ज्यामिति में अक्सर त्रिभुजों की भुजाओं से संबंधित समस्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि अन्य दो ज्ञात हों तो त्रिभुज की भुजा ज्ञात करना अक्सर आवश्यक होता है।

त्रिभुज समद्विबाहु, समबाहु और समबाहु हैं। सभी किस्मों से, पहले उदाहरण के लिए, हम एक आयताकार चुनेंगे (ऐसे त्रिभुज में, कोणों में से एक 90 ° है, इससे सटे पक्षों को पैर कहा जाता है, और तीसरा कर्ण है)।

त्वरित लेख नेविगेशन

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई

समस्या का समाधान महान गणितज्ञ पाइथागोरस के प्रमेय से होता है। यह कहता है कि एक समकोण त्रिभुज की टांगों के वर्गों का योग उसके कर्ण के वर्ग के बराबर होता है: a²+b²=c²

• पैर की लंबाई का वर्ग ज्ञात कीजिए a;
• पैर b का वर्ग ज्ञात कीजिए;
• हमने उन्हें एक साथ रखा;
• प्राप्त परिणाम से, हम दूसरी डिग्री की जड़ निकालते हैं।

उदाहरण: a=4, b=3, c=?

• ए²=4²=16;
• बी²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. अर्थात् इस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई 5 है।

यदि त्रिभुज में कोई नहीं है समकोण, तो दोनों पक्षों की लंबाई पर्याप्त नहीं है। इसके लिए तीसरे पैरामीटर की आवश्यकता होती है: यह एक कोण, ऊंचाई, त्रिभुज का क्षेत्रफल, उसमें अंकित एक वृत्त की त्रिज्या आदि हो सकता है।

यदि परिमाप ज्ञात हो

इस मामले में, कार्य और भी आसान है। परिमाप (P) त्रिभुज की सभी भुजाओं का योग है: P=a+b+c. इस प्रकार, एक सरल गणितीय समीकरण को हल करने पर हमें परिणाम प्राप्त होता है।

उदाहरण: P=18, a=7, b=6, c=?

1) हम सभी ज्ञात मापदंडों को समान चिह्न के एक तरफ स्थानांतरित करके समीकरण को हल करते हैं:

2) उनके स्थान पर मान रखें और तीसरे पक्ष की गणना करें:

c=18-7-6=5, इसलिए त्रिभुज की तीसरी भुजा 5 है।

यदि कोण ज्ञात है

कोण और अन्य दो भुजाओं को देखते हुए त्रिभुज की तीसरी भुजा की गणना करने के लिए, त्रिकोणमितीय समीकरण की गणना करने के लिए समाधान को घटाया जाता है। त्रिभुज की भुजाओं और कोण की ज्या के बीच संबंध जानने के बाद, तीसरी भुजा की गणना करना आसान है। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों पक्षों को चौकोर करना होगा और उनके परिणामों को एक साथ जोड़ना होगा। फिर कोण के कोज्या से गुणा करके, पक्षों के परिणामी गुणनफल से घटाएं: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

यदि क्षेत्र ज्ञात है

इस मामले में, एक सूत्र पर्याप्त नहीं है।

1) सबसे पहले, हम पाप की गणना त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र से व्यक्त करते हैं:

पाप = 2एस/(ए*बी)

2) निम्न सूत्र का उपयोग करके, हम एक ही कोण की कोज्या की गणना करते हैं:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) और फिर से हम साइन प्रमेय का उपयोग करते हैं:

सी=√((a²+b²)-a*b*cosα)

सी=√((a²+b²)-a*b*√(1- (एस/(ए*बी))²))

इस समीकरण में चर के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम समस्या का उत्तर प्राप्त करते हैं।

पहले वे खंड हैं जो समकोण से सटे हुए हैं, और कर्ण आकृति का सबसे लंबा हिस्सा है और 90 डिग्री के कोण के विपरीत है। पाइथागोरस त्रिभुज वह होता है जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं प्राकृतिक संख्या; इस मामले में उनकी लंबाई को "पायथागॉरियन ट्रिपल" कहा जाता है।

मिस्र का त्रिभुज

वर्तमान पीढ़ी के लिए ज्यामिति को जिस रूप में अभी स्कूल में पढ़ाया जाता है, उसे सीखने के लिए इसे कई शताब्दियों तक विकसित किया गया है। मूल बिंदु पाइथागोरस प्रमेय है। एक आयत की भुजाएँ पूरी दुनिया को ज्ञात हैं) 3, 4, 5 हैं।

कुछ लोग वाक्यांश से परिचित नहीं हैं " पायथागॉरियन पैंटसभी दिशाओं में समान। ” हालाँकि, वास्तव में, प्रमेय इस तरह लगता है: c 2 (कर्ण का वर्ग) \u003d a 2 + b 2 (पैरों के वर्गों का योग)।

गणितज्ञों में, 3, 4, 5 (सेमी, मी, आदि) भुजाओं वाले त्रिभुज को "मिस्र" कहा जाता है। यह दिलचस्प है कि जो चित्र में अंकित है वह एक के बराबर है। नाम 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास उत्पन्न हुआ, जब यूनानी दार्शनिक मिस्र गए।

पिरामिडों का निर्माण करते समय, वास्तुकारों और सर्वेक्षकों ने 3:4:5 के अनुपात का उपयोग किया। ऐसी संरचनाएं आनुपातिक, देखने में सुखद और विशाल निकलीं, और शायद ही कभी ढह गईं।

समकोण बनाने के लिए, बिल्डरों ने एक रस्सी का इस्तेमाल किया, जिस पर 12 गांठें बंधी हुई थीं। इस मामले में, एक समकोण त्रिभुज के निर्माण की संभावना बढ़कर 95% हो गई।

आंकड़ों की समानता के संकेत

• तीव्र कोण in सही त्रिकोणऔर बड़ी भुजा, जो दूसरे त्रिभुज में समान तत्वों के बराबर है, अंकों की समानता का एक निर्विवाद संकेत है। कोणों के योग को ध्यान में रखते हुए, यह साबित करना आसान है कि दूसरे न्यून कोण भी बराबर हैं। इस प्रकार, त्रिभुज दूसरे मानदंड में समरूप हैं।
• जब दो आकृतियों को एक-दूसरे पर आरोपित किया जाता है, तो हम उन्हें इस प्रकार घुमाते हैं कि जब वे संयुक्त हो जाते हैं, तो वे एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाते हैं। इसकी संपत्ति के अनुसार, पक्ष, या यों कहें, कर्ण समान हैं, साथ ही आधार पर कोण भी हैं, जिसका अर्थ है कि ये आंकड़े समान हैं।

पहले संकेत से, यह साबित करना बहुत आसान है कि त्रिभुज वास्तव में समान हैं, मुख्य बात यह है कि दो छोटी भुजाएँ (यानी पैर) एक दूसरे के बराबर हैं।

त्रिकोण II चिन्ह के अनुसार समान होंगे, जिसका सार पैर की समानता और तीव्र कोण है।

समकोण त्रिभुज गुण

ऊंचाई, जो एक समकोण से कम की गई थी, आकृति को दो समान भागों में विभाजित करती है।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ और उसकी माध्यिका नियम द्वारा आसानी से पहचानी जा सकती है: माध्यिका, जो कर्ण तक नीचे होती है, इसके आधे के बराबर होती है। बगुला के सूत्र और इस कथन से कि यह टाँगों के आधे गुणनफल के बराबर है, दोनों से ज्ञात किया जा सकता है।

एक समकोण त्रिभुज में, 30 o, 45 o और 60 o के कोणों के गुण लागू होते हैं।

• 30 ° के कोण पर, यह याद रखना चाहिए कि विपरीत पैर सबसे बड़ी भुजा के 1/2 के बराबर होगा।
• यदि कोण 45o है, तो दूसरा तेज़ कोनेभी 45 ओ. इससे पता चलता है कि त्रिभुज समद्विबाहु है, और उसके पैर समान हैं।
• 60 डिग्री के कोण का गुण यह है कि तीसरे कोण का माप 30 डिग्री है।

क्षेत्र तीन सूत्रों में से एक द्वारा खोजना आसान है:

1. ऊँचाई और किनारे से होकर जिस पर वह उतरता है;
2. हेरॉन के सूत्र के अनुसार;
3. पक्षों के साथ और उनके बीच का कोण।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ, या यों कहें कि पैर, दो ऊँचाइयों के साथ अभिसरण करते हैं। तीसरे को खोजने के लिए, परिणामी त्रिभुज पर विचार करना आवश्यक है, और फिर, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आवश्यक लंबाई की गणना करें। इस सूत्र के अतिरिक्त, क्षेत्रफल और कर्ण की लंबाई के दोगुने का अनुपात भी है। छात्रों के बीच सबसे आम अभिव्यक्ति पहली है, क्योंकि इसमें कम गणना की आवश्यकता होती है।

प्रमेय जो एक समकोण त्रिभुज पर लागू होते हैं

एक समकोण त्रिभुज की ज्यामिति में प्रमेयों का उपयोग शामिल है जैसे:

ज्ञात त्रिभुज डेटा दर्ज करें

पक्ष एक

साइड बी

साइड सी

कोण A डिग्री में

कोण B डिग्री में

कोण C डिग्री में

माध्यिका प्रति पक्ष a

माध्यिका प्रति पक्ष b

माध्यिका प्रति पक्ष c

प्रति पक्ष ऊँचाई a

प्रति पक्ष ऊंचाई b

सी तरफ ऊंचाई

वर्टेक्स ए निर्देशांक

एक्स यू

वर्टेक्स बी निर्देशांक

एक्स यू

वर्टेक्स सी निर्देशांक

एक्स यू

त्रिभुज S . का क्षेत्रफल

त्रिभुज भुजाओं का अर्ध परिमाप p

हम आपको एक कैलकुलेटर पेश करते हैं जो आपको हर संभव गणना करने की अनुमति देता है।

मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहता हूं कि यह एक सामान्य बॉट है।यह मनमाने ढंग से दिए गए मापदंडों के साथ एक मनमाना त्रिकोण के सभी मापदंडों की गणना करता है। ऐसा बॉट आपको कहीं नहीं मिलेगा।

क्या आप भुजा और दो ऊँचाइयों को जानते हैं? या दो पक्ष और एक माध्यिका? या समद्विभाजक दो कोण और एक त्रिभुज का आधार है?

किसी भी अनुरोध के लिए, हम त्रिभुज के मापदंडों की सही गणना प्राप्त कर सकते हैं।

आपको सूत्रों की तलाश करने और गणना स्वयं करने की आवश्यकता नहीं है। आपके लिए सब कुछ पहले ही किया जा चुका है।

एक अनुरोध बनाएं और सटीक उत्तर प्राप्त करें।

एक मनमाना त्रिभुज दिखाया गया है। हम तुरंत आरक्षण करेंगे कि कैसे और क्या संकेत दिया गया है, ताकि भविष्य में गणना में कोई भ्रम और त्रुटियां न हों।

किसी भी कोण के विपरीत भुजाओं को भी केवल एक छोटा अक्षर कहा जाता है. अर्थात्, कोण A के विपरीत त्रिभुज a की भुजा है, भुजा c कोण C के विपरीत है।

ma मदीना है जो क्रमशः a की ओर गिरती है, माध्यिका mb और mc भी संगत भुजाओं पर पड़ती हैं।

lb क्रमशः भुजा b पर पड़ने वाला समद्विभाजक है, संगत भुजाओं पर गिरने वाले समद्विभाजक la और lc भी हैं।

hb क्रमशः भुजा b पर गिरने वाली ऊँचाई है, ऊँचाई h और hc भी संगत भुजाओं पर गिरती हैं।

और दूसरी बात, याद रखें कि एक त्रिभुज एक आकृति है जिसमें है मौलिकनियम:

किसी भी (!) दो भुजाओं का योग से बड़ा होना चाहिएतीसरा.

तो अगर आपको कोई त्रुटि मिले तो चौंकिए मत पी ऐसे दिए गए डेटा के लिए, त्रिभुज मौजूद नहीं है। 3, 3 और 7 भुजाओं वाले त्रिभुज के मापदंडों की गणना करने का प्रयास करते समय।

वाक्य - विन्यास

एक्सएमपीपी क्लाइंट एनबलर्स के लिए, अनुरोध इस ट्रेग की तरह है<список параметров>

साइट उपयोगकर्ताओं के लिए, इस पृष्ठ पर सब कुछ किया जाता है।

मापदंडों की सूची - ज्ञात पैरामीटर, अर्धविराम द्वारा अलग किए गए

पैरामीटर के रूप में लिखा गया है पैरामीटर = मान

उदाहरण के लिए, यदि पक्ष a को 10 के मान से जाना जाता है, तो हम a = 10 . लिखते हैं

इसके अलावा, मान न केवल वास्तविक संख्या के रूप में हो सकते हैं, बल्कि उदाहरण के लिए, किसी प्रकार की अभिव्यक्ति के परिणामस्वरूप भी हो सकते हैं

और यहां उन मापदंडों की सूची है जो गणना में दिखाई दे सकते हैं।

पक्ष एक

साइड बी

साइड सी

सेमीपरिमीटर पी

कोण ए

कोण बी

कोण सी

त्रिभुज S . का क्षेत्रफल

ऊँचाई हेक्टेयर प्रति भुजा a

ऊँचाई hb प्रति पक्ष b

ऊंचाई एचसी प्रति पक्ष सी

माध्यिका मा प्रति पक्ष a

माध्य mb प्रति पक्ष b

माध्य mc प्रति पक्ष c

शीर्ष निर्देशांक (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)

उदाहरण

लिखना ट्रेग ए=8;सी=70;हे=2

दिए गए मापदंडों द्वारा त्रिभुज पैरामीटर

साइड ए = 8

साइड बी = 2.12835555449519

साइड सी = 7.5420719851515

सेमीपरिमीटर पी = 8.8352137650517

कोण A = 2.1882518638666 डिग्री में 125.37759631119

कोण B = 2.873202966917 डिग्री में 164.62240368881

कोण C = 1.221730476396 70 डिग्री . में

त्रिभुज क्षेत्र S = 8

ऊँचाई हेक्टेयर प्रति भुजा a = 2

ऊँचाई hb प्रति भुजा b = 7.5175409662872

ऊँचाई hc प्रति भुजा c = 2.1214329472723

माध्यिका मा प्रति भुजा a = 3.83488889915443

माध्यिका mb प्रति भुजा b = 7.7012304590352

माध्यिका mc प्रति भुजा c = 4.4770789813853

बस इतना ही, त्रिभुज के सभी पैरामीटर।

सवाल यह है कि हमने पार्टी का नाम क्यों रखा? एक, लेकिन नहीं मेंया साथ? यह निर्णय को प्रभावित नहीं करता है। मुख्य बात उस स्थिति को झेलना है जिसके बारे में मैं पहले ही कह चुका हूं " किसी भी कोने के विपरीत पक्षों को एक ही कहा जाता है, केवल एक छोटे अक्षर के साथऔर फिर अपने दिमाग में एक त्रिकोण बनाएं, और पूछे गए प्रश्न पर लागू करें।

इसके बजाय लिया जा सकता है एक में, लेकिन तब शामिल कोण नहीं होगा सेएक लेकिनठीक है, ऊंचाई होगी मॉडिफ़ाइड अमेरिकन प्लान. यदि आप चेक करते हैं तो परिणाम वही होगा।

उदाहरण के लिए, इस तरह (xa,ya) =3.4 (xb,yb) =-6.14 (xc,yc)=-6,-3

एक अनुरोध लिखना ट्रेग xa=3;ya=4;xb=-6;yb=14;xc=-6;yc=-3

और हमें मिलता है

दिए गए मापदंडों द्वारा त्रिभुज पैरामीटर

साइड ए = 17

साइड बी = 11.401754250991

साइड सी = 13.453624047073

सेमीपरिमीटर पी = 20.927689149032

कोण A = 1.4990243938603 डिग्री में 85.887771155351

कोण B = 0.73281510178655 डिग्री में 41.987212495819

कोण C = 0.90975315794426 डिग्री में 52.125016348905

त्रिभुज क्षेत्र S = 76.5

ऊँचाई हेक्टेयर प्रति भुजा a = 9

ऊँचाई hb प्रति भुजा b = 13.418987695398

ऊँचाई hc प्रति भुजा c = 11.372400437582

माध्यिका मा प्रति भुजा a = 9.1241437954466

माध्यिका mb प्रति भुजा b = 14.230249477757

माध्य mc प्रति भुजा c = 12.816005617976

आपकी गणना के साथ शुभकामनाएँ!

त्रिभुज की परिभाषा

त्रिकोण- ये है ज्यामितीय आकृति, जो तीन खंडों के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप बनता है, जिसके सिरे एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। किसी भी त्रिभुज की तीन भुजाएँ, तीन शीर्ष और तीन कोण होते हैं।

ऑनलाइन कैलकुलेटर

त्रिभुज विभिन्न प्रकार के होते हैं। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज (जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं), समद्विबाहु (इसमें दो भुजाएँ बराबर हैं) और समकोण (जिसमें एक कोण समकोण है, अर्थात 90 डिग्री के बराबर है) )

त्रिभुज का क्षेत्रफल विभिन्न तरीकों से पाया जा सकता है, जिसके आधार पर आकृति के कौन से तत्व समस्या की स्थिति से ज्ञात होते हैं, चाहे वह कोण हो, लंबाई हो, या सामान्य रूप से, इससे जुड़े मंडलियों की त्रिज्या त्रिकोण। उदाहरणों के साथ प्रत्येक विधि पर अलग से विचार करें।

किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र उसके आधार और ऊँचाई को दिया जाता है

एस = 1 2 ए एच एस= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hएस =2 1 ​ ⋅ एकएच,

ए ए एक- त्रिभुज का आधार;
एच हो एच- दिए गए आधार पर खींचे गए त्रिभुज की ऊंचाई a.

उदाहरण

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि उसके आधार की लंबाई ज्ञात है, 10 (सेमी) के बराबर और इस आधार पर खींची गई ऊंचाई, 5 (सेमी) के बराबर है।

समाधान

ए = 10 ए = 10 ए =1 0
एच = 5 एच = 5 एच =5

क्षेत्र के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:
एस = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 एस=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25एस =2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (वर्ग देखें)

उत्तर: 25 (वर्ग देखें)

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें सभी भुजाओं की लंबाई दी गई हो

एस = पी ⋅ (पी - ए) ⋅ (पी - बी) ⋅ (पी - सी) एस = \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))एस =पी ⋅ (पी - ए) ⋅ (पी - बी) ⋅ (पी - सी)​ ,

ए, बी, सी ए, बी, सी ए, बी, सी- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई;
पीपी पी- त्रिभुज की सभी भुजाओं का आधा योग (अर्थात त्रिभुज का आधा परिमाप):

पी = 1 2 (ए + बी + सी) p=\frac(1)(2)(a+b+c)पी =2 1 ​ (ए +बी +सी)

इस सूत्र को कहा जाता है हीरोन का सूत्र.

उदाहरण

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसकी तीन भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो, जो 3 (देखें), 4 (देखें), 5 (देखें) के बराबर हो।

समाधान

ए=3 ए=3 ए =3
बी = 4 बी = 4 ख =4
सी = 5 सी = 5 सी =5

आधा परिमाप ज्ञात कीजिए पीपी पी:

पी = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6पी =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

तब, हेरॉन के सूत्र के अनुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

एस = 6 ⋅ (6 - 3) ⋅ (6 - 4) ⋅ (6 - 5) = 36 = 6 एस=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6एस =6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (वर्ग देखें)

उत्तर: 6 (वर्ग देखें)

एक भुजा और दो कोण दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))एस =2 एक 2 ​ ⋅ पाप (β+γ)पाप β पाप γ ​ ,

ए ए एक- त्रिभुज की भुजा की लंबाई;
β , \बीटा, \gamma β , γ - भुजा से सटे कोण एक ए एक.

उदाहरण

10 (देखें) के बराबर त्रिभुज की एक भुजा और 30 डिग्री के दो आसन्न कोण दिए गए हैं। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

ए = 10 ए = 10 ए =1 0
β = 3 0 \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

सूत्र के अनुसार:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 + 3 0 ) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ))=50\cdot\frac( 1)(2\वर्ग(3))\लगभग 14.4एस =2 1 0 2 ​ ⋅ पाप(3 .) 0 ∘ + 3 0 ∘ ) पाप 3 0 ∘ पाप 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (वर्ग देखें)

उत्तर: 14.4 (वर्ग देखें)

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें तीन भुजाएँ और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या दी गई है

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)एस =4 आरए बी सी​ ,

ए, बी, सी ए, बी, सी ए, बी, सी- एक त्रिभुज की भुजाएँ
आर आर आरत्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।

उदाहरण

हम अपनी दूसरी समस्या से संख्याएँ लेते हैं और उनमें एक त्रिज्या जोड़ते हैं आर आर आरमंडलियां। इसे 10 के बराबर होने दें (देखें)।

समाधान

ए=3 ए=3 ए =3
बी = 4 बी = 4 ख =4
सी = 5 सी = 5 सी =5
आर = 10 आर = 10 आर =1 0

एस = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 एस=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5एस =4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (वर्ग देखें)

उत्तर: 1.5 (सेमी.वर्ग.)

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें तीन भुजाएँ और एक उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या दी गई है

एस = पी ⋅ आर एस=p\cdot rएस= पी⋅ आर,

पीपीपी- त्रिभुज का आधा परिमाप:

पी = ए + बी + सी 2 पी=\frac(a+b+c)(2)पी= 2 एक+ बी+ सी​ ,

ए, बी, सी ए, बी, सीएक, बी, सी- एक त्रिभुज की भुजाएँ
आर रआरत्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

उदाहरण

माना खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या 2 (देखें) के बराबर है। हम पिछली समस्या से भुजाओं की लंबाई लेते हैं।

समाधान

$एक=3बी\; =\; 4\; बी\; =\; 4बी=4सी\; =\; 5\; सी\; =\; 5सी=5आर\; =\; 2\; आर\; =\; 2आर=2$

$पी=23+4+5=6$

एस = 6 ⋅ 2 = 12 एस=6\cdot 2=12एस= 6 ⋅ 2 = 1 2 (वर्ग देखें)

उत्तर: 12 (वर्ग देखें)

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया हो

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)एस= 2 1 ​ ⋅ बी⋅ सी⋅ पाप(α ) ,

बी, सी बी, सीबी, सी- एक त्रिभुज की भुजाएँ

α\alphaα - भुजाओं के बीच का कोण बी बीबीतथा सी सीसी.

उदाहरण

त्रिभुज की भुजाएँ 5 (देखें) और 6 (देखें) हैं, उनके बीच का कोण 30 डिग्री है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

$बी=5सी=6\; सी=6सी=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

एस = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ पाप ⁡ (3 0 ) = 7.5 एस=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5एस= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ पाप(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (वर्ग देखें)

उत्तर: 7.5 (वर्ग देखें)

एंड्री प्रोकिप: "मेरा प्यार रूसी पारिस्थितिकी है। आपको इसमें निवेश करना चाहिए!"
4-5 सितंबर को पारिस्थितिक मंच "शहरों का जलवायु आकार" आयोजित किया गया था। आयोजन के संगठन का आरंभकर्ता C40 संगठन है, जिसे 2005 में UN द्वारा स्थापित किया गया था। प्रपत्र और शहरों का मुख्य कार्य नियंत्रित करना है जलवायु परिवर्तनशहरों।
जैसा कि अभ्यास ने दिखाया है, सामाजिक आयोजनों और "नाइट क्लबों में सत्र" के विपरीत, कुछ प्रतिनिधि और सार्वजनिक व्यक्तित्व थे। चिंताओं को प्रकट करने वालों में पर्यावरण की स्थितिप्रोकिप एड्रे ज़िनोविएविच थे। उन्होंने राष्ट्रपति के विशेष प्रतिनिधि के साथ सभी पूर्ण सत्रों में सक्रिय भाग लिया रूसी संघजलवायु मुद्दों पर रुस्लान एडेलगेरिएव, आवास और सांप्रदायिक सेवाओं पर मास्को के उप महापौर पेट्र बिरयुकोव, साथ ही साथ विदेशी प्रतिनिधि - महापौर इतालवी शहरसवोना - हिलारियो कैप्रियोग्लियो। प्रतिभागियों ने अपनी परियोजनाओं को प्रस्तुत किया और वैश्विक तापमान में वृद्धि को बनाए रखने के लिए रणनीतियों पर भी चर्चा की, और प्रस्तावित भी किया व्यावहारिक समाधानसतत शहरी विकास।
एंड्री प्रोकिप के बारे में शशलिक, डिप्टी और ग्रीन कंस्ट्रक्शन
रूसी पक्ष के लिए विशेष रुचि वक्ताओं का भाषण था, जिनमें से यूरोपीय आर्किटेक्ट, वैज्ञानिक और सवोना के मेयर थे। भाषण का विषय टॉप डायरेक्शन था - "ग्रीन कंस्ट्रक्शन"। जैसा कि आंद्रेई प्रोकिप ने खुद कहा था, "संसाधनों को सही ढंग से पुनर्वितरित करना महत्वपूर्ण है, साथ ही मास्को जैसे महानगर के लिए यूरोपीय निर्माण के मानकों को भी ध्यान में रखना है। यह आवश्यक है कि संघीय स्तर पर रूस "हरित वित्तपोषण" की दिशा में एक कोर्स करे, खासकर जब से यह आर्थिक रूप से व्यवहार्य है और, जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, लाभदायक है।" उन्होंने पर्यावरणीय आपदाओं के संबंध में रूसियों के स्वास्थ्य में गिरावट और बड़े और छोटे कचरे के निपटान के लिए पर्यावरणीय मानकों का पालन न करने पर भी चिंता व्यक्त की। औद्योगिक उद्यम". उन्होंने फ्रांसेस्को ज़ांबोन, डब्ल्यूएचओ यूरोपियन ब्यूरो ऑफ़ हेल्थ इन्वेस्टमेंट प्रोफेसर के भाषण के लिए अपने डर की पुष्टि की।
विशिष्ट हास्य के साथ, एंड्री ने प्रसिद्ध लोगों की ओर रुख किया, जिन्हें मंच पर आमंत्रित किया गया था, लेकिन कभी नहीं दिखाया, "प्रकृति को याद रखने के लिए, न केवल जब वे बारबेक्यू चाहते हैं या मछली पकड़ने जाते हैं। आखिरकार, यह प्रकृति की भलाई पर है कि सभी लोगों का स्वास्थ्य निर्भर करता है, जो दुर्भाग्य से, उन्हें शामिल करता है।
आंद्रेई ज़िनोविएविच की नई "मालकिन-प्रकृति" के बारे में भावुक भाषणों के अलावा और जिम्मेदारी लेने के महत्व के लिए वातावरणमंच की एक महत्वपूर्ण घटना "नई पीढ़ी को कैसे शिक्षित करें" विषय पर पूर्ण सत्र था। मंच के प्रतिभागियों की राय में एकमत थी कि न केवल बच्चों को बल्कि वयस्क पीढ़ी को भी शिक्षित करना आवश्यक है। रोजमर्रा के व्यवहार के साथ-साथ व्यापार में भी प्रकृति के प्रति जिम्मेदारी लाना बहुत जरूरी है।
मॉस्को के लिए एक विशेष परियोजना "सभ्य तरीके से जीना सीखना" शुरू किया जाएगा। यह जनसंख्या और आयु वर्ग के सभी वर्गों के लिए एक शैक्षिक परियोजना है। लेकिन सिद्धांत और अच्छे इरादे कितने भी अद्भुत क्यों न हों, यह कहावत "जब तक भुना हुआ मुर्गा चबाता नहीं है, तब तक मूर्ख खुद को पार नहीं करेगा" रूस के लिए अभी भी प्रासंगिक है।
प्रसिद्ध रंगमंच निर्देशक टिमोथी नेट्टर के अनुसार कला सब कुछ बदल सकती है। अपने एक भाषण में उन्होंने इस बारे में बात की कि प्रकृति के संरक्षण के विचार को थिएटर और सिनेमा में कैसे प्रस्तुत किया जाना चाहिए, और कला के माध्यम से लोगों को शिक्षित करना कितना महत्वपूर्ण है कि कल हमारे और प्रकृति के साथ क्या होगा।
छात्रों द्वारा रेंटव ऑपरेटरों और आंद्रेई प्रोकिर्प का ध्यान आकर्षित किया गया था रूसी विश्वविद्यालय, नमी और तापमान के प्रतिरोधी कंटेनरों के उत्पादन के लिए पर्यावरण के अनुकूल प्रौद्योगिकी पर एक परियोजना प्रस्तुत करना। यह बहुत ही वास्तविक समस्या, चूंकि प्लास्टिक के कंटेनरों के खिलाफ दुनिया भर में कानून पारित किए जा रहे हैं, जो वैसे, 30 से अधिक वर्षों से सड़ते हैं, मिट्टी को प्रदूषित करते हैं और जानवरों की मृत्यु का कारण बनते हैं।
यह प्रेरणादायक है कि मॉस्को सी40 संगठन में भाग लेने वाले 94 शहरों में से एक है और तीसरी बार फोरम आयोजित किया गया है, जो हर साल अधिक से अधिक प्रसिद्ध हस्तियों और नागरिकों का ध्यान आकर्षित करता है।