Erekcija do negativna snaga- jedan od osnovnih elemenata matematike, koji se često nalazi u rješavanju algebarskih problema. Ispod je detaljna uputa.
Kako podići na negativnu potenciju - teorija
Kad neki broj dižemo na uobičajenu potenciju, njegovu vrijednost množimo nekoliko puta. Na primjer, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. S negativnim razlomkom vrijedi suprotno. Opći oblik prema formuli bit će sljedeći: a -n = 1/a n . Dakle, da biste podigli broj na negativnu potenciju, morate jedinicu podijeliti s danim brojem, ali već na pozitivnu potenciju.
Kako podići na negativnu potenciju - primjeri na običnim brojevima
Imajući na umu gornje pravilo, riješimo nekoliko primjera.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor je -4 -2 = 1/16.
Ali zašto je odgovor u prvom i drugom primjeru isti? Činjenica je da kada se negativan broj podigne na parnu potenciju (2, 4, 6 itd.), predznak postaje pozitivan. Ako je stupanj paran, tada se minus čuva:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Kako povisiti na negativnu potenciju - brojeve od 0 do 1
Podsjetimo se da kada se broj između 0 i 1 podigne na pozitivnu potenciju, vrijednost se smanjuje kako se potencija povećava. Na primjer, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
Primjer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rješenje: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odgovor: 0,5 -2 = 4
Raščlanjivanje (redoslijed radnji):
- Pretvorite decimalno 0,5 u razlomak 1/2. Lakše je.
Podignite 1/2 na negativnu potenciju. 1/(2) -2 . Podijelimo 1 s 1/(2) 2, dobivamo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Primjer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rješenje: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Primjer 5: Izračunajte -0,5 -3
Rješenje: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odgovor: -0,5 -3 = -8
Na temelju 4. i 5. primjera izvest ćemo nekoliko zaključaka:
- Za pozitivan broj u rasponu od 0 do 1 (primjer 4), podignut na negativnu potenciju, parni ili neparni stupanj nije važan, vrijednost izraza bit će pozitivna. U ovom slučaju, što je veći stupanj, to je veća vrijednost.
- Za negativan broj između 0 i 1 (primjer 5), podignut na negativnu potenciju, parni ili neparni stupanj nije bitan, vrijednost izraza bit će negativna. U ovom slučaju, što je viši stupanj, to je niža vrijednost.
Kako podići na negativnu potenciju - potenciju kao razlomački broj
Izrazi ovog tipa imaju sljedeći oblik: a -m/n, gdje je a običan broj, m brojnik stupnja, n nazivnik stupnja.
Razmotrite primjer:
Izračunajte: 8 -1/3
Rješenje (redoslijed radnji):
- Zapamtite pravilo dizanja broja na negativnu potenciju. Dobivamo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
- Imajte na umu da je nazivnik 8 na razlomak. Opći oblik izračuna frakcijskog stupnja je sljedeći: a m/n = n √8 m .
- Prema tome, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dobivamo kubni korijen od osam, što je 2. Na temelju toga, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Odgovor: 8 -1/3 = 2
Recimo da Ahilej trči deset puta brže od kornjače i da je tisuću koraka iza nje. Za vrijeme dok Ahil pretrči ovu udaljenost, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti unedogled, Ahil nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema ..."[Wikipedia," Zenonove aporije "]. Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne shvaća u čemu je prijevara.
S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko ja razumijem, matematički aparat za primjenu promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, inercijom mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročne. S fizičke strane to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.
Okrenemo li logikom na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskonačno brzo prestići kornjaču."
Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Zenonovim jezikom to izgleda ovako:
U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Za sljedeći vremenski interval, jednak prvom, Ahil će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će otpuzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije cjelovito rješenje Problemi. Einsteinova izjava o nesavladivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks prevladava se vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da bi se utvrdila činjenica kretanja automobila, potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, i dalje su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći) . Ono što želim posebno istaknuti je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba miješati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 4. srpnja 2018
Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.
Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, kod kojih je um odsutan od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta za vrijeme ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.
Ma koliko se matematičari krili iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika studira apstraktni pojmovi", postoji jedna pupčana vrpca koja je neraskidivo povezana sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primjenjivo matematička teorija postavlja samim matematičarima.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Mi mu izbrojimo cijeli iznos i rasporedimo ga na stol u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzmemo po jednu novčanicu i damo matematičaru njegovu "matematičku plaću". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez istovrsnih elemenata nije jednak skupu s istovrsnim elementima. Ovdje počinje zabava.
Prije svega, proradit će zastupnička logika: "možete na druge, ali ne na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi grčevito prisjećati fizike: na različitim novčićima postoji drugačiji iznos prljavština, kristalna struktura i raspored atoma svakog novčića je jedinstven...
I sad imam najzanimljivije pitanje: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost ovdje nije ni blizu.
Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo multiset. Ali ako uzmemo u obzir nazive istih stadiona, dobivamo puno, jer su nazivi različiti. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup u isto vrijeme. Kako u redu? I tu matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, kako bi svoje potomke naučili svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to elementarno mogu.
Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki dati broj. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.
1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u brojčani grafički simbol. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu primljenu sliku režemo na više slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Dobivene brojeve zbrojite. E sad, to je matematika.
Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa stajališta matematike nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima računajući, zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S velikim brojem 12345, ne želim zavarati glavu, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je isto kao kada biste dobili potpuno različite rezultate pri određivanju površine pravokutnika u metrima i centimetrima.
Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nisu samo brojke.
Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko tu radnju izvodi.
Joj! Nije li ovo ženski WC?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neograničene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?
Žensko... Aureola na vrhu i strelica prema dolje je muško.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne mislim da je ta djevojka glupa, ne koji zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
U nastavku razgovora o stupnju broja, logično je pozabaviti se pronalaženjem vrijednosti stupnja. Ovaj proces je nazvan potenciranje. U ovom članku samo ćemo proučiti kako se izvodi potenciranje, dok ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I po tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera povećanja brojeva na različite stupnjeve.
Navigacija po stranici.
Što znači "potenciranje"?
Počnimo s objašnjenjem onoga što se naziva stepenovanje. Evo relevantne definicije.
Definicija.
Potenciranje je pronaći vrijednost potencije broja.
Dakle, pronalaženje vrijednosti potencije a s eksponentom r i dizanje broja a na potenciju r je ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost potencije (0,5) 5", tada se može preformulirati na sljedeći način: "Podignite broj 0,5 na potenciju 5".
Sada možete ići izravno na pravila prema kojima se izvodi potenciranje.
Dizanje broja na prirodni potenc
U praksi se jednakost temeljena na obično primjenjuje u obliku . Odnosno pri podizanju broja a na razlomački stupanj m/n prvo se izvuče n-ti korijen broja a, nakon čega se rezultat diže na cjelobrojnu potenciju m.
Razmotrite rješenja primjera dizanja na razlomak.
Primjer.
Izračunajte vrijednost stupnja.
Riješenje.
Prikazujemo dva rješenja.
Prvi način. Po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stupnja pod znakom korijena, nakon čega izdvajamo kubni korijen: 
.
Drugi način. Po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom i na temelju svojstava korijena jednakosti su točne 
. Sada izvadite korijen 
Konačno, dižemo na cjelobrojnu potenciju 
.
Očito se podudaraju dobiveni rezultati dizanja na razlomak.
Odgovor:
Imajte na umu da se frakcijski eksponent može napisati kao decimalni ili mješoviti broj, u tim slučajevima treba ga zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, nakon čega treba izvršiti potenciranje.
Primjer.
Izračunajte (44,89) 2,5 .
Riješenje.
Eksponent upisujemo u obrazac obični razlomak(po potrebi pogledajte članak): 
. Sada izvodimo dizanje na razlomak: 
Odgovor:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Također treba reći da je dizanje brojeva na racionalne potencije prilično naporan proces (posebno kada brojnik i nazivnik razlomačkog eksponenta sadrže dovoljno velike brojke), koji se obično provodi pomoću računalne tehnologije.
U zaključku ovog paragrafa, zadržat ćemo se na konstrukciji broja nula na razlomačku potenciju. Frakcijskom stupnju nule oblika dali smo sljedeće značenje: jer imamo 
, dok nula na potenciju m/n nije definirana. Dakle, nula na pozitivnu razlomak nula, na primjer, 
. A nula u razlomačkoj negativnoj potenciji nema smisla, na primjer, izrazi i 0 -4,3 nemaju smisla.
Uzdizanje na iracionalnu snagu
Ponekad postaje potrebno saznati vrijednost stupnja broja s iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, za praktične svrhe, obično je dovoljno dobiti vrijednost stupnja do određenog predznaka. Odmah napominjemo da se u praksi ova vrijednost izračunava pomoću elektroničke računalne tehnologije, budući da ručno podizanje na iracionalnu snagu zahtijeva veliki broj glomaznih izračuna. Ali ipak ćemo općenito opisati bit radnji.
Da bi se dobila približna vrijednost eksponenta od a s iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava se vrijednost eksponenta. Ova vrijednost je približna vrijednost stupnja broja a s iracionalnim eksponentom. Što je točnija decimalna aproksimacija broja uzeta na početku, točnija će vrijednost stupnja biti na kraju.
Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost potencije 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog pokazatelja: . Sada dižemo 2 na racionalnu snagu od 1,17 (opisali smo suštinu ovog procesa u prethodnom odlomku), dobivamo 2 1,17 ≈ 2,250116. Na ovaj način, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo točniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, tada ćemo dobiti točniju vrijednost izvornog stupnja: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Bibliografija.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika Zh udžbenik za 5 ćelija. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7 ćelija. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9 ćelija. obrazovne ustanove.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razrede općeobrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).
Jedna od glavnih karakteristika u algebri, kao iu cijeloj matematici, je diploma. Naravno, u 21. stoljeću svi izračuni mogu se provesti na online kalkulatoru, ali za razvoj mozga bolje je naučiti kako to učiniti sami.
U ovom ćemo članku razmotriti najvažnija pitanja u vezi s ovom definicijom. Naime, shvatit ćemo što je to uopće i koje su njegove glavne funkcije, koja svojstva postoje u matematici.
Pogledajmo na primjerima kako izgleda izračun, koje su osnovne formule. Analizirat ćemo glavne vrste veličina i kako se one razlikuju od ostalih funkcija.
Shvatimo kako riješiti pomoću ove količine razne zadatke. Na primjerima ćemo pokazati kako podići na nulti stupanj, iracionalno, negativno itd.
Online kalkulator stepenovanja
Što je stupanj broja
Što znači izraz "podići broj na potenciju"?
Stupanj n broja a umnožak je faktora veličine a n puta u nizu.
Matematički to izgleda ovako:
a n = a * a * a * …a n .
Na primjer:
- 2 3 = 2 u trećem koraku. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 u koraku. dva = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 u koraku. četiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 u 5 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 u 4 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Ispod je tablica kvadrata i kocki od 1 do 10.
Tablica stupnjeva od 1 do 10
Ispod su rezultati dizanja prirodnih brojeva na pozitivne potencije - "od 1 do 100".
| Ch-lo | 2. razred | 3. razred |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Svojstva stupnja
Što je karakteristično za takvu matematičku funkciju? Pogledajmo osnovna svojstva.
Znanstvenici su utvrdili sljedeće znakovi karakteristični za sve stupnjeve:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m = (a) (b*m) .
Provjerimo na primjerima:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. S druge strane 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Slično: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inače je 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Što ako je drugačije? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Kao što vidite, pravila funkcioniraju.
Ali kako biti sa zbrajanjem i oduzimanjem? Sve je jednostavno. Prvo se izvodi potenciranje, a tek onda zbrajanje i oduzimanje.
Pogledajmo primjere:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Ali u ovom slučaju, prvo morate izračunati zbrajanje, jer postoje akcije u zagradama: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Kako proizvoditi proračuni u složenijim slučajevima? Redoslijed je isti:
- ako postoje zagrade, morate početi s njima;
- zatim potenciranje;
- zatim izvoditi operacije množenja, dijeljenja;
- nakon zbrajanja, oduzimanja.
Postoje specifična svojstva koja nisu karakteristična za sve stupnjeve:
- Korijen n-tog stupnja iz broja a u stupanj m bit će napisan kao: a m / n .
- Kod podizanja razlomka na potenciju: ovom postupku podliježu i brojnik i nazivnik.
- Kada se umnožak različitih brojeva diže na potenciju, izraz će odgovarati umnošku tih brojeva na danu potenciju. To je: (a * b) n = a n * b n.
- Kada dižete broj na negativnu potenciju, trebate podijeliti 1 s brojem u istom koraku, ali sa znakom "+".
- Ako je nazivnik razlomka na negativnoj potenciji, tada će ovaj izraz biti jednak umnošku brojnika i nazivnika na pozitivnoj potenciji.
- Bilo koji broj na potenciju 0 = 1 i na korak. 1 = sebi.
Ova su pravila važna u pojedinačnim slučajevima, detaljnije ćemo ih razmotriti u nastavku.
Stupanj s negativnim eksponentom
Što učiniti s negativnim stupnjem, odnosno kada je pokazatelj negativan?
Na temelju svojstava 4 i 5(vidi točku iznad) ispada:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
I obrnuto:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Što ako je razlomak?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Stupanj s prirodnim pokazateljem
Shvaća se kao stupanj s eksponentima jednakim cijelim brojevima.
Stvari koje treba zapamtiti:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…itd.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… itd.
Također, ako je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…onda će rezultat biti sa predznakom “+”. Ako se negativni broj digne na neparnu potenciju, tada je obrnuto.
Za njih su također karakteristična opća svojstva i sve gore opisane specifičnosti.
Frakcijski stupanj
Ovaj pogled može se napisati kao shema: A m / n. Čita se kao: korijen n-tog stupnja broja A na m potenciju.
S frakcijskim indikatorom možete učiniti bilo što: smanjiti, rastaviti na dijelove, podići na drugi stupanj itd.
Stupanj s iracionalnim eksponentom
Neka je α iracionalan broj i A ˃ 0.
Da bismo razumjeli bit diplome s takvim pokazateljem, Pogledajmo različite moguće slučajeve:
- A \u003d 1. Rezultat će biti jednak 1. Budući da postoji aksiom - 1 je jednako jedan u svim potencijama;
A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 su racionalni brojevi;
- 0˂A˂1.
U ovom slučaju, obrnuto: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod istim uvjetima kao u drugom odlomku.
Na primjer, eksponent je broj π. To je racionalno.
r 1 - u ovom slučaju je jednako 3;
r 2 - bit će jednako 4.
Zatim, za A = 1, 1 π = 1.
A = 2, zatim 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, zatim (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Takve stupnjeve karakteriziraju sve gore opisane matematičke operacije i specifična svojstva.
Zaključak
Ukratko - čemu služe ove vrijednosti, koje su prednosti takvih funkcija? Naravno, prije svega, oni pojednostavljuju život matematičara i programera pri rješavanju primjera, jer omogućuju minimiziranje izračuna, smanjenje algoritama, sistematizaciju podataka i još mnogo toga.
Gdje još ovo znanje može biti korisno? U bilo kojoj radnoj specijalnosti: medicina, farmakologija, stomatologija, građevinarstvo, tehnologija, inženjerstvo, dizajn itd.
Prva razina
Stupanj i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019)
Zašto su potrebne diplome? Gdje ih trebaš? Zašto trebate trošiti vrijeme na njihovo proučavanje?
Kako biste saznali sve o diplomama, čemu one služe, kako svoje znanje koristiti u svakodnevnom životu, pročitajte ovaj članak.
I, naravno, poznavanje diploma približit će vas uspješnom polaganju OGE ili Jedinstvenog državnog ispita i upisu na sveučilište iz snova.
Idemo... (Idemo!)
Važna nota! Ako umjesto formula vidite besmislice, izbrišite predmemoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).
PRVI RAZINA
Potenciranje je ista matematička operacija kao zbrajanje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.
Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom na vrlo jednostavan način jednostavni primjeri. Budi oprezan. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.
Počnimo s dodavanjem.
Nema se tu što objašnjavati. Sve već znate: nas je osam. Svaki ima dvije boce kole. Koliko kole? Tako je - 16 boca.
Sada množenje.
Isti primjer s colom može se napisati i na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo uoče neke obrasce, a onda se dosjete kako ih brže “prebrojati”. U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili su tehniku koja se zove množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.
Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve se može sporije, teže i s greškama! Ali…
Evo tablice množenja. Ponoviti.
I još jedna, ljepša:
A kojih su se još lukavih trikova s računanjem dosjetili lijeni matematičari? Ispravno - dizanje broja na potenciju.
Dizanje broja na potenciju
Ako trebate pomnožiti broj sam sa sobom pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na petu potenciju. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na petu potenciju. I takve probleme rješavaju u mislima - brže, lakše i bez greške.
Da biste to učinili, trebate samo zapamtite što je označeno bojom u tablici potencija brojeva. Vjerujte, to će vam znatno olakšati život.
Usput, zašto se zove drugi stupanj kvadrat brojevi, a treći kocka? Što to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.
Primjer iz stvarnog života #1
Počnimo s kvadratom ili drugom potencijom broja.
Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločama. Koliko pločica trebate? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.
Jednostavno možete izbrojati bodenjem prsta da se dno bazena sastoji od kockica metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje si vidio takvu pločicu? Pločica će prije biti cm po cm, a onda će vas mučiti "brojenje s prstom". Zatim morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavit ćemo pločice (komade), a na drugu također pločice. Množenjem s, dobivate pločice ().
Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili samim sobom kako bismo odredili površinu dna bazena? Što to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku potenciranja. (Naravno, kada imate samo dva broja, još ih trebate pomnožiti ili dići na potenciju. Ali ako ih imate puno, onda je dizanje na potenciju puno lakše, a također ima i manje grešaka u izračunima. Za ispit je to vrlo važno).
Dakle, trideset do drugog stupnja bit će (). Ili možete reći da će trideset na kvadrat biti. Drugim riječima, druga potencija broja uvijek se može prikazati kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK druga potencija nekog broja. Kvadrat je slika druge potencije broja.
Primjer iz stvarnog života #2
Evo zadatak za vas, izbrojte koliko je polja na šahovskoj ploči koristeći polje broja ... S jedne strane ćelija i s druge također. Da biste prebrojali njihov broj, morate pomnožiti osam sa osam ili ... ako to primijetite Šahovska ploča je kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Nabavite ćelije. () Pa?
Primjer iz stvarnog života #3
Sada kocka ili treća potencija broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko će se vode morati uliti u ovaj bazen. Morate izračunati volumen. (Usput, volumeni i tekućine se mjere u kubičnih metara. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine jedan metar i dubine metar i pokušajte izračunati koliko kockica metar po metar će ukupno ući u vaš bazen.
Samo uperi prst i broji! Jedan, dva, tri, četiri... dvadeset i dva, dvadeset i tri... Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Je li teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena treba pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, volumen bazena bit će jednak kockama ... Lakše, zar ne?
Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi ako to čine previše lakim. Sve svedeno na jednu akciju. Primijetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A što to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom prstom izbrojali, oni učine jednom radnjom: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:
Ostaci samo zapamtite tablicu stupnjeva. Osim, naravno, ako niste lijeni i lukavi poput matematičara. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti brojati prstom.
Pa da vas konačno uvjerimo da su diplome izmislili klošari i lukavci da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vama stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.
Primjer iz stvarnog života #4
Imate milijun rubalja. Na početku svake godine za svaki milijun zaradite još jedan milijun. Odnosno, svaki se vaš milijun na početku svake godine udvostruči. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i “brojite s prstom”, onda ste jako radišna osoba i .. glupa. Ali najvjerojatnije ćete dati odgovor za nekoliko sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - što se dogodilo, još dvije, treće godine ... Stop! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na petu potenciju je milijun! Sada zamislite da imate konkurenciju i onaj tko brže računa dobit će te milijune... Isplati li se pamtiti stupnjeve brojeva, što mislite?
Primjer iz stvarnog života #5
Imaš milijun. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milijun. super je zar ne? Svaki milijun se utrostručuje. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Ajmo računati. Prva godina - pomnoži s, pa rezultat s još jednim ... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sa samim sobom puta. Dakle, četvrta potencija je milijun. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrtu potenciju ili.
Sada znate da ćete dizanjem broja na potenciju znatno olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti s diplomama i što trebate znati o njima.
Pojmovi i pojmovi ... da ne bude zabune
Dakle, prvo definirajmo pojmove. Što misliš, što je eksponent? Vrlo je jednostavno - ovo je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije znanstveno, ali jasno i lako za pamćenje ...
Pa, u isto vrijeme, što takva baza stupnja? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u bazi.
Evo slike da budete sigurni.
Pa i unutra opći pogled da generaliziramo i bolje zapamtimo ... Stupanj s bazom "" i eksponentom "" čita se kao "na stupanj" i piše se na sljedeći način:
Potencija broja s prirodnim eksponentom
Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodni broj. Da, ali što je prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste pri brojanju prilikom nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Ne kažemo ni "jedna trećina" ili "nula zarez pet desetinki". Ovo nisu prirodni brojevi. Što mislite koji su ovi brojevi?
Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" odnose se na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzete s predznakom minus) i brojeve. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A što znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na svom telefonu u rubljama, to znači da operateru dugujete rublje.
Svi razlomci su racionalni brojevi. Kako su nastali, što mislite? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina naši su preci otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje duljine, težine, površine itd. I smislili su racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?
Postoje i iracionalni brojevi. Koje su ovo brojke? Ukratko, beskonačno decimal. Na primjer, ako opseg kruga podijelite s njegovim promjerom, tada ćete dobiti iracionalan broj.
Sažetak:
Definirajmo pojam stupnja, čiji je eksponent prirodan broj (to jest, cijeli i pozitivan).
- Bilo koji broj na prvu potenciju jednak je sebi:
- Kvadrirati broj znači pomnožiti ga samim sobom:
- Kockati broj znači pomnožiti ga samim sobom tri puta:
Definicija. Povećati broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj samim sobom puta:
.
Svojstva stupnja
Odakle ta svojstva? Sad ću ti pokazati.
Da vidimo što je i ?
Po definiciji:
Koliko je ukupno množitelja?
Vrlo je jednostavno: dodali smo faktore faktorima, a rezultat su faktori.
Ali po definiciji, ovo je stupanj broja s eksponentom, to jest: , koji je trebalo dokazati.
Primjer: Pojednostavite izraz.
Riješenje:
Primjer: Pojednostavite izraz.
Riješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno mora biti isti razlog!
Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:
samo za proizvode moći!
Ni pod kojim okolnostima to ne biste smjeli napisati.
2. odnosno -tu potenciju broja
Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:
Ispostavilo se da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je ti stepen broja:
Zapravo, to se može nazvati "stavljanje indikatora u zagrade". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:
Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati?
Ali to zapravo nije istina.
Stupanj s negativnom bazom
Do ove točke samo smo raspravljali o tome što bi eksponent trebao biti.
Ali što bi trebala biti osnova?
U stupnjevima od prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bez obzira jesu li pozitivni, negativni ili parni.
Razmislimo o tome koji će predznaci (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?
Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.
Ali one negativne su malo zanimljivije. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s, ispada.
Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Jeste li uspjeli?
Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se, sve je jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
U primjeru 5), sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.
Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, jer (jer).
Primjer 6) više nije tako jednostavan!
6 primjera iz prakse
Analiza rješenja 6 primjera
Ako ne obratimo pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula množenja, odnosno razlika kvadrata! Dobivamo:
Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Kad bi se zamijenili, moglo bi vrijediti pravilo.
Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.
Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj "fenomen" vrijedi za svaki izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama.
Ali važno je zapamtiti: svi se znakovi mijenjaju u isto vrijeme!
Vratimo se na primjer:
I opet formula:
cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (to jest, uzete sa znakom "") i broj.
pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, tada sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.
Sada pogledajmo nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.
Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan:
Kao i uvijek, pitamo se: zašto je to tako?
Razmotrite malo snage s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:
Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili isto kao što je bilo -. S kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.
Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:
Ponovimo pravilo:
Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan.
Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).
S jedne strane, mora biti jednak bilo kojem stupnju - koliko god nulu množili sa samom sobom, svejedno ćete dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stupanj, mora biti jednak. Dakle, što je istina o ovome? Matematičari su se odlučili ne miješati i odbili su podići nulu na nultu potenciju. Odnosno, sada ne samo da možemo dijeliti s nulom, već i podići na nultu potenciju.
Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativni stupanj, učinimo isto kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim u negativnom stupnju:
Odavde je već lako izraziti željeno:
Sada proširujemo dobiveno pravilo na proizvoljan stupanj:
Dakle, formulirajmo pravilo:
Broj na negativnu potenciju obrnut je od istog broja na pozitivnu potenciju. Ali u isto vrijeme baza ne može biti nula:(jer je nemoguće podijeliti).
Ukratko:
I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.
II. Bilo koji broj na nultu potenciju jednak je jedan: .
III. Broj koji nije jednak nuli na negativnu potenciju je obrnut od istog broja na pozitivnu potenciju: .
Zadaci za samostalno rješavanje:
Pa, kao i obično, primjeri za neovisno rješenje:
Analiza zadataka za samostalno rješavanje:
Znam, znam, brojke su strašne, ali na ispitu morate biti spremni na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste mogli riješiti i naučit ćete kako se s njima lako nositi na ispitu!
Nastavimo širiti krug brojeva "prikladnih" kao eksponent.
Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?
Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.
Da shvatim što jest "frakcijski stupanj" Razmotrimo razlomak:
Podignimo obje strane jednadžbe na potenciju:
Sada zapamtite pravilo "stupanj u stupanj":
Koji se broj mora podići na potenciju da bi se dobio?
Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.
Dopustite da vas podsjetim: korijen th potencije broja () je broj koji je, kada se podigne na potenciju, jednak.
To jest, korijen th stupnja je inverzna operacija stepenovanja: .
Ispostavilo se da. Očito, ovaj poseban slučaj može se proširiti: .
Sada dodajte brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:
Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, korijen se ne može izvući iz svih brojeva.
nijedan!
Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na parnu potenciju je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući korijene parnog stupnja iz negativnih brojeva!
A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.
Što je s izražavanjem?
Ali tu nastaje problem.
Broj se može prikazati kao drugi, reducirani razlomci, na primjer, ili.
I ispada da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.
Ili drugi primjer: jednom, onda to možete zapisati. Ali čim indikator napišemo na drugačiji način, opet imamo problema: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).
Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivni osnovni eksponent s razlomačkim eksponentom.
Pa ako:
- - prirodni broj;
- je cijeli broj;
Primjeri:
Potencijali s racionalnim eksponentom vrlo su korisni za transformiranje izraza s korijenima, na primjer:
5 primjera iz prakse
Analiza 5 primjera za obuku
E, sad - najteže. Sada ćemo analizirati stupanj s iracionalnim eksponentom.
Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom
Doista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).
Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima.
Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;
...nulta snaga- ovo je, takoreći, broj koji je jednom pomnožen sam sa sobom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena "priprema broj”, naime broj;
...negativni cijeli broj eksponent- kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.
Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.
Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.
GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE OTIĆI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))
Na primjer:
Odlučite sami:
Analiza rješenja:
1. Počnimo s već uobičajenim pravilom za podizanje stupnja na stupanj:
Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li vas on na nešto? Podsjećamo na formulu za skraćeno množenje razlike kvadrata:
U ovom slučaju,
Ispostavilo se da:
Odgovor: .
2. Razlomke u eksponentima dovodimo u isti oblik: ili oba decimalna ili oba obična. Dobivamo, na primjer:
Odgovor: 16
3. Ništa posebno, nanesite redovna svojstva stupnjevi:
NAPREDNA RAZINA
Definicija stupnja
Stupanj je izraz oblika: , gdje je:
- — baza diplome;
- - eksponent.
Stupanj s prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)
Dizanje broja na prirodnu potenciju n znači množenje broja samim sobom puta:
Potencija s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)
Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:
erekcija na nultu snagu:
Izraz je neodređen, jer je, s jedne strane, na bilo koji stupanj ovo, a s druge strane, bilo koji broj na ti stupanj je ovo.
Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:
(jer je nemoguće podijeliti).
Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.
Primjeri:
Stupanj s racionalnim eksponentom
- - prirodni broj;
- je cijeli broj;
Primjeri:
Svojstva stupnja
Da bismo lakše riješili probleme, pokušajmo razumjeti: odakle dolaze ta svojstva? Dokažimo im.
Pogledajmo: što je i?
Po definiciji:
Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobiva se sljedeći produkt:
Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest:
Q.E.D.
Primjer : Pojednostavite izraz.
Riješenje : .
Primjer : Pojednostavite izraz.
Riješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno moraju imati istu osnovu. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:
Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvode moći!
Ni pod kojim uvjetima to ne bih smio napisati.
Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:
Preuredimo to ovako:
Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je -ta snaga broja:
Zapravo, to se može nazvati "stavljanje indikatora u zagrade". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:!
Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to zapravo nije istina.
Snaga s negativnom bazom.
Do ove točke razgovarali smo samo o onome što bi trebalo biti indeks stupanj. Ali što bi trebala biti osnova? U stupnjevima od prirodni indikator osnova može biti bilo koji broj .
Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bez obzira jesu li pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će predznaci (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?
Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ?
S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.
Ali one negativne su malo zanimljivije. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s (), dobit ćemo -.
I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Moguće je tako formulirati jednostavna pravila:
- čak stupanj, - broj pozitivan.
- Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
- Pozitivan broj na bilo koju potenciju je pozitivan broj.
- Nula na bilo koju potenciju jednaka je nuli.
Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Jeste li uspjeli? Evo odgovora:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.
U primjeru 5), sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, jer (jer).
Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje morate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetite, postaje jasno da, što znači da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.
I opet koristimo definiciju stupnja:
Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedne na druge, podijelimo ih u parove i dobijemo:
Prije analize posljednjeg pravila, riješimo nekoliko primjera.
Izračunajte vrijednosti izraza:
Rješenja :
Ako ne obratimo pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula množenja, odnosno razlika kvadrata!
Dobivamo:
Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Da su obrnute, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.
Ako to pomnožite s, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:
Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj "fenomen" vrijedi za svaki izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! To se ne može nadomjestiti promjenom samo jednog nama nepoželjnog minusa!
Vratimo se na primjer:
I opet formula:
Sada zadnje pravilo:
Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam diplome i pojednostavnimo:
E, sad otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: pokazalo se da ukupno ima množitelja. To jest, to je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:
Primjer:
Stupanj s iracionalnim eksponentom
Osim informacija o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim pokazateljem. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom - nakon svega, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).
Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stupanj je takoreći jedan broj pomnožen sam sa sobom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena “priprava broja”, naime broja; stupanj s cjelobrojnim negativnim pokazateljem - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.
Izuzetno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.
Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.
Dakle, što ćemo učiniti ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)
Na primjer:
Odlučite sami:
| 1) | 2) | 3) |
odgovori:
- Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
- Razlomke dovodimo u isti oblik: ili oba decimala, ili oba obična. Dobivamo, na primjer: .
- Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:
SAŽETAK ODJELJKA I OSNOVNA FORMULA
Stupanj naziva se izraz oblika: , gdje je:
Stupanj s cjelobrojnim eksponentom
stupanj, čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).
Stupanj s racionalnim eksponentom
stupanj, čiji su pokazatelj negativni i razlomački brojevi.
Stupanj s iracionalnim eksponentom
eksponent čiji je eksponent beskonačni decimalni razlomak ili korijen.
Svojstva stupnja
Značajke stupnjeva.
- Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
- Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
- Pozitivan broj na bilo koju potenciju je pozitivan broj.
- Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
- Svaki broj na nultu potenciju je jednak.
SADA IMATE RIJEČ...
Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod je li vam se svidjelo ili ne.
Recite nam nešto o svom iskustvu sa svojstvima snage.
Možda imate pitanja. Ili prijedloge.
Pišite u komentarima.
I sretno na ispitima!
