1. Математическо очакване постоянна стойностравен на най-постоянния M(S)=S
.
2. Константен фактор може да бъде изваден от знака за очакване: M(CX)=CM(X)
3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Теорема. Математическо очакване M(x) на броя на събитията A в n независими тестовее равно на произведението на тези опити от вероятността за възникване на събития във всяко изпитване: M(x) = np.
Позволявам х е случайна променлива и M(X) - нея очаквана стойност. Разгледайте разликата като нова случайна променлива X - M(X).
Отклонението е разликата между случайна променлива и нейното математическо очакване.
Отклонението има следния закон на разпределение:
Решение: Намерете математическото очакване:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Нека напишем закона за разпределение на квадратното отклонение:
Решение: Намерете очакването M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Нека напишем закона за разпределение на случайната променлива X 2
| x2 | |||
| П | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Нека намерим математическото очакване M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Желаната дисперсия D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05
Дисперсионни свойства:
1. Дисперсия на постоянна стойност ОТ
е равно на нула: D(C)=0
2. Константен фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението от броя на опитите и вероятността за настъпване и ненастъпване на събитие в един опит D(X)=npq
За да се оцени дисперсията на възможните стойности на случайна променлива около нейната средна стойност, в допълнение към дисперсията, служат и някои други характеристики. Сред тях е стандартното отклонение.
Стандартното отклонение на случайна променлива хнаречен корен квадратен от дисперсията:
σ(X) = √D(X) (4)
Пример. Случайната променлива X е дадена от закона за разпределение
| х | |||
| П | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Намерете стандартното отклонение σ(x)
Решение: Намерете математическото очакване X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Нека намерим математическото очакване на X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Намерете дисперсията: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Желано стандартно отклонение σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61
Теорема. Средното квадратично отклонение на сумата от краен брой взаимно независими случайни променливи е корен квадратенот сумата на квадратите на стандартните отклонения на тези величини:
Пример. На рафт с 6 книги има 3 книги по математика и 3 по физика. На случаен принцип се избират три книги. Намерете закона за разпределение на броя на книгите по математика между избраните книги. Намерете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.
Основни числени характеристики на дискретни и непрекъснати случайни величини: математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение. Техните свойства и примери.
Законът за разпределение (функция на разпределение и ред на разпределение или плътност на вероятността) напълно описва поведението на случайна променлива. Но в редица задачи е достатъчно да знаете някои числени характеристики на изследваната величина (например нейната средна стойност и възможно отклонение от нея), за да отговорите на поставения въпрос. Помислете за основните числени характеристики на дискретни случайни променливи.
Определение 7.1.математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на нейните възможни стойности и съответните им вероятности:
М(х) = х 1 Р 1 + х 2 Р 2 + … + x p r p(7.1)
Ако броят на възможните стойности на случайна променлива е безкраен, тогава ако получената серия се сближава абсолютно.
Забележка 1.Математическото очакване понякога се нарича среднопретеглена стойност, тъй като е приблизително равно на средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива при големи числаексперименти.
Забележка 2.От дефиницията на математическото очакване следва, че неговата стойност е не по-малка от най-малката възможна стойност на случайна величина и не по-голяма от най-голямата.
Забележка 3.Математическото очакване на дискретна случайна променлива е неслучайни(постоянен. По-късно ще видим, че същото важи и за непрекъснатите случайни променливи.
Пример 1. Намерете математическото очакване на случайна променлива х- броя на стандартните части сред три избрани от партида от 10 части, включително 2 дефектни. Нека съставим серия за разпространение за х. От условието на задачата следва, че хможе да приеме стойностите 1, 2, 3. Тогава
Пример 2. Дефинирайте математическото очакване на случайна променлива х- броя на хвърлянията на монети до първото появяване на герба. Това количество може да приеме безкраен брой стойности (множеството от възможни стойности е множеството естествени числа). Серията му на разпространение има формата:
| х | … | П | … | ||
| Р | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)П | … |
+ (при изчисляването е използвана два пъти формулата за сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия: , откъдето ).
Свойства на математическото очакване.
1) Математическото очакване на константа е равно на самата константа:
М(ОТ) = ОТ.(7.2)
Доказателство. Ако вземем предвид ОТкато дискретна случайна променлива, която приема само една стойност ОТс вероятност Р= 1, тогава М(ОТ) = ОТ?1 = ОТ.
2) Константен фактор може да бъде изваден от знака за очакване:
М(SH) = СМ(х). (7.3)
Доказателство. Ако случайната променлива хдадени от серията за разпространение
Тогава М(SH) = Cx 1 Р 1 + Cx 2 Р 2 + … + Cx p r p = ОТ(х 1 Р 1 + х 2 Р 2 + … + x p r p) = СМ(х).
Определение 7.2.две случайни променливиНаречен независима, ако законът за разпределение на един от тях не зависи от това какви стойности е приел другият. Иначе случайни променливи зависим.
Определение 7.3.Да се обадим произведение на независими случайни променливи хи Y случайна величина XY, чиито възможни стойности са равни на произведенията на всички възможни стойности хза всички възможни стойности Y, а съответните им вероятности са равни на произведенията на вероятностите на факторите.
3) Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:
М(XY) = М(х)М(Y). (7.4)
Доказателство. За да опростим изчисленията, ние се ограничаваме до случая, когато хи Yвземете само две възможни стойности:
Следователно, М(XY) = х 1 г 1 ?стр 1 ж 1 + х 2 г 1 ?стр 2 ж 1 + х 1 г 2 ?стр 1 ж 2 + х 2 г 2 ?стр 2 ж 2 = г 1 ж 1 (х 1 стр 1 + х 2 стр 2) + + г 2 ж 2 (х 1 стр 1 + х 2 стр 2) = (г 1 ж 1 + г 2 ж 2) (х 1 стр 1 + х 2 стр 2) = М(х)?М(Y).
Забележка 1.По същия начин може да се докаже това свойство за повече възможни стойности на фактори.
Забележка 2.Свойство 3 е валидно за произведението на произволен брой независими случайни променливи, което се доказва чрез метода на математическата индукция.
Определение 7.4.Да дефинираме сума от случайни променливи хи Y като случайна променлива X + Y, чиито възможни стойности са равни на сумите от всяка възможна стойност хс всяка възможна стойност Y; вероятностите на такива суми са равни на продуктите от вероятностите на термините (за зависими случайни променливи - продуктите на вероятността на един член от условната вероятност на втория).
4) Математическото очакване на сумата от две случайни променливи (зависими или независими) е равно на сумата на математическите очаквания на членовете:
М (X+Y) = М (х) + М (Y). (7.5)
Доказателство.
Разгледайте отново случайните променливи, дадени от серията на разпределение, дадена в доказателството на свойство 3. Тогава възможните стойности X+Yса х 1 + при 1 , х 1 + при 2 , х 2 + при 1 , х 2 + при 2. Означете техните вероятности съответно като Р 11 , Р 12 , Р 21 и Р 22. Да намерим М(х+Y) = (х 1 + г 1)стр 11 + (х 1 + г 2)стр 12 + (х 2 + г 1)стр 21 + (х 2 + г 2)стр 22 =
= х 1 (стр 11 + стр 12) + х 2 (стр 21 + стр 22) + г 1 (стр 11 + стр 21) + г 2 (стр 12 + стр 22).
Нека докажем това Р 11 + Р 22 = Редин . Действително събитието, което X+Yще приеме ценностите х 1 + при 1 или х 1 + при 2 и чиято вероятност е Р 11 + Р 22 съвпада със събитието, което х = х 1 (вероятността му е Редин). По същия начин е доказано, че стр 21 + стр 22 = Р 2 , стр 11 + стр 21 = ж 1 , стр 12 + стр 22 = ж 2. означава,
М(X+Y) = х 1 стр 1 + х 2 стр 2 + г 1 ж 1 + г 2 ж 2 = М (х) + М (Y).
Коментирайте. Свойство 4 предполага, че сумата от произволен брой случайни променливи е равна на сумата от очакваните стойности на условията.
Пример. Намерете математическото очакване на сумата от броя хвърлени точки при хвърляне на пет зара.
Нека намерим математическото очакване на броя точки, паднали при хвърляне на един зар:
М(х 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Същото число е равно на математическото очакване на броя на точките, паднали на всеки зар. Следователно, чрез свойство 4 М(х)=
дисперсия.
За да имаме представа за поведението на една случайна променлива, не е достатъчно да знаем само нейното математическо очакване. Помислете за две случайни променливи: хи Y, дадени чрез серии на разпределение на формата
| х | |||
| Р | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| стр | 0,5 | 0,5 |
Да намерим М(х) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Y) \u003d 0? 0,5 + 100? 0,5 \u003d 50. Както можете да видите, математическите очаквания на двете количества са равни, но ако за HM(х) описва добре поведението на случайна променлива, като е нейната най-вероятна възможна стойност (още повече, че останалите стойности се различават леко от 50), тогава стойностите Yзначително се отклоняват от М(Y). Следователно, заедно с математическото очакване, е желателно да се знае колко стойностите на случайната променлива се отклоняват от него. За характеризиране на този показател се използва дисперсия.
Определение 7.5.Дисперсия (разпръскване)случайна променлива се нарича математическото очакване на квадрата на нейното отклонение от нейното математическо очакване:
д(х) = М (X-M(х))². (7,6)
Намерете дисперсията на случайна променлива х(брой стандартни части сред избраните) в пример 1 на тази лекция. Нека изчислим стойностите на квадратното отклонение на всяка възможна стойност от математическото очакване:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Следователно,
Забележка 1.При дефиницията на дисперсията не се оценява самото отклонение от средната стойност, а нейният квадрат. Това се прави така, че отклоненията на различните знаци да не се компенсират взаимно.
Забележка 2.От дефиницията на дисперсията следва, че това количество приема само неотрицателни стойности.
Забележка 3.Има по-удобна формула за изчисляване на дисперсията, чиято валидност е доказана в следната теорема:
Теорема 7.1.д(х) = М(х²) - М²( х). (7.7)
Доказателство.
С помощта на какво М(х) е постоянна стойност и свойствата на математическото очакване преобразуваме формулата (7.6) във формата:
д(х) = М(X-M(х))² = М(х² - 2 X?M(х) + М²( х)) = М(х²) - 2 М(х)?М(х) + М²( х) =
= М(х²) - 2 М²( х) + М²( х) = М(х²) - М²( х), което трябваше да се докаже.
Пример. Нека изчислим дисперсиите на случайните променливи хи Yобсъдени в началото на този раздел. М(х) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
М(Y) \u003d (0 2? 0,5 + 100²? 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. И така, дисперсията на втората случайна променлива е няколко хиляди пъти по-голяма от дисперсията на първата. Така, дори и без да се познават законите на разпределение на тези количества, съгл известни стойностивариация, можем да заявим това хсе отклонява малко от математическото си очакване, докато за Yтова отклонение е много значително.
Дисперсионни свойства.
1) Дисперсионна константа ОТе равно на нула:
д (° С) = 0. (7.8)
Доказателство. д(° С) = М((СМ(° С))²) = М((C-C)²) = М(0) = 0.
2) Константният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат:
д(CX) = ° С² д(х). (7.9)
Доказателство. д(CX) = М((CX-M(CX))²) = М((CX-CM(х))²) = М(° С²( X-M(х))²) =
= ° С² д(х).
3) Дисперсията на сумата от две независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии:
д(X+Y) = д(х) + д(Y). (7.10)
Доказателство. д(X+Y) = М(х² + 2 XY + Y²) - ( М(х) + М(Y))² = М(х²) + 2 М(х)М(Y) +
+ М(Y²) - М²( х) - 2М(х)М(Y) - М²( Y) = (М(х²) - М²( х)) + (М(Y²) - М²( Y)) = д(х) + д(Y).
Следствие 1.Дисперсията на сумата от няколко взаимно независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии.
Следствие 2.Дисперсията на сумата от константа и случайна променлива е равна на дисперсията на случайната променлива.
4) Дисперсията на разликата на две независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии:
д(X-Y) = д(х) + д(Y). (7.11)
Доказателство. д(X-Y) = д(х) + д(-Y) = д(х) + (-1)² д(Y) = д(х) + д(х).
Дисперсията дава средната стойност на квадрата на отклонението на случайната променлива от средната стойност; за оценка на самото отклонение е стойност, наречена стандартно отклонение.
Определение 7.6.Стандартно отклонениеσ случайна променлива хсе нарича корен квадратен от дисперсията:
Пример. В предишния пример стандартните отклонения хи Yравни съответно
Задача 1.Вероятността за покълване на семена от пшеница е 0,9. Каква е вероятността от четири засети семена да поникнат поне три?
Решение. Нека събитието НО- от 4 семена ще поникнат поне 3 семена; събитие AT- от 4 семена ще поникнат 3 семена; събитие ОТОт 4 семена ще покълнат 4 семена. Според теоремата за добавяне на вероятности
Вероятности 
и 
определяме чрез формулата на Бернули, използвана в следния случай. Нека серията върви Пнезависими опити, при всяко от които вероятността за настъпване на събитие е постоянна и равна на Р, а вероятността това събитие да не се случи е равна на 
. Тогава вероятността събитието НОв Птестовете ще се появят точно 
пъти, изчислено по формулата на Бернули
,
където 
- броят на комбинациите от Пелементи от 
. Тогава
Желана вероятност
Задача 2.Вероятността за покълване на семена от пшеница е 0,9. Намерете вероятността от 400 засети семена да поникнат 350 семена.
Решение. Изчислете желаната вероятност 
по формулата на Бернули е трудно поради тромавостта на изчисленията. Следователно прилагаме приблизителна формула, изразяваща локалната теорема на Лаплас:
,
където 
и 
.
От изложението на проблема. Тогава
.
От таблица 1 на приложенията намираме. Желаната вероятност е равна на
Задача 3.Сред семената на пшеницата, 0,02% от плевелите. Каква е вероятността случайна селекция от 10 000 семена да разкрие 6 семена на плевели?
Решение. Приложение на локалната теорема на Лаплас поради ниска вероятност 
води до значително отклонение на вероятността от точната стойност 
. Следователно, за малки стойности Рда изчисля 
прилагане на асимптотичната формула на Поасон
, където .
Тази формула се използва, когато 
, и колкото по-малко Ри още П, толкова по-точен е резултатът.
Според задачата 
;
. Тогава
Задача 4.Процентът на кълняемост на семената на пшеницата е 90%. Намерете вероятността от 500 засети семена да покълнат от 400 до 440 семена.
Решение. Ако вероятността за настъпване на събитие НОвъв всяка от Птестове е постоянна и равна на Р, тогава вероятността 
че събитието НОв такива тестове ще има поне 
веднъж и не повече 
пъти се определя от интегралната теорема на Лаплас по следната формула:
, където
, 
.
функция 
се нарича функция на Лаплас. Приложенията (Таблица 2) дават стойностите на тази функция за 
. При 
функция 
. За отрицателни стойности хпоради странността на функцията на Лаплас 
. Използвайки функцията на Лаплас, имаме:
Според задачата. Използвайки горните формули, намираме 
и 
:
Задача 5.Даден е законът за разпределение на дискретна случайна променлива х:
Намерете: 1) математическо очакване; 2) дисперсия; 3) стандартно отклонение.
Решение. 1) Ако законът за разпределение на дискретна случайна променлива е даден от табл
|
| ||||||
Когато стойностите на случайната променлива x са дадени в първия ред, а вероятностите на тези стойности са дадени във втория ред, тогава математическото очакване се изчислява по формулата
2) Дисперсия 
дискретна случайна променлива хсе нарича математическо очакване на квадрата на отклонението на случайна величина от нейното математическо очакване, т.е.
Тази стойност характеризира средната очаквана стойност на квадрата на отклонението хот 
. От последната формула, която имаме
дисперсия 
може да се намери по друг начин въз основа на следното му свойство: дисперсия 
е равно на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива хи квадрата на неговото математическо очакване 
, това е
Да изчисля 
съставяме следния закон за разпределение на количеството 
:
3) За да се характеризира дисперсията на възможните стойности на случайна променлива около нейната средна стойност, се въвежда стандартното отклонение 
случайна величина х, равно на корен квадратен от дисперсията 
, това е
.
От тази формула имаме: 
Задача 6.Непрекъсната случайна променлива хдаден от интегралната функция на разпределение
Намерете: 1) диференциална функция на разпределение 
; 2) математическо очакване 
; 3) дисперсия 
.
Решение. 1) Диференциална функция на разпределение 
непрекъсната случайна променлива хсе нарича производна на интегралната функция на разпределение 
, това е
.
Желаната диференциална функция има следния вид:
2) Ако непрекъсната случайна променлива хдадена от функцията 
, тогава неговото математическо очакване се определя от формулата
Тъй като функцията 
при 
и при 
е равно на нула, тогава от последната формула, която имаме
.
3) Дисперсия 
дефинирайте по формулата
Задача 7.Дължината на частта е нормално разпределена случайна променлива с математическо очакване от 40 mm и стандартно отклонение от 3 mm. Намерете: 1) вероятността дължината на произволна част да бъде повече от 34 mm и по-малко от 43 mm; 2) вероятността дължината на детайла да се отклонява от математическото си очакване с не повече от 1,5 mm.
Решение. 1) Нека х- дължината на частта. Ако случайната променлива хдадена от диференциалната функция 
, тогава вероятността, че хще вземе стойностите, принадлежащи към сегмента 
, се определя по формулата
.
Вероятност за изпълнение на строги неравенства 
определени по същата формула. Ако случайната променлива хразпределени по нормалния закон, тогава
, (1)
където 
е функцията на Лаплас, 
.
В задачата. Тогава
2) По условието на проблема , където 
. Замествайки в (1) , имаме
. (2)
От формула (2) имаме.
Случайна величинаНаречен променлива, който в резултат на всеки тест приема една предварително неизвестна стойност, в зависимост от произволни причини. Случайните променливи се означават с главни латински букви: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своя тип случайните променливи могат да бъдат отделени непрекъснато.
Дискретна случайна променлива- това е такава случайна променлива, чиито стойности могат да бъдат не повече от изброими, тоест или крайни, или изброими. Преброимостта означава, че стойностите на случайна променлива могат да бъдат изброени.
Пример 1 . Нека дадем примери за дискретни случайни променливи:
а) броят на попаденията в целта с $n$ изстрела, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
б) броят на гербовете, изпаднали при хвърляне на монета, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
в) броя на корабите, които са пристигнали на борда (изброим набор от стойности).
г) броя на повикванията, пристигащи в централата (изброим набор от стойности).
1. Закон за вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива.
Дискретна случайна променлива $X$ може да приема стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятности $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Съответствието между тези стойности и техните вероятности се нарича закон на разпределение на дискретна случайна променлива. По правило това съответствие се посочва с помощта на таблица, в първия ред на която са посочени стойностите на $x_1,\dots ,\ x_n$, а във втория ред вероятностите, съответстващи на тези стойности, са $ p_1,\точки,\ p_n$.
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\край (масив)$
Пример 2 . Нека случайната променлива $X$ е броят точки, хвърлени при хвърляне на зара. Такава случайна променлива $X$ може да приеме следните стойности $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятностите за всички тези стойности са равни на $1/6$. Тогава законът за разпределение на вероятностите за случайната променлива $X$:
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\край (масив)$
Коментирайте. Тъй като събитията $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуват пълна група от събития в закона за разпределение на дискретната случайна променлива $X$, сумата на вероятностите трябва да е равна на единица, т.е. $\sum( p_i)=1$.
2. Математическо очакване на дискретна случайна променлива.
Математическо очакване на случайна променливаопределя неговата "централна" стойност. За дискретна случайна променлива, математическото очакване се изчислява като сумата от продуктите на стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$ и вероятностите $p_1,\dots ,\ p_n$, съответстващи на тези стойности, т.е.: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. В англоезичната литература се използва друга нотация $E\left(X\right)$.
Свойства на очакванията$M\ляво(X\дясно)$:
- $M\left(X\right)$ е между най-малкото и най-високи стойностислучайна променлива $X$.
- Математическото очакване на константа е равно на самата константа, т.е. $M\ляво(C\дясно)=C$.
- Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Пример 3 . Нека намерим математическото очакване на случайната променлива $X$ от пример $2$.
$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\над (6))+4\cdot ((1)\над (6))+5\cdot ((1)\над (6))+6\cdot ((1 )\над (6))=3,5.$$
Можем да забележим, че $M\left(X\right)$ е между най-малката ($1$) и най-голямата ($6$) стойности на случайната променлива $X$.
Пример 4 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=2$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $3X+5$.
Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.
Пример 5 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=4$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $2X-9$.
Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Дисперсия на дискретна случайна променлива.
Възможните стойности на случайни променливи с равни математически очаквания могат да се разпръснат различно около техните средни стойности. Например в две ученически групи общ успехза изпита по теория на вероятностите се оказа равен на 4, но в едната група всички се оказаха добри, а в другата - само трима и то отличници. Следователно има нужда от такава числена характеристика на случайна променлива, която да показва разпространението на стойностите на случайна променлива около нейното математическо очакване. Тази характеристика е дисперсия.
Дисперсия на дискретна случайна променлива$X$ е:
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$
В англоезичната литература се използва обозначението $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Много често дисперсията $D\left(X\right)$ се изчислява по формулата $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ ляво(X \дясно)\дясно))^2$.
Свойства на дисперсия$D\ляво(X\дясно)$:
- Дисперсията винаги е по-голяма или равна на нула, т.е. $D\наляво(X\надясно)\ge 0$.
- Дисперсията от константа е равна на нула, т.е. $D\ляво(C\дясно)=0$.
- Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията, при условие че е повдигнат на квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X+Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.
- Дисперсията на разликата на независимите случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X-Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.
Пример 6 . Нека изчислим дисперсията на случайната променлива $X$ от пример $2$.
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\над (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\приблизително 2,92.$$
Пример 7 . Известно е, че дисперсията на случайната променлива $X$ е равна на $D\left(X\right)=2$. Намерете дисперсията на случайната променлива $4X+1$.
Използвайки горните свойства, намираме $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ ляво(X\дясно)=16\cdot 2=32$.
Пример 8 . Известно е, че дисперсията на $X$ е равна на $D\left(X\right)=3$. Намерете дисперсията на случайната променлива $3-2X$.
Използвайки горните свойства, намираме $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ ляво(X\дясно)=4\cdot 3=12$.
4. Функция на разпределение на дискретна случайна величина.
Методът за представяне на дискретна случайна променлива под формата на серия на разпределение не е единственият и най-важното е, че не е универсален, тъй като непрекъсната случайна променлива не може да бъде определена с помощта на серия на разпределение. Има и друг начин за представяне на случайна променлива - функцията на разпределение.
разпределителна функцияслучайна променлива $X$ е функция $F\left(x\right)$, която определя вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойност, по-малка от някаква фиксирана стойност $x$, т.е. $F\left(x\ дясно)$ )=P\ляво(X< x\right)$
Свойства на функцията на разпределение:
- $0\le F\left(x\right)\le 1$.
- Вероятността случайната променлива $X$ да приема стойности от интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ е равна на разликата между стойностите на функцията на разпределение в краищата на този интервал : $P\наляво(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\left(x\right)$ - ненамаляващ.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.
Пример 9 . Нека намерим функцията на разпределение $F\left(x\right)$ за закона за разпределение на дискретната случайна променлива $X$ от пример $2$.
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\край (масив)$
Ако $x\le 1$, тогава очевидно $F\left(x\right)=0$ (включително $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).
Ако $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Ако $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Ако $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Ако $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Ако $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Ако $x > 6$, тогава $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.
Така че $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ на\ 2< x\le 3,\\
1/2, при \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ в\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ в \ 4< x\le 5,\\
1,\ за \ x > 6.
\end(матрица)\right.$
Математическото очакване и дисперсията са най-често използваните числени характеристики на случайна променлива. Те характеризират най-важните характеристики на разпределението: неговото положение и степен на дисперсия. В много проблеми на практиката пълно, изчерпателно описание на случайна променлива - законът за разпределение - или изобщо не може да бъде получено, или изобщо не е необходимо. В тези случаи те са ограничени до приблизително описание на случайна променлива с помощта на числени характеристики.
Математическото очакване често се нарича просто средна стойност на случайна променлива. Дисперсията на случайна променлива е характеристика на дисперсията, дисперсията на случайна променлива около нейното математическо очакване.
Математическо очакване на дискретна случайна променлива
Нека подходим към понятието математическо очакване, като първо изхождаме от механичната интерпретация на разпределението на дискретна случайна променлива. Нека единичната маса е разпределена между точките на оста x х1 , х 2 , ..., хн, и всяка материална точка има съответстваща й маса от стр1 , стр 2 , ..., стрн. Необходимо е да изберете една точка на оста x, характеризираща позицията на цялата система материални точки, като се вземат предвид техните маси. Естествено е да приемем за такава точка центъра на масата на системата от материални точки. Това е среднопретеглената стойност на случайната променлива х, в която абсцисата на всяка точка хазвлиза с "тежест", равна на съответната вероятност. Средната стойност на така получената случайна променлива хсе нарича неговото математическо очакване.
Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всичките й възможни стойности и вероятностите на тези стойности:
Пример 1Организира печеливша лотария. Има 1000 печалби, 400 от които са по 10 рубли всяка. 300 - 20 рубли всяка 200-100 рубли всеки. и 100 - 200 рубли всяка. Какво средният размерпечалби за човек, който закупи един билет?
Решение. Намираме средната печалба, ако обща сумапечалби, което е равно на 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50 000 рубли, разделено на 1000 (общата сума на печалбите). Тогава получаваме 50000/1000 = 50 рубли. Но изразът за изчисляване на средната печалба може да бъде представен и в следната форма:
От друга страна, при тези условия размерът на печалбата е случайна променлива, която може да приеме стойности от 10, 20, 100 и 200 рубли. с вероятности, равни съответно на 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следователно очакваната средна печалба е равно на суматапроизведенията на размера на печалбите по вероятността да бъдат получени.
Пример 2Издателят реши да публикува нова книга. Той ще продаде книгата за 280 рубли, от които 200 ще бъдат дадени на него, 50 на книжарницата и 30 на автора. Таблицата дава информация за разходите за издаване на книга и вероятността за продажба на определен брой копия от книгата.
Намерете очакваната печалба на издателя.
Решение. Случайната величина "печалба" е равна на разликата между приходите от продажбата и себестойността на разходите. Например, ако се продадат 500 копия от книга, тогава приходите от продажбата са 200 * 500 = 100 000, а разходите за публикуване са 225 000 рубли. Така издателят е изправен пред загуба от 125 000 рубли. Следната таблица обобщава очакваните стойности на случайната променлива - печалба:
| Номер | печалба хаз | Вероятност страз | хаз страз |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Обща сума: | 1,00 | 25000 |
Така получаваме математическото очакване на печалбата на издателя:
.
Пример 3Шанс за попадение с един изстрел стр= 0,2. Определете консумацията на черупки, които осигуряват математическото очакване на броя на ударите, равен на 5.
Решение. От същата формула за очакване, която използвахме досега, изразяваме х- консумация на черупки:
.
Пример 4Определете математическото очакване на случайна променлива хброй попадения с три изстрела, ако вероятността за попадение с всеки изстрел стр = 0,4 .
Съвет: намерете вероятността от стойностите на случайна променлива по Формула на Бернули .
Свойства на очакванията
Разгледайте свойствата на математическото очакване.
Имот 1.Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази константа:
Имот 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване:
Имот 3.Математическото очакване на сумата (разликата) на случайните променливи е равно на сумата (разликата) на техните математически очаквания:
Имот 4.Математическото очакване на произведението на случайните променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:
Имот 5.Ако всички стойности на случайната променлива хнамаляване (увеличаване) със същото число ОТ, тогава неговото математическо очакване ще намалее (увеличи) със същото число:
Когато не можете да се ограничите само до математическо очакване
В повечето случаи само математическото очакване не може да характеризира адекватно една случайна променлива.
Нека случайни променливи хи Yсе дават от следните закони на разпределение:
| Значение х | Вероятност |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значение Y | Вероятност |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математическите очаквания на тези величини са еднакви – равни на нула:
Разпределението им обаче е различно. Случайна стойност хможе да приема само стойности, които са малко по-различни от математическото очакване и случайната променлива Yможе да приема стойности, които се отклоняват значително от математическото очакване. Подобен пример: средната работна заплата не позволява да се прецени съотношението на високо- и нископлатените работници. С други думи, по математическото очакване не може да се прецени какви отклонения от него, поне средно, са възможни. За да направите това, трябва да намерите дисперсията на случайна променлива.
Дисперсия на дискретна случайна променлива
дисперсиядискретна случайна променлива хсе нарича математическо очакване на квадрата на неговото отклонение от математическото очакване:
Стандартното отклонение на случайна променлива хе аритметичната стойност на корен квадратен от неговата дисперсия:
.
Пример 5Изчисляване на дисперсии и стандартни отклонения на случайни променливи хи Y, чиито закони на разпределение са дадени в таблиците по-горе.
Решение. Математически очаквания на случайни променливи хи Y, както е намерено по-горе, са равни на нула. Според дисперсионната формула за д(х)=д(г)=0 получаваме:
След това стандартните отклонения на случайни променливи хи Yпредставляват
.
По този начин, със същите математически очаквания, дисперсията на случайната променлива хмного малък и случаен Y- значителен. Това е следствие от разликата в разпределението им.
Пример 6Инвеститорът има 4 алтернативни инвестиционни проекта. Таблицата обобщава данните за очакваната печалба в тези проекти със съответната вероятност.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, П=1 | 1000, П=0,5 | 500, П=0,5 | 500, П=0,5 |
| 0, П=0,5 | 1000, П=0,25 | 10500, П=0,25 | |
| 0, П=0,25 | 9500, П=0,25 |
Намерете за всяка алтернатива математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение.
Решение. Нека покажем как се изчисляват тези количества за 3-тата алтернатива:
Таблицата обобщава намерените стойности за всички алтернативи.
Всички алтернативи имат едно и също математическо очакване. Това означава, че в дългосрочен план всички имат еднакъв доход. Стандартното отклонение може да се тълкува като мярка за риск – колкото по-голямо е то, толкова по-голям е рискът на инвестицията. Инвеститор, който не иска много риск, ще избере проект 1, защото има най-малкото стандартно отклонение (0). Ако инвеститорът предпочита риск и висока доходност за кратък период, тогава той ще избере проекта с най-голямо стандартно отклонение - проект 4.
Свойства на дисперсия
Нека представим свойствата на дисперсията.
Имот 1.Дисперсията на постоянна стойност е нула:
Имот 2.Константният коефициент може да бъде изваден от дисперсионния знак чрез повдигане на квадрат:
.
Имот 3.Дисперсията на случайна променлива е равна на математическото очакване на квадрата на тази стойност, от което се изважда квадратът на математическото очакване на самата стойност:
,
където 
.
Имот 4.Дисперсията на сумата (разликата) на случайните променливи е равна на сумата (разликата) на техните дисперсии:
Пример 7Известно е, че дискретна случайна променлива хприема само две стойности: −3 и 7. Освен това е известно математическото очакване: д(х) = 4 . Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива.
Решение. Означаваме с стрвероятността, с която една случайна променлива приема стойност х1 = −3 . Тогава вероятността на стойността х2 = 7 ще бъде 1 − стр. Нека изведем уравнението за математическото очакване:
д(х) = х 1 стр + х 2 (1 − стр) = −3стр + 7(1 − стр) = 4 ,
където получаваме вероятностите: стр= 0,3 и 1 − стр = 0,7 .
Законът за разпределение на случайна променлива:
| х | −3 | 7 |
| стр | 0,3 | 0,7 |
Изчисляваме дисперсията на тази случайна променлива, използвайки формулата от свойство 3 на дисперсията:
д(х) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Намерете сами математическото очакване на случайна променлива и след това вижте решението
Пример 8Дискретна случайна променлива хприема само две стойности. Приема по-голямата стойност от 3 с вероятност 0,4. Освен това е известна дисперсията на случайната променлива д(х) = 6 . Намерете математическото очакване на случайна променлива.
Пример 9Една урна съдържа 6 бели и 4 черни топки. От урната се вземат 3 топки. Броят на белите топки сред изтеглените топки е дискретна случайна променлива х. Намерете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.
Решение. Случайна стойност хможе да приеме стойностите 0, 1, 2, 3. Съответните вероятности могат да бъдат изчислени от правило за умножение на вероятностите. Законът за разпределение на случайна променлива:
| х | 0 | 1 | 2 | 3 |
| стр | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Оттук и математическото очакване на тази случайна променлива:
М(х) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Дисперсията на дадена случайна променлива е:
д(х) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Математическо очакване и дисперсия на непрекъсната случайна променлива
За непрекъсната случайна променлива механичната интерпретация на математическото очакване ще запази същото значение: центърът на масата за единица маса, разпределена непрекъснато по оста x с плътност f(х). За разлика от дискретна случайна променлива, за която аргументът на функцията хазпроменя рязко, за непрекъсната случайна променлива, аргументът се променя непрекъснато. Но математическото очакване на непрекъсната случайна променлива също е свързано с нейната средна стойност.
За да намерите математическото очакване и дисперсията на непрекъсната случайна променлива, трябва да намерите определени интеграли . Ако е дадена функция на плътност на непрекъсната случайна променлива, тогава тя влиза директно в интегранта. Ако е дадена функция на разпределение на вероятностите, тогава като я диференцирате, трябва да намерите функцията на плътност.
Средната аритметична стойност на всички възможни стойности на непрекъсната случайна променлива се нарича негова математическо очакване, означено с или .
