Taisyklingi daugiakampiai nuo seno traukė filosofų, statybininkų, architektų, menininkų ir matematikų dėmesį. Juos pribloškė šių figūrų grožis, tobulumas, harmonija.

Taisyklingasis daugiakampis yra tūrinė išgaubta geometrinė figūra, kurios visi paviršiai yra vienodi taisyklingi daugiakampiai ir visi daugiakampiai kampai viršūnėse yra lygūs vienas kitam. Taisyklingų daugiakampių yra daug, tačiau taisyklingų daugiakampių yra tik penki. Šių daugiakampių pavadinimai kilę iš Senovės Graikija, ir jie nurodo skaičių („tetra“ – 4, „hexa“ – 6, „octa“ – 8, „dodeka“ – 12, „ikosa“ – 20) veidus („hedra“).

Šios taisyklingos daugiakampės buvo vadinamos platoniškomis kietosiomis medžiagomis senovės graikų filosofo Platono vardu, suteikusio joms mistinę reikšmę, tačiau jos buvo žinomos iki Platono. Tetraedras personifikavo ugnį, nes jo viršus nukreiptas į viršų, kaip liepsnojanti liepsna; icosahedron - kaip labiausiai supaprastintas - vanduo; kubas – stabiliausia iš figūrų – žemė, o oktaedras – oras. Dodekaedras buvo tapatinamas su visa visata ir buvo laikomas svarbiausiu.

Gamtoje randami reguliarūs daugiakampiai. Pavyzdžiui, feodarijos vienaląsčio organizmo skeletas savo forma primena ikosaedrą. Pirito kristalas (sierinis piritas, FeS2) turi dodekaedro formą.

Tetraedras – teisingai trikampė piramidė, ir šešiakampis – kubas – figūrėlės, su kuriomis nuolat susitinkame Tikras gyvenimas. Norėdami geriau pajusti kitų platoniškų kietųjų medžiagų formą, turėtumėte jas sukurti patys iš storo popieriaus ar kartono. Padaryti plokščią figūrų nuskaitymą nėra sunku. Įprastų daugiakampių kūrimas yra labai įdomus dėl paties formavimo proceso.

Išsamios ir keistos įprastų daugiakampių formos plačiai naudojamos dekoratyviniame mene. Tūrinės figūros gali būti linksmesnės, jei plokščius taisyklingus daugiakampius vaizduoja kitos formos, kurios telpa į daugiakampį. Pavyzdžiui: įprastą penkiakampį galima pakeisti žvaigždute. Tokia trimatė figūra neturės briaunų. Jį galite surinkti surišę žvaigždžių spindulių galus. Ir 10 žvaigždučių bus lygus skenavimas. Užfiksavus likusias 2 žvaigždes gaunama trimatė figūra.

Jei jūsų vaikas mėgsta meistrauti savo sumaniomis rankomis, pakvieskite jį iš plokščių plastikinių žvaigždžių surinkti trimačio daugiakampio dodekaedro figūrėlę. Darbo rezultatas patiks jūsų vaikui: jis savo rankomis padarys originalų dekoratyvinį dizainą, kuriuo bus galima papuošti vaikų kambarį. Tačiau nuostabiausia, kad ažūrinis rutulys šviečia tamsoje. Plastikinės žvaigždės gaminamos pridedant modernios nekenksmingos medžiagos – fosforo.

PLATONIJŲ KŪNŲ GEOMETRIJA

rev. data 2013-06-24 – (atnaujinta)

Pagrindinės penkios platoniškos kietosios medžiagos yra: oktaedras, žvaigždės tetraedras, kubas, dodekaedras, ikosaedras.

Kiekvienas iš geometrinių raštų, ar atomo branduolys, mikrospiečius, pasaulinis tinklelis arba atstumai tarp planetų, žvaigždžių, galaktikų, yra viena iš penkių pagrindinių „platoniškų kietųjų dalelių“.

Kodėl šie modeliai taip dažnai pasitaiko gamtoje? Viena iš pirmųjų užuominų: matematikai žinojo, kad šios figūros turi daugiau „simetrijos“ nei bet kokia trimatė geometrija, kurią galime sukurti.

Iš Roberto Lawloro „Šventoji geometrija“ galime sužinoti, kad induistai sumažino platoniškų kietųjų kūnų geometriją iki oktavos struktūros, kurią matome garsui ir šviesai (natai ir spalvoms). Graikų matematikas ir filosofas Pitagoras, nuosekliai dalydamas dažnį iš penkių, pirmiausia sukūrė aštuonis „grynus“ oktavos tonus, žinomus kaip diatoninė skalė. Jis paėmė vienos stygos „monokordą“ ir grojant įvairioms natoms išmatavo tikslius bangos ilgius. Pitagoras parodė, kad kiekvienos natos dažnis (arba vibracijos greitis) gali būti pavaizduotas kaip santykis tarp dviejų stygos dalių arba dviejų skaičių, taigi ir terminas „diatoninis santykis“.

Žemiau esančioje lentelėje geometrija pateikiama tam tikra tvarka, susiejant ją su spiralės numeriu fi(). Tai suteikia išsamų vaizdą apie tai, kaip skirtingos vibracijos veikia kartu. Jis pagrįstas ilgių priskyrimu kubo kraštams, lygiems " 1 “. Tada su šia verte lyginame visų kitų formų kraštus, nesvarbu, ar jie didesni, ar mažesni. Mes žinome, kad Platoniniuose kietuosiuose medžiagoje kiekvienas aspektas yra vienodos formos, kiekvienas kampas yra identiškas, kiekvienas mazgas yra tokiu pat atstumu nuo visų kitų mazgų ir kiekviena linija yra tokio pat ilgio.

1 rutulys (be veidų) 2 centrinis ikosaedras 1/phi 2 3 oktaedras 1/ √2 4 žvaigždžių tetraedras √2 5 kubas 1 6 dodekaedras 1/phi 7 ikozaedras phi 8 sfera (be veidų)

Tai padės suprasti, kaip phi spiralės virpesių pagalba platoniškos kietosios medžiagos pamažu teka viena į kitą.

VISATOS DAUGIAMATIŠKUMAS

Pati koncepcija sujungti platoniškas geometrijas su aukštesnėmis plokštumomis kyla todėl, kad mokslininkai žino: geometrija turi būti; jie tai rado lygtyse. Platoniškos geometrijos reikalingos, kad būtų suteikta „daugiau erdvės“ nematomoms papildomoms ašims „paslėptuose“ 90° posūkiuose. Taikant duomenų analizės metodą, kiekvienas geometrinės figūros paviršius žymi skirtingą ašį arba planą, kuriame ji galėtų suktis. Kai pradedame žiūrėti į Fullerio ir Jenny darbus, matome, kad mintis apie kitas plokštumas, egzistuojančias „paslėptuose“ 90° posūkiuose, yra tiesiog neteisingas paaiškinimas, pagrįstas žinių apie „šventus“ geometrijos ryšius stoka. ir vibracija.

Labai tikėtina, kad įprasti mokslininkai niekada nesupras, kad senovės kultūros galėjo turėti „prarastą ryšį“, kuris viską labai supaprastina ir suvienija. šiuolaikinės teorijos kosmoso fizika. Nors gali atrodyti neįtikėtina, kad „primityvi“ kultūra turėjo prieigą prie tokios informacijos, įrodymų yra. Perskaitykite klasikinę Prasados ​​knygą, kol kas matote, kad Vedų kosmologijai būdingi moksliniai įgūdžiai.

Kaip manai ką matai? yra sprogstanti žvaigždė, iš kurios išsiveržia dulkės... Tačiau čia aiškiai yra tam tikras energijos laukas, kuris struktūrizuoja dulkes, kai jos plečiasi į labai tikslų geometrinį raštą:

Problema ta, kad įprasti magnetiniai laukai įprastuose fizikos modeliuose tiesiog neleidžia pasiekti tokio geometrinio tikslumo. Mokslininkai tikrai nežino, kaip suprasti tokius dalykus!

Žemiau esančiame paveikslėlyje yra NAUJAS ūkas, kuris yra tobulas „kvadratas“. Tačiau tai vis dar yra dvimatis mąstymas. Kas yra trijų matmenų kvadratas?
Žinoma, kubas!

Žiūrint infraraudonųjų spindulių spinduliu, ūkas primena milžinišką švytinčią dėžutę danguje su ryškiai balta vidine šerdimi. Miršta žvaigždė MWC 922 yra sistemos centre ir iš priešingų polių išsviedžia savo vidų į erdvę. Po to, kai MWC 922 išskirs didžiąją dalį savo medžiagos į kosmosą, jis susitrauks į tankų žvaigždžių kūną, vadinamą baltąja nykštuke, paslėptu likusiuose debesyse.

Nors iš tolo gali būti, kad žvaigždės sprogimas plinta tik viena kryptimi, sukurdamas labiau piramidinę formą, tai, ką matote, yra tobulas kubas erdvėje. Kadangi visos keturios kubo kraštinės yra vienodo ilgio ir puikiai viena kitos atžvilgiu yra 90° kampu, ir vėlgi, kubas turi struktūrinius „žingsnius“, kuriuos matėme ankstesniame paveikslėlyje, mokslininkai yra visiškai suglumę. Kubas turi net DIDESNĘ SIMETRIJĄ nei "stačiakampis" ūkas!

Tokie raštai atsiranda ne tik erdvės platybėse. Jie taip pat atsiranda mažiausiame atomų ir molekulių lygyje, pavyzdžiui, įprastos valgomosios druskos arba natrio chlorido kubinėje struktūroje. Pang Tsaya (Japonija) nufotografavo aliuminio-vario-geležies lydinio kvazikristalus dodekaedro pavidalu ir aliuminio-nikelio-kobalto lydinį dešimtkampės (dešimties kraštų) prizmės pavidalu (žr. nuotrauką). Problema ta Jūs negalite sukurti tokių kristalų naudojant atskirus atomus, sujungtus kartu.

Kitas pavyzdys yra Bose-Einstein kondensatas. Trumpai tariant, Bose-Einstein kondensatas yra didelė atomų grupė, kuri elgiasi kaip viena „dalelė“, kurioje kiekvienas jį sudarantis atomas vienu metu užima visą erdvę ir visą laiką visoje struktūroje. Matuojama, kad visi atomai vibruoja tuo pačiu dažniu, juda tuo pačiu greičiu ir yra tame pačiame erdvės regione. Paradoksalu, bet skirtingos sistemos dalys veikia kaip visuma, prarasdamos visus individualumo požymius. Būtent ši savybė reikalinga „superlaidininkui“. Paprastai Bose-Einstein kondensatai gali susidaryti esant itin žemai temperatūrai. Tačiau būtent tokius procesus stebime mikroklasteriuose ir kvazikristaluose, neturinčiuose individualios atominės tapatybės.

Kitas panašus procesas yra lazerio šviesos, vadinamos „nuoseklia“ šviesa, veikimas. Viskas erdvėje ir laike lazerio spindulys elgiasi kaip vienas „fotonas“, tai yra, atskirti atskirų fotonų lazerio spindulyje neįmanoma.

Be to, septintojo dešimtmečio pabaigoje anglų fizikas Herbertas Fröhlichas tai pasiūlė gyvos sistemos dažnai elgiasi kaip Bose-Einstein kondensatai tik dideliu mastu.

Ūko nuotraukos yra stulbinantys matomi įrodymai, kad geometrija veikia. apie daugiau vaidmens visatos jėgose, nei dauguma žmonių patikėtų. Mūsų mokslininkai gali tik kovoti, kad suprastų šį reiškinį pagal esamus tradicinius modelius.

Stachovas A.P.

Da Vinčio kodas, Platono ir Archimedo kietosios medžiagos, kvazikristalai, fullerenai, Penrose gardelės ir meno pasaulis Motina Teija Kraszek

anotacija

Slovėnijos menininkės Matyushka Teijos Krashek kūryba rusakalbiam skaitytojui mažai žinoma. Tuo pat metu Vakaruose jis vadinamas „Rytų Europos Escher“ ir „Slovėnijos dovana“ pasaulio kultūros bendruomenei. Jos meninės kompozicijos įkvėptos naujausių mokslo atradimų (fullerenai, Dano Shechtmano kvazikristalai, Penrose plytelės), kurie savo ruožtu yra pagrįsti taisyklingais ir pusiau taisyklingais daugiakampiais (Platono ir Archimedo kūneliais), aukso pjūviu ir Fibonačio skaičiais.

Kas yra Da Vinčio kodas?

Tikrai kiekvienas žmogus ne kartą pagalvojo apie klausimą, kodėl gamta sugeba sukurti tokias nuostabias darnias struktūras, kurios džiugina ir džiugina akį. Kodėl menininkai, poetai, kompozitoriai, architektai nuo šimtmečio iki šimtmečio kuria nuostabius meno kūrinius. Kokia yra jų harmonijos paslaptis ir kokie dėsniai yra šių harmoningų būtybių pagrindas?

Šių dėsnių, „Visatos harmonijos dėsnių“, paieškos prasidėjo senovės moksle. Būtent šiuo žmonijos istorijos laikotarpiu mokslininkai pasiekia daugybę nuostabių atradimų, kurie persmelkia visą mokslo istoriją. Pirmasis iš jų laikomas nuostabia matematine proporcija, išreiškiančia Harmoniją. Jis vadinamas skirtingai: „aukso pjūvis“, „auksinis skaičius“, „aukso vidurkis“, „aukso pjūvis“ Ir netgi „dieviškoji proporcija“. Aukso pjūvis taip pat vadinamas PHI numeris didžiojo senovės graikų skulptoriaus Fidijaus (Phidijaus), kuris naudojo šį skaičių savo skulptūrose, garbei.

Trileris „Da Vinčio kodas“, kurį parašė populiarus anglų rašytojas Danas Brownas, tapo XXI amžiaus bestseleriu. Bet ką reiškia „Da Vinčio kodas“? Į šį klausimą yra įvairių atsakymų. Žinoma, kad garsioji „Aukso pjūvis“ buvo Leonardo da Vinci didelio dėmesio ir entuziazmo objektas. Be to, patį pavadinimą „Aukso pjūvis“ į Europos kultūrą įvedė Leonardo da Vinci. Leonardo iniciatyva garsus italų matematikas ir išsilavinęs vienuolis Luca Pacioli, Leonardo da Vinci draugas ir mokslo patarėjas, išleido knygą „Divina Proportione“ – pirmąjį matematinį kūrinį pasaulio literatūroje apie aukso pjūvį, kurį autorius pavadino „Dieviškuoju“. Proporcija“. Taip pat žinoma, kad pats Leonardo iliustravo šią garsiąją knygą, nupiešęs jai 60 nuostabių piešinių. Būtent šie plačiajai mokslo bendruomenei nelabai žinomi faktai suteikia teisę iškelti hipotezę, kad Da Vinčio kodas yra ne kas kita, o aukso pjūvis. O šios hipotezės patvirtinimą galima rasti paskaitoje studentams Harvardo universitetas kurį jis prisimena Pagrindinis veikėjas knyga „Da Vinčio kodas“, kurią parašė prof. Lengdonas:

„Nepaisant beveik mistiškos kilmės, PHI numeris atliko savaip unikalų vaidmenį. Plytos vaidmuo kuriant visą gyvybę žemėje. Visi augalai, gyvūnai ir net žmonės yra apdovanoti fizines proporcijas, apytiksliai lygus PHI skaičiaus ir 1 santykio šaknei. Šis visur esantis PHI gamtoje ... rodo visų gyvų būtybių ryšį. Anksčiau buvo manoma, kad PHI skaičių iš anksto nustatė visatos Kūrėjas. Antikos mokslininkai vieną tašką šešis šimtus aštuoniolika tūkstantųjų pavadino „dieviška proporcija“.

Taigi garsusis neracionalus skaičius PHI = 1,618, kurį Leonardo da Vinci pavadino aukso viduriu, yra Da Vinčio kodas!

Kitas matematinis senovės mokslo atradimas yra taisyklingas daugiabriaunis, kurie buvo pavadinti „Platoniškos kietosios medžiagos“ ir „pusiau įprastas daugiakampis“, pavadintas „Archimedo kietosios medžiagos“. Būtent šios nuostabiai gražios erdvinės geometrinės formos yra dviejų didžiausių mokslo atradimai XX amžius - kvazikristalai(atradimo autorius – Izraelio fizikas Danas Shechtmanas) ir fullerenai(1996 m. Nobelio premija). Šie du atradimai yra reikšmingiausias patvirtinimas, kad būtent Auksinė dalis yra Visuotinis gamtos kodas („Da Vinčio kodas“), kuriuo grindžiama Visata.

Kvazikristalų ir fullerenų atradimas įkvėpė daugelį šiuolaikinių menininkų sukurti kūrinius, menine forma atspindinčius svarbiausius fizinius XX amžiaus atradimus. Vienas iš šių menininkų yra Slovėnijos menininkas Motina Theia Kraszek.Šis straipsnis supažindina su Matyushka Teijos Krashek meniniu pasauliu per naujausių mokslo atradimų prizmę.

Platoniškos kietosios medžiagos

Žmogus domisi taisyklingais daugiakampiais ir daugiakampiais per visą savo sąmoningą veiklą – nuo ​​dvejų metų vaiko, žaidžiančio mediniais kubeliais, iki subrendusio matematiko. Kai kurie taisyklingi ir pusiau taisyklingi kūnai natūraliai atsiranda kaip kristalai, kiti – kaip virusai, kuriuos galima pamatyti elektroniniu mikroskopu.

Kas yra įprastas daugiakampis? Daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visi jo paviršiai yra lygūs (arba sutampa) vienas kitam ir tuo pačiu yra taisyklingi daugiakampiai. Kiek yra taisyklingų daugiakampių? Iš pirmo žvilgsnio atsakymas į šį klausimą labai paprastas – tiek, kiek yra taisyklingųjų daugiakampių. Tačiau taip nėra. Euklido elementuose randame griežtą įrodymą, kad yra tik penki išgaubti taisyklingi daugiakampiai ir kad tik trijų tipų taisyklingieji daugiakampiai gali būti jų veidai: trikampiai, kvadratai ir penkiakampiai (įprasti penkiakampiai).

Daugybė knygų buvo skirta daugiakampio teorijai. Viena žinomiausių – anglų matematiko M. Wenniger knyga „Models of polyhedra“. Išvertus į rusų kalbą šią knygą 1974 m. išleido leidykla „Mir“. Knygos epigrafas yra Bertrano Russello teiginys: „Matematika turi ne tik tiesą, bet ir aukštą grožį – grožį šlifuotą ir griežtą, nepakartojamai tyrą ir siekiantį tikro tobulumo, kas būdinga tik didžiausiems meno pavyzdžiams“.

Knyga pradedama aprašant vadinamąjį taisyklingas daugiabriaunis, tai yra daugiakampiai, sudaryti iš paprasčiausių taisyklingų to paties tipo daugiakampių. Šie daugiakampiai vadinami Platoniškos kietosios medžiagos(1 pav.) , pavadintas senovės graikų filosofo Platono, kuris naudojo taisyklingą daugiakampį, garbei kosmologija.

1 paveikslas. Platoninės kietosios medžiagos: a) oktaedras („Ugnis“), b) šešiaedras arba kubas („Žemė“),

c) oktaedras („oras“), d) ikosaedras („vanduo“), e) dodekaedras („visuotinis protas“)

Mes pradėsime savo svarstymą nuo taisyklingas daugiabriaunis, kurių veidai lygiakraščiai trikampiai. Pirmasis iš jų yra tetraedras(1-a pav.). Tetraedre trys lygiakraščiai trikampiai susitinka vienoje viršūnėje; o jų pagrindai sudaro naują lygiakraštį trikampį. Tetraedras turi mažiausias skaičius susiduria tarp platoniškų kietųjų kūnų ir yra erdvinis buto analogas taisyklingas trikampis, kuris turi mažiausią kraštinių skaičių tarp įprastų daugiakampių.

Kitas kūnas, kurį sudaro lygiakraščiai trikampiai, vadinamas oktaedras(1-b pav.). Aštuonedre keturi trikampiai susitinka vienoje viršūnėje; rezultatas yra piramidė su keturkampiu pagrindu. Jei dvi tokias piramides sujungsite su pagrindais, gausite simetrišką kūną su aštuoniais trikampiais veidais - oktaedras.

Dabar galite pabandyti sujungti penkis lygiakraščius trikampius viename taške. Rezultatas yra figūra su 20 trikampių veidų - ikosaedras(1-d pav.).

Kita taisyklingo daugiakampio forma yra − kvadratas. Jei viename taške sujungsime tris kvadratus ir pridėsime dar tris, gausime tobula forma su šešiomis pusėmis, vadinamas šešiakampis arba kubas(1-c pav.).

Galiausiai, yra dar viena galimybė sudaryti taisyklingąjį daugiakampį, remiantis toliau pateiktu taisyklingu daugiakampiu − Pentagonas. Jei surinksime 12 penkiakampių taip, kad kiekviename taške susidurtų trys penkiakampiai, gautume kitą platonišką kietą elementą, vadinamą dodekaedras(1-e pav.).

Kitas reguliarus daugiakampis yra šešiakampis. Tačiau jei viename taške sujungiame tris šešiakampius, tai gauname paviršių, tai yra, iš šešiakampių neįmanoma sukurti trimatės figūros. Jokie kiti taisyklingi daugiakampiai virš šešiakampio apskritai negali sudaryti kietųjų kūnų. Iš šių samprotavimų darytina išvada, kad yra tik penki taisyklingi daugiakampiai, kurių paviršiai gali būti tik lygiakraščiai trikampiai, kvadratai ir penkiakampiai.

Tarp visų yra nuostabių geometrinių ryšių taisyklingas daugiabriaunis. Pavyzdžiui, kubas(1-b pav.) ir oktaedras(1-c pav.) yra dvejopos, t.y. gaunami vienas iš kito, jei vieno paviršių centroidai laikomi kito viršūnėmis ir atvirkščiai. Panašiai dviguba ikosaedras(1-d pav.) ir dodekaedras(1-e pav.) . Tetraedras(1-a pav.) yra dvejopas sau. Dodekaedras gaunamas iš kubo statant "stogus" ant jo paviršių (Euklido metodas), tetraedro viršūnės yra bet kurios keturios kubo viršūnės, kurios nėra poromis gretimos išilgai krašto, tai yra, visi kiti taisyklingi daugiakampiai gali būti gautas iš kubo. Pats faktas, kad egzistuoja tik penki tikrai taisyklingi daugiakampiai, stebina, nes plokštumoje yra be galo daug taisyklingų daugiakampių!

Platono kietųjų kūnų skaitinės charakteristikos

Pagrindinės skaitinės charakteristikos Platoniškos kietosios medžiagos yra veido pusių skaičius m, paviršių, susiliejančių kiekvienoje viršūnėje, skaičius, m, veidų skaičius G, viršūnių skaičius AT,šonkaulių skaičius R ir plokščių kampų skaičius At daugiakampio paviršiuje Euleris atrado ir įrodė garsiąją formulę

B P + G = 2,

jungiantis bet kurio išgaubto daugiakampio viršūnių, briaunų ir paviršių skaičių. Aukščiau pateiktos skaitinės charakteristikos pateiktos lentelėje. vienas.

1 lentelė

Platono kietųjų kūnų skaitinės charakteristikos

Daugiakampis	Veido pusių skaičius, m	veidų, susiliejančių viršūnėje, skaičius, n	Veidų skaičius	Viršūnių skaičius	Šonkaulių skaičius	Plokščių kampų ant paviršiaus skaičius
Tetraedras
Šešiaedras (kubas)
ikosaedras
Dodekaedras

Auksinis santykis dodekaedre ir ikosaedre

Dodekaedras ir jo dvigubas ikosaedras (1-d, e pav.) užima ypatingą vietą tarp Platoniškos kietosios medžiagos. Visų pirma, reikia pabrėžti, kad geometrija dodekaedras ir ikosaedras tiesiogiai susiję su aukso pjūviu. Tikrai, kraštai dodekaedras(1-e pav.) yra penkiakampiai, t.y. taisyklingų penkiakampių, pagrįstų aukso pjūviu. Jei atidžiai pažiūrėsite ikosaedras(1-d pav.), tada matote, kad kiekvienoje jos viršūnėje susilieja penki trikampiai, kurių išorinės kraštinės susidaro penkiakampis. Jau šių faktų pakanka, kad įsitikintumėte, jog aukso pjūvis vaidina esminį vaidmenį kuriant šias dvi Platoniškos kietosios medžiagos.

Tačiau yra gilesnių matematinių įrodymų apie pagrindinį aukso pjūvio vaidmenį ikosaedras ir dodekaedras. Yra žinoma, kad šie kūnai turi tris specifines sferas. Pirmoji (vidinė) sfera yra įrašyta į kūną ir paliečia jo veidus. Šios vidinės sferos spindulį pažymėkime kaip R i. Antroji arba vidurinė sfera liečia jos kraštus. Šios sferos spindulį pažymėkime kaip R m . Galiausiai trečioji (išorinė) sfera yra apribota aplink kūną ir eina per jo viršūnes. Pažymėkime jo spindulį Rc. Geometrijoje įrodyta, kad nurodytų sferų spindulių reikšmės yra dodekaedras ir ikosaedras, kurios briauna yra vienetinio ilgio, išreiškiama aukso pjūviu t (2 lentelė).

2 lentelė

Aukso pjūvis dodekaedro ir ikosaedro sferose

ikosaedras
Dodekaedras

Atkreipkite dėmesį, kad spindulių = santykis yra toks pat kaip ir ikosaedras, ir už dodekaedras. Taigi, jei dodekaedras ir ikosaedras turi tas pačias įbrėžtas sferas, tada jų apibrėžtos sferos taip pat yra lygios viena kitai. Šio matematinio rezultato įrodymas pateiktas Pradžios Euklidas.

Geometrijoje žinomi ir kiti santykiai dodekaedras ir ikosaedras patvirtinantis jų ryšį su aukso pjūviu. Pavyzdžiui, jei imtume ikosaedras ir dodekaedras kurių briaunos ilgis lygus vienetui, ir apskaičiuokite jų išorinį plotą bei tūrį, tada jie išreiškiami aukso pjūviu (3 lentelė).

3 lentelė

Auksinis santykis dodekaedro ir ikosaedro išorinėje srityje ir tūryje

	ikosaedras	Dodekaedras
išorinė sritis

Taigi senovės matematikai nustatė daugybę ryšių, patvirtinančių nuostabų faktą, kad aukso pjūvis yra pagrindinė dodekaedro ir ikosaedro proporcija, o šis faktas ypač įdomus vadinamųjų požiūriu "dodekaedrinė-ikosaedrinė doktrina", kuriuos apsvarstysime toliau.

Platono kosmologija

Aukščiau aptartos taisyklingosios daugiakampės vadinamos Platoniškos kietosios medžiagos, nes jie užėmė svarbią vietą Platono filosofinėje visatos sandaros sampratoje.

Platonas (427–347 m. pr. Kr.)

Keturi daugiakampiai jame įasmenino keturias esmes arba „elementus“. Tetraedras simbolizavo Ugnis, nes jo viršus nukreiptas į viršų; ikosaedras — vandens, nes tai yra labiausiai „supaprastintas“ daugiakampis; kubas — žemė, kaip „stabiliausias“ daugiakampis; oktaedras — Oras, kaip „oriausias“ daugiakampis. Penktasis daugiakampis, Dodekaedras, įkūnijo „viską, kas egzistuoja“, „visuotinį protą“, simbolizavo visą visatą ir buvo laikomas pagrindinė geometrinė visatos figūra.

Senovės graikai visatos pagrindu laikė harmoningus santykius, todėl keturis elementus jungė tokia proporcija: žemė / vanduo = oras / ugnis. „Elementų“ atomus Platonas derino tobulais sąskambiais, tarsi keturias lyros stygas. Prisiminkite, kad sąskambis yra malonus sąskambis. Kalbant apie šiuos kūnus, derėtų pasakyti, kad tokią elementų sistemą, kuri apėmė keturis elementus žemė, vanduo, oras ir ugnis, kanonizavo Aristotelis. Šie elementai daugelį amžių išliko keturiais kertiniais visatos akmenimis. Visiškai įmanoma juos identifikuoti su keturiomis mums žinomomis materijos būsenomis – kieta, skysta, dujine ir plazmine.

Taigi senovės graikai susiejo būties harmonijos „per“ idėją su jos įsikūnijimu platoniškuose kietuose kūne. Paveikė ir žymaus graikų mąstytojo Platono įtaka Pradžios Euklidas. Šioje knygoje, kuri šimtmečius buvo vienintelis geometrijos vadovėlis, aprašomos „idealios“ linijos ir „idealios“ figūros. "Idealiausia" linija - tiesiai, o pats „idealiausias“ daugiakampis - taisyklingas daugiakampis, turintys lygios pusės ir vienodi kampai. Galima laikyti paprasčiausią taisyklingą daugiakampį lygiakraštis trikampis, nes jis turi mažiausią kraštinių skaičių, galintį atriboti plokštumos dalį. Įdomu tai Pradžios Euklidas prasideda konstrukcijos aprašymu taisyklingas trikampis ir baigti penkiais Platoniškos kietosios medžiagos. pastebėti, kad Platoniškos kietosios medžiagos skirta finalinei, tai yra 13-ajai knygai Prasidėjo Euklidas. Beje, šis faktas, tai yra taisyklingųjų daugiakampių teorijos įdėjimas į galutinę (tai yra, tarytum, svarbiausią) knygą Prasidėjo Euklidas, paskatino senovės graikų matematiką Proklą, kuris buvo Euklido komentatorius, iškelti įdomią hipotezę apie tikruosius Euklido tikslus, sukurdamas savo Pradžios. Anot Proklo, Euklidas sukūrė Pradžios ne siekiant pateikti geometriją kaip tokią, o pateikti visą susistemintą „idealių“ figūrų, ypač penkių, konstravimo teoriją. Platoniškos kietosios medžiagos, kartu pabrėždami kai kuriuos naujausius matematikos pasiekimus!

Neatsitiktinai vienas fullerenų atradimo autorių, Nobelio premijos laureatas Haroldas Kroto savo Nobelio paskaitoje pradeda pasakojimą apie simetriją kaip „mūsų fizinio pasaulio suvokimo pagrindą“ ir jos „vaidmenį bandant paaiškinti. tai visapusiškai“ būtent su Platoniškos kietosios medžiagos ir „visų dalykų elementai“: „Struktūrinės simetrijos samprata siekia senovės...“ Žymiausius pavyzdžius, be abejo, galima rasti Platono „Timejuje“, kur 53 skyriuje, kalbėdamas apie „Elementus“, jis rašo: „Pirmiausia, kiekvienam ( !) , žinoma, aišku, kad ugnis ir žemė, vanduo ir oras yra kūnai, o kiekvienas kūnas yra kietas “(!!) Platonas aptaria chemijos problemas šių keturių elementų kalba ir susieja jas su keturiomis platoniškomis kietosiomis medžiagomis. (tuo metu tik keturi, o Hiparchas neatrado penktojo – dodekaedro). Nors iš pirmo žvilgsnio tokia filosofija gali atrodyti šiek tiek naivia, ji rodo gilų supratimą, kaip gamta iš tikrųjų veikia.

Archimedo kietosios medžiagos

Pusiau taisyklingas daugiakampis

Yra žinoma daug tobulesnių kūnų, vadinamų pusiau taisyklingas daugiabriaunis arba Archimedo kūnai. Jie taip pat turi vienodus daugiakampius kampus, o visi paviršiai yra taisyklingi daugiakampiai, bet keli skirtingi tipai. Yra 13 pusiau taisyklingų daugiakampių, kurių atradimas priskiriamas Archimedui.

Archimedas (287 m. pr. Kr. – 212 m. pr. Kr.)

Daug Archimedo kietosios medžiagos galima suskirstyti į kelias grupes. Pirmąjį iš jų sudaro penki daugiakampiai, gauti iš Platoniškos kietosios medžiagos dėl jų sutrumpinimas. Nupjautas kūnas yra kūnas su nupjauta viršūne. Dėl Platoniškos kietosios medžiagos sutrumpinti galima taip, kad tiek susidarę nauji paviršiai, tiek likusios senųjų dalys būtų taisyklingi daugiakampiai. Pavyzdžiui, tetraedras(1-a pav.) gali būti sutrumpintas taip, kad keturi jo trikampiai paviršiai virstų keturiais šešiakampiais, o prie jų pridedami keturi taisyklingi trikampiai. Tokiu būdu penki Archimedo kietosios medžiagos: nukirstas tetraedras, nupjautas šešiaedras (kubas), nukirstas oktaedras, nupjautas dodekaedras ir nupjautas ikosaedras(2 pav.).

a)	b)	(į)

(G)	(e)

2 pav. Archimedo kietosios medžiagos: (a) nupjautas tetraedras, (b) nupjautas kubas, (c) nupjautas oktaedras, (d) nupjautas dodekaedras, (e) nupjautas ikosaedras

Savo Nobelio paskaitoje amerikiečių mokslininkas Smalley, vienas iš eksperimentinio fullerenų atradimo autorių, kalba apie Archimedą (287-212 m. pr. Kr.) kaip pirmąjį nupjautųjų daugiakampių tyrinėtoją, visų pirma. nupjautas ikosaedras, tačiau su sąlyga, kad galbūt Archimedas pasisavina šį nuopelną ir, galbūt, ikosaedrai buvo sutrumpinti gerokai anksčiau nei jis. Pakanka paminėti tuos, kurie buvo rasti Škotijoje ir datuojami maždaug 2000 m. šimtai akmeninių objektų (matyt ritualiniais tikslais) sferų pavidalo ir įvairių daugiakampis(kūnai iš visų pusių apriboti plokščiu veidai), įskaitant ikosaedrus ir dodekaedrus. Originalus Archimedo darbas, deja, nebuvo išsaugotas, o jo rezultatai atkeliavo iki mūsų, kaip sakoma, „antrų rankų“. Renesanso laikais visi Archimedo kietosios medžiagos vienas po kito buvo „atrandami“ iš naujo. Pabaigoje Kepleris 1619 m. knygoje „Pasaulio harmonija“ („Harmonice Mundi“) išsamiai apibūdino visą Archimedo kietųjų kūnų rinkinį – daugiakampius, kurių kiekvienas paviršius yra taisyklingas daugiakampis, ir viskas viršūnės yra lygiavertėje padėtyje (kaip anglies atomai C 60 molekulėje). Archimedo kietosios medžiagos susideda iš mažiausiai dviejų įvairių tipų daugiakampiai, priešingai nei 5 Platoniškos kietosios medžiagos, kurių visi paviršiai yra vienodi (kaip, pavyzdžiui, C 20 molekulėje).

3 pav. Archimedo nupjauto ikosaedro konstrukcija
iš Platono ikosaedro

Taigi, kaip jūs statote Archimedo nupjautas ikosaedras iš Platoniškas ikosaedras? Atsakymas iliustruotas naudojant pav. 3. Iš tiesų, kaip matyti iš lentelės. 1, 5 veidai susilieja bet kurioje iš 12 ikosaedro viršūnių. Jei kiekvienoje viršūnėje 12 ikosaedro dalių nupjaunama (nukertama) plokštuma, tada susidaro 12 naujų penkiakampių paviršių. Kartu su jau esamomis 20 veidų, kurios po tokio pjūvio iš trikampio virto šešiakampiu, sudarys 32 nupjauto ikosaedro veidus. Šiuo atveju bus 90 briaunų ir 60 viršūnių.

kita grupė Archimedo kietosios medžiagos sudaro du kūnus, vadinamus beveik teisinga daugiakampis. „Kvazi“ dalelė pabrėžia, kad šių daugiakampių paviršiai yra taisyklingi tik dviejų tipų daugiakampiai, kurių kiekvienas vieno tipo paviršius yra apsuptas kito tipo daugiakampiais. Šie du kūnai vadinami rombikubotaedras ir ikozidodekaedras(4 pav.).

5 pav. Archimedo kietosios medžiagos: (a) rombikubotaedras, (b) rombikozidodekaedras

Galiausiai yra dvi vadinamosios „snub“ modifikacijos – viena skirta kubui ( snub kubas), kitas skirtas dodekaedrui ( snub dodekaedras) (6 pav.).

a)	b)

6 pav Archimedo kietosios medžiagos: (a) snub kubas, (b) snub dodekaedras

Minėtoje Wenniger knygoje „Daugiakampių modeliai“ (1974) skaitytojas gali rasti 75 skirtingus taisyklingųjų daugiakampių modelius. "Daugiakampių teorija, ypač išgaubta daugiakampė, yra vienas patraukliausių geometrijos skyrių" Taip mano rusų matematikas L.A. Lyusternakas, kuris daug nuveikė šioje matematikos srityje. Šios teorijos kūrimas siejamas su iškilių mokslininkų vardais. Didelį indėlį plėtojant daugiakampių teoriją įnešė Johannesas Kepleris (1571-1630). Vienu metu jis parašė eskizą „Apie snaigę“, kuriame padarė tokią pastabą: „Tarp taisyklingų kūnų pats pirmasis, likusiųjų pradžia ir pirmtakas yra kubas, o jo bendražygis, jei taip galima sakyti, yra oktaedras, nes oktaedras turi tiek kampų, kiek kubas turi veidų. Kepleris pirmasis paskelbė visas sąrašas trylika Archimedo kietosios medžiagos ir davė jiems vardus, kuriais jie žinomi iki šios dienos.

Kepleris pirmasis ištyrė vadinamąją žvaigždžių daugiakampis, kurie, skirtingai nei Platono ir Archimedo kietieji kūnai, yra taisyklingi išgaubti daugiakampiai. Praėjusio amžiaus pradžioje prancūzų matematikas ir mechanikas L. Poinsot (1777-1859), kurio geometriniai darbai susiję su žvaigždės formos daugiakampiais, sukūrė Keplerio darbą ir atrado dar du taisyklingų neišgaubtų tipų egzistavimą. daugiakampis. Taigi Keplerio ir Poinsot darbų dėka tapo žinomi keturi tokių figūrų tipai (7 pav.). 1812 metais O. Cauchy įrodė, kad nėra kitų taisyklingos žvaigždės formos daugiakampių.

7 pavĮprastos žvaigždžių daugiakampės (Poinsot kietosios medžiagos)

Daugeliui skaitytojų gali kilti klausimas: „Kam iš viso mokytis taisyklingųjų daugiakampių? Kokia iš jų nauda?" Į šį klausimą galima atsakyti: „O kokia nauda iš muzikos ar poezijos? Ar viskas, kas gražu, naudinga? Daugiakampiai modeliai, parodyti Fig. 1-7, visų pirma, daro mums estetinį įspūdį ir gali būti naudojami kaip dekoratyviniai papuošalai. Tačiau iš tikrųjų platus taisyklingų daugiakampių pasireiškimas natūraliose struktūrose sukėlė didelį susidomėjimą šia geometrijos šaka. šiuolaikinis mokslas.

Egipto kalendoriaus paslaptis

Kas yra kalendorius?

Rusų patarlė sako: „Laikas yra istorijos akis“. Viskas, kas egzistuoja Visatoje: Saulė, Žemė, žvaigždės, planetos, žinomi ir nežinomi pasauliai ir viskas, kas egzistuoja gamtoje, gyva ir negyva, viskas turi erdvės ir laiko matmenį. Laikas matuojamas stebint periodiškai pasikartojančius tam tikros trukmės procesus.

Dar senovėje žmonės pastebėdavo, kad diena visada užleidžia vietą nakčiai, o metų laikai praeina griežta seka: po žiemos ateina pavasaris, po pavasario – vasara, po vasaros – ruduo. Ieškodamas užuominos apie šiuos reiškinius, žmogus atkreipė dėmesį į dangaus kūnus – Saulę, Mėnulį, žvaigždes – ir į griežtą jų judėjimo dangumi periodiškumą. Tai buvo pirmieji stebėjimai prieš gimstant vienam seniausių mokslų – astronomijai.

Astronomija laiko matavimą grindė dangaus kūnų judėjimu, kuris atspindi tris veiksnius: Žemės sukimąsi aplink savo ašį, Mėnulio apsisukimą aplink Žemę ir Žemės judėjimą aplink Saulę. Kuriuo iš šių reiškinių pagrįstas laiko matavimas, priklauso ir skirtingos laiko sampratos. Astronomija žino žvaigždžių laikas, saulėta laikas, vietinis laikas, juosmens laikas, motinystės atostogos laikas, atominis laikas ir kt.

Saulė, kaip ir visi kiti šviesuliai, dalyvauja judėjime danguje. Be kasdienio judėjimo, Saulė turi vadinamąjį metinį judėjimą, o visas kasmetinio Saulės judėjimo dangumi kelias vadinamas ekliptika. Jei, pavyzdžiui, tam tikrą vakaro valandą pastebėsime žvaigždynų išsidėstymą, o vėliau šį stebėjimą kartosime kas mėnesį, tada prieš mus atsiras kitoks dangaus vaizdas. Žvaigždėto dangaus vaizdas nuolat keičiasi: kiekvienas sezonas turi savo vakaro žvaigždynų paveikslą ir kiekvienas toks vaizdas kartojasi kasmet. Vadinasi, metams pasibaigus, Saulė žvaigždžių atžvilgiu grįžta į pradinę vietą.

Kad būtų patogiau orientuotis žvaigždžių pasaulyje, astronomai visą dangų padalijo į 88 žvaigždynus. Kiekvienas iš jų turi savo pavadinimą. Iš 88 žvaigždynų ypatingą vietą astronomijoje užima tie, per kuriuos eina ekliptika. Šie žvaigždynai, be savo pavadinimų, taip pat turi apibendrintą pavadinimą - zodiako(nuo Graikiškas žodis„zoop“ gyvūnas), taip pat visame pasaulyje plačiai žinomi simboliai (ženklai) ir įvairūs alegoriniai vaizdai, įtraukti į kalendoriaus sistemas.

Yra žinoma, kad judant išilgai ekliptikos, Saulė kerta 13 žvaigždynų. Tačiau astronomai suprato, kad Saulės kelią reikia padalyti ne į 13, o į 12 dalių, sujungiant Skorpiono ir Ophiuchus žvaigždynus į vieną bendrą pavadinimą Skorpionas (kodėl?).

Laiko matavimo problemas sprendžia specialus mokslas, vadinamas chronologija. Jis yra visų žmonijos sukurtų kalendorių sistemų pagrindas. Kalendorių kūrimas senovėje buvo vienas svarbiausių astronomijos uždavinių.

Kas yra „kalendorius“ ir kas yra kalendorių sistemos? Žodis kalendorius kilęs iš lotyniško žodžio kalendorius, kuris pažodžiui reiškia „skolų knyga“; tokiose knygose buvo nurodytos pirmosios kiekvieno mėnesio dienos - kalendoriai, kuriame į Senovės Roma skolininkai moka palūkanas.

Nuo seniausių laikų Rytų ir šalyse Pietryčių Azija gaminant kalendorius didelę reikšmę davė Saulės, Mėnulio judėjimo periodiškumą, taip pat Jupiteris ir Saturnas, dvi milžiniškos Saulės sistemos planetos. Yra pagrindo manyti, kad idėja kurti jupiterio kalendorius su dangiška 12 metų gyvulių ciklo simbolika, susijusia su sukimu Jupiteris aplink Saulę, o tai visiškai apsisuka aplink Saulę per maždaug 12 metų (11 862 metų). Kita vertus, antroji milžiniška Saulės sistemos planeta - Saturnas per maždaug 30 metų (29 458 metų) padaro visišką revoliuciją aplink Saulę. Senovės kinai, norėdami koordinuoti milžiniškų planetų judėjimo ciklus, sugalvojo įvesti 60 metų Saulės sistemos ciklą. Per šį ciklą Saturnas daro 2 pilnus apsisukimus aplink Saulę, o Jupiteris – 5.

Kuriant metinius kalendorius naudojami astronominiai reiškiniai: dienos ir nakties kaita, mėnulio fazių kaita ir metų laikų kaita. Naudojant įvairius astronominius reiškinius, buvo sukurti trijų tipų kalendoriai tarp įvairių tautų: mėnulis, remiantis mėnulio judėjimu, saulės, remiantis saulės judėjimu, ir mėnulio saulės.

Egipto kalendoriaus struktūra

Vienas pirmųjų saulės kalendorių buvo egiptiečių, sukurtas IV tūkstantmetyje pr. Pradiniai Egipto kalendoriniai metai sudarė 360 dienų. Metai buvo padalinti į 12 mėnesių, kurių kiekvienas buvo lygiai 30 dienų. Tačiau vėliau buvo nustatyta, kad tokia kalendorinių metų trukmė neatitinka astronominės. Ir tada egiptiečiai prie kalendorinių metų pridėjo dar 5 dienas, kurios vis dėlto nebuvo mėnesių dienos. Buvo 5 valstybines šventes jungiantys gretimus kalendorinius metus. Taigi Egipto kalendoriniai metai turėjo tokią struktūrą: 365 = 12ґ 30 + 5. Atkreipkite dėmesį, kad būtent Egipto kalendorius yra šiuolaikinio kalendoriaus prototipas.

Kyla klausimas: kodėl egiptiečiai kalendorinius metus padalijo į 12 mėnesių? Juk buvo kalendorių su skirtingu mėnesių skaičiumi metuose. Pavyzdžiui, majų kalendoriuje metus sudarė 18 mėnesių po 20 dienų per mėnesį. Kitas klausimas dėl Egipto kalendoriaus – kodėl kiekvienas mėnuo turėjo lygiai 30 dienų ( tiksliau dienomis)? Kai kurie klausimai gali kilti dėl Egipto laiko matavimo sistemos, ypač dėl tokių laiko vienetų pasirinkimo kaip valanda, minutė, sekundė. Visų pirma, kyla klausimas: kodėl buvo pasirinktas toks valandos vienetas, kad jis tilptų tiksliai 24 kartus per dieną, tai yra, kodėl 1 diena = 24 (2ґ 12) valandos? Toliau: kodėl 1 valanda = 60 minučių ir 1 minutė = 60 sekundžių? Tie patys klausimai taikomi pasirenkant kampinių dydžių vienetus, ypač: kodėl apskritimas padalintas į 360°, tai yra, kodėl 2p = 360° = 12ґ 30°? Prie šių klausimų pridedami kiti, visų pirma: kodėl astronomai manė, kad tikslinga manyti, kad yra 12 zodiakoženklai, nors iš tikrųjų, judėdama palei ekliptiką, Saulė kerta 13 žvaigždynų? Ir dar vienas „keistas“ klausimas: kodėl Babilono skaičių sistema turėjo labai neįprastą pagrindą – skaičių 60?

Egipto kalendoriaus ryšys su skaitinėmis dodekaedro charakteristikomis

Analizuodami Egipto kalendorių, taip pat Egipto laiko ir kampinių verčių matavimo sistemas, matome, kad keturi skaičiai kartojasi su nuostabia pastovumu: 12, 30, 60 ir iš jų gautas skaičius 360 = 12ґ 30. Kyla klausimas: ar Ar yra kokia nors pagrindinė mokslinė idėja, kuri galėtų duoti paprastą ir logišką šių skaičių naudojimo Egipto sistemose paaiškinimą?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, vėl kreipiamės į dodekaedras parodyta pav. 1-d. Prisiminkite, kad visi geometriniai dodekaedro santykiai yra pagrįsti aukso pjūviu.

Ar egiptiečiai žinojo dodekaedrą? Matematikos istorikai pripažįsta, kad senovės egiptiečiai žinojo apie taisyklingąsias daugiakampes. Bet ar jie žinojo visus penkis taisyklingus daugiakampius, ypač dodekaedras ir ikosaedras kaip patys sunkiausi? Senovės graikų matematikas Proklas taisyklingų daugiakampių konstrukciją priskiria Pitagorui. Tačiau daugelis matematinių teoremų ir rezultatų (ypač Pitagoro teorema) Pitagoras pasiskolino iš senovės egiptiečių per savo labai ilgą „verslo kelionę“ į Egiptą (pagal kai kuriuos pranešimus, Pitagoras Egipte gyveno 22 metus!). Todėl galime daryti prielaidą, kad Pitagoras žinių apie taisyklingas daugiabriaunes veikiausiai taip pat pasiskolino iš senovės egiptiečių (o galbūt ir iš senovės babiloniečių, nes, pasak legendos, Pitagoras senovės Babilone gyveno 12 metų). Tačiau yra ir kitų, tvirtesnių įrodymų, kad egiptiečiai turėjo informacijos apie visus penkis taisyklingus daugiakampius. Visų pirma, Britų muziejuje yra Ptolemėjo kauliukai ikosaedras, tai yra „platoniškas kietasis“, dvigubas dodekaedras. Visi šie faktai suteikia mums teisę iškelti hipotezę, kad Egiptiečiai žinojo dodekaedrą. Ir jei taip yra, tai iš šios hipotezės išplaukia labai darni sistema, leidžianti paaiškinti Egipto kalendoriaus kilmę, o kartu ir egiptietiškos laiko intervalų ir geometrinių kampų matavimo sistemos kilmę.

Anksčiau nustatėme, kad dodekaedras turi 12 paviršių, 30 briaunų ir 60 plokščių kampų (1 lentelė). Remiantis hipoteze, kurią žinojo egiptiečiai dodekaedras ir jo skaitinės charakteristikos 12, 30. 60, tada koks buvo jų nuostaba, kai jie atrado, kad tie patys skaičiai išreiškia Saulės sistemos ciklus, būtent 12 metų Jupiterio ciklą, 30 metų Saturno ciklą ir galiausiai , 60-osios saulės sistemos vasaros ciklas. Taigi, tarp tokios tobulos erdvinės figūros kaip dodekaedras, ir saulės sistema, yra gilus matematinis ryšys! Tokią išvadą padarė senovės mokslininkai. Tai lėmė tai, kad dodekaedras buvo priimta kaip „pagrindinė figūra“, kuri simbolizavo Visatos harmonija. Ir tada egiptiečiai nusprendė, kad visos pagrindinės jų sistemos (kalendoriaus sistema, laiko matavimo sistema, kampų matavimo sistema) turi atitikti skaitinius parametrus. dodekaedras! Kadangi, remiantis senolių idėjomis, Saulės judėjimas išilgai ekliptikos buvo griežtai apskrito pobūdžio, tada, pasirinkę 12 Zodiako ženklų, kurių lanko atstumas buvo lygiai 30 °, egiptiečiai stebėtinai gražiai sutiko. metinis judėjimas Saulės palei ekliptiką su jų kalendorinių metų struktūra: vienas mėnuo atitiko Saulės judėjimą išilgai ekliptikos tarp dviejų gretimų Zodiako ženklų! Be to, Saulės judėjimas vienu laipsniu atitiko vieną dieną Egipte kalendoriniai metai! Šiuo atveju ekliptika buvo automatiškai padalinta į 360°. Kiekvieną dieną padaliję į dvi dalis, sekdami dodekaedrą, egiptiečiai padalino kiekvieną dienos pusę į 12 dalių (12 veidų dodekaedras) ir taip įvesta valandą yra svarbiausias laiko vienetas. Vieną valandą padalinti į 60 minučių (60 plokščių kampų ant paviršiaus dodekaedras), egiptiečiai tokiu būdu pristatė minutė yra kitas svarbus laiko vienetas. Panašiai jie įėjo duok man sekundę– mažiausias to laikotarpio laiko vienetas.

Taigi, pasirenkant dodekaedras kaip pagrindinė „harmoninė“ visatos figūra ir griežtai vadovaudamiesi 12, 30, 60 dodekaedro skaitinėmis charakteristikomis, egiptiečiams pavyko sukurti itin harmoningą kalendorių, taip pat laiko ir kampinių verčių matavimo sistemas. Šios sistemos visiškai atitiko jų „harmonijos teoriją“, pagrįstą aukso pjūviu, nes būtent ši proporcija yra pagrindas. dodekaedras.

Šios stebinančios išvados išplaukia iš palyginimo dodekaedras su saulės sistema. Ir jeigu mūsų hipotezė teisinga (tegul kas nors pabando ją paneigti), vadinasi, žmonija gyvuoja daugelį tūkstantmečių po aukso pjūvio ženklu! Ir kiekvieną kartą, kai žiūrime į savo laikrodžio ciferblatą, kuris taip pat sukurtas naudojant skaitinės charakteristikos dodekaedras 12, 30 ir 60, mes patys to nežinodami paliečiame pagrindinę „Visatos paslaptį“ prie aukso pjūvio!

Dano Shechtmano kvazikristalai

1984 m. lapkričio 12 d. trumpame Izraelio fiziko Dano Shechtmano straipsnyje, paskelbtame prestižiniame žurnale „Physical Review Letters“, buvo pateikti eksperimentiniai įrodymai, kad egzistuoja išskirtinių savybių turintis metalų lydinys. Tiriant elektronų difrakcija, šis lydinys parodė visus kristalo požymius. Jo difrakcijos raštas yra sudarytas iš ryškių ir reguliariai išdėstytų taškų, kaip ir kristalas. Tačiau šiam paveikslui būdinga „ikosaedrinė“ arba „penkiakampė“ simetrija, kuri kristale griežtai draudžiama dėl geometrinių sumetimų. Tokie neįprasti lydiniai buvo vadinami kvazikristalai. Mažiau nei per metus buvo atrasta daug kitų tokio tipo lydinių. Jų buvo tiek daug, kad kvazikristalinė būsena pasirodė esanti daug dažniau nei galima įsivaizduoti.

Izraelio fizikas Danas Shechtmanas

Kvazikristalo sąvoka yra labai svarbi, nes ji apibendrina ir užbaigia kristalo apibrėžimą. Šia koncepcija pagrįsta teorija pakeičia seną idėją apie „struktūrinio vieneto, kartojamo erdvėje griežtai periodiškai“ idėją pagrindine sąvoka. toli tvarka. Kaip pabrėžiama straipsnyje „Kvazikristalai“ garsus fizikas D Gratia, „Ši koncepcija paskatino kristalografijos plėtrą, kurios iš naujo atrastus turtus mes tik pradedame tyrinėti. Jo reikšmę mineralų pasaulyje galima prilyginti neracionaliųjų skaičių sąvokos pridėjimui prie racionaliųjų matematikoje.

Kas yra kvazikristalas? Kokios jo savybės ir kaip ją galima apibūdinti? Kaip minėta aukščiau, pagal Pagrindinis kristalografijos dėsnis kristalų struktūrai taikomi griežti apribojimai. Remiantis klasikinėmis idėjomis, kristalas ad infinitum sudarytas iš vienos ląstelės, kuri turi tankiai (akis į akį) „uždengti“ visą plokštumą be jokių apribojimų.

Kaip žinoma, tankus plokštumos užpildymas gali būti atliekamas naudojant trikampiai(7-a pav.), kvadratai(7-b pav.) ir šešiakampiai(7-d pav.). Naudojant penkiakampiai (penkiakampiai) toks užpildymas neįmanomas (7-c pav.).

a)	b)	in)	G)

7 pav Tankus plokštumos užpildymas gali būti atliekamas naudojant trikampius (a), kvadratus (b) ir šešiakampius (d).

Tai buvo tradicinės kristalografijos kanonai, egzistavę prieš atrandant neįprastą aliuminio ir mangano lydinį, vadinamą kvazikristalu. Toks lydinys susidaro itin greitai aušinant lydalą 10 6 K per sekundę greičiu. Tuo pačiu metu, atliekant tokio lydinio difrakcijos tyrimą, ekrane rodomas tvarkingas raštas, būdingas ikosaedro, turinčio garsiąsias 5-osios eilės draudžiamąsias simetrijos ašis, simetrijai.

Keletas mokslo grupių visame pasaulyje per ateinančius kelerius metus tyrė šį neįprastą lydinį elektroniniu mikroskopu. didelės raiškos. Visi jie patvirtino idealų medžiagos homogeniškumą, kai makroskopiniuose regionuose, kurių matmenys artimi atomams (kelios dešimtys nanometrų), buvo išsaugota 5-osios eilės simetrija.

Remiantis šiuolaikinėmis pažiūromis, kvazikristalo kristalinei struktūrai gauti buvo sukurtas toks modelis. Šis modelis pagrįstas „pagrindinio elemento“ sąvoka. Pagal šį modelį vidinį aliuminio atomų ikosaedrą supa išorinis mangano atomų ikosaedras. Ikozaedrai yra sujungti mangano atomų oktaedrais. „Pagrindinis elementas“ turi 42 aliuminio atomus ir 12 mangano atomų. Kietėjimo procese sparčiai formuojasi „pagrindiniai elementai“, kurie greitai sujungiami vienas su kitu standžiais oktaedriniais „tiltais“. Prisiminkite, kad ikosaedro paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Norint suformuoti oktaedrinį mangano tiltelį, būtina, kad du tokie trikampiai (po vieną kiekvienoje ląstelėje) priartėtų pakankamai arti vienas kito ir išsirikiuotų lygiagrečiai. Dėl tokio fizinio proceso susidaro kvazikristalinė struktūra su „ikosaedrine“ simetrija.

Pastaraisiais dešimtmečiais buvo atrasta daugybė kvazikristalinių lydinių tipų. Be „ikosaedrinės“ simetrijos (5 eilės), taip pat yra lydinių, turinčių dešimtkampę simetriją (10 eilės) ir dvikampę simetriją (12 eilės). Kvazikristalų fizinės savybės pradėtos tyrinėti visai neseniai.

Kokia praktinė kvazikristalų atradimo reikšmė? Kaip pažymėta anksčiau minėtame Gratia straipsnyje, „kvazikristalinių lydinių mechaninis stiprumas smarkiai padidėja; dėl periodiškumo nebuvimo sulėtėja dislokacijų plitimas, palyginti su įprastais metalais... Ši savybė turi didelę praktinę reikšmę: naudojant ikosaedrinę fazę bus galima gauti lengvus ir labai stiprius lydinius, įvedant mažas metalų daleles. kvazikristalai į aliuminio matricą.

Kokia yra kvazikristalų atradimo metodologinė reikšmė? Visų pirma, kvazikristalų atradimas yra „dodekaedrinės-ikosaedrinės doktrinos“, persmelkiančios visą gamtos mokslų istoriją ir gilių bei naudingų mokslinių idėjų šaltinis, didžiojo triumfo akimirka. Antra, kvazikristalai sugriovė tradicinę neįveikiamos takoskyros tarp mineralų pasaulio, kuriame „penkiakampė“ simetrija buvo uždrausta, ir laukinės gamtos pasaulio, kur „penkiakampė“ simetrija yra viena labiausiai paplitusių, sampratą. Ir neturėtume pamiršti, kad pagrindinė ikosaedro proporcija yra „aukso pjūvis“. O kvazikristalų atradimas yra dar vienas mokslinis patvirtinimas, kad galbūt būtent „auksinė proporcija“, pasireiškianti tiek laukinės gamtos, tiek mineralų pasaulyje, yra pagrindinė Visatos proporcija.

Penrose plytelės

Kai Danas Shechtmanas pateikė eksperimentinį kvazikristalų egzistavimo įrodymą su ikosaedrinė simetrija, fizikai, ieškodami teorinio kvazikristalų reiškinio paaiškinimo, atkreipė dėmesį į matematikos atradimą, kurį prieš 10 metų padarė anglų matematikas Rogeris Penrose'as. Mes pasirinkome kaip kvazikristalų „plokštų analogą“. penrose plytelės, kurios yra aperiodinės taisyklingos struktūros, suformuotos iš „storų“ ir „plonų“ rombų, paklūstančių „aukso pjūvio“ proporcijoms. Būtent penrose plytelės buvo priimtas kristalografų, kad paaiškintų šį reiškinį kvazikristalai. Tuo pačiu ir vaidmuo Penrose deimantai pradėjo žaisti trijų dimensijų erdvėje ikosaedra, kurio pagalba atliekamas tankus trimatės erdvės užpildymas.

Dar kartą atidžiai apsvarstykite penkiakampį pav. aštuoni.

8 pav Pentagonas

Jame nubrėžus įstrižaines, originalų penkiakampį galima pavaizduoti kaip trijų tipų rinkinį geometrines figūras. Centre yra naujas penkiakampis, suformuotas iš įstrižainių susikirtimo taškų. Be to, penkiakampis pav. 8 yra penki lygiašoniai trikampiai, nuspalvinti geltona, ir penki lygiašoniai trikampiai, nuspalvinti raudonai. Geltonieji trikampiai yra „auksiniai“, nes klubo ir pagrindo santykis yra lygus aukso pjūviui; jų smailieji kampai viršūnėje yra 36°, o apačioje - 72°. Raudoni trikampiai taip pat yra „auksiniai“, nes klubo ir pagrindo santykis yra lygus auksiniam pjūviui; jų bukas kampas viršūnėje yra 108°, o smailieji – 36° prie pagrindo.

O dabar sujungkime du geltonus trikampius ir du raudonus trikampius su jų pagrindais. Dėl to gauname du "auksinis" rombas. Pirmasis (geltonas) turi aštrus kampas 36° kampu ir buku kampu 144° (9 pav.).

a)	b)

9 pav. Auksiniai" rombai: a) "plonas" rombas; b) „storas“ rombas

Rombas pav. 9 - ir mes paskambinsime plonas rombas, ir rombas pav. 9-b - storas rombas.

Anglų matematikas ir fizikas Rogersas Penrose'as naudojo „auksinius“ rombus Fig. 9 „auksinio“ parketo statybai, kuris buvo pavadintas Penrose plytelės. Penrose plytelės yra storų ir plonų deimantų derinys, parodytas pav. dešimt.

10 pav. Penrose plytelės

Svarbu tai pabrėžti penrose plytelės turi "penkiakampę" simetriją arba 5-osios eilės simetriją, o storų ir plonų rombų skaičiaus santykis linkęs į auksinį pjūvį!

Fullerenai

O dabar pakalbėkime apie dar vieną išskirtinį šiuolaikinį atradimą chemijos srityje. Šis atradimas buvo atliktas 1985 m., tai yra, keliais metais vėliau nei kvazikristalai. Kalbame apie vadinamuosius „fullerenus“. Terminas „fullerenai“ reiškia uždaras molekules, tokias kaip C60, C70, C76, C84, kuriose visi anglies atomai yra sferiniame arba sferoidiniame paviršiuje. Šiose molekulėse anglies atomai yra taisyklingų šešiakampių arba penkiakampių, dengiančių rutulio ar sferoido paviršių, viršūnėse. Centrinę vietą tarp fullerenų užima C 60 molekulė, kuriai būdinga didžiausia simetrija ir dėl to didžiausias stabilumas. Šioje molekulėje, primenančioje futbolo kamuolio padangą ir turinčioje taisyklingo nupjauto ikosaedro struktūrą (2e pav. ir 3 pav.), anglies atomai yra sferiniame paviršiuje 20 taisyklingų šešiakampių ir 12 taisyklingų penkiakampių viršūnėse, todėl kiekvienas šešiakampis ribojasi su trimis šešiakampiais ir trimis penkiakampiais, o kiekvienas penkiakampis ribojasi su šešiakampiais.

Terminas „fullerenas“ kilęs iš amerikiečių architekto Buckminsterio Fullerio vardo, kuris, pasirodo, tokias konstrukcijas naudojo statydamas pastatų kupolus (dar vienas nupjauto ikosaedro panaudojimas!).

„Fulerenai“ iš esmės yra „žmogaus sukurtos“ struktūros, gautos iš fundamentinių fizikos tyrimų. Pirmą kartą juos susintetino mokslininkai G. Kroto ir R. Smalley (gavę 1996 m. Nobelio premija už šį atradimą). Tačiau jie netikėtai buvo rasti Prekambro laikotarpio uolienose, tai yra, fullerenai pasirodė ne tik „žmogaus sukurti“, bet ir natūralūs dariniai. Dabar fullerenai intensyviai tiriami laboratorijose. skirtingos salys, bandant nustatyti jų susidarymo sąlygas, struktūrą, savybes ir galimas taikymo sritis. Labiausiai ištirtas fullerenų šeimos atstovas yra fullerenas-60 (C 60) (kartais vadinamas buckminster fullerenu. Taip pat žinomi fulerenai C 70 ir C 84. Fullerenas C 60 gaunamas garinant grafitą helio atmosferoje. Tai. susidaro smulkūs, į suodžius panašūs milteliai, kuriuose yra 10 % anglies, ištirpinus benzene, iš miltelių susidaro raudonas tirpalas, iš kurio išauginami C 60 kristalai. fizines savybes. Taigi, esant aukštam slėgiui, C 60 tampa kietas, kaip deimantas. Jo molekulės sudaro kristalinę struktūrą, tarsi sudarytą iš idealiai lygių rutuliukų, laisvai besisukančių į veidą nukreiptoje kubinėje grotelėje. Dėl šios savybės C 60 gali būti naudojamas kaip kietas tepalas. Fullerenai taip pat turi magnetinių ir superlaidžių savybių.

Rusijos mokslininkai A.V. Jeletskis ir B.M. Smirnovas straipsnyje „Fullerenes“, paskelbtame žurnale „Uspekhi fizicheskikh nauk“ (1993, 163 tomas, nr. 2), pažymi, kad "fullerenai, kurių egzistavimas buvo nustatytas 80-ųjų viduryje ir efektyvi technologija kurios izoliacija buvo sukurta 1990 m., dabar tapo dešimčių mokslinių grupių intensyvių tyrimų objektu. Šių tyrimų rezultatus atidžiai stebi paraiškų teikimo įmonės. Kadangi ši anglies modifikacija pateikė mokslininkams daugybę netikėtumų, būtų neprotinga diskutuoti apie prognozes ir galimos pasekmės fulerenų tyrimas ateinantį dešimtmetį, tačiau reikia pasiruošti naujiems netikėtumams.

Slovėnijos menininkės Matiuškos Teijos Kraszek meninis pasaulis

Matjuska Teja Krasek kolegijoje įgijo tapybos bakalauro laipsnį vaizdiniai menai(Liubliana, Slovėnija) ir yra laisvai samdomas menininkas. Gyvena ir dirba Liublianoje. Jos teorinės ir praktinis darbas orientuojasi į simetriją kaip jungiančią meną ir mokslą sąvoką. Jos meno kūriniai buvo pristatyti daugelyje tarptautinių parodų ir publikuoti tarptautiniuose žurnaluose (Leonardo Journal, Leonardo on-line).

M.T. Kraszek savo parodoje „Kaleidoskopiniai kvapai“, Liublianoje, 2005 m

Matyushka Teijos Kraszek meninė kūryba siejama su įvairiomis simetrijos rūšimis, Penrose plytelėmis ir rombais, kvazikristalais, aukso pjūviu kaip pagrindiniu simetrijos elementu, Fibonačio skaičiais ir kt. Refleksijos, vaizduotės ir intuicijos pagalba ji stengiasi rasti naujus santykius, naujus struktūros lygius, naują ir kitokią tvarką šiuose elementuose ir struktūrose. Savo darbuose ji plačiai naudoja kompiuterinę grafiką kaip labai naudingą meno kūrinių kūrimo priemonę, kuri yra mokslo, matematikos ir meno sąsaja.

Ant Fig. 11 parodyta T. M. sudėtis. Crashek susijęs su Fibonačio skaičiais. Parinkę vieną iš Fibonačio skaičių (pavyzdžiui, 21 cm) Penrose deimanto kraštinės ilgiui šioje pastebimai nestabilioje kompozicijoje, galime stebėti, kaip kai kurių kompozicijos segmentų ilgiai sudaro Fibonačio seką.

11 pav. Matushka Teija Kraszek „Fibonačio skaičiai“, drobė, 1998 m.

Daug meninių dailininko kompozicijų yra skirta Shechtmano kvazikristalams ir Penrose'o grotelėms (12 pav.).

a)	b)

(į)	(G)

12 pav. Theia Kraszek pasaulis: a) kvazikristalų pasaulis. Kompiuterinė grafika, 1996 m.
b) žvaigždės. Kompiuterinė grafika, 1998 (c) 10/5. Holst, 1998 (d) Kvazikubas. Drobė, 1999 m

Matyuškos Teijos Kraszek ir Cliffordo Pickoverio kompozicijoje „Biogenezė“, 2005 (13 pav.), pateiktas dešimtkampis, susidedantis iš Penrose'o rombų. Galima stebėti Petrouse deimantų ryšį; kas du gretimi Penrose deimantai sudaro penkiakampę žvaigždę.

13 pav. Matushka Theia Kraszek ir Cliffordas Pickoveris. Biogenezė, 2005 m.

nuotraukoje Double Star GA(14 pav.) matome, kaip Penrose plytelės dera tarpusavyje, kad sudarytų dvimatį potencialiai hiperdimensinio objekto atvaizdą su dešimtakampiu pagrindu. Vaizduodamas paveikslą menininkas naudojo Leonardo da Vinci pasiūlytą kietų briaunų metodą. Būtent toks vaizdavimo būdas leidžia paveikslo projekcijoje į plokštumą pamatyti daugybę penkiakampių ir penkiakampių, kuriuos sudaro atskirų Penrose rombų briaunų projekcijos. Be to, paveikslo projekcijoje į plokštumą matome dešimtkampį, sudarytą iš 10 gretimų Penrose rombų kraštų. Iš esmės šiame paveikslėlyje Matyushka Teija Kraszek rado naują taisyklingą daugiakampį, kuris, tikėtina, tikrai egzistuoja gamtoje.

14 pav. Motina Teia Kraszek. Double Star GA

Crashek kompozicijoje „Žvaigždės Donaldui“ (15 pav.) galime stebėti nesibaigiančią Penrose'o rombų, pentagramų, penkiakampių sąveiką, mažėjančią link centrinio kompozicijos taško. Aukso pjūvio santykiai įvairiais būdais pateikiami skirtingose ​​skalėse.

15 pav. Matyushka Teija Kraszek „Žvaigždės Donaldui“, kompiuterinė grafika, 2005 m.

Matyuškos Teijos Kraszek meninės kompozicijos sulaukė didelio mokslo ir meno atstovų dėmesio. Jos menas prilyginamas Mauritso Escherio menui, o Slovėnijos menininkas vadinamas „Rytų Europos Escher“ ir „Slovėnijos dovana“ pasaulio menui.

Stachovas A.P. „Da Vinčio kodas“, Platono ir Archimedo kietosios medžiagos, kvazikristalai, fullerenai, Penrose'o gardelės ir Matyuškos Teijos Kraszek meninis pasaulis // „Trejybės akademija“, M., El Nr. 77-6567, publikacija 12561, 11 07. 2005 m

Įvadas

Šis kursinis darbas skirtas:

1) įtvirtinti, gilinti ir plėsti teorines žinias paviršių ir objektų modeliavimo metodų srityje, praktinius įgūdžius ir metodų programinio diegimo įgūdžius;

2) tobulinti savarankiško darbo įgūdžius;

3) ugdyti gebėjimą formuluoti sprendimus ir išvadas, juos logiškai ir įtikinamai išdėstyti.

Platono kietosios dalelės

Platono kietieji kūnai yra išgaubti daugiakampiai, kurių visi paviršiai yra taisyklingi daugiakampiai. Visi taisyklingo daugiakampio daugiakampiai kampai yra kongruentiški. Kaip matyti jau apskaičiavus plokščių kampų sumą viršūnėje, yra ne daugiau kaip penki išgaubti taisyklingi daugiakampiai. Žemiau nurodytu būdu galima įrodyti, kad yra lygiai penki taisyklingi daugiakampiai (tai įrodė Euklidas). Tai taisyklingasis tetraedras, šešiaedras (kubas), oktaedras, dodekaedras ir ikosaedras. Šių taisyklingų daugiakampių pavadinimai kilę iš Graikijos. AT pažodinis vertimas iš graikų kalbos „tetraedras“, „oktaedras“, „heksaedras“, „dodekaedras“, „ikosaedras“ reiškia: „tetraedras“, „oktaedras“, „šešiaedras“. dodekaedras, dodekaedras.

Lentelė Nr.1

2 lentelė

Vardas:	Apribotos sferos spindulys	Įbrėžtos sferos spindulys
Tetraedras
Šešiaedras
Dodekaedras
ikosaedras

Tetraedras- tetraedras, kurio visi paviršiai yra trikampiai, t.y. trikampė piramidė; taisyklingasis tetraedras yra apribotas keturiais lygiakraščiais trikampiais. (1 pav.).

Kubas arba įprastas šešiakampis- teisingai keturkampė prizmė vienodais kraštais, apribotas šešiais kvadratais. (1 pav.).

oktaedras- oktaedras; kūnas, apribotas aštuonių trikampių; taisyklingasis oktaedras ribojamas aštuonių lygiakraščių trikampių; vienas iš penkių taisyklingų daugiakampių. (1 pav.).

Dodekaedras- dodekaedras, kūnas, apribotas dvylikos daugiakampių; taisyklingas penkiakampis. (1 pav.).

ikosaedras- dvidešimties kraštų kūnas, kūnas, apribotas dvidešimties daugiakampių; taisyklingasis ikosaedras ribojamas dvidešimties lygiakraščių trikampių. (1 pav.).

Kubas ir oktaedras yra dualūs, t.y. gaunami vienas iš kito, jei vieno paviršių centroidai laikomi kito viršūnėmis ir atvirkščiai. Dodekaedras ir ikosaedras yra panašiai dualūs. Tetraedras yra dvejopas sau. Taisyklingas dodekaedras gaunamas iš kubo, ant jo paviršių sukonstruojant „stogus“ (Euklido metodas), tetraedro viršūnės yra bet kurios keturios kubo viršūnės, kurios nėra poromis gretimos išilgai briaunos. Taip iš kubo gaunami visi kiti taisyklingi daugiakampiai. Pats faktas, kad egzistuoja tik penki tikrai taisyklingi daugiakampiai, yra nuostabus – juk plokštumoje yra be galo daug taisyklingų daugiakampių!

Senovės Graikijoje buvo žinomi visi taisyklingi daugiakampiai, jiems skirta 13-oji Euklido „Pradžių“ knyga. Jie dar vadinami Platono kūnais, nes. jie užėmė svarbią vietą Platono filosofinėje visatos sandaros sampratoje. Keturi daugiakampiai jame įasmenino keturias esmes arba „elementus“. Tetraedras simbolizavo ugnį, nes. jo viršus nukreiptas į viršų; ikosaedras? vandens, nes jis yra pats „supratingiausias“; kubas - žemė, kaip „tvirčiausia“; oktaedras? oras, kaip pats „oriausias“. Penktasis daugiakampis – dodekaedras – įkūnijo „viską, kas egzistuoja“, simbolizavo visą visatą ir buvo laikomas pagrindiniu.

Senovės graikai visatos pagrindu laikė harmoningus santykius, todėl keturis elementus jungė tokia proporcija: žemė / vanduo = oras / ugnis.

Ryšium su šiais kūnais derėtų sakyti, kad pirmoji elementų sistema, kuri apėmė keturis elementus? žemę, vandenį, orą ir ugnį – kanonizavo Aristotelis. Šie elementai daugelį amžių išliko keturiais kertiniais visatos akmenimis. Visiškai įmanoma juos identifikuoti su keturiomis mums žinomomis materijos būsenomis – kieta, skysta, dujine ir plazmine.

Svarbią vietą harmoningos pasaulio sandaros sistemoje I. Kepleris užėmė taisyklingieji daugiakampiai. Visas tas pats tikėjimas harmonija, grožiu ir matematiškai taisyklinga visatos sandara paskatino I. Keplerį suprasti, kad kadangi yra penki taisyklingi daugiakampiai, juos atitinka tik šešios planetos. Jo nuomone, planetų sferas tarpusavyje jungia jose įrašyti platoniški kietieji kūnai. Kadangi kiekvieno taisyklingo daugiakampio įbrėžtosios ir apibrėžtosios sferų centrai sutampa, visas modelis turės vieną centrą, kuriame bus Saulė.

Atlikęs didžiulį skaičiavimo darbą, 1596 metais I. Kepleris savo atradimo rezultatus paskelbė knygoje „Visatos paslaptis“. Jis įrašo kubą Saturno orbitos sferoje, kube? Jupiterio sfera, Jupiterio sfera - tetraedras ir tt paeiliui dera vienas į kitą Marso sferą? dodekaedras, žemės sfera? ikosaedras, Veneros sfera? oktaedras, Merkurijaus sfera. Visatos paslaptis atrodo atvira.

Šiandien galime drąsiai teigti, kad atstumai tarp planetų nesusiję su jokiu daugiakampiu. Tačiau gali būti, kad be I. Keplerio „Visatos paslapčių“, „Pasaulio harmonijos“ taisyklingųjų daugiakampių nebūtų buvę trijų garsių I. Keplerio dėsnių, kurie vaidina svarbų vaidmenį apibūdinant judėjimą. planetų.

Kur dar galite pamatyti šiuos nuostabius kūnus? Praėjusio šimtmečio pradžios vokiečių biologo E. Haeckelio knygoje „Formų grožis gamtoje“ galima perskaityti tokias eilutes: „Gamta savo krūtinėje maitina neišsenkamą daugybę nuostabių būtybių, kurios grožis ir įvairovė, gerokai pranoksta visas žmogaus meno sukurtas formas“. Gamtos kūriniai šioje knygoje gražūs ir simetriški. Tai neatsiejama natūralios harmonijos savybė. Bet čia taip pat galite pamatyti vienaląsčius organizmus? feodarii, kurio forma tiksliai perteikia ikosaedrą. Kas lėmė tokią natūralią geometrizaciją? Galbūt dėl ​​visų daugiakampių, turinčių vienodą skaičių veidų, būtent ikosaedras turi didžiausią tūrį ir mažiausias plotas paviršiai. Ši geometrinė savybė padeda jūriniam mikroorganizmui įveikti vandens stulpelio slėgį.

Įdomu ir tai, kad būtent ikosaedras buvo biologų dėmesio centre ginčuose dėl virusų formos. Virusas negali būti visiškai apvalus, kaip manyta anksčiau. Norėdami nustatyti jo formą, jie paėmė įvairius daugiakampius, nukreipdami į juos šviesą tais pačiais kampais, kaip ir atomų srautas į virusą. Paaiškėjo, kad tik vienas daugiakampis suteikia lygiai tokį patį šešėlį? ikosaedras. Jo geometrines savybes, kurie buvo paminėti aukščiau, leidžia išsaugoti genetinę informaciją. Įprastas daugiakampis? pelningiausi skaičiai. Ir gamta tuo naudojasi. Kai kurių mums žinomų medžiagų kristalai yra taisyklingo daugiakampio pavidalo. Taigi, kubas perteikia natrio chlorido kristalų NaCl formą, aliuminio-kalio alūno (KAlSO4) 2 12H2O monokristalas turi oktaedro formą, pirito sulfido FeS kristalas turi dodekaedro formą, stibio natrio sulfatas yra tetraedras, boras yra ikosaedras. Įprasti daugiakampiai apibrėžia formą kristalinės grotelės kai kurios cheminės medžiagos.

Taigi, taisyklinga daugiakampė atskleidė mums mokslininkų bandymus priartėti prie pasaulio harmonijos paslapties ir parodė šių geometrinių figūrų nenugalimą patrauklumą ir grožį.

Net senovėje žmonės pastebėjo, kad kai kurios trimatės figūros turi ypatingų savybių. Tai vadinamieji taisyklingas daugiabriaunis- visi jų veidai yra vienodi, visi kampai viršūnėse yra vienodi. Kiekviena iš šių figūrų yra stabili ir gali būti įrašyta į sferą. Įvairių formų įvairovėje yra tik 5 taisyklingų daugiasluoksnių tipų (1 pav.).

Tetraedras- taisyklingas tetraedras, paviršiai yra lygiakraštiai trikampiai (1a pav.).

kubas- teisingas šešiakampis, veidai yra kvadratiniai (1b pav.).

oktaedras- taisyklingas oktaedras, paviršiai lygiakraštiai trikampiai (1c pav.).

Dodekaedras- taisyklingas dodekaedras, paviršiai taisyklingi penkiakampiai (1d pav.).

ikosaedras- taisyklingas dvidešimties laipsnis, kurio paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai (1e pav.).

Senovės graikų filosofas Platonas manė, kad kiekviena taisyklinga daugiakampė atitinka vieną iš 5 pirminių elementų. Pasak Platono, kubas atitinka žemę, tetraedras – ugnį, oktaedras – orą, ikosaedras – vandenį, dodekaedras – eterį. Be to, graikų filosofai išskyrė dar vieną pirminį elementą – tuštumą. Tai atitinka geometrine forma sfera, į kurią gali būti įrašytos visos platoniškos kietosios medžiagos.

Visi šeši elementai yra visatos statybiniai blokai. Kai kurie iš jų yra įprasti – žemė, vanduo, ugnis ir oras. Šiandien neabejotinai žinoma, kad įprastos daugiakampės arba platoninės kietosios medžiagos sudaro kristalų, įvairių cheminių medžiagų molekulių, struktūros pagrindą.

Žmogaus energetinis apvalkalas taip pat yra erdvinė konfigūracija. Išorinė žmogaus energetinio lauko riba yra rutulys, arčiausiai jos esanti figūra – dodekaedras. Tada energijos lauko figūros keičia viena kitą tam tikra tvarka, kartodamosi skirtingais ciklais. Pavyzdžiui, DNR molekulėje kaitaliojasi ikosaedrai ir dodekaedrai.

Nustatyta, kad platoniškos kietosios medžiagos gali turėti teigiamą poveikį žmogui. Šios formos turi galimybę modifikuoti, organizuoti energiją žmogaus kūno čakrose. Be to, kiekviena kristalinė forma turi teigiamą poveikį čakrai, kurios pagrindinį elementą ji atitinka.

Energijų disbalansas Muladharoje išnyksta naudojant kubą (žemės elementą), Svadhisthana reaguoja į ikosaedro (vandens elemento) poveikį, tetraedras (ugnies elementas) turi teigiamą poveikį Manipurai, Anahatos funkcijos atkuriamos naudojant oktaedras (oro elementas). Ta pati figūra prisideda prie normalaus Vishuddha veikimo. Abi viršutinės čakros – Ajna ir Sahasrara – gali būti koreguojamos dodekaedru.

Norint panaudoti platoniškų kietųjų kūnų savybes, šias figūrėles reikia pagaminti iš varinės vielos (dydis nuo 10 iki 30 cm skersmens). Galite piešti juos ant popieriaus arba išklijuoti iš kartono, tačiau varinės vielos rėmai yra efektyvesni. Platoniškų kietųjų kūnų modelius reikia pritvirtinti prie atitinkamų čakrų projekcijų ir šiek tiek atsigulti giliai atsipalaidavus.