Инструкция

Метод 1. Използване на Питагоровата теорема. Теоремата казва: квадрат на хипотенузата е равно на суматаквадрати на краката. От това следва, че всяка страна правоъгълен триъгълникможе да се изчисли, като се знаят другите му две страни (фиг. 2)

Метод 2. Следва от факта, че медианата, изтеглена от към хипотенузата, образува 3 подобни триъгълника помежду си (фиг. 3). На тази фигура триъгълниците ABC, BCD и ACD са подобни.

Пример 6: Използване на единични кръгове за намиране на координати

Първо намираме референтния ъгъл, съответстващ на дадения ъгъл. След това вземаме стойностите на синуса и косинуса на референтния ъгъл и им даваме знаци, съответстващи на y- и x-стойностите на квадранта. След това ще намерим косинуса и синуса на дадения ъгъл.

Ситов ъгъл, ъглов триъгълник и кубичен корен

Многоъгълниците, които могат да бъдат построени с компас и линейка, включват.

Забележка: ъгълът на ситото не може да се начертае с пергел и линейка. Умножаването на дължината на страната на куб по корен от 2 дава дължината на страната на куб с удвоен обем. Използвайки пионерската теория на френския математик Еварист Галоа, може да се покаже, че и за трите класически проблемиизграждането с кръг и линийка е невъзможно.

Хипотенузата е страната в правоъгълен триъгълник, която е срещу ъгъла от 90 градуса. За да се изчисли дължината му, достатъчно е да се знае дължината на един от краката и стойността на един от острите ъгли на триъгълника.

Имайте предвид: конструкцията на трикомпонентния ъгъл и кубичен корен не е възможна с пергел и линейка.

От друга страна, решението на уравнението от трета степен според формулата на Кардано може да бъде представено чрез разделяне на ъгъла и кубичния корен. В бъдеще изграждаме някакъв ъгъл с кръг и линийка. Въпреки това, след триъгълника на този ъгъл и определянето на кубичния корен, завършването на конструкцията на ситовия квадрат може да се направи с помощта на пергел и линейка.

Изграждане на решетъчна палуба според това изчисление

Алгебричната формулировка на задачата за конструиране води до уравнение, чийто структурен анализ ще предостави допълнителна информация за конструкцията на тройната структура. Тук се използва съотношението едно към едно на ъгъл към неговия косинус: ако големината на ъгъла е известна, дължината на косинуса на ъгъла може да бъде уникално конструирана върху единичната окръжност и обратно.

Инструкция

При известен крак и остър ъгъл на правоъгълен триъгълник, тогава размерът на хипотенузата може да бъде равен на съотношението на крака към косинуса / синуса на този ъгъл, ако този ъгъл е противоположен / съседен на него:

h = C1(или C2)/sinα;

h = С1(или С2)/cosα.

Пример: Даден е правоъгълен триъгълник ABC с хипотенуза AB и прав ъгъл C. Нека ъгъл B е 60 градуса, а ъгъл A 30 градуса.Дължината на катета BC е 8 см. Намерете дължината на хипотенузата AB. За да направите това, можете да използвате някой от методите, предложени по-горе:

Тази задача едно към едно ви позволява да преминете от дефиницията на ъгъла към дефиницията на косинуса на ъгъла. По-долу 3 φ означава ъгъла, който трябва да бъде разделен. По този начин φ е ъгълът, чиято стойност трябва да се определи за дадено 3 φ. Започвайки със съединения, известни от тригонометрията.

Следва под зададен ъгъл 3 φ. Алгебричното разглеждане на разрешимостта на триизмерно уравнение води директно до въпроса за възможността за конструиране на решения и, следователно, до въпроса за възможността или невъзможността за конструктивен троен ъгъл на даден ъгъл.

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Хипотенузата е противоположната страна на правоъгълен триъгълник прав ъгъл. Това е най-дългата страна на правоъгълен триъгълник. Може да се изчисли с помощта на Питагоровата теорема или с помощта на формулите тригонометрични функции.

Стойността на изходния ъгъл има голямо влияние върху възможността за свързване на третия ъгъл, тъй като това, като абсолютен член, решаващо определя вида на решенията в тримерното уравнение. Ако уравнението на триангулацията има поне едно реално решение, което може да бъде получено чрез рационални операции или чертеж квадратни корениза даден начален ъгъл това решение е конструктивно.

Брейденбах формулира като критерий, че трисекундният ъгъл може да се интерпретира само в рационално решение на уравнение от три части. Ако такова решение не е налично, проблемът с триделната конструкция е несъвместим с пергела и линийката. Клъстерният анализ е обща техника за сглобяване на малки групи от голям набор от данни. Подобно на дискриминантния анализ, клъстерният анализ също се използва за класифициране на наблюденията в групи. От друга страна, дискриминационният анализ изисква познаване на груповите членства в случаите, използвани за извеждане на правилото за класификация.

Инструкция

Краката се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник, съседни на прав ъгъл. На фигурата краката са обозначени като AB и BC. Нека са дадени дължините на двата катета. Нека ги обозначим като |AB| и |BC|. За да намерим дължината на хипотенузата |AC|, използваме Питагоровата теорема. Според тази теорема сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата, т.е. в обозначението на нашия чертеж |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. От формулата получаваме, че дължината на хипотенузата AC се намира като |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

Клъстерният анализ е по-примитивен метод, тъй като не прави предположения за броя на групите или членството в групата. Класификация Клъстерният анализ предоставя начин за откриване на потенциални връзки и създаване на систематична структура в голям брой променливи и наблюдения. Йерархичният клъстерен анализ е основният статистически методза търсене на относително хомогенни клъстери от случаи въз основа на измерени характеристики. Започва с всеки случай като отделен клъстер.

След това клъстерите се обединяват последователно, като броят на клъстерите намалява с всяка стъпка, докато остане само един клъстер. Методът на групиране използва разликите между обектите, за да формира клъстери. Йерархичният клъстерен анализ е най-добър за малки проби.

Помислете за пример. Нека дължините на краката |AB| = 13, |BC| = 21. По Питагоровата теорема получаваме, че |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. от номер 610: |AC| = √610. Използвайки таблицата с квадрати на цели числа, откриваме, че числото 610 не е перфектен квадрат на никое цяло число. За да получим крайната стойност на дължината на хипотенузата, нека се опитаме да извадим пълен квадратот под знака на корена. За да направим това, разлагаме числото 610 на множители. 610 \u003d 2 * 5 * 61. Според таблицата на простите числа виждаме, че 61 е просто число. Следователно по-нататъшното намаляване на числото √610 е невъзможно. Получаваме крайния отговор |AC| = √610.
Ако квадратът на хипотенузата беше например 675, тогава √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Ако такова отливане е възможно, извършете обратна проверка - повдигнете резултата на квадрат и сравнете с оригиналната стойност.

Йерархичният клъстерен анализ е само един от начините за наблюдение на формирането на хомогенни променливи групи. Няма конкретен начин да зададете броя на клъстерите за вашия анализ. Може да се наложи да разгледате дендрограмата, както и характеристиките на клъстерите и след това да коригирате броя на стъпки, за да получите добро клъстерно решение.

Когато променливите се измерват в различни скали, имате три начина да стандартизирате променливите. В резултат на това всички променливи с приблизително равни пропорции допринасят за измерването на разстоянието, дори ако може да загубите информация за дисперсията на променливите.

Уведомете ни за единия катет и ъгъла, прилежащ към него. За по-голяма сигурност нека това е катет |AB| и ъгъл α. След това можем да използваме формулата за тригонометричната функция косинус - косинусът на ъгъла е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата. Тези. в нашето обозначение cos α = |AB| / |AC|. От тук получаваме дължината на хипотенузата |AC| = |AB| / cosα.
Ако знаем крака |BC| и ъгъл α, тогава използваме формулата за изчисляване на синуса на ъгъла - синусът на ъгъла е равен на отношението на срещуположния катет към хипотенузата: sin α = |BC| / |AC|. Получаваме, че дължината на хипотенузата се намира като |AC| = |BC| / cosα.

Евклидово разстояние: Евклидовото разстояние е най-разпространеният метод за измерване. Евклидово разстояние на квадрат: Евклидовото разстояние на квадрат фокусира вниманието върху обекти, които са по-отдалечени един от друг. Разстояние между градски блокове: И градските блокове, и евклидовото разстояние са специални случаи на метриката на Минковски. Докато евклидовото разстояние съответства на дължината на най-късия път между две точки, разстоянието на градския блок е сумата от разстоянията по всяко измерение. Корелационно разстояние на Пиърсън Разликата между 1 и косинусния коефициент на две наблюдения Косинусният коефициент е косинусът на ъгъла между двата вектора. Разстояние на Жакард Разликата между 1 и коефициента на Жакард за две наблюдения За двоични данни коефициентът на Жакард е равен на съотношението на степента на припокриване и сумата от двете наблюдения. Най-близкият съсед Този метод предполага, че разстоянието между два клъстера съответства на разстоянието между характеристиките в техния най-близък съсед. Най-добър съсед При този метод разстоянието между два клъстера съответства на максималното разстояние между два обекта в различни клъстери. Групово средно: С този метод разстоянието между два клъстера съответства на средното разстояние между всички двойки обекти в различни клъстери. Този метод обикновено се препоръчва, тъй като съдържа по-голямо количество информация. Медиана Този метод е идентичен с метода на центроида, с изключение на това, че не е претеглен. След това за всеки случай се изчислява квадратичното евклидово разстояние до средната стойност на клъстера. Клъстерът, който ще се обедини, е този, който увеличава поне сумата. Тоест този метод минимизира увеличението обща сумаквадратни разстояния в клъстери. Този метод има тенденция да създава по-малки клъстери.

• Това е геометрично разстояние в многомерното пространство.
• Подходящ е само за непрекъснати променливи.
• Косинусно разстояние Косинусът на ъгъла между два стойностни вектора.
• Този метод се препоръчва при рисуване на начертани клъстери.
• Ако начертаните клъстери образуват уникални "бучки", методът е подходящ.
• Клъстерният център е средна точка в многомерно пространство.
• Не трябва да се използва, ако размерите на клъстерите са много различни.
• Средните стойности на Ward за всички променливи се изчисляват за всеки клъстер.
• Тези разстояния се сумират за всички случаи.

Идеята е да се сведе до минимум разстоянието между данните и съответния клъстер от клъстери.

За по-голяма яснота разгледайте пример. Нека дължината на катета |AB| = 15. А ъгълът α = 60°. Получаваме |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Помислете как можете да проверите резултата си с помощта на Питагоровата теорема. За да направим това, трябва да изчислим дължината на втория крак |BC|. Използване на формулата за тангенс на ъгъл tg α = |BC| / |AC|, получаваме |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. След това прилагаме Питагоровата теорема, получаваме 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Проверката е направена.

Функцията синус се определя от концепцията за синус, като се има предвид, че ъгълът винаги трябва да се изразява в радиани. Можем да наблюдаваме няколко характеристики на синусоидалната функция.

• Вашият домейн съдържа всички реални.
• В този случай се казва, че функцията е периодична с период 2π.

Функцията косинус се определя от концепцията за косинус, като се има предвид, че ъгълът винаги трябва да се изразява в радиани.

Можем да наблюдаваме няколко характеристики на функцията косинус. Така е периодичен период 2π. . Ограничението не премахва общността на формулата, защото винаги можем да намалим ъглите на втория, третия и четвъртия квадрант към първия. Упражнение. - Изчислете синус от 15º без да използвате калкулатор.

След като изчислите хипотенузата, проверете дали получената стойност удовлетворява Питагоровата теорема.

източници:

• Таблица прости числаот 1 до 10000

Краканазовете двете къси страни на правоъгълен триъгълник, които съставляват неговия връх, чиято стойност е 90 °. Третата страна в такъв триъгълник се нарича хипотенуза. Всички тези страни и ъгли на триъгълника са свързани помежду си с определени отношения, които ви позволяват да изчислите дължината на крака, ако са известни няколко други параметъра.

Косинус от сбора на два ъгъла

Косинус от разликата на два ъгъла

За да получим формулата, можем да продължим по същия начин, както в предишния раздел, но ще видим друга много проста демонстрация, базирана на Питагоровата теорема. Опростяване и промяна на знака, имаме Тангенс сбор и разлика на два ъгъла.

Упражнение. В днешната статия ще разгледаме много специфично подмножество: тригонометрични функции. За да се насладим на всичко, което математиката може да предложи, трябва да го импортираме. Ще видим други стилове на импортиране в следващата статия, всеки със своите предимства и недостатъци. Но с тази проста инструкция вече имате достъп до цялото пространство на имената на математическия модул, изпълнено с десетки функции, включително тези, с които ще се занимаваме днес.

Инструкция

Използвайте Питагоровата теорема, за да изчислите дължината на катета (A), ако знаете дължината на другите две страни (B и C) на правоъгълен триъгълник. Тази теорема гласи, че сборът от дължините на катетите на квадрат е равен на квадрата на хипотенузата. От това следва, че дължината на всеки от краката е равна на корен квадратенот разликата на квадратите на дължините на хипотенузата и втория катет: A=√(C²-B²).

По принцип ще трябва да изчислим синуса, косинуса и тангенса на ъгъла, както и неговия обратни функции. Освен това бихме искали да можем да работим както в радиани, така и в градуси, така че да можем да използваме и подходящите функции за преобразуване.

Трябва да имате предвид, че тези функции очакват аргументът да бъде предоставен в радиани, а не в градуси. За тази цел ще ви е интересно да знаете, че имате следната константа. Така че можем да използваме този израз вместо числова стойност.

Няма директна функция за косеканса, секанса и котангенса, тъй като това не е необходимо, тъй като те са просто обратно на синус, косинус и тангенс съответно. Както преди, върнатият ъгъл също е в радиани. Друга полезна функция на математиката ни позволява да знаем стойността на хипотенузата на правоъгълен триъгълник при дадените му катети, което ни позволява да изчислим корен квадратен от сбора на квадратите им.

Използвайте дефиницията на директната тригонометрична функция "синус" за остър ъгъл, ако знаете стойността на ъгъла (α) срещу изчисления крак и дължината на хипотенузата (C). Това определение гласи, че синусът на този известен ъгъл е равен на съотношението на дължината на желания крак към дължината на хипотенузата. Това означава, че дължината на желания катет е равна на произведението от дължината на хипотенузата и синуса на известния ъгъл: A=C∗sin(α). За същите известни стойности можете да използвате дефиницията на функцията косеканс и да изчислите желаната дължина, като разделите дължината на хипотенузата на косеканса на известния ъгъл A=C/cosec(α).

Използвайте дефиницията на пряката тригонометрична функция косинус, ако в допълнение към дължината на хипотенузата (C) е известна и стойността на острия ъгъл (β), съседен на желания катет. Косинусът на този ъгъл се определя като съотношението на дължините на желания крак и хипотенузата и от това можем да заключим, че дължината на крака е равна на произведението от дължината на хипотенузата и косинуса на известния ъгъл: A=C∗cos(β). Можете да използвате дефиницията на функцията на секанса и да изчислите желаната стойност, като разделите дължината на хипотенузата на секанса на известния ъгъл A=C/sec(β).

Изведете необходимата формула от подобна дефиниция за производната на допирателната на тригонометричната функция, ако в допълнение към стойността на острия ъгъл (α), лежащ срещу желания крак (A), дължината на втория катет (B) е известен. Тангенсът на ъгъла срещу желания крак е съотношението на дължината на този крак към дължината на втория крак. Това означава, че желаната стойност ще бъде равна на произведението на дължината на известния ъгъл и тангенса на известния ъгъл: A=B∗tg(α). От същите тези известни количества може да се изведе друга формула, като се използва дефиницията на функцията котангенс. В този случай, за да се изчисли дължината на катета, ще е необходимо да се намери съотношението на дължината на известния катет към котангенса на известния ъгъл: A=B/ctg(α).

Подобни видеа

Думата "катет" дойде на руски от гръцки. AT точен преводтова означава отвес, тоест перпендикулярно на повърхността на земята. В математиката краката се наричат ​​страни, които образуват прав ъгъл на правоъгълен триъгълник. Страната срещу този ъгъл се нарича хипотенуза. Терминът "крак" се използва и в архитектурата и заваръчната технология.

Начертайте правоъгълен триъгълник ACB. Обозначете катетите му a и b и означете хипотенузата му c. Всички страни и ъгли на правоъгълен триъгълник са свързани с определени отношения. Съотношението на катета срещу един от острите ъгли към хипотенузата се нарича синус на този ъгъл. В този триъгълник sinCAB=a/c. Косинусът е отношението към хипотенузата на съседния катет, т.е. cosCAB=b/c. Обратните зависимости се наричат ​​секанс и косеканс.

Секансът на този ъгъл се получава чрез разделяне на хипотенузата на съседния катет, тоест secCAB=c/b. Оказва се реципрочната стойност на косинуса, т.е. може да се изрази по формулата secCAB=1/cosSAB.
Косекансът е равен на частното от деленето на хипотенузата на срещуположния катет и е реципрочната стойност на синуса. Може да се изчисли по формулата cosecCAB=1/sinCAB

Двата катета са свързани с тангенс и котангенс. AT този случайдопирателната ще бъде съотношението на страна a към страна b, тоест противоположният крак към съседния. Това съотношение може да се изрази с формулата tgCAB=a/b. Съответно, обратното съотношение ще бъде котангенс: ctgCAB=b/a.

Съотношението между размерите на хипотенузата и двата катета е определено от древногръцкия математик Питагор. Теоремата, кръстена на него, все още се използва от хората. Той казва, че квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на краката, т.е. c2 \u003d a2 + b2. Съответно всеки катет ще бъде равен на корен квадратен от разликата между квадратите на хипотенузата и другия катет. Тази формула може да бъде записана като b=√(c2-a2).

Дължината на крака може да се изрази и чрез връзките, които познавате. Според синусовата и косинусовата теореми кракът е равно на произведениетохипотенуза към една от тези функции. Може също да се изрази чрез тангенс или котангенс. Кракът a може да бъде намерен например по формулата a \u003d b * tan CAB. По абсолютно същия начин, в зависимост от зададения тангенс или котангенс, се определя вторият катет.

В архитектурата се използва и терминът "крак". Прилага се върху йонийски капител и обозначава отвес през средата на гърба му. Тоест в този случай този термин означава перпендикуляр към дадена права.

В заваръчната технология съществува понятието "заваръчен шев на крака". Както и в други случаи, това е най-късото разстояние. Тук говорим за празнината между една от частите, които трябва да бъдат заварени, до границата на шева, разположен на повърхността на другата част.

Подобни видеа

източници:

• какво е катетът и хипотенузата

Подобни видеа

Забележка

Когато изчислявате страните на правоъгълен триъгълник, познаването на неговите характеристики може да играе:
1) Ако кракът на прав ъгъл лежи срещу ъгъл от 30 градуса, тогава той е равен на половината от хипотенузата;
2) Хипотенузата винаги е по-дълга от който и да е от катетите;
3) Ако окръжност е описана около правоъгълен триъгълник, тогава нейният център трябва да лежи в средата на хипотенузата.

Там, където се разглеждаха задачите за решаване на правоъгълен триъгълник, обещах да представя техника за запомняне на определенията за синус и косинус. Използвайки го, вие винаги бързо ще запомните кой крак принадлежи на хипотенузата (съседна или противоположна). Реших да не го отлагам за неопределено време, необходимият материал е по-долу, моля, прочетете го 😉

Факт е, че многократно съм наблюдавал как учениците от 10-11 клас трудно запомнят тези определения. Те помнят много добре, че катетът се отнася за хипотенузата, но забравят коя объркан. Цената на грешката, както знаете на изпита, е загубен резултат.

Информацията, която ще представя директно към математиката, няма нищо общо. Свързва се с образното мислене и с методите на словесно-логическата връзка. Точно така, аз самият, веднъж завинаги си спомних данни за дефиниция. Ако все пак ги забравите, тогава с помощта на представените техники винаги е лесно да си спомните.

Нека ви напомня дефинициите на синус и косинус в правоъгълен триъгълник:

Косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на съседния катет към хипотенузата:

синуситеостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към хипотенузата:

И така, какви асоциации предизвиква у вас думата косинус?

Вероятно всеки има свой собствен Запомнете връзката:

Така веднага ще имате израз в паметта си -

«… съотношение на ПРИЛЕЖАЩИЯ катет към хипотенузата».

Проблемът с дефиницията на косинус е решен.

Ако трябва да запомните дефиницията на синуса в правоъгълен триъгълник, тогава като си спомните дефиницията на косинуса, можете лесно да установите, че синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположния крак към хипотенузата. В края на краищата има само два крака, ако съседният крак е „зает“ от косинуса, тогава за синуса остава само противоположната страна.

Какво ще кажете за тангенса и котангенса? Същото объркване. Учениците знаят, че това е съотношението на катетите, но проблемът е да запомнят кое към кое се отнася - или противоположно на съседни, или обратно.

Определения:

Допирателнаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към съседния:

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на съседния крак към противоположния:

Как да запомните? Има два начина. Единият също използва словесно-логическа връзка, другият – математическа.

МАТЕМАТИЧЕСКИ МЕТОД

Има такова определение - тангенсът на остър ъгъл е съотношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:

* Спомняйки си формулата, винаги можете да определите, че тангентата на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на срещуположния катет към съседния.

По същия начин. Котангенсът на остър ъгъл е отношението на косинуса на ъгъл към неговия синус:

Така! Спомняйки си тези формули, винаги можете да определите, че:

Тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към съседния

Котангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на съседния катет към срещуположния катет.

СЛОВЕСНО-ЛОГИЧЕСКИ МЕТОД

Относно допирателната. Запомнете връзката:

Тоест, ако трябва да запомните дефиницията на допирателната, използвайки тази логическа връзка, лесно можете да си спомните какво е

"... съотношението на противоположния крак към съседния"

Ако става въпрос за котангенс, тогава като си спомните определението за тангенс, можете лесно да изразите определението за котангенс -

"... съотношението на съседния крак към противоположния"

В сайта има интересна техника за запомняне на тангенс и котангенс " Математически тандем " , виж.

МЕТОД УНИВЕРСАЛЕН

Можете просто да смилате. Но както показва практиката, благодарение на вербално-логическите връзки човек помни информация за дълго време, а не само математическа.

Надявам се материалът да ви е бил полезен.

С уважение, Александър Крутицких

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.

Тригонометрията е дял от математиката, който изучава тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Развитието на тригонометрията започва в дните на древна Гърция. През Средновековието учени от Близкия изток и Индия имат важен принос за развитието на тази наука.

Тази статия е посветена на основните понятия и дефиниции на тригонометрията. Обсъждат се дефинициите на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Тяхното значение в контекста на геометрията е обяснено и илюстрирано.

Първоначално дефинициите на тригонометрични функции, чийто аргумент е ъгъл, се изразяват чрез отношението на страните на правоъгълен триъгълник.

Дефиниции на тригонометрични функции

Синусът на ъгъл (sin α) е отношението на катета срещу този ъгъл към хипотенузата.

Косинусът на ъгъла (cos α) е отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на ъгъла (t g α) е отношението на срещуположния катет към съседния.

Котангенсът на ъгъла (c t g α) е отношението на съседния катет към срещуположния.

Тези определения са дадени за остър ъгъл на правоъгълен триъгълник!

Нека дадем илюстрация.

В триъгълник ABC с прав ъгъл C синусът на ъгъл A е равен на отношението на катета BC към хипотенузата AB.

Дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс позволяват да се изчислят стойностите на тези функции от известните дължини на страните на триъгълник.

Важно е да запомните!

Диапазонът на стойностите на синуса и косинуса: от -1 до 1. С други думи, синусът и косинусът приемат стойности от -1 до 1. Диапазонът на стойностите на тангенса и котангенса е цялата числова линия, т.е. функциите могат да приемат всякакви стойности.

Дефинициите, дадени по-горе, се отнасят за остри ъгли. В тригонометрията се въвежда понятието ъгъл на завъртане, чиято стойност, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена от рамки от 0 до 90 градуса Ъгълът на завъртане в градуси или радиани се изразява с всяко реално число от - ∞ до + ∞.

В този контекст може да се определи синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл с произволна величина. Представете си единична окръжност с център в началото на декартовата координатна система.

Началната точка A с координати (1 , 0) се завърта около центъра на единичната окръжност на някакъв ъгъл α и отива в точка A 1 . Дефиницията е дадена чрез координатите на точката A 1 (x, y).

Синус (sin) на ъгъла на завъртане

Синусът на ъгъла на завъртане α е ординатата на точката A 1 (x, y). sinα = y

Косинус (cos) от ъгъла на завъртане

Косинусът на ъгъла на завъртане α е абсцисата на точката A 1 (x, y). cos α = x

Тангенс (tg) на ъгъла на завъртане

Тангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на ординатата на точката A 1 (x, y) към нейната абциса. t g α = y x

Котангенс (ctg) на ъгъла на завъртане

Котангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на абсцисата на точката A 1 (x, y) към нейната ордината. c t g α = x y

Синус и косинус са определени за всеки ъгъл на въртене. Това е логично, тъй като абсцисата и ординатата на точката след завъртането могат да се определят под всеки ъгъл. Ситуацията е различна с тангенса и котангенса. Допирателната не е дефинирана, когато точката след въртенето отива към точката с нулева абциса (0 , 1) и (0 , - 1). В такива случаи изразът за допирателната t g α = y x просто няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Подобна е ситуацията и с котангенса. Разликата е, че котангенсът не е дефиниран в случаите, когато ординатата на точката е нула.

Важно е да запомните!

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α.

Тангентата е определена за всички ъгли с изключение на α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Котангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

При решаване практически примерине казвайте "синус от ъгъла на завъртане α". Думите "ъгъл на завъртане" просто са пропуснати, което означава, че от контекста вече е ясно за какво става въпрос.

Числа

Какво ще кажете за определението на синус, косинус, тангенс и котангенс на число, а не ъгъл на завъртане?

Синус, косинус, тангенс, котангенс на число

Синус, косинус, тангенс и котангенс на число Tсе нарича число, което е съответно равно на синус, косинус, тангенс и котангенс в Tрадиан.

Например синусът от 10 π е равен на синуса от ъгъла на завъртане от 10 π rad.

Има друг подход към дефинирането на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Нека го разгледаме по-подробно.

Всяко реално число Tточка от единичната окръжност се поставя в съответствие с центъра в началото на правоъгълната декартова координатна система. Синус, косинус, тангенс и котангенс са дефинирани по отношение на координатите на тази точка.

Началната точка на окръжността е точка А с координати (1 , 0).

положително число T

Отрицателно число Tсъответства на точката, до която ще се премести началната точка, ако се движи обратно на часовниковата стрелка около кръга и измине пътя t .

Сега, след като връзката между числото и точката от окръжността е установена, пристъпваме към дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус (sin) на числото t

Синус от число T- ордината на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. sin t = y

Косинус (cos) от t

Косинус на число T- абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. cos t = x

Тангенс (tg) на t

Тангенс на число T- отношението на ординатата към абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. t g t = y x = sin t cos t

Последните дефиниции са в съответствие и не противоречат на определението, дадено в началото на този раздел. Точка върху кръг, съответстващ на число T, съвпада с точката, до която минава началната точка след завиване през ъгъла Tрадиан.

Тригонометрични функции на ъглов и числен аргумент

Всяка стойност на ъгъла α съответства на определена стойност на синуса и косинуса на този ъгъл. Точно както всички ъгли α, различни от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) съответства на определена стойност на допирателната. Котангенсът, както бе споменато по-горе, е определен за всички α, с изключение на α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Можем да кажем, че sin α , cos α , t g α , c t g α са функции на ъгъла алфа или функции на ъгловия аргумент.

По подобен начин може да се говори за синус, косинус, тангенс и котангенс като функции на числов аргумент. Всяко реално число Tсъответства на конкретна стойност на синуса или косинуса на число T. Всички числа, различни от π 2 + π · k , k ∈ Z, съответстват на стойността на тангенса. Котангенсът е дефиниран по подобен начин за всички числа с изключение на π · k , k ∈ Z.

Основни функции на тригонометрията

Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните тригонометрични функции.

Обикновено от контекста става ясно с кой аргумент на тригонометричната функция (ъглов аргумент или числов аргумент) имаме работа.

Да се ​​върнем към данните в самото начало на дефинициите и ъгъла алфа, който е в диапазона от 0 до 90 градуса. Тригонометричните определения на синус, косинус, тангенс и котангенс са в пълно съответствие с геометричните определения, дадени от съотношенията на страните на правоъгълен триъгълник. Нека го покажем.

Вземете единична окръжност с център правоъгълник Декартова системакоординати. Нека завъртим началната точка A (1, 0) на ъгъл до 90 градуса и начертаем от получената точка A 1 (x, y) перпендикулярно на оста x. В получения правоъгълен триъгълник ъгълът A 1 O H е равен на ъгъла на въртене α, дължината на крака O H е равна на абсцисата на точката A 1 (x, y) . Дължината на катета срещу ъгъла е равна на ординатата на точката A 1 (x, y), а дължината на хипотенузата е равна на единица, тъй като е радиусът на единичната окръжност.

В съответствие с определението от геометрията, синусът на ъгъла α е равен на съотношението на срещуположния катет към хипотенузата.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Това означава, че дефиницията на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез съотношението на страните е еквивалентна на дефиницията на синуса на ъгъла на въртене α, като алфа е в диапазона от 0 до 90 градуса.

По подобен начин може да се покаже съответствието на дефинициите за косинус, тангенс и котангенс.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Познавайки един от катетите в правоъгълен триъгълник, можете да намерите втория катет и хипотенузата, като използвате тригонометрични отношения - синус и тангенс на известен ъгъл. Тъй като съотношението на крака срещу ъгъла към хипотенузата е равно на синуса на този ъгъл, следователно, за да се намери хипотенузата, кракът трябва да бъде разделен на синуса на ъгъла. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Вторият катет може да се намери от тангенса на известния ъгъл, като отношението на известния катет към тангентата. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

За да изчислите неизвестния ъгъл в правоъгълен триъгълник, трябва да извадите ъгъла α от 90 градуса. β=90°-α

Периметърът и площта на правоъгълен триъгълник през крака и противоположния на него ъгъл могат да бъдат изразени чрез заместване на получените по-рано изрази за втория крак и хипотенузата във формулите. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Можете също да изчислите височината чрез тригонометрични отношения, но вече във вътрешния правоъгълен триъгълник със страна a, който тя образува. За да направите това, имате нужда от страна a, като хипотенуза на такъв триъгълник, умножена по синуса на ъгъла β или косинуса α, тъй като според тригонометрични тъждествате са еквивалентни. (фиг. 79.2) h=a cos⁡α

Медианата на хипотенузата е равна на половината от хипотенузата или известния катет a, разделен на два синуса α. За да намерим медианите на краката, привеждаме формулите в подходящата форма за позната странаи ъгли. (фиг.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Тъй като ъглополовящата на прав ъгъл в триъгълник е произведението на две страни и корен от две, разделен на сумата от тези страни, замествайки един от катетите със съотношението на известния катет към тангентата, получаваме следното изразяване. По същия начин, чрез заместване на съотношението във втората и третата формула, може да се изчислят ъглополовящите на ъглите α и β. (фиг.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Средната линия върви успоредно на една от страните на триъгълника, като същевременно образува друг подобен правоъгълен триъгълник със същите ъгли, в който всички страни са наполовина по-малки от първоначалния. Въз основа на това средните линии могат да бъдат намерени с помощта на следните формули, като се знае само кракът и противоположният му ъгъл. (фиг.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Радиусът на вписаната окръжност е равен на разликата между краката и хипотенузата, разделена на две, а за да намерите радиуса на описаната окръжност, трябва да разделите хипотенузата на две. Заменяме втория катет и хипотенузата със съотношенията на катет а спрямо синуса и тангенса, съответно. (Фиг. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

В живота често трябва да се справяме с задачи по математика: в училище, в университета и след това да помагате на детето си с домашна работа. Хората от определени професии ще се сблъскват с математиката ежедневно. Следователно е полезно да запомните или да си припомните математическите правила. В тази статия ще анализираме един от тях: намирането на катета на правоъгълен триъгълник.

Какво е правоъгълен триъгълник

Първо, нека си припомним какво е правоъгълен триъгълник. Правоъгълният триъгълник е геометрична фигураот три сегмента, които свързват точки, които не лежат на една и съща права линия, а един от ъглите на тази фигура е 90 градуса. Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети, а страната, която лежи срещу правия ъгъл, се нарича хипотенуза.

Намиране на катета на правоъгълен триъгълник

Има няколко начина да разберете дължината на крака. Бих искал да ги разгледам по-подробно.

Питагорова теорема за намиране на катета на правоъгълен триъгълник

Ако знаем хипотенузата и катета, тогава можем да намерим дължината на неизвестния катет с помощта на Питагоровата теорема. Звучи така: „Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката.“ Формула: c²=a²+b², където c е хипотенузата, a и b са катетите. Преобразуваме формулата и получаваме: a²=c²-b².

Пример. Хипотенузата е 5 см, а катетът е 3 см. Преобразуваме формулата: c²=a²+b² → a²=c²-b². След това решаваме: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; а=√16; а=4 (cm).

Тригонометрични отношения за намиране на катета на правоъгълен триъгълник

Също така е възможно да се намери неизвестен катет, ако са известни друга страна и всеки остър ъгъл на правоъгълен триъгълник. Има четири варианта за намиране на крака с помощта на тригонометрични функции: по синус, косинус, тангенс, котангенс. За да разрешим проблемите, таблицата по-долу ще ни помогне. Нека разгледаме тези опции.

Намерете катета на правоъгълен триъгълник, като използвате синуса

Синусът на ъгъл (sin) е отношението на срещуположния катет към хипотенузата. Формула: sin \u003d a / c, където a е кракът срещу дадения ъгъл, а c е хипотенузата. След това трансформираме формулата и получаваме: a=sin*c.

Пример. Хипотенузата е 10 см, а ъгъл А е 30 градуса. Според таблицата изчисляваме синуса на ъгъл А, той е равен на 1/2. След това, използвайки преобразуваната формула, решаваме: a=sin∠A*c; а=1/2*10; а=5 (cm).

Намерете катета на правоъгълен триъгълник, като използвате косинус

Косинусът на ъгъл (cos) е отношението на съседния катет към хипотенузата. Формула: cos \u003d b / c, където b е кракът, съседен на дадения ъгъл, а c е хипотенузата. Нека трансформираме формулата и получаваме: b=cos*c.

Пример. Ъгъл А е 60 градуса, хипотенузата е 10 см. Според таблицата изчисляваме косинуса на ъгъл А, той е равен на 1/2. След това решаваме: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Намерете катета на правоъгълен триъгълник с помощта на тангентата

Тангенсът на ъгъл (tg) е отношението на срещуположния катет към съседния. Формула: tg \u003d a / b, където a е кракът, противоположен на ъгъла, а b е съседен. Нека трансформираме формулата и получаваме: a=tg*b.

Пример. Ъгъл А е 45 градуса, хипотенузата е 10 см. Според таблицата изчисляваме тангенса на ъгъл А, той е равен на Решете: a=tg∠A*b; а=1*10; а=10 (cm).

Намерете катета на правоъгълен триъгълник, като използвате котангенса

Котангенсът на ъгъл (ctg) е съотношението на съседния катет към противоположния катет. Формула: ctg \u003d b / a, където b е кракът, съседен на ъгъла, и е противоположен. С други думи, котангенсът е "обърнатият тангенс". Получаваме: b=ctg*a.

Пример. Ъгъл A е 30 градуса, противоположният катет е 5 см. Според таблицата тангенсът на ъгъл A е √3. Изчислете: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

И така, сега знаете как да намерите крака в правоъгълен триъгълник. Както можете да видите, не е толкова трудно, основното е да запомните формулите.