Recimo da Ahilej trči deset puta brže od kornjače i da je tisuću koraka iza nje. Za vrijeme dok Ahil pretrči ovu udaljenost, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti unedogled, Ahil nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema ..."[Wikipedia," Zenonove aporije "]. Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne shvaća u čemu je prijevara.
S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko ja razumijem, matematički aparat za primjenu promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, inercijom mišljenja, primjenjujemo konstantne jedinice vremena na recipročne. Fizički gledano, ovo izgleda kao usporavanje vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.
Okrenemo li logikom na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskonačno brzo prestići kornjaču."
Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Zenonovim jezikom to izgleda ovako:
U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Za sljedeći vremenski interval, jednak prvom, Ahil će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će otpuzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije cjelovito rješenje Problemi. Einsteinova izjava o nesavladivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.
U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da bi se utvrdila činjenica kretanja automobila, potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još uvijek su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći). Ono što želim posebno istaknuti je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba miješati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 4. srpnja 2018
Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.
Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, kod kojih je um odsutan od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta za vrijeme ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.
Ma koliko se matematičari krili iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika studira apstraktni pojmovi", postoji jedna pupčana vrpca koja je neraskidivo povezana sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primjenjivo matematička teorija postavlja samim matematičarima.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Mi mu izbrojimo cijeli iznos i rasporedimo ga na stol u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzmemo po jednu novčanicu i damo matematičaru njegovu "matematičku plaću". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez istovrsnih elemenata nije jednak skupu s istovrsnim elementima. Ovdje počinje zabava.
Prije svega, proradit će zastupnička logika: "možete na druge, ali ne na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi grčevito prisjećati fizike: na različitim novčićima postoji drugačiji iznos prljavština, kristalna struktura i raspored atoma svakog novčića je jedinstven...
I sad imam najzanimljivije pitanje: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost ovdje nije ni blizu.
Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo multiset. Ali ako uzmemo u obzir nazive istih stadiona, dobivamo puno, jer su nazivi različiti. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup u isto vrijeme. Kako u redu? I tu matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, da svoje potomke pouče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to elementarno mogu.
Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki dati broj. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.
1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u brojčani grafički simbol. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu primljenu sliku režemo na više slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Dobivene brojeve zbrojite. E sad, to je matematika.
Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa stajališta matematike nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima računajući, zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. IZ veliki broj 12345 Ne želim zavaravati glavu, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.
Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nisu samo brojke.
Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko tu radnju izvodi.
Joj! Nije li ovo ženski WC?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neograničene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?
Žensko... Aureola na vrhu i strelica prema dolje je muško.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne mislim da je ta djevojka glupa, ne koji zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
Učenici često ogorčeno pitaju: "Kako će mi ovo koristiti u životu?". Na bilo koju temu svakog predmeta. Tema o volumenu paralelopipeda nije iznimka. I ovdje je jednostavno moguće reći: "Dobro će vam doći."
Kako, na primjer, saznati hoće li paket stati u poštanski sandučić? Naravno, metodom pokušaja i pogreške možete odabrati onaj pravi. Što ako ne postoji takva mogućnost? Tada će izračuni doći u pomoć. Znajući kapacitet kutije, možete izračunati volumen paketa (bar približno) i odgovoriti na pitanje.
Paralelepiped i njegove vrste
Ako doslovno prevedemo njegovo ime sa starogrčkog, ispada da je to lik koji se sastoji od paralelnih ravnina. Postoje takve ekvivalentne definicije paralelopipeda:
- prizma s bazom u obliku paralelograma;
- poliedra, čija je svaka strana paralelogram.
Njegove se vrste razlikuju ovisno o tome koja figura leži u njegovoj osnovi i kako su usmjerena bočna rebra. Općenito, govori se o kosi paralelopipedčija su osnovica i sve plohe paralelogrami. Ako bočne strane prethodnog prikaza postanu pravokutnici, tada će se već morati pozvati direktno. I kod pravokutan a baza također ima kutove od 90º.
Štoviše, u geometriji pokušavaju prikazati potonje na takav način da je vidljivo da su svi rubovi paralelni. Ovdje se, usput, uočava glavna razlika između matematičara i umjetnika. Za potonje je važno prenijeti tijelo u skladu sa zakonom perspektive. I u ovom slučaju, paralelnost rubova je potpuno nevidljiva.
O uvedenoj notaciji
U formulama u nastavku vrijede oznake navedene u tablici.
Formule za kosi okvir
Prvi i drugi za područja:
Treći je za izračun volumena kutije:
Budući da je baza paralelogram, da biste izračunali njegovu površinu, morat ćete koristiti odgovarajuće izraze.
Formule za kvadar
Slično prvom odlomku - dvije formule za površine:
I još jedan za volumen:
Prvi zadatak
Stanje. Zadan je pravokutni paralelopiped čiji volumen treba pronaći. Poznata je dijagonala - 18 cm - i činjenica da s ravninom bočne plohe i bočnog ruba čini kut od 30, odnosno 45 stupnjeva.
Riješenje. Da biste odgovorili na pitanje problema, morate saznati sve strane u tri pravokutna trokuta. Oni će dati potrebne rubne vrijednosti za koje trebate izračunati volumen.
Prvo morate odrediti gdje je kut od 30º. Da biste to učinili, morate nacrtati dijagonalu bočne strane iz istog vrha iz kojeg je nacrtana glavna dijagonala paralelograma. Kut između njih će biti ono što vam je potrebno.
Prvi trokut, koji će dati jednu od strana baze, bit će sljedeći. Sadrži željenu stranicu i nacrtane dvije dijagonale. Pravokutnog je oblika. Sada morate upotrijebiti omjer suprotne noge (stranice baze) i hipotenuze (dijagonala). Jednak je sinusu od 30º. To jest, nepoznata strana baze bit će određena kao dijagonala pomnožena sa sinusom od 30º ili ½. Neka bude označeno slovom "a".
Drugi će biti trokut koji sadrži poznatu dijagonalu i rub s kojim čini 45º. Također je pravokutan, a opet možete koristiti omjer katete i hipotenuze. Drugim riječima, bočni rub prema dijagonali. Jednak je kosinusu od 45º. To jest, "c" se izračunava kao umnožak dijagonale i kosinusa od 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
U istom trokutu morate pronaći drugu nogu. To je potrebno kako bi se zatim izračunala treća nepoznanica - "in". Neka bude označeno slovom "x". Lako je izračunati pomoću Pitagorine teoreme:
x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).
Sada trebamo razmotriti još jedan pravokutni trokut. Već sadrži poznate zabave"s", "x" i onaj koji treba prebrojati, "in":
c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).
Sve tri količine su poznate. Možete koristiti formulu za volumen i izračunati ga:
V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).
Odgovor: obujam paralelopipeda je 729√2 cm 3 .
Drugi zadatak
Stanje. Nađi obujam paralelopipeda. Poznaje stranice paralelograma koji leži na bazi, 3 i 6 cm, kao i njegov oštar kut - 45º. Bočno rebro ima nagib prema bazi od 30º i jednako je 4 cm.
Riješenje. Da biste odgovorili na pitanje problema, morate uzeti formulu koja je napisana za volumen nagnutog paralelopipeda. Ali obje su količine u njemu nepoznate.
Područje baze, odnosno paralelograma, odredit će se formulom u kojoj morate pomnožiti poznate strane i sinus oštrog kuta između njih.
S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).
Druga nepoznanica je visina. Može se povući iz bilo kojeg od četiri vrha iznad baze. Može se pronaći iz pravokutnog trokuta, u kojem je visina noga, a bočni rub hipotenuza. U ovom slučaju, kut od 30º leži nasuprot nepoznate visine. Dakle, možete koristiti omjer katete i hipotenuze.
n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.
Sada su sve vrijednosti poznate i možete izračunati volumen:
V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).
Odgovor: obujam je 18 √2 cm 3 .
Treći zadatak
Stanje. Odredi obujam paralelopipeda ako je poznato da je pravac. Stranice njegove baze čine paralelogram i jednake su 2 i 3 cm. Oštar kut između njih 60º. Manja dijagonala paralelopipeda jednaka je većoj dijagonali baze.
Riješenje. Da bismo saznali volumen paralelopipeda, koristimo se formulom s baznom površinom i visinom. Obje su veličine nepoznate, ali ih je lako izračunati. Prvi je visina.
Budući da je manja dijagonala paralelopipeda iste veličine kao i veća baza, mogu se označiti istim slovom d. Najveći kut paralelograma je 120º, budući da s šiljastim kutom čini 180º. Neka je druga dijagonala baze označena slovom "x". Sada, za dvije dijagonale baze, kosinusni teoremi se mogu napisati:
d 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 120º,
x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º.
Pronalaženje vrijednosti bez kvadrata nema smisla, jer će tada ponovno biti podignute na drugu snagu. Nakon zamjene podataka ispada:
d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,
x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.
Sada će visina, koja je ujedno i bočni rub paralelepipeda, biti krak u trokutu. Hipotenuza će biti poznata dijagonala tijelo, a druga noga - "x". Možete napisati Pitagorin teorem:
n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.
Dakle: n = √12 = 2√3 (cm).
Sada je druga nepoznata veličina površina baze. Može se izračunati pomoću formule spomenute u drugom problemu.
S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).
Kombinirajući sve u formulu volumena, dobivamo:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Odgovor: V \u003d 18 cm 3.
Četvrti zadatak
Stanje. Potrebno je saznati obujam paralelopipeda koji ispunjava sljedeće uvjete: baza je kvadrat sa stranicom 5 cm; bočne strane su rombovi; jedan od vrhova iznad baze je jednako udaljen od svih vrhova koji leže na bazi.
Riješenje. Prvo se morate pozabaviti stanjem. Nema pitanja s prvim odlomkom o trgu. Drugi, o rombovima, jasno pokazuje da je paralelopiped nagnut. Štoviše, svi su njegovi rubovi jednaki 5 cm, budući da su strane romba iste. A iz trećeg postaje jasno da su tri dijagonale izvučene iz njega jednake. To su dva koja leže na bočnim stranama, a posljednji je unutar paralelopipeda. I te su dijagonale jednake rubu, odnosno također imaju duljinu od 5 cm.
Za određivanje volumena trebat će vam formula napisana za nagnuti paralelopiped. Opet, u njemu nema poznatih količina. Međutim, područje baze je lako izračunati jer je to kvadrat.
S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).
Malo je teži slučaj s visinom. To će biti u tri figure: paralelopiped, četverokutna piramida i jednakokračni trokut. Treba iskoristiti posljednju okolnost.
Budući da je visina, to je noga unutra pravokutni trokut. Hipotenuza u njemu bit će poznati rub, a druga noga jednaka je polovici dijagonale kvadrata (visina je također medijan). A dijagonalu baze lako je pronaći:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
Visina će se morati izračunati kao razlika drugog stupnja ruba i kvadrata polovice dijagonale i ne zaboravite izvući kvadratni korijen:
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).
Odgovor: 62,5 √2 (cm 3).
Volumen kutije
Vrijednost volumena daje nam ideju o tome koji dio prostora zauzima predmet koji nas zanima, a da bismo pronašli volumen pravokutnog paralelopipeda, moramo pomnožiti njegovu osnovnu površinu s visinom.
U svakodnevnom životu, najčešće, za mjerenje volumena tekućine, u pravilu se koristi takva mjerna jedinica kao litra = 1 dm3.
Osim ove mjerne jedinice za određivanje volumena koriste se:
Paralelepiped pripada najjednostavnijim trodimenzionalnim likovima i stoga nije teško pronaći njegov volumen.
Volumen kutije jednak je proizvodu njegovu dužinu, širinu i visinu. Oni. da biste pronašli obujam pravokutnog paralelopipeda, dovoljno je pomnožiti sve tri njegove dimenzije.
Da biste pronašli volumen kocke, trebate uzeti njezinu duljinu i podići je na treću potenciju.
Definicija kutije
A sada se sjetimo što je paralelepiped i po čemu se razlikuje od kocke.
Paralelepiped je trodimenzionalna figura u čijoj osnovi leži poligon. Ploha kvadra sastoji se od šest pravokutnika, koji su plohe ovog kvadra. Stoga je logično da paralelopiped ima šest lica, koja se sastoje od paralelograma. Sva lica ovog poligona, koja se nalaze jedna nasuprot drugoj, imaju iste dimenzije.
Svi bridovi paralelopipeda su stranice stranica. Ali dodirne točke lica su vrhovi ove figure.
Vježba:
1. Pažljivo pogledaj sliku i reci mi na što te podsjeća?
2. Razmislite i dajte odgovor, gdje u svakodnevnom životu možete susresti takvu figuru?
3. Koliko bridova ima paralelopiped?
Raznolikosti paralelopipeda
Paralelepipedi su podijeljeni u nekoliko varijanti, kao što su:
Pravokutan;
Nagnut;
kocka.
Pravokutni paralelopipedi uključuju one figure čija se lica sastoje od pravokutnika.
Ako bočne strane nisu okomite na njegovu bazu, tada imate nagnuti paralelopiped.
Figura kao što je kocka također je paralelopiped. Sva njegova lica bez iznimke su u obliku kvadrata.
Svojstva kutije
Figura koja se proučava ima niz svojstava o kojima ćemo sada naučiti:
Prvo, suprotna lica ove figure su jednaka i paralelna jedna s drugom;
Drugo, simetričan je samo u odnosu na sredinu bilo koje od svojih dijagonala bez iznimke;
Treće, ako uzmete i povučete dijagonale između svih suprotnih vrhova paralelograma, tada će oni imati samo jednu sjecišnu točku.
Četvrto, kvadrat je duljina njegove dijagonale, jednak je zbroju kvadrata svoje 3 dimenzije.
Referenca povijesti
Za razdoblje različitih povijesne ere u različite zemlje koristio razne sustave za mjerenje mase, duljine i drugih veličina. Ali budući da je to otežavalo trgovinske odnose između zemalja, a također i razvoj znanosti, postalo je neophodno imati jedinstveni međunarodni sustav mjera koji bi odgovarao svim zemljama.
Metrički SI sustav, koji je odgovarao većini zemalja, razvijen je u Francuskoj. Zahvaljujući Mendeljejevu, u Rusiji je također uveden metrički sustav mjera.
Ali mnoge profesije i dalje koriste vlastite specifične metrike, ponekad je to posveta tradiciji, ponekad stvar pogodnosti. Tako, na primjer, mornari i dalje radije mjere brzinu u čvorovima, a udaljenost u miljama za njih je tradicija. Ali draguljari diljem svijeta preferiraju takvu mjernu jedinicu kao karat - au njihovom slučaju to je i tradicija i pogodnost.
Pitanja:
1. Tko zna koliko metara ima jedna milja? Što je jedan čvor?
2. Zašto se mjerna jedinica za dijamante zove "karat"? Zašto je povijesno prikladno da draguljari mjere masu u takvim jedinicama?
3. Tko se sjeća jedinica u kojima se mjeri ulje?
Pravokutnik- jedan od najjednostavnijih plošne figure, a pravokutni paralelopiped je ista jednostavna figura, ali u prostoru (slika 1). Vrlo su slični.
Slični kao krug i kugla.
Riža. 1. Pravokutnik i kutija
Razgovor o područjima počinje područjem pravokutnika, a o volumenima - volumenom pravokutnog paralelopipeda.
Ako znamo kako pronaći površinu pravokutnika, to nam omogućuje da pronađemo površinu bilo koje figure.
Ovu figuru možemo podijeliti na 3 pravokutnika i pronaći površinu svakog, a time i cijele figure. (Sl. 2.)
Riža. 2. Slika
Riža. 3. Lik čija je površina jednaka sedam pravokutnika
Čak i ako lik nije točno podijeljen na pravokutnike, to se može učiniti s bilo kojom točnošću i površina se može približno izračunati.
Površina ove figure (slika 3) približno je jednaka zbroju površina sedam pravokutnika. Netočnost se dobiva zbog gornjih malih brojki. Ako povećate broj pravokutnika, netočnost će se smanjiti.
To je pravokutnik je alat za izračunavanje površine bilo koje figure.
Ista je situacija i kada su u pitanju količine.
Bilo koja figura može se postaviti pravokutnim paralelopipedima, ciglama. Što su ove cigle manje, to točnije možemo izračunati volumen (sl. 4, sl. 5).
Riža. 4. Izračunavanje površine pomoću pravokutnog paralelopipeda
Kvadar je alat za izračunavanje volumena bilo kojeg lika.
Riža. 5. Izračunajte površinu pomoću malih kutija
Da se malo prisjetimo.
Kvadrat sa stranicom 1 jedinica (slika 6) ima površinu 1 kvadratna jedinica. Početna linearna jedinica može biti bilo koja: centimetar, metar, kilometar, milja.
Na primjer, 1 cm2 je površina kvadrata sa stranicom od 1 cm.
Riža. 6. Kvadrat i pravokutnik
Područje pravokutnika je broj takvih kvadrata koji će stati u njega. (Sl. 6.)
Jedinične kvadrate po dužini pravokutnika slažemo u jedan red. Dobili 5 komada.
Po visini su postavljena 3 kvadrata. To znači da postoje ukupno tri reda, svaki s pet kvadrata.
Ukupna površina je .
Jasno je da nema potrebe stavljati jedinične kvadrate svaki put unutar pravokutnika.
Dovoljno je duljinu jedne stranice pomnožiti s duljinom druge.
Ili unutra opći pogled:
Vrlo je slična situacija s volumenom pravokutnog paralelopipeda.
Volumen kocke sa stranicom od 1 jedinice je 1 kubična jedinica. Opet, izvorne linearne vrijednosti mogu biti bilo što: milimetri, centimetri, inči.
Na primjer, 1 cm 3 je obujam kocke stranice 1 cm, a 1 km 3 je obujam kocke stranice 1 km.
Odredimo obujam pravokutnog paralelopipeda sa stranicama 7 cm, 5 cm, 4 cm (slika 7.)
Riža. 7. Pravokutna kutija
Volumen našeg kvadra je broj jediničnih kocki koje stanu u njega.
Na dno poslažite red pojedinačnih kocki sa stranicom od 1 cm uz dužu stranu. Ugrađeno 7 komada. Već iz iskustva s pravokutnikom znamo da na dno stane samo 5 takvih redova, po 7 komada u svaki. To je sve:
Nazovimo to slojem. Koliko takvih slojeva možemo slagati jedan na drugi?
Ovisi o visini. Jednako je 4 cm, što znači da su u svakom od 35 komada postavljena 4 sloja. Ukupno:
Odakle broj 35? Ovo je 75. Odnosno, broj kocki smo dobili množenjem duljina sve tri stranice.
Ali ovo je volumen našeg pravokutnog paralelopipeda.
Odgovor: 140
Sada možemo napisati formulu u općem obliku. (Sl. 8.)
Riža. 8. Volumen paralelopipeda
Obujam pravokutnog paralelopipeda sa stranicama , , jednak je umnošku sve tri stranice.
Ako su duljine stranica dane u centimetrima, tada će volumen biti u kubičnim centimetrima (cm 3 ).
Ako je u metrima, onda je volumen u kubičnim metrima (m 3).
Slično tome, volumen se može mjeriti u kubičnim milimetrima, kilometrima itd.
Staklena kocka stranice 1 m potpuno je ispunjena vodom. Kolika je masa vode? (Sl. 9.)
Riža. 9. Kocka
Kocka je singularna. Strana - 1 m. Volumen - 1 m 3.
Ako znamo koliko je težak 1 kubni metar vode (skraćeno kubni metar), onda je problem riješen.
Ali ako to ne znamo, onda nije teško izračunati.
Duljina stranice.
Izračunajmo volumen u dm 3.
Ali 1 dm 3 ima zasebno ime, 1 litra. Odnosno, imamo 1000 litara vode.
Svi znamo da je masa jedne litre vode 1 kg. Odnosno, imamo 1000 kg vode, odnosno 1 tonu.
Jasno je da takvu kocku napunjenu vodom nitko običan čovjek ne može pomaknuti.
Odgovor: 1 t.
Riža. 10. Hladnjak
Hladnjak ima visinu 2 metra, širinu 60 cm i dubinu 50 cm.Nađite njegov volumen.
Prije nego što upotrijebimo formulu za volumen - umnožak duljina svih stranica - potrebno je duljine pretvoriti u iste mjerne jedinice.
Sve možemo pretvoriti u centimetre.
Prema tome, dobit ćemo volumen u kubičnim centimetrima.
Mislim da ćete se složiti da je volumen razumljiviji u kubičnim metrima.
Ljudsko oko ne može razlikovati broj s pet nula od broja sa šest nula, ali jedna je 10 puta veća od druge.
Često moramo pretvoriti jednu jedinicu volumena u drugu. Na primjer, kubični metri u kubične decimetre. Teško je zapamtiti sve te omjere. Ali to ne treba učiniti. Dovoljno je razumjeti opći princip.
Na primjer, koliko kubičnih centimetara ima kubični metar?
Pogledajmo koliko kockica stranice 1 centimetar stane u kocku stranice 1 m. (Sl. 11.)
Riža. 11. Kocka
U jedan red stane 100 komada (uostalom, u jednom metru ima 100 cm).
100 redaka ili kockica stane u jedan sloj.
Ukupno ima 100 slojeva.
Na ovaj način,
To jest, ako su linearne količine povezane omjerom "100 cm u jednom metru", tada da biste dobili omjer za kubične količine, trebate podići 100 na 3. potenciju (). I ne morate svaki put crtati kocke.
Pravokutni paralelopiped je figura u čijoj se osnovi nalazi pravokutnik. Figura ima šest strana. Lica, sijekući se, tvore rubove, ima ih 12.
Pravokutni paralelopiped ima četiri bočne strane. U životu se često susrećemo s ovom figurom: ormar, hladnjak, kutija - svi imaju oblik pravokutnog paralelopipeda.
Riža. 1. Pravokutna kutija
Formula za volumen ove figure
Zapremina kocke (figura s kvadratom na dnu) sa stranicom od 1 jedinice naziva se 1 kubična jedinica.
Riža. 2. Jedinična kocka
Ako je dno, da bi se dno figure postavilo takvim kockama, trebat će 4 kocke u duljinu i 3 u širinu.
Riža. 3. Pravokutna kutija ispunjena kuglom od kocki
Dakle, za popunjavanje baze morate:
3 x 4 \u003d 12 - tako smo izračunali površinu.
Da biste ispunili cijelu figuru i saznali volumen, morate izračunati koliko će takvih slojeva kocki stati u visinu, na primjer, ako je 2, tada će volumen biti:
3 x 4 x 2 = 24 kocke
Dakle, ako uzmemo u obzir da je duljina baze figure 4 jedinice, širina 3, visina 2, tada je za oduzimanje volumena pravokutnog paralelopipeda potrebno pronaći proizvod ove količine ili mjerenja. Figura koja ima tri dimenzije naziva se trodimenzionalna ili trodimenzionalna.
Slovo V koristi se za označavanje volumena.
Formula za volumen pravokutnog paralelopipeda je:
$$V = a b c$$
Ako je potrebno, sve podatke u zadatku potrebno je pretvoriti u istu mjernu jedinicu.
Jedinice su $mm^3, cm^3, dm^3$ i tako dalje. Važno je pravilno pročitati: $1 m^3$ i tako dalje.
Engleski iluzionist proveo je 44 dana u staklenom kvadru koji je visio nad rijekom Temzom. Sve što je imao na raspolaganju bila je voda, jastuk, madrac i pribor za pisanje.
Vježba: Oduzmite obujam figure čija je širina 4 inča, duljina 50 mm i visina 10 cm.
Riješenje: Prvo morate sve podatke pretvoriti u jednu mjernu jedinicu.
4 dm dolara. = 40 cm$;
50 USD mm. = 5 cm$.
$V = 40 5 10 = 200 cm^3$
Dakle, volumen figure je $V = 200 cm^3$
Za mjerenje volumena tekućine posebna mjerna jedinica je litra – 1 litra.
Stare mjere tekućine, na primjer cor = 220 l, baht = 22 l.
Mjerenja volumena:
$$1 l = 1000 cm^3 = 1 dm^3$$
$$1 km^3 = 1000 000 000 m^3$$
$$1 m^3 = 1.000 dm^3 = 1.000.000 cm^3$$
$$1 dm^3 = 1000 cm^3$$
