Internetinis skaičiuotuvas.
Trikampių sprendimas.

Trikampio sprendimas yra visų šešių jo elementų (t. y. trijų kraštinių ir trijų kampų) radimas pagal bet kuriuos tris nurodytus trikampį apibrėžiančius elementus.

Ši matematikos programa suranda kraštines $c $, kampus $\alpha $ ir $\beta $ nurodytas vartotojo nurodytas puses $a, b $ ir kampą tarp jų $\gamma $

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo paieškos procesą.

Šis internetinis skaičiuotuvas gali būti naudingas aukštųjų mokyklų studentams bendrojo lavinimo mokyklose ruošiantis kontrolinis darbas ir egzaminus, tikrindami žinias prieš egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai matematika ar algebra? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiu sprendimu.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, tuo pačiu padidindami išsilavinimo lygį sprendžiamų užduočių srityje.

Jei nesate susipažinę su skaičių įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Skaičių įvedimo taisyklės

Skaičius galima nustatyti ne tik sveikus, bet ir trupmeninius.
Sveikasis skaičius ir trupmenos dalys dešimtainėse trupmenose gali būti atskirtos tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, galite įvesti po kablelio taigi 2,5 ar daugiau 2,5

Įveskite kraštines $a, b $ ir kampą tarp jų $\gamma $ Išspręskite trikampį

Nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai užduočiai išspręsti, nebuvo įkelti, todėl programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Jūsų naršyklėje išjungtas „JavaScript“.
Kad sprendimas būtų rodomas, JavaScript turi būti įjungtas.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, kurie nori išspręsti problemą, jūsų prašymas yra eilėje.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palauk prašau sek...

Jei tu pastebėjo klaidą sprendime, tuomet apie tai galite rašyti Atsiliepimų formoje .
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Sinuso teorema

Teorema

Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinuso teorema

Teorema
Tegu trikampyje ABC AB = c, BC = a, CA = b. Tada
Trikampio kraštinės kvadratas yra lygi sumai kitų dviejų kraštinių kvadratai, atėmus du kartus tų kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Trikampių sprendimas

Trikampio sprendimas yra visų šešių jo elementų (t. y. trijų kraštinių ir trijų kampų) radimas pagal bet kuriuos tris nurodytus trikampį apibrėžiančius elementus.

Apsvarstykite tris trikampio sprendimo problemas. Šiuo atveju trikampio ABC kraštinėms žymėti naudosime tokį žymėjimą: AB = c, BC = a, CA = b.

Trikampio sprendimas, kurio dvi kraštinės ir kampas tarp jų

Duota: $a, b, \kampas C $. Rasti $c, \kampas A, \kampas B $

Sprendimas
1. Pagal kosinusų dėsnį randame $c$:

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Naudodami kosinuso teoremą turime:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

3. $\kampas B = 180^\circ -\kampas A -\kampas C $

Trikampio, duoto kraštinės ir gretimų kampų, sprendimas

Duota: $a, \kampas B, \kampas C $. Rasti $\kampas A, b, c $

Sprendimas
1. $\kampas A = 180^\circ -\kampas B -\kampas C $

2. Naudodamiesi sinuso teorema apskaičiuojame b ir c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Trikampio su trimis kraštais sprendimas

Duota: $a, b, c$. Rasti $\kampas A, \kampas B, \kampas C $

Sprendimas
1. Pagal kosinuso teoremą gauname:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Pagal $\cos A $ randame $\kampas A $, naudodami mikroskaičiuotuvą arba iš lentelės.

2. Panašiai randame kampą B.
3. $\kampas C = 180^\circ -\kampas A -\kampas B $

Trikampio, kurio dvi kraštinės ir kampas, priešingas žinomai kraštinei, sprendimas

Duota: $a, b, \kampas A$. Rasti $c, \kampas B, \kampas C $

Sprendimas
1. Pagal sinuso teoremą randame $\sin B $ gauname:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Įveskime žymėjimą: $D = \frac(b)(a) \cdot \sin A $. Atsižvelgiant į skaičių D, galimi šie atvejai:
Jei D > 1, tokio trikampio nėra, nes $\sin B $ negali būti didesnis nei 1
Jei D = 1, yra unikalus $\kampas B: \quad \sin B = 1 \RightArrow \angle B = 90^\circ $
Jei D Jei D 2. $\kampas C = 180^\circ -\kampas A -\kampas B $

3. Naudodami sinuso teoremą apskaičiuojame kraštinę c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Knygos (vadovėliai) Vieningo valstybinio egzamino ir OGE testų tezės internete Žaidimai, galvosūkiai Funkcijų grafinis rašybos rusų kalbos žodynas Jaunimo slengo žodynas Rusų mokyklų katalogas Rusijos vidurinių mokyklų katalogas Rusijos universitetų katalogas Užduočių sąrašas

Statusis trikampis realybėje yra beveik ant kiekvieno kampo. Šios figūros savybių išmanymas, taip pat gebėjimas apskaičiuoti jos plotą jums neabejotinai pravers ne tik sprendžiant geometrijos problemas, bet ir gyvenimiškose situacijose.

trikampio geometrija

Elementariojoje geometrijoje stačiakampis yra figūra, susidedanti iš trijų sujungtų atkarpų, sudarančių tris kampus (du smailųjį ir vieną tiesų). Statusis trikampis yra originali figūra, pasižyminti daugybe svarbių savybių, kurios sudaro trigonometrijos pagrindą. Skirtingai nuo įprasto trikampio, stačiakampio formos kraštinės turi savo pavadinimus:

Hipotenuzė yra ilgiausia priešingo trikampio kraštinė stačiu kampu.
Kojos - segmentai, kurie sudaro stačią kampą. Priklausomai nuo nagrinėjamo kampo, koja gali būti šalia jos (sudaro šį kampą su hipotenuze) arba priešinga (gulėti priešais kampą). Nestačiakampiams trikampiams kojų nėra.

Trigonometrijos pagrindas yra kojų ir hipotenuzės santykis: sinusai, liestinės ir sekantai apibrėžiami kaip kraštinių santykis. taisyklingas trikampis.

Statusis trikampis realybėje

Ši figūra plačiai naudojama realybėje. Trikampiai naudojami projektuojant ir technologijoje, todėl figūros plotą turi apskaičiuoti inžinieriai, architektai ir dizaineriai. Tetraedrų arba prizmių pagrindai yra trikampio formos - trimatės figūros, kurias lengva sutikti kasdieniame gyvenime. Be to, kvadratas yra paprasčiausias „plokščio“ stačiojo trikampio atvaizdas tikrovėje. Kvadratas – šaltkalvio, braižymo, statybos ir dailidės įrankis, kuriuo kampus stato ir moksleiviai, ir inžinieriai.

Trikampio plotas

Kvadratas geometrinė figūra- tai yra kiekybinis įvertinimas kiek plokštumos riboja trikampio kraštinės. Įprasto trikampio plotą galima rasti penkiais būdais, naudojant Herono formulę arba atliekant skaičiavimus su tokiais kintamaisiais kaip įbrėžto arba apibrėžto apskritimo pagrindas, kraštinė, kampas ir spindulys. Labiausiai paprasta formule plotas išreiškiamas taip:

kur a yra trikampio kraštinė, h yra jo aukštis.

Stačiakampio trikampio ploto apskaičiavimo formulė yra dar paprastesnė:

kur a ir b yra kojos.

Dirbdami su mūsų internetiniu skaičiuotuvu, galite apskaičiuoti trikampio plotą naudodami tris parametrų poras:

dvi kojos;
kojelė ir gretimas kampas;
kojelė ir priešingas kampas.

Užduotyse ar kasdienėse situacijose jums bus pateikti skirtingi kintamųjų deriniai, todėl ši skaičiuoklės forma leidžia apskaičiuoti trikampio plotą keliais būdais. Pažvelkime į porą pavyzdžių.

Realaus gyvenimo pavyzdžiai

Keramikinė plytelė

Tarkime, virtuvės sienas norite iškloti keraminėmis plytelėmis, kurios turi stačiakampio trikampio formą. Norėdami nustatyti plytelių sunaudojimą, turite sužinoti vieno dangos elemento plotą ir bendrą apdorojamo paviršiaus plotą. Leiskite jums apdoroti 7 kvadratinių metrų. Vieno elemento kojų ilgis yra 19 cm, tada plytelės plotas bus lygus:

Tai reiškia, kad vieno elemento plotas yra 24,5 kvadratiniai centimetrai arba 0,01805 kvadratiniai metrai. Žinodami šiuos parametrus, galite apskaičiuoti, kad 7 kvadratinių metrų sienos apdailai reikės 7 / 0,01805 = 387 apdailos plytelių.

mokyklos užduotis

Įleisti mokyklos užduotis geometrijoje reikia rasti stačiojo trikampio plotą, žinant tik tai, kad vienos kojos kraštinė yra 5 cm, o priešingo kampo vertė yra 30 laipsnių. Prie mūsų internetinio skaičiuotuvo pridedama iliustracija, kurioje pavaizduotos stačiojo trikampio kraštinės ir kampai. Jei kraštinė a = 5 cm, tada jos priešingas kampas yra kampas alfa, lygus 30 laipsnių. Įveskite šiuos duomenis į skaičiuoklės formą ir gaukite rezultatą:

Taigi, skaičiuotuvas ne tik apskaičiuoja tam tikro trikampio plotą, bet ir nustato gretimos kojos bei hipotenuzės ilgį, taip pat antrojo kampo reikšmę.

Išvada

Stačiakampiai trikampiai mūsų gyvenime randami pažodžiui ant kiekvieno kampo. Nustatyti tokių figūrų plotą jums pravers ne tik sprendžiant mokyklines geometrijos užduotis, bet ir kasdienėje bei profesinėje veikloje.

Trikampis vadinamas stačiu trikampiu, jei vienas iš jo kampų yra 90º. Pusė, priešinga stačiajam kampui, vadinama hipotenuse, o kitos dvi yra kojos.

Norint rasti stačiojo trikampio kampą, naudojamos kai kurios stačiųjų trikampių savybės, būtent: smailių kampų suma yra 90º, taip pat tai, kad priešais koją, kurios ilgis yra pusė hipotenuzės, yra kampas lygus 30º.

Greita straipsnio navigacija

Lygiašonis trikampis

Viena iš lygiašonio trikampio savybių yra ta, kad du jo kampai yra lygūs. Norėdami apskaičiuoti stačiakampio lygiašonio trikampio kampų vertes, turite žinoti, kad:

Status kampas yra 90º.
Smailių kampų reikšmės nustatomos pagal formulę: (180º-90º)/2=45º, t.y. kampai α ir β yra 45º.

Jei žinoma vieno smailiojo kampo reikšmė, antrąjį galima rasti pagal formulę: β=180º-90º-α arba α=180º-90º-β. Dažniausiai šis santykis naudojamas, jei vienas iš kampų yra 60º arba 30º.

Pagrindinės sąvokos

Trikampio vidinių kampų suma yra 180º. Kadangi vienas kampas yra teisingas, kiti du bus aštrūs. Norėdami juos rasti, turite žinoti, kad:

kiti metodai

Stačiojo trikampio smailių kampų reikšmes galima apskaičiuoti žinant medianos reikšmę – tiesę, nubrėžtą nuo viršūnės į priešingą trikampio kraštą, o aukštį – tiesę, kuri yra statmena nuleista nuo dešiniojo kampo iki hipotenuzės. Tegu s yra mediana, nubrėžta nuo stataus kampo iki hipotenuzės vidurio, h yra aukštis. Šiuo atveju paaiškėja, kad:

sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sinα=h/b; sinβ=h/a.

Dvi pusės

Jei stačiakampiame trikampyje žinomi hipotenuzės ir vienos iš kojų arba dviejų kraštinių ilgiai, smailių kampų reikšmėms rasti naudojami trigonometriniai tapatumai:

α=arcinas(a/c), β=arcinas(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

Pirmieji yra segmentai, esantys greta stačiojo kampo, o hipotenuzė yra ilgiausia figūros dalis ir yra priešais 90 laipsnių kampą. Pitagoro trikampis yra tas, kurio kraštinės yra lygios natūraliuosius skaičius; jų ilgiai šiuo atveju vadinami „Pitagoro trigubu“.

egipto trikampis

Kad dabartinė karta galėtų mokytis geometrijos tokia forma, kokia jos mokoma mokykloje, ji buvo kuriama kelis šimtmečius. Pagrindinis dalykas yra Pitagoro teorema. Stačiakampio kraštinės yra žinomos visam pasauliui) yra 3, 4, 5.

Nedaug žmonių nėra susipažinę su fraze " Pitagoro kelnės vienodas visomis kryptimis“. Tačiau iš tikrųjų teorema skamba taip: c 2 (hipotenuzės kvadratas) \u003d a 2 + b 2 (kojų kvadratų suma).

Tarp matematikų trikampis, kurio kraštinės yra 3, 4, 5 (cm, m ir kt.), vadinamas „Egipto“. Įdomu tai, kas įrašyta paveiksle, yra lygi vienetui. Pavadinimas atsirado maždaug V amžiuje prieš Kristų, kai graikų filosofai keliavo į Egiptą.

Statydami piramides architektai ir matininkai naudojo santykį 3:4:5. Tokios konstrukcijos pasirodė proporcingos, malonios žiūrėti ir erdvios, taip pat retai griūdavo.

Statant statmeną kampą, statybininkai panaudojo virvę, ant kurios buvo surišta 12 mazgų. Šiuo atveju stačiakampio trikampio sukūrimo tikimybė padidėjo iki 95%.

Figūrų lygybės ženklai

Smailusis kampas stačiakampiame trikampyje ir didžioji kraštinė, kurie yra lygūs tiems patiems antrojo trikampio elementams, yra neginčijamas figūrų lygybės ženklas. Atsižvelgiant į kampų sumą, nesunku įrodyti, kad antrieji smailieji kampai taip pat yra lygūs. Taigi pagal antrąjį kriterijų trikampiai yra identiški.
Kai dvi figūros yra viena ant kitos, jas pasukame taip, kad sujungus jos taptų vienu lygiašoniu trikampiu. Pagal savo savybę kraštinės, tiksliau, hipotenzės, yra vienodos, taip pat kampai prie pagrindo, o tai reiškia, kad šios figūros yra vienodos.

Pirmuoju ženklu labai lengva įrodyti, kad trikampiai tikrai lygūs, svarbiausia, kad dvi mažesnės kraštinės (t.y. kojos) būtų lygios viena kitai.

Trikampiai bus vienodi pagal II ženklą, kurio esmė – kojos ir smailiojo kampo lygybė.

Stačiojo kampo trikampio savybės

Stačiu kampu nuleistas aukštis padalija figūrą į dvi lygias dalis.

Stačiojo trikampio kraštines ir jo medianą nesunku atpažinti pagal taisyklę: mediana, nuleista iki hipotenuzės, lygi jos pusei. galima rasti ir pagal Herono formulę, ir pagal teiginį, kad jis lygus pusei kojų sandaugos.

Stačiakampiame trikampyje galioja 30 o, 45 o ir 60 o kampų savybės.

30 ° kampu reikia atsiminti, kad priešinga koja bus lygi 1/2 didžiausios pusės.
Jei kampas yra 45 o, tada antrasis aštrus kampas taip pat 45 o. Tai rodo, kad trikampis yra lygiašonis, o jo kojos yra vienodos.
60 laipsnių kampo savybė yra ta, kad trečiojo kampo matas yra 30 laipsnių.

Sritį lengva rasti pagal vieną iš trijų formulių:

per aukštį ir pusę, ant kurios nusileidžia;
pagal Herono formulę;
išilgai šonų ir kampo tarp jų.

Stačiakampio trikampio kraštinės, tiksliau, kojos, susilieja su dviem aukščiais. Norint rasti trečiąjį, reikia atsižvelgti į gautą trikampį, o tada, naudojant Pitagoro teoremą, apskaičiuoti reikiamą ilgį. Be šios formulės, taip pat yra dvigubo ploto ir hipotenuzės ilgio santykis. Dažniausia studentų išraiška yra pirmoji, nes reikia mažiau skaičiavimų.

Stačiajam trikampiui taikomos teoremos

Stačiojo trikampio geometrija apima tokias teoremas kaip:

Matematikoje, svarstant trikampį, būtinai daug dėmesio skiriama jo kraštinėms. Kadangi šie elementai sudaro šią geometrinę figūrą. Trikampio kraštinės naudojamos daugeliui geometrijos uždavinių spręsti.

Sąvokos apibrėžimas

Linijų atkarpos, jungiančios tris taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, vadinami trikampio kraštinėmis. Nagrinėjami elementai riboja plokštumos dalį, kuri vadinama tam tikros geometrinės figūros vidus.

Matematikai savo skaičiavimuose leidžia daryti apibendrinimus dėl geometrinių figūrų kraštinių. Taigi išsigimusio trikampio trys jo atkarpos yra vienoje tiesėje.

Koncepcijos ypatybės

Apskaičiuojant trikampio kraštines, reikia nustatyti ir visus kitus figūros parametrus. Žinodami kiekvieno iš šių segmentų ilgį, galite lengvai apskaičiuoti trikampio perimetrą, plotą ir net kampus.

Ryžiai. 1. Savavališkas trikampis.

Susumavus šio paveikslo puses, galite nustatyti perimetrą.

P=a+b+c, kur a, b, c yra trikampio kraštinės

Ir norėdami rasti trikampio plotą, turėtumėte naudoti Herono formulę.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Kur p yra pusperimetras.

Tam tikros geometrinės figūros kampai apskaičiuojami pagal kosinuso teoremą.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Reikšmė

Per trikampio kraštinių santykį išreiškiamos kai kurios šios geometrinės figūros savybės:

Priešais mažiausią trikampio kraštinę yra jo mažiausias kampas.
Nagrinėjamos geometrinės figūros išorinis kampas gaunamas išplečiant vieną iš kraštinių.
Priešingi vienodi trikampio kampai yra lygios kraštinės.
Bet kuriame trikampyje viena iš kraštinių visada yra didesnė už kitų dviejų atkarpų skirtumą. Ir bet kurių dviejų šio skaičiaus pusių suma yra didesnė už trečiąją.

Vienas iš dviejų trikampių lygybės ženklų yra geometrinės figūros visų kraštinių sumos santykis. Jei šios vertės yra vienodos, tada trikampiai bus lygūs.

Kai kurios trikampio savybės priklauso nuo jo tipo. Todėl pirmiausia turėtumėte atsižvelgti į šios figūros šonų arba kampų dydį.

Trikampių formavimas

Jei nagrinėjamos geometrinės figūros dvi kraštinės yra vienodos, tada šis trikampis vadinamas lygiašoniu.

Ryžiai. 2. Lygiašonis trikampis.

Kai visos trikampio atkarpos yra lygios, gaunamas lygiakraštis trikampis.

Ryžiai. 3. Lygiakraštis trikampis.

Bet kokį skaičiavimą patogiau atlikti tais atvejais, kai savavališkas trikampis gali būti priskirtas tam tikram tipui. Nuo tada rasti reikiamą šios geometrinės figūros parametrą bus labai supaprastinta.

Nors teisingai parinkta trigonometrinė lygtis leidžia išspręsti daugybę problemų, kuriose atsižvelgiama į savavališką trikampį.

Ko mes išmokome?

Trys atkarpos, sujungtos taškais ir nepriklausančios tai pačiai tiesei, sudaro trikampį. Šios pusės sudaro geometrinę plokštumą, kuri naudojama plotui nustatyti. Šių segmentų pagalba galite rasti daug svarbių figūros savybių, tokių kaip perimetras ir kampai. Trikampio kraštinių santykis padeda nustatyti jo tipą. Kai kurios tam tikros geometrinės figūros savybės gali būti naudojamos tik tada, kai žinomi kiekvienos jos kraštinės matmenys.

Temos viktorina

Straipsnio įvertinimas

Vidutinis reitingas: 4.3. Iš viso gautų įvertinimų: 142.

Internetinis skaičiuotuvas. Trikampių sprendimas.