Obvod lichobežníka, ak je oblasť známa. Ako nájsť obvod pravouhlého lichobežníka

Lichobežník je štvoruholník s dvoma paralelné základne a neparalelné strany. Obdĺžnikový lichobežník má s jednou stranou pravý uhol.

Inštrukcia

1. Obvod pravouhlý trapéz sa rovná súčtu dĺžky strán 2 podstavcov a 2 strán. Úloha 1. Nájdite obvod obdĺžnika trapéz, ak sú známe dĺžky všetkých jeho strán. Ak to chcete urobiť, pridajte všetky štyri hodnoty: P (obvod) = a + b + c + d. Toto je najprimitívnejšia verzia hľadania obvodu, úlohy s inými počiatočnými údajmi v konečnom výstupe sú redukované na to. Pozrime sa na možnosti.

2. Úloha 2. Nájdite obvod obdĺžnika trapéz, ak je známa spodná základňa AD = a, bočná strana, ktorá nie je na ňu kolmá, je CD = d a uhol pri tejto bočnej strane ADC je alfa. Riešenie. Nakreslite výšku trapéz od vrcholu C k väčšej základni dostaneme úsečku CE, lichobežník je rozdelený na dva obrazce - obdĺžnik ABCE a pravouhlý trojuholník ECD. Prepona trojuholníka je bočná strana, ktorú poznáme trapéz CD, jedna z nôh sa rovná kolmej strane trapéz(podľa pravidla obdĺžnika sú dve rovnobežné strany rovnaké - AB \u003d CE) a druhá je segment, ktorého dĺžka sa rovná rozdielu základní trapéz ED = AD-BC.

3. Nájdite nohy trojuholníka: pomocou vzorcov CE = CD*sin(ADC) a ED = CD*cos(ADC). Teraz vypočítajte hornú základňu - BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d*cos (Alpha). Zistite dĺžku kolmej strany - AB \u003d CE \u003d d * sin (Alpha). Ukazuje sa, že máte dĺžky všetkých strán obdĺžnika trapéz .

4. Pridajte výsledné hodnoty, bude to obvod obdĺžnika trapéz😛 = AB + BC + CD + AD = d*sin(Alfa) + (a - d*cos(Alfa)) + d + a = 2*a + d*(sin(Alfa) - cos(Alfa) + 1 ).

5. Úloha 3. Nájdite obvod obdĺžnika trapéz, ak poznáme dĺžky jeho základní AD = a, BC = c, dĺžku kolmej bočnej strany AB = b a ostrý roh s inou stranou ADC = Alfa Riešenie. Nakreslite kolmicu CE, získajte obdĺžnik ABCE a trojuholník CED Teraz nájdite dĺžku prepony trojuholníka CD = AB / sin (ADC) = b / sin (Alfa). Ukazuje sa, že máte dĺžky všetkých strán.

6. Výsledné hodnoty spočítajte: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Alpha) + a = a + b*(1+1/sin(Alpha) + c.

Každý z nás sa naučil o tom, čo je to obvod v základných ročníkoch. hľadanie strán štvorca so známym obvodom problémov sa zvyčajne neobjaví ani tým, ktorí školu dávno ukončili a stihli zabudnúť na kurz matematiky. Nie každý však dokáže vyriešiť podobný problém s ohľadom na obdĺžnik alebo pravouhlý trojuholník bez náznaku.

Inštrukcia

1. Ako vyriešiť úlohu v geometrii, v ktorej je daný iba obvod a uhly? Samozrejme, ak hovoríme o ostrom trojuholníku alebo mnohouholníku, potom je nereálne vyriešiť takýto problém bez znalosti dĺžky jednej zo strán. Ak však hovoríme o pravouhlom trojuholníku alebo obdĺžniku, potom pozdĺž daného obvodu je možné zistiť jeho strany. Obdĺžnik má dĺžka a šírka. Ak nakreslíme uhlopriečku obdĺžnika, zistíme, že rozdeľuje obdĺžnik na dva správny trojuholník. Uhlopriečka je prepona a dĺžka a šírka sú nohy týchto trojuholníkov. Pre štvorec, ktorý je špeciálnym prípadom obdĺžnika, je uhlopriečka preponou pravouhlého rovnoramenného trojuholníka.

2. Predstavte si, že existuje pravouhlý trojuholník so stranami a, b a c, v ktorých jeden z uhlov je 30 a druhý je 60. Obrázok ukazuje, že a = c*sin? a b = c*cos?. Keď vieme, že obvod akéhokoľvek útvaru vrátane trojuholníka sa rovná súčtu všetkých jeho strán, dostaneme: a + b + c = c * sin ? + c * cos + c = p pre trojuholník. Pretože roh? = 30, po reformovaní dostaneme: p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

3. Ako už bolo spomenuté vyššie, uhlopriečka obdĺžnika ho rozdeľuje na dva pravouhlé trojuholníky s uhlami 30 a 60 stupňov. Pretože obvod obdĺžnika je p=2(a + b), šírka a dĺžka b obdĺžniky možno zistiť na základe skutočnosti, že uhlopriečka je prepona pravouhlých trojuholníkov: a = p-2b/2=p/2b= p-2a/2=p/2Tieto dve rovnice sú vyjadrené ako obvod obdĺžnik. Z nich sa vypočíta dĺžka a šírka tohto obdĺžnika, pričom sa zohľadnia výsledné uhly pri kreslení jeho uhlopriečky.

Podobné videá

Poznámka!
Ako zistiť dĺžku obdĺžnika, ak je známy obvod a šírka? Odčítajte dvojnásobok šírky od obvodu, aby ste získali dvojnásobok dĺžky. Potom ho rozdelíme na polovicu, aby sme zistili dĺžku.

Užitočné rady
Aj z pôvodnej školy si mnohí pamätajú, ako nájsť obvod akéhokoľvek geometrického útvaru: stačí zistiť dĺžku všetkých jeho strán a nájsť ich súčet. Je známe, že na takom obrázku, ako je obdĺžnik, sú dĺžky strán v pároch rovnaké. Ak je šírka a výška obdĺžnika rovnaká, potom sa nazýva štvorec. Zvyčajne sa dĺžka obdĺžnika nazýva najväčšia zo strán a šírka je najmenšia.

Obvod(P) - súčet dĺžok všetkých strán obrázku a štvoruholník ich má štyri. To znamená, že na nájdenie obvodu štvoruholníka je potrebné jednoducho sčítať dĺžky všetkých jeho strán. Ale poznáme také obrazce ako obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec, teda kladné štvoruholníky. Ich obvody sa určujú špeciálnymi metódami.

Inštrukcia

1. Ak je tento obrázok obdĺžnikom (alebo rovnobežníkom) ABCD, potom má nasledujúce vlastnosti: rovnobežné strany sú v pároch rovnaké (pozri obrázok). AB = SD a AC = VD. Keď poznáme takýto pomer strán na tomto obrázku, je možné odvodiť obvod obdĺžnik(a rovnobežník): P \u003d AB + SD + AC + VD. Nech sa niektoré strany rovnajú číslu a, druhé číslu b, potom P \u003d a + a + b + b \u003d 2 * a \u003d 2 * b \u003d 2 * (a + c). Príklad 1. V obdĺžniku ABCD sú strany AB = CD = 7 cm a AC = VD = 3 cm Nájdite obvod takéhoto obdĺžnika. Riešenie: P \u003d 2 * (a + c). P \u003d 2 * (7 +3) \u003d 20 cm.

2. Pri riešení úloh pre súčet dĺžok strán s obrazcom nazývaným štvorec alebo kosoštvorec by ste mali použiť mierne upravený obvodový vzorec. Štvorec a kosoštvorec sú postavy, ktoré majú identické štyri strany. Na základe definície obvodu, P \u003d AB + SD + AC + VD a umožňujúce označenie dĺžky písmenom a, potom P \u003d a + a + a + a \u003d 4 * a. Príklad 2. Kosoštvorec má dĺžku strany 2 cm Nájdite jeho obvod. Riešenie: 4*2 cm = 8 cm.

3. Ak je daný štvoruholník lichobežník, potom je v tomto prípade jednoduché sčítať dĺžky jeho štyroch strán. P \u003d AB + SD + AC + VD. Príklad 3. Nájdite obvod lichobežníka ABCD, ak sú jeho strany rovnaké: AB = 1 cm, SD = 3 cm, AC = 4 cm, ID = 2 cm Riešenie: P = AB + CD + AC + ID = 1 cm + 3 cm + 4 cm + 2 cm \u003d 10 cm. Môže sa stať, že lichobežník je rovnostranný (má dve strany rovnaké), potom je možné jeho obvod zmenšiť na vzorec: P \u003d AB + SD + AC + VD \u003d a + b + a + c \u003d 2 * a + c + c. Príklad 4. Nájdite obvod rovnoramenného lichobežníka, ak jeho bočné steny sú 4 cm a základne sú 2 cm a 6 cm. Riešenie: P \u003d 2 * a + b + c \u003d 2 * 4 cm + 2 cm + 6 cm \u003d 16 cm.

Podobné videá

Užitočné rady
Nikto sa neobťažuje nájsť obvod štvoruholníka (a akéhokoľvek iného útvaru) ako súčet dĺžok strán bez použitia odvodených vzorcov. Sú uvedené pre pohodlie a jednoduchosť výpočtu. Spôsob riešenia nie je chybou, podstatný je správny výsledok a schopnosť používať matematickú terminológiu.

Tip 4: Ako nájsť základy pravouhlého lichobežníka

Matematický útvar so štyrmi rohmi sa nazýva lichobežník, ak pár jeho protiľahlých strán je rovnobežný a druhý pár nie. Paralelné strany sú tzv dôvodov trapéz, ďalšie dve sú bočné. V obdĺžnikovom trapéz jeden z rohov na bočnej strane je rovný.

Inštrukcia

1. Úloha 1. Nájdite základy BC a AD obdĺžnika trapéz, ak poznáme dĺžku uhlopriečky AC = f; dĺžka bočnej strany CD = c a uhol s ňou ADC = ?. Riešenie: Pozrite sa na pravouhlý trojuholník CED. Prepona c a uhol medzi preponou a EDC nohy sú známe. Nájdite dĺžky strán CE a ED: pomocou vzorca uhla CE = CD*sin(ADC); ED=CD*cos(ADC). Ukazuje sa: CE = c*sin?; ED=c*cos?.

2. Zvážte pravouhlý trojuholník ACE. Poznáte preponu AC a nohu CE, nájdite stranu AE ​​podľa pravidla pravouhlého trojuholníka: súčet štvorcov nôh sa rovná štvorcu prepony. Ukazuje sa: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sin?. Vypočítajte Odmocnina z pravej strany rovnosti. Našli ste hornú základňu obdĺžnika trapéz .

3. Dĺžka základne AD je súčtom dĺžok 2 segmentov AE a ED. AE = druhá odmocnina (f(2) - c*sin?); ED = c*cos?). Ukázalo sa, že AD = druhá odmocnina(f(2) - c*sin?) + c*cos?. Našli ste spodnú základňu obdĺžnika trapéz .

4. Úloha 2. Nájdite základy BC a AD obdĺžnika trapéz, ak poznáme dĺžku uhlopriečky BD = f; dĺžka bočnej strany CD = c a uhol s ňou ADC = ?. Riešenie: Pozrite sa na pravouhlý trojuholník CED. Nájdite dĺžky strán CE a ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sin?; ED = CD*cos(ADC) = c*cos?.

5. Zoberme si obdĺžnik ABCE. Podľa vlastnosti obdĺžnika AB = CE = c*sin?.Pozrite sa na pravouhlý trojuholník ABD. Podľa vlastnosti pravouhlého trojuholníka sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh. Preto AD(2) = BD(2) - AB(2) = f(2) - c*sin?. Našli ste spodnú základňu obdĺžnika trapéz AD = druhá odmocnina (f(2) - c*sin?).

6. Podľa pravidla obdĺžnika BC = AE = AD - ED = druhá odmocnina (f(2) - c*sin?) - c*cos?. Našli ste hornú základňu obdĺžnika trapéz .

Lichobežník je štvoruholník s dvoma rovnobežnými a dvoma nerovnobežnými stranami. Aby ste mohli vypočítať jeho obvod, musíte poznať rozmery všetkých strán lichobežníka. V tomto prípade môžu byť údaje v úlohách odlišné.

Budete potrebovať

  • - kalkulačka;
  • - tabuľky sínusov, kosínusov a dotyčníc;
  • - papier;
  • - doplnky na kreslenie.

Inštrukcia

1. Najprimitívnejšia verzia problému je, keď sú dané všetky strany lichobežníka. V tomto prípade by sa mali ľahko zložiť. Je povolené použiť nasledujúci vzorec: p=a+b+c+d, kde p je obvod a písmená a, b, c a d označujú strany oproti rohom označeným zodpovedajúcimi veľkými písmenami.

2. Je tu rovnoramenný lichobežník, stačí zložiť jeho dve základne a pridať k nim dvojnásobnú veľkosť strany. To znamená, že obvod sa v tomto prípade vypočíta podľa vzorca: p \u003d a + c + 2b, kde b je strana lichobežníka a c sú základne.

3. Výpočty budú o niečo dlhšie, ak je potrebné vypočítať jednu zo strán. Povedzme, že poznáme dlhú základňu, priľahlé uhly a výšku. Musíte vypočítať krátku základňu a stranu. Za týmto účelom nakreslite lichobežník ABCD, nakreslite výšku BE z horného rohu B. Dostanete trojuholník ABE. Máte daný uhol A, poznáte jeho sínus. Údaj problému obsahuje aj výšku BE, čo je zároveň rameno pravouhlého trojuholníka oproti uhlu, ktorý poznáte. Aby sme našli preponu AB, ktorá je zároveň stranou lichobežníka, stačí vydeliť BE sinA. Správne nájdite aj dĺžku 2. strany. Aby ste to dosiahli, musíte nakresliť výšku z iného horného rohu, to znamená CF. Teraz poznáte väčšiu základňu a strany. Na výpočet obvodu to nie je veľa, potrebujete aj veľkosť menšej základne. Preto v 2 trojuholníkoch vytvorených vo vnútri lichobežníka je potrebné nájsť veľkosti segmentov AE a DF. Dá sa to urobiť, povedzme, pomocou kosínusov vám známych uhlov A a D. Kosínus je pomer priľahlej vetvy k prepone. Aby ste našli nohu, je potrebné vynásobiť preponu kosínusom. Potom vypočítajte obvod pomocou rovnakého vzorca ako v prvom kroku, teda sčítaním všetkých strán.

4. Ďalšia možnosť: vzhľadom na dve základne, výšku a jednu zo strán, musíte nájsť druhú stranu. Je tiež lepšie to urobiť s goniometrické funkcie. Ak to chcete urobiť, nakreslite lichobežník. Je to možné, poznáte základy AD a BC, aj stranu AB a výšku BF. Z týchto údajov môžete nájsť uhol A (cez sínus, to znamená pomer výšky k slávnej strane), segment AF (cez kosínus alebo tangentu, z toho, že uhol je vám viac známy. aj vlastnosti uhlov lichobežníka - súčet uhlov susediacich s jednou stranou je 180°. Nakreslite výšku CF. Máte ďalší pravouhlý trojuholník, v ktorom musíte nájsť preponu CD a nohu DF. Začnite s Od dĺžky spodnej základne odčítajte dĺžku zvršku a od výsledného súčtu dĺžku segmentu, ktorý je vám bližšie známy AF Teraz v pravouhlom trojuholníku CFD poznáte dve nohy, ktoré je, môžete nájsť tangens uhla D a z neho samotný uhol. Neskôr zostáva vypočítať bočné CD cez sínus rovnakého uhla, ako je popísané vyššie.

Podobné videá

Nech už musíme riešiť akékoľvek problémy, fantázia zostavovateľov učebníc z matematiky je skutočne nevyčerpateľná. Napríklad, ako nájsť obvod lichobežníka? Po prvé, poďme zistiť, čo je lichobežník. Nebojte sa tejto postavy. Toto je len obdĺžnik, v ktorom sú dve strany vždy navzájom rovnobežné a nazývajú sa základne a zvyšok sa nazývajú strany a môžu sa líšiť. Ak sú strany lichobežníka rovnaké, potom sa nazýva rovnoramenný. Existuje aj koncept pravouhlého lichobežníka, v ktorom je jedna zo strán pripojená k základni lichobežníka v pravom uhle.

Ako nájsť obvod lichobežníka

Čo je to obvod? Obvod je súčet dĺžok všetkých strán obdĺžnika, s ktorým priamo súvisí aj lichobežník. Všetky ostatné problémy, kde sú niektoré veličiny neznáme, sú tiež zredukované na súčet strán po nájdení všetkých neznámych.

Čo ak sú všetky strany rovnaké? Ak dostanete na vyriešenie úlohu, kde sú uvedené všetky strany lichobežníka a b c d, tak ich stačí sčítať, výsledkom bude obvod. Obvod pravouhlého lichobežníka. Predpokladajme, že máme obdĺžnikový lichobežník, kde poznáme spodnú základňu AD=a, nekolmú stranu CD=d a uhol Alfa.

Ako sa rozhodnúť? Z vrcholu C nakreslíme výšku, ktorá nám hneď rozdelí lichobežník na obdĺžnik ABCE a trojuholník ECD. Tento trojuholník máme vpravo, poznáme jeho preponu CD, ktorá sa rovná d. Teraz nájdeme nohy trojuholníka pomocou vzorca CE = CD*sin(ADC) a ED = CD*cos(ADC). Teraz už vieme takmer všetko. BC \u003d AD-ED a strana AB sa rovná predtým nájdenej nohe CE. Teraz zostáva len sčítať všetky nájdené strany a odpoveď je pripravená.

Obvod rovnoramenného lichobežníka

  1. Bočné strany a stredová čiara sú známe. Ako nájsť obvod rovnoramenného lichobežníka, ak poznáte iba strany rovnaké strany AB a CD a stredná čiara EF? Je známe, že stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a tiež sa rovná polovici súčtu týchto základov. A aby sme našli dĺžku základov, potrebujeme iba zdvojnásobiť dĺžku stredná čiara. Na základe týchto údajov je riešenie: Р=2EF+2AB
  2. Základy a výšky sú známe. V probléme možno poznať iba dĺžky základov a výšku lichobežníka. Výška tvorí pravouhlý trojuholník a sú dva rovnaké. Spodná časť nohy je veľmi jednoduchá: (AD-BC) / 2. Teraz poznáme obe nohy, zostáva len nájsť preponu pomocou Pytagorovej vety. Naša prepona sa rovná odmocnine súčtu štvorcov nôh.
  3. Našli sme teda stranu lichobežníka, máme ich dve a sú si rovné, základy poznáme od samého začiatku, takže teraz už len musíme všetko zrátať a dostaneme požadovaný obvod. Nájdenie obvodu lichobežníka je teda celkom jednoduché. Hlavné a prvoradé v tejto veci je poznať jeho vlastnosti a potom už nikdy nebudete mať problémy s riešením problémov na lichobežníkoch. Preto pred výpočtami nezaškodí trocha teórie.

Inštrukcia

Ak sú známe dĺžky oboch základní (a a b) a dĺžka bočnej strany (c), potom sa obvod (P) tohto geometrického útvaru vypočíta veľmi jednoducho. Keďže lichobežník je rovnoramenný, jeho strany majú rovnakú dĺžku a že poznáte dĺžky všetkých strán - stačí ich pridať: P = a + b + 2 * c.

Ak sú dĺžky oboch základní neznáme, ale je uvedená dĺžka úsečky (l) a strany (c), potom tieto údaje postačujú na výpočet obvodu (P). Stredová čiara je rovnobežná s oboma základňami a má rovnakú dĺžku ako ich polovičný súčet. Zdvojnásobte to a pridajte k tomu aj dvojnásobok dĺžky strany - to bude obvod rovnoramenného lichobežníka: P = 2*l+2*c.

Ak sú z podmienok úlohy známe dĺžky oboch základní (a a b) a výška (h) rovnoramenného lichobežníka, potom z týchto údajov je možné obnoviť dĺžku chýbajúcej strany. Dá sa to urobiť tak, že vezmeme do úvahy trojuholník, v ktorom bude neznáma strana prepona a nohy budú mať výšku a krátky segment, ktorý oddeľuje od dlhej základne lichobežníka. Dĺžku tohto segmentu možno vypočítať vydelením rozdielu medzi dĺžkami väčšej a menšej základne na polovicu: (a-b) / 2. Dĺžka prepony (laterálna strana lichobežníka) sa podľa Pytagorovej vety bude rovnať druhej odmocnine súčtu oboch známych ramien zdvihnutých na dĺžky. Nahraďte dĺžku strany vo vzorci z prvého kroku výsledným výrazom a získate nasledujúci obvodový vzorec: P \u003d a + b + 2 * √ (h² + (a-b)² / 4).

Ak sú v úlohách uvedené dĺžky menšej základne (b) a strany (c), ako aj výška rovnoramenného lichobežníka (h), potom s ohľadom na rovnaký pomocný trojuholník ako v predchádzajúcom kroku budete musieť vypočítajte dĺžku nohy. Opäť použite Pytagorovu vetu - požadovaná hodnota sa bude rovnať odmocnine rozdielu medzi druhou mocninou dĺžky strany (hypotenúza) a výškou (): √ (c²-h²). Z tejto neznámej základne lichobežníka môžete obnoviť jeho dĺžku - zdvojnásobte tento výraz a pridajte dĺžku krátkej základne k výsledku: b + 2 * √ (c²-h²). Dosaďte tento výraz do vzorca z prvého kroku a nájdite obvod rovnoramenného lichobežníka: P = b+2*√(c²-h²)+b+2*c = 2*(√(c²-h²)+b+ c).

Zdroje:

  • trapézový obvod

Tip 2: Ako nájsť strany rovnoramenného lichobežníka

Lichobežník je štvoruholník s dvoma rovnobežnými stranami. Tieto strany sa nazývajú základne. Ich koncové body sú spojené segmentmi nazývanými laterálne strany. Rovnoramenný lichobežník má rovnaké strany.

Budete potrebovať

  • - rovnoramenný lichobežník;
  • - dĺžka základov lichobežníka;
  • - výška lichobežníka;
  • - papier;
  • - ceruzka;
  • - pravítko.

Inštrukcia

Zostavte podľa podmienok problému. Mali by ste dostať niekoľko parametrov. Ako , je to oboje a výška. Ale sú možné aj iné podmienky - jedna zo základov, jej sklon bočnej strany k nej a výška. Označte lichobežník ako ABCD, základňami nech sú a a b, výšku označte h a strany x. Keďže lichobežník je rovnoramenný, jeho strany sú rovnaké.

Z vrcholov B a C nakreslite výšky k spodnej základni. Označte body ako M a N. Získate dva pravouhlé trojuholníky - AMB a CND. Sú si rovní, pretože podľa podmienok problému sú ich prepony AB a CD, ako aj nohy BM a CN, rovnaké. V súlade s tým sú segmenty AM a DN tiež rovnaké. Označte ich dĺžku ako y.

Aby sme našli dĺžku súčtu týchto segmentov, je potrebné odpočítať dĺžku základne b od dĺžky základne a. 2y=a-b. Podľa toho bude jeden takýto segment tvorený bázami delenými 2. y=(a-b)/2.

Nájdite dĺžku strany lichobežníka, ktorá je zároveň preponou trojuholníka s nohami, ktoré poznáte. Vypočítajte to pomocou Pytagorovej vety. Bude to druhá odmocnina súčtu druhých mocnín výšky a rozdielu základov, delená 2. To znamená, že x=√y2+h2=√(a-b)2/4+h2.

Keď poznáte výšku a uhol sklonu strany k základni, urobte rovnaké konštrukcie. Rozdiel základov v tomto prípade nie je potrebné počítať. Použite sínusovú vetu. Prepona sa rovná dĺžke nohy vynásobenej sínusom opačného uhla. V tomto prípade x=h*sinCDN alebo x=h*sinBAM.

Ak ste dostali uhol sklonu strany lichobežníka nie k spodnej, ale k hornej základni, nájdite požadovaný uhol na základe rovnobežných čiar. Pripomeňme si jednu z vlastností lichobežníka, podľa ktorej sú uhly medzi jednou zo základní a stranami rovnaké.

Poznámka

Preskúmajte vlastnosti rovnoramenného lichobežníka. Ak obe jeho základne rozdelíme na polovicu a cez tieto body nakreslíme priamku, bude to os tohto geometrického útvaru.

Ak znížite výšku z jedného vrcholu hornej základne na spodnú, získajú sa na nej dva segmenty. V tomto prípade ide napríklad o segmenty AM a DM. Jedna z nich sa rovná polovici súčtu základov a a b a druhá polovica ich rozdielu.

Zdroje:

  • v základni rovnoramenného lichobežníka nájdite strany

Rada 3: Ako nájsť stredovú čiaru rovnoramenného lichobežníka

Lichobežník sa považuje za štvoruholník s iba dvoma rovnobežnými stranami - nazývajú sa základne tohto obrázku. Ak sú súčasne dĺžky ostatných dvoch - bočných - strán rovnaké, lichobežník sa nazýva rovnoramenný alebo rovnoramenný. Čiara, ktorá spája stredy strán, sa nazýva stredná čiara lichobežníka a dá sa vypočítať niekoľkými spôsobmi.

Inštrukcia

Ak sú známe dĺžky oboch základní (A a B), na výpočet dĺžky (L) použite vlastnosť tohto prvku lichobežníka - rovná sa polovici súčtu dĺžok základní: L \u003d ½ * (A + B). Napríklad pri dĺžkach 10 cm a 20 cm by sa stredná čiara mala rovnať ½ * (10 + 20) = 15 cm.

Stredná čiara (L) spolu s výškou (h) rovnoramenného lichobežníka je faktorom vo vzorci na výpočet plochy (S) tohto obrázku. Ak sú tieto dva parametre uvedené v pôvodných úlohách, na výpočet dĺžky stredovej čiary vydeľte oblasť výškou: L = S/h. Napríklad pri ploche 75 cm² by mal mať rovnoramenný lichobežník vysoký 15 cm priemernú dĺžku 75/15 \u003d 5 cm.

So známym obvodom (P) a dĺžkou bočnej strany (C) rovnoramenného lichobežníka tiež nie je ťažké vypočítať stredovú čiaru (L) obrázku. Odpočítajte dve dĺžky strán od obvodu a zostávajúca hodnota bude súčtom dĺžok základní - rozdeľte ju na polovicu a problém sa vyrieši: L \u003d (P-2 * C) / 2. Napríklad pri obvode 150 cm a dĺžke strany 25 cm by mala byť dĺžka stredovej čiary (150-2 * 25) / 2 = 50 cm.

Keď poznáte dĺžky obvodu (P) a výšky (h), ako aj hodnotu jedného z ostrých uhlov (α) rovnoramenného lichobežníka, môžete tiež vypočítať dĺžku jeho stredovej čiary (L). V trojuholníku zloženom z výšky, strany a časti základne je jeden z uhlov pravý a hodnota druhého je známa. To vám umožní vypočítať dĺžku strany pomocou sínusovej vety - vydeľte výšku sínusom známeho uhla: h/sin(α). Potom dosaďte tento výraz do vzorca z predchádzajúceho kroku a dostanete rovnosť: L = (P-2*h/sin(α))/2 = P/2-h/sin(α). Napríklad, ak je známy uhol 30°, výška je 10 cm a obvod je 150 cm, dĺžka stredovej čiary by sa mala vypočítať takto: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55 cm .

Tip 4: Ako zistiť obvod rovnoramenného trojuholníka

Obvod je súčet všetkých strán mnohouholníka. V pravidelných mnohouholníkoch presne definovaný vzťah medzi stranami uľahčuje nájdenie obvodu.

Inštrukcia

V ľubovoľnom obrázku ohraničenom rôznymi segmentmi prerušovanej čiary je obvod určený postupnými meraniami strán a súčtom výsledkov meraní. Pre pravidelné mnohouholníky je možné vypočítať pomocou vzorcov, ktoré zohľadňujú spojenia medzi stranami obrázku.

V ľubovoľnom trojuholníku so stranami a, b, c sa obvod P vypočíta podľa vzorca: P \u003d a + b + c. Rovnoramenný trojuholník má dve rovnaké strany: a=b a zistenie obvodu je zjednodušené na P=2*a+c.

Ak v rovnoramennom trojuholníku nie sú rozmery všetkých strán dané podmienkou, potom na nájdenie obvodu možno použiť iné známe parametre, napríklad oblasť trojuholníka, jeho uhly, výšky, osi a stredy. Napríklad, ak sú známe iba dve rovnaké strany rovnoramenného trojuholníka a ktorýkoľvek z jeho uhlov, potom nájdite tretiu stranu pomocou sínusovej vety, z ktorej vyplýva, že pomer strany trojuholníka k sínusu opačného uhla je konštantná hodnota pre tento trojuholník. Potom možno neznámu stranu vyjadriť pomocou známej strany: a=b*SinA/SinB, kde A je uhol voči neznámej strane a, B je uhol voči známej strane b.

Ak je známa plocha S rovnoramenného trojuholníka a jeho základňa b, potom zo vzorca na určenie plochy trojuholníka S \u003d b * h / 2 nájdite výšku h: h \u003d 2 * S / b. Táto výška, znížená na základňu b, rozdeľuje daný rovnoramenný trojuholník na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky. Bočné strany a pôvodnej rovnoramennej prepony pravouhlých trojuholníkov. Podľa Pytagorovej vety sa druhá mocnina prepony rovná súčtu štvorcov ramien b a h. Potom sa obvod P rovnoramenného trojuholníka vypočíta podľa vzorca:
P=b+2*√(b²/4) +4*S²/b²).

Lichobežník je štvoruholník, ktorého základne ležia na dvoch rovnobežných čiarach, zatiaľ čo ostatné dve strany nie sú rovnobežné. Nájdenie základne rovnoramenného lichobežníka je potrebné pri absolvovaní teórie aj pri riešení problémov vzdelávacie inštitúcie, a vo viacerých profesiách (inžinierstvo, architektúra, dizajn).

Inštrukcia

Rovnoramenný (alebo rovnoramenný) lichobežník má nerovnobežné strany, ako aj uhly, ktoré zvierajú pri prechode spodnou základňou, sú rovnaké.

Lichobežník má dve základne a aby ste ich našli, musíte najprv určiť postavu. Nech je daný rovnoramenný ABCD so základňami AD a BC. V tomto prípade sú známe všetky parametre, okrem základov. Bočná strana AB=CD=a, výška BH=h a plocha rovná S.

Na vyriešenie problému základne lichobežníka bude najjednoduchšie zostaviť systém rovníc, aby sme našli potrebné základne prostredníctvom vzájomne súvisiacich veličín.

Označte segment BC ako x a AD ako y, aby bolo v budúcnosti vhodné ovládať vzorce a porozumieť im. Ak to neurobíte hneď, môžete sa zmiasť.

Zapíšte si, čo bude užitočné pri riešení problému, pomocou známych údajov. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka: S=((AD+BC)*h)/2. Pytagorova veta: a*a = h*h +AH*AH .

Pripomeňme si vlastnosť rovnoramenného lichobežníka: výšky vystupujúce z vrcholu lichobežníka odrežú rovnaké segmenty na veľkej základni. Z toho vyplýva, že dve základne môžu byť spojené podľa vzorca nasledujúceho z tejto vlastnosti: AD=BC+2AH alebo y=x+2AH

Základňa, dostaneme segment CE, lichobežník je rozdelený na dva - obdĺžnik ABCE a pravouhlý trojuholník ECD. Prepona je laterálna strana, ktorú poznáme trapéz CD, jedna z nôh sa rovná kolmej strane trapéz(podľa pravidla obdĺžnika sú dve rovnobežné strany rovnaké - AB = CE) a druhá je segment, ktorého dĺžka základne trapéz ED = AD-BC.

Nájdite nohy trojuholníka: pomocou existujúcich vzorcov CE = CD*sin(ADC) a ED = CD*cos(ADC). Teraz vypočítajte hornú základňu - BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d*cos (Alpha). Zistite dĺžku kolmej strany - AB \u003d CE \u003d d * sin (Alpha). Získali ste teda dĺžky všetkých strán obdĺžnika trapéz.

Pridajte výsledné hodnoty, bude to obvod obdĺžnika trapéz:P = AB + BC + CD + AD = d*sin(Alfa) + (a - d*cos(Alfa)) + d + a = 2*a + d*(sin(Alfa) - cos(Alfa) + jeden).

Úloha 3. Nájdite obvod obdĺžnika trapéz, ak sú známe dĺžky jeho základní AD = a, BC = c, dĺžka kolmej strany AB = b a ostrý uhol s druhou stranou ADC = Alfa Riešenie. Narysuj kolmicu CE, získaj obdĺžnik ABCE a trojuholník CED. Teraz nájdite dĺžku prepony trojuholníka CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Alpha). Takže máte dĺžky všetkých strán.

Výsledné hodnoty spočítajte: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Alpha) + a = a + b*(1+1/sin(Alpha) + c.

Každý z nás sa naučil o tom, čo je to obvod v základných ročníkoch. nájsť strany štvorca so známym obvodom zvyčajne nerobí problémy ani tým, ktorí školu dávno ukončili a stihli zabudnúť na kurz matematiky. Nie každému sa však podarí vyriešiť podobný problém s ohľadom na obdĺžnik alebo pravouhlý trojuholník bez náznaku.

Inštrukcia

Predpokladajme, že existuje pravouhlý trojuholník so stranami a, b a c, v ktorom jeden z uhlov je 30 a druhý je 60. Obrázok ukazuje, že a = c*sin?, a b = c*cos?. Keď vieme, že obvod akéhokoľvek útvaru v trojuholníku sa rovná súčtu všetkých jeho strán, dostaneme: a + b + c = c * sin ? + c * cos + c = p Z tohto výrazu môžete nájdite neznámu stranu c, ktorá je preponou trojuholníka . Aký je teda uhol? = 30, po transformácii dostaneme: p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

Ako už bolo spomenuté vyššie, uhlopriečka obdĺžnika ho rozdeľuje na dva pravouhlé trojuholníky s uhlami 30 a 60 stupňov. Keďže p=2(a + b), šírka a dĺžka b obdĺžnik možno nájsť na základe skutočnosti, že uhlopriečka je prepona pravouhlých trojuholníkov: a = p-2b/2=p/2
b= p-2a/2=p/2Sú to dve obdĺžnikové rovnice. Z nich sa vypočíta dĺžka a šírka tohto obdĺžnika, pričom sa zohľadnia výsledné uhly pri kreslení jeho uhlopriečky.

Podobné videá

Poznámka

Ako zistiť dĺžku obdĺžnika, ak poznáte obvod a šírku? Odčítajte dvojnásobok šírky od obvodu, aby ste získali dvojnásobok dĺžky. Potom ho rozdelíme na polovicu, aby sme zistili dĺžku.

Užitočné rady

Viac od Základná škola veľa ľudí si pamätá, ako nájsť obvod akéhokoľvek geometrického útvaru: stačí zistiť dĺžku všetkých jeho strán a nájsť ich súčet. Je známe, že na takom obrázku, ako je obdĺžnik, sú dĺžky strán v pároch rovnaké. Ak je šírka a výška obdĺžnika rovnaká, potom sa nazýva štvorec. Zvyčajne sa dĺžka obdĺžnika nazýva najväčšia zo strán a šírka je najmenšia.

Zdroje:

  • aká je obvodová šírka v roku 2019

Obvod(P) - súčet dĺžok všetkých strán obrázku a štvoruholník ich má štyri. Ak teda chcete zistiť obvod štvoruholníka, stačí pridať dĺžky všetkých jeho strán. Známe sú však také postavy ako obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec, to znamená pravidelné štvoruholníky. Ich obvody sú určené špeciálnymi spôsobmi.

Inštrukcia

Ak je daný obdĺžnik (alebo rovnobežník) ABCD, potom má tieto vlastnosti: rovnobežné strany sú párovo rovnaké (pozri). AB = SD a AC = VD. Keď poznáme pomer strán na tomto obrázku, môžeme odvodiť obdĺžnik(a rovnobežník): P \u003d AB + SD + AC + VD. Nech sa niektoré strany rovnajú číslu a, druhé číslu b, potom P \u003d a + a + b + b \u003d 2 * a \u003d 2 * b \u003d 2 * (a + c). Príklad 1. V ABCD sa strany rovnajú AB = CD = 7 cm a AC = VD = 3 cm Nájdite obvod takéhoto obdĺžnika. Riešenie: P \u003d 2 * (a + c). P \u003d 2 * (7 +3) \u003d 20 cm.

Pri riešení úloh pre súčet dĺžok strán s obrazcom nazývaným štvorec alebo kosoštvorec by sa mal použiť mierne upravený obvodový vzorec. Štvorec a kosoštvorec sú tvary, ktoré majú rovnaké štyri strany. Na základe definície obvodu, P \u003d AB + SD + AC + VD a za predpokladu dĺžok s písmenom a, potom P \u003d a + a + a + a \u003d 4 * a. Príklad 2. Kosoštvorec so stranou 2 cm, nájdite jeho obvod. Riešenie: 4*2 cm = 8 cm.

Ak je daný štvoruholník lichobežník, tak v tomto prípade stačí pridať dĺžky jeho štyroch strán. P \u003d AB + SD + AC + VD. Príklad 3. Nájdite ABCD, ak sú jeho strany rovnaké: AB = 1 cm, SD = 3 cm, AC = 4 cm, ID = 2 cm Riešenie: P = AB + SD + AC + ID = 1 cm + 3 cm + 4 cm + 2 cm = 10 cm. Môže sa stať, že sa ukáže byť rovnostranný (jeho dve strany sú rovnaké), potom sa jeho obvod môže zmenšiť na vzorec: P \u003d AB + SD + AC + VD \u003d a + b + a + c \u003d 2*a + b + s. Príklad 4. Nájdite obvod rovnoramenného, ​​ak sú jeho bočné steny 4 cm a základne sú 2 cm a 6 cm. Riešenie: P \u003d 2 * a + b + c \u003d 2 * 4 cm + 2 cm + 6 cm \u003d 16 cm.

Podobné videá

Užitočné rady

Nikto sa neobťažuje nájsť obvod štvoruholníka (a akéhokoľvek iného útvaru) ako súčet dĺžok strán bez použitia odvodených vzorcov. Sú uvedené pre pohodlie a jednoduchosť výpočtu. Metóda riešenia nie je chybou, dôležitá je správna odpoveď a znalosť matematickej terminológie.

Zdroje:

  • ako zistiť obvod obdĺžnika

Matematický útvar so štyrmi rohmi sa nazýva lichobežník, ak pár jeho protiľahlých strán je rovnobežný a druhý pár nie. Paralelné strany sú tzv dôvodov trapéz, ďalšie dve sú bočné. V obdĺžnikovom trapéz jeden z rohov na bočnej strane je rovný.

Inštrukcia

Úloha 1. Nájdite základy BC a AD trapéz, ak je známa dĺžka AC = f; dĺžka strany CD = c a jej uhol ADC = α Riešenie: Uvažujme pravouhlý CED. Prepona c a uhol medzi preponou a EDC nohy sú známe. Nájdite dĺžky CE a ED: pomocou vzorca uhla CE = CD*sin(ADC); ED=CD*cos(ADC). Takže: CE = c*sinα; ED = c*cosa.

Zvážte pravouhlý trojuholník ACE. Poznáte preponu AC a CE, nájdite stranu AE ​​podľa pravidla: súčet štvorcov nôh sa rovná štvorcu prepony. Takže: AE(2) = AC(2) - CE(2) = f(2) - c*sinα. Vypočítajte druhú odmocninu pravej strany rovnice. Hornú časť ste našli obdĺžnikovú trapéz.

Dĺžka základne AD je súčtom dĺžok dvoch segmentov AE a ED. AE = druhá odmocnina (f(2) - c*sinα); ED = c*cosα). Takže: AD = druhá odmocnina(f(2) - c*sinα) + c*cosα. Našli ste spodnú základňu obdĺžnika trapéz.

Úloha 2. Nájdite základy BC a AD obdĺžnika trapéz, ak je známa dĺžka uhlopriečky BD = f; dĺžka strany CD = c a jej uhol ADC = α Riešenie: Uvažujme pravouhlý trojuholník CED. Nájdite dĺžky strán CE a ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosa.

Zoberme si obdĺžnik ABCE. Podľa vlastnosti AB = CE = c*sinα Uvažujme pravouhlý trojuholník ABD. Podľa vlastnosti pravouhlého trojuholníka bude štvorec prepony Výpočty o niečo dlhší, ak je potrebné vypočítať jednu zo strán. Napríklad poznáme dlhú základňu, uhly, ktoré k nej priliehajú, a výšku. Musíte vypočítať krátku základňu a stranu. Za týmto účelom nakreslite lichobežník ABCD, nakreslite výšku BE z horného rohu B. Dostanete trojuholník ABE. Poznáte uhol A, respektíve, poznáte jeho sínus. Problémové údaje obsahujú aj výšku BE, čo je tiež rameno pravouhlého trojuholníka oproti uhlu, ktorý poznáte. Na nájdenie prepony AB, ktorá je zároveň stranou lichobežníka, stačí vydeliť BE sinA. Podobne nájdite dĺžku druhej strany. Aby ste to dosiahli, musíte nakresliť výšku z iného horného rohu, to znamená CF.

Teraz poznáte väčšiu základňu a strany. Na výpočet obvodu to nestačí, potrebujete aj veľkosť menšej základne. Preto v dvoch trojuholníkoch vytvorených vo vnútri lichobežníka je potrebné nájsť veľkosti segmentov AE a DF. Dá sa to urobiť napríklad cez vám známe uhly A a D. Kosínus je pomer priľahlej nohy k prepone. Ak chcete nájsť nohu, musíte vynásobiť preponu kosínusom. Potom vypočítajte obvod pomocou rovnakého vzorca ako v prvom kroku, teda sčítaním všetkých strán.

Ďalšia možnosť: vzhľadom na dve základne, výšku a jednu zo strán, musíte nájsť druhú stranu. Najlepšie sa to robí aj pomocou goniometrických funkcií. Ak to chcete urobiť, nakreslite lichobežník. Predpokladajme, že poznáte základy AD a BC, ako aj stranu AB a výšku BF. Z týchto údajov môžete nájsť uhol A (cez sínus, to znamená pomer výšky k známa strana), segment AF (alebo dotyčnica, keďže uhol už poznáte. Pamätajte tiež na vlastnosti - súčet uhlov susediacich s jednou stranou je 180 °.

Výška potiahnutia CF. Máte ďalší pravouhlý trojuholník, kde musíte nájsť preponu CD DF. Začnite s katétrom. Od dĺžky spodnej základne odpočítajte dĺžku hornej a od získaného výsledku - dĺžku segmentu AF, ktorú už poznáte. Teraz, v pravouhlom trojuholníku CFD, poznáte dve nohy, to znamená, že môžete nájsť dotyčnicu uhla D a z nej - samotný uhol. Potom zostáva vypočítať stranu CD cez sínus rovnakého uhla, ako už bolo opísané vyššie.

Podobné videá

Lichobežník - štvoruholníkový geometrický obrazec, ktorý má dve rovnobežné strany, nazývané základne, a dve nerovnobežné strany. Ak sú strany rovnaké, potom sa obrázok nazýva rovnoramenný lichobežník. Obdĺžnikový lichobežník - keď jedna strana zviera so základňou pravý uhol. Ak chcete nájsť obvod lichobežníka, môžete použiť jednu z metód v závislosti od zdrojových údajov.

Ako nájsť obvod lichobežníka, keď je známa dĺžka strán a základne

V tomto prípade nie sú žiadne ťažkosti. Pomocou vzorca P=a+b+c+d a dosadením všetkých známych údajov ľahko zistíme obvod lichobežníka. Napríklad: a=5, b=4, c=6, d=4. Pomocou vzorca dostaneme P=5+4+6+4=19

Túto metódu nemožno použiť, ak nie je známa dĺžka aspoň jednej zo strán.

Ako nájsť obvod lichobežníka, keď je známa dĺžka strán, horná základňa a výška

Rozdeľte lichobežník na dva trojuholníky a obdĺžnik.

Aby bolo možné použiť vzorec P=a+b+c+d, je potrebné nájsť spodnú základňu. Dá sa znázorniť ako výraz k+a+n.

Ďalej použijeme Pytagorovu vetu. Napíšme vzorec pre prvý trojuholník c^2=h^2+k^2. Po transformáciách dostaneme k=(c^2-h^2)^1/2. Pre druhý trojuholník: b^2=h^2+n^2, celkom n=(b^2-h^2)^1/2. Po všetkých výpočtoch dostaneme P=a+b+(n+a+k)+c.

Ako nájsť obvod lichobežníka, keď sú známe základne aj výška (pre rovnoramenný lichobežník)

Rovnako ako v predchádzajúcej metóde musíte rozdeliť lichobežník na obdĺžnik a dva trojuholníky. Prepony trojuholníkov sú zároveň stranami lichobežníka, ktoré je potrebné nájsť. Menšia noha sa nachádza nasledovne.

Keďže lichobežník je rovnoramenný, odpočítajte dĺžku menšej základne od dĺžky väčšej základne a rozdeľte na polovicu, t.j. d1=d2=(d-a)/2.

Pomocou Pytagorovej vety nájdeme strany c=(d(1)^2+h^2)^1/2. Ďalej pomocou vzorca P=a+2c+d vypočítame obvod.

Ako nájsť obvod lichobežníka, keď je známa spodná základňa, strany a spodné rohy

Uvažujme o príklade, kde je známa spodná základňa AD, strany AB a CD a uhly BAD a CDA.

Z vrcholov B a C nakreslíme dve výšky, ktoré tvoria obdĺžnik a dva pravouhlé trojuholníky. V trojuholníku ABK je strana AB prepona. Zostáva nájsť nohy pomocou vzorca BK=AB*sin(BAK) a AK=AB*cos(BAK). Keďže BK a CN sú výšky, sú rovnaké. Pomocou rovnakého vzorca nájdeme ND=CD*cos(CDN). Zostáva vypočítať BC=AD-AK-ND. Teraz musíte zložiť všetky strany a odpoveď je pripravená.

Ako nájsť obvod lichobežníka, keď je známa dĺžka strán a stredovej čiary

Stredová čiara lichobežníka sa rovná polovici súčtu dĺžok jeho základní, t.j. f=(a+d)/2. Keď dĺžka základne nie je známa, ale sú uvedené rozmery strán a stredovej čiary, obvod sa zistí podľa vzorca P=2*f+c+b.

Ako vidíte, nájsť obvod lichobežníka nie je také ťažké. Ak chcete problém vyriešiť, musíte iba určiť, aké množstvá sú známe a akú metódu možno použiť. A potom nebude ťažké vyriešiť ani zložitý problém.

Prečítajte si tiež