenie premennej v určitom
integrálne.
b
f (x) dx f (t) (t) dt
a
a(), b(), (t)
kde
pevnosť[; ] , funkcie (t) a (t) sú nepretržite zapnuté;
5
Príklad:
1
=
x 1dx
=
x 15
t04
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Nesprávne integrály.

Nesprávne integrály.
Definícia. Nech je funkcia f(x) definovaná na
nekonečný interval , kde b< + . Если
existuje
b
lim
f(x)dx,
b
a
potom sa táto hranica nazýva nesprávna
integrál funkcie f(x) na intervale
}