, nutrūkusi linija ir kt.:

Jei įdėmiai pažvelgsite į visas šias figūras, galite pasirinkti dvi iš jų, kurias sudaro uždaros linijos (apskritimas ir trikampis). Šios figūros turi savotišką sieną, skiriančią tai, kas yra viduje, nuo to, kas yra išorėje. Tai yra, riba padalija plokštumą į dvi dalis: vidinę ir išorinė sritis dėl figūros, su kuria ji susijusi:

Perimetras

Perimetras yra uždara plokštumos riba geometrinė figūra atskiriant jo vidinę sritį nuo išorinės.

Bet kuri uždara geometrinė figūra turi perimetrą:

Paveiksle perimetrai pažymėti raudona linija. Atkreipkite dėmesį, kad apskritimo perimetras dažnai vadinamas ilgiu.

Perimetras matuojamas ilgio vienetais: mm, cm, dm, m, km.

Visų daugiakampių perimetras sumažinamas iki visų kraštinių ilgių pridėjimo, tai yra, daugiakampio perimetras visada yra yra lygi sumai jo šonų ilgis. Skaičiuojant perimetrą, jis dažnai žymimas didžiąja lotyniška raide P:

Kvadratas

Plotas – plokštumos dalis, kurią užima uždara plokščia geometrinė figūra.

Bet kuri plokščia uždara geometrinė figūra turi tam tikrą plotą. Brėžiniuose geometrinių formų sritis yra vidinė sritis, tai yra ta plokštumos dalis, kuri yra perimetro viduje.

išmatuoti plotą skaičiai – reiškia, kiek kartų tam tikroje figūroje įdėta kita figūra, imama matavimo vienetu. Paprastai ploto matavimo vienetu imamas kvadratas, kurio kraštinė lygi ilgio matavimo vienetui: milimetras, centimetras, metras ir kt.

Paveikslėlyje parodytas kvadratinis centimetras. - kvadratas, kurio kiekviena kraštinė yra 1 cm ilgio:

Plotas matuojamas kvadratinių vienetų ah, matuojant ilgį. Ploto vienetai apima: mm 2, cm 2, m 2, km 2 ir kt.

Kvadratinių vienetų perskaičiavimo lentelė

	mm 2	cm 2	dm 2	m 2	ar (pynimas)	hektaras (ha)	km 2
mm 2	1 mm2	0,01 cm2	10-4 dm 2	10-6 m 2	10 -8 ar	10 -10 ha	10-12 km 2
cm 2	100 mm2	1 cm2	0,01 dm 2	10-4 m 2	10-6 arai	10 -8 ha	10-10 km2
dm 2	10 4 mm 2	100 cm2	1 dm 2	0,01 m2	10 -4 ar	10 -6 ha	10-8 km 2
m 2	10 6 mm 2	10 4 cm 2	100 dm 2	1 m2	0,01 aro	10 -4 ha	10-6 km2
ar	108 mm2	106 cm2	10 4 dm 2	100 m2	1 yra	0,01 ha	10-4 km 2
ha	10 10 mm 2	108 cm2	10 6 dm 2	10 4 m 2	100 yra	1 ha	0,01 km2
km 2	10 12 mm 2	10 10 cm 2	10 8 dm 2	10 6 m 2	10 4 ar	100 ha	1 km 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

Studentai įgyja žinių, kaip rasti perimetrą pradinė mokykla. Tada ši informacija nuolat naudojama matematikos ir geometrijos kursuose.

Visoms figūroms bendra teorija

Šalys paprastai žymimos lotyniškomis raidėmis. Be to, jie gali būti priskirti segmentams. Tada jums reikės dviejų raidžių kiekvienoje pusėje ir parašytų didelėmis raidėmis. Arba įveskite pavadinimą viena raide, kuri būtinai bus maža.
Raidės visada parenkamos abėcėlės tvarka. Trikampiui jie bus pirmieji trys. Šešiakampyje jų bus 6 – nuo ​​a iki f. Tai naudinga įvedant formules.

Dabar apie tai, kaip rasti perimetrą. Tai visų figūros kraštinių ilgių suma. Terminų skaičius priklauso nuo jo tipo. Perimetras žymimas lotyniška raide P. Matavimo vienetai yra tokie patys kaip ir šonuose.

Įvairių formų perimetro formulės

Trikampiui: P \u003d a + b + c. Jei jis yra lygiašonis, tada formulė konvertuojama: P \u003d 2a + c. Kaip rasti trikampio perimetrą, jei jis lygiakraštis? Tai padės: P \u003d 3a.

Savavališkam keturkampiui: P=a+b+c+d. Ypatingas jo atvejis yra kvadratas, perimetro formulė: P=4a. Taip pat yra stačiakampis, tada reikalinga ši lygybė: P \u003d 2 (a + b).

Ką daryti, jei nežinote vienos ar kelių trikampio kraštinių ilgio?

Naudokite kosinuso teoremą, jei tarp duomenų yra dvi pusės ir kampas tarp jų, kuris žymimas raide A. Tada, prieš surandant perimetrą, teks apskaičiuoti trečiąją pusę. Tam naudinga ši formulė: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Ypatingas šios teoremos atvejis yra tas, kurį Pitagoras suformulavo stačiajam trikampiui. Jame yra kosinuso reikšmė stačiu kampu tampa nulis, o tai reiškia, kad paskutinis terminas tiesiog išnyksta.

Yra situacijų, kai galite sužinoti, kaip rasti trikampio perimetrą vienoje pusėje. Tačiau tuo pat metu žinomi ir figūros kampai. Čia į pagalbą ateina sinuso teorema, kai kraštinių ilgių ir atitinkamų priešingų kampų sinusų santykiai yra lygūs.

Esant situacijai, kai figūros perimetrą reikia rasti pagal plotą, pravers kitos formulės. Pavyzdžiui, jei žinomas įbrėžto apskritimo spindulys, tada, kalbant apie tai, kaip rasti trikampio perimetrą, naudinga ši formulė: S \u003d p * r, čia p yra pusiau perimetras. Jis turi būti išvestas iš šios formulės ir padaugintas iš dviejų.

Užduočių pavyzdžiai

Pirma sąlyga. Raskite trikampio, kurio kraštinės yra 3, 4 ir 5 cm, perimetrą.
Sprendimas. Turite naudoti aukščiau nurodytą lygybę ir tiesiog pakeisti vertės užduoties duomenis. Skaičiavimai yra paprasti, jie veda į skaičių 12 cm.
Atsakymas. Trikampio perimetras yra 12 cm.

Antra sąlyga. Viena trikampio kraštinė yra 10 cm.. Yra žinoma, kad antroji yra 2 cm didesnė už pirmąją, o trečioji yra 1,5 karto didesnė už pirmąją. Būtina apskaičiuoti jo perimetrą.
Sprendimas. Norėdami tai sužinoti, turite suskaičiuoti dvi puses. Antrasis apibrėžiamas kaip 10 ir 2 suma, trečiasis yra lygus 10 ir 1,5 sandaugai. Tada belieka suskaičiuoti trijų reikšmių sumą: 10, 12 ir 15. Rezultatas bus 37 cm.
Atsakymas. Perimetras 37 cm.

Trečia sąlyga. Yra stačiakampis ir kvadratas. Viena stačiakampio kraštinė yra 4 cm, o kita 3 cm ilgesnė. Būtina apskaičiuoti kvadrato kraštinės vertę, jei jos perimetras yra 6 cm mažesnis nei stačiakampio.
Sprendimas. Antroji stačiakampio kraštinė lygi 7. Tai žinant, nesunku apskaičiuoti jo perimetrą. Skaičiuojant gaunama 22 cm.
Norėdami sužinoti kvadrato kraštinę, pirmiausia turite atimti 6 iš stačiakampio perimetro, o tada gautą skaičių padalinti iš 4. Dėl to turime skaičių 4.
Atsakymas. Kvadrato kraštinė 4 cm.

Žinoma, kiekvienas iš mūsų mokykloje išmokome tokį svarbų geometrijos komponentą kaip perimetras. Norint išspręsti daugelį problemų, tiesiog būtina rasti perimetrą. Mūsų straipsnis jums pasakys, kaip rasti perimetrą.

Verta prisiminti, kad bet kurios figūros perimetras beveik visada yra jos kraštinių suma. Pažvelkime į keletą skirtingų geometrinių figūrų.

1. Stačiakampis yra keturkampis, kurio lygiagrečios kraštinės yra lygios poromis. Jei viena pusė yra X, o kita yra Y, tada gauname šią formulę, kaip rasti šios figūros perimetrą:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Problemos sprendimo pavyzdys:

   Tarkime, kad kraštinė X = 5 cm, kraštinė Y = 10 cm. Taigi, šias reikšmes pakeisdami į formulę, gauname - P = 2*5 cm + 2* 10 cm = 30 cm.

2. Trapecija yra keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios, bet nelygios. Trapecijos perimetras yra visų keturių jos kraštinių suma:

   P = X+Y+Z+W, kur X, Y, Z, W yra figūros kraštinės.

   Problemos sprendimo pavyzdys:

   Tarkime, kraštinė X = 5 cm, kraštinė Y = 10 cm, kraštinė Z = 8 cm, pusė W = 20 cm. Taigi, pakeisdami šias reikšmes į mūsų formulę, gausime - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.

3. Apskritimo perimetras (apskritimas) gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

   P = 2rπ = dπ, kur r – apskritimo spindulys, d – apskritimo skersmuo.

   Problemos sprendimo pavyzdys:

   Tarkime, kad mūsų apskritimo spindulys r lygus 5 cm, tada skersmuo d bus 2 * 5 cm = 10 cm. Žinoma, kad π = 3,14. Taigi, pakeisdami šias reikšmes į mūsų formulę, gauname - P = 2 * 5 cm * 3,14 = 31,4 cm.

4. Jei jums reikia rasti trikampio perimetrą, tai darydami galite susidurti su daugybe problemų, nes trikampiai gali būti labai skirtingų formų. Pavyzdžiui, yra smailieji, bukieji, lygiašoniai, stačiakampiai arba lygiakraščiai trikampiai. Nors visų tipų trikampių formulė yra tokia:

   P = X+Y+Z, kur X, Y, Z yra figūros kraštinės.

   Problema ta, kad spręsdami daugelį šios figūros perimetro nustatymo problemų ne visada žinosite visų pusių ilgius. Pavyzdžiui, vietoj informacijos apie vienos iš kraštinių ilgį galite nurodyti konkretaus trikampio kampo laipsnį arba aukščio ilgį. Tai gerokai apsunkins užduotį, bet nepadarys jos sprendimo nerealus. Kaip rasti trikampio perimetrą, nesvarbu, kokia jo forma, galite perskaityti "".

5. Tokios figūros kaip rombo perimetras randamas taip pat kaip ir kvadrato perimetras, nes rombas yra lygiagretainis, turintis lygios pusės. Kaip rasti kvadrato perimetrą, galite sužinoti perskaitę straipsnį mūsų svetainėje "".

   Dabar jūs žinote, kaip rasti jums reikalingos geometrinės figūros perimetro pusę!

Kitame testo užduotys Raskite paveiksle pavaizduotos figūros perimetrą.

Yra daug būdų, kaip rasti formos perimetrą. Galite pakeisti pradinę formą taip, kad būtų galima lengvai apskaičiuoti naujos formos perimetrą (pavyzdžiui, pakeisti į stačiakampį).

Kitas sprendimas – figūros perimetro ieškoti tiesiogiai (kaip visų jos kraštinių ilgių sumą). Bet šiuo atveju negalima pasikliauti tik brėžiniu, o pagal uždavinio duomenis rasti atkarpų ilgius.

Noriu perspėti: vienoje iš užduočių tarp siūlomų atsakymų neradau to, kuris man pasirodė.

c) .

Perkelkime mažų stačiakampių kraštines iš vidinės srities į išorinę. Dėl to didelis stačiakampis uždaromas. Stačiakampio perimetro radimo formulė

Šiuo atveju a=9a, b=3a+a=4a. Taigi P=2(9a+4a)=26a. Prie didelio stačiakampio perimetro pridedame keturių atkarpų, kurių kiekvienas yra lygus 3a, ilgių sumą. Dėl to P=26a+4∙3a= 38a .

c) .

Mažųjų stačiakampių vidines kraštines perkėlus į išorinę sritį, gauname didelį stačiakampį, kurio perimetras P=2(10x+6x)=32x, ir keturis segmentus, du x ilgio, du 2x ilgio.

Iš viso, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Perkelkime 6 horizontalius „žingsnius“ iš vidaus į išorę. Gauto didelio stačiakampio perimetras P=2(6y+8y)=28y. Belieka rasti stačiakampio viduje esančių atkarpų ilgių sumą 4y+6∙y=10y. Taigi figūros perimetras P=28y+10y= 38m .

D) .

Perkelkime vertikalius segmentus iš vidinės figūros srities į kairę, į išorinę sritį. Norėdami gauti didelį stačiakampį, perkelkite vieną iš 4x ilgių į apatinį kairįjį kampą.

Pradinės figūros perimetrą randame kaip šio didelio stačiakampio perimetro ir likusių trijų atkarpų ilgių sumą P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

e) .

Perkeldami vidines mažų stačiakampių puses į išorinę sritį, gauname didelį kvadratą. Jo perimetras yra P=4∙10x=40x. Norėdami gauti pradinės figūros perimetrą, prie kvadrato perimetro turite pridėti aštuonių atkarpų, kurių kiekvienas yra 3x ilgio, ilgių sumą. Iš viso, P=40x+8∙3x= 64x .

b) .

Perkelkime visus horizontalius „žingsnius“ ir vertikalius viršutinius segmentus į išorinę sritį. Gauto stačiakampio perimetras P=2(7y+4y)=22y. Norėdami rasti pradinės figūros perimetrą, prie stačiakampio perimetro turite pridėti keturių atkarpų, kurių kiekvieno ilgis yra y, ilgių sumą: P=22y+4∙y= 26m .

D) .

Perkelkite visas horizontalias linijas iš vidinės srities į išorinę sritį ir atitinkamai perkelkite dvi vertikalias išorines linijas kairiajame ir dešiniajame kampuose z į kairę ir dešinę. Dėl to gauname didelį stačiakampį, kurio perimetras P=2(11z+3z)=28z.

Pradinės figūros perimetras yra lygus didelio stačiakampio perimetro ir šešių atkarpų ilgių sumai z: P=28z+6∙z= 34z .

b) .

Sprendimas yra visiškai panašus į ankstesnio pavyzdžio sprendimą. Pakeitę figūrą, randame didelio stačiakampio perimetrą:

P=2(5z+3z)=16z. Prie stačiakampio perimetro pridedame likusių šešių atkarpų, kurių kiekvienas yra lygus z, ilgių sumą: P=16z+6∙z= 22z .

Geometrija, jei neklystu, mano laikais buvo mokomasi nuo penktos klasės ir perimetras buvo ir yra viena pagrindinių sąvokų. Taigi, perimetras yra visų kraštinių ilgių suma (žymima lotyniška raide P). Apskritai šis terminas interpretuojamas įvairiai, pavyzdžiui,

• bendras figūros krašto ilgis,
• visų jo kraštų ilgis,
• jo veidų ilgių suma,
• ribojančios linijos ilgis,
• visų daugiakampio kraštinių ilgių suma

Skirtingos formos turi savo formules perimetrui nustatyti. Norėdami suprasti pačią prasmę, siūlau savarankiškai išvesti keletą paprastų formulių:

1. už kvadratą
2. stačiakampiui
3. lygiagrečiam
4. už kubą
5. už dėžutę

Kvadrato perimetras

Pavyzdžiui, paimkime paprasčiausią – kvadrato perimetrą.

Visos kvadrato kraštinės yra lygios. Tegul viena pusė vadinasi „a“ (taip pat ir kitos trys).

P = a + a + a + a

arba kompaktiškesnis žymėjimas

Stačiakampio perimetras

Sudėtinkite užduotį ir paimkime stačiakampį. Šiuo atveju nebegalima sakyti, kad visos kraštinės lygios, todėl stačiakampio kraštinių ilgiai bus lygūs a ir b.

Tada formulė atrodys taip:

P = a + b + a + b

Lygiagretainis perimetras

Panaši situacija bus su lygiagretainiu (žr. stačiakampio perimetrą)

kubo perimetras

Ką daryti, jei susiduriame su trimate figūra? Pavyzdžiui, paimkite kubą. Kubas turi 12 kraštinių ir visos yra lygios. Atitinkamai, kubo perimetrą galima apskaičiuoti taip:

Dėžutės perimetras

Na, o norėdami pritvirtinti medžiagą, apskaičiuojame gretasienio perimetrą. Čia reikia šiek tiek pagalvoti. Padarykime tai kartu. Kaip žinome, stačiakampis yra figūra, kurios kraštinės yra stačiakampiai. Kiekvienas gretasienis turi du pagrindus. Paimkime vieną iš pagrindų ir pažiūrėkime į jo puses – jie turi ilgius a ir b. Atitinkamai, pagrindo perimetras yra P = 2a + 2b. Tada dviejų bazių perimetras yra

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Tačiau turime ir „c“ pusę. Taigi gretasienio perimetro apskaičiavimo formulė atrodys taip:

P = 4a + 4b + 4c

Kaip matote iš aukščiau pateiktų pavyzdžių, norint nustatyti figūros perimetrą, reikia tik rasti kiekvienos kraštinės ilgį ir jas sudėti.

Baigdamas norėčiau pažymėti, kad ne kiekviena figūra turi perimetrą. Pavyzdžiui, Sfera neturi perimetro.