Instrukcija

1 metodas. Pitagoro teoremos naudojimas. Teorema sako: hipotenuzės kvadratas yra lygi sumai kojų kvadratai. Iš to išplaukia, kad iš abiejų pusių taisyklingas trikampis galima apskaičiuoti žinant kitas dvi jo puses (2 pav.)

2 būdas. Iš to išplaukia, kad mediana, nubrėžta nuo į hipotenuzę, sudaro 3 panašius trikampius tarpusavyje (3 pav.). Šiame paveikslėlyje trikampiai ABC, BCD ir ACD yra panašūs.

6 pavyzdys: vienetų apskritimų naudojimas koordinatėms rasti

Pirmiausia randame atskaitos kampą, atitinkantį nurodytą kampą. Tada paimame atskaitos kampo sinuso ir kosinuso reikšmes ir suteikiame joms ženklus, atitinkančius kvadranto y ir x reikšmes. Toliau rasime nurodyto kampo kosinusą ir sinusą.

Sieto kampas, kampinis trikampis ir kubo šaknis

Tai apima daugiakampius, kuriuos galima sukurti naudojant kompasą ir tiesiąją briauną.

Pastaba: sieto kampo negalima nubraižyti kompasu ir tiesiuoju. Padauginus kubo kraštinės ilgį iš kubo šaknies iš 2, gaunamas dvigubo tūrio kubo kraštinės ilgis. Naudojant novatorišką prancūzų matematiko Evariste'o Galois teoriją, galima įrodyti, kad visiems trims klasikinės problemos konstrukcija su apskritimu ir liniuote neįmanoma.

Hipotenuzė yra stačiojo trikampio kraštinė, esanti priešais 90 laipsnių kampą. Norint apskaičiuoti jo ilgį, pakanka žinoti vienos iš kojelių ilgį ir vieno iš trikampio smailiųjų kampų vertę.

Turėkite omenyje: trijų komponentų kampo ir kubo šaknies konstrukcija neįmanoma su kompasu ir tiesiuoju.

Kita vertus, trečiojo laipsnio lygties sprendimas pagal Cardano formulę gali būti pavaizduotas dalijant kampą ir kubo šaknį. Ateityje mes statysime tam tikrą kampą su apskritimu ir liniuote. Tačiau atlikus šio kampo trikampį ir nustačius kubo šaknį, sieto kvadrato konstrukciją galima atlikti kompaso ir tiesiosios pagalba.

Grotelių pakloto konstrukcija pagal šį skaičiavimą

Konstravimo problemos algebrinė formuluotė veda į lygtį, kurios struktūrinė analizė suteiks papildomos informacijos apie trinarės struktūros konstravimą. Čia naudojamas kampo ir jo kosinuso santykis vienas su vienu: jei žinomas kampo dydis, kampo kosinuso ilgį galima vienareikšmiškai sukonstruoti vienetiniame apskritime ir atvirkščiai.

Instrukcija

Kai žinoma kojelė ir stačiojo trikampio smailusis kampas, hipotenuzės dydis gali būti lygus kojos ir šio kampo kosinuso / sinuso santykiui, jei šis kampas yra priešingas / greta:

h = C1(arba C2)/sinα;

h = С1(arba С2)/cosα.

Pavyzdys: Duotas stačiakampis trikampis ABC su hipotenuze AB ir stačiu kampu C. Tegul kampas B lygus 60 laipsnių, o kampas A 30 laipsnių. Kojos BC ilgis yra 8 cm Raskite hipotenuzės AB ilgį. Norėdami tai padaryti, galite naudoti bet kurį iš aukščiau siūlomų metodų:

Ši užduotis „vienas su vienu“ leidžia pereiti nuo kampo apibrėžimo prie kampo kosinuso apibrėžimo. Toliau 3 φ reiškia dalijamą kampą. Taigi φ yra kampas, kurio reikšmė turi būti nustatyta esant duotam 3 φ. Pradedant junginiais, žinomais iš trigonometrijos.

Seka tam tikru kampu 3 φ. Algebrinis trimatės lygties išsprendžiamumo svarstymas tiesiogiai veda prie klausimo apie galimybę sudaryti sprendinius ir, atitinkamai, prie klausimo, ar galima arba neįmanoma sukurti tam tikro kampo konstrukcinio trigubo kampo.

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Hipotenuzė yra stačiojo trikampio kraštinė, kuri yra priešinga stačiu kampu. Tai ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė. Jį galima apskaičiuoti naudojant Pitagoro teoremą arba naudojant formules trigonometrinės funkcijos.

Išėjimo kampo reikšmė turi didelę įtaką galimybei susieti trečiąjį kampą, nes tai, kaip absoliutus terminas, lemia sprendinių tipą trimatėje lygtyje. Jei trianguliacijos lygtis turi bent vieną realų sprendinį, kurį galima gauti racionaliais veiksmais arba braižant kvadratinės šaknys esant tam tikram pradiniam kampui, šis sprendimas yra konstruktyvus.

Breidenbachas kaip kriterijų suformulavo, kad trijų sekundžių kampas gali būti interpretuojamas tik racionaliame trijų dalių lygties sprendime. Jei tokio sprendimo nėra, trijų dalių konstrukcijos problema yra nesuderinama su kompasu ir liniuote. Klasterinė analizė yra bendras metodas mažoms grupėms surinkti iš didelio duomenų rinkinio. Panašiai kaip diskriminacinė analizė, klasterinė analizė taip pat naudojama stebėjimams klasifikuoti į grupes. Kita vertus, diskriminacinei analizei reikia žinoti priklausomybę grupei tais atvejais, kai nustatoma klasifikavimo taisyklė.

Instrukcija

Kojos vadinamos stačiojo trikampio kraštinėmis, esančiomis greta stačiojo kampo. Paveiksle kojos pažymėtos kaip AB ir BC. Pateikiame abiejų kojų ilgius. Pažymėkime juos kaip |AB| ir |BC|. Norėdami rasti hipotenuzės ilgį |AC|, naudojame Pitagoro teoremą. Pagal šią teoremą kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui, t.y. mūsų brėžinio žymėjime |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Iš formulės gauname, kad hipotenuzės AC ilgis randamas kaip |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

Klasterinė analizė yra primityvesnis metodas, nes nedaro prielaidų apie grupių skaičių ar grupės narystę. Klasifikavimo klasterių analizė suteikia galimybę atrasti galimus ryšius ir sukurti sisteminę struktūrą, apimančią daugybę kintamųjų ir stebėjimų. Hierarchinė klasterių analizė yra pagrindinė statistinis metodas ieškoti santykinai vienarūšių atvejų grupių pagal išmatuotas charakteristikas. Jis prasideda kiekvienu atveju kaip atskira grupė.

Tada klasteriai sujungiami nuosekliai, klasterių skaičius mažėja su kiekvienu žingsniu, kol lieka tik vienas klasteris. Klasterizacijos metodas naudoja skirtumus tarp objektų, kad sudarytų grupes. Hierarchinė klasterių analizė geriausiai tinka mažiems mėginiams.

Apsvarstykite pavyzdį. Tegu kojų ilgiai |AB| = 13, |BC| = 21. Pagal Pitagoro teoremą gauname, kad |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. iš numerio 610: |AC| = √610. Naudodamiesi sveikųjų skaičių kvadratų lentele, sužinome, kad skaičius 610 nėra tobulas bet kurio sveikojo skaičiaus kvadratas. Norėdami gauti galutinę hipotenuzės ilgio reikšmę, pabandykime išimti pilna aikštė iš po šaknies ženklo. Norėdami tai padaryti, skaičių 610 išskaidome į veiksnius. 610 \u003d 2 * 5 * 61. Pagal pirminių skaičių lentelę matome, kad 61 yra pirminis skaičius. Todėl toliau sumažinti skaičių √610 neįmanoma. Gauname galutinį atsakymą |AC| = √610.
Jei hipotenuzės kvadratas būtų, pavyzdžiui, 675, tai √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Jei toks užmetimas įmanomas, atlikite atvirkštinį patikrinimą – rezultatą kvadratuokite ir palyginkite su pradine verte.

Hierarchinė klasterių analizė yra tik vienas iš būdų stebėti vienarūšių kintamųjų grupių susidarymą. Nėra konkretaus būdo nustatyti analizei skirtų grupių skaičių. Gali tekti pažvelgti į dendrogramą, taip pat į klasterių charakteristikas, o tada pakoreguoti skaičių, kad gautumėte gerą klasterio sprendimą.

Kai kintamieji matuojami skirtingomis skalėmis, turite tris būdus, kaip standartizuoti kintamuosius. Dėl to visi kintamieji, kurių proporcijos yra maždaug vienodos, prisideda prie atstumo matavimo, net jei galite prarasti informaciją apie kintamųjų dispersiją.

Leiskite mums žinoti vieną iš kojų ir kampą, esantį šalia jos. Tikslumui tebūnie koja |AB| ir kampas α. Tada galime naudoti trigonometrinės funkcijos kosinuso formulę – kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui. Tie. mūsų žymėjime cos α = |AB| / |AC|. Iš čia gauname hipotenuzės ilgį |AC| = |AB| / cosα.
Jei žinome koją |BC| ir kampas α, tada kampo sinuso skaičiavimo formulę naudojame - kampo sinusas lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui: sin α = |BC| / |AC|. Gauname, kad hipotenuzės ilgis randamas kaip |AC| = |BC| / cosα.

Euklido atstumas: Euklido atstumas yra labiausiai paplitęs matavimo metodas. Euklido atstumas kvadratu: Euklido atstumas kvadratu sutelkia dėmesį į objektus, esančius toliau vienas nuo kito. Miesto bloko atstumas: tiek miesto kvartalai, tiek Euklido atstumas yra ypatingi Minkovskio metrikos atvejai. Nors Euklido atstumas atitinka trumpiausio kelio tarp dviejų taškų ilgį, miesto kvartalo atstumas yra atstumų išilgai kiekvieno matmens suma. Pirsono koreliacijos atstumas Skirtumas tarp 1 ir dviejų stebėjimų kosinuso koeficiento Kosinuso koeficientas yra kampo tarp dviejų vektorių kosinusas. Žakardo atstumas Skirtumas tarp 1 ir Žakardo koeficiento dviem stebėjimams Dvejetainių duomenų atveju Jaccard koeficientas yra lygus persidengimo dydžio ir dviejų stebėjimų sumos santykiui. Artimiausias kaimynas Šis metodas daro prielaidą, kad atstumas tarp dviejų grupių atitinka atstumą tarp objektų artimiausioje kaimynystėje. Geriausias kaimynas Šiuo metodu atstumas tarp dviejų grupių atitinka didžiausią atstumą tarp dviejų objektų skirtingose ​​klasteriuose. Grupės vidurkis: naudojant šį metodą atstumas tarp dviejų grupių atitinka vidutinį atstumą tarp visų objektų porų skirtinguose klasteriuose. Šis metodas paprastai rekomenduojamas, nes jame yra daugiau informacijos. Mediana Šis metodas yra identiškas centroidiniam metodui, išskyrus tai, kad jis yra nesvertinis. Tada kiekvienu atveju apskaičiuojamas kvadratinis Euklido atstumas iki klasterio vidurkio. Sujungiamas klasteris yra tas, kuris bent padidina sumą. Tai reiškia, kad šis metodas sumažina padidėjimą visas kiekis kvadratiniai atstumai klasteriuose. Šis metodas linkęs sukurti mažesnes grupes.

• Tai geometrinis atstumas daugiamatėje erdvėje.
• Jis tinka tik nuolatiniams kintamiesiems.
• Kosinuso atstumas Kampo tarp dviejų reikšmės vektorių kosinusas.
• Šis metodas rekomenduojamas braižant nubrėžtas grupes.
• Jei nubraižytos klasteriai suformuoja unikalius „klupus“, metodas tinka.
• Klasterio centroidas yra daugiamatės erdvės vidurio taškas.
• Jis neturėtų būti naudojamas, jei grupių dydžiai labai skiriasi.
• Visų kintamųjų Ward Mean reikšmės apskaičiuojamos kiekvienam klasteriui.
• Šie atstumai visais atvejais sumuojami.

Idėja yra sumažinti atstumą tarp duomenų ir atitinkamos klasterių grupės.

Aiškumo dėlei apsvarstykite pavyzdį. Tegu kojos ilgis |AB| = 15. O kampas α = 60°. Gauname |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Apsvarstykite, kaip galite patikrinti savo rezultatą naudodami Pitagoro teoremą. Norėdami tai padaryti, turime apskaičiuoti antrosios kojos ilgį |BC|. Naudojant kampo liestinės formulę tg α = |BC| / |AC|, gauname |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Toliau pritaikome Pitagoro teoremą, gauname 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Patikrinimas atliktas.

Sinuso funkcija apibrėžiama pagal sinuso sąvoką, atsižvelgiant į tai, kad kampas visada turi būti išreikštas radianais. Galime stebėti keletą sinusoidinės funkcijos savybių.

• Jūsų domene yra viskas tikra.
• Šiuo atveju sakoma, kad funkcija yra periodinė, su periodu 2π.

Kosinuso funkcija apibrėžiama remiantis kosinuso sąvoka, atsižvelgiant į tai, kad kampas visada turi būti išreikštas radianais.

Galime pastebėti keletą kosinuso funkcijos charakteristikų. Taip yra periodinis laikotarpis 2π. . Apribojimas nepanaikina formulės bendrumo, nes antrojo, trečiojo ir ketvirtojo kvadrantų kampus visada galime sumažinti į pirmąjį. Pratimas. - Apskaičiuokite 15º sinusą nenaudodami skaičiuotuvo.

Apskaičiavę hipotenuzą, patikrinkite, ar gauta reikšmė atitinka Pitagoro teoremą.

Šaltiniai:

• Lentelė pirminiai skaičiai nuo 1 iki 10 000

Kojos Pavadinkite dvi trumpąsias stačiojo trikampio kraštines, kurios sudaro jo viršūnę, kurios reikšmė yra 90 °. Trečioji tokio trikampio kraštinė vadinama hipotenuse. Visos šios trikampio kraštinės ir kampai yra tarpusavyje susiję tam tikrais ryšiais, kurie leidžia apskaičiuoti kojos ilgį, jei žinomi keli kiti parametrai.

Dviejų kampų sumos kosinusas

Dviejų kampų skirtumo kosinusas

Norėdami gauti formulę, galime elgtis taip pat, kaip ir ankstesniame skyriuje, tačiau pamatysime dar vieną labai paprastą demonstraciją, pagrįstą Pitagoro teorema. Supaprastindami ir pakeitę ženklą turime Dviejų kampų liestinės suma ir skirtumas.

Pratimas. Šiandienos straipsnyje apžvelgsime labai specifinį poaibį: trigonometrines funkcijas. Norėdami mėgautis viskuo, ką gali pasiūlyti matematika, turime ją importuoti. Kitame straipsnyje pamatysime kitus importavimo stilius, kurių kiekvienas turi savo privalumų ir trūkumų. Tačiau naudodamiesi šia paprasta instrukcija jau turite prieigą prie visos matematikos modulio vardų erdvės, užpildytos daugybe funkcijų, įskaitant tas, su kuriomis dirbsime šiandien.

Instrukcija

Naudokite Pitagoro teoremą, kad apskaičiuotumėte kojos ilgį (A), jei žinote kitų dviejų stačiojo trikampio kraštinių (B ir C) ilgį. Ši teorema teigia, kad kojų ilgių suma kvadratu yra lygi hipotenuzės kvadratui. Iš to išplaukia, kad kiekvienos kojos ilgis yra lygus kvadratinė šaknis iš hipotenuzės ir antrosios kojos ilgių kvadratų skirtumo: A=√(C²-B²).

Iš esmės turėsime apskaičiuoti kampo sinusą, kosinusą ir tangentą, taip pat jo atvirkštinės funkcijos. Be to, norėtume turėti galimybę dirbti tiek radianais, tiek laipsniais, kad galėtume naudoti ir atitinkamas konvertavimo funkcijas.

Turėtumėte nepamiršti, kad šios funkcijos tikisi, kad argumentas bus pateiktas radianais, o ne laipsniais. Šiuo tikslu jums bus įdomu žinoti, kad turite šią konstantą. Taigi galime naudoti šią išraišką vietoj skaitinės reikšmės.

Nėra tiesioginės kosekanto, sekanto ir kotangento funkcijos, nes tai nėra būtina, nes jie yra tiesiog atvirkštiniai sinuso, kosinuso ir liestinės atitinkamai. Kaip ir anksčiau, grįžtamasis kampas taip pat yra radianais. Kita naudinga matematikos funkcija leidžia sužinoti stačiojo trikampio hipotenuzės reikšmę, atsižvelgiant į jo kojeles, o tai leidžia apskaičiuoti kvadratinę šaknį iš jų kvadratų sumos.

Naudokite tiesioginės trigonometrinės funkcijos „sinuso“ apibrėžimą smailiam kampui, jei žinote kampo (α) reikšmę priešais apskaičiuotą atšaką ir hipotenuzės ilgį (C). Šis apibrėžimas teigia, kad šio žinomo kampo sinusas yra lygus norimos kojos ilgio ir hipotenuzės ilgio santykiui. Tai reiškia, kad norimos kojos ilgis lygus hipotenuzės ilgio ir žinomo kampo sinuso sandaugai: A=C∗sin(α). Toms pačioms žinomoms reikšmėms galite naudoti kosekantinės funkcijos apibrėžimą ir apskaičiuoti norimą ilgį, padalydami hipotenuzės ilgį iš žinomo kampo A=C/cosec(α) kosekanto.

Naudokite tiesioginės trigonometrinės funkcijos kosinuso apibrėžimą, jei, be hipotenuzės ilgio (C), žinoma ir smailiojo kampo (β), esančio greta norimos kojos, reikšmė. Šio kampo kosinusas apibrėžiamas kaip norimos kojos ir hipotenuzės ilgių santykis, ir iš to galime daryti išvadą, kad kojos ilgis yra lygus hipotenuzės ilgio ir žinomos kosinuso sandaugai. kampas: A=C∗cos(β). Galite naudoti sekantinės funkcijos apibrėžimą ir apskaičiuoti norimą reikšmę, padalydami hipotenuzės ilgį iš žinomo kampo A=C/sek(β) sekanto.

Iš panašaus trigonometrinės funkcijos liestinės išvestinės apibrėžimo išveskite reikiamą formulę, jei be smailiojo kampo (α), esančio priešais norimą atšaką (A), antrosios kojos (B) ilgis yra žinomas. Kampo, esančio priešais norimą koją, liestinė yra šios kojos ilgio ir antrosios kojos ilgio santykis. Tai reiškia, kad norima reikšmė bus lygi žinomos kojos ilgio ir žinomo kampo liestinės sandaugai: A=B∗tg(α). Iš tų pačių žinomų dydžių, naudojant kotangentinės funkcijos apibrėžimą, galima gauti kitą formulę. Šiuo atveju, norint apskaičiuoti kojos ilgį, reikės rasti žinomos kojos ilgio ir žinomo kampo kotangento santykį: A=B/ctg(α).

Susiję vaizdo įrašai

Žodis „katet“ į rusų kalbą atėjo iš graikų kalbos. AT tikslus vertimas tai reiškia svamzdelį, tai yra statmeną žemės paviršiui. Matematikoje kojos vadinamos kraštinėmis, kurios sudaro stačiojo trikampio stačią kampą. Priešinga šio kampo pusė vadinama hipotenuse. Terminas „koja“ taip pat vartojamas architektūroje ir suvirinimo technologijoje.

Nubraižykite statųjį trikampį ACB. Pažymėkite jo kojeles a ir b ir hipotenuzę c. Visos stačiojo trikampio kraštinės ir kampai yra sujungti tam tikrais ryšiais. Kojos, esančios priešais vieną iš smailiųjų kampų, santykis su hipotenuze vadinamas šio kampo sinusu. Šiame trikampyje sinCAB=a/c. Kosinusas yra santykis su gretimos kojos hipotenuze, ty cosCAB=b/c. Atvirkštiniai ryšiai vadinami sekantu ir kosekantu.

Šio kampo sekantas gaunamas padalijus hipotenuzą iš gretimos kojos, tai yra secCAB=c/b. Pasirodo kosinuso atvirkštinis dydis, tai yra, jį galima išreikšti formule secCAB=1/cosSAB.
Kosekantas yra lygus hipotenuzės dalijimosi iš priešingos kojos koeficientui ir yra sinuso atvirkštinė vertė. Jį galima apskaičiuoti naudojant formulę cosecCAB=1/sinCAB

Abi kojos yra sujungtos tangentu ir kotangentu. AT Ši byla liestinė bus kraštinės a ir b pusės santykis, tai yra, priešingos kojos gretimai. Šis santykis gali būti išreikštas formule tgCAB=a/b. Atitinkamai atvirkštinis santykis bus kotangentas: ctgCAB=b/a.

Santykį tarp hipotenuzės ir abiejų kojų dydžių nustatė senovės graikų matematikas Pitagoras. Jo vardu pavadinta teorema vis dar naudojama žmonių. Jame sakoma, kad hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai, tai yra, c2 \u003d a2 + b2. Atitinkamai, kiekviena kojelė bus lygi skirtumo tarp hipotenuzės ir kitos kojos kvadratų kvadratinei šakniai. Šią formulę galima parašyti kaip b=√(c2-a2).

Kojos ilgį taip pat galima išreikšti per jums žinomus ryšius. Pagal sinuso ir kosinuso teoremas koja yra lygus produktui hipotenuzė vienai iš šių funkcijų. Jis taip pat gali būti išreikštas tangentu arba kotangentu. Koją a galima rasti, pavyzdžiui, pagal formulę a \u003d b * tan CAB. Lygiai taip pat, priklausomai nuo duotosios liestinės arba kotangento, nustatoma antroji kojelė.

Architektūroje taip pat vartojamas terminas „koja“. Jis taikomas joninei sostinei ir žymi svambalo liniją per jos nugaros vidurį. Tai reiškia, kad šiuo atveju šis terminas reiškia statmeną nurodytai linijai.

Suvirinimo technologijoje yra sąvoka "kojos suvirinimas". Kaip ir kitais atvejais, tai yra trumpiausias atstumas. Čia kalbame apie tarpą tarp vienos iš suvirinamų dalių iki siūlės krašto, esančio kitos dalies paviršiuje.

Susiję vaizdo įrašai

Šaltiniai:

• kas yra koja ir hipotenuzė

Susiję vaizdo įrašai

pastaba

Skaičiuojant stačiojo trikampio kraštines, žinant jo ypatybes, gali būti:
1) Jei stačiojo kampo kojelė yra priešais 30 laipsnių kampą, tada ji yra lygi pusei hipotenuzės;
2) hipotenuzė visada yra ilgesnė už bet kurią koją;
3) Jei apskritimas yra apibrėžtas aplink statųjį trikampį, tai jo centras turi būti hipotenuzės viduryje.

Ten, kur buvo svarstomos stačiakampio trikampio sprendimo užduotys, pažadėjau pateikti sinuso ir kosinuso apibrėžimų įsiminimo techniką. Naudodamiesi juo, visada greitai prisiminsite, kuri koja priklauso hipotenuzei (gretima ar priešinga). Nusprendžiau neatidėlioti neribotam laikui, reikiama medžiaga žemiau, prašome perskaityti 😉

Faktas yra tas, kad aš ne kartą pastebėjau, kaip 10–11 klasių mokiniams sunku prisiminti šiuos apibrėžimus. Jie labai gerai prisimena, kad koja nurodo hipotenuzą, bet kurią pamiršta ir sutrikęs. Klaidos kaina, kaip žinote egzamine, yra prarastas balas.

Informacija, kurią pateiksiu tiesiogiai matematikai, neturi nieko bendra. Tai siejama su vaizdiniu mąstymu, žodinio-loginio ryšio metodais. Teisingai, aš pats kartą ir visiems laikams prisiminiau apibrėžimo duomenis. Jei vis tiek juos pamiršite, tada, naudojant pateiktus metodus, visada lengva prisiminti.

Leiskite man priminti sinuso ir kosinuso apibrėžimus stačiakampiame trikampyje:

Kosinusas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Sinusas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis:

Taigi, kokias asociacijas jums sukelia žodis kosinusas?

Turbūt kiekvienas turi savo Prisiminkite nuorodą:

Taigi atmintyje iš karto turėsite išraišką -

«… GRĮTINOS kojos ir hipotenuzės santykis».

Išspręsta kosinuso apibrėžimo problema.

Jei jums reikia atsiminti stačiakampio sinuso apibrėžimą, prisiminę kosinuso apibrėžimą, galite lengvai nustatyti, kad stačiakampio trikampio smailaus kampo sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis. Juk yra tik dvi kojos, jei gretimą koją „užima“ kosinusas, tai sinusui lieka tik priešinga pusė.

O tangentas ir kotangentas? Ta pati painiava. Mokiniai žino, kad tai yra kojų santykis, tačiau problema yra atsiminti, kuri iš jų nurodo kurią – ar priešinga gretimai, ar atvirkščiai.

Apibrėžimai:

Tangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis:

Kotangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje yra gretimos kojos ir priešingos kojos santykis:

Kaip atsiminti? Yra du būdai. Vienas taip pat naudoja žodinį-loginį ryšį, kitas – matematinį.

MATEMATINIS METODAS

Yra toks apibrėžimas - smailaus kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:

* Prisimindami formulę, visada galite nustatyti, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis.

Taip pat. Smailiojo kampo kotangentas yra kampo kosinuso ir jo sinuso santykis:

Taigi! Prisimindami šias formules, visada galite nustatyti, kad:

Stačiakampio trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kojos ir priešingos kojos santykis.

VERBALINIS-LOGINIS METODAS

Apie tangentą. Prisiminkite nuorodą:

Tai yra, jei jums reikia atsiminti liestinės apibrėžimą, naudodami šį loginį ryšį, galite lengvai prisiminti, kas tai yra

"... priešingos kojos ir gretimos kojos santykis"

Jei kalbame apie kotangentą, prisiminę liestinės apibrėžimą, galite lengvai išsakyti kotangento apibrėžimą -

"... gretimos kojos ir priešingos kojos santykis"

Svetainėje yra įdomi tangento ir kotangento įsiminimo technika " Matematinis tandemas " , žiūrėk.

METODAS UNIVERSALUS

Galite tiesiog šlifuoti. Tačiau, kaip rodo praktika, žodinių-loginių ryšių dėka žmogus ilgą laiką atsimena informaciją, o ne tik matematinę.

Tikiuosi, kad medžiaga jums buvo naudinga.

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Trigonometrija yra matematikos šaka, tirianti trigonometrines funkcijas ir jų panaudojimą geometrijoje. Trigonometrijos raida prasidėjo senovės Graikijos laikais. Viduramžiais Artimųjų Rytų ir Indijos mokslininkai labai prisidėjo prie šio mokslo raidos.

Šis straipsnis skirtas pagrindinėms trigonometrijos sąvokoms ir apibrėžimams. Jame aptariami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimai: sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas. Paaiškinta ir iliustruota jų reikšmė geometrijos kontekste.

Iš pradžių trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra kampas, apibrėžimai buvo išreikšti stačiojo trikampio kraštinių santykiu.

Trigonometrinių funkcijų apibrėžimai

Kampo sinusas (sin α) yra kojos, esančios priešingos šiam kampui, santykis su hipotenuze.

Kampo kosinusas (cos α) yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo liestinė (t g α) yra priešingos kojos santykis su gretima.

Kampo kotangentas (c t g α) yra gretimos ir priešingos kojos santykis.

Šie apibrėžimai pateikiami stačiojo trikampio smailiam kampui!

Pateikime iliustraciją.

Trikampyje ABC su stačiu kampu C kampo A sinusas yra lygus kojos BC ir hipotenuzės AB santykiui.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai leidžia apskaičiuoti šių funkcijų reikšmes pagal žinomus trikampio kraštinių ilgius.

Svarbu atsiminti!

Sinuso ir kosinuso reikšmių diapazonas: nuo -1 iki 1. Kitaip tariant, sinuso ir kosinuso reikšmės yra nuo -1 iki 1. Liečiamųjų ir kotangentinių verčių diapazonas yra visa skaičių eilutė, tai yra šios funkcijos gali turėti bet kokią reikšmę.

Aukščiau pateikti apibrėžimai susiję su smailiais kampais. Trigonometrijoje įvedama sukimosi kampo samprata, kurios reikšmė, skirtingai nei smailiojo kampo, neribojama rėmeliais nuo 0 iki 90 laipsnių.. Sukimosi kampas laipsniais arba radianais išreiškiamas bet kokiu realiu skaičiumi nuo - ∞ iki + ∞.

Šiame kontekste galima apibrėžti savavališko dydžio kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą. Įsivaizduokite vienetinį apskritimą, kurio centras yra Dekarto koordinačių sistemos pradžioje.

Pradinis taškas A su koordinatėmis (1 , 0) sukasi aplink vienetinio apskritimo centrą tam tikru kampu α ir eina į tašką A 1 . Apibrėžimas pateikiamas per taško A 1 (x, y) koordinates.

Sukimosi kampo sinusas (sin).

Sukimosi kampo α sinusas yra taško A 1 (x, y) ordinatė. sinα = y

Sukimosi kampo kosinusas (cos).

Sukimosi kampo α kosinusas yra taško A 1 (x, y) abscisė. cos α = x

Sukimosi kampo liestinė (tg).

Sukimosi kampo α liestinė yra taško A 1 (x, y) ordinatės ir jo abscisės santykis. t g α = y x

Sukimosi kampo kotangentas (ctg).

Sukimosi kampo α kotangentas yra taško A 1 (x, y) abscisių ir jo ordinatės santykis. c t g α = x y

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiam sukimosi kampui. Tai logiška, nes taško abscisė ir ordinatė po pasukimo gali būti nustatomos bet kokiu kampu. Kitokia situacija yra su tangentu ir kotangentu. Liestinė neapibrėžta, kai taškas po sukimo eina į tašką, kurio abscisė yra nulinė (0 , 1) ir (0 , - 1). Tokiais atvejais liestinės t g α = y x išraiška tiesiog neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Panaši situacija ir su kotangentu. Skirtumas tas, kad kotangentas neapibrėžiamas tais atvejais, kai taško ordinatė išnyksta.

Svarbu atsiminti!

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems kampams α.

Liestinė apibrėžiama visiems kampams, išskyrus α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangentas apibrėžiamas visiems kampams, išskyrus α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Sprendžiant praktiniais pavyzdžiais nesakykite "sukimosi kampo sinusas α". Žodžiai „sukimosi kampas“ tiesiog praleisti, o tai reiškia, kad iš konteksto jau aišku, kas yra ant kortos.

Skaičiai

O kaip su skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimu, o ne sukimosi kampu?

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t vadinamas skaičius, kuris yra atitinkamai lygus sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui in t radianas.

Pavyzdžiui, 10 π sinusas yra lygus 10 π rad sukimosi kampo sinusui.

Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo būdas. Panagrinėkime tai išsamiau.

Bet koks tikrasis skaičius t vienetinio apskritimo taškas sutampa su centru, esančiu stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžioje. Sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas apibrėžiami šio taško koordinatėmis.

Apskritimo pradžios taškas yra taškas A su koordinatėmis (1 , 0).

teigiamas skaičius t

Neigiamas skaičius t atitinka tašką, į kurį pajudės pradžios taškas, jei judės prieš laikrodžio rodyklę aplink apskritimą ir praeis taku t .

Dabar, kai nustatytas ryšys tarp skaičiaus ir apskritimo taško, pereiname prie sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo.

Skaičiaus t sinusas (sinusas).

Skaičiaus sinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatė t. sin t = y

Kosinusas (cos) iš t

Skaičiaus kosinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško abscisė t. cos t = x

t liestinė (tg).

Skaičiaus liestinė t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatės ir abscisių santykis t. t g t = y x = sin t cos t

Pastarieji apibrėžimai atitinka ir neprieštarauja šio skyriaus pradžioje pateiktam apibrėžimui. Taškas apskritime, atitinkančiame skaičių t, sutampa su tašku, į kurį eina pradžios taškas, pasukus per kampą t radianas.

Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Kiekviena kampo α reikšmė atitinka tam tikrą šio kampo sinuso ir kosinuso reikšmę. Kaip ir visi kampai α, išskyrus α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) atitinka tam tikrą liestinės reikšmę. Kotangentas, kaip minėta aukščiau, yra apibrėžtas visiems α, išskyrus α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Galime sakyti, kad sin α , cos α , t g α , c t g α yra kampo alfa, arba kampinio argumento funkcijos.

Panašiai galima kalbėti apie sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą kaip skaitinio argumento funkcijas. Kiekvienas tikrasis skaičius t atitinka konkrečią skaičiaus sinuso arba kosinuso reikšmę t. Visi skaičiai, išskyrus π 2 + π · k , k ∈ Z, atitinka liestinės reikšmę. Kotangentas yra panašiai apibrėžtas visiems skaičiams, išskyrus π · k , k ∈ Z.

Pagrindinės trigonometrijos funkcijos

Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra pagrindinės trigonometrinės funkcijos.

Iš konteksto paprastai aišku, su kokiu trigonometrinės funkcijos argumentu (kampiniu ar skaitiniu argumentu) mes susiduriame.

Grįžkime prie duomenų pačioje apibrėžimų pradžioje ir kampo alfa, kuris yra intervale nuo 0 iki 90 laipsnių. Trigonometriniai sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai visiškai atitinka geometrinius apibrėžimus, pateiktus stačiojo trikampio kraštinių santykiu. Parodykime.

Paimkite vienetinį apskritimą, kurio centras yra stačiakampis Dekarto sistema koordinates. Pradinį tašką A (1, 0) pasukime iki 90 laipsnių kampu ir iš gauto taško A 1 (x, y) nubrėžkime statmenai x ašiai. Gautame stačiakampyje kampas A 1 O H lygus sukimosi kampui α, kojelės O H ilgis lygus taško A 1 abscisei (x, y) . Priešais kampą esančios kojos ilgis yra lygus taško A 1 (x, y) ordinatėms, o hipotenuzės ilgis yra lygus vienetui, nes tai yra vienetinio apskritimo spindulys.

Pagal geometrijos apibrėžimą, kampo α sinusas yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Tai reiškia, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso apibrėžimas per kraštinių santykį yra lygiavertis sukimosi kampo α sinuso apibrėžimui, kai alfa yra diapazone nuo 0 iki 90 laipsnių.

Panašiai galima parodyti kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų atitiktį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Žinodami vieną iš stačiakampio trikampio kojų, galite rasti antrąją koją ir hipotenuzą naudodami trigonometrinius ryšius - žinomo kampo sinusą ir liestinę. Kadangi kampui priešingos kojos santykis su hipotenuze yra lygus šio kampo sinusui, todėl norint rasti hipotenuzą, koją reikia padalyti iš kampo sinuso. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Antrąją dalį galima rasti iš žinomo kampo liestinės, kaip žinomos kojos ir liestinės santykį. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Norėdami apskaičiuoti nežinomą stačiakampio trikampio kampą, turite atimti kampą α iš 90 laipsnių. β=90°-α

Stačiojo trikampio perimetrą ir plotą per koją ir priešingą kampą galima išreikšti formulėse pakeičiant anksčiau gautas antrosios kojos ir hipotenuzės išraiškas. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Taip pat galite apskaičiuoti aukštį per trigonometrinius ryšius, bet jau vidiniame stačiakampiame trikampyje su kraštine a, kurį jis sudaro. Norėdami tai padaryti, jums reikia kraštinės a, kaip tokio trikampio hipotenuzos, padaugintos iš kampo β sinuso arba α kosinuso, nes pagal trigonometrinės tapatybės jie lygiaverčiai. (79.2 pav.) h=a cos⁡α

Hipotenuzės mediana yra lygi pusei hipotenuzės arba žinomos kojos a, padalytos iš dviejų sinusų α. Norėdami rasti kojų medianas, pateikiame formules į atitinkamą formą žinoma pusė ir kampai. (79.3 pav.) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Kadangi trikampio stačiojo kampo bisektorius yra dviejų kraštinių ir dviejų šaknies sandauga, padalinta iš šių kraštinių sumos, pakeičiant vieną iš šakų žinomos kojos ir liestinės santykiu, gauname: išraiška. Panašiai, pakeitus santykį į antrąją ir trečiąją formules, galima apskaičiuoti kampų α ir β pusiausvyras. (79.4 pav.) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Vidurinė linija eina lygiagrečiai vienai iš trikampio kraštinių, formuojant kitą panašų stačiakampį trikampį su tokiais pačiais kampais, kurio visos kraštinės yra perpus mažesnės už pradinę. Remiantis tuo, vidurines linijas galima rasti naudojant šias formules, žinant tik koją ir jai priešingą kampą. (79.7 pav.) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Įbrėžto apskritimo spindulys lygus skirtumui tarp kojų ir hipotenuzės padalijus iš dviejų, o norint rasti apibrėžto apskritimo spindulį, reikia padalyti hipotenuzą iš dviejų. Antrąją koją ir hipotenuzą pakeičiame atitinkamai kojos a su sinusu ir liestinės santykiais. (79.5, 79.6 pav.) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Gyvenime dažnai tenka susidurti matematikos uždaviniai: mokykloje, universitete, o vėliau padėti savo vaikui namų darbai. Tam tikrų profesijų žmonės su matematika susidurs kasdien. Todėl pravartu įsiminti arba prisiminti matematines taisykles. Šiame straipsnyje panagrinėsime vieną iš jų: stačiojo trikampio kojos radimą.

Kas yra stačiakampis trikampis

Pirmiausia prisiminkime, kas yra stačiakampis trikampis. Statusis trikampis yra geometrinė figūra iš trijų atkarpų, jungiančių taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, o vienas iš šios figūros kampų yra 90 laipsnių. Šoninės pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis, o pusė, kuri yra priešais stačią kampą, vadinama hipotenuse.

Stačiojo trikampio kojos radimas

Yra keletas būdų, kaip sužinoti kojos ilgį. Norėčiau juos išsamiau apsvarstyti.

Pitagoro teorema rasti stačiojo trikampio koją

Jei žinome hipotenuzą ir koją, tada nežinomos kojos ilgį galime rasti naudodami Pitagoro teoremą. Tai skamba taip: „Kipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai“. Formulė: c²=a²+b², kur c – hipotenuzė, a ir b – kojos. Transformuojame formulę ir gauname: a²=c²-b².

Pavyzdys. Hipotenuzė 5 cm, koja 3 cm Transformuojame formulę: c²=a²+b² → a²=c²-b². Toliau nusprendžiame: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonometriniai ryšiai stačiojo trikampio kojai rasti

Taip pat galima rasti nežinomą koją, jei žinoma bet kuri kita stačiojo trikampio kraštinė ir smailusis kampas. Yra keturios galimybės rasti koją naudojant trigonometrines funkcijas: pagal sinusą, kosinusą, tangentą, kotangentą. Norėdami išspręsti problemas, mums padės toliau pateikta lentelė. Apsvarstykime šias galimybes.

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami sinusą

Kampo sinusas (sin) yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis. Formulė: sin \u003d a / c, kur a yra koja priešinga nurodytam kampui, o c yra hipotenuzė. Toliau transformuojame formulę ir gauname: a=sin*c.

Pavyzdys. Hipotenuzė yra 10 cm, o kampas A yra 30 laipsnių. Pagal lentelę apskaičiuojame kampo A sinusą, jis lygus 1/2. Tada, naudodami transformuotą formulę, išsprendžiame: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami kosinusą

Kampo kosinusas (cos) yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Formulė: cos \u003d b / c, kur b yra kojelė, esanti greta nurodyto kampo, o c yra hipotenuzė. Transformuokime formulę ir gaukime: b=cos*c.

Pavyzdys. Kampas A lygus 60 laipsnių, hipotenuzė 10 cm. Pagal lentelę apskaičiuojame kampo A kosinusą, jis lygus 1/2. Toliau sprendžiame: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami liestinę

Kampo liestinė (tg) yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis. Formulė: tg \u003d a / b, kur a yra koja, priešinga kampui, o b yra greta. Transformuokime formulę ir gaukime: a=tg*b.

Pavyzdys. Kampas A lygus 45 laipsniai, hipotenuza 10 cm. Pagal lentele apskaiciuojame kampo A liestine, ji lygi Spręsti: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).

Raskite stačiojo trikampio koją naudodami kotangentą

Kampo kotangentas (ctg) yra gretimos kojos ir priešingos kojos santykis. Formulė: ctg \u003d b / a, kur b yra koja, esanti greta kampo, ir yra priešinga. Kitaip tariant, kotangentas yra „apversta liestinė“. Gauname: b=ctg*a.

Pavyzdys. Kampas A yra 30 laipsnių, priešinga kojelė yra 5 cm. Pagal lentelę kampo A liestinė yra √3. Apskaičiuokite: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Taigi, dabar jūs žinote, kaip rasti koją stačiakampiame trikampyje. Kaip matote, tai nėra taip sunku, svarbiausia atsiminti formules.