Aplikácia integrálu na riešenie aplikovaných problémov

Výpočet plochy

Určitý integrál spojitej nezápornej funkcie f(x) sa numericky rovná oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného krivkou y \u003d f (x), osou O x a priamkami x \u003d a a x \u003d b. V súlade s tým je vzorec oblasti napísaný takto:

Zvážte niekoľko príkladov výpočtu plôch rovinných útvarov.

Číslo úlohy 1. Vypočítajte plochu ohraničenú čiarami y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Riešenie. Zostavme postavu, ktorej plochu budeme musieť vypočítať.

y \u003d x 2 + 1 je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor a parabola je posunutá nahor o jednu jednotku vzhľadom na os O y (obrázok 1).

Obrázok 1. Graf funkcie y = x 2 + 1

Úloha číslo 2. Vypočítajte plochu ohraničenú čiarami y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 v rozsahu od 0 do 1.

Riešenie. Grafom tejto funkcie je parabola vetvy, ktorá smeruje nahor, pričom parabola je voči osi O y posunutá nadol o jednu jednotku (obrázok 2).

Obrázok 2. Graf funkcie y \u003d x 2 - 1

Úloha číslo 3. Vytvorte nákres a vypočítajte plochu figúry ohraničenú čiarami

y = 8 + 2x - x 2 a y = 2x - 4.

Riešenie. Prvá z týchto dvoch čiar je parabola s vetvami smerujúcimi nadol, pretože koeficient na x 2 je záporný, a druhá čiara je priamka pretínajúca obe súradnicové osi.

Na zostrojenie paraboly nájdime súradnice jej vrcholu: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – vrchol x os; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je jeho ordináta, N(1;9) je jeho vrchol.

Teraz nájdeme priesečníky paraboly a priamky riešením sústavy rovníc:

Vyrovnanie pravých strán rovnice, ktorej ľavé strany sú rovnaké.

Získame 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 alebo x 2 - 12 \u003d 0, odkiaľ .

Body sú teda priesečníky paraboly a priamky (obrázok 1).

Obrázok 3 Grafy funkcií y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4

Zostrojme priamku y = 2x - 4. Prechádza bodmi (0;-4), (2; 0) na súradnicových osiach.

Na zostavenie paraboly môžete mať aj jej priesečníky s osou 0x, teda korene rovnice 8 + 2x - x 2 = 0 alebo x 2 - 2x - 8 = 0. Podľa Vietovej vety je ľahko nájsť jeho korene: x 1 = 2, x 2 = štyri.

Obrázok 3 zobrazuje obrazec (parabolický segment M1N M2) ohraničený týmito čiarami.

Druhou časťou problému je nájsť oblasť tohto obrázku. Jeho obsah možno nájsť pomocou určitého integrálu pomocou vzorca .

Vzhľadom na túto podmienku dostaneme integrál:

2 Výpočet objemu rotačného telesa

Objem tela získaný z rotácie krivky y \u003d f (x) okolo osi O x sa vypočíta podľa vzorca:

Pri otáčaní okolo osi Oy vzorec vyzerá takto:

Úloha číslo 4. Určte objem tela získaného rotáciou krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami x \u003d 0 x \u003d 3 a krivkou y \u003d okolo osi O x.

Riešenie. Zostavme výkres (obrázok 4).

Obrázok 4. Graf funkcie y =

Požadovaný objem sa rovná

Úloha číslo 5. Vypočítajte objem telesa získaný rotáciou krivočiareho lichobežníka ohraničeného krivkou y = x 2 a priamkami y = 0 a y = 4 okolo osi O y .

Riešenie. Máme:

Kontrolné otázky

Uvažujme krivočiary lichobežník ohraničený osou Ox, krivku y \u003d f (x) a dve priame čiary: x \u003d a a x \u003d b (obr. 85). Vezmite ľubovoľnú hodnotu x (len nie a a nie b). Dajme tomu prírastok h = dx a uvažujme pás ohraničený priamkami AB a CD, osou Ox a oblúkom BD patriacim do uvažovanej krivky. Tento pás sa bude nazývať elementárny pás. Plocha elementárneho pruhu sa líši od plochy obdĺžnika ACQB krivočiarym trojuholníkom BQD a jeho plocha je menšia ako plocha obdĺžnika BQDM so stranami BQ = =h= dx) QD=Ay a plocha rovná hAy = Ay dx. S klesajúcou stranou h sa zmenšuje aj strana Du a súčasne s h má tendenciu k nule. Preto je oblasť BQDM nekonečne malá druhého rádu. Plocha elementárneho pásika je prírastok plochy a plocha obdĺžnika ACQB, ktorá sa rovná AB-AC==/(x) dx> je plošný rozdiel. Preto nájdeme samotnú oblasť integrovaním jej diferenciálu. V medziach uvažovaného obrázku sa nezávislá premenná l: mení z a na b, takže požadovaná plocha 5 sa bude rovnať 5= \f (x) dx. (I) Príklad 1. Vypočítajte plochu ohraničenú parabolou y - 1 -x *, priamkami X \u003d - Fj-, x \u003d 1 a osou O * (obr. 86). na obr. 87. Obr. 86. 1 Tu f(x) = 1 - l?, hranice integrácie a = - a t = 1, teda 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Príklad 2. Vypočítajte plochu ohraničenú sínusoidou y = sinXy, os Ox a priamka (obr. 87). Použitím vzorca (I) získame L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf Príklad 3. Vypočítajte plochu ohraničenú oblúkom sínusoidy ^y \ u003d sin jc uzavretý medzi dvoma susednými priesečníkmi s osou Ox (napríklad medzi počiatkom a bodom s osou i). Všimnite si, že z geometrických úvah je jasné, že táto oblasť bude dvojnásobkom plochy predchádzajúceho príkladu. Urobme však výpočty: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Náš predpoklad sa skutočne ukázal ako spravodlivý. Príklad 4. Vypočítajte plochu ohraničenú sínusoidou a osou ^ Ox na jednej perióde (obr. 88). Predbežné rozsudky ras-číslo naznačujú, že plocha bude štyrikrát väčšia ako v pr. 2. Po vykonaní výpočtov však dostaneme „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Tento výsledok vyžaduje objasnenie. Aby sme objasnili podstatu veci, vypočítame aj oblasť ohraničenú rovnakou sínusoidou y \u003d sin l: a os Ox v rozmedzí od l do 2n. Aplikovaním vzorca (I) dostaneme Vidíme teda, že táto oblasť dopadla negatívne. Pri porovnaní s plochou vypočítanou v príklade 3 zistíme, že ich absolútne hodnoty sú rovnaké, ale znamienka sú odlišné. Ak použijeme vlastnosť V (pozri kap. XI, § 4), dostaneme sa náhodou. Vždy plocha pod osou x, za predpokladu, že sa nezávislá premenná mení zľava doprava, sa získa výpočtom pomocou záporných integrálov. V tomto kurze budeme vždy brať do úvahy nepodpísané oblasti. Preto bude odpoveď v práve analyzovanom príklade takáto: požadovaná plocha sa rovná 2 + |-2| = 4. Príklad 5. Vypočítajme plochu BAB znázornenú na obr. 89. Táto oblasť je ohraničená osou Ox, parabolou y = - xr a priamkou y - = -x + \. Plocha krivočiareho lichobežníka Vyhľadávaná plocha OAB pozostáva z dvoch častí: OAM a MAB. Keďže bod A je priesečníkom paraboly a priamky, nájdeme jeho súradnice vyriešením systému rovníc 3 2 Y \u003d mx. (potrebujeme nájsť iba úsečku bodu A). Pri riešení systému nájdeme l; =~. Preto sa plocha musí vypočítať po častiach, najskôr pl. OAM, a potom pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [náhrada:

] =

Nevlastný integrál teda konverguje a jeho hodnota sa rovná .