didžiausias bendras daliklis o mažiausias bendras kartotinis yra pagrindinės aritmetinės sąvokos, leidžiančios veikti be pastangų paprastosios trupmenos. LCM ir dažniausiai naudojami kelių trupmenų bendram vardikliui rasti.

Pagrindinės sąvokos

Sveikojo skaičiaus X daliklis yra kitas sveikasis skaičius Y, iš kurio X dalijasi be liekanos. Pavyzdžiui, 4 daliklis yra 2, o 36 yra 4, 6, 9. Sveikojo skaičiaus X kartotinis yra skaičius Y, kuris dalijasi iš X be liekanos. Pavyzdžiui, 3 yra 15 kartotinis, o 6 yra 12 kartotinis.

Bet kuriai skaičių porai galime rasti bendrus jų daliklius ir kartotinius. Pavyzdžiui, 6 ir 9 bendras kartotinis yra 18, o bendras daliklis yra 3. Akivaizdu, kad poros gali turėti kelis daliklius ir kartotinius, todėl skaičiavimuose naudojamas didžiausias GCD daliklis ir mažiausias LCM kartotinis. .

Mažiausias daliklis neturi prasmės, nes bet kuriam skaičiui jis visada yra vienas. Didžiausias kartotinis taip pat neturi prasmės, nes kartotinių seka linkusi į begalybę.

GCD radimas

Yra daug būdų, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį, iš kurių žinomiausi yra šie:

• nuoseklus daliklių surašymas, poros bendrųjų parinkimas ir didžiausio iš jų paieška;
• skaičių skaidymas į nedalomus veiksnius;
• Euklido algoritmas;
• dvejetainis algoritmas.

Šiandien val švietimo įstaigų Populiariausi metodai yra skaidymas į pagrindiniai veiksniai ir Euklido algoritmas. Pastaroji, savo ruožtu, naudojama sprendžiant diofantines lygtis: norint patikrinti lygtį, ar įmanoma ją išspręsti sveikaisiais skaičiais, reikia ieškoti GCD.

NOC radimas

Mažiausias bendras kartotinis taip pat tiksliai nustatomas kartotiniu išvardinimu arba faktorinizavimu į nedalomus veiksnius. Be to, nesunku rasti LCM, jei didžiausias daliklis jau nustatytas. Skaičiams X ir Y LCM ir GCD yra susiję tokiu ryšiu:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Pavyzdžiui, jei gcd(15,18) = 3, tada LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Akivaizdžiausias LCM panaudojimas yra rasti bendrą vardiklį, kuris yra mažiausias bendras kartotinis duotosios trupmenos.

Kopirminiai skaičiai

Jei skaičių pora neturi bendrų daliklių, tada tokia pora vadinama koprime. Tokių porų GCM visada yra lygus vienetui, o remiantis daliklių ir kartotinių jungtimi, koprime GCM yra lygus jų sandaugai. Pavyzdžiui, skaičiai 25 ir 28 yra pirminiai, nes neturi bendrų daliklių, o LCM(25, 28) = 700, o tai atitinka jų sandaugą. Bet kurie du nedalomi skaičiai visada bus pirminiai.

Bendras daliklis ir kelių skaičiuoklė

Naudodami mūsų skaičiuotuvą galite apskaičiuoti GCD ir LCM bet kokiam skaičių pasirinkimui. Bendrųjų daliklių ir kartotinių skaičiavimo užduotys yra 5 ir 6 klasių aritmetikoje, tačiau GCD ir LCM yra pagrindinės matematikos sąvokos ir naudojamos skaičių teorijoje, planimetrijoje ir komunikacinėje algebroje.

Realaus gyvenimo pavyzdžiai

Bendras trupmenų vardiklis

Mažiausias bendras kartotinis naudojamas ieškant kelių trupmenų bendrąjį vardiklį. Tarkime, kad aritmetiniame uždavinyje reikia susumuoti 5 trupmenas:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Norint pridėti trupmenas, išraiška turi būti sumažinta iki bendro vardiklio, o tai sumažina iki LCM radimo problemos. Norėdami tai padaryti, skaičiuoklėje pasirinkite 5 skaičius ir atitinkamuose langeliuose įveskite vardiklio reikšmes. Programa apskaičiuos LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Dabar kiekvienai trupmenai reikia apskaičiuoti papildomus koeficientus, kurie apibrėžiami kaip LCM santykis su vardikliu. Taigi papildomi daugikliai atrodytų taip:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Po to visas trupmenas padauginame iš atitinkamo papildomo koeficiento ir gauname:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Mes galime lengvai pridėti tokias trupmenas ir gauti rezultatą 159/360. Sumažiname trupmeną 3 ir matome galutinį atsakymą – 53/120.

Tiesinių diofantinių lygčių sprendimas

Tiesinės diofantinės lygtys yra ax + by = d formos išraiškos. Jei santykis d / gcd(a, b) yra sveikasis skaičius, tai lygtis gali būti išspręsta sveikaisiais skaičiais. Patikrinkime keletą lygčių, kad būtų galima rasti sveikojo skaičiaus sprendimą. Pirmiausia patikrinkite lygtį 150x + 8y = 37. Naudodami skaičiuotuvą randame gcd (150.8) = 2. Padalinkite 37/2 = 18.5. Skaičius nėra sveikasis skaičius, todėl lygtis neturi sveikųjų skaičių šaknų.

Patikrinkime lygtį 1320x + 1760y = 10120. Skaičiuotuvu suraskite gcd(1320, 1760) = 440. Padalykime 10120/440 = 23. Rezultate gauname sveikąjį skaičių, todėl išsprendžiama Diofantinų koeficiento koeficientas. .

Išvada

GCD ir LCM vaidina didelį vaidmenį skaičių teorijoje, o pačios sąvokos yra plačiai naudojamos įvairiose matematikos srityse. Naudokite mūsų skaičiuotuvą, kad apskaičiuotumėte didžiausius bet kokio skaičių daliklius ir mažiausius kartotinius.

Toliau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio antraštėje LCM – mažiausias kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, ryšys tarp LCM ir GCD. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), ir ypatingą dėmesį skirkite pavyzdžių sprendimui. Pirmiausia parodykime, kaip apskaičiuojamas dviejų skaičių LCM pagal šių skaičių GCD. Tada apsvarstykite galimybę rasti mažiausią bendrą kartotinį, įtraukdami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ar daugiau skaičių LCM suradimą, taip pat atkreipsime dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.

Puslapio naršymas.

Mažiausio bendro kartotinio (LCM) apskaičiavimas per gcd

Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas ryšiu tarp LCM ir GCD. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendrą daliklį. Atitinkama formulė turi formą LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Apsvarstykite pavyzdžius, kaip rasti LCM pagal aukščiau pateiktą formulę.

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrąjį dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Naudokime formule išreikštą ryšį tarp LCM ir GCD LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio pagal parašytą formulę galime apskaičiuoti šių skaičių LCM.

Raskite gcd(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , taigi gcd(126, 70)=14 .

Dabar randame reikalingą mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(126, 70) = 126 70: GCM(126, 70) = 126 70:14=630 .

Atsakymas:

LCM(126, 70)=630 .

Pavyzdys.

Kas yra LCM(68, 34)?

Sprendimas.

Nes 68 tolygiai dalijasi iš 34 , tada gcd(68, 34)=34 . Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(68, 34) = 68 34: LCM(68, 34) = 68 34:34=68 .

Atsakymas:

LCM(68, 34) = 68 .

Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei skaičius a dalijasi iš b , tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a .

LCM radimas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius

Kitas būdas rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas skaičių padalijus į pirminius veiksnius. Jei padarysime visų pirminių šių skaičių sandaugą, po kurios iš šios sandaugos išskirsime visus bendruosius pirminius veiksnius, kurie yra šių skaičių plėtiniuose, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam šių skaičių kartotiniui.

Paskelbta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Iš tikrųjų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu gcd(a, b) yra lygus produktui visi pirminiai veiksniai, kurie vienu metu yra skaičių a ir b plėtiniuose (kas aprašyta skyriuje apie GCD radimą naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius).

Paimkime pavyzdį. Žinokime, kad 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Sudarykite visų šių plėtimų faktorių sandaugą: 2 3 3 5 5 5 7 . Dabar iš šio produkto išskiriame visus veiksnius, kurie yra tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (tokie veiksniai yra 3 ir 5), tada produktas įgis 2 3 5 5 7 formą. Šio sandaugos vertė yra lygi mažiausiam skaičių 75 ir 210 bendrajam kartotiniui, ty LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Pavyzdys.

Suskaičiavę skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus, raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.

Sprendimas.

Išskaidykime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus:

Gauname 441=3 3 7 7 ir 700=2 2 5 5 7 .

Dabar padarykime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (tokių yra tik vienas - tai skaičius 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Šiuo būdu, LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Atsakymas:

LCM(441; 700) = 44 100 .

Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jei trūkstamus koeficientus iš skaičiaus b išplėtimo pridėsime prie faktorių iš skaičiaus a skaidymo, tada gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui..

Pavyzdžiui, paimkime visus tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų išplėtimai į pirminius koeficientus yra tokie: 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Prie faktorių 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 išplėtimo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 išplėtimo, gauname sandaugą 2 3 5 5 7 , kurios reikšmė LCM(75 , 210).

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.

Sprendimas.

Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 išskaidymą į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2 2 3 7 ir 648=2 2 2 3 3 3 3. Prie faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 iš skaičiaus 84 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 , 3 , 3 ir 3 iš skaičiaus 648 skaidymo , gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7 , kuri lygi 4 536 . Taigi norimas mažiausias bendras skaičių 84 ir 648 kartotinis yra 4536.

Atsakymas:

LCM(84, 648) = 4 536 .

Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM

Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti paeiliui suradus dviejų skaičių LCM. Prisiminkite atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.

Teorema.

Teigiami sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , …, a k, šių skaičių mažiausias bendras kartotinis m k randamas nuosekliame skaičiavime m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Apsvarstykite šios teoremos taikymą pavyzdyje, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.

Pavyzdys.

Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Pirmiausia randame m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome gcd(140, 9) , turime 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , todėl gcd( 140, 9) = 1 , iš kur LCM(140, 9) = 140 9: LCM(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Tai yra, m 2 =1 260 .

Dabar randame m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Apskaičiuokime jį per gcd(1 260, 54) , kuris taip pat nustatomas pagal Euklido algoritmą: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada gcd(1 260, 54) = 18 , iš kur LCM(1 260, 54) = 1 260 54: gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780 . Tai yra, m 3 \u003d 3 780.

Liko rasti m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Norėdami tai padaryti, randame GCD(3 780, 250) naudodami Euklido algoritmą: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Todėl gcd(3 780, 250)=10, iš kur gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . Tai yra, m 4 \u003d 94 500.

Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.

Atsakymas:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

Daugeliu atvejų mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis yra patogiai randamas naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tokiu atveju reikia laikytis šios taisyklės. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaryta taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų faktorių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai iš plėtimosi iš antrojo skaičiaus. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.

Apsvarstykite pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius.

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.

Sprendimas.

Pirmiausia gauname šių skaičių išplėtimus į pirminius koeficientus: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 pirminiai koeficientai) ir 143=11 13 .

Norint rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 faktorių (jie yra 2 , 2 , 3 ir 7 ) reikia pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 išplėtimo. Skaičiaus 6 išplėtimas neturi trūkstamų veiksnių, nes tiek 2, tiek 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 išplėtime. Be faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo , gauname aibę faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 . Kitame veiksme prie šio rinkinio nereikia pridėti veiksnių, nes 7 jau yra jame. Galiausiai prie faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2 2 2 2 3 7 11 13, kuri yra lygi 48 048.

Antras numeris: b=

Skaitmenų skyriklis Nėra tarpo skyriklio " "

Rezultatas:

Didžiausias bendras daliklis gcd( a,b)=6

Mažiausias LCM( a,b)=468

Didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijasi be liekanos, vadinamas didžiausias bendras daliklis(gcd) iš šių skaičių. Žymima gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) arba hcf(a,b).

Mažiausias bendras kartotinis Dviejų sveikųjų skaičių a ir b (LCM) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš a ir b be liekanos. Žymima LCM(a,b) arba lcm(a,b).

Vadinami sveikieji skaičiai a ir b koprime jei jie neturi bendrų daliklių, išskyrus +1 ir –1.

Didžiausias bendras daliklis

Tegu pateikiami du teigiami skaičiai a 1 ir a 2 1). Reikia rasti bendrą šių skaičių daliklį, t.y. rasti tokį skaičių λ , kuris dalija skaičius a 1 ir a 2 tuo pačiu metu. Apibūdinkime algoritmą.

1) Šiame straipsnyje žodis skaičius reiškia sveikąjį skaičių.

Leisti a 1 ≥ a 2 ir leiskite

kur m 1 , a 3 yra keli sveikieji skaičiai, a 3 <a 2 (likusi dalis iš skyriaus a 1 ant a 2 turėtų būti mažiau a 2).

Apsimeskime tai λ dalijasi a 1 ir a 2, tada λ dalijasi m 1 a 2 ir λ dalijasi a 1 −m 1 a 2 =a 3 (straipsnio „Skaičių dalijamumas. Dalyvavimo ženklas“ 2 teiginys). Iš to išplaukia, kad kiekvienas bendras daliklis a 1 ir a 2 yra bendras daliklis a 2 ir a 3 . Ir atvirkščiai, jei λ bendras daliklis a 2 ir a 3, tada m 1 a 2 ir a 1 =m 1 a 2 +a 3 taip pat skirstomi į λ . Taigi bendras daliklis a 2 ir a 3 taip pat yra bendras daliklis a 1 ir a 2. Nes a 3 <a 2 ≤a 1 , tada galime pasakyti, kad bendro skaičių daliklio radimo problemos sprendimas a 1 ir a 2 redukuota į paprastesnę užduotį rasti bendrą skaičių daliklį a 2 ir a 3 .

Jeigu a 3 ≠0, tada galime padalinti a 2 ant a 3 . Tada

,

kur m 1 ir a 4 yra keli sveikieji skaičiai, ( a 4 likusios padalijimo dalys a 2 ant a 3 (a 4 <a 3)). Panašiai samprotaudami prieiname prie išvados, kad bendrieji skaičių dalikliai a 3 ir a 4 yra tas pats, kas bendrieji skaičių dalikliai a 2 ir a 3 , taip pat su bendrais dalikliais a 1 ir a 2. Nes a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... skaičiai, kurie nuolat mažėja ir kadangi yra baigtinis sveikųjų skaičių tarp a 2 ir 0, tada tam tikru žingsniu n, likusi dalis a n įjungta a n+1 bus lygus nuliui ( a n+2=0).

.

Kiekvienas bendras daliklis λ numeriai a 1 ir a 2 taip pat yra skaičių daliklis a 2 ir a 3 , a 3 ir a 4 , .... a n ir a n+1 . Ir atvirkščiai, bendrieji skaičių dalikliai a n ir a n+1 taip pat yra skaičių dalikliai a n−1 ir a n , .... , a 2 ir a 3 , a 1 ir a 2. Tačiau bendras daliklis a n ir a n+1 yra skaičius a n+1 , nes a n ir a n+1 dalijasi iš a n+1 (prisiminkite tai a n+2=0). Vadinasi a n+1 taip pat yra skaičių daliklis a 1 ir a 2 .

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius a n+1 yra didžiausias skaičių daliklis a n ir a n+1 , nes didžiausias daliklis a n+1 yra pats savaime a n+1 . Jeigu a n + 1 gali būti pavaizduotas kaip sveikųjų skaičių sandauga, tada šie skaičiai taip pat yra bendrieji skaičių dalikliai a 1 ir a 2. Skaičius a n+1 vadinami didžiausias bendras daliklis numeriai a 1 ir a 2 .

Skaičiai a 1 ir a 2 gali būti ir teigiami, ir neigiami skaičiai. Jei vienas iš skaičių lygus nuliui, tai didžiausias bendras šių skaičių daliklis bus lygus kito skaičiaus absoliučiai reikšmei. Didžiausias bendras nulinių skaičių daliklis nėra apibrėžtas.

Aukščiau pateiktas algoritmas vadinamas Euklido algoritmas rasti didžiausią bendrą dviejų sveikųjų skaičių daliklį.

Pavyzdys, kaip rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį

Raskite didžiausią bendrą dviejų skaičių 630 ir 434 daliklį.

• 1 veiksmas. Padalinkite skaičių 630 iš 434. Likutis yra 196.
• 2 veiksmas. Padalinkite skaičių 434 iš 196. Likutis yra 42.
• 3 veiksmas. Padalinkite skaičių 196 iš 42. Likutis yra 28.
• 4 veiksmas. Padalinkite skaičių 42 iš 28. Likutis yra 14.
• 5 veiksmas. Padalinkite skaičių 28 iš 14. Likutis yra 0.

5 veiksme dalybos likutis yra 0. Todėl didžiausias bendras skaičių 630 ir 434 daliklis yra 14. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 2 ir 7 taip pat yra skaičių 630 ir 434 dalikliai.

Kopirminiai skaičiai

Apibrėžimas 1. Tegul didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2 yra lygus vienam. Tada šie numeriai vadinami pirminiai skaičiai kurie neturi bendro daliklio.

Teorema 1. Jeigu a 1 ir a 2 santykinai pirminiai skaičiai ir λ tam tikrą skaičių, tada bet kurį bendrą skaičių daliklį λa 1 ir a 2 taip pat yra bendras skaičių daliklis λ ir a 2 .

Įrodymas. Apsvarstykite Euklido algoritmą didžiausiam bendrajam skaičių dalikliui rasti a 1 ir a 2 (žr. aukščiau).

.

Iš teoremos sąlygų išplaukia, kad didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2, todėl a n ir a n+1 yra 1. T.y. a n+1=1.

Padauginkime visas šias lygybes iš λ , tada

.

Tegul bendras daliklis a 1 λ ir a 2 yra δ . Tada δ įeina kaip veiksnys a 1 λ , m 1 a 2 λ ir į a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Žr. „Skaičių dalijamumas“, 2 teiginys). Toliau δ įeina kaip veiksnys a 2 λ ir m 2 a 3 λ , taigi įeina kaip veiksnys a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Taip samprotaudami mes tuo įsitikiname δ įeina kaip veiksnys a n−1 λ ir m n−1 a n λ , taigi ir į a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Nes a n+1 =1, tada δ įeina kaip veiksnys λ . Taigi skaičius δ yra bendras skaičių daliklis λ ir a 2 .

Apsvarstykite specialius 1 teoremos atvejus.

Pasekmė 1. Leisti a ir c pirminiai skaičiai yra santykinai b. Tada jų produktas ak atžvilgiu yra pirminis skaičius b.

Tikrai. Iš 1 teoremos ak ir b turi tuos pačius bendrus daliklius kaip c ir b. Bet skaičiai c ir b koprime, t.y. turi vieną bendrą daliklį 1. Tada ak ir b taip pat turi vieną bendrą daliklį 1. Vadinasi ak ir b abipusiai paprasta.

Pasekmė 2. Leisti a ir b kopirminiai skaičiai ir tegul b dalijasi ak. Tada b dalijasi ir k.

Tikrai. Iš tvirtinimo sąlygos ak ir b turi bendrą daliklį b. Pagal 1 teoremą, b turi būti bendras daliklis b ir k. Vadinasi b dalijasi k.

1 išvadą galima apibendrinti.

Pasekmė 3. 1. Tegul skaičiai a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m yra pirminiai skaičiaus atžvilgiu b. Tada a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , šių skaičių sandauga yra pirminė skaičiaus atžvilgiu b.

2. Tegu turime dvi skaičių eilutes

taip, kad kiekvienas skaičius pirmoje eilutėje būtų pirminis kiekvieno antrosios eilutės skaičiaus atžvilgiu. Tada produktas

Reikia rasti tokius skaičius, kurie dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių.

Jei skaičius dalijasi iš a 1, tada atrodo sa 1, kur s kažkoks skaičius. Jeigu q yra didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2, tada

kur s 1 yra tam tikras sveikasis skaičius. Tada

yra mažiausias bendrasis skaičių kartotinis a 1 ir a 2 .

a 1 ir a 2 koprime, tada mažiausias bendras skaičių kartotinis a 1 ir a 2:

Raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad bet kuris skaičių kartotinis a 1 , a 2 , a 3 turi būti skaičių kartotinis ε ir a 3 ir atvirkščiai. Tegul mažiausias bendrasis skaičių kartotinis ε ir a 3 yra ε vienas . Be to, skaičių kartotinis a 1 , a 2 , a 3 , a 4 turi būti skaičių kartotinis ε 1 ir a keturi . Tegul mažiausias bendrasis skaičių kartotinis ε 1 ir a 4 yra ε 2. Taigi mes išsiaiškinome, kad visi skaičių kartotiniai a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sutampa su kokio nors konkretaus skaičiaus kartotiniais ε n , kuris vadinamas mažiausiu bendruoju duotųjų skaičių kartotiniu.

Konkrečiu atveju, kai skaičiai a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m koprime, tada mažiausias bendrasis skaičių kartotinis a 1 , a 2, kaip parodyta aukščiau, turi formą (3). Be to, nuo a 3 pirminis skaičius skaičių atžvilgiu a 1 , a 2, tada a 3 yra pirminis santykinis skaičius a vienas · a 2 (1 išvada). Taigi mažiausias bendras skaičių kartotinis a 1 ,a 2 ,a 3 yra skaičius a vienas · a 2 · a 3 . Ginčiuodami panašiai, prieiname prie tokių teiginių.

pareiškimas 1. Mažiausias bendras kopirminių skaičių kartotinis a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m yra lygus jų sandaugai a vienas · a 2 · a 3 ··· a m .

pareiškimas 2. Bet koks skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pirminio skaičiaus a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m taip pat dalijasi iš jų sandaugos a vienas · a 2 · a 3 ··· a m .

Internetinė skaičiuoklė leidžia greitai rasti didžiausią bendrąjį daliklį ir mažiausią bendrąjį dviejų ar bet kurio kito skaičių kartotinį.

Skaičiuoklė GCD ir NOC paieškai

Raskite GCD ir NOC

GCD ir NOC rasta: 5806

Kaip naudotis skaičiuokle

• Įvesties lauke įveskite skaičius
• Įvedus neteisingus simbolius, įvesties laukas bus paryškintas raudonai
• paspauskite mygtuką "Rasti GCD ir NOC"

Kaip įvesti skaičius

• Skaičiai įvedami atskirti tarpais, taškais arba kableliais
• Įvestų skaičių ilgis neribojamas, todėl rasti ilgų skaičių gcd ir lcm nebus sunku

Kas yra NOD ir NOK?

Didžiausias bendras daliklis iš kelių skaičių yra didžiausias natūralusis sveikasis skaičius, iš kurio visi pradiniai skaičiai dalijasi be liekanos. Didžiausias bendras daliklis yra sutrumpintas kaip GCD.
Mažiausias bendras kartotinis keli skaičiai yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pradinio skaičiaus be liekanos. Mažiausias bendras kartotinis sutrumpintas kaip NOC.

Kaip patikrinti, ar skaičius dalijasi iš kito skaičiaus be liekanos?

Norėdami sužinoti, ar vienas skaičius dalijasi iš kito be liekanos, galite naudoti kai kurias skaičių dalijimosi savybes. Tada juos sujungus galima patikrinti dalijimąsi iš kai kurių iš jų ir jų derinių.

Kai kurie skaičių dalijimosi požymiai

1. Skaičiaus dalijimosi iš 2 ženklas
Norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš dviejų (ar jis lyginis), pakanka pažvelgti į paskutinį šio skaičiaus skaitmenį: jei jis lygus 0, 2, 4, 6 arba 8, tada skaičius yra lyginis, tai reiškia, kad jis dalijasi iš 2.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 2.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius dalijasi iš dviejų.

2. Skaičiaus dalijimosi iš 3 ženklas
Skaičius dalijasi iš 3, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 3. Taigi, norėdami nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 3, turite apskaičiuoti skaitmenų sumą ir patikrinti, ar ji dalijasi iš 3. Net jei skaitmenų suma pasirodė labai didelė, galite pakartoti tą patį procesą vėl.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 3.
Sprendimas: skaičiuojame skaitmenų sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 3, vadinasi, skaičius dalijasi iš trijų.

3. Skaičiaus dalijimosi iš 5 ženklas
Skaičius dalijasi iš 5, kai paskutinis jo skaitmuo yra nulis arba penki.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 5.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius NĖRA dalijamas iš penkių.

4. Skaičiaus dalijimosi iš 9 ženklas
Šis ženklas labai panašus į dalijimosi iš trijų ženklą: skaičius dalijasi iš 9, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 9.
Sprendimas: apskaičiuojame skaitmenų sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 9, vadinasi, skaičius dalijasi iš devynių.

Kaip rasti dviejų skaičių GCD ir LCM

Kaip rasti dviejų skaičių GCD

Paprasčiausias būdas apskaičiuoti didžiausią bendrąjį dviejų skaičių daliklį – surasti visus galimus tų skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią iš jų.

Apsvarstykite šį metodą naudodami GCD(28, 36) radimo pavyzdį:

1. Suskirstome abu skaičius: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Randame bendrus veiksnius, tai yra tuos, kuriuos turi abu skaičiai: 1, 2 ir 2.
3. Mes apskaičiuojame šių veiksnių sandaugą: 1 2 2 \u003d 4 - tai yra didžiausias bendras skaičių 28 ir 36 daliklis.

Kaip rasti dviejų skaičių LCM

Yra du dažniausiai pasitaikantys būdai, kaip rasti mažiausią dviejų skaičių kartotinį. Pirmasis būdas yra tai, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada pasirinkti iš jų tokį skaičių, kuris bus bendras abiem skaičiams ir tuo pačiu mažiausias. Antrasis – rasti šių skaičių GCD. Tiesiog pasvarstykime.

Norėdami apskaičiuoti LCM, turite apskaičiuoti pradinių skaičių sandaugą ir padalyti jį iš anksčiau rasto GCD. Raskime tų pačių skaičių 28 ir 36 LCM:

1. Raskite skaičių 28 ir 36 sandaugą: 28 36 = 1008
2. Jau žinoma, kad gcd(28, 36) yra 4
3. LCM(28; 36) = 1008 / 4 = 252 .

GCD ir LCM radimas keliems numeriams

Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Tam skaičiai, kurių reikia ieškoti didžiausio bendrojo daliklio, išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga. Be to, norėdami rasti kelių skaičių GCD, galite naudoti šį ryšį: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Panašus ryšys taip pat taikomas mažiausiam bendrajam skaičių kartotiniui: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Pavyzdys: suraskite GCD ir LCM numeriams 12, 32 ir 36.

1. Pirma, suskaidykime skaičius: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Raskime bendrus veiksnius: 1, 2 ir 2 .
3. Jų produktas duos gcd: 1 2 2 = 4
4. Dabar suraskime LCM: tam pirmiausia randame LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Norėdami rasti visų trijų skaičių LCM, turite rasti GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
6. LCM(12; 32; 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Mokiniams pateikiama daug matematikos užduočių. Tarp jų labai dažnai yra užduočių su tokia formuluote: yra dvi reikšmės. Kaip rasti mažiausią bendrąjį duotųjų skaičių kartotinį? Būtina mokėti atlikti tokias užduotis, nes įgyti įgūdžiai naudojami dirbant su trupmenomis su skirtingais vardikliais. Straipsnyje analizuosime, kaip rasti LCM ir pagrindines sąvokas.

Prieš rasdami atsakymą į klausimą, kaip rasti LCM, turite apibrėžti terminą "daugelis".. Dažniausiai šios sąvokos formuluotė yra tokia: kokios nors reikšmės A kartotinis yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos. Taigi 4, 8, 12, 16, 20 ir pan. būtina riba.

Šiuo atveju tam tikros reikšmės daliklių skaičius gali būti ribojamas, o kartotinių yra be galo daug. Ta pati vertė yra ir gamtos vertybėms. Tai rodiklis, kurį jie dalija be liekanos. Išnagrinėję tam tikrų rodiklių mažiausios vertės sąvoką, pereikime prie to, kaip ją rasti.

NOC radimas

Mažiausias dviejų ar daugiau eksponentų kartotinis yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris visiškai dalijasi iš visų nurodytų skaičių.

Yra keletas būdų, kaip rasti tokią vertę. Panagrinėkime šiuos metodus:

1. Jei skaičiai maži, įrašykite visus iš jo dalijamus eilutę. Tęskite tai, kol tarp jų rasite ką nors bendro. Įraše jie žymimi raide K. Pavyzdžiui, 4 ir 3 mažiausias kartotinis yra 12.
2. Jei jie yra dideli arba jums reikia rasti 3 ar daugiau reikšmių kartotinį, čia turėtumėte naudoti kitą metodą, kuris apima skaičių skaidymą į pirminius veiksnius. Pirmiausia išdėliokite didžiausią iš nurodytų, tada visus likusius. Kiekvienas iš jų turi savo skaičių daugiklių. Pavyzdžiui, išskaidykime 20 (2*2*5) ir 50 (5*5*2). Mažesniems iš jų pabraukite veiksnius ir pridėkite prie didžiausio. Rezultatas bus 100, o tai bus mažiausias pirmiau minėtų skaičių bendras kartotinis.
3. Radus 3 skaičius (16, 24 ir 36), principai yra tokie patys kaip ir kitų dviejų. Išplėskime kiekvieną iš jų: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Į didžiausių išskaidymą nepateko tik du dvejetai iš skaičiaus 16 išplėtimo. Juos sudedame ir gauname 144, tai yra mažiausias rezultatas pagal anksčiau nurodytas skaitines reikšmes.

Dabar mes žinome, koks yra bendrasis metodas, leidžiantis rasti mažiausią dviejų, trijų ar daugiau verčių vertę. Tačiau yra ir privačių metodų, padeda ieškoti NOC, jei ankstesni nepadeda.

Kaip rasti GCD ir NOC.

Privatūs paieškos būdai

Kaip ir bet kurioje matematinėje dalyje, yra specialių atvejų, kai galima rasti LCM, kurie padeda konkrečiose situacijose:

• jei vienas iš skaičių dalijasi iš kitų be liekanos, tai mažiausias šių skaičių kartotinis jam lygus (NOC 60 ir 15 lygus 15);
• Kopirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių daliklių. Mažiausia jų reikšmė lygi šių skaičių sandaugai. Taigi skaičiams 7 ir 8 tai bus 56;
• ta pati taisyklė galioja ir kitais atvejais, įskaitant specialiuosius, apie kuriuos galima pasiskaityti specializuotoje literatūroje. Tai taip pat turėtų apimti sudėtinių skaičių išskaidymo atvejus, kurie yra atskirų straipsnių ir netgi daktaro disertacijų tema.

Ypatingi atvejai yra mažiau paplitę nei standartiniai pavyzdžiai. Tačiau jų dėka galite išmokti dirbti su įvairaus sudėtingumo frakcijomis. Tai ypač pasakytina apie trupmenas., kur yra skirtingi vardikliai.

Kai kurie pavyzdžiai

Pažvelkime į kelis pavyzdžius, kurių dėka galite suprasti mažiausio kartotinio radimo principą:

1. Randame LCM (35; 40). Iš pradžių išdėstome 35 = 5 * 7, tada 40 = 5 * 8. Prie mažiausio skaičiaus pridedame 8 ir gauname NOC 280.
2. NOC (45; 54). Išdėliojame kiekvieną iš jų: 45 = 3*3*5 ir 54 = 3*3*6. Prie 45 pridedame skaičių 6. Gauname NOC lygų 270.
3. Na, paskutinis pavyzdys. Yra 5 ir 4. Paprastų jų kartotinių nėra, todėl mažiausias bendras kartotinis šiuo atveju bus jų sandauga, lygi 20.

Pavyzdžių dėka galite suprasti, kaip yra NOC, kokie yra niuansai ir kokia yra tokių manipuliacijų prasmė.

Rasti NOC yra daug lengviau, nei gali atrodyti iš pradžių. Tam naudojamas ir paprastas išplėtimas, ir paprastų reikšmių dauginimas viena iš kitos.. Gebėjimas dirbti su šia matematikos dalimi padeda toliau tirti matematines temas, ypač įvairaus sudėtingumo trupmenas.

Nepamirškite periodiškai spręsti pavyzdžių įvairiais metodais, tai lavina loginį aparatą ir leidžia atsiminti daugybę terminų. Išmokite metodus, kaip rasti tokį rodiklį, ir galėsite gerai dirbti su likusiais matematiniais skyriais. Sėkmės mokantis matematikos!

Vaizdo įrašas

Šis vaizdo įrašas padės suprasti ir prisiminti, kaip rasti mažiausią bendrąjį kartotinį.