U jednom možete biti sto posto sigurni da će svaka odrasla osoba na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze hrabro odgovoriti: "Zbroj kvadrata kateta." Ova je teorija čvrsto usađena u svijesti. obrazovana osoba, ali dovoljno je samo tražiti od nekoga da to dokaže, a onda mogu nastati poteškoće. Stoga se prisjetimo i razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.
Kratak pregled biografije
Pitagorin teorem poznat je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ga je proizvela nije toliko popularna. Popravit ćemo to. Stoga, prije proučavanja različitih načina dokazivanja Pitagorinog teorema, trebate se ukratko upoznati s njegovom osobnošću.
Pitagora - filozof, matematičar, mislilac, porijeklom iz Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikana. No, kako slijedi iz spisa njegovih sljedbenika, Pitagora sa Samosa rođen je na otoku Samosu. Otac mu je bio običan kamenorezac, a majka je bila iz plemićke obitelji.
Prema legendi, rođenje Pitagore predvidjela je žena po imenu Pitija, u čiju je čast dječak i dobio ime. Prema njezinu predviđanju, rođeni dječak trebao je donijeti mnoge dobrobiti i dobra čovječanstvu. Što je zapravo i učinio.
Rođenje teoreme
Pitagora se u mladosti preselio u Egipat kako bi tamo upoznao poznate egipatske mudrace. Nakon susreta s njima, primljen je na studij, gdje je upoznao sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.
Vjerojatno je u Egiptu Pitagora bio inspiriran veličanstvom i ljepotom piramida te je stvorio svoje velika teorija. Ovo bi moglo šokirati čitatelje, ali moderni povjesničari smatraju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Ali svoje je znanje samo prenio svojim sljedbenicima, koji su kasnije izvršili sve potrebne matematičke izračune.
Bilo kako bilo, danas nije poznata jedna tehnika za dokazivanje ovog teorema, već nekoliko odjednom. Danas možemo samo nagađati kako su točno stari Grci izvodili svoje izračune, pa ćemo ovdje razmotriti različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.
Pitagorin poučak
Prije nego počnete s bilo kakvim izračunima, morate shvatiti koju teoriju dokazati. Pitagorin teorem zvuči ovako: "U trokutu u kojem je jedan od kutova 90 o, zbroj kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."
Ukupno postoji 15 različitih načina da se dokaže Pitagorin teorem. Ovo je prilično velik broj, pa obratimo pozornost na najpopularnije od njih.
Prva metoda
Prvo definirajmo što imamo. Ovi podaci također će se primijeniti na druge načine dokazivanja Pitagorinog teorema, tako da se trebate odmah sjetiti svih dostupnih notacija.
Pretpostavimo da je dan pravokutni trokut s katetama a, b i hipotenuzom jednakom c. Prvi način dokazivanja temelji se na činjenici da pravokutni trokut trebate nacrtati kvadrat.
Da biste to učinili, morate nacrtati segment jednak kraku u dužini kraka a, i obrnuto. Dakle, trebalo bi ispasti dvije jednake strane kvadrata. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne linije, a kvadrat je spreman.
Unutar dobivene figure morate nacrtati još jedan kvadrat sa stranom jednakom hipotenuzi izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz ac i s vrhova, morate nacrtati dva paralelni segment jednak sa. Tako dobivamo tri stranice kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza izvornog pravokutnog trokuta. Ostaje samo nacrtati četvrti segment.
Na temelju dobivene figure možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutar figure, možete vidjeti da osim unutarnjeg kvadrata ima četiri pravokutna trokuta. Površina svake je 0,5 av.
Prema tome, površina je: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2
Stoga je (a + c) 2 \u003d 2av + c 2
I, dakle, s 2 \u003d 2 + u 2
Teorem je dokazan.
Druga metoda: slični trokuti
Ova formula za dokaz Pitagorinog teorema izvedena je na temelju tvrdnje iz dijela geometrije o sličnim trokutima. Kaže da je krak pravokutnog trokuta sredina proporcionalna hipotenuzi i hipotenuzi koja izlazi iz vrha kuta od 90o.
Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo isječak CD okomit na stranicu AB. Na temelju gornje tvrdnje, kraci trokuta su jednaki:
AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.
Da bismo odgovorili na pitanje kako dokazati Pitagorin teorem, dokaz se mora postaviti kvadriranjem obje nejednakosti.
AC 2 \u003d AB * HELL i SV 2 \u003d AB * DV
Sada trebamo zbrojiti dobivene nejednakosti.
AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), gdje je AD + DV \u003d AB
Ispostavilo se da:
AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB
I stoga:
AC 2 + CB 2 \u003d AB 2
Dokaz Pitagorinog poučka i različiti načini njegova rješavanja zahtijevaju svestran pristup ovom problemu. Međutim, ova je opcija jedna od najjednostavnijih.
Druga metoda izračuna
Opis različitih načina dokazivanja Pitagorinog teorema možda neće reći ništa, sve dok ne počnete sami vježbati. Mnoge metode uključuju ne samo matematičke izračune, već i konstrukciju novih figura iz izvornog trokuta.
NA ovaj slučaj potrebno je dovršiti još jedan pravokutni trokut VSD od kraka zrakoplova. Dakle, sada postoje dva trokuta sa zajedničkom krakom BC.
Znajući da površine sličnih figura imaju omjer kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija, tada:
S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2
S avs * (od 2 do 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)
od 2 do 2 \u003d a 2
c 2 \u003d a 2 + u 2
Budući da je ova opcija teško prikladna za različite metode dokazivanja Pitagorinog teorema za 8. razred, možete koristiti sljedeću tehniku.
Najlakši način za dokazati Pitagorin teorem. Recenzije
Povjesničari vjeruju da je ova metoda prvi put korištena za dokazivanje teorema u staroj Grčkoj. To je najjednostavnije, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve izračune. Ako ispravno nacrtate sliku, onda će dokaz tvrdnje da je a 2 + b 2 \u003d c 2 biti jasno vidljiv.
Uvjeti za ovu metodu bit će malo drugačiji od prethodnog. Da bismo dokazali teorem, pretpostavimo da je pravokutni trokut ABC jednakokračan.
Uzimamo hipotenuzu AC kao stranicu kvadrata i nacrtamo njegove tri stranice. Osim toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne crte u rezultirajućem kvadratu. Tako da unutar njega dobijete četiri jednakokračna trokuta.
Na noge AB i CB također trebate nacrtati kvadrat i u svakom od njih nacrtati po jednu dijagonalnu liniju. Crtamo prvu liniju iz vrha A, drugu - iz C.
Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Budući da na hipotenuzi AC postoje četiri trokuta, jednaka prvotnom, a dva na katetama, to ukazuje na istinitost ovog teorema.
Usput, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorinog teorema, rođena je poznata fraza: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima."
Dokaz J. Garfielda
James Garfield je 20. predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio trag u povijesti kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadaren samouk.
U početku svoje karijere bio je obični učitelj pučke škole, ali je ubrzo postao ravnatelj jedne od viših škola. obrazovne ustanove. Želja za samorazvojem omogućila mu je i ponudu nova teorija dokaz Pitagorine teoreme. Teorem i primjer njegovog rješenja su sljedeći.
Prvo morate nacrtati dva pravokutna trokuta na komadu papira tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog. Vrhove ovih trokuta potrebno je spojiti kako bi na kraju dobili trapez.
Kao što znate, površina trapeza jednaka je umnošku polovice zbroja njegovih baza i visine.
S=a+b/2 * (a+b)
Ako promatramo dobiveni trapez kao lik koji se sastoji od tri trokuta, tada se njegovo područje može pronaći na sljedeći način:
S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2
Sada moramo izjednačiti dva izvorna izraza
2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2
c 2 \u003d a 2 + u 2
O Pitagorinom teoremu i kako ga dokazati može se napisati više od jednog sveska vodič za učenje. Ali ima li to smisla kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?
Praktična primjena Pitagorinog poučka
Nažalost, u modernom školski programi Ovaj teorem je namijenjen samo za korištenje u geometrijski problemi. Maturanti će uskoro napustiti školske zidove ne znajući kako svoje znanje i vještine mogu primijeniti u praksi.
Zapravo, svatko može koristiti Pitagorin teorem u svom svakodnevnom životu. I ne samo u profesionalna djelatnost ali i u normalnim kućanskim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorin teorem i metode njegovog dokaza mogu biti iznimno potrebni.
Veza teoreme i astronomije
Čini se kako se zvijezde i trokuti mogu povezati na papiru. Zapravo, astronomija je znanstveno područje u kojem se Pitagorin teorem široko koristi.
Na primjer, razmotrimo kretanje svjetlosne zrake u prostoru. Znamo da svjetlost putuje u oba smjera istom brzinom. Putanju AB kojom se giba svjetlosna zraka nazivamo l. I pola vremena potrebnog svjetlu da stigne od točke A do točke B, nazovimo t. I brzina snopa - c. Ispostavilo se da: c*t=l
Ako pogledate tu istu zraku iz druge ravnine, na primjer, iz svemirskog broda koji se kreće brzinom v, tada će se takvim promatranjem tijela njihova brzina promijeniti. U tom slučaju će se i nepokretni elementi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.
Recimo da komični brod plovi udesno. Tada će se točke A i B, između kojih zraka juri, pomaknuti ulijevo. Štoviše, kada se zraka pomakne od točke A do točke B, točka A ima vremena za pomicanje i, sukladno tome, svjetlost će već stići u novu točku C. Da biste pronašli polovicu udaljenosti za koju se točka A pomaknula, morate pomnožiti brzinu košuljice za polovinu vremena putovanja grede (t").
A da biste saznali koliko bi zraka svjetlosti mogla prijeći za to vrijeme, trebate označiti polovicu puta nove bukve i dobiti sljedeći izraz:
Ako zamislimo da su svjetlosne točke C i B, kao i svemirska linija, vrhovi jednakokračnog trokuta, tada će segment od točke A do linije dijeliti na dva pravokutna trokuta. Stoga, zahvaljujući Pitagorinom teoremu, možete pronaći udaljenost koju bi zraka svjetlosti mogla prijeći.
Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer samo rijetki mogu imati sreće da ga isprobaju u praksi. Stoga razmatramo svjetovnije primjene ovog teorema.
Domet prijenosa mobilnog signala
Suvremeni život više se ne može zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali koliko bi oni bili od koristi da ne mogu povezati pretplatnike putem mobilnih komunikacija?!
Kvaliteta mobilne komunikacije izravno ovisi o visini na kojoj se nalazi antena mobilnog operatera. Kako biste izračunali koliko daleko od mobilnog tornja telefon može primiti signal, možete primijeniti Pitagorin teorem.
Recimo da trebate pronaći približnu visinu stacionarnog tornja tako da može širiti signal unutar radijusa od 200 kilometara.
AB (visina tornja) = x;
BC (radijus prijenosa signala) = 200 km;
OS (radijus globus) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Primjenom Pitagorinog poučka dolazimo do saznanja da bi minimalna visina tornja trebala biti 2,3 kilometra.
Pitagorin teorem u svakodnevnom životu
Začudo, Pitagorin teorem može biti koristan čak iu svakodnevnim stvarima, kao što je određivanje visine ormara, na primjer. Na prvi pogled, nema potrebe za korištenjem tako složenih izračuna, jer možete jednostavno izvršiti mjerenja mjernom trakom. Ali mnogi su iznenađeni zašto se pojavljuju određeni problemi tijekom procesa montaže ako su sva mjerenja uzeta više nego točno.
Činjenica je da se ormar sastavlja u vodoravnom položaju i tek tada se podiže i postavlja na zid. Stoga bočna stijenka ormara u procesu podizanja konstrukcije mora slobodno prolaziti i po visini i po dijagonali prostorije.
Pretpostavimo da postoji ormar s dubinom od 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja reći će da visina ormara treba biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.
Uz idealne dimenzije ormara, provjerimo djelovanje Pitagorinog poučka:
AC \u003d √AB 2 + √BC 2
AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - sve se konvergira.
Recimo da visina ormara nije 2474 mm, već 2505 mm. Zatim:
AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.
Stoga ovaj ormar nije prikladan za ugradnju u ovu prostoriju. Budući da se prilikom podizanja u okomiti položaj može oštetiti tijelo.
Možda, razmatrajući različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema od strane različitih znanstvenika, možemo zaključiti da je to više nego istinito. Sada možete koristiti dobivene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi izračuni biti ne samo korisni, već i točni.
» Počasni profesor matematike na Sveučilištu Warwick, poznati popularizator znanosti Ian Stewart, posvetio se ulozi brojeva u povijesti čovječanstva i važnosti njihovog proučavanja u našem vremenu.
Pitagorina hipotenuza
Pitagorini trokuti imaju pravi kut i cijele stranice. U najjednostavnijem od njih, najdulja stranica ima duljinu 5, ostale su 3 i 4. Postoji 5 pravilni poliedri. Jednadžba petog stupnja ne može se riješiti s korijenima petog stupnja - ili bilo kojim drugim korijenima. Rešetke u ravnini iu trodimenzionalnom prostoru nemaju rotacijsku simetriju s pet režnjeva; stoga takve simetrije također nema u kristalima. Međutim, mogu biti na rešetkama četverodimenzionalni prostor i u neobičnim strukturama poznatim kao kvazikristali.
Hipotenuza najmanje Pitagorine trojke
Pitagorin poučak kaže da je najdulja stranica pravokutnog trokuta (poslovična hipotenuza) povezana s druge dvije stranice tog trokuta na vrlo jednostavan i lijep način: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrati druge dvije stranice.
Tradicionalno, ovaj teorem nazivamo po Pitagori, ali zapravo je njegova povijest prilično nejasna. Glinene pločice sugeriraju da su stari Babilonci poznavali Pitagorin teorem puno prije samog Pitagore; slavu otkrivača donio mu je matematički kult Pitagorejaca, čiji su pristaše vjerovali da se svemir temelji na numeričkim obrascima. Antički autori pripisivali su pitagorejcima – a samim tim i Pitagori – razne matematičke teoreme, ali mi zapravo nemamo pojma kakvom se matematikom bavio sam Pitagora. Ne znamo ni jesu li Pitagorejci mogli dokazati Pitagorin teorem ili su jednostavno vjerovali da je istinit. Ili su, vjerojatnije, imali uvjerljive podatke o njegovoj istinitosti, koji ipak ne bi bili dovoljni za ono što danas smatramo dokazom.
Dokazi o Pitagori
Prvi poznati dokaz Pitagorinog teorema nalazi se u Euklidovim Elementima. Ovo je prilično kompliciran dokaz pomoću crteža koji bi viktorijanski školarci odmah prepoznali kao "Pitagorine hlače"; crtež stvarno podsjeća na gaće koje se suše na užetu. Poznate su doslovno stotine drugih dokaza, od kojih većina čini tvrdnju očiglednijom.
// Riža. 33. Pitagorine hlače
Jedan od najjednostavnijih dokaza je vrsta matematičke zagonetke. Uzmite bilo koji pravokutni trokut, napravite ga u četiri kopije i skupite ih unutar kvadrata. S jednim polaganjem, vidimo kvadrat na hipotenuzi; s drugim - kvadrati na druge dvije strane trokuta. Jasno je da su površine u oba slučaja jednake.
// Riža. 34. Lijevo: kvadrat na hipotenuzi (plus četiri trokuta). Desno: zbroj kvadrata na druge dvije stranice (plus ista četiri trokuta). Sada uklonite trokute
Disekcija Perigala još je jedan zagonetni dokaz.
// Riža. 35. Disekcija Perigala
Postoji i dokaz teorema korištenjem slaganja kvadrata na ravninu. Možda su pitagorejci ili njihovi nepoznati prethodnici tako otkrili ovaj teorem. Ako pogledate kako se kosi kvadrat preklapa s druga dva kvadrata, možete vidjeti kako izrezati veliki kvadrat na komade i zatim ih sastaviti u dva manja kvadrata. Također možete vidjeti pravokutne trokute čije stranice daju dimenzije tri uključena kvadrata.
// Riža. 36. Dokaz popločavanjem
Postoje zanimljivi dokazi koji koriste slične trokute u trigonometriji. Poznato je najmanje pedeset različitih dokaza.
Pitagorine trojke
U teoriji brojeva, Pitagorin teorem postao je izvor plodne ideje: pronaći cjelobrojna rješenja algebarskih jednadžbi. Pitagorina trojka je skup cijelih brojeva a, b i c takav da je
Geometrijski, takva trojka definira pravokutni trokut s cijelim brojem stranica.
Najmanja hipotenuza Pitagorine trojke je 5.
Druge dvije stranice ovog trokuta su 3 i 4. Ovdje
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Sljedeća najveća hipotenuza je 10 jer
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Međutim, ovo je u biti isti trokut s udvostručenim stranicama. Sljedeća najveća i uistinu različita hipotenuza je 13, za što
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Euklid je znao da postoji beskonačan broj različitih varijacija Pitagorinih trojki i dao je ono što bi se moglo nazvati formulom za njihovo sve pronalaženje. Kasnije je Diofant iz Aleksandrije ponudio jednostavan recept, u osnovi isti kao Euklidov.
Uzmite bilo koja dva prirodna broja i izračunajte:
njihov dvostruki umnožak;
razlika njihovih kvadrata;
zbroj njihovih kvadrata.
Tri dobivena broja bit će stranice Pitagorinog trokuta.
Uzmimo, na primjer, brojeve 2 i 1. Izračunaj:
dvostruki umnožak: 2 × 2 × 1 = 4;
razlika kvadrata: 22 - 12 = 3;
zbroj kvadrata: 22 + 12 = 5,
i dobili smo poznati trokut 3-4-5. Ako umjesto toga uzmemo brojeve 3 i 2, dobit ćemo:
dvostruki umnožak: 2 × 3 × 2 = 12;
razlika kvadrata: 32 - 22 = 5;
zbroj kvadrata: 32 + 22 = 13,
i dobivamo sljedeći poznati trokut 5 - 12 - 13. Pokušajmo uzeti brojeve 42 i 23 i dobiti:
dvostruki umnožak: 2 × 42 × 23 = 1932;
razlika kvadrata: 422 - 232 = 1235;
zbroj kvadrata: 422 + 232 = 2293,
nitko nikada nije čuo za trokut 1235-1932-2293.
Ali i ove brojke djeluju:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
Postoji još jedna značajka Diofantovog pravila koja je već nagoviještena: nakon što smo primili tri broja, možemo uzeti još jedan proizvoljan broj i sve ih pomnožiti s njim. Dakle, trokut 3-4-5 može se pretvoriti u trokut 6-8-10 množenjem svih stranica s 2 ili u trokut 15-20-25 množenjem svega s 5.
Prijeđemo li na jezik algebre, pravilo ima sljedeći oblik: neka su u, v i k prirodni brojevi. Zatim pravokutni trokut sa stranicama
2kuv i k (u2 - v2) ima hipotenuzu
Postoje i drugi načini predstavljanja glavne ideje, ali svi se svode na gore opisani. Ova metoda vam omogućuje da dobijete sve pitagorejske trojke.
Pravilni poliedri
Postoji točno pet pravilnih poliedara. Pravilni poliedar (ili poliedar) je trodimenzionalni lik s konačnim brojem ravnih stranica. Fasete međusobno konvergiraju na linijama koje se nazivaju rubovi; bridovi se sastaju u točkama koje se nazivaju vrhovi.
Vrhunac euklidskih "Početaka" je dokaz da može postojati samo pet pravilnih poliedara, odnosno poliedara kod kojih je svaka ploha pravilan mnogokut (jednakih stranica, jednaki kutovi), sve su plohe identične i svi su vrhovi okruženi jednakim brojem jednako razmaknutih ploha. Evo pet pravilnih poliedara:
tetraedar s četiri trokutasta lica, četiri vrha i šest bridova;
kocka, ili heksaedar, sa 6 kvadratnih lica, 8 vrhova i 12 rubova;
oktaedar s 8 trokutastih stranica, 6 vrhova i 12 bridova;
dodekaedar s 12 peterokutnih stranica, 20 vrhova i 30 bridova;
ikosaedar s 20 trokutastih stranica, 12 vrhova i 30 bridova.
// Riža. 37. Pet pravilnih poliedara
U prirodi se mogu naći i pravilni poliedri. Godine 1904. Ernst Haeckel objavio je crteže sićušnih organizama poznatih kao radiolarijani; mnogi od njih imaju oblik istih pet pravilnih poliedara. Možda je, međutim, malo ispravio prirodu, a crteži ne odražavaju u potpunosti oblik određenih živih bića. Prve tri strukture također se uočavaju u kristalima. U kristalima nećete pronaći dodekaedar i ikozaedar, iako se tamo ponekad naiđu na nepravilne dodekaedre i ikozaedre. Pravi dodekaedri mogu se pojaviti kao kvazikristali, koji su na sve načine slični kristalima, osim što njihovi atomi ne tvore periodičku rešetku.
// Riža. 38. Crteži Haeckela: radiolarije u obliku pravilnih poliedra
// Riža. 39. Razvoji pravilnih poliedara
Može biti zanimljivo izraditi modele pravilnih poliedara od papira tako da prvo izrežete niz međusobno povezanih stranica - to se zove poliedarski pregled; sken je savijen duž rubova i odgovarajući rubovi su zalijepljeni zajedno. Korisno je dodati dodatno područje za ljepilo na jedan od rubova svakog takvog para, kao što je prikazano na sl. 39. Ako nema takve platforme, možete koristiti ljepljivu traku.
Jednadžba petog stupnja
Ne postoji algebarska formula za rješavanje jednadžbi 5. stupnja.
NA opći pogled Peta jednadžba izgleda ovako:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.
Problem je pronaći formulu za rješavanje takve jednadžbe (može imati do pet rješenja). Iskustvo s kvadratnim i kubnim jednadžbama, kao i s jednadžbama četvrtog stupnja, sugerira da bi takva formula trebala postojati i za jednadžbe petog stupnja, a teoretski bi se korijeni petog, trećeg i drugog stupnja trebali pojaviti u to. Opet, sa sigurnošću se može pretpostaviti da će se takva formula, ako postoji, pokazati vrlo, vrlo kompliciranom.
Ta se pretpostavka na kraju pokazala pogrešnom. Doista, takva formula ne postoji; barem ne postoji formula koja se sastoji od koeficijenata a, b, c, d, e i f, sastavljenih pomoću zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, kao i vađenja korijena. Dakle, postoji nešto vrlo posebno u vezi s brojem 5. Razlozi ovakvog neobičnog ponašanja petorke su vrlo duboki i trebalo je dosta vremena da ih se shvati.
Prvi znak problema bio je taj da ma koliko se matematičari trudili pronaći takvu formulu, ma koliko bili pametni, uvijek nisu uspijevali. Neko su vrijeme svi vjerovali da razlozi leže u nevjerojatnoj složenosti formule. Vjerovalo se da ovu algebru jednostavno nitko ne može ispravno razumjeti. Međutim, s vremenom su neki matematičari počeli sumnjati da takva formula uopće postoji, a 1823. godine Niels Hendrik Abel uspio je dokazati suprotno. Ne postoji takva formula. Ubrzo nakon toga, Évariste Galois pronašao je način da odredi je li jednadžba jednog ili drugog stupnja - 5., 6., 7., općenito bilo koje - rješiva pomoću ove vrste formule.
Zaključak iz svega je jednostavan: broj 5 je poseban. Možete riješiti algebarske jednadžbe (koristeći korijeni nth stupnjeva za različite vrijednosti n) za stupnjeve 1, 2, 3 i 4, ali ne i za 5. stupanj. Ovdje očiti obrazac završava.
Nitko se ne čudi što se jednadžbe potencija većih od 5 ponašaju još gore; posebice imaju iste poteškoće: br opće formule za njihovo rješenje. To ne znači da jednadžbe nemaju rješenja; to također ne znači da je nemoguće pronaći vrlo precizne numeričke vrijednosti ovih rješenja. Sve je u ograničenjima tradicionalnih algebarskih alata. Ovo podsjeća na nemogućnost trosječenja kuta ravnalom i šestarom. Odgovor postoji, ali navedene metode nisu dovoljne i ne dopuštaju vam da utvrdite o čemu se radi.
Kristalografsko ograničenje
Kristali u dvije i tri dimenzije nemaju rotacijsku simetriju od 5 zraka.
Atomi u kristalu tvore rešetku, odnosno strukturu koja se periodički ponavlja u nekoliko neovisnih smjerova. Na primjer, uzorak na tapetama se ponavlja duž duljine role; osim toga, obično se ponavlja u vodoravnom smjeru, ponekad s pomakom s jednog komada tapete na drugi. U biti, tapeta je dvodimenzionalni kristal.
Postoji 17 varijanti uzoraka tapeta u avionu (vidi poglavlje 17). Razlikuju se u vrstama simetrije, odnosno u načinima krutog pomicanja uzorka tako da leži točno na sebi u svom izvornom položaju. Tipovi simetrije uključuju, posebice, različite varijante rotacijske simetrije, gdje se uzorak treba zakrenuti za određeni kut oko određene točke - središta simetrije.
Redoslijed simetrije rotacije je koliko puta možete rotirati tijelo do punog kruga tako da se svi detalji slike vrate u svoje prvobitne položaje. Na primjer, rotacija od 90° je rotacijska simetrija 4. reda*. Popis mogućih tipova rotacijske simetrije u kristalnoj rešetki ponovno ukazuje na neobičnost broja 5: njega nema. Postoje varijante s rotacijskom simetrijom 2., 3., 4. i 6. reda, ali nijedan uzorak tapete nema 5. red rotacijske simetrije. U kristalima također ne postoji rotacijska simetrija reda većeg od 6, ali se prvo kršenje niza ipak događa kod broja 5.
Isto se događa s kristalografskim sustavima u trodimenzionalnom prostoru. Ovdje se rešetka ponavlja u tri neovisna smjera. Postoji 219 različite vrste simetrija, ili 230 ako računate zrcalni odraz crtež kao njegova zasebna verzija - štoviše, u ovom slučaju nema zrcalne simetrije. Opet, promatraju se rotacijske simetrije reda 2, 3, 4 i 6, ali ne i 5. Ova se činjenica naziva kristalografsko ograničenje.
U četverodimenzionalnom prostoru postoje rešetke s 5. redom simetrije; općenito, za rešetke dovoljno velike dimenzije moguć je bilo koji unaprijed određeni redoslijed rotacijske simetrije.
// Riža. 40. Kristalna ćelija stolna sol. Tamne kuglice predstavljaju atome natrija, svijetle kuglice predstavljaju atome klora.
Kvazikristali
Iako rotacijska simetrija 5. reda nije moguća u 2D i 3D rešetkama, ona može postojati u malo manje pravilnim strukturama poznatim kao kvazikristali. Koristeći Keplerove skice, Roger Penrose otkrio je ravne sustave s više uobičajeni tip peterostruka simetrija. Zovu se kvazikristali.
Kvazikristali postoje u prirodi. Godine 1984. Daniel Shechtman otkrio je da legura aluminija i mangana može tvoriti kvazi-kristale; u početku su kristalografi njegovu poruku dočekali s određenom skepsom, no kasnije je otkriće potvrđeno, a 2011. Shekhtman je nagrađen Nobelova nagrada u kemiji. Godine 2009. tim znanstvenika predvođen Lucom Bindijem otkrio je kvazikristale u mineralu s ruskog gorja Koryak – spoj aluminija, bakra i željeza. Danas se ovaj mineral naziva ikosaedrit. Mjerenjem sadržaja različitih izotopa kisika u mineralu spektrometrom mase znanstvenici su pokazali da ovaj mineral ne potječe sa Zemlje. Nastala je prije otprilike 4,5 milijardi godina, u vrijeme kada Sunčev sustav bio je u povojima i proveo je većinu svog vremena u asteroidnom pojasu kružeći oko Sunca sve dok neki poremećaj nije promijenio njegovu orbitu i na kraju ga donio na Zemlju.
// Riža. 41. Lijevo: jedna od dvije kvazi-kristalne rešetke s točnom peterostrukom simetrijom. Desno: Atomski model ikosaedarskog kvazikristala aluminij-paladij-mangan
Pitagorin teorem svima je poznat još od školskih dana. Izvanredni matematičar dokazao je sjajnu pretpostavku, koju trenutno koriste mnogi ljudi. Pravilo zvuči ovako: kvadrat duljine hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata kateta. Desetljećima niti jedan matematičar nije uspio argumentirati ovo pravilo. Uostalom, Pitagora je dugo hodao prema svom cilju, tako da su se kao rezultat crteži odvijali u svakodnevnom životu.
- Mali stih ovog teorema, koji je izmišljen nedugo nakon dokaza, izravno dokazuje svojstva hipoteze: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima." Ovaj dvoredni ostao je pohranjen u sjećanju mnogih ljudi - do danas se pjesma pamti u izračunima.
- Ovaj je teorem nazvan "Pitagorine hlače" zbog činjenice da se prilikom crtanja u sredini dobio pravokutni trokut na čijim su stranama bili kvadrati. Izgledom je ovaj crtež podsjećao na hlače - otuda i naziv hipoteze.
- Pitagora je bio ponosan na razvijeni teorem, jer se ova hipoteza razlikuje od sličnih po maksimalnoj količini dokaza. Važno: jednadžba je uvrštena u Guinnessovu knjigu rekorda zbog 370 istinitih dokaza.
- Hipotezu je dokazao veliki broj matematičara i profesora iz različite zemlje na mnogo načina. Engleski matematičar Jones, ubrzo nakon objave hipoteze, dokazao ju je pomoću diferencijalne jednadžbe.
- Trenutačno nitko ne zna dokaz teorema samog Pitagore. Činjenice o dokazima matematičara danas nisu poznate nikome. Vjeruje se da je dokaz Euklidovih crteža dokaz Pitagore. Međutim, neki znanstvenici raspravljaju s ovom tvrdnjom: mnogi vjeruju da je Euklid samostalno dokazao teorem, bez pomoći tvorca hipoteze.
- Sadašnji znanstvenici otkrili su da veliki matematičar nije bio prvi koji je otkrio ovu hipotezu.. Jednadžba je bila poznata mnogo prije Pitagorinog otkrića. Ovaj matematičar uspio je samo ponovno ujediniti hipotezu.
- Pitagora nije dao jednadžbi naziv "Pitagorin teorem". Ovaj naziv je fiksiran nakon "glasnog dvoreda". Matematičar je samo želio da cijeli svijet prepozna i iskoristi njegov trud i otkrića.
- Moritz Kantor - najveći najveći matematičar pronašao je i vidio bilješke s crtežima na drevnom papirusu. Ubrzo nakon toga, Cantor je shvatio da je ovaj teorem bio poznat Egipćanima još 2300. pr. Samo što se tada nitko time nije okoristio i nije pokušao dokazati.
- Današnji znanstvenici vjeruju da je hipoteza bila poznata još u 8. stoljeću pr. Indijski znanstvenici tog vremena otkrili su približan izračun hipotenuze trokuta s pravim kutovima. Istina, u to vrijeme nitko nije mogao sa sigurnošću dokazati jednadžbu približnim izračunima.
- Veliki matematičar Bartel van der Waerden, nakon što je dokazao hipotezu, zaključio je važan zaključak: “Zasluga grčkog matematičara ne smatra se otkrićem pravca i geometrije, već samo njegovim opravdanjem. U rukama Pitagore bile su računske formule koje su se temeljile na pretpostavkama, netočnim izračunima i nejasnim idejama. No, izvanredni znanstvenik uspio ju je pretvoriti u egzaktnu znanost.”
- Poznati pjesnik rekao je da je na dan otkrića njegovog crteža podigao veličanstvenu žrtvu bikovima.. Nakon otkrića hipoteze proširile su se glasine da je žrtva od stotinu bikova "lutala stranicama knjiga i publikacija". Pametnici se i dan danas šale da se od tada svi bikovi boje novog otkrića.
- Dokaz da Pitagora nije smislio pjesmu o hlačama kako bi dokazao crteže koje je iznio: za života velikog matematičara još nije bilo hlača. Izumljeni su nekoliko desetljeća kasnije.
- Pekka, Leibniz i još nekoliko znanstvenika pokušali su dokazati otprije poznati teorem, ali nitko nije uspio.
- Naziv crteža "Pitagorin teorem" znači "uvjeravanje govorom". Ovo je prijevod riječi Pitagora koju je matematičar uzeo kao pseudonim.
- Pitagorina razmišljanja o vlastitoj vladavini: tajna onoga što postoji na zemlji leži u brojevima. Uostalom, matematičar je, oslanjajući se na vlastitu hipotezu, proučavao svojstva brojeva, otkrio parnost i neparnost i stvorio proporcije.
Nadamo se da ste uživali u odabiru slika - Zanimljivosti o Pitagorinom teoremu: naučite nove stvari o poznatom teoremu (15 fotografija) online dobra kvaliteta. Ostavite svoje mišljenje u komentarima! Svako mišljenje nam je važno.
Pitagorejske hlače Komični naziv Pitagorinog teorema, koji je nastao zbog činjenice da kvadrati izgrađeni na stranicama pravokutnika i divergentni u različitim smjerovima nalikuju kroju hlača. Volio sam geometriju ... i dalje prijemni ispit na sveučilištu je čak dobio pohvalu od Chumakova, profesora matematike, za objašnjenje svojstava paralelne linije i pitagorejske hlače(N. Pirogov. Dnevnik starog liječnika).
Zbirka izraza ruski književni jezik. - M.: Astrel, AST. A. I. Fedorov. 2008. godine.
Pogledajte što su "Pitagorejske hlače" u drugim rječnicima:
Hlače - uzmite funkcionalni SuperStep kupon za popust u Akademici ili kupite jeftine hlače s besplatnom dostavom na akciji u SuperStepu
Pitagorine hlače- ... Wikipedija
Pitagorine hlače- Zharg. škola Čunak. Pitagorin poučak, koji utvrđuje odnos između površina kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i kateta pravokutnog trokuta. BTS, 835... Veliki rječnik ruske izreke
Pitagorine hlače- Razigrani naziv za Pitagorin poučak koji utvrđuje omjer površina kvadrata izgrađenih na hipotenuzi i kateta pravokutnog trokuta, koji na crtežima izgleda kao kroj hlača... Rječnik mnogih izraza
Pitagorine hlače (izum)- stranac: o darovitoj osobi Usp. Ovo je sigurnost mudraca. U davna vremena, vjerojatno bi izmislio pitagorejske hlače ... Saltykov. Šarena slova. Pitagorine hlače (geom.): u pravokutniku je kvadrat hipotenuze jednak kvadratima nogu (nastava ... ... Michelsonov veliki eksplanatorni frazeološki rječnik
Pitagorine hlače su jednake sa svih strana- Poznat je broj gumba. Zašto je kurac zgrčen? (otprilike) o hlačama i muškom spolnom organu. Pitagorine hlače su jednake sa svih strana. Da se to dokaže, potrebno je ukloniti i pokazati 1) o Pitagorinom teoremu; 2) o širokim hlačama ... Živi govor. Rječnik kolokvijalnih izraza
Pitagorine hlače izmisliti- Pitagorine hlače (izmisliti) stranac. o nadarenoj osobi. oženiti se Ovo je nedvojbeni mudrac. U davna vremena, vjerojatno bi izmislio pitagorejske hlače ... Saltykov. Šarena slova. Pitagorine hlače (geom.): u pravokutniku, kvadratu hipotenuze ... ... Michelson's Big Explanatory Phraseological Dictionary (izvorni pravopis)
Pitagorine hlače jednake su u svim smjerovima- Šaljivi dokaz Pitagorinog poučka; također u šali o prijateljovim širokim hlačama... Rječnik narodne frazeologije
Pril., nepristojno...
PITAGOREJKE HLAČE SU JEDNAKE SA SVIH STRANA (POZNA SE BROJ GUMBI. ZAŠTO JE BLIZU? / DA BI SE TO DOKAZALO, POTREBNO JE SKINUTI I POKAZATI)- pril., nepristojan ... Rječnik suvremeni razgovorne frazeološke jedinice i izreke
hlače- imenica, mn., upotreba komp. često Morfologija: pl. što? hlače, (ne) što? hlače za što? hlače, (vidjeti) što? hlače što? hlače, što? o hlačama 1. Hlače su komad odjeće koji ima dvije kratke ili duge nogavice i prekriva donji dio ... ... Rječnik Dmitrieva
knjige
- Pitagorine hlače,. U ovoj knjizi pronaći ćete fantaziju i avanturu, čuda i fikciju. Smiješno i tužno, obično i tajanstveno... A što je još potrebno za zabavno štivo? Glavno je biti…
Rimski arhitekt Vitruvije izdvojio je Pitagorin poučak "od brojnih otkrića koja su zaslužna za razvoj ljudskog života", te je pozvao da se prema njemu odnosi s najvećim poštovanjem. Bilo je to u 1. stoljeću pr. e. Na prijelazu iz 16. u 17. stoljeće, slavni njemački astronom Johannes Kepler nazvao ju je jednim od blaga geometrije, usporedivim s mjerom zlata. Malo je vjerojatno da u cijeloj matematici postoji teža i značajnija izjava, jer u pogledu broja znanstvenih i praktičnih primjena, Pitagorin teorem nema premca.
Pitagorin poučak za slučaj jednakokračnog pravokutnog trokuta.
Znanost i život // Ilustracije
Ilustracija Pitagorinog teorema iz Rasprave o mjernom polu (Kina, 3. st. pr. Kr.) i dokaz rekonstruiran na temelju njega.
Znanost i život // Ilustracije
S. Perkins. Pitagora.
Crtež za mogući dokaz Pitagore.
"Pitagorin mozaik" i an-Nairizijeva podjela na tri kvadrata u dokazu Pitagorinog teorema.
P. de Hoch. Gospodarica i sluškinja u dvorištu. Oko 1660. godine.
I. Ohtervelt. Lutajući svirači pred vratima bogate kuće. 1665.
Pitagorine hlače
Pitagorin poučak možda je najprepoznatljiviji i nedvojbeno najpoznatiji u povijesti matematike. U geometriji se koristi doslovno na svakom koraku. Unatoč jednostavnosti formulacije, ovaj teorem nipošto nije očigledan: gledajući pravokutni trokut sa stranicama a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.
Brojke prikazane na sl. 1 i 2, nalikuju najjednostavnijem ornamentu kvadrata i njihovih jednakih dijelova - geometrijskom uzorku poznatom od pamtivijeka. Oni mogu potpuno prekriti avion. Takvo pokrivanje ravnine poligonima matematičar bi nazvao parketom, odnosno pločicama. Zašto je Pitagora ovdje? Ispostavilo se da je on prvi riješio problem običnih parketa, čime je započeo proučavanje popločavanja raznih površina. Dakle, Pitagora je pokazao da se ravnina oko točke može pokriti bez razmaka samo jednakim pravilnim poligonima tri vrste: šest trokuta, četiri kvadrata i tri šesterokuta.
4000 godina kasnije
Povijest Pitagorinog teorema seže u antičko doba. Spominje se u babilonskim klinastim tekstovima iz vremena kralja Hammurabija (XVIII. stoljeće prije Krista), odnosno 1200 godina prije rođenja Pitagore. Teorem je primijenjen kao gotovo pravilo u mnogim problemima, od kojih je najjednostavniji nalaženje dijagonale kvadrata duž njegove stranice. Moguće je da su relaciju a 2 + b 2 = c 2 za proizvoljni pravokutni trokut Babilonci dobili jednostavno “generalizirajući” jednakost a 2 + a 2 = c 2 . Ali to im je opravdano - za praktičnu geometriju starih, koja se svodila na mjerenja i proračune, nisu bila potrebna stroga opravdanja.
Sada, gotovo 4000 godina kasnije, imamo posla s teoremom koji obara rekorde u smislu broja mogućih dokaza. Inače, njihovo sakupljanje je duga tradicija. Vrhunac interesa za Pitagorin teorem pao je na drugi polovica XIX- početak XX stoljeća. A ako prve zbirke nisu sadržavale više od dva ili tri tuceta dokaza, onda bi potkraj XIX stoljeća njihov se broj približio 100, a nakon još pola stoljeća premašio je 360, a to su samo oni koji su prikupljeni iz raznih izvora. Tko se samo nije uhvatio rješavanja ovog vječnog zadatka - od eminentnih znanstvenika i popularizatora znanosti do kongresmena i školaraca. I ono što je izvanredno, u originalnosti i jednostavnosti rješenja, drugi amateri nisu bili inferiorni od profesionalaca!
Najstariji dokaz Pitagorinog teorema koji je došao do nas star je oko 2300 godina. Jedan od njih - strogi aksiomatski - pripada starogrčkom matematičaru Euklidu, koji je živio u 4.-3. stoljeću prije Krista. e. U prvoj knjizi Elemenata, Pitagorin teorem je naveden kao Propozicija 47. Najzorniji i najljepši dokazi izgrađeni su na precrtavanju "Pitagorinih hlača". Izgledaju poput genijalne slagalice s kvadratom. Ali učinite da se figure pravilno kreću - i one će vam otkriti tajnu poznatog teorema.
Evo elegantnog dokaza dobivenog na temelju crteža iz jedne drevne kineske rasprave (slika 3), a njegova povezanost s problemom udvostručenja površine kvadrata odmah postaje jasna.
Upravo je taj dokaz svom mlađem prijatelju pokušao objasniti sedmogodišnji Guido, bistrooki junak pripovijetke “Mali Arhimed” engleskog pisca Aldousa Huxleya. Zanimljivo je da je pripovjedač, koji je promatrao ovu sliku, primijetio jednostavnost i uvjerljivost dokaza, te ih stoga pripisao ... samom Pitagori. Ali glavni lik fantastična priča Evgenija Veltistova "Elektronika - dječak iz kofera" poznavao je 25 dokaza Pitagorinog teorema, uključujući i one koje je dao Euklid; Istina, pogrešno ga je nazvao najjednostavnijim, iako zapravo u suvremenom izdanju Početaka zauzima jednu i pol stranicu!
Prvi matematičar
Pitagora sa Samosa (570.-495. pr. Kr.), čije je ime dugo bilo neraskidivo povezano s izvanrednim teoremom, u određenom smislu može se nazvati prvim matematičarom. Ovdje počinje matematika. egzaktna znanost, gdje svako novo znanje nije rezultat vizualnih prikaza i pravila naučenih iz iskustva, već rezultat logičkog razmišljanja i zaključaka. To je jedini način da se jednom zauvijek utvrdi istinitost bilo koje matematičke tvrdnje. Prije Pitagore, deduktivnu metodu koristio je samo starogrčki filozof i znanstvenik Thales iz Mileta, koji je živio na prijelazu iz 7. u 6. stoljeće pr. e. Izrazio je samu ideju dokaza, ali ju je primijenio nesustavno, selektivno, u pravilu, na očite geometrijske izjave poput "promjer raspolavlja krug". Pitagora je otišao mnogo dalje. Vjeruje se da je uveo prve definicije, aksiome i metode dokazivanja, a stvorio je i prvi tečaj geometrije, poznat starim Grcima pod imenom "Pitagorina tradicija". I on je stajao na početku teorije brojeva i stereometrije.
Još jedna važna Pitagorina zasluga je osnivanje slavne škole matematičara, koja je više od jednog stoljeća odredila razvoj ove znanosti u Drevna grčka. Sam pojam "matematika" vezan je za njegovo ime (od grčka riječμαθημa - učenje, znanost), koja je ujedinila četiri srodne discipline koje su stvorili Pitagora i njegovi sljedbenici - pitagorejci - sustav znanja: geometrija, aritmetika, astronomija i harmonika.
Nemoguće je odvojiti Pitagorina postignuća od postignuća njegovih učenika: slijedeći običaj, oni su vlastite ideje i otkrića pripisivali svom Učitelju. Rani pitagorejci nisu ostavili nikakve zapise; sve informacije su jedni drugima prenosili usmeno. Dakle, 2500 godina kasnije, povjesničarima ne preostaje ništa drugo nego rekonstruirati izgubljeno znanje prema transkripcijama drugih, kasnijih autora. Odajmo priznanje Grcima: iako su pitagorino ime okruživali mnogim legendama, nisu mu pripisali ništa što nije mogao otkriti ili razviti u teoriju. A teorem koji nosi njegovo ime nije iznimka.
Tako jednostavan dokaz
Ne zna se je li sam Pitagora otkrio omjer duljina stranica u pravokutnom trokutu ili je to znanje posudio. Antički autori tvrdili su da je on sam, i volio je prepričavati legendu o tome kako je Pitagora u čast svog otkrića žrtvovao bika. Suvremeni povjesničari skloni su vjerovati da je on saznao za teorem upoznavši se s matematikom Babilonaca. Također ne znamo u kojem je obliku Pitagora formulirao teorem: aritmetički, kao što je danas uobičajeno, kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta, ili geometrijski, u duhu starih, kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata izgrađenih na njegovim klizaljkama.
Vjeruje se da je Pitagora dao prvi dokaz teorema koji nosi njegovo ime. Nije preživjelo, naravno. Prema jednoj verziji, Pitagora je mogao koristiti doktrinu o proporcijama razvijenu u njegovoj školi. Na njoj se temeljila, osobito, teorija sličnosti, na kojoj se temelji razmišljanje. Nacrtajmo visinu hipotenuzi c u pravokutnom trokutu s katetama a i b. Dobivamo tri slična trokuta, uključujući i originalni. Njihove su stranice proporcionalne, a: c = m: a i b: c = n: b, odakle je a 2 = c · m i b 2 = c · n. Tada je a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (slika 4).
Ovo je samo rekonstrukcija koju je predložio jedan od povjesničara znanosti, ali dokaz je, vidite, prilično jednostavan: potrebno je samo nekoliko redaka, ne trebate dovršavati izgradnju, preoblikovati, izračunati bilo što ... To je nije iznenađujuće da je ponovno otkriven više puta. Sadržan je, primjerice, u "Vježbanju geometrije" Leonarda iz Pise (1220.), a još uvijek se daje u udžbenicima.
Takav dokaz nije proturječio idejama Pitagorejaca o sumjerljivosti: u početku su vjerovali da se omjer duljina bilo koja dva segmenta, a time i područja pravocrtnih figura, može izraziti prirodnim brojevima. Nisu uzimali u obzir nikakve druge brojeve, čak nisu dopuštali razlomke, zamjenjujući ih omjerima 1: 2, 2: 3, itd. Međutim, ironično, Pitagorin teorem doveo je Pitagorejce do otkrića nesumjerljivosti dijagonale kvadrata i njegove stranice. Svi pokušaji numeričkog prikaza duljine te dijagonale - za jedinični kvadrat ona je jednaka √2 - nisu doveli do ničega. Pokazalo se da je lakše dokazati da je problem nerješiv. U takvom slučaju matematičari imaju provjerenu metodu – dokaz kontradikcijom. Usput, također se pripisuje Pitagori.
Postojanje odnosa koji se ne može izraziti prirodni brojevi, okončao je mnoge ideje Pitagorejaca. Postalo je jasno da brojevi koje su poznavali nisu dovoljni za rješavanje čak ni jednostavnih problema, a o geometriji da i ne govorimo! Ovo otkriće bilo je prekretnica u razvoju grčke matematike, njezine središnje pitanje. Najprije je doveo do razvoja doktrine nesamjerljivih veličina – iracionalnosti, a potom i do proširenja pojma broja. Drugim riječima, s njim je započela stoljetna povijest proučavanja skupa realnih brojeva.
Mozaik Pitagore
Ako ravninu prekrijete kvadratima dvije različite veličine, okružujući svaki mali kvadrat s četiri velika, dobit ćete Pitagorin mozaik parket. Takav je uzorak dugo krasio kamene podove, podsjećajući na drevne dokaze Pitagorinog teorema (otuda i njegovo ime). Nametanjem kvadratne mreže na parket na različite načine, mogu se dobiti pregrade od kvadrata izgrađenih na stranicama pravokutnog trokuta, koje su predložili različiti matematičari. Na primjer, ako rasporedite mrežu tako da se svi njeni čvorovi poklapaju s gornjim desnim vrhovima malih kvadrata, pojavit će se fragmenti crteža za dokaz srednjovjekovnog perzijskog matematičara an-Nairizija, koji je stavio u komentarima na Euklidovu "Principi". Lako je uočiti da je zbroj površina velikog i malog kvadrata, početnih elemenata parketa, jednak površini jednog kvadrata rešetke koja je postavljena na njega. A to znači da je navedena pregrada stvarno prikladna za polaganje parketa: povezivanjem dobivenih poligona u kvadrate, kao što je prikazano na slici, možete ispuniti cijelu ravninu s njima bez praznina i preklapanja.
