най-големият общ делители най-малкото общо кратно са ключови аритметични концепции, които ви позволяват да работите без усилие обикновени дроби. LCM и най-често се използват за намиране на общия знаменател на няколко дроби.

Основни понятия

Делителят на цяло число X е друго цяло число Y, на което X се дели без остатък. Например делителят на 4 е 2, а 36 е 4, 6, 9. Кратно на цялото число X е число Y, което се дели на X без остатък. Например 3 е кратно на 15, а 6 е кратно на 12.

За всяка двойка числа можем да намерим техните общи делители и кратни. Например за 6 и 9 общото кратно е 18, а общият делител е 3. Очевидно двойките могат да имат няколко делителя и кратни, така че най-големият делител на GCD и най-малкото кратно на LCM се използват в изчисленията .

Най-малкият делител няма смисъл, тъй като за всяко число той винаги е едно. Най-голямото кратно също е безсмислено, тъй като последователността от кратни клони към безкрайност.

Намиране на GCD

Има много методи за намиране на най-голям общ делител, най-известните от които са:

• последователно изброяване на делители, избор на общи за двойка и търсене на най-големия от тях;
• разлагане на числата на неделими множители;
• Алгоритъм на Евклид;
• двоичен алгоритъм.

Днес в образователни институцииНай-популярните методи са разлагане на основни фактории алгоритъма на Евклид. Последният от своя страна се използва при решаването на диофантови уравнения: търсенето на GCD е необходимо, за да се провери уравнението за възможността за разрешаването му в цели числа.

Намиране на НОК

Най-малкото общо кратно също се определя точно чрез итеративно изброяване или разлагане на неделими множители. Освен това е лесно да се намери LCM, ако най-големият делител вече е определен. За числата X и Y, LCM и GCD са свързани със следната връзка:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Например, ако gcd(15,18) = 3, тогава LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Най-очевидната употреба на LCM е да се намери общият знаменател, който е най-малкото общо кратно на дадени дроби.

Взаимопрости числа

Ако една двойка числа няма общи делители, тогава такава двойка се нарича взаимнопроста. GCM за такива двойки винаги е равен на единица и въз основа на връзката на делители и кратни, GCM за взаимно прости числа е равен на техния продукт. Например числата 25 и 28 са взаимно прости, защото нямат общи делители и LCM(25, 28) = 700, което съответства на произведението им. Всеки две неделими числа винаги ще бъдат взаимно прости.

Общ делител и множествен калкулатор

С нашия калкулатор можете да изчислите GCD и LCM за произволен брой числа, от които да избирате. Задачи за изчисляване на общи делители и кратни се намират в аритметиката за 5 и 6 клас, но GCD и LCM са ключовите понятия в математиката и се използват в теорията на числата, планиметрията и комуникативната алгебра.

Примери от реалния живот

Общ знаменател на дроби

Най-малкото общо кратно се използва при намиране на общия знаменател на няколко дроби. Да предположим, че в аритметична задача се изисква да се сумират 5 дроби:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

За да добавите дроби, изразът трябва да бъде намален до общ знаменател, което свежда до проблема за намиране на LCM. За да направите това, изберете 5 числа в калкулатора и въведете стойностите на знаменателя в съответните клетки. Програмата ще изчисли LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Сега трябва да изчислите допълнителни фактори за всяка дроб, които се дефинират като съотношението на LCM към знаменателя. Така че допълнителните множители ще изглеждат така:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

След това умножаваме всички дроби по съответния допълнителен фактор и получаваме:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Лесно можем да съберем такива дроби и да получим резултата под формата на 159/360. Намаляваме дробта с 3 и виждаме крайния отговор - 53/120.

Решение на линейни диофантови уравнения

Линейните диофантови уравнения са изрази от формата ax + by = d. Ако съотношението d / gcd(a, b) е цяло число, тогава уравнението е разрешимо в цели числа. Нека проверим няколко уравнения за възможността за целочислено решение. Първо проверете уравнението 150x + 8y = 37. С помощта на калкулатор намираме gcd (150,8) = 2. Разделете 37/2 = 18,5. Числото не е цяло число, следователно уравнението няма цяло число.

Нека проверим уравнението 1320x + 1760y = 10120. Използвайте калкулатор, за да намерите gcd(1320, 1760) = 440. Разделете 10120/440 = 23. В резултат на това получаваме цяло число, следователно диофантовото уравнение е разрешимо с цели коефициенти .

Заключение

GCD и LCM играят важна роля в теорията на числата, а самите концепции се използват широко в различни области на математиката. Използвайте нашия калкулатор, за да изчислите най-големите делители и най-малките кратни на произволен брой числа.

Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), и обърнете специално внимание на решаването на примери. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това обмислете намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три или повече числа и също ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Помислете за примери за намиране на LCM според горната формула.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.

Решение.

В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Тоест първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим НОК на тези числа по написаната формула.

Намерете gcd(126, 70), като използвате алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .

Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Отговор:

LCM(126, 70)=630.

Пример.

Какво е LCM(68, 34)?

Решение.

защото 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Отговор:

LCM(68, 34)=68.

Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.

Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разширенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.

Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички множители, включени в разширенията на числата a и b. На свой ред gcd(a, b) е равно на произведениетовсички прости множители, които присъстват едновременно в разширенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на НОД чрез разлагането на числа на прости множители).

Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички множители на тези разширения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички множители, които присъстват както в разгръщането на числото 75, така и в разгръщането на числото 210 (такива множители са 3 и 5), тогава произведението ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на числата 75 и 210, т.е. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Пример.

След като разложите числата 441 и 700 на прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

Решение.

Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:

Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .

Сега нека направим произведение на всички фактори, включени в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . По този начин, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Отговор:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако добавим липсващите множители от разлагането на числото b към множителите от разлагането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, тяхното разлагане на прости множители е както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към множителите 3, 5 и 5 от разлагането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разлагането на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Решение.

Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разлагането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4536.

Отговор:

LCM(84, 648)=4 536 .

Намиране на LCM на три или повече числа

Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Спомнете си съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.

Теорема.

Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Разгледайте приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

Пример.

Намерете LCM на четирите числа 140, 9, 54 и 250.

Решение.

В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Първо намираме m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). За да направим това, използвайки Евклидовия алгоритъм, ние определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно gcd( 140, 9)=1 , откъдето LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Тоест m 2 =1 260 .

Сега намираме m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18 , откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 \u003d 3 780.

Остава да се намери m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). За да направим това, намираме НОД(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно gcd(3 780, 250)=10, откъдето gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 \u003d 94 500.

Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

Отговор:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа се намира удобно чрез разлагане на прости множители на дадени числа. В този случай трябва да се спазва следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.

Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагането на числа на прости множители.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.

Решение.

Първо, получаваме разширенията на тези числа в прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 прости множители) и 143=11 13 .

За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7 ) трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6 . Разгръщането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разгръщането на първото число 84. Допълнително към множителите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 2 и 2 от разгръщането на третото число 48, получаваме набор от множители 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разлагането на числото 143 . Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .

Второ число: b=

Разделител на цифриБез разделител за интервал " ´

Резултат:

Най-голям общ делител gcd( а,b)=6

Най-малко общо кратно на LCM( а,b)=468

Най велик естествено число, на което числата a и b се делят без остатък, се нарича най-голям общ делител(gcd) от тези числа. Означава се gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).

Най-малко общо кратно(LCM) на две цели числа a и b е най-малкото естествено число, което се дели на a и b без остатък. Означава се LCM(a,b) или lcm(a,b).

Извикват се цели числа a и b взаимно примеако нямат общи делители, различни от +1 и −1.

Най-голям общ делител

Нека са дадени две положителни числа а 1 и а 2 1). Изисква се да се намери общ делител на тези числа, т.е. намери такова число λ , който дели числата а 1 и а 2 едновременно. Нека опишем алгоритъма.

1) В тази статия думата номер ще означава цяло число.

Позволявам а 1 ≥ а 2 и нека

където м 1 , а 3 са някои цели числа, а 3 <а 2 (остатък от делението а 1 на а 2 трябва да е по-малко а 2).

Нека се преструваме, че λ разделя а 1 и а 2, тогава λ разделя м 1 а 2 и λ разделя а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Твърдение 2 от статията „Делимост на числата. Признак за делимост”). От това следва, че всеки общ делител а 1 и а 2 е общ делител а 2 и а 3 . Обратното също е вярно, ако λ общ делител а 2 и а 3, тогава м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 също са разделени на λ . Оттук и общият делител а 2 и а 3 също е общ делител а 1 и а 2. защото а 3 <а 2 ≤а 1 , тогава можем да кажем, че решението на задачата за намиране на общ делител на числата а 1 и а 2 се свежда до по-проста задача за намиране на общ делител на числа а 2 и а 3 .

Ако а 3 ≠0, тогава можем да разделим а 2 на а 3 . Тогава

,

където м 1 и а 4 са някои цели числа, ( а 4 остатък от делението а 2 на а 3 (а 4 <а 3)). Чрез подобни разсъждения стигаме до извода, че общите делители на числата а 3 и а 4 е същото като обикновените делители на числата а 2 и а 3 , а също и с общи делители а 1 и а 2. защото а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , ... числа, които постоянно намаляват, и тъй като има краен брой цели числа между а 2 и 0, след това на някаква стъпка н, остатък от делението а n на а n+1 ще бъде равно на нула ( а n+2=0).

.

Всеки общ делител λ числа а 1 и а 2 също е делител на числа а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n+1. Обратното също е вярно, общи делители на числа а n и а n+1 също са делители на числа а n−1 и ан , .... , а 2 и а 3 , а 1 и а 2. Но общият делител а n и а n+1 е число а n+1, защото а n и а n+1 се делят на а n+1 (припомнете си това а n+2=0). Следователно а n+1 също е делител на числа а 1 и а 2 .

Имайте предвид, че броят а n+1 е най-големият делител на числа а n и а n+1 , тъй като най-големият делител а n+1 е себе си а n+1. Ако а n + 1 може да бъде представено като произведение на цели числа, тогава тези числа са също общи делители на числа а 1 и а 2. Номер а n+1 се наричат най-голям общ делителчисла а 1 и а 2 .

Числа а 1 и а 2 може да бъде както положително, така и отрицателно число. Ако едно от числата е равно на нула, тогава най-големият общ делител на тези числа ще бъде равен на абсолютната стойност на другото число. Най-големият общ делител на нула числа не е дефиниран.

Горният алгоритъм се извиква Алгоритъм на Евклидда се намери най-големият общ делител на две цели числа.

Пример за намиране на най-голям общ делител на две числа

Намерете най-големия общ делител на две числа 630 и 434.

• Стъпка 1. Разделете числото 630 на 434. Остатъкът е 196.
• Стъпка 2. Разделете числото 434 на 196. Остатъкът е 42.
• Стъпка 3. Разделете числото 196 на 42. Остатъкът е 28.
• Стъпка 4. Разделете числото 42 на 28. Остатъкът е 14.
• Стъпка 5. Разделете числото 28 на 14. Остатъкът е 0.

На стъпка 5 остатъкът от делението е 0. Следователно най-големият общ делител на числата 630 и 434 е 14. Обърнете внимание, че числата 2 и 7 са делители и на числата 630 и 434.

Взаимопрости числа

Определение 1. Нека най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 е равно на едно. След това се извикват тези номера взаимнопрости числакоито нямат общ делител.

Теорема 1. Ако а 1 и а 2 относително прости числа и λ някакво число, след това всеки общ делител на числа λa 1 и а 2 също е общ делител на числа λ и а 2 .

Доказателство. Разгледайте алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител на числа а 1 и а 2 (виж по-горе).

.

От условията на теоремата следва, че най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 и следователно а n и а n+1 е 1. Т.е. а n+1=1.

Нека умножим всички тези равенства по λ , тогава

.

Нека общият делител а 1 λ и а 2 е δ . Тогава δ влиза като фактор в а 1 λ , м 1 а 2 λ и в а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (Вижте "Делимост на числата", твърдение 2). По-нататък δ влиза като фактор в а 2 λ и м 2 а 3 λ , и следователно влиза като фактор в а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Разсъждавайки по този начин, ние се убеждаваме, че δ влиза като фактор в а n−1 λ и м n−1 ан λ , и следователно в а n−1 λ −м n−1 ан λ =а n+1 λ . защото а n+1 =1, тогава δ влиза като фактор в λ . Оттук и числото δ е общ делител на числа λ и а 2 .

Разгледайте специалните случаи на теорема 1.

Последица 1. Позволявам аи ° Спростите числа са относителни b. След това техният продукт аке просто число по отношение на b.

Наистина ли. От теорема 1 аки bимат същите общи делители като ° Си b. Но числата ° Си b coprime, т.е. имат един общ делител 1. Тогава аки bсъщо имат един общ делител 1. Следователно аки bвзаимно прости.

Последица 2. Позволявам аи bвзаимно прости числа и нека bразделя ак. Тогава bразделя и к.

Наистина ли. От условието за твърдение аки bимат общ делител b. По силата на теорема 1, bтрябва да е общ делител bи к. Следователно bразделя к.

Следствие 1 може да се обобщи.

Последица 3. 1. Нека числата а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m са прости спрямо числото b. Тогава а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m , произведението на тези числа е просто по отношение на числото b.

2. Нека имаме два реда числа

така че всяко число от първия ред е просто по отношение на всяко число от втория ред. След това продуктът

Изисква се да се намерят такива числа, които се делят на всяко от тези числа.

Ако числото се дели на а 1, тогава изглежда така са 1, където снякакво число. Ако ре най-големият общ делител на числата а 1 и а 2, тогава

където с 1 е някакво цяло число. Тогава

е най-малко общо кратно на числа а 1 и а 2 .

а 1 и а 2 взаимно прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 и а 2:

Намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

От горното следва, че всяко кратно на числата а 1 , а 2 , а 3 трябва да е кратно на числа ε и а 3 и обратно. Нека най-малкото общо кратно на числата ε и а 3 е ε един . Освен това, кратно на числа а 1 , а 2 , а 3 , а 4 трябва да е кратно на числа ε 1 и ачетири . Нека най-малкото общо кратно на числата ε 1 и а 4 е ε 2. Така открихме, че всички кратни на числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m съвпадат с кратни на някакво конкретно число ε n , което се нарича най-малкото общо кратно на дадените числа.

В конкретния случай, когато числата а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m взаимнопросто, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 , а 2, както е показано по-горе, има формата (3). Освен това, тъй като а 3 прости по отношение на числата а 1 , а 2, тогава а 3 е просто относително число аедин · а 2 (следствие 1). Най-малкото общо кратно на числата а 1 ,а 2 ,а 3 е число аедин · а 2 · а 3 . Разсъждавайки по подобен начин, стигаме до следните твърдения.

Изявление 1. Най-малко общо кратно на взаимно прости числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е равно на техния продукт аедин · а 2 · а 3 ··· ам .

Изявление 2. Всяко число, което се дели на всяко едно от взаимно простите числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m също се дели на техния продукт аедин · а 2 · а 3 ··· ам .

Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно на две или произволен друг брой числа.

Калкулатор за намиране на GCD и NOC

Намерете GCD и NOC

GCD и NOC намерени: 5806

Как да използвате калкулатора

• Въведете числа в полето за въвеждане
• В случай на въвеждане на грешни символи, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
• натиснете бутона "Намиране на GCD и NOC"

Как се въвеждат числа

• Числата се въвеждат разделени с интервали, точки или запетаи
• Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на gcd и lcm на дълги числа няма да е трудно

Какво е NOD и NOK?

Най-голям общ делителот няколко числа е най-голямото естествено цяло число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ делител се обозначава съкратено като GCD.
Най-малко общо кратноняколко числа е най-малкото число, което се дели на всяко от оригиналните числа без остатък. Най-малкото общо кратно се обозначава съкратено като НОК.

Как да проверя дали едно число се дели на друго число без остатък?

За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои свойства на делимост на числата. След това чрез комбинирането им може да се провери делимостта на някои от тях и техните комбинации.

Някои признаци за делимост на числата

1. Признак за делимост на числото на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е равно на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава, че се дели на 2.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 2.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото се дели на две.

2. Признак за делимост на числото на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от неговите цифри се дели на 3. По този начин, за да определите дали едно число се дели на 3, трябва да изчислите сумата от цифрите и да проверите дали се дели на 3. Дори ако сумата от цифрите се окаже много голяма, можете да повторите същия процес отново.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 3.
Решение:броим сбора на цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.

3. Признак за делимост на числото на 5
Едно число се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 5.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.

4. Признак за делимост на числото на 9
Този знак е много подобен на знака за делимост на три: едно число се дели на 9, когато сборът от неговите цифри се дели на 9.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 9.
Решение:изчисляваме сумата от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.

Как да намерим GCD и LCM на две числа

Как да намерим НОД на две числа

Най-лесният начин за изчисляване на най-големия общ делител на две числа е да намерите всички възможни делители на тези числа и да изберете най-големия от тях.

Разгледайте този метод, като използвате примера за намиране на GCD(28, 36):

1. Разлагаме двете числа на множители: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Намираме общи множители, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
3. Изчисляваме произведението на тези фактори: 1 2 2 \u003d 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.

Как да намерим LCM на две числа

Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият начин е, че можете да напишете първите кратни на две числа и след това да изберете сред тях такова число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да намерим НОД на тези числа. Нека просто го разгледаме.

За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намерения GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:

1. Намерете произведението на числата 28 и 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) вече е известно, че е 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Намиране на GCD и LCM за множество числа

Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За тази цел числата, за които трябва да се търси най-големият общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа. Освен това, за да намерите GCD на няколко числа, можете да използвате следната връзка: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Подобна връзка важи и за най-малкото общо кратно на числа: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Пример:намерете GCD и LCM за числата 12, 32 и 36.

1. Първо, нека разложим числата на множители: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Нека намерим общи множители: 1, 2 и 2 .
3. Техният продукт ще даде gcd: 1 2 2 = 4
4. Сега нека намерим LCM: за това първо намираме LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. За да намерите НОК на трите числа, трябва да намерите НОД(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , НОД = 1 2 .2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

На учениците се дават много задачи по математика. Сред тях много често се срещат задачи със следната формулировка: има две стойности. Как да намерим най-малкото общо кратно на дадени числа? Необходимо е да можете да изпълнявате такива задачи, тъй като придобитите умения се използват за работа с дроби с различни знаменатели. В статията ще анализираме как да намерим LCM и основните понятия.

Преди да намерите отговора на въпроса как да намерите LCM, трябва да дефинирате термина множествено. Най-често формулировката на тази концепция е следната: кратно на някаква стойност А е естествено число, което ще се дели без остатък на А. Така че за 4, 8, 12, 16, 20 и така нататък, до необходимия лимит.

В този случай броят на делителите за определена стойност може да бъде ограничен и има безкрайно много кратни. Същата стойност има и за природните ценности. Това е показател, който се дели на тях без остатък. След като се занимавахме с концепцията за най-малката стойност за определени показатели, нека да преминем към това как да я намерим.

Намиране на НОК

Най-малкото кратно на два или повече показателя е най-малкото естествено число, което се дели изцяло на всички дадени числа.

Има няколко начина да намерите такава стойност.Нека разгледаме следните методи:

1. Ако числата са малки, тогава напишете в реда всички, които се делят на него. Продължете да правите това, докато не намерите нещо общо между тях. В записа те се обозначават с буквата K. Например за 4 и 3 най-малкото кратно е 12.
2. Ако те са големи или трябва да намерите кратно за 3 или повече стойности, тогава тук трябва да използвате различна техника, която включва разлагане на числа на прости множители. Първо поставете най-големия от посочените, след това всички останали. Всеки от тях има свой собствен брой множители. Като пример, нека разложим 20 (2*2*5) и 50 (5*5*2). За по-малкия от тях подчертайте факторите и добавете към най-големия. Резултатът ще бъде 100, което ще бъде най-малкото общо кратно на горните числа.
3. При намиране на 3 числа (16, 24 и 36) принципите са същите като при другите две. Нека разширим всеки от тях: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. При разлагането на най-голямото не са включени само две двойки от разгръщането на числото 16. Събираме ги и получаваме 144, което е най-малкият резултат за предварително посочените числени стойности.

Сега знаем каква е общата техника за намиране на най-малката стойност за две, три или повече стойности. Има обаче и частни методи, помагащи за търсене на NOC, ако предишните не помогнат.

Как да намерите GCD и NOC.

Частни начини за намиране

Както при всеки математически раздел, има специални случаи за намиране на LCM, които помагат в конкретни ситуации:

• ако едно от числата се дели на останалите без остатък, тогава най-малкото кратно на тези числа е равно на него (NOC 60 и 15 е равно на 15);
• Взаимопростите числа нямат общи прости делители. Най-малката им стойност е равна на произведението на тези числа. Така за числата 7 и 8 това ще бъде 56;
• същото правило работи и за други случаи, включително специални, за които може да се прочете в специализирана литература. Тук трябва да се включат и случаи на разлагане на съставни числа, които са предмет на отделни статии и дори на докторски дисертации.

Специалните случаи са по-рядко срещани от стандартните примери. Но благодарение на тях можете да научите как да работите с фракции с различна степен на сложност. Това важи особено за дробите., където има различни знаменатели.

Няколко примера

Нека да разгледаме няколко примера, благодарение на които можете да разберете принципа за намиране на най-малкото кратно:

1. Намираме LCM (35; 40). Първо поставяме 35 = 5*7, след това 40 = 5*8. Добавяме 8 към най-малкото число и получаваме NOC 280.
2. НОК (45; 54). Очертаваме всеки от тях: 45 = 3*3*5 и 54 = 3*3*6. Добавяме числото 6 към 45. Получаваме NOC равен на 270.
3. Е, последният пример. Има 5 и 4. За тях няма прости кратни, така че най-малкото общо кратно в този случай ще бъде техният продукт, равен на 20.

Благодарение на примерите можете да разберете как се намира NOC, какви са нюансите и какво е значението на такива манипулации.

Намирането на NOC е много по-лесно, отколкото може да изглежда на пръв поглед. За това се използват както просто разширяване, така и умножаване на прости стойности един към друг.. Умението да работите с този раздел от математиката помага при по-нататъшното изучаване на математически теми, особено фракции с различна степен на сложност.

Не забравяйте периодично да решавате примери с различни методи, това развива логическия апарат и ви позволява да запомните много термини. Научете методите за намиране на такъв индикатор и ще можете да работите добре с останалите математически раздели. Приятно учене на математика!

Видео

Това видео ще ви помогне да разберете и запомните как да намерите най-малкото общо кратно.