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ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की अवधारणा
सबसे पहले, आइए याद करें कि किस आकृति को ट्रेपोजॉइड कहा जाता है।
परिभाषा 1
एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो समानांतर नहीं होते हैं।
इस मामले में, समानांतर पक्षों को ट्रेपेज़ॉइड के आधार कहा जाता है, और समानांतर नहीं - ट्रेपेज़ॉइड के किनारे।
परिभाषा 2
मध्य पंक्तिएक ट्रेपोजॉइड एक रेखा खंड है जो एक ट्रेपोजॉइड के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है।
समलंब मध्य रेखा प्रमेय
अब हम समलंब की मध्य रेखा पर प्रमेय का परिचय देते हैं और इसे सदिश विधि से सिद्ध करते हैं।
प्रमेय 1
समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है।
सबूत।
आइए हमें $AD\ और\ BC$ आधारों के साथ एक समलम्बाकार $ABCD$ दिया जाए। और मान लीजिए कि $MN$ इस समलंब की मध्य रेखा है (चित्र 1)।
चित्र 1. ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा
आइए हम साबित करें कि $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$।
वेक्टर $\overrightarrow(MN)$ पर विचार करें। इसके बाद, हम सदिश योग के लिए बहुभुज नियम का उपयोग करते हैं। एक ओर, हमें वह मिलता है
दूसरी ओर
अंतिम दो समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
चूँकि $M$ और $N$ समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु हैं, इसलिए हमारे पास
हम पाते हैं:
फलस्वरूप
समान समानता से (चूंकि $\overrightarrow(BC)$ और $\overrightarrow(AD)$ सह-दिशात्मक हैं और इसलिए, संरेख हैं), हमें वह $MN||AD$ मिलता है।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
एक समलम्ब की मध्य रेखा की अवधारणा पर कार्यों के उदाहरण
उदाहरण 1
समलम्ब चतुर्भुज के किनारे क्रमशः $15\cm$ और $17\cm$ हैं। समलम्ब चतुर्भुज की परिधि $52\cm$ है। समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
समाधान।
समलंब की मध्य रेखा को $n$ से निरूपित करें।
भुजाओं का योग है
इसलिए, चूँकि परिमाप $52\ cm$ है, आधारों का योग है
अत: प्रमेय 1 से हम प्राप्त करते हैं
उत्तर:$10\सेमी$.
उदाहरण 2
वृत्त के व्यास के सिरे उसकी स्पर्श रेखा से क्रमशः $9$ सेमी और $5$ सेमी हैं। इस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।
समाधान।
आइए हमें केंद्र $O$ और व्यास $AB$ के साथ एक सर्कल दिया जाता है। स्पर्शरेखा $l$ ड्रा करें और दूरियां $AD=9\ cm$ और $BC=5\ cm$ बनाएं। आइए त्रिज्या $OH$ खींचते हैं (चित्र 2)।
चित्र 2।
चूँकि $AD$ और $BC$ स्पर्शरेखा की दूरियाँ हैं, तो $AD\bot l$ और $BC\bot l$ और चूँकि $OH$ त्रिज्या है, तो $OH\bot l$, इसलिए $OH | \बाएं|एडी\दाएं||बीसी$। इस सब से हम पाते हैं कि $ABCD$ एक समलम्ब है, और $OH$ इसकी मध्य रेखा है। प्रमेय 1 से हमें प्राप्त होता है
ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की अवधारणा
सबसे पहले, आइए याद करें कि किस आकृति को ट्रेपोजॉइड कहा जाता है।
परिभाषा 1
एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो समानांतर नहीं होते हैं।
इस मामले में, समानांतर पक्षों को ट्रेपेज़ॉइड के आधार कहा जाता है, और समानांतर नहीं - ट्रेपेज़ॉइड के किनारे।
परिभाषा 2
एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक रेखा खंड है जो ट्रेपेज़ॉइड के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है।
समलंब मध्य रेखा प्रमेय
अब हम समलंब की मध्य रेखा पर प्रमेय का परिचय देते हैं और इसे सदिश विधि से सिद्ध करते हैं।
प्रमेय 1
समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है।
सबूत।
आइए हमें $AD\ और\ BC$ आधारों के साथ एक समलम्बाकार $ABCD$ दिया जाए। और मान लीजिए कि $MN$ इस समलंब की मध्य रेखा है (चित्र 1)।
चित्र 1. ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा
आइए हम साबित करें कि $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$।
वेक्टर $\overrightarrow(MN)$ पर विचार करें। इसके बाद, हम सदिश योग के लिए बहुभुज नियम का उपयोग करते हैं। एक ओर, हमें वह मिलता है
दूसरी ओर
अंतिम दो समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
चूँकि $M$ और $N$ समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु हैं, इसलिए हमारे पास
हम पाते हैं:
फलस्वरूप
समान समानता से (चूंकि $\overrightarrow(BC)$ और $\overrightarrow(AD)$ सह-दिशात्मक हैं और इसलिए, संरेख हैं), हमें वह $MN||AD$ मिलता है।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
एक समलम्ब की मध्य रेखा की अवधारणा पर कार्यों के उदाहरण
उदाहरण 1
समलम्ब चतुर्भुज के किनारे क्रमशः $15\cm$ और $17\cm$ हैं। समलम्ब चतुर्भुज की परिधि $52\cm$ है। समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
समाधान।
समलंब की मध्य रेखा को $n$ से निरूपित करें।
भुजाओं का योग है
इसलिए, चूँकि परिमाप $52\ cm$ है, आधारों का योग है
अत: प्रमेय 1 से हम प्राप्त करते हैं
उत्तर:$10\सेमी$.
उदाहरण 2
वृत्त के व्यास के सिरे उसकी स्पर्श रेखा से क्रमशः $9$ सेमी और $5$ सेमी हैं। इस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।
समाधान।
आइए हमें केंद्र $O$ और व्यास $AB$ के साथ एक सर्कल दिया जाता है। स्पर्शरेखा $l$ ड्रा करें और दूरियां $AD=9\ cm$ और $BC=5\ cm$ बनाएं। आइए त्रिज्या $OH$ खींचते हैं (चित्र 2)।
चित्र 2।
चूँकि $AD$ और $BC$ स्पर्शरेखा की दूरियाँ हैं, तो $AD\bot l$ और $BC\bot l$ और चूँकि $OH$ त्रिज्या है, तो $OH\bot l$, इसलिए $OH | \बाएं|एडी\दाएं||बीसी$। इस सब से हम पाते हैं कि $ABCD$ एक समलम्ब है, और $OH$ इसकी मध्य रेखा है। प्रमेय 1 से हमें प्राप्त होता है
- एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड आधारों के अंतर के आधे के बराबर होता है
- समलम्ब चतुर्भुज के आधारों द्वारा गठित त्रिभुज और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु तक विकर्णों के खंड समान होते हैं
- एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के खंडों द्वारा निर्मित त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ समलम्बाकार के किनारों पर स्थित होती हैं - समान क्षेत्रफल (समान क्षेत्रफल होता है)
- यदि हम समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं को छोटे आधार की ओर बढ़ाते हैं, तो वे आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे
- ट्रैपेज़ॉयड के आधारों को जोड़ने वाला खंड, और ट्रैपेज़ॉयड के विकर्णों के चौराहे के बिंदु से गुज़रने वाला खंड, इस बिंदु से ट्रैपेज़ॉयड के आधारों की लंबाई के अनुपात के अनुपात में विभाजित होता है।
- समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर और विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से खींचा गया एक खंड इस बिंदु से विभाजित होता है, और इसकी लंबाई 2ab / (a + b) के बराबर होती है, जहाँ a और b समलम्बाकार के आधार होते हैं
एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड के गुण
ट्रेपेज़ॉइड एबीसीडी के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को कनेक्ट करें, जिसके परिणामस्वरूप हमारे पास एक खंड एलएम होगा।
एक रेखाखंड जो एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिन्दुओं को मिलाता है समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा पर स्थित है.
यह खंड समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर.
एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई उसके आधारों के आधे अंतर के बराबर होती है।
एलएम = (एडी - बीसी)/2
या
एलएम = (ए-बी) / 2
समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों से बने त्रिभुजों के गुण
समलम्ब चतुर्भुज के आधारों और समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से बनने वाले त्रिभुज - समान है.
त्रिभुज BOC और AOD समान हैं। क्योंकि कोण BOC और AOD लंबवत हैं, वे बराबर हैं।
कोण OCB और OAD आंतरिक क्रॉसवाइज समानांतर रेखा AD और BC पर स्थित हैं (ट्रेपेज़ियम के आधार एक दूसरे के समानांतर हैं) और छेदक रेखा AC, इसलिए, वे समान हैं।
कोण ओबीसी और ओडीए एक ही कारण (आंतरिक क्रॉस-लेटिंग) के बराबर हैं।
चूँकि एक त्रिभुज के तीनों कोण दूसरे त्रिभुज के संगत कोणों के बराबर होते हैं, इसलिए ये त्रिभुज समरूप होते हैं।
इससे क्या होता है?
ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए त्रिभुजों की समरूपता का प्रयोग इस प्रकार किया जाता है। यदि हम समरूप त्रिभुजों के दो संगत तत्वों की लंबाई जानते हैं, तो हम समरूपता गुणांक (हम एक को दूसरे से विभाजित करते हैं) पाते हैं। जहाँ से अन्य सभी तत्वों की लम्बाइयाँ एक दूसरे से ठीक उसी मान से संबंधित हैं।
एक समलम्ब चतुर्भुज के पार्श्व पक्ष और विकर्णों पर स्थित त्रिभुजों के गुण
समलम्ब चतुर्भुज AB और CD की भुजाओं पर स्थित दो त्रिभुजों पर विचार कीजिए। ये त्रिभुज AOB और COD हैं। इस तथ्य के बावजूद कि इन त्रिभुजों के अलग-अलग पक्षों के आकार पूरी तरह से भिन्न हो सकते हैं, लेकिन पक्षों द्वारा गठित त्रिभुजों के क्षेत्रफल और समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैंअर्थात् त्रिभुज बराबर होते हैं।
यदि समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं को छोटे आधार की ओर बढ़ाया जाता है, तो भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा एक सीधी रेखा के साथ मेल खाता है जो आधारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरती है.
इस प्रकार, किसी भी समलम्ब को त्रिभुज तक बढ़ाया जा सकता है। जिसमें:
- विस्तारित भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों द्वारा निर्मित त्रिभुज समान होते हैं
- समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा, उसी समय, निर्मित त्रिभुज की माध्यिका होती है।
एक समलम्ब के आधारों को जोड़ने वाले खंड के गुण
यदि आप एक खंड खींचते हैं जिसका सिरा समलम्बाकार के आधारों पर स्थित होता है, जो समलम्ब चतुर्भुज (KN) के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित होता है, तो आधार के किनारे से इसके घटक खंडों का अनुपात चौराहे के बिंदु तक होता है। विकर्ण (KO / ON) समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के अनुपात के बराबर होगा(बीसी/एडी)।
KO/ON=BC/AD
यह संपत्तिसंगत त्रिभुजों की समानता का अनुसरण करता है (ऊपर देखें)।
एक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर एक खंड के गुण
यदि आप समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर एक खंड खींचते हैं और समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरते हैं, तो इसमें निम्नलिखित गुण होंगे:
- पूर्व निर्धारित दूरी (किमी) समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को समद्विभाजित करता है
- लंबाई में कटौतीसमलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरते हुए और आधारों के समानांतर, के बराबर है केएम = 2ab/(ए + बी)
समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात करने के सूत्र
ए, बी- एक समलम्बाकार आधार
सी, डी- समलम्ब चतुर्भुज के किनारे
d1 d2- एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण
α β - समलम्ब चतुर्भुज के बड़े आधार वाले कोण
आधार पर आधारों, भुजाओं और कोणों के माध्यम से एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों को खोजने के सूत्र
सूत्रों का पहला समूह (1-3) समलम्बाकार विकर्णों के मुख्य गुणों में से एक को दर्शाता है:
1. एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है और इसके आधारों के गुणनफल का दोगुना होता है। एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के इस गुण को एक पृथक प्रमेय के रूप में सिद्ध किया जा सकता है
2 . यह सूत्र पिछले सूत्र को परिवर्तित करके प्राप्त किया जाता है। दूसरे विकर्ण के वर्ग को समान चिह्न के ऊपर फेंका जाता है, जिसके बाद व्यंजक के बाएँ और दाएँ पक्षों से वर्गमूल निकाला जाता है।
3 . एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने का यह सूत्र पिछले एक के समान है, इस अंतर के साथ कि व्यंजक के बाईं ओर एक और विकर्ण बचा है
सूत्रों का अगला समूह (4-5) अर्थ में समान है और समान संबंध व्यक्त करता है।
सूत्रों का समूह (6-7) आपको समलम्बाकार के विकर्ण को खोजने की अनुमति देता है यदि आप समलम्बाकार के बड़े आधार, एक तरफ और आधार पर कोण को जानते हैं।
एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों को ऊँचाई के पदों में ज्ञात करने के सूत्र
एक कार्य.
समलम्ब चतुर्भुज ABCD (AD | | BC) के विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। समलंब के आधार BC की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि आधार AD = 24 सेमी, लंबाई AO = 9 सेमी, लंबाई OS = 6 सेमी।
समाधान.
विचारधारा की दृष्टि से इस कार्य का समाधान बिल्कुल पिछले कार्यों के समान है।
त्रिभुज AOD और BOC तीन कोणों में समान हैं - AOD और BOC लंबवत हैं, और शेष कोण जोड़ीदार समान हैं, क्योंकि वे एक रेखा और दो समानांतर रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनते हैं।
चूँकि त्रिभुज समान होते हैं, इसलिए उनके सभी ज्यामितीय आयाम एक दूसरे से संबंधित होते हैं, क्योंकि AO और OC खंडों के ज्यामितीय आयाम समस्या की स्थिति से हमें ज्ञात होते हैं। वह है
एओ/ओसी=एडी/बीसी
9/6 = 24 / ई.पू.
ईसा पूर्व = 24 * 6/9 = 16
उत्तर: 16 सेमी
एक कार्य ।
समलम्ब चतुर्भुज ABCD में यह ज्ञात है कि AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 
समाधान ।
छोटे आधार B और C के शीर्षों से समलम्बाकार की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम बड़े आधार पर दो ऊँचाई कम करते हैं। चूँकि समलम्ब चतुर्भुज असमान है, हम लंबाई AM = a, लंबाई KD = b ( सूत्र में प्रतीकों के साथ भ्रमित न होंएक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करना)। चूँकि समलम्ब चतुर्भुज के आधार समानांतर हैं और हमने बड़े आधार के लंबवत दो ऊँचाइयों को छोड़ दिया है, तो MBCK एक आयत है।
माध्यम
एडी=एएम+बीसी+केडी
ए + 8 + बी = 24
ए = 16 - बी
त्रिभुज DBM और ACK समकोण हैं, इसलिए उनके समकोण समलंब की ऊँचाई से बनते हैं। आइए समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई को h के रूप में निरूपित करें। फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
एच 2 + (24 - ए) 2 \u003d (5√17) 2
तथा
एच 2 + (24 - बी) 2 \u003d 13 2
विचार करें कि a \u003d 16 - b, फिर पहले समीकरण में
एच 2 + (24 - 16 + बी) 2 \u003d 425
ज 2 \u003d 425 - (8 + ख) 2
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा प्राप्त दूसरे समीकरण में ऊंचाई के वर्ग के मान को रखें। हम पाते हैं:
425 - (8 + बी) 2 + (24 - बी) 2 = 169
-(64 + 16बी + बी) 2 + (24 - बी) 2 = -256
-64 - 16 बी - बी 2 + 576 - 48 बी + बी 2 = -256
-64बी = -768
बी = 12
अत: केडी = 12
कहाँ पे
एच 2 \u003d 425 - (8 + बी) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
एच = 5
इसकी ऊंचाई और आधारों के आधे योग का उपयोग करके एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
, जहाँ a b - समलम्बाकार आधार, h - समलंब की ऊँचाई
एस \u003d (24 + 8) * 5/2 \u003d 80 सेमी 2
उत्तर: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 80 cm2 है।
केवल दो समान्तर भुजाओं वाला चतुर्भुज कहलाता है ट्रापेज़.
एक समलम्ब चतुर्भुज की समानांतर भुजाएँ कहलाती हैं मैदान, और वे भुजाएँ जो समानांतर नहीं हैं, कहलाती हैं पक्षों. यदि भुजाएँ समान हैं, तो ऐसा समलंब समद्विबाहु है। आधारों के बीच की दूरी को समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कहते हैं।
समलंब की मध्य रेखा
मध्य रेखा एक खंड है जो ट्रेपेज़ॉइड के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है। एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों के समानांतर होती है।
प्रमेय:
यदि एक भुजा के मध्य को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर है, तो यह समलम्बाकार की दूसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
प्रमेय:
मध्य रेखा की लंबाई उसके आधारों की लंबाई के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है
एमएन || एबी || डीसीएएम = एमडी; बीएन = एनसी
एमएन मिडलाइन, एबी और सीडी - आधार, एडी और बीसी - पक्ष
एमएन = (एबी + डीसी) / 2
प्रमेय:
एक समलंब की मध्य रेखा की लंबाई उसके आधारों की लंबाई के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है।
मुख्य कार्य: सिद्ध कीजिए कि समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उस खंड को समद्विभाजित करती है जिसके सिरे समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य में स्थित होते हैं।
त्रिभुज की मध्य रेखा
त्रिभुज की दोनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को त्रिभुज की मध्य रेखा कहते हैं। यह तीसरी भुजा के समानांतर है और इसकी लंबाई तीसरी भुजा की लंबाई से आधी है।
प्रमेय: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा दिए गए त्रिभुज की दूसरी भुजा के समांतर हो, तो वह तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
एएम = एमसी और बीएन = एनसी =>
त्रिभुज और समलंब मध्य रेखा गुण लागू करना
एक खंड का एक निश्चित संख्या में समान भागों में विभाजन।
कार्य: खंड AB को 5 बराबर भागों में विभाजित करें।
समाधान:
मान लीजिए p एक यादृच्छिक किरण है जिसका मूल बिंदु A है और जो रेखा AB पर नहीं है। हम क्रमिक रूप से पी एए 1 = ए 1 ए 2 = ए 2 ए 3 = ए 3 ए 4 = ए 4 ए 5 पर 5 बराबर खंडों को अलग करते हैं।
हम ए 5 को बी से जोड़ते हैं और ए 4, ए 3, ए 2 और ए 1 के माध्यम से रेखाएं खींचते हैं जो ए 5 बी के समानांतर हैं। वे एबी को क्रमशः बी 4, बी 3, बी 2 और बी 1 पर काटते हैं। ये बिंदु खंड AB को 5 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। वास्तव में, समलम्ब चतुर्भुज BB 3 A 3 A 5 से हम देखते हैं कि BB 4 = B 4 B 3 । इसी तरह, समलम्ब चतुर्भुज बी 4 बी 2 ए 2 ए 4 से हमें बी 4 बी 3 = बी 3 बी 2 मिलता है
जबकि समलम्ब चतुर्भुज से B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 ।
फिर बी 2 एए 2 से यह निम्नानुसार है कि बी 2 बी 1 = बी 1 ए। निष्कर्ष में, हम प्राप्त करते हैं:
एबी 1 = बी 1 बी 2 = बी 2 बी 3 = बी 3 बी 4 = बी 4 बी
यह स्पष्ट है कि खंड AB को अन्य समान भागों में विभाजित करने के लिए, हमें समान संख्या में समान खंडों को किरण p पर प्रक्षेपित करने की आवश्यकता है। और फिर ऊपर वर्णित तरीके से जारी रखें।
