Viena vertus, galite būti šimtu procentų tikri, kad paklaustas, koks yra hipotenuzės kvadratas, bet kuris suaugęs žmogus drąsiai atsakys: „Kojų kvadratų suma“. Ši teorija yra tvirtai įsišaknijusi kiekvieno galvose. išsilavinęs žmogus, bet užtenka tik paprašyti, kad kas nors tai įrodytų, ir tada gali kilti sunkumų. Todėl prisiminkime ir apsvarstykime įvairius Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdus.
Trumpa biografijos apžvalga
Pitagoro teorema yra žinoma beveik visiems, tačiau kažkodėl ją sukūrusio asmens biografija nėra tokia populiari. Mes tai sutvarkysime. Todėl prieš studijuodami įvairius Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdus, turite trumpai susipažinti su jo asmenybe.
Pitagoras - filosofas, matematikas, mąstytojas, kilęs išŠiandien, labai sunku atskirti jo biografiją nuo legendų, susiformavusių šio puikaus žmogaus atminimui. Tačiau, kaip matyti iš jo pasekėjų raštų, Pitagoras iš Samos gimė Samos saloje. Jo tėvas buvo paprastas akmenų kalėjas, o mama kilusi iš kilmingos šeimos.
Pasak legendos, Pitagoro gimimą išpranašavo moteris, vardu Pythia, kurios garbei berniukas buvo pavadintas. Pasak jos, gimęs berniukas turėjo atnešti daug naudos ir gero žmonijai. Ką jis iš tikrųjų padarė.
Teoremos gimimas
Jaunystėje Pitagoras persikėlė į Egiptą, kad susitiktų su garsiaisiais Egipto išminčiais. Po susitikimo su jais jis buvo priimtas studijuoti, kur išmoko visus didžiuosius Egipto filosofijos, matematikos ir medicinos pasiekimus.
Tikriausiai būtent Egipte Pitagoras buvo įkvėptas piramidžių didybės ir grožio ir sukūrė savo puiki teorija. Tai gali šokiruoti skaitytojus, tačiau šiuolaikiniai istorikai mano, kad Pitagoras neįrodė savo teorijos. Tačiau savo žinias jis perdavė tik savo pasekėjams, kurie vėliau atliko visus reikiamus matematinius skaičiavimus.
Kad ir kaip būtų, šiandien žinoma ne viena šios teoremos įrodinėjimo technika, o kelios iš karto. Šiandien galime tik spėlioti, kaip tiksliai skaičiavo senovės graikai, todėl čia apsvarstysime įvairius Pitagoro teoremos įrodymo būdus.
Pitagoro teorema
Prieš pradėdami bet kokius skaičiavimus, turite išsiaiškinti, kurią teoriją įrodyti. Pitagoro teorema skamba taip: „Trikampyje, kurio vienas iš kampų lygus 90 o, kojelių kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui“.
Iš viso yra 15 skirtingų būdų įrodyti Pitagoro teoremą. Tai gana didelis skaičius, todėl atkreipkime dėmesį į populiariausius iš jų.
Pirmasis metodas
Pirmiausia išsiaiškinkime, ką turime. Šie duomenys bus taikomi ir kitiems Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdams, todėl turėtumėte nedelsdami prisiminti visą turimą žymėjimą.
Tarkime, kad pateiktas stačiakampis trikampis, kurio kojos a, b ir hipotenuzė lygi c. Pirmasis įrodinėjimo būdas grindžiamas tuo taisyklingas trikampis reikia nupiešti kvadratą.
Norėdami tai padaryti, turite nubrėžti atkarpą, lygią kojai, į kojos ilgį a ir atvirkščiai. Taigi turėtų pasirodyti dvi lygios kvadrato pusės. Belieka tik nubrėžti dvi lygiagrečias linijas, ir kvadratas yra paruoštas.
Gautos figūros viduje reikia nupiešti kitą kvadratą, kurio kraštinė lygi pradinio trikampio hipotenusei. Norėdami tai padaryti, iš ac ir s viršūnių turite nubrėžti du lygiagretus segmentas lygus su. Taigi gauname tris kvadrato kraštines, iš kurių viena yra pradinio stačiakampio trikampio hipotenuzė. Belieka tik nubrėžti ketvirtą segmentą.
Remdamiesi gautu paveikslu, galime daryti išvadą, kad išorinio kvadrato plotas yra (a + b) 2. Jei pažvelgsite į figūros vidų, pamatysite, kad, be vidinio kvadrato, joje yra keturi stačiakampiai trikampiai. Kiekvieno plotas yra 0,5 av.
Todėl plotas yra: 4 * 0,5 av + s 2 \u003d 2 av + s 2
Taigi (a + c) 2 \u003d 2av + c 2
Ir todėl su 2 \u003d a 2 + in 2
Teorema įrodyta.
Antras būdas: panašūs trikampiai
Ši Pitagoro teoremos įrodymo formulė buvo gauta remiantis teiginiu iš geometrijos atkarpos apie panašius trikampius. Jame sakoma, kad stačiojo trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas jo hipotenusei ir hipotenuzės atkarpai, kylančiai iš 90 o kampo viršūnės.
Pradiniai duomenys išlieka tie patys, todėl iš karto pradėkime nuo įrodymo. Nubrėžkime atkarpą CD, statmeną kraštinei AB. Remiantis aukščiau pateiktu teiginiu, trikampių kojos yra lygios:
AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.
Norint atsakyti į klausimą, kaip įrodyti Pitagoro teoremą, reikia įrodyti abi nelygybes kvadratu.
AC 2 \u003d AB * HELL ir SV 2 \u003d AB * DV
Dabar turime pridėti gautas nelygybes.
AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), kur AD + DV \u003d AB
Paaiškėjo, kad:
AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB
Ir todėl:
AC 2 + CB 2 \u003d AB 2
Pitagoro teoremos įrodymas ir įvairūs jos sprendimo būdai reikalauja įvairiapusiško požiūrio į šią problemą. Tačiau ši parinktis yra viena iš paprasčiausių.
Kitas skaičiavimo metodas
Įvairių Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdų aprašymas gali nieko nepasakyti, kol nepradėsite praktikuoti savarankiškai. Daugelis metodų apima ne tik matematinius skaičiavimus, bet ir naujų figūrų konstravimą iš pradinio trikampio.
AT Ši byla reikia užbaigti dar vieną stačiakampį trikampį VSD nuo orlaivio kojos. Taigi dabar yra du trikampiai su bendra kojele BC.
Žinodami, kad panašių figūrų plotai turi santykį su jų panašių tiesinių matmenų kvadratais, tada:
S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2
S avs * (nuo 2 iki 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)
nuo 2 iki 2 \u003d a 2
c 2 \u003d a 2 + in 2
Kadangi ši parinktis vargu ar tinka naudojant skirtingus Pitagoro teoremos įrodinėjimo metodus 8 klasei, galite naudoti šią techniką.
Lengviausias būdas įrodyti Pitagoro teoremą. Atsiliepimai
Istorikai mano, kad šis metodas pirmą kartą buvo panaudotas teoremai įrodyti senovės Graikijoje. Tai paprasčiausias, nes nereikalauja absoliučiai jokių skaičiavimų. Jei teisingai nupiešite paveikslėlį, bus aiškiai matomas teiginio, kad 2 + b 2 \u003d c 2, įrodymas.
Sąlygos, skirtos šis metodasšiek tiek skirsis nuo ankstesnio. Norėdami įrodyti teoremą, tarkime, kad stačiakampis trikampis ABC yra lygiašonis.
Kvadrato kraštinę imame hipotenuzą AC ir nubrėžiame tris jos kraštines. Be to, gautame kvadrate reikia nubrėžti dvi įstrižas linijas. Taip, kad jo viduje gausite keturis lygiašonius trikampius.
Prie kojelių AB ir CB taip pat reikia nubrėžti kvadratą ir kiekvienoje iš jų nubrėžti po vieną įstrižainę liniją. Pirmąją liniją brėžiame iš viršūnės A, antrąją - iš C.
Dabar reikia atidžiai pažvelgti į gautą piešinį. Kadangi hipotenuzėje AC yra keturi trikampiai, lygūs pradiniam, ir du ant kojų, tai rodo šios teoremos teisingumą.
Beje, šio Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdo dėka gimė garsioji frazė: „Pitagoro kelnės lygios visomis kryptimis“.
J. Garfieldo įrodymas
Jamesas Garfieldas yra 20-asis Jungtinių Amerikos Valstijų prezidentas. Jis ne tik paliko pėdsaką istorijoje kaip JAV valdovas, bet ir buvo gabus savamokslis.
Karjeros pradžioje buvo eilinis liaudies mokyklos mokytojas, bet netrukus tapo vienos aukštesniosios mokyklos direktoriumi švietimo įstaigų. Noras tobulėti ir leido jam pasiūlyti nauja teorija Pitagoro teoremos įrodymas. Teorema ir jos sprendimo pavyzdys yra tokie.
Pirmiausia ant popieriaus lapo reikia nupiešti du stačiakampius trikampius, kad vieno iš jų kojelė būtų antrojo tęsinys. Šių trikampių viršūnės turi būti sujungtos, kad baigtųsi trapecija.
Kaip žinote, trapecijos plotas yra lygus pusės jos pagrindų ir aukščio sandaugai.
S=a+b/2 * (a+b)
Jei gautą trapeciją laikysime figūra, susidedančia iš trijų trikampių, tada jos plotą galima rasti taip:
S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2
Dabar turime suvienodinti dvi pradines išraiškas
2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2
c 2 \u003d a 2 + in 2
Apie Pitagoro teoremą ir kaip ją įrodyti galima parašyti ne vieną tomą studijų vadovas. Bet ar tai prasminga, kai šių žinių negalima pritaikyti praktiškai?
Praktinis Pitagoro teoremos taikymas
Deja, šiuolaikiškai mokyklos programosŠi teorema skirta naudoti tik geometrinės problemos. Netrukus abiturientai paliks mokyklos sienas nežinodami, kaip savo žinias ir įgūdžius galės pritaikyti praktiškai.
Tiesą sakant, kiekvienas gali naudoti Pitagoro teoremą savo kasdieniame gyvenime. Ir ne tik viduje profesinę veiklą bet ir atliekant įprastus namų ruošos darbus. Panagrinėkime kelis atvejus, kai Pitagoro teorema ir jos įrodinėjimo metodai gali būti itin reikalingi.
Teoremos ir astronomijos ryšys
Atrodytų, kaip ant popieriaus galima sujungti žvaigždes ir trikampius. Tiesą sakant, astronomija yra mokslo sritis, kurioje plačiai naudojama Pitagoro teorema.
Pavyzdžiui, apsvarstykite šviesos pluošto judėjimą erdvėje. Žinome, kad šviesa sklinda į abi puses tuo pačiu greičiu. Vadiname trajektoriją AB, kuria juda šviesos spindulys l. Ir pusę laiko, per kurį šviesa patenka iš taško A į tašką B, skambinkime t. Ir spindulio greitis - c. Paaiškėjo, kad: c*t=l
Jei pažvelgsite į tą patį spindulį iš kitos plokštumos, pavyzdžiui, iš kosminio lainerio, kuris juda greičiu v, tada tokiu kūnų stebėjimu jų greitis pasikeis. Tokiu atveju net stacionarūs elementai judės greičiu v priešinga kryptimi.
Tarkime, komiškas laineris plaukia į dešinę. Tada taškai A ir B, tarp kurių veržiasi spindulys, pasislinks į kairę. Be to, kai spindulys juda iš taško A į tašką B, taškas A turi laiko judėti ir atitinkamai šviesa jau pateks į naują tašką C. Norėdami rasti pusę atstumo, kurį taškas A pasislinko, turite padauginti įdėklo greitis per pusę spindulio judėjimo trukmės (t").
Ir norint sužinoti, kiek per tą laiką gali nukeliauti šviesos spindulys, reikia nurodyti pusę naujojo buko kelio ir gauti tokią išraišką:
Jei įsivaizduosime, kad šviesos taškai C ir B, taip pat erdvės linijinė linija yra lygiašonio trikampio viršūnės, tai atkarpa nuo taško A iki linijinės linijos jį padalins į du stačiuosius trikampius. Todėl Pitagoro teoremos dėka galite rasti atstumą, kurį galėtų nukeliauti šviesos spindulys.
Šis pavyzdys, žinoma, nėra pats sėkmingiausias, nes tik nedaugeliui gali pasisekti jį išbandyti praktiškai. Todėl svarstome kasdieniškesnius šios teoremos pritaikymus.
Mobiliojo signalo perdavimo diapazonas
Šiuolaikinis gyvenimas nebeįsivaizduojamas be išmaniųjų telefonų. Bet kiek jie būtų naudingi, jei negalėtų prijungti abonentų mobiliuoju ryšiu?!
Mobiliojo ryšio kokybė tiesiogiai priklauso nuo to, kokiame aukštyje yra mobiliojo ryšio operatoriaus antena. Norėdami apskaičiuoti, kokiu atstumu nuo mobiliojo ryšio bokšto telefonas gali priimti signalą, galite pritaikyti Pitagoro teoremą.
Tarkime, reikia rasti apytikslį nejudančio bokšto aukštį, kad jis galėtų skleisti signalą 200 kilometrų spinduliu.
AB (bokšto aukštis) = x;
BC (signalo perdavimo spindulys) = 200 km;
OS (spindulys pasaulis) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Taikydami Pitagoro teoremą, išsiaiškiname, kad mažiausias bokšto aukštis turi būti 2,3 kilometro.
Pitagoro teorema kasdieniame gyvenime
Kaip bebūtų keista, Pitagoro teorema gali būti naudinga net kasdieniuose reikaluose, pavyzdžiui, nustatant spintos aukštį. Iš pirmo žvilgsnio nereikia naudoti tokių sudėtingų skaičiavimų, nes galite tiesiog atlikti matavimus naudojant matavimo juostą. Tačiau daugelis stebisi, kodėl surinkimo proceso metu kyla tam tikrų problemų, jei visi matavimai buvo atlikti daugiau nei tiksliai.
Faktas yra tas, kad drabužių spinta surenkama horizontalioje padėtyje ir tik tada pakyla ir montuojama prie sienos. Todėl spintelės šoninė sienelė pakeliant konstrukciją turi laisvai praeiti tiek išilgai kambario aukščio, tiek įstrižai.
Tarkime, kad yra 800 mm gylio spinta. Atstumas nuo grindų iki lubų - 2600 mm. Patyręs baldininkas pasakys, kad spintelės aukštis turi būti 126 mm mažesnis už patalpos aukštį. Bet kodėl būtent 126 mm? Pažiūrėkime į pavyzdį.
Turėdami idealius spintelės matmenis, patikrinkime Pitagoro teoremos veikimą:
AC \u003d √AB 2 + √BC 2
AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - viskas susilieja.
Tarkime, spintelės aukštis ne 2474 mm, o 2505 mm. Tada:
AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.
Todėl ši spinta netinka montuoti šioje patalpoje. Kadangi pakėlus jį į vertikalią padėtį, gali būti pažeistas jo kūnas.
Galbūt, įvertinę skirtingus Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdus skirtingų mokslininkų, galime daryti išvadą, kad tai daugiau nei tiesa. Dabar gauta informacija galite pasinaudoti kasdieniame gyvenime ir būti visiškai tikri, kad visi skaičiavimai bus ne tik naudingi, bet ir teisingi.
» Nusipelnęs Varviko universiteto matematikos profesorius, žinomas mokslo populiarintojas Ianas Stewartas, pasišventęs skaičių vaidmeniui žmonijos istorijoje ir jų tyrimo aktualumui mūsų laikais.
Pitagoro hipotenuzė
Pitagoro trikampiai turi stačią kampą ir sveikąsias kraštines. Paprasčiausiuose iš jų ilgiausios kraštinės ilgis yra 5, likusios yra 3 ir 4. Yra 5 taisyklingas daugiabriaunis. Penktojo laipsnio lygtis negali būti išspręsta naudojant penktojo laipsnio šaknis – ar kitas šaknis. Grotelės plokštumoje ir trimatėje erdvėje neturi penkių skilčių sukimosi simetrijos, todėl tokios simetrijos nėra ir kristaluose. Tačiau jie gali būti prie grotelių keturmatė erdvė ir keistose struktūrose, vadinamose kvazikristalais.
Mažiausio Pitagoro trigubo hipotenūza
Pitagoro teorema teigia, kad ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė (patarlės hipotenuzė) yra labai paprastai ir gražiai susieta su kitomis dviem to trikampio kraštinėmis: hipotenuzės kvadratu. yra lygi sumai kitų dviejų kraštinių kvadratai.
Tradiciškai šią teoremą vadiname Pitagoro vardu, tačiau iš tikrųjų jos istorija gana miglota. Molio lentelės leidžia manyti, kad senovės babiloniečiai Pitagoro teoremą žinojo gerokai anksčiau nei pats Pitagoras; atradėjo šlovę jam atnešė matematinis pitagoriečių kultas, kurio šalininkai tikėjo, kad visata pagrįsta skaitiniais modeliais. Senovės autoriai pitagoriečiams – taigi ir Pitagorui – priskirdavo įvairias matematines teoremas, tačiau iš tikrųjų mes neįsivaizduojame, kokia matematika užsiėmė pats Pitagoras. Mes net nežinome, ar pitagoriečiai galėjo įrodyti Pitagoro teoremą, ar jie tiesiog patikėjo, kad tai tiesa. Arba, labiau tikėtina, jie turėjo įtikinamų duomenų apie jos tiesą, kurių vis dėlto nebūtų pakakę tam, ką šiandien laikome įrodymu.
Pitagoro įrodymai
Pirmasis žinomas Pitagoro teoremos įrodymas yra Euklido elementuose. Tai gana sudėtingas įrodymas, naudojant piešinį, kurį Viktorijos laikų moksleiviai iškart atpažintų kaip „Pitagoro kelnes“; piešinys tikrai primena ant virvės džiūstančias apatines kelnaites. Pažodžiui žinoma šimtai kitų įrodymų, kurių dauguma daro teiginį akivaizdesnį.
// Ryžiai. 33. Pitagorietiškos kelnės
Vienas iš paprasčiausių įrodymų yra savotiškas matematinis galvosūkis. Paimkite bet kurį stačiakampį trikampį, padarykite keturias jo kopijas ir surinkite jas aikštės viduje. Vienu klojimu matome kvadratą ant hipotenuzės; su kita - kvadratai kitose dviejose trikampio kraštinėse. Akivaizdu, kad plotai abiem atvejais yra vienodi.
// Ryžiai. 34. Kairėje: kvadratas ant hipotenuzos (plius keturi trikampiai). Dešinėje: kitų dviejų kraštinių kvadratų suma (plius tie patys keturi trikampiai). Dabar pašalinkite trikampius
Perigalo skrodimas yra dar vienas galvosūkis.
// Ryžiai. 35. Perigalo skrodimas
Taip pat yra teoremos įrodymas, naudojant kvadratus plokštumoje. Galbūt taip šią teoremą atrado pitagoriečiai ar nežinomi jų pirmtakai. Jei pažvelgsite į tai, kaip įstrižas kvadratas sutampa su kitais dviem kvadratais, galite pamatyti, kaip supjaustyti didelį kvadratą į dalis ir sudėti į du mažesnius kvadratus. Taip pat galite pamatyti stačiakampius trikampius, kurių kraštinės nurodo trijų susijusių kvadratų matmenis.
// Ryžiai. 36. Įrodymas trinkelėmis
Yra įdomių įrodymų, naudojant panašius trikampius trigonometrijoje. Yra žinoma mažiausiai penkiasdešimt skirtingų įrodymų.
Pitagoro trynukai
Skaičių teorijoje Pitagoro teorema tapo vaisingos idėjos šaltiniu: rasti sveikųjų algebrinių lygčių sprendinius. Pitagoro trigubas yra sveikųjų skaičių a, b ir c rinkinys, kad
Geometriškai toks trigubas apibrėžia stačiakampį trikampį su sveikosiomis kraštinėmis.
Mažiausia Pitagoro trigubo hipotenuzė yra 5.
Kitos dvi šio trikampio kraštinės yra 3 ir 4. Čia
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Kita pagal dydį hipotenuzė yra 10, nes
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Tačiau tai iš esmės yra tas pats trikampis su dvigubomis kraštinėmis. Kita pagal dydį ir tikrai skirtinga hipotenuzė yra 13, kuriai
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Euklidas žinojo, kad yra be galo daug skirtingų Pitagoro trigubų variacijų, ir pateikė tai, ką būtų galima pavadinti formule, kaip juos visus rasti. Vėliau Diofantas Aleksandrietis pasiūlė paprastą receptą, iš esmės tą patį, kaip ir Euklido.
Paimkite bet kuriuos du natūraliuosius skaičius ir apskaičiuokite:
jų dvigubas produktas;
jų kvadratų skirtumas;
jų kvadratų suma.
Trys gauti skaičiai bus Pitagoro trikampio kraštinės.
Paimkite, pavyzdžiui, skaičius 2 ir 1. Apskaičiuokite:
dvigubas produktas: 2 × 2 × 1 = 4;
kvadratų skirtumas: 22 - 12 = 3;
kvadratų suma: 22 + 12 = 5,
ir gavome garsųjį trikampį 3-4-5. Jei vietoj to imsime skaičius 3 ir 2, gausime:
dvigubas produktas: 2 × 3 × 2 = 12;
kvadratų skirtumas: 32 - 22 = 5;
kvadratų suma: 32 + 22 = 13,
ir gauname kitą garsųjį trikampį 5 - 12 - 13. Pabandykime paimti skaičius 42 ir 23 ir gauti:
dvigubas produktas: 2 × 42 × 23 = 1932;
kvadratų skirtumas: 422 - 232 = 1235;
kvadratų suma: 422 + 232 = 2293,
niekas niekada negirdėjo apie trikampį 1235–1932–2293.
Tačiau šie skaičiai taip pat veikia:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
Diofanto taisyklėje yra dar viena ypatybė, apie kurią jau buvo užsiminta: gavę tris skaičius, galime paimti kitą savavališką skaičių ir visus iš jo padauginti. Taigi, trikampis 3-4-5 gali būti paverstas trikampiu 6-8-10, padauginus visas kraštines iš 2, arba į 15-20-25 trikampį, padauginus viską iš 5.
Jei pereisime prie algebros kalbos, taisyklė įgauna tokią formą: tegul u, v ir k yra natūralieji skaičiai. Tada stačiakampis trikampis su kraštinėmis
2kuv ir k (u2 - v2) turi hipotenuzę
Yra ir kitų pagrindinės idėjos pateikimo būdų, tačiau jie visi susiveda į aukščiau aprašytą. Šis metodas leidžia gauti visus Pitagoro trigubus.
Įprastas daugiakampis
Taisyklingos daugiakampės yra lygiai penkios. Taisyklingas daugiakampis (arba daugiakampis) yra trimatė figūra, turinti baigtinį plokščių paviršių skaičių. Fasetai susilieja vienas su kitu tiesėmis, vadinamomis briaunomis; briaunos susikerta taškuose, vadinamuose viršūnėmis.
Euklido „pradžios“ kulminacija yra įrodymas, kad gali būti tik penki taisyklingi daugiakampiai, tai yra daugiakampiai, kurių kiekvienas veidas yra taisyklingas daugiakampis (lygios kraštinės, vienodi kampai), visi paviršiai yra identiški, o visas viršūnes supa vienodas skaičius vienodai išdėstytų veidų. Štai penki įprasti daugiakampiai:
tetraedras su keturiais trikampiais paviršiais, keturiomis viršūnėmis ir šešiomis briaunomis;
kubas arba šešiaedras, turintis 6 kvadratinius paviršius, 8 viršūnes ir 12 briaunų;
oktaedras su 8 trikampiais paviršiais, 6 viršūnėmis ir 12 briaunų;
dodekaedras su 12 penkiakampių paviršių, 20 viršūnių ir 30 briaunų;
ikosaedras su 20 trikampių paviršių, 12 viršūnių ir 30 briaunų.
// Ryžiai. 37. Penkios taisyklingos daugiabriaunės
Gamtoje taip pat galima rasti įprastų daugiakampių. 1904 m. Ernstas Haeckelis paskelbė mažyčių organizmų, žinomų kaip radiolariai, brėžinius; daugelis iš jų yra tų pačių penkių taisyklingų daugiasluoksnių formų. Galbūt, tačiau jis šiek tiek pakoregavo gamtą, o piešiniai nevisiškai atspindi konkrečių gyvų būtybių formą. Pirmosios trys struktūros taip pat stebimos kristaluose. Kristaluose nerasite dodekaedro ir ikosaedro, nors kartais ten pasitaiko netaisyklingų dodekaedrų ir ikosaedrų. Tikrieji dodekaedrai gali atsirasti kaip kvazikristalai, kurie visais atžvilgiais yra panašūs į kristalus, išskyrus tai, kad jų atomai nesudaro periodinės gardelės.
// Ryžiai. 38. Haeckel piešiniai: radiolariai taisyklingų daugiakampių pavidalu
// Ryžiai. 39. Taisyklingųjų daugiakampių raidos
Gali būti įdomu iš popieriaus pasidaryti įprastų daugiakampių modelius, pirmiausia išpjaunant tarpusavyje sujungtų paviršių rinkinį – tai vadinama daugiakampio braukimu; skenavimas užlenkiamas išilgai kraštų ir atitinkami kraštai suklijuojami. Naudinga prie kiekvienos tokios poros kraštų pridėti papildomą plotą klijams, kaip parodyta Fig. 39. Jei tokios platformos nėra, galite naudoti lipnią juostą.
Penktojo laipsnio lygtis
5-ojo laipsnio lygtims išspręsti nėra algebrinės formulės.
AT bendras vaizdas 5 lygtis atrodo taip:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.
Problema yra rasti formulę, kaip išspręsti tokią lygtį (ji gali turėti iki penkių sprendinių). Patirtis dirbant su kvadratinėmis ir kubinėmis lygtimis, taip pat su ketvirtojo laipsnio lygtimis rodo, kad tokia formulė turėtų egzistuoti ir penktojo laipsnio lygtims, o teoriškai turėtų būti penkto, trečio ir antrojo laipsnio šaknys. pasirodyti joje. Vėlgi, galima drąsiai manyti, kad tokia formulė, jei ji egzistuoja, pasirodys labai, labai sudėtinga.
Ši prielaida galiausiai pasirodė klaidinga. Iš tiesų, tokios formulės neegzistuoja; bent jau nėra formulės, susidedančios iš koeficientų a, b, c, d, e ir f, sudarytų naudojant sudėjimą, atimtį, daugybą ir padalijimą bei imant šaknis. Taigi skaičius 5 yra kažkas labai ypatingo. Tokio neįprasto penketuko elgesio priežastys yra labai gilios, ir prireikė daug laiko jas išsiaiškinti.
Pirmasis problemos požymis buvo tas, kad kad ir kaip matematikai stengėsi rasti tokią formulę, kad ir kokie protingi jie būtų, jiems visada nepavykdavo. Kurį laiką visi tikėjo, kad priežastys slypi neįtikėtiname formulės sudėtingime. Buvo tikima, kad niekas tiesiog negali tinkamai suprasti šios algebros. Tačiau laikui bėgant kai kurie matematikai ėmė abejoti, ar tokia formulė išvis egzistuoja, ir 1823 metais Nielsas Hendrikas Abelis sugebėjo įrodyti priešingai. Tokios formulės nėra. Netrukus po to Évariste Galois rado būdą, kaip nustatyti, ar vieno ar kito laipsnio lygtis – 5, 6, 7, paprastai bet kuri – yra išsprendžiama naudojant tokią formulę.
Išvada iš viso to paprasta: skaičius 5 yra ypatingas. Galite išspręsti algebrines lygtis (naudodami n-osios šaknys laipsniai skirtingoms n) reikšmėms 1, 2, 3 ir 4 laipsniams, bet ne 5 laipsniui. Čia akivaizdus modelis baigiasi.
Niekas nesistebi, kad didesnių nei 5 galių lygtys elgiasi dar blogiau; visų pirma, jie turi tą patį sunkumą: ne bendrosios formulės už jų sprendimą. Tai nereiškia, kad lygtys neturi sprendinių; tai taip pat nereiškia, kad neįmanoma rasti labai tikslių šių sprendimų skaitinių reikšmių. Tai viskas apie tradicinių algebros įrankių apribojimus. Tai primena, kad neįmanoma liniuote ir kompasu iškirpti kampo tris kartus. Atsakymas yra, tačiau išvardyti metodai nėra pakankami ir neleidžia nustatyti, kas tai yra.
Kristalografinis apribojimas
Dviejų ir trijų dimensijų kristalai neturi 5 spindulių sukimosi simetrijos.
Atomai kristale sudaro gardelę, tai yra struktūrą, kuri periodiškai kartojasi keliomis nepriklausomomis kryptimis. Pavyzdžiui, raštas ant tapetų kartojasi išilgai ritinio; be to, tai dažniausiai kartojama horizontalia kryptimi, kartais pereinant nuo vieno tapeto prie kito. Iš esmės tapetai yra dvimatis kristalas.
Plokštumoje yra 17 skirtingų tapetų raštų (žr. 17 skyrių). Jie skiriasi simetrijos rūšimis, ty būdais, kaip standžiai perkelti raštą, kad jis būtų tiksliai ant savęs pradinėje padėtyje. Simetrijos tipai visų pirma apima įvairius sukimosi simetrijos variantus, kai raštas turi būti pasuktas tam tikru kampu aplink tam tikrą tašką - simetrijos centrą.
Sukimosi simetrijos tvarka yra tai, kiek kartų galite pasukti kūną į visą apskritimą, kad visos nuotraukos detalės grįžtų į pradines padėtis. Pavyzdžiui, 90° pasukimas yra 4 eilės sukimosi simetrija*. Galimų sukimosi simetrijos tipų kristalinėje gardelėje sąrašas vėl rodo skaičiaus 5 neįprastumą: jo nėra. Yra variantų su 2, 3, 4 ir 6 eilės sukimosi simetrija, tačiau joks tapetų raštas neturi 5 eilės sukimosi simetrijos. Taip pat kristaluose nėra didesnės nei 6 eilės sukimosi simetrijos, tačiau pirmasis sekos pažeidimas vis tiek įvyksta ties skaičiumi 5.
Tas pats atsitinka su kristalografinėmis sistemomis trimatėje erdvėje. Čia gardelė kartojasi trimis nepriklausomomis kryptimis. Yra 219 įvairių tipų simetrija arba 230, jei skaičiuojate veidrodinis atspindys piešinys kaip atskira jo versija – be to, šiuo atveju nėra veidrodinės simetrijos. Vėlgi, stebimos 2, 3, 4 ir 6 eilės sukimosi simetrijos, bet ne 5. Šis faktas vadinamas kristalografiniu apribojimu.
Keturmatėje erdvėje egzistuoja 5-osios eilės simetrijos gardelės; apskritai pakankamai didelio matmens grotelėms galima bet kokia iš anksto nustatyta sukimosi simetrijos tvarka.
// Ryžiai. 40. Kristalinė ląstelė Valgomoji druska. Tamsūs rutuliukai žymi natrio atomus, šviesūs – chloro atomus.
Kvazikristalai
Nors 5-osios eilės sukimosi simetrija neįmanoma 2D ir 3D grotelėse, ji gali egzistuoti šiek tiek mažiau taisyklingose struktūrose, vadinamose kvazikristalais. Naudodamas Keplerio eskizus, Rogeris Penrose'as atrado plokščias sistemas su daugiau paplitęs tipas penkių kartų simetrija. Jie vadinami kvazikristalais.
Kvazikristalai egzistuoja gamtoje. 1984 m. Danielis Shechtmanas atrado, kad aliuminio ir mangano lydinys gali sudaryti kvazikristalus; Iš pradžių kristalografai jo žinią sutiko skeptiškai, tačiau vėliau atradimas buvo patvirtintas ir 2011 m. Shekhtmanas buvo apdovanotas. Nobelio premija chemijoje. 2009 metais mokslininkų grupė, vadovaujama Luca Bindi, atrado kvazikristalus minerale iš Rusijos Korjako aukštumų – aliuminio, vario ir geležies junginio. Šiandien šis mineralas vadinamas ikosahedritu. Masės spektrometru išmatavę įvairių deguonies izotopų kiekį minerale, mokslininkai parodė, kad šis mineralas atsirado ne Žemėje. Ji susiformavo maždaug prieš 4,5 milijardo metų, tuo metu, kai saulės sistema buvo ankstyvoje stadijoje ir didžiąją laiko dalį praleido asteroidų juostoje, skriedamas aplink Saulę, kol koks nors sutrikimas pakeitė jos orbitą ir galiausiai atnešė ją į Žemę.
// Ryžiai. 41. Kairėje: viena iš dviejų kvazikristalinių gardelių, turinčių tikslią penkiakartę simetriją. Dešinėje: ikosaedrinio aliuminio-paladžio-mangano kvazikristalo atominis modelis
Pitagoro teorema visiems žinoma nuo mokyklos laikų. Puikus matematikas įrodė puikų spėjimą, kurį šiuo metu naudoja daugelis žmonių. Taisyklė skamba taip: stačiojo trikampio hipotenuzės ilgio kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai. Jau daugelį dešimtmečių ne vienas matematikas nesugebėjo ginčytis dėl šios taisyklės. Galų gale, Pitagoras ilgą laiką siekė savo tikslo, todėl piešiniai vyko kasdieniame gyvenime.
- Nedidelė šios teoremos eilutė, kuri buvo sugalvota netrukus po įrodymo, tiesiogiai įrodo hipotezės savybes: „Pitagoro kelnės yra lygios visomis kryptimis“. Ši dviejų eilučių įstojo į daugelio žmonių atmintį – iki šių dienų eilėraštis prisimenamas skaičiuojant.
- Ši teorema buvo pavadinta „Pitagoro kelnėmis“ dėl to, kad piešiant per vidurį buvo gautas stačiakampis trikampis, kurio šonuose buvo kvadratai. Išvaizda šis piešinys priminė kelnes – iš čia ir kilo hipotezės pavadinimas.
- Pitagoras didžiavosi sukurta teorema, nes ši hipotezė nuo panašių skiriasi maksimaliu įrodymų kiekiu. Svarbu: lygtis buvo įtraukta į Gineso rekordų knygą dėl 370 teisingų įrodymų.
- Hipotezę įrodė daugybė matematikų ir profesorių iš skirtingos salysįvairiais būdais. Anglų matematikas Jonesas, netrukus po hipotezės paskelbimo, ją įrodė diferencialinės lygties pagalba.
- Šiuo metu niekas nežino paties Pitagoro teoremos įrodymo. Faktai apie matematiko įrodymus šiandien nėra žinomi niekam. Manoma, kad Euklido piešinių įrodymas yra Pitagoro įrodymas. Tačiau kai kurie mokslininkai ginčijasi su šiuo teiginiu: daugelis mano, kad Euklidas savarankiškai įrodė teoremą, be hipotezės kūrėjo pagalbos.
- Dabartiniai mokslininkai išsiaiškino, kad didysis matematikas nebuvo pirmasis, atradęs šią hipotezę.. Lygtis buvo žinoma dar ilgai prieš Pitagoro atradimą. Šiam matematikui pavyko tik iš naujo sujungti hipotezę.
- Pitagoras nedavė lygties pavadinimo „Pitagoro teorema“. Šis pavadinimas buvo užfiksuotas po „garsiai dvieiliui“. Matematikas tik norėjo, kad visas pasaulis pripažintų ir panaudotų jo pastangas bei atradimus.
- Moritzas Kantoras - didžiausias matematikas, rado ir pamatė užrašus su piešiniais ant senovinio papiruso. Netrukus po to Kantoras suprato, kad ši teorema egiptiečiams buvo žinoma jau 2300 m. pr. Kr. Tik tada niekas tuo nepasinaudojo ir nebandė to įrodyti.
- Dabartiniai mokslininkai mano, kad hipotezė buvo žinoma jau VIII amžiuje prieš Kristų. To meto Indijos mokslininkai atrado apytikslį trikampio su stačiais kampais hipotenuzės apskaičiavimą. Tiesa, tuo metu niekas negalėjo tiksliai įrodyti lygties apytiksliais skaičiavimais.
- Didysis matematikas Bartelas van der Waerdenas, įrodęs hipotezę, padarė svarbią išvadą: „Graikų matematiko nuopelnu laikomas ne krypties ir geometrijos atradimas, o tik jos pateisinimas. Pitagoro rankose buvo skaičiavimo formulės, kurios buvo pagrįstos prielaidomis, netiksliais skaičiavimais ir neaiškiomis idėjomis. Tačiau išskirtiniam mokslininkui pavyko tai paversti tiksliuoju mokslu.
- Žinomas poetas pasakojo, kad tą dieną, kai atrado savo piešinį, jis jaučiams pastatė šlovingą auką.. Būtent po hipotezės atradimo pasklido gandai, kad šimto jaučių auka „klaidžiojo knygų ir leidinių puslapiuose“. Protas iki šiol juokauja, kad nuo tada visi jaučiai bijo naujo atradimo.
- Įrodymas, kad Pitagoras nesugalvojo eilėraščio apie kelnes, kad įrodytų jo pateiktus piešinius: per didžiojo matematiko gyvenimą kelnių dar nebuvo. Jie buvo išrasti po kelių dešimtmečių.
- Pekka, Leibnicas ir keli kiti mokslininkai bandė įrodyti anksčiau žinomą teoremą, tačiau niekam nepavyko.
- Piešinių pavadinimas „Pitagoro teorema“ reiškia „įtikinėjimas kalba“. Tai yra žodžio Pitagoras vertimas, kurį matematikas paėmė kaip pseudonimą.
- Pitagoro apmąstymai apie jo paties valdymą: to, kas egzistuoja žemėje, paslaptis slypi skaičiuose. Mat matematikas, remdamasis savo hipoteze, tyrinėjo skaičių savybes, atskleidė lygumą ir nelygumą, kūrė proporcijas.
Tikimės, kad jums patiko nuotraukų pasirinkimas - Įdomūs faktai apie Pitagoro teoremą: sužinokite naujų dalykų apie garsiąją teoremą (15 nuotraukų) internete gera kokybė. Prašome palikti savo nuomonę komentaruose! Kiekviena nuomonė mums svarbi.
Pitagoro kelnės Komiškas Pitagoro teoremos pavadinimas, atsiradęs dėl to, kad stačiakampio šonuose pastatyti ir skirtingomis kryptimis besiskiriantys kvadratai primena kelnių kirpimą. Man patiko geometrija... ir toliau stojimo egzaminas universitetui net sulaukė matematikos profesoriaus Chumakovo pagyrimų už savybių paaiškinimą lygiagrečios linijos ir Pitagoro kelnes(N. Pirogovas. Seno gydytojo dienoraštis).
Frazių sąsiuvinis rusų literatūrinė kalba. - M.: Astrel, AST. A. I. Fiodorovas. 2008 m.
Pažiūrėkite, kas yra „Pitagoro kelnės“ kituose žodynuose:
Kelnės – gaukite veikiantį SuperStep nuolaidų kuponą Akademikoje arba įsigykite pigias kelnes su nemokamu pristatymu išparduodant SuperStep
Pitagoro kelnės- ... Vikipedija
Pitagoro kelnės- Žargas. mokykla Shuttle. Pitagoro teorema, kuri nustato ryšį tarp kvadratų, pastatytų ant hipotenuzos, plotų ir stačiojo trikampio kojų. BTS, 835... Didysis žodynas Rusų posakiai
Pitagoro kelnės- Žaismingas Pitagoro teoremos pavadinimas, nustatantis santykį tarp kvadratų, pastatytų ant hipotenuzės, plotų ir stačiakampio trikampio, kuris brėžiniuose atrodo kaip kelnių pjūvis ... Daugelio posakių žodynas
Pitagoro kelnės (išradimas)- užsienietis: apie gabų žmogų Plg. Tai yra išminčiaus tikrumas. Senovėje jis tikriausiai būtų išradęs Pitagoro kelnes ... Saltykov. Margos raidės. Pitagoro kelnės (geom.): stačiakampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratams (mokymas ... ... Michelsono Didysis aiškinamasis frazeologijos žodynas
Pitagoro kelnės yra vienodos iš visų pusių– Mygtukų skaičius žinomas. Kodėl penis ankšta? (maždaug) apie kelnes ir vyrišką lytinį organą. Pitagoro kelnės yra vienodos iš visų pusių. Norint tai įrodyti, reikia pašalinti ir parodyti 1) apie Pitagoro teoremą; 2) apie plačias kelnes... Gyva kalba. Šnekamosios kalbos posakių žodynas
Pitagoro kelnės išrasti- Pitagoro kelnės (išradimas) užsienietis. apie gabų žmogų. trečia Tai neabejotinas išminčius. Senovėje jis tikriausiai būtų išradęs Pitagoro kelnes ... Saltykov. Margos raidės. Pitagoro kelnės (geom.): stačiakampyje, hipotenuzės kvadratas ... ... Michelsono Didysis aiškinamasis frazeologijos žodynas (originali rašyba)
Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis- juokingas Pitagoro teoremos įrodymas; taip pat juokais apie bičiulio aptemptas kelnes... Liaudies frazeologijos žodynas
Adj., nemandagu...
PITAGORĖS KELNĖS IŠ VISŲ PUSŲ LYGIOS (SAGAGŲ SKAIČIUS ŽINOMAS. KODĖL TAI ARTI? / TAI ĮRODYTI, BŪTINA IŠIMTI IR RODYTI)- adj., grubus... Žodynasšiuolaikinis šnekamosios kalbos frazeologiniai vienetai ir posakiai
kelnes- daiktavardis, pl., vartosena komp. dažnai Morfologija: pl. ką? kelnės, (ne) ką? kelnes uz ka? kelnės, (žr.) ką? kelnes kas? kelnės, ką? apie kelnes 1. Kelnės – tai drabužis, kuris turi dvi trumpas arba ilgas kojas ir dengia apačią ... ... Dmitrijevo žodynas
Knygos
- Pitagoro kelnės,. Šioje knygoje rasite fantazijos ir nuotykių, stebuklų ir fantastikos. Juokinga ir liūdna, įprasta ir paslaptinga... O ko dar reikia pramoginiam skaitymui? Svarbiausia būti…
Romėnų architektas Vitruvijus išskyrė Pitagoro teoremą „iš daugybės atradimų, pasitarnavusių žmogaus gyvenimo raidai“, ir paragino ją vertinti su didžiausia pagarba. Tai buvo I amžiuje prieš Kristų. e. XVI–XVII amžių sandūroje garsus vokiečių astronomas Johannesas Kepleris jį pavadino vienu iš geometrijos lobių, prilygstančių aukso mastui. Vargu ar visoje matematikoje yra svaresnis ir reikšmingesnis teiginys, nes pagal mokslinių ir praktinių pritaikymų skaičių Pitagoro teoremai nėra lygių.
Pitagoro teorema lygiašonio stačiojo trikampio atveju.
Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos
Pitagoro teoremos iliustracija iš Traktato apie matavimo ašigalį (Kinija, III a. pr. Kr.) ir jos pagrindu rekonstruotas įrodymas.
Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos
S. Perkinsas. Pitagoras.
Galimo Pitagoro įrodymo brėžinys.
"Pitagoro mozaika" ir an-Nairizi padalijimas iš trijų kvadratų Pitagoro teoremos įrodyme.
P. de Hochas. Šeimininkė ir tarnaitė kieme. Apie 1660 m.
I. Ohterveltas. Klajojantys muzikantai prie turtingo namo durų. 1665 m.
Pitagoro kelnės
Pitagoro teorema yra bene labiausiai atpažįstama ir neabejotinai garsiausia matematikos istorijoje. Geometrijoje jis naudojamas pažodžiui kiekviename žingsnyje. Nepaisant formuluotės paprastumo, ši teorema jokiu būdu nėra akivaizdi: žiūrint į stačiakampį trikampį su kraštinėmis a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.
Fig., pavaizduotos pav. 1 ir 2, primena paprasčiausią kvadratų ir jų lygių dalių ornamentą – geometrinį raštą, žinomą nuo neatmenamų laikų. Jie gali visiškai uždengti lėktuvą. Matematikas tokį daugiakampiais plokštumos padengimą vadintų parketu, arba plytelėmis. Kodėl čia Pitagoras? Pasirodo, jis pirmasis išsprendė įprasto parketo problemą, pradėjusią tyrinėti įvairių paviršių plyteles. Taigi Pitagoras parodė, kad plokštuma aplink tašką gali būti padengta be tarpų tik vienodais taisyklingais daugiakampiais trijų tipų: šeši trikampiai, keturi kvadratai ir trys šešiakampiai.
Po 4000 metų
Pitagoro teoremos istorija siekia senovės laikus. Apie tai paminėta babiloniečių karaliaus Hamurabio laikų (XVIII a. pr. Kr.), tai yra 1200 metų iki Pitagoro gimimo, dantiraščio tekstuose. Teorema buvo pritaikyta kaip paruošta taisyklė daugeliui uždavinių, iš kurių paprasčiausias yra kvadrato įstrižainės išilgai jo kraštinės radimas. Gali būti, kad santykį a 2 + b 2 = c 2 savavališkam stačiakampiui trikampiui babiloniečiai gavo tiesiog „apibendrindami“ lygybę a 2 + a 2 = c 2 . Bet tai jiems pateisinama – senolių praktinei geometrijai, kuri buvo sumažinta iki matavimų ir skaičiavimų, griežtų pagrindimų nereikėjo.
Dabar, praėjus beveik 4000 metų, mes susiduriame su rekordine teorema, kalbant apie galimų įrodymų skaičių. Beje, jų kolekcionavimas – sena tradicija. Susidomėjimo Pitagoro teorema viršūnė nukrito ant antrosios pusė XIX- XX amžiaus pradžia. Ir jei pirmosiose kolekcijose buvo ne daugiau kaip dvi ar trys dešimtys įrodymų, tada į pabaigos XIX amžiuje jų skaičius priartėjo prie 100, o dar po pusės amžiaus perkopė 360, ir tai tik tie, kurie buvo surinkti iš įvairių šaltinių. Kas tiesiog nesiėmė šios nesenstančios užduoties sprendimo – nuo iškilių mokslininkų ir mokslo populiarintojų iki kongresmenų ir moksleivių. Ir kas nuostabu, savo sprendimo originalumu ir paprastumu kiti mėgėjai nenusileido profesionalams!
Seniausias Pitagoro teoremos įrodymas, atėjęs pas mus, yra maždaug 2300 metų senumo. Viena jų – griežta aksiomatinė – priklauso senovės graikų matematikui Euklidui, gyvenusiam IV-III a.pr.Kr. e. I elementų knygoje Pitagoro teorema yra išvardyta kaip 47 teiginys. Vizualiausi ir gražiausi įrodymai pastatyti ant „Pitagoro kelnių“ perbraižymo. Jie atrodo kaip išradinga kvadrato formos dėlionė. Tačiau priverskite figūras judėti teisingai - ir jos atskleis jums garsiosios teoremos paslaptį.
Čia yra elegantiškas įrodymas, gautas remiantis vieno senovės kinų traktato piešiniu (3 pav.), ir jo ryšys su kvadrato ploto padvigubinimo problema iškart tampa aiškus.
Būtent šį įrodymą savo jaunesniajam draugui bandė paaiškinti septynmetis Gvidas, anglų rašytojo Aldouso Huxley apysakos „Mažasis Archimedas“ skaisčiaakis herojus. Įdomu, kad pasakotojas, stebėjęs šį paveikslą, atkreipė dėmesį į įrodymų paprastumą ir įtikinamumą, todėl priskyrė jį ... pačiam Pitagorui. Bet Pagrindinis veikėjas fantastinis Jevgenijaus Veltistovo pasakojimas „Elektronika – berniukas iš lagamino“ žinojo 25 Pitagoro teoremos įrodymus, įskaitant Euklido pateiktus; Tiesa, jis klaidingai pavadino jį paprasčiausiu, nors iš tiesų šiuolaikiniame „Pradžių“ leidime jis užima pusantro puslapio!
Pirmasis matematikas
Pitagoras iš Samos (570–495 m. pr. Kr.), kurio vardas ilgą laiką buvo neatsiejamai susijęs su nuostabia teorema, tam tikra prasme gali būti vadinamas pirmuoju matematiku. Čia prasideda matematika. tikslusis mokslas, kur bet kokios naujos žinios yra ne vizualinių vaizdų ir taisyklių, išmoktų iš patirties, rezultatas, o loginio samprotavimo ir išvadų rezultatas. Tai vienintelis būdas kartą ir visiems laikams nustatyti bet kurio matematinio teiginio tiesą. Iki Pitagoro dedukcinį metodą naudojo tik senovės graikų filosofas ir mokslininkas Talis iš Mileto, gyvenęs VII–VI amžių sandūroje prieš Kristų. e. Jis išreiškė pačią įrodymo idėją, tačiau taikė ją nesistemingai, selektyviai, kaip taisyklė, akivaizdiems geometriniams teiginiams, tokiems kaip „skersmuo dalija apskritimą“. Pitagoras nuėjo daug toliau. Manoma, kad jis pristatė pirmuosius apibrėžimus, aksiomas ir įrodinėjimo metodus, taip pat sukūrė pirmąjį geometrijos kursą, žinomą senovės graikams pavadinimu „Pitagoro tradicija“. Ir jis stovėjo prie skaičių teorijos ir stereometrijos ištakų.
Kitas svarbus Pitagoro nuopelnas – šlovingos matematikų mokyklos įkūrimas, daugiau nei šimtmetį nulėmęs šio mokslo raidą m. Senovės Graikija. Pats terminas „matematika“ siejamas su jo vardu (iš Graikiškas žodisμαθημa – mokymas, mokslas), kuri sujungė keturias susijusias disciplinas, sukurtas Pitagoro ir jo pasekėjų – pitagoriečių – žinių sistemą: geometriją, aritmetiką, astronomiją ir harmoniką.
Neįmanoma atskirti Pitagoro pasiekimų nuo jo mokinių pasiekimų: vadovaudamiesi papročiu jie savo idėjas ir atradimus priskyrė savo Mokytojui. Pirmieji pitagoriečiai nepaliko jokių raštų, visą informaciją vienas kitam perdavė žodžiu. Taigi, praėjus 2500 metų, istorikams neliko nieko kito, kaip atkurti prarastas žinias pagal kitų, vėlesnių autorių transkripcijas. Padėkime graikams: nors jie apipino Pitagoro vardą daugybe legendų, jie nepriskyrė jam nieko, ko jis negalėtų atrasti ar išplėtoti į teoriją. Ir jo vardu pavadinta teorema nėra išimtis.
Toks paprastas įrodymas
Nežinia, ar Pitagoras pats atrado santykį tarp stačiojo trikampio kraštinių ilgių, ar pasiskolino šias žinias. Senovės autoriai tvirtino, kad jis pats, ir mėgo perpasakoti legendą, kaip Pitagoras savo atradimo garbei paaukojo jautį. Šiuolaikiniai istorikai linkę manyti, kad apie teoremą jis sužinojo susipažinęs su babiloniečių matematika. Taip pat nežinome, kokia forma Pitagoras suformulavo teoremą: aritmetiškai, kaip įprasta šiandien, hipotenuzos kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai arba geometriškai, senovės dvasia, pastatytas kvadratas. stačiojo trikampio hipotenuzėje yra lygus ant jo pačiūžų pastatytų kvadratų sumai.
Manoma, kad Pitagoras pirmą kartą įrodė teoremą, pavadintą jo vardu. Žinoma, neišgyveno. Pagal vieną versiją, Pitagoras galėjo pasinaudoti savo mokykloje išvystyta proporcijų doktrina. Ja visų pirma rėmėsi panašumo teorija, kuria remiasi samprotavimai. Stačiakampiame trikampyje, kurio kojos a ir b, nubrėžkime aukštį iki hipotenuzės c. Mes gauname tris panašius trikampius, įskaitant originalų. Jų atitinkamos kraštinės yra proporcingos, a: c = m: a ir b: c = n: b, iš kur a 2 = c · m ir b 2 = c · n. Tada a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (4 pav.).
Tai tik vieno iš mokslo istorikų pasiūlyta rekonstrukcija, bet įrodymas, matai, gana paprastas: užtenka vos kelių eilučių, nereikia nieko baigti statyti, pertvarkyti, skaičiuoti... nenuostabu, kad jis buvo ne kartą atrastas iš naujo. Jis yra, pavyzdžiui, Leonardo iš Pizos (1220 m.) „Geometrijos praktikoje“ ir vis dar pateikiamas vadovėliuose.
Toks įrodymas neprieštaravo pitagoriečių idėjoms apie palyginamumą: iš pradžių jie tikėjo, kad bet kurių dviejų atkarpų ilgių santykį, taigi ir tiesių figūrų plotus, galima išreikšti natūraliaisiais skaičiais. Jie neatsižvelgė į jokius kitus skaičius, net neleido naudoti trupmenos, pakeisdami jas santykiais 1: 2, 2: 3 ir tt Tačiau ironiška, kad Pitagoro teorema paskatino pitagoriečius atrasti įstrižainės nesuderinamumą. aikštės ir jos pusės. Visi bandymai skaičiais pavaizduoti šios įstrižainės ilgį – vienetiniam kvadratui jis lygus √2 – nieko nedavė. Paaiškėjo, kad lengviau įrodyti, kad problema yra neišsprendžiama. Tokiu atveju matematikai turi patikrintą metodą – įrodinėjimą prieštaravimu. Beje, jis taip pat priskiriamas Pitagorui.
Santykio egzistavimas neišreiškiamas natūraliuosius skaičius, padarė galą daugeliui pitagoriečių idėjų. Tapo aišku, kad jų žinomų skaičių nepakako net paprastiems uždaviniams išspręsti, jau nekalbant apie visą geometriją! Šis atradimas buvo lūžis graikų matematikos raidoje, jos centrinis klausimas. Pirmiausia tai paskatino nesulyginamų dydžių – iracionalumų – doktrinos vystymąsi, o vėliau – skaičiaus sampratos išplėtimą. Kitaip tariant, nuo jo prasidėjo šimtmečių senumo realiųjų skaičių aibės tyrimo istorija.
Pitagoro mozaika
Jei plokštumą padengsite dviejų skirtingų dydžių kvadratais, kiekvieną mažą kvadratą apjuosite keturiais dideliais, gausite Pitagoro mozaikinį parketą. Toks raštas jau seniai puošia akmenines grindis, primenančius senovinius Pitagoro teoremos įrodymus (iš čia ir kilo jo pavadinimas). Ant parketo įvairiais būdais uždėjus kvadratinį tinklelį, galima gauti skirtingų matematikų pasiūlytas stačiakampio trikampio kraštinėse pastatytų kvadratų pertvaras. Pavyzdžiui, jei tinklelį išdėstysite taip, kad visi jo mazgai sutaptų su viršutinėmis dešiniosiomis mažų kvadratų viršūnėmis, viduramžių persų matematiko an-Nairizio įrodymui atsiras piešinio fragmentai, kuriuos jis įdėjo į Euklido komentarus. Principai“. Nesunku pastebėti, kad didžiųjų ir mažųjų kvadratų, pradinių parketo elementų, plotų suma yra lygi vieno ant jo uždėto tinklelio kvadrato plotui. O tai reiškia, kad nurodyta pertvara tikrai tinka parketui kloti: sujungus gautus daugiakampius į kvadratus, kaip parodyta paveikslėlyje, galima jais užpildyti visą plokštumą be tarpų ir persidengimų.
