U osnovnom kolegiju geometrije dokazuje se da je zbroj kutova konveksnog n-kuta 180° (n-2). Ispada da ova tvrdnja vrijedi i za nekonveksne poligone.

Teorem 3. Zbroj kutova proizvoljnog n-kuta je 180° (n - 2).

Dokaz. Podijelimo poligon na trokute crtanjem dijagonala (slika 11). Broj takvih trokuta je n-2, au svakom trokutu zbroj kutova je 180°. Budući da su kutovi trokuta kutovi mnogokuta, zbroj kutova mnogokuta je 180° (n - 2).

Razmotrimo sada proizvoljne zatvorene izlomljene linije, moguće sa samosjecištima A1A2…AnA1 (Sl. 12, a). Takve izlomljene linije koje se međusobno sijeku nazvat ćemo poligoni u obliku zvijezde (slika 12, b-d).

Popravimo smjer brojanja kutova u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Imajte na umu da kutovi koje oblikuje zatvorena polilinija ovise o smjeru u kojem je prijeđena. Ako je smjer obilaznice polilinije obrnut, tada će kutovi poligona biti kutovi koji dopunjuju kutove izvornog poligona do 360°.

Ako je M poligon sastavljen od jednostavne zatvorene isprekidane linije koja prolazi u smjeru kazaljke na satu (slika 13, a), tada će zbroj kutova ovog poligona biti jednak 180 ° (n - 2). Ako se isprekidana linija prolazi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 13, b), tada će zbroj kutova biti jednak 180 ° (n + 2).

Na ovaj način, opća formula zbroj kutova poligona formiranog jednostavnom zatvorenom polilinijom ima oblik \u003d 180 ° (n 2), gdje je zbroj kutova, n je broj kutova poligona, "+" ili "- " uzima se ovisno o smjeru zaobilaženja polilinije.

Naš zadatak je izvesti formulu za zbroj kutova proizvoljnog mnogokuta kojeg tvori zatvorena polilinija (po mogućnosti samosijecajuća). Da bismo to učinili, uvodimo koncept stupnja poligona.

Stupanj poligona je broj okretaja koje točka napravi tijekom potpunog uzastopnog obilaženja svojih stranica. Štoviše, zavoji napravljeni u smjeru suprotnom od kazaljke na satu smatraju se znakom "+", a zavoji u smjeru kazaljke na satu - sa znakom "-".

Jasno je da je stupanj poligona koji tvori jednostavna zatvorena izlomljena linija +1 ili -1, ovisno o smjeru prijelaza. Stupanj izlomljene linije na slici 12, a jednak je dva. Stupanj zvjezdanih sedmerokuta (slika 12, c, d) jednak je dva, odnosno tri.

Pojam stupnja definiran je na sličan način za zatvorene krivulje u ravnini. Na primjer, stupanj krivulje prikazane na slici 14 je dva.

Da biste pronašli stupanj poligona ili krivulje, možete postupiti na sljedeći način. Pretpostavimo da smo, krećući se duž krivulje (sl. 15, a), počevši od nekog mjesta A1, napravili puni zaokret i završili u istoj točki A1. Uklonimo odgovarajući dio iz krivulje i nastavimo se kretati duž preostale krivulje (Slika 15b). Ako smo, počevši od nekog mjesta A2, ponovno napravili puni zaokret i došli do iste točke, brišemo odgovarajući dio krivulje i nastavljamo kretanje (slika 15, c). Brojeći broj udaljenih odjeljaka sa znakovima "+" ili "-", ovisno o njihovom smjeru obilaznice, dobivamo željeni stupanj krivulje.

Teorem 4. Za proizvoljni poligon, formula

180° (n+2m),

gdje je zbroj kutova, n je broj kutova, m je stupanj poligona.

Dokaz. Neka poligon M ima stupanj m i konvencionalno je prikazan na slici 16. M1, …, Mk su jednostavne zatvorene izlomljene linije, prolazeći kroz koje točka pravi pune zavoje. A1, …, Ak su odgovarajuće samosječne točke polilinije koje nisu njezini vrhovi. Označimo s n1, …, nk redom broj vrhova mnogokuta M koji ulaze u poligone M1, …, Mk. Budući da su tim poligonima osim vrhova mnogokuta M dodani i vrhovi A1, …, Ak, broj vrhova poligona M1, …, Mk bit će jednak n1+1, …, nk+1, odnosno. Tada će zbroj njihovih kutova biti jednak 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Uzima se plus ili minus ovisno o smjeru zaobilaženja isprekidanih linija. Zbroj kutova mnogokuta M0 koji preostaju od mnogokuta M nakon uklanjanja mnogokuta M1, ..., Mk jednak je 180° (n-n1- ...-nk+k2). Zbrojevi kutova mnogokuta M0, M1, …, Mk daju zbroj kutova mnogokuta M, au svakom vrhu A1, …, Ak dodatno dobivamo 360°. Dakle, imamo jednakost

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

gdje je m stupanj poligona M.

Kao primjer, razmotrite izračun zbroja kutova petokrake zvjezdice (slika 17, a). Stupanj odgovarajuće zatvorene polilinije je -2. Stoga je željeni zbroj kutova 180.

Geometrijski lik sastavljen od odsječaka AB,BC,CD, .., EF, FA na način da susjedni odsječci ne leže na jednoj pravoj liniji, a nesusjedni odsječci nemaju zajedničke točke, naziva se poligon. Krajevi ovih segmenata točke A,B,C, D, …, E,F se nazivaju vrhovi poligon, a sami segmenti AB, BC, CD, .., EF, FA - stranke poligon.

Za poligon se kaže da je konveksan ako se nalazi s jedne strane svakog pravca koji prolazi kroz dva njegova susjedna vrha. Slika ispod prikazuje konveksni mnogokut:

Sljedeća slika ilustrira nekonveksni poligon:

Kut konveksnog mnogokuta pri danom vrhu je kut koji čine stranice tog mnogokuta koje konvergiraju u danom vrhu. Vanjski kut konveksnog mnogokuta na nekom vrhu je kut koji je susjedan unutarnjem kutu mnogokuta na danom vrhu.

Teorem: Zbroj kutova konveksnog n-kuta je 180˚ *(n-2)

Dokaz: razmotrite konveksni n-kut. Da bismo pronašli zbroj svih unutarnjih kutova, spojimo jedan od vrhova mnogokuta s ostalim vrhovima.

Kao rezultat, dobivamo (n-2) trokuta. Znamo da je zbroj kutova trokuta 180 stupnjeva. A budući da je njihov broj u mnogokutu (n-2), zbroj kutova mnogokuta je 180˚ *(n-2). To je trebalo dokazati.

Zadatak:

Odredi zbroj kutova konveksnog a) peterokuta b) šesterokuta c) deseterokuta.

Upotrijebimo formulu za izračun zbroja kutova konveksnog n-kuta.

a) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

c) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Odgovor: a) 540˚. b) 720˚. c) 1440˚.

Unutarnji kut poligona je kut koji čine dvije susjedne stranice mnogokuta. Na primjer, ∠ ABC je unutarnji kut.

Vanjski kut poligona je kut koji čine jedna stranica mnogokuta i produžetak druge stranice. Na primjer, ∠ LBC je vanjski kut.

Broj uglova mnogokuta uvijek je jednak broju njegovih stranica. To se odnosi i na unutarnje i na vanjske kutove. Iako je za svaki vrh poligona moguće konstruirati dva jednaka vanjska kuta, uvijek se u obzir uzima samo jedan od njih. Stoga, da bismo pronašli broj uglova bilo kojeg poligona, moramo prebrojati njegove stranice.

zbroj unutarnjih kutova

Zbroj unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta jednak je umnošku 180° i broja stranica bez dvije.

s = 2d(n - 2)

gdje s je zbroj kutova, 2 d- dva prava kuta (tj. 2 90 = 180°), i n- broj strana.

Ako prijeđemo s vrha A poligon A B C D E F sve moguće dijagonale, a zatim ga podijelimo na trokute, čiji će broj biti dva manji od stranica poligona:

Stoga će zbroj kutova mnogokuta biti jednak zbroju kutova svih nastalih trokuta. Budući da je zbroj kutova svakog trokuta 180° (2 d), tada će zbroj kutova svih trokuta biti jednak umnošku 2 d za njihov broj:

s = 2d(n- 2) = 180 4 = 720°

Iz ove formule slijedi da je zbroj unutarnjih kutova konstantna vrijednost a ovisi o broju stranica mnogokuta.

Zbroj vanjskih kutova

Zbroj vanjskih kutova konveksnog mnogokuta je 360° (ili 4 d).

s = 4d

gdje s je zbroj vanjskih kutova, 4 d- četiri prava kuta (tj. 4 90 = 360°).

Zbroj vanjskih i unutarnjih kutova na svakom vrhu mnogokuta je 180° (2 d), budući da su susjedni kutovi. Na primjer, ∠ 1 i ∠ 2 :

Prema tome, ako poligon ima n stranke (i n vrhova), zatim zbroj vanjskih i unutarnjih kutova za sve n vrhovi će biti jednaki 2 dn. Tako da iz ovog zbroja 2 dn da bismo dobili samo zbroj vanjskih kutova, potrebno je od njega oduzeti zbroj unutarnjih kutova, tj. 2 d(n - 2):

s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d

Dokaz

Za slučaj konveksnog n-kuta

Neka A 1 A 2 . . . A n (\displaystyle A_(1)A_(2)...A_(n)) je zadani konveksni poligon i n> 3. Zatim povucite od jednog vrha do suprotnih vrhova ( n− 3) dijagonale: A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 5 . . . A 1 A n − 1 (\displaystyle A_(1)A_(3),A_(1)A_(4),A_(1)A_(5)...A_(1)A_(n-1)). Budući da je poligon konveksan, te ga dijagonale dijele na ( n− 2) trokuta: Δ A 1 A 2 A 3 , Δ A 1 A 3 A 4 , . . . , Δ A 1 A n − 1 A n (\displaystyle \Delta A_(1)A_(2)A_(3),\Delta A_(1)A_(3)A_(4),...,\Delta A_ (1)A_(n-1)A_(n)). Zbroj kutova mnogokuta jednak je zbroju kutova svih ovih trokuta. Zbroj kutova u svakom trokutu je 180°, a broj tih trokuta je n− 2 . Prema tome, zbroj kutova n-kut je 180°( n − 2) . Teorem je dokazan.

Komentar

Za nekonveksni n-kut, zbroj kutova je također 180°( n− 2) . Dokaz može biti sličan, koristeći dodatnu lemu da se bilo koji poligon može dijagonalama izrezati na trokute, a ne oslanjajući se na činjenicu da su dijagonale nužno izvučene iz jednog vrha (rezanje nekonveksnog poligona ograničenog takvim uvjetom je nije uvijek moguće u smislu da nekonveksni mnogokut ne mora nužno imati barem jedan vrh čije sve dijagonale leže unutar poligona, kao i trokuti koje tvore).

Ovi geometrijski oblici nas okružuju posvuda. Konveksni poligoni su prirodni, kao što su saće, ili umjetni (izradio ih je čovjek). Ove brojke se koriste u proizvodnji razne vrste premazi, u slikarstvu, arhitekturi, dekoraciji itd. Konveksni poligoni imaju svojstvo da su sve njihove točke na istoj strani pravca koji prolazi kroz par susjednih vrhova tog pravca. geometrijski lik. Postoje i druge definicije. Mnogokut se naziva konveksnim ako se nalazi u jednoj poluravnini u odnosu na bilo koju ravnu liniju koja sadrži jednu od njegovih stranica.

U tečaju elementarne geometrije uvijek se razmatraju samo jednostavni poligoni. Da bismo razumjeli sva svojstva takvih, potrebno je razumjeti njihovu prirodu. Za početak, treba shvatiti da se svaka linija naziva zatvorenom, čiji se krajevi podudaraju. Štoviše, figura koja ga oblikuje može imati različite konfiguracije. Poligon je jednostavna zatvorena izlomljena linija u kojoj se susjedne veze ne nalaze na istoj ravnoj liniji. Njegove veze i vrhovi su, redom, stranice i vrhovi ovog geometrijskog lika. Jednostavna polilinija ne smije imati samosjecišta.

Vrhovi mnogokuta nazivaju se susjednim ako predstavljaju krajeve jedne od njegovih stranica. Geometrijski lik koji ima n-ti broj vrhova, i stoga n-ta količina strane naziva se n-kut. Sama izlomljena linija naziva se granica ili kontura ove geometrijske figure. Poligonalna ravnina ili ravni mnogokut naziva se krajnji dio svake ravnine koja je njome omeđena. Susjedne stranice ove geometrijske figure nazivaju se segmentima izlomljene linije koja izlazi iz jednog vrha. Oni neće biti susjedni ako dolaze iz različitih vrhova poligona.

Ostale definicije konveksnih poligona

U elementarnoj geometriji postoji još nekoliko ekvivalentnih definicija koje pokazuju koji se poligon naziva konveksnim. Sve su ove tvrdnje jednako istinite. Konveksni poligon je onaj koji ima:

Svaki segment linije koji povezuje bilo koje dvije točke unutar nje leži u potpunosti unutar nje;

Sve njegove dijagonale leže unutar njega;

Svaki unutarnji kut ne prelazi 180°.

Poligon uvijek dijeli ravninu na 2 dijela. Jedan od njih je ograničen (može se zatvoriti u krug), a drugi je neograničen. Prvi se naziva unutarnja regija, a drugi - vanjsko područje ovaj geometrijski lik. Ovaj poligon je presjek (drugim riječima, zajednička komponenta) nekoliko poluravnina. Štoviše, svaki segment koji završava u točkama koje pripadaju poligonu u potpunosti mu pripada.

Varijante konveksnih poligona

Definicija konveksnog poligona ne znači da ih ima mnogo vrsta. I svaki od njih ima određene kriterije. Dakle, konveksne poligone koji imaju unutarnji kut od 180° nazivamo slabo konveksnim. Konveksni geometrijski lik koji ima tri vrha naziva se trokut, četiri - četverokut, pet - peterokut, itd. Svaki od konveksnih n-kuta ispunjava sljedeći osnovni zahtjev: n mora biti jednako ili veće od 3. Svaki od trokuti su konveksni. Geometrijska figura ove vrste, u kojoj se svi vrhovi nalaze na istom krugu, naziva se upisana u krug. Konveksni mnogokut nazivamo opisanim ako ga sve njegove stranice u blizini kruga dodiruju. Za dva poligona se kaže da su jednaki samo ako se mogu superponirati superpozicijom. Ravni poligon je poligonalna ravnina (dio ravnine), koja je ograničena ovim geometrijskim likom.

Pravilni konveksni poligoni

Pravilni poligoni su geometrijski oblici sa jednaki kutovi i stranaka. Unutar njih nalazi se točka 0, koja je na istoj udaljenosti od svakog svog vrha. Naziva se središtem ove geometrijske figure. Segmenti koji spajaju središte s vrhovima ovog geometrijskog lika nazivaju se apoteme, a oni koji spajaju točku 0 sa stranicama nazivaju se radijusi.

Pravilan četverokut je kvadrat. pravokutni trokut nazivaju jednakostraničnim. Za takve figure vrijedi sljedeće pravilo: svaki kut konveksnog poligona je 180° * (n-2)/ n,

gdje je n broj vrhova ovog konveksnog geometrijskog lika.

Površina bilo kojeg pravilnog poligona određena je formulom:

gdje je p jednak polovici zbroja svih stranica zadanog mnogokuta, a h je jednak duljini apoteme.

Svojstva konveksnih mnogokuta

Konveksni poligoni imaju određena svojstva. Dakle, segment koji povezuje bilo koje 2 točke takve geometrijske figure nužno se nalazi u njemu. Dokaz:

Pretpostavimo da je P zadan konveksni poligon. Uzimamo 2 proizvoljne točke, npr. A, B, koje pripadaju P. Prema postojećoj definiciji konveksnog poligona, te se točke nalaze na istoj strani pravca koji sadrži bilo koju stranicu od P. Dakle, AB također ima to svojstvo i nalazi se u P. Konveksni mnogokut uvijek ga je moguće razlomiti na nekoliko trokuta po apsolutno svim dijagonalama koje su povučene iz jednog od njegovih vrhova.

Kutovi konveksnih geometrijskih oblika

Kutovi konveksnog mnogokuta su kutovi koje tvore njegove stranice. Unutarnji kutovi nalaze se u unutarnjem području dane geometrijske figure. Kut koji tvore njegove stranice koje se skupljaju u jednom vrhu naziva se kut konveksnog mnogokuta. s unutarnjim kutovima danog geometrijskog lika nazivamo vanjskim. Svaki kut konveksnog poligona koji se nalazi unutar njega jednak je:

gdje je x vrijednost vanjskog kuta. Ovaj jednostavna formula odnosi se na sve geometrijske oblike ove vrste.

Općenito, za vanjske kutove vrijedi sljedeće pravilo: svaki kut konveksnog mnogokuta jednak je razlici između 180° i vrijednosti unutarnjeg kuta. Može imati vrijednosti u rasponu od -180° do 180°. Stoga, kada je unutarnji kut 120°, vanjski kut će biti 60°.

Zbroj kutova konveksnih mnogokuta

Zbroj unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta određuje se formulom:

gdje je n broj vrhova n-kuta.

Zbroj kutova konveksnog mnogokuta prilično je lako izračunati. Razmotrimo bilo koji takav geometrijski lik. Da bi se odredio zbroj kutova unutar konveksnog mnogokuta, jedan od njegovih vrhova mora biti povezan s drugim vrhovima. Kao rezultat ove radnje dobivaju se (n-2) trokuta. Znamo da je zbroj kutova svakog trokuta uvijek 180°. Budući da je njihov broj u bilo kojem mnogokutu (n-2), zbroj unutarnjih kutova takvog lika je 180° x (n-2).

Zbroj kutova konveksnog mnogokuta, odnosno bilo koja dva unutarnja i susjedna vanjska kuta, za dati konveksni geometrijski lik uvijek će biti 180°. Na temelju toga možete odrediti zbroj svih njegovih kutova:

Zbroj unutarnjih kutova je 180° * (n-2). Na temelju toga zbroj svih vanjskih kutova danog lika određuje se formulom:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Zbroj vanjskih kutova bilo kojeg konveksnog mnogokuta uvijek će biti 360° (bez obzira na broj stranica).

Vanjski kut konveksnog mnogokuta općenito je predstavljen razlikom između 180° i unutarnjeg kuta.

Ostala svojstva konveksnog mnogokuta

Osim osnovnih svojstava ovi geometrijski oblici imaju i druga koja nastaju prilikom rukovanja njima. Dakle, svaki od mnogokuta može se podijeliti na nekoliko konveksnih n-kuta. Da biste to učinili, potrebno je nastaviti svaku njegovu stranu i izrezati ovu geometrijsku figuru duž ovih ravnih linija. Također je moguće bilo koji poligon razdvojiti na nekoliko konveksnih dijelova na način da se vrhovi svakog od dijelova poklapaju sa svim njegovim vrhovima. Od takvog geometrijskog lika mogu se vrlo jednostavno sastaviti trokuti povlačenjem svih dijagonala iz jednog vrha. Dakle, bilo koji poligon, u konačnici, može se podijeliti na određeni broj trokuta, što se pokazalo vrlo korisnim u rješavanju raznih problema povezanih s takvim geometrijskim oblicima.

Opseg konveksnog mnogokuta

Segmenti izlomljene linije, koji se nazivaju stranice mnogokuta, najčešće se označavaju sljedećim slovima: ab, bc, cd, de, ea. To su stranice geometrijskog lika s vrhovima a, b, c, d, e. Zbroj duljina svih stranica ovog konveksnog mnogokuta zove se njegov opseg.

Poligonski krug

Konveksni mnogokuti mogu biti upisani i opisani. Kružnica koja dodiruje sve strane tog geometrijskog lika naziva se u njega upisana. Takav poligon nazivamo opisanim. Središte kružnice upisane u mnogokut je sjecište simetrala svih kutova unutar danog geometrijskog lika. Površina takvog poligona je:

gdje je r polumjer upisane kružnice, a p polumjer zadanog mnogokuta.

Kružnica koja sadrži vrhove mnogokuta naziva se oko njega opisana. Štoviše, ova konveksna geometrijska figura naziva se upisanom. Središte kružnice, koja je opisana oko takvog mnogokuta, je sjecište takozvanih simetrala svih stranica.

Dijagonale konveksnih geometrijskih oblika

Dijagonale konveksnog poligona su odsječci koji spajaju nesusjedne vrhove. Svaki od njih leži unutar ove geometrijske figure. Broj dijagonala takvog n-kuta određen je formulom:

N = n (n - 3) / 2.

Broj dijagonala konveksnog mnogokuta ima važnu ulogu u elementarnoj geometriji. Broj trokuta (K) na koje se svaki konveksni poligon može podijeliti izračunava se sljedećom formulom:

Broj dijagonala konveksnog mnogokuta uvijek ovisi o broju njegovih vrhova.

Rastavljanje konveksnog mnogokuta

U nekim slučajevima, riješiti geometrijski problemi potrebno je konveksni mnogokut rastaviti na više trokuta s dijagonalama koje se ne sijeku. Ovaj se problem može riješiti izvođenjem specifične formule.

Definicija problema: nazovimo pravilnu podjelu konveksnog n-kuta na više trokuta dijagonalama koje se sijeku samo u vrhovima tog geometrijskog lika.

Rješenje: Pretpostavimo da su R1, R2, R3 …, Pn vrhovi ovog n-kuta. Broj Xn je broj njegovih particija. Pažljivo razmotrimo dobivenu dijagonalu geometrijskog lika Pi Pn. U bilo kojoj pravilnoj particiji P1 Pn pripada određenom trokutu P1 Pi Pn koji ima 1

Neka je i = 2 jedna grupa pravilnih particija koje uvijek sadrže dijagonalu R2 Pn. Broj particija uključenih u njega podudara se s brojem particija (n-1)-kuta R2 R3 R4… Pn. Drugim riječima, jednako je Xn-1.

Ako je i = 3, tada će ova druga grupa particija uvijek sadržavati dijagonale P3 P1 i P3 Pn. U ovom slučaju, broj pravilnih particija sadržanih u ovoj grupi će se podudarati s brojem particija (n-2)-kuta R3 R4… Pn. Drugim riječima, to će biti jednako Xn-2.

Neka je i = 4, tada će među trokutima pravilna pregrada sigurno sadržavati trokut P1 P4 Pn, kojemu će se prisloniti četverokut P1 P2 P3 P4, (n-3)-kut P4 P5 ... Pn. Broj pravilnih particija takvog četverokuta je X4, a broj particija (n-3)-kuta je Xn-3. Na temelju prethodno navedenog, možemo reći da je ukupan broj ispravnih particija sadržanih u ovoj grupi Xn-3 X4. Ostale grupe za koje je i = 4, 5, 6, 7… sadržavat će Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … regularne particije.

Neka je i = n-2, tada će broj ispravnih particija u ovoj grupi biti isti kao broj particija u grupi gdje je i=2 (drugim riječima, jednako je Xn-1).

Kako je X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, onda je broj svih particija konveksnog poligona jednak:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Broj pravilnih particija koje sijeku jednu dijagonalu iznutra

Pri provjeri posebnih slučajeva može se doći do pretpostavke da je broj dijagonala konveksnih n-kuta jednak umnošku svih particija ove figure s (n-3).

Dokaz ove pretpostavke: zamislite da je P1n = Xn * (n-3), tada se svaki n-kut može podijeliti na (n-2)-trokuta. Štoviše, (n-3)-četverokut može biti sastavljen od njih. Uz to, svaki će četverokut imati dijagonalu. Budući da se u ovom konveksnom geometrijskom liku mogu povući dvije dijagonale, to znači da se u bilo kojem (n-3)-četverokutu mogu povući dodatne (n-3) dijagonale. Na temelju toga možemo zaključiti da je u svakoj pravilnoj particiji moguće povući (n-3)-dijagonale koje zadovoljavaju uvjete ovog problema.

Površina konveksnih poligona

Često, pri rješavanju raznih problema elementarne geometrije, postaje potrebno odrediti područje konveksnog poligona. Pretpostavimo da je (Xi. Yi), i = 1,2,3… n niz koordinata svih susjednih vrhova poligona koji nema samosjecišta. U ovom slučaju, njegova se površina izračunava sljedećom formulom:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

gdje je (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).