Diskriminant je višeznačan pojam. Ovaj će se članak usredotočiti na diskriminaciju polinoma, koja vam omogućuje da odredite ima li dati polinom stvarna rješenja. Formula za kvadratni polinom nalazi se u školskom tečaju algebre i analize. Kako pronaći diskriminantu? Što je potrebno za rješavanje jednadžbe?

Kvadratni polinom ili jednadžba drugog stupnja naziva se i * w ^ 2 + j * w + k jednako 0, gdje su "i" i "j" prvi odnosno drugi koeficijent, "k" je konstanta, koja se ponekad naziva "odsječak", a "w" je varijabla. Njegovi korijeni bit će sve vrijednosti varijable pri kojoj se pretvara u identitet. Takva jednakost može se prepisati kao umnožak i, (w - w1) i (w - w2) jednak 0. U ovom slučaju, očito je da ako koeficijent "i" ne nestane, tada funkcija na lijeva strana će postati nula samo ako x uzme vrijednost w1 ili w2. Ove vrijednosti su rezultat postavljanja polinoma na nulu.

Za pronalaženje vrijednosti varijable pri kojoj kvadratni polinom nestaje koristi se pomoćna konstrukcija koja se temelji na njezinim koeficijentima i naziva se diskriminanta. Ova se konstrukcija izračunava prema formuli D jednako j * j - 4 * i * k. Zašto se koristi?

1. Ona kaže ima li valjanih rezultata.
2. Ona pomaže izračunati ih.

Kako ova vrijednost pokazuje prisutnost pravih korijena:

• Ako je pozitivan, tada možete pronaći dva korijena u području realnih brojeva.
• Ako je diskriminant nula, tada su oba rješenja ista. Možemo reći da postoji samo jedno rješenje, a ono je iz područja realnih brojeva.
• Ako je diskriminant manji od nule, tada polinom nema pravih korijena.

Mogućnosti izračuna za pričvršćivanje materijala

Za zbroj (7 * w^2; 3 * w; 1) jednak 0 računamo D po formuli 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 dobivamo -19. Diskriminativna vrijednost ispod nule označava da nema rezultata na realnoj liniji.

Ako 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 smatramo ekvivalentom 0, tada se D izračunava kao (-3) na kvadrat minus umnožak brojeva (4; 2; 1) i iznosi 9 - 8, odnosno 1. Pozitivna vrijednost označava dva rezultata na pravoj liniji.

Ako uzmemo zbroj (w^2; 2 * w; 1) i izjednačimo ga s 0, D se izračunava kao dva na kvadrat minus umnožak brojeva (4; 1; 1). Ovaj izraz će se pojednostaviti na 4 - 4 i pretvoriti u nulu. Ispostavilo se da su rezultati isti. Ako pažljivo pogledate ovu formulu, postat će vam jasno da je ovo " puni kvadrat". Dakle, jednakost se može prepisati u obliku (w + 1) ^ 2 = 0. Postalo je očito da je rezultat u ovom problemu "-1". U situaciji kada je D jednako 0, lijeva strana jednakosti uvijek se može srušiti prema formuli "kvadrat zbroja".

Korištenje diskriminante za izračunavanje korijena

Ova pomoćna konstrukcija ne samo da pokazuje broj stvarnih rješenja, već i pomaže u njihovom pronalaženju. Opća formula izračun za jednadžbu drugog stupnja je sljedeći:

w = (-j +/- d) / (2 * i), gdje je d diskriminant na potenciju 1/2.

Pretpostavimo da je diskriminant ispod nule, tada je d imaginaran i rezultati su imaginarni.

D je nula, tada je d jednako D na potenciju 1/2 također nula. Rješenje: -j / (2 * i). Ponovno razmatrajući 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, nalazimo rezultate ekvivalentne -2 / (2 * 1) = -1.

Pretpostavimo da je D > 0, pa je d realan broj, a odgovor se ovdje dijeli na dva dijela: w1 = (-j + d) / (2 * i) i w2 = (-j - d) / (2 * i) . Oba rezultata bit će važeća. Pogledajmo 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Ovdje su diskriminant i d jedinice. Dakle, w1 je (3 + 1) podijeljeno s (2 * 2) ili 1, a w2 je (3 - 1) podijeljeno s 2 * 2 ili 1/2.

Rezultat izjednačavanja kvadratnog izraza s nulom izračunava se prema algoritmu:

1. Utvrđivanje broja važećih rješenja.
2. Izračun d = D^(1/2).
3. Pronalaženje rezultata prema formuli (-j +/- d) / (2 * i).
4. Zamjena dobivenog rezultata u početnu jednakost za provjeru.

Neki posebni slučajevi

Ovisno o koeficijentima, rješenje se može donekle pojednostaviti. Očito, ako je koeficijent ispred varijable na drugu potenciju nula, tada se dobiva linearna jednakost. Kada je koeficijent ispred varijable nula na prvu potenciju, tada su moguće dvije opcije:

1. polinom se proširuje u razliku kvadrata s negativnim slobodnim članom;
2. za pozitivnu konstantu ne mogu se naći prava rješenja.

Ako je slobodni član nula, tada će korijeni biti (0; -j)

Ali postoje i drugi posebni slučajevi koji pojednostavljuju pronalaženje rješenja.

Reducirana jednadžba drugog stupnja

Datost se zove takav kvadratni trinom, gdje je koeficijent ispred vodećeg člana jedan. Za ovu situaciju primjenjiv je Vieta teorem koji kaže da je zbroj korijena jednak koeficijentu varijable na prvu potenciju, pomnoženom s -1, a umnožak odgovara konstanti "k".

Prema tome, w1 + w2 je jednako -j i w1 * w2 je jednako k ako je prvi koeficijent jedan. Da bismo provjerili ispravnost takvog prikaza, možemo izraziti w2 = -j - w1 iz prve formule i zamijeniti je u drugu jednakost w1 * (-j - w1) = k. Rezultat je izvorna jednakost w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Važno je napomenuti da se i * w ^ 2 + j * w + k = 0 može smanjiti dijeljenjem s "i". Rezultat će biti: w^2 + j1 * w + k1 = 0 gdje je j1 jednako j/i, a k1 jednako k/i.

Pogledajmo već riješeno 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 s rezultatima w1 = 1 i w2 = 1/2. Potrebno ga je podijeliti na pola, kao rezultat, w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Provjerimo jesu li uvjeti teorema istiniti za pronađene rezultate: 1 + 1/2 = 3/2 i 1 * 1/2 = 1/2.

Čak i drugi faktor

Ako je faktor varijable na prvu potenciju (j) djeljiv s 2, tada će biti moguće pojednostaviti formulu i potražiti rješenje kroz četvrtinu diskriminante D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. ispada w = (-j +/- d/2) / i, gdje je d/2 = D/4 na potenciju 1/2.

Ako je i = 1 i koeficijent j paran, tada je rješenje umnožak -1 i polovice koeficijenta u varijabli w, plus/minus korijen kvadrata ove polovice, minus konstanta "k". Formula: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Diskriminant višeg reda

Gore razmotren diskriminant drugog stupnja najčešće je korišten poseban slučaj. U općem slučaju diskriminant polinoma je umnožene kvadrate razlika korijena ovog polinoma. Prema tome, diskriminant nula označava prisutnost najmanje dva višestruka rješenja.

Razmotrimo i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Recimo da je diskriminant veći od nule. To znači da postoje tri korijena u području realnih brojeva. Na nuli postoji više rješenja. Ako D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Naš video će vam detaljno reći o izračunu diskriminante.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

Hajdemo raditi s kvadratne jednadžbe. Ovo su vrlo popularne jednadžbe! U samom opći pogled kvadratna jednadžba izgleda ovako:

Na primjer:

Ovdje a =1; b = 3; c = -4

Ovdje a =2; b = -0,5; c = 2,2

Ovdje a =-3; b = 6; c = -18

Pa, shvatili ste...

Kako riješiti kvadratne jednadžbe? Ako imate kvadratnu jednadžbu u ovom obliku, onda je sve jednostavno. Sječamo se Čarobna riječ diskriminirajući . Rijetki srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Fraza "odlučiti kroz diskriminant" je umirujuća i umirujuća. Jer nema potrebe čekati trikove od diskriminatora! Korištenje je jednostavno i bez problema. Dakle, formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena je isti diskriminirajući. Kao što vidite, za pronalaženje x koristimo samo a, b i c. Oni. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i razmotrite. Zamjena s tvojim znakovima! Na primjer, za prvu jednadžbu a =1; b = 3; c= -4. Ovdje pišemo:

Primjer skoro riješen:

To je sve.

Koji su slučajevi mogući pri korištenju ove formule? Postoje samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da iz njega možete izvaditi korijen. Da li se korijen dobro ili loše vadi, drugo je pitanje. Bitno je što se u principu izvlači. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična. Ali to igra ulogu u nejednakostima, gdje ćemo to pitanje detaljnije proučiti.

3. Diskriminant je negativan. Negativan broj ne uzima kvadratni korijen. Pa dobro. To znači da nema rješenja.

Sve je vrlo jednostavno. I što mislite, ne možete pogriješiti? Pa da, kako...
Najčešće pogreške su brkanje s predznacima vrijednosti a, b i c. Ili bolje rečeno, ne s njihovim znakovima (gdje se tu zbuniti?), Već zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje se sprema detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi s izračunima, pa učini to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Ovdje a = -6; b = -5; c=-1

Recimo da znate da rijetko dobivate odgovore prvi put.

Pa, ne budi lijen. Trebat će vam 30 sekundi za pisanje dodatnog retka. I broj pogrešaka naglo će pasti. Dakle, pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se nevjerojatno teško slikati tako pažljivo. Ali to se samo čini. Probaj. Pa, ili izaberite. Što je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebno sve tako pažljivo slikati. Samo će ispasti kako treba. Pogotovo ako primijenite praktične tehnike, koje su opisane u nastavku. Ovaj opaki primjer s hrpom minusa riješit ćemo lako i bez grešaka!

Tako, kako riješiti kvadratne jednadžbe kroz diskriminant koji smo zapamtili. Ili naučio, što je također dobro. Možete li točno identificirati a, b i c. Znaš li kako pažljivo zamijenite ih u korijensku formulu i pažljivo računati rezultat. Jeste li to razumjeli ključna riječ ovdje - pažljivo?

Međutim, kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

to nepotpune kvadratne jednadžbe . Također se mogu riješiti pomoću diskriminante. Samo trebate ispravno shvatiti što je ovdje jednako a, b i c.

Shvatio? U prvom primjeru a = 1; b = -4; a c? To uopće ne postoji! Pa da, tako je. U matematici to znači c = 0 ! To je sve. Umjesto nule u formulu c, i sve će nam uspjeti. Slično je i s drugim primjerom. Ovdje nemamo samo nulu S, a b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se puno lakše riješiti. Bez ikakve diskriminacije. Razmotrimo prvu nepotpunu jednadžbu. Što se može učiniti na lijevoj strani? X možete izvaditi iz zagrade! Izvadimo ga.

I što s tim? I činjenica da je umnožak jednak nuli ako, i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete? Pa, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? Nešto...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x = 0, ili x = 4

Sve. To će biti korijeni naše jednadžbe. Oboje odgovara. Zamjenom bilo kojeg od njih u izvornu jednadžbu dobivamo ispravan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je puno jednostavnije nego putem diskriminante.

Druga se jednadžba također može lako riješiti. Pomičemo 9 na desnu stranu. Dobivamo:

Ostalo je izvući root iz 9, i to je to. Dobiti:

također dva korijena . x = +3 i x = -3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili vađenjem X iz zagrada, ili jednostavnim prijenosom broja udesno, nakon čega slijedi izdvajanje korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove metode. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen iz X-a, što je nekako neshvatljivo, au drugom slučaju nemate što izvaditi iz zagrada ...

Sada zabilježite praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka. Baš one koje su zbog nepažnje... Za koje je onda bolno i uvredljivo...

Prvo primanje. Nemojte biti lijeni prije nego što riješite kvadratnu jednadžbu kako biste je doveli u standardni oblik. Što to znači?
Pretpostavimo da nakon bilo koje transformacije dobijete sljedeću jednadžbu:

Nemojte žuriti s pisanjem formule korijena! Gotovo ćete sigurno pomiješati izglede a, b i c. Ispravno sastavite primjer. Prvo x na kvadrat, zatim bez kvadrata, pa slobodni član. Kao ovo:

I opet, ne žurite! Minus prije x na kvadrat može vas jako uzrujati. Lako je zaboraviti... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što je naučeno u prethodnoj temi! Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s -1. Dobivamo:

A sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i dovršiti primjer. Odlučite sami. Trebali biste završiti s korijenima 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite svoje korijene! Prema Vietinom teoremu. Ne brini, sve ću ti objasniti! Provjeravanje zadnja stvar jednadžba. Oni. onaj kojim smo zapisali formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, lako provjerite korijenje. Dovoljno ih je umnožiti. Trebali biste dobiti slobodan termin, t.j. u našem slučaju -2. Pazite, ne 2, nego -2! slobodan član s tvojim znakom . Ako nije išlo, znači da su već negdje zabrljali. Potražite grešku. Ako je uspjelo, trebate saviti korijenje. Posljednja i konačna provjera. Trebao bi biti omjer b S suprotan znak. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred x, jednako je -1. Dakle, sve je točno!
Šteta što je tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! Bit će manje grešaka.

Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima frakcijske koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožite jednadžbu zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u prethodnom odjeljku. Kada radite s razlomcima, pogreške se iz nekog razloga penju ...

Usput, obećao sam zao primjer s hrpom minusa za pojednostavljenje. Molim! Evo ga.

Kako se ne bi zbunili u minusima, jednadžbu množimo s -1. Dobivamo:

To je sve! Odlučivanje je zabavno!

Pa da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja dovodimo kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, gradimo je pravo.

2. Ako ispred x u kvadratu stoji negativan koeficijent, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe s -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent za njega jednak jedan, rješenje se lako može provjeriti Vietinim teoremom. Učini to!

Frakcijske jednadžbe. ODZ.

Nastavljamo svladavati jednadžbe. Već znamo kako raditi s linearnim i kvadratnim jednadžbama. Ostaje posljednji pogled frakcijske jednadžbe. Ili se nazivaju i mnogo čvršćim - frakcijske racionalne jednadžbe. Ovo je isto.

Frakcijske jednadžbe.

Kao što naziv implicira, ove jednadžbe nužno sadrže razlomke. Ali ne samo razlomci, nego razlomci koji imaju nepoznato u nazivniku. Barem u jednom. Na primjer:

Da vas podsjetim, ako samo u nazivnicima brojevima, to su linearne jednadžbe.

Kako odlučiti frakcijske jednadžbe? Prije svega, riješite se razlomaka! Nakon toga jednadžba, najčešće, prelazi u linearnu ili kvadratnu. I onda znamo što nam je činiti... U nekim slučajevima može se pretvoriti u identitet, poput 5=5 ili netočan izraz, poput 7=2. Ali to se rijetko događa. U nastavku ću to spomenuti.

Ali kako se riješiti razlomaka!? Jako jednostavno. Primjena svih istih identičnih transformacija.

Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s istim izrazom. Tako da se svi nazivnici smanje! Sve će odmah postati lakše. Objašnjavam na primjeru. Recimo da trebamo riješiti jednadžbu:

Kako su ih učili u osnovnoj školi? Sve prenosimo u jednom smjeru, svodimo na zajednički nazivnik itd. Zaboravite kako ružno sanjate! To je ono što trebate učiniti kada zbrajate ili oduzimate razlomke. Ili radite s nejednakostima. A u jednadžbama odmah množimo oba dijela s izrazom koji će nam dati priliku svesti sve nazivnike (tj. u biti zajedničkim nazivnikom). A koji je to izraz?

Na lijevoj strani, da biste smanjili nazivnik, trebate pomnožiti s x+2. A s desne strane potrebno je množenje s 2. Dakle, jednadžba se mora pomnožiti s 2(x+2). Množimo:

Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali ću detaljno napisati:

Imajte na umu da još ne otvaram zagradu. (x + 2)! Dakle, u cijelosti pišem:

S lijeve strane je skroz reduciran (x+2), a u desnoj 2. Po potrebi! Nakon redukcije dobivamo linearni jednadžba:

Svatko može riješiti ovu jednadžbu! x = 2.

Riješimo još jedan primjer, malo kompliciraniji:

Ako se sjetimo da je 3 = 3/1, i 2x = 2x/ 1 se može napisati:

I opet se rješavamo onoga što nam se baš ne sviđa - od razlomaka.

Vidimo da je za smanjenje nazivnika s x potrebno razlomak pomnožiti s (x - 2). A jedinice nam nisu smetnja. Pa, ajmo množiti. svi lijeva strana i svi desna strana:

Opet zagrade (x - 2) ne otkrivam. Radim sa zagradom kao cjelinom, kao da je jedan broj! To se uvijek mora učiniti, inače se ništa neće smanjiti.

S osjećajem dubokog zadovoljstva režemo (x - 2) i dobijemo jednadžbu bez razlomaka, u ravnalu!

A sada otvaramo zagrade:

Dajemo slične, prenosimo sve na lijevu stranu i dobivamo:

Klasična kvadratna jednadžba. Ali minus naprijed nije dobar. Uvijek ga se možete riješiti množenjem ili dijeljenjem s -1. Ali ako pažljivo pogledate primjer, primijetit ćete da je ovu jednadžbu najbolje podijeliti s -2! Jednim potezom minus će nestati, a koeficijenti će postati ljepši! Dijelimo s -2. S lijeve strane - pojam po pojam, a s desne - samo podijelite nulu s -2, nulu i dobijete:

Rješavamo preko diskriminate i provjeravamo prema Vieta teoremu. Dobivamo x=1 i x=3. Dva korijena.

Kao što vidite, u prvom slučaju jednadžba je nakon transformacije postala linearna, a ovdje je kvadratna. Događa se da se nakon uklanjanja razlomaka svi x-ovi smanjuju. Ostalo je nešto, kao 5=5. To znači da x može biti bilo što. Što god bilo, svejedno će se smanjiti. I shvatite čistu istinu, 5=5. No, nakon što se riješimo razlomaka, može se pokazati da je potpuno neistinito, npr. 2=7. A ovo znači to nema rješenja! S bilo kojim x, ispada da je lažan.

Shvatio glavni put rješenja frakcijske jednadžbe? Jednostavno je i logično. Mijenjamo izvorni izričaj tako da nestane sve što nam se ne sviđa. Ili se miješati. U ovom slučaju, to su razlomci. Učinit ćemo isto sa svima složeni primjeri s logaritmima, sinusima i ostalim strahotama. Mi stalno riješit ćemo se svega ovoga.

Međutim, moramo promijeniti izvorni izraz u smjeru koji nam je potreban prema pravilima, da ... čiji je razvoj priprema za ispit iz matematike. Ovdje učimo.

Sada ćemo naučiti kako zaobići jedan od glavne zasjede na ispitu! Ali prvo, da vidimo padate li u to ili ne?

Uzmimo jednostavan primjer:

Stvar je već poznata, oba dijela množimo s (x - 2), dobivamo:

Zapamtite, sa zagradama (x - 2) radeći s jednim cijeli izraz!

Ovdje više nisam napisao onaj u nazivnicima, nedostojanstveno... I nisam povlačio zagrade u nazivnicima, osim x - 2 nema ništa, ne možete crtati. Skraćujemo:

Otvaramo zagrade, pomičemo sve ulijevo, dajemo slične:

Rješavamo, provjeravamo, dobivamo dva korijena. x = 2 i x = 3. Izvrsno.

Pretpostavimo da u zadatku stoji da treba zapisati korijen ili njihov zbroj ako ima više od jednog korijena. Što ćemo napisati?

Ako odlučite da je odgovor 5, vi upali u zasjedu. I zadatak vam se neće računati. Uzalud su se trudili... Točan odgovor je 3.

Što je bilo?! A ti probaj provjeriti. Zamijenite vrijednosti nepoznatog u početni primjer. A ako na x = 3 sve zajedno raste divno, dobijemo 9 = 9, zatim sa x = 2 podijeli s nulom! Ono što se apsolutno ne može učiniti. Sredstva x = 2 nije rješenje i ne uzima se u obzir u odgovoru. Ovo je takozvani strani ili dodatni korijen. Samo ga odbacujemo. Postoji samo jedan konačni korijen. x = 3.

Kako to?! Čujem ogorčene uzvike. Učili su nas da se jednadžba može pomnožiti s izrazom! to transformacija identiteta!

Da, identično. Pod malim uvjetom - izraz kojim množimo (dijelimo) - različit od nule. ALI x - 2 na x = 2 jednako nuli! Dakle, sve je pošteno.

I što ja sad mogu?! Ne množite izrazom? Provjeravate li svaki put? Opet nejasno!

Mirno! Bez panike!

U ovoj teškoj situaciji spasit će nas tri čarobna slova. Znam što si mislio. Ispravno! to ODZ . Područje važećih vrijednosti.

Važno! Kod korijena parne višestrukosti funkcija ne mijenja predznak.

Bilješka! Svaka nelinearna nejednadžba školskog tečaja algebre mora se riješiti metodom intervala.

Nudim vam detaljan algoritam za rješavanje nejednadžbi metodom intervala, slijedeći koje možete izbjeći pogreške kada rješavanje nelinearnih nejednadžbi.

Riješenje kvadratne jednadžbe s negativnim diskriminantima

Kao što znamo,

ja 2 = - 1.

Međutim,

(- ja ) 2 = (- 1 ja ) 2 = (- 1) 2 ja 2 = -1.

Dakle, postoje najmanje dvije vrijednosti za kvadratni korijen od -1, naime ja i - ja . Ali možda postoje neki drugi kompleksni brojevi čiji su kvadrati - 1?

Da bismo razjasnili ovo pitanje, pretpostavimo da je kvadrat kompleksnog broja a + bi jednako – 1. Zatim

(a + bi ) 2 = - 1,

a 2 + 2abi - b 2 = - 1

Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im jednaki realni dijelovi i koeficijenti imaginarnih dijelova. Zato

{	i 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Prema drugoj jednadžbi sustava (1), barem jedan od brojeva a i b treba biti jednak nuli. Ako a b = 0, tada prva jednadžba daje a 2 = - 1. Broj a stvarno, i stoga a 2 > 0. Nenegativan broj a 2 ne može biti jednako negativan broj- 1. Dakle, jednakost b = 0 u ovom slučaju nije moguće. Ostaje da se prizna da a = 0, ali tada iz prve jednadžbe sustava dobivamo: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Dakle, jedini složeni brojevi čiji su kvadrati -1 su brojevi ja i - ja , ovo se uvjetno piše kao:

√-1 = ± ja .

Sličnim razmišljanjem učenici mogu potvrditi da postoje točno dva broja čiji su kvadrati jednaki negativnom broju - a . Ovi brojevi su √ ai i -√ ai . Konvencionalno se piše ovako:

√- a = ± √ ai .

Pod √ a ovdje se misli na aritmetički, odnosno pozitivni korijen. Na primjer, √4 = 2, √9 =.3; zato

√-4 = + 2ja , √-9= ± 3 ja

Ako smo ranije, razmatrajući kvadratne jednadžbe s negativnim diskriminantima, govorili da takve jednadžbe nemaju korijena, sada to više nije moguće reći. Kvadratne jednadžbe s negativnim diskriminantima imaju kompleksne korijene. Ti se korijeni dobivaju nama poznatim formulama. Neka je, na primjer, dana jednadžba x 2 + 2x + 5 = 0; zatim

x 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 ja .

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: x 1 = - 1 +2ja , x 2 = - 1 - 2ja . Ovi su korijeni međusobno konjugirani. Zanimljivo je primijetiti da je njihov zbroj jednak - 2, a umnožak 5, pa je Vietin teorem ispunjen.

Pojam kompleksnog broja

Kompleksni broj je izraz oblika a + ib, gdje su a i b bilo koji realni brojevi, i je poseban broj, koji se naziva imaginarna jedinica. Za takve izraze, koncepti jednakosti i operacije zbrajanja i množenja uvode se na sljedeći način:

1. Za dva kompleksna broja a + ib i c + id kaže se da su jednaka ako i samo ako
   a = b i c = d.
2. Zbroj dva kompleksna broja a + ib i c + id je kompleksan broj
   a + c + i (b + d).
3. Umnožak dva kompleksna broja a + ib i c + id je kompleksan broj
   ac - bd + i (ad + bc).

Složeni brojevi često se označavaju jednim slovom, kao što je z = a + ib. Realni broj a nazivamo realnim dijelom kompleksnog broja z, realni dio označavamo a = Re z . Realni broj b nazivamo imaginarni dio kompleksnog broja z, imaginarni dio označavamo b = Im z . Takvi se nazivi biraju u vezi sa sljedećim posebnim svojstvima kompleksnih brojeva.

Uočimo da se aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima oblika z = a + i · 0 izvode na potpuno isti način kao i nad realnim brojevima. Stvarno,

Stoga se kompleksni brojevi oblika a + i · 0 prirodno poistovjećuju s realnim brojevima. Zbog toga se kompleksni brojevi ove vrste nazivaju jednostavno stvarnim. Dakle, skup realnih brojeva sadržan je u skupu kompleksnih brojeva. Skup kompleksnih brojeva označavamo s . To smo utvrdili, naime

Za razliku od realnih brojeva, brojevi oblika 0 + ib nazivaju se čisto imaginarnim. Često samo napišite bi , na primjer, 0 + i 3 = 3 i . Čisto imaginarni broj i1 = 1 i = i ima iznenađujuće svojstvo:
Na ovaj način,

№ 4 .1. U matematici, brojevna funkcija je funkcija čije su domene i vrijednosti podskupovi skupova brojeva—općenito skup realnih brojeva ili skup kompleksnih brojeva.

Grafikon funkcije

Fragment grafikona funkcije

Načini postavljanja funkcije

[Uredi] Analitička metoda

Obično se funkcija definira pomoću formule koja uključuje varijable, operacije i elementarne funkcije. Možda dodjeljivanje po komadu, to jest različito za različite vrijednosti argumenta.

[Uredi] Tablični način

Funkcija se može definirati ispisivanjem svih njezinih mogućih argumenata i njihovih vrijednosti. Nakon toga, ako je potrebno, funkcija se može proširiti za argumente koji nisu u tablici, interpolacijom ili ekstrapolacijom. Primjeri su programski vodič, raspored vlakova ili tablica vrijednosti za Booleovu funkciju:

[Uredi] Grafički način

Oscilogram grafički postavlja vrijednost neke funkcije.

Funkcija se može odrediti grafički prikazivanjem skupa točaka njenog grafa na ravnini. To može biti gruba skica kako bi funkcija trebala izgledati ili očitanja uzeta s instrumenta kao što je osciloskop. Ova specifikacija može biti neprecizna, ali u nekim slučajevima druge metode specifikacije uopće se ne mogu primijeniti. Osim toga, ovakav način postavljanja jedan je od najreprezentativnijih, lako razumljivih i kvalitetnih heurističkih analiza funkcije.

[Uredi] Rekurzivni način

Funkcija se može definirati rekurzivno, odnosno kroz samu sebe. U ovom slučaju, neke vrijednosti funkcije određene su kroz druge vrijednosti.

• faktorijel;
• Fibonaccijevi brojevi;
• Ackermanova funkcija.

[Uredi] verbalni način

Funkcija se može opisati riječima prirodnog jezika na neki nedvosmislen način, na primjer, opisivanjem njezinih ulaznih i izlaznih vrijednosti ili algoritma kojim funkcija dodjeljuje korespondencije između tih vrijednosti. Zajedno s grafički, ponekad je to jedini način da se opiše funkcija, iako prirodni jezici nisu tako deterministički kao formalni.

• funkcija koja vraća znamenku u zapisu pi svojim brojem;
• funkcija koja vraća broj atoma u svemiru u određenom trenutku u vremenu;
• funkcija koja uzima osobu kao argument i vraća broj ljudi koji će se roditi na svijetu nakon njenog rođenja

NA moderno društvo sposobnost rada s jednadžbama koje sadrže kvadratnu varijablu može biti korisna u mnogim područjima djelovanja i naširoko se koristi u praksi u znanstvenom i tehničkom razvoju. O tome svjedoči dizajn morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Uz pomoć takvih izračuna određuju se putanje kretanja raznih tijela, uključujući svemirski objekti. Primjeri s rješavanjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektiranju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Mogu vam zatrebati na kampiranju, na sportskim događanjima, u trgovinama pri kupnji iu drugim vrlo uobičajenim situacijama.

Rastavimo izraz na sastavne faktore

Stupanj jednadžbe određen je maksimalnom vrijednošću stupnja varijable koju zadani izraz sadrži. Ako je jednak 2, onda se takva jednadžba zove kvadratna jednadžba.

Ako govorimo jezikom formula, onda se ti izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti do oblika kada se lijeva strana izraza sastoji od tri člana. Među njima: ax 2 (odnosno varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznanica bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve ovo na desnoj strani je jednako 0. U slučaju kada takav polinom nema niti jedan od sastavnih članova, osim osi 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba. Najprije treba razmotriti primjere s rješenjem takvih problema u kojima nije teško pronaći vrijednost varijabli.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani izraza, točnije ax 2 i bx, najlakše je pronaći x stavljanjem varijable u zagrade. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Nadalje, postaje očito da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. To diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo kaže da umnožak dva faktora daje 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednadžbama ove vrste može se opisati kretanje tijela pod djelovanjem gravitacije, koja su se počela kretati iz određene točke, uzete kao ishodište. Ovdje matematički zapis ima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane s 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme proteklo od trenutka kada se tijelo digne do trenutka kada padne, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Rastavljanje izraza na faktore

Gore opisano pravilo omogućuje rješavanje ovih problema u složenijim slučajevima. Razmotrite primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi ove vrste.

X2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpun. Prvo transformiramo izraz i rastavljamo ga na faktore. Dva su: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri s rješenjem kvadratnih jednadžbi u 9. razredu omogućuju ovoj metodi pronalaženje varijable u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada desnu stranu rastavljamo na faktore s varijablom, postoje tri faktora, to jest (x + 1), (x-3) i (x + 3).

Kao rezultat, postaje očito da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -jedan; 3.

Vađenje kvadratnog korijena

Još jedan slučaj nepotpuna jednadžba drugi red je izraz izražen jezikom slova na takav način da desni dio izgrađen je od komponenti ax 2 i c. Ovdje se za dobivanje vrijednosti varijable slobodni član prenosi na desnu stranu, a nakon toga se vadi kvadratni korijen s obje strane jednakosti. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednadžbe. Jedina iznimka su jednakosti koje uopće ne sadrže član c, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada desna strana ispadne negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednadžbi ove vrste.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe bit će brojevi -4 i 4.

Izračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim izračunima pojavila se u davnim vremenima, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima uvelike bio posljedica potrebe da se s najvećom točnošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Također bismo trebali razmotriti primjere s rješavanjem kvadratnih jednadžbi sastavljenih na temelju problema ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravokutni komad zemlje čija je duljina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći duljinu, širinu i opseg mjesta, ako je poznato da je njegova površina 612 m 2.

Prijelazeći na posao, prvo ćemo napraviti potrebnu jednadžbu. Označimo širinu presjeka kao x, tada će njegova duljina biti (x + 16). Iz napisanog slijedi da je površina određena izrazom x (x + 16), koji prema uvjetu našeg zadatka iznosi 612. To znači da je x (x + 16) \u003d 612.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se izvesti na isti način. Zašto? Iako njegova lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov umnožak uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste druge metode.

Diskriminirajući

Prije svega, napravit ćemo potrebne transformacije, tada će izgled ovog izraza izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje a=1, b=16, c= -612.

Ovo može biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi preko diskriminante. Ovdje potrebne kalkulacije proizvedeno prema shemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna vrijednost ne samo da omogućuje pronalaženje željenih vrijednosti u jednadžbi drugog reda, već određuje broj opcije. U slučaju D>0, postoje dva od njih; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminant je: 256 - 4(-612) = 2704. To znači da naš problem ima odgovor. Ako znate, to, rješenje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule u nastavku. Omogućuje vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj dilemi ne može biti rješenje, jer se veličina parcele ne može mjeriti u negativnim vrijednostima, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18+16=34, a opseg 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavanje kvadratnih jednadžbi. U nastavku će biti navedeni primjeri i detaljno rješenje nekoliko njih.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Prenesimo sve na lijevu stranu jednakosti, napravimo transformaciju, odnosno dobijemo oblik jednadžbe koji se obično naziva standardni i izjednačimo ga s nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dodavši slične, određujemo diskriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Dakle, naša jednadžba će imati dva korijena. Izračunavamo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) Sada ćemo otkriti zagonetke druge vrste.

Saznajmo ima li ovdje uopće korijena x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili iscrpan odgovor, polinom dovodimo u odgovarajući poznati oblik i izračunavamo diskriminantu. U ovom primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednadžbu, jer suština problema uopće nije u tome. U ovom slučaju, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, što znači da stvarno nema korijena.

Vietin teorem

Pogodno je rješavati kvadratne jednadžbe pomoću gornjih formula i diskriminante, kada se kvadratni korijen izvlači iz vrijednosti potonje. Ali to se ne događa uvijek. Međutim, postoji mnogo načina za dobivanje vrijednosti varijabli u ovom slučaju. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema. Ime je dobio po čovjeku koji je živio u Francuskoj u 16. stoljeću i imao briljantnu karijeru zahvaljujući svom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret možete vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz primijetio bio je sljedeći. Dokazao je da je zbroj korijena jednadžbe jednak -p=b/a, a njihov umnožak odgovara q=c/a.

Sada pogledajmo konkretne zadatke.

3x2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Korištenjem Vieta teorema, to će nam dati sljedeće: zbroj korijena je -7, a njihov umnožak je -18. Odavde dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon što smo izvršili provjeru, uvjerit ćemo se da se ove vrijednosti varijabli stvarno uklapaju u izraz.

Graf i jednadžba parabole

Pojmovi kvadratne funkcije i kvadratnih jednadžbi usko su povezani. Primjeri toga već su ranije navedeni. Sada pogledajmo neke matematičke zagonetke malo detaljnije. Bilo koja jednadžba opisane vrste može se prikazati vizualno. Takva ovisnost, nacrtana u obliku grafikona, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno točku iz koje izlaze njeni ogranci. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u točkama gdje se linija grafikona siječe s 0x. Koordinate vrha mogu se pronaći upravo navedenom formulom x 0 = -b / 2a. I, zamjenom dobivene vrijednosti u izvornu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole koja pripada y-osi.

Sjecište grana parabole s osi apscisa

Postoji mnogo primjera s rješavanjem kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Razmotrimo ih. Jasno je da je sjecište grafa s 0x osi za a>0 moguće samo ako y 0 poprima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole također možete odrediti korijene. Vrijedi i obrnuto. Odnosno, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza s 0 i riješiti dobivenu jednadžbu. A poznavajući točke sjecišta s osi 0x, lakše je crtati.

Iz povijesti

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže kvadratnu varijablu, u stara vremena, ne samo da su radili matematičke izračune i određivali površinu geometrijskih oblika. Starim ljudima su takvi izračuni bili potrebni za grandiozna otkrića na polju fizike i astronomije, kao i za izradu astroloških prognoza.

Kao što moderni znanstvenici sugeriraju, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su riješili kvadratne jednadžbe. Dogodilo se to četiri stoljeća prije početka naše ere. Naravno, njihovi izračuni bili su bitno drugačiji od onih koji su trenutno prihvaćeni i pokazali su se mnogo primitivnijima. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Također nisu bili upoznati s drugim suptilnostima koje su poznate bilo kojem studentu našeg vremena.

Možda čak i prije babilonskih znanstvenika, indijski mudrac Baudhayama prihvatio se rješavanja kvadratnih jednadžbi. To se dogodilo oko osam stoljeća prije dolaska Kristove ere. Istina, jednadžbe drugog reda, metode za rješavanje kojih je dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, slična su pitanja u stara vremena zanimala i kineske matematičare. U Europi su se kvadratne jednadžbe počele rješavati tek početkom 13. stoljeća, no kasnije su ih u svom radu koristili veliki znanstvenici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.

Zadaci za kvadratnu jednadžbu proučavaju se iu školskom kurikulumu i na sveučilištima. One se shvaćaju kao jednadžbe oblika a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, gdje x- varijabla, a,b,c – konstante; a<>0 . Problem je pronaći korijene jednadžbe.

Geometrijsko značenje kvadratne jednadžbe

Graf funkcije koja je predstavljena kvadratnom jednadžbom je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su točke presjeka parabole s osi x. Slijedi da postoje tri moguća slučaja:
1) parabola nema sjecišta s x-osi. To znači da je u gornjoj ravnini s granama prema gore ili u donjoj s granama prema dolje. U takvim slučajevima kvadratna jednadžba nema pravih korijena (ima dva kompleksna korijena).

2) parabola ima jednu sjecišnu točku s osi Ox. Takva se točka naziva vrhom parabole, a kvadratna jednadžba u njoj dobiva svoju najmanju ili najveću vrijednost. U ovom slučaju kvadratna jednadžba ima jedan pravi korijen (ili dva jednaka korijena).

3) Praktično je zanimljiviji posljednji slučaj - postoje dvije točke sjecišta parabole s osi apscisa. To znači da postoje dva stvarna korijena jednadžbe.

Na temelju analize koeficijenata pri potencijama varijabli mogu se izvući zanimljivi zaključci o položaju parabole.

1) Ako je koeficijent a veći od nule, onda je parabola usmjerena prema gore, ako je negativan, grane parabole su usmjerene prema dolje.

2) Ako je koeficijent b veći od nule, tada vrh parabole leži u lijevoj poluravnini, a ako poprima negativnu vrijednost, onda u desnoj.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe

Prenesimo konstantu iz kvadratne jednadžbe

za znak jednakosti dobivamo izraz

Pomnožite obje strane s 4a

Da biste dobili puni kvadrat s lijeve strane, dodajte b ^ 2 u oba dijela i izvršite transformaciju

Odavde nalazimo

Formula diskriminante i korijena kvadratne jednadžbe

Diskriminanta je vrijednost radikalnog izraza. Ako je pozitivna, onda jednadžba ima dva realna korijena, izračunata formulom Kada je diskriminant nula, kvadratna jednadžba ima jedno rješenje (dva korijena koja se podudaraju), što je lako dobiti iz gornje formule za D = 0. Kada je diskriminant negativan, nema pravih korijena. Međutim, za proučavanje rješenja kvadratne jednadžbe u kompleksnoj ravnini njihova se vrijednost izračunava formulom

Vietin teorem

Promotrimo dva korijena kvadratne jednadžbe i na njihovoj osnovi konstruiramo kvadratnu jednadžbu. Sam Vieta teorem lako slijedi iz oznake: ako imamo kvadratnu jednadžbu oblika tada je zbroj njezinih korijena jednak koeficijentu p, uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu q. Formula za gornje izgledat će ovako: Ako je konstanta a u klasičnoj jednadžbi različita od nule, tada trebate podijeliti cijelu jednadžbu s njom, a zatim primijeniti Vieta teorem.

Raspored kvadratne jednadžbe na faktore

Neka je postavljen zadatak: rastaviti kvadratnu jednadžbu na faktore. Da bismo to izveli, prvo riješimo jednadžbu (pronađemo korijene). Zatim zamijenimo pronađene korijene u formulu za proširenje kvadratne jednadžbe.Ovaj problem će biti riješen.

Zadaci za kvadratnu jednadžbu

Zadatak 1. Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

x^2-26x+120=0 .

Rješenje: Zapišite koeficijente i zamijenite ih u formulu za diskriminaciju

Korijen ove vrijednosti je 14, lako ga je pronaći kalkulatorom ili ga zapamtiti čestim korištenjem, međutim, radi praktičnosti, na kraju članka dat ću vam popis kvadrata brojeva koji se često mogu naći u takvim zadacima.
Pronađena vrijednost zamjenjuje se u korijensku formulu

i dobivamo

Zadatak 2. riješiti jednadžbu

2x2+x-3=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednadžbu, ispišite koeficijente i pronađite diskriminant


Koristeći poznate formule nalazimo korijene kvadratne jednadžbe

Zadatak 3. riješiti jednadžbu

9x2 -12x+4=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednadžbu. Odredite diskriminantu

Dobili smo slučaj kada se korijeni podudaraju. Vrijednosti korijena nalazimo pomoću formule

Zadatak 4. riješiti jednadžbu

x^2+x-6=0 .

Rješenje: U slučajevima kada postoje mali koeficijenti za x, preporučljivo je primijeniti Vietin teorem. Njegovim uvjetom dobivamo dvije jednadžbe

Iz drugog uvjeta dobivamo da umnožak mora biti jednak -6. To znači da je jedan od korijena negativan. Imamo sljedeći mogući par rješenja (-3;2), (3;-2) . Uzimajući u obzir prvi uvjet, odbacujemo drugi par rješenja.
Korijeni jednadžbe su

Zadatak 5. Odredite duljine stranica pravokutnika ako mu je opseg 18 cm, a površina 77 cm 2.

Rješenje: Polovica opsega pravokutnika jednaka je zbroju susjednih stranica. Označimo x - veću stranicu, tada je 18-x njena manja stranica. Površina pravokutnika jednaka je umnošku ovih duljina:
x(18x)=77;
ili
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Odredite diskriminant jednadžbe

Izračunavamo korijene jednadžbe

Ako a x=11, zatim 18x=7 , vrijedi i obrnuto (ako je x=7, tada je 21-x=9).

Zadatak 6. Faktorizirajte kvadratnu 10x 2 -11x+3=0 jednadžbu.

Rješenje: Izračunajte korijene jednadžbe, za to ćemo pronaći diskriminantu

Pronađenu vrijednost zamijenimo formulom korijena i izračunamo

Primjenjujemo formulu za proširenje kvadratne jednadžbe na korijene

Proširujući zagrade, dobivamo identitet.

Kvadratna jednadžba s parametrom

Primjer 1. Za koje vrijednosti parametra a , ima li jednadžba (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 jedan korijen?

Rješenje: Izravnom zamjenom vrijednosti a=3 vidimo da nema rješenja. Zatim koristimo činjenicu da s diskriminantom nula, jednadžba ima jedan korijen višestrukosti 2. Napišimo diskriminantu

pojednostaviti ga i izjednačiti s nulom

Dobili smo kvadratnu jednadžbu s obzirom na parametar a, čije je rješenje lako dobiti pomoću Vieta teorema. Zbroj korijena je 7, a njihov umnožak 12. Jednostavnim nabrajanjem utvrđujemo da će brojevi 3.4 biti korijeni jednadžbe. Kako smo rješenje a=3 već odbacili na početku izračuna, jedino ispravno bit će - a=4. Dakle, za a = 4, jednadžba ima jedan korijen.

Primjer 2. Za koje vrijednosti parametra a , jednadžba a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ima više od jednog korijena?

Rješenje: Razmotrite prvo singularne točke, one će biti vrijednosti a=0 i a=-3. Kada je a=0, jednadžba će biti pojednostavljena na oblik 6x-9=0; x=3/2 i bit će jedan korijen. Za a= -3 dobivamo identitet 0=0 .
Izračunaj diskriminant

i pronađite vrijednosti a za koje je on pozitivan

Iz prvog uvjeta dobivamo a>3. Za drugu, nalazimo diskriminant i korijene jednadžbe


Definirajmo intervale u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti. Zamjenom točke a=0 dobivamo 3>0 . Dakle, izvan intervala (-3; 1/3) funkcija je negativna. Ne zaboravi točku a=0 koju treba isključiti, jer izvorna jednadžba u njoj ima jedan korijen.
Kao rezultat, dobivamo dva intervala koji zadovoljavaju uvjet problema

U praksi će biti mnogo sličnih zadataka, pokušajte sami riješiti zadatke i ne zaboravite uzeti u obzir uvjete koji se međusobno isključuju. Dobro proučite formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi, one su vrlo često potrebne u proračunima u raznim problemima i znanostima.