Резюме на урока "Физичен и геометричен смисъл на производната. Допирателна към графиката на функция." Обобщение на урока "уравнението на допирателната към графиката на функцията" Представяне на допирателната към графиката на функцията уравнение на допирателната

Тип урок:изучаване на нов материал.

Методи на обучение:визуален, отчасти изследователски.

Целта на урока:

  1. Въведете понятието допирателна към графиката на функция в точка, разберете какво геометричен смисълпроизводна, изведете уравнението на допирателната и научите как да го намерите за конкретни функции.
  2. Развитие на логическо мислене, изследователски умения, функционално мислене, математическа реч.
  3. Развивайте комуникационни умения по време на работа, насърчавайте развитието самостоятелна дейностстуденти.

Оборудване:компютър, мултимедиен проектор, раздатъчни материали.

Изтегли:


Преглед:

Урок по темата "Допирателна. Уравнение на допирателната"

Тип урок: изучаване на нов материал.

Методи на обучение:визуален, отчасти изследователски.

Целта на урока:

  1. Въведете понятието допирателна към графиката на функция в точка, разберете какво е геометричното значение на производната, изведете уравнението на допирателната и научете как да го намерите за конкретни функции.
  2. Развитие на логическо мислене, изследователски умения, функционално мислене, математическа реч.
  3. Развитие на комуникативни умения в работата, за насърчаване на развитието на самостоятелна дейност на учениците.

Оборудване: компютър, мултимедиен проектор, раздатъчни материали.

План на урока

I организационен момент.
Проверка на готовността на учениците за урока. Посланието на темата и мотото на урока.

II Актуализиране на материала.
(Активирайте вниманието, покажете липсата на знания за допирателната, формулирайте целите и задачите на урока.)

Нека обсъдим какво е допирателна към графика на функция? Съгласни ли сте с твърдението, че „Допирателната е права линия, която има една обща точка с дадена крива“?
Има дискусия. Твърдения на деца (да и защо, не и защо). По време на дискусията стигаме до извода, че това твърдение не е вярно.

Примери.
1) Правата x = 1 има една обща точка M(1; 1) с параболата y = x2, но не е допирателна към параболата. Правата y = 2x – 1, минаваща през същата точка, е допирателна към дадената парабола.
2) По същия начин правата x = π не е допирателна към графиката y = cos x , въпреки че има единствената обща точка K(π; 1) с него. От друга страна, правата y = - 1, минаваща през същата точка, е допирателна към графиката, въпреки че има безкрайно много общи точкиТип;(π+2 πk; 1), където k е цяло число, във всяко от които докосва графиката.


Снимка 1


Фигура 2

Поставяне на цели и задачи за децата в урока:разберете каква е допирателната към графиката на функция в точка, как да напишете уравнение за допирателна?
Какво ни трябва за това?
Припомням си обща формауравнения на права, условия за успоредни прави, определение на производна, правила за диференциране.

III Подготвителна работа за изучаване на нов материал.
Материал за въпроси върху карти: (задачите се изпълняват на дъската)
1 ученик: попълнете таблицата с производни елементарни функции

2 ученик: запомнете правилата за диференциация

3 ученик: напишете уравнението на права линия y = kx + 4 минаваща през точката A(3; -2).
(y=-2x+4)

4 ученик: направете уравнение на прави линии y=3x+b минаваща през т. С(4; 2).
(y = 3x - 2).

С останалите фронтална работа.

  1. Формулирайте определението за производна.
  2. Кои от следните прави са успоредни? y = 0,5x; y \u003d - 0,5x; y \u003d - 0,5x + 2. Защо?

Познайте името на учения:

Ключ към отговорите

Кой беше този учен, с какво е свързана работата му, ще научим в следващия урок.
Проверете отговорите на учениците върху картите.
IV Изучаването на нов материал.
За да зададем уравнението на права линия върху равнина, достатъчно е да знаем нейния ъгъл
коефициент и координати на една точка.

  • Да започнем с наклона



Фигура 3

Разгледайте графиката на функцията y = f(x) диференцируем в точка А(x 0 , f(x 0 )) .
Изберете точка върху него M (x 0 + Δх, f(x 0 + Δх)) и начертайте секущасутринта .
Въпрос: какъв е наклонът на секанса? (∆f/∆x=tgβ)

Ще апроксимираме точката по дъгатаМ до точка А . В случая направосутринта ще се върти около точкатаА , приближавайки се (за плавни линии) до някакво ограничаващо положение - права линия AT . С други думи, AT , който има това свойство, се наричадопирателна към графиката на функцията y \u003d f (x) в точка A (x 0, f (x 0)).

Наклон на секущатасутринта в сутринта → 0 клони към наклона на тангентата AT Δf/Δx → f "(x 0 ) . Стойността на производната в точках 0 вземете за наклона на тангентата. Казват, четангенсът е граничното положение на секанса при ∆х → 0.

Съществуване на производна на функция в точка x 0 е еквивалентно на съществуването на (невертикална) допирателна към (x 0 , f(x 0 )) графика, докато наклонът на тангентата е равен на f "(x 0). Това е геометричен смисъл на производната.

Дефиниция на допирателна: Допирателна към графика, диференцируема в точка x 0 функция f е права, минаваща през точка(x 0 , f(x 0 )) и с наклон f "(x 0) .
Нека начертаем функциите, допирателни към графиката y \u003d f (x) в точки x 1, x 2, x 3 и отбележете ъглите, които образуват с оста x. (Това е ъгълът, измерен в положителната посока от положителната посока на оста към правата линия.)



Фигура 4

Виждаме, че ъгълът α 1 е остър, ъгъл α 3 е тъп, а ъгъл α 2 нула, тъй като правата линия l е успореден на оста Ox. Допирателна остър ъгълположителен, глупав - отрицателен. Ето защо f "(x 1)> 0, f" (x 2) \u003d 0, f "(x 3)

  • Сега извеждаме уравнението на допирателнатакъм графиката на функцията f в точка A(x 0 , f(x 0 ) ).

Общ вид на уравнението на правата линия y = kx + b.

  1. Нека намерим ъгловия коефициент k \u003d f "(x 0), получаваме y \u003d f "(x0) ∙ x + b, f (x) \u003d f "(x 0 )∙x + b
  2. Да намерим b. b \u003d f (x 0) - f "(x 0) ∙ x 0.
  3. Заменете получените стойности k и b в уравнението на права линия: y \u003d f "(x 0) ∙x + f (x 0) - f "(x 0) ∙x 0 или y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)
  • Обобщение на лекционния материал.



- формулирайте алгоритъм за намиране на уравнението на допирателната в точка?

1. Стойността на функцията в точката на контакт
2. Обща производна на функция
3. Стойността на производната в точката на контакт
4. Заменете намерените стойности в общо уравнениедопирателна.

V Затвърдяване на изучения материал.

1. Устна работа:
1) Б кои точки от графиката са допирателни към него
а) хоризонтална;
б) образува остър ъгъл с оста x;
в) образува тъп ъгъл с оста x?
2) За какви стойности на аргумента е производната на функцията, дадена от графиката
а) равно на 0;
б) повече от 0;
в) по-малко от 0?


Фигура 5



Фигура 6

3) Фигурата показва графиката на функцията f(x) и допирателна към нея в точка с абциса x0 . Намерете стойността на производната на функция f "(x) в точката x 0 .


Фигура 7

2. Писмена работа.
№ 253 (а, б), № 254 (а, б). (теренна работа, с коментар)

3. Решение на справочни задачи.
Нека разгледаме четири вида задачи. Децата четат условието на задачата, предлагат алгоритъм за решение, един от учениците го чертае на дъската, останалите го записват в тетрадка.
1. Ако е дадена допирна точка
Напишете уравнение за допирателна към графика на функция f(x) = x 3 - 3x - 1 в точка М с абциса -2.
Решение:

  1. Нека изчислим стойността на функцията: f(-2) =(-2) 3 - 3(-2) - 1 = -3;
  2. намерете производната на функцията: f "(x) \u003d 3x 2 - 3;
  3. изчислете стойността на производната: f "(-2) \u003d - 9 .;
  4. нека заместим тези стойности в уравнението на допирателната: y = 9(x + 2) - 3 = 9x + 15.

Отговор: y = 9x + 15.

2. По ординатата на точката на контакт.
Напишете уравнение за допирателна в точка на графикас ордината y 0 = 1.
Решение:

Отговор: y \u003d -x + 2.

3. Предварително зададена посока.
Напишете уравнения на допирателната към графиката y \u003d x 3 - 2x + 7 , успоредна на правата y = x .
Решение.
Желаната допирателна е успоредна на правата y=x . Така че те имат еднакъв наклон k \u003d 1, y "(x) \u003d 3x2 - 2. Абсциса x 0 допирни точки удовлетворява уравнението 3x 2 - 2 \u003d 1, от където x 0 = ±1.
Сега можем да напишем уравненията на допирателната: y = x + 5 и y = x + 9 .
Отговор: y = x + 5 , y = x + 9 .

4. Условия за допиране на графиката и правата.
Задача. При какво b права y = 0,5x + b е допирателна към графиката на функцията f(x) = ?
Решение.
Спомнете си, че наклонът на допирателната е стойността на производната в допирателната точка. Наклонът на тази права линия е k = 0,5. Оттук получаваме уравнението за определяне на абсцисата x на допирната точка: f "(x) \u003d = 0,5. Очевидно единственият му корен е x = 1. Стойността на тази функция в тази точка е y(1) = 1. Така че координатите на точката на допир са (1; 1). Сега остава да изберете такава стойност на параметъра b, при която линията минава през тази точка, т.е. координатите на точката отговарят на уравнението на линията: 1 = 0,5 1 + b, откъдето b = 0,5.

5. Самостоятелна работаобразователен характер.

Работете по двойки.


Проверка: резултатите от решението се вписват в таблица на дъската (по един отговор от всяка двойка), обсъждане на отговорите.

6. Намиране на пресечен ъгъл на графиката на функция и права.
Ъгълът на пресичане на графиката на функцията y = f(x) и права линия l наречен ъгъл, под който допирателната към графиката на функцията пресича правата в същата точка.
№ 259 (а, б), № 260 (а) - разглобете на дъската.

7. Самостоятелна работа с контролен характер.(диференцирана работа, учителят проверява за следващия урок)
1 вариант.

Вариант 2.

  1. В кои точки е допирателната към графиката на функцията f(x) = 3x 2 - 12x + 7 успоредна на оста x?
  2. Приравнете допирателната към графиката на функцията f(x)= x 2 - 4 в точката с абсцисатах 0 = - 2. Начертайте модела.
  3. Разберете дали линията е y \u003d 12x - 10 допирателна към графиката на функцията y = 4x3.

3 вариант.

VI Обобщаване на урока.
1. Отговори на въпроси
- какво се нарича допирателна към графиката на функция в точка?
Какво е геометричното значение на производната?
- формулирайте алгоритъм за намиране на уравнението на допирателната в точка?
2. Спомнете си целите и задачите на урока, постигнахме ли тази цел?
3. Какви бяха трудностите в урока, кои моменти от урока ви харесаха най-много?
4. Оценяване на урока.
VII Коментар на домашната работа: стр. 19 (1, 2), № 253 (в), № 255 (г), № 256 (г), № 257 (г), № 259 (г). Подгответе доклад за Лайбниц.

Литература

1. Алгебра и началото на анализа: учебник за 10 клас образователни институции. Компилатори:. М. Николски, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.: Образование, 2008.

2. Дидактически материалипо алгебра и принципи на анализа за 10 клас / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбург. - М.: Образование, 2008.
3. Мултимедиен диск на компанията "1C". 1C: Учител. Математика (част 1) + ИЗПОЛЗВАЙТЕ опции. 2006.
4. отворена банказадачи по математика/ http://mathege.ru/


Уроци 70-71. Уравнението на допирателната към графиката на функцията

09.07.2015 5132 0

Цел: вземете уравнението на допирателната към графиката на функцията.

I. Съобщаване на темата и целите на уроците

II. Повторение и затвърдяване на преминатия материал

1. Отговори на въпроси за домашна работа (анализ на нерешени задачи).

2. Контрол на усвояването на материала (тест).

Опция 1

1. Намерете производната на функцията y \u003d 3x4 - 2 cos x.

Отговор:

в точката x = π.

Отговор:

3. Решете уравнението y '(x) = 0 ако

Отговор:

Вариант 2

1. Намерете производната на функцията y \u003d 5xb + 3грях х.

Отговор:

2. Изчислете стойността на производната на функциятав точката x = π.

Отговор:

3. Решете уравнението y '(x) = 0 ако

Отговор:

III. Учене на нов материал

И накрая, нека преминем към последния етап от изучаването на производната и да разгледаме приложението на производната в останалите уроци. В този урок ще обсъдим допирателната към графиката на функция.

Концепцията за допирателна вече беше разгледана по-рано. Беше показано, че графиката на функция, диференцируема в точка a f (x) близо до a практически не се различава от графиката на допирателната, което означава, че е близо до секанса, минаващ през точките (a; f (a)) и (a + Δx; f (a + Δx)). Всяка от тези секущи минава през точката M(a; f (а)). За да напишете уравнението на допирателната, трябва да посочите нейния наклон. Наклон на секущата Δ f /Δx при Δх → 0 клони към число f "(a), което е наклонът на тангентата. Следователно те казват, че тангентата е граничното положение на секанса при Δх→ 0.

Сега получаваме уравнението на допирателната към графиката на функцията f (Х). Тъй като тангентата е права линия и нейният наклон f "(a), тогава можем да напишем неговото уравнение y \u003d f "(a) x + b . Нека намерим коефициента b от условието, че допирателната минава през точката M(a; f (а)). Заместете координатите на тази точка в уравнението на допирателната и получете: f (a) \u003d f "(a) a + b, откъдето b \u003d f (a) - f "(a) a. Сега заместваме намерената стойност b в уравнението на допирателната и получаваме:или Това е уравнението на допирателната. Нека обсъдим приложението на уравнението на допирателната.

Пример 1

Под какъв ъгъл е синусоидатапресича оста x в началото?

Ъгълът, под който графиката на тази функция пресича оста x, равен на ъгъланаклон a на допирателната, начертана към графиката на функцията f(x ) в този момент. Нека намерим производната:Като вземем предвид геометричния смисъл на производната, имаме:и а = 60°.

Пример 2

Нека напишем уравнението на допирателната графика на функцията f (x) = -x2 + 4x в точкатаа = 1.

f "(x) и самата функция f (x) в точка a = 1 и получаваме: f "(a) = f "(1) = -2 1 + 4 = 2 и f (a) = f (1) = -12 + 4 1 = 3. Заместете тези стойности в уравнението на допирателната. Имаме: y \u003d 2 (x - 1) + 3 или y \u003d 2x + 1.

За по-голяма яснота фигурата показва графика на функцията f(x ) и допирателна към тази функция. Докосването се случва в точкаМ(1; 3).

Въз основа на примери 1 и 2 можем да формулираме алгоритъм за получаване на уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x):

1) обозначете абсцисата на точката на контакт с буквата a;

2) изчисляване на f(a);

3) намерете f "(x) и изчислете f "(a);

4) заменете намерените числа a, f (a), f "(a) във формулата y \u003d f '(a) (x - a) + f (a).

Обърнете внимание, че първоначално точка a може да е неизвестна и трябва да се намери от условията на проблема. След това в алгоритъма в параграфи 2 и 3 думата "изчислява" трябва да бъде заменена с думата "записва" (което е илюстрирано от пример 3).

В пример 2, абсцисата a на допирателната беше зададена директно. В много случаи допирната точка се определя от различни допълнителни условия.

Пример 3

Нека напишем уравненията на допирателните, изтеглени от точкатаА (0; 4) към графиката на функцията f(x) \u003d - x 2 + 2x.

Лесно се проверява, че точка А не лежи на параболата. В същото време точките на контакт на параболата и допирателните са неизвестни, следователно, за да се намерят тези точки, ще се използва допълнително условие - преминаването на допирателните през точка А.

Да приемем, че контактът става в точка а. Нека намерим производната на функцията:Изчислете стойностите на производната f"(x ) и самата функция f (x) в точката на контакт a и получаваме: f '(a) \u003d -2a + 2 и f (a ) = -a2 + 2a. Заменете тези стойности в уравнението на допирателната. Ние имаме:или Това е уравнението на допирателната.

Записваме условието за преминаване на допирателната през точка А, като заместваме координатите на тази точка. Получаваме: 4или 4 = a2, откъдето a = ±2. По този начин докосването се случва в две точки B(-2; -8) и C(2; 0). Следователно ще има две такива допирателни. Нека намерим техните уравнения. Нека заместим стойностите a = ±2 в уравнението на допирателната. Получаваме: приа = 2 или yx \u003d -2x + 4; приа = -2 или y2 = 6x + 4. И така, уравненията на допирателните са y1 = -2x + 4 и y2 = 6x + 4.

Пример 4

Нека намерим ъгъла между тангентите, като използваме условията на предишната задача.

Начертаните тангенти y1 = -2x + 4 и y2 = 6x + 4 сключват ъгли a1 и a2 с положителната посока на абсцисната ос (и tg a 1 = -2 и tg a 2 = 6) и между тях ъгълът φ =а 1 - а2. Ние намираме, използвайки добре известната формула,откъдето φ = арктан 8/11.

Пример 5

Нека напишем уравнението на допирателната към графиката на функциятауспоредна права y \u003d -x + 2.

Две прави са успоредни една на друга, ако имат еднакъв наклон. Наклонът на правата линия y \u003d -x + 2 е -1, наклонът на желаната допирателна е f '(a), където a - абсцисата на точката на контакт. Следователно, за да определим a, имаме допълнително условие f '(a) \u003d -1.

Използвайки формулата за производна на частни функции, намираме производната:Намерете стойността на производната в точката a и получи:

Получаваме уравнениетоили (a - 2)2 = 4, или a - 2 = ±2, откъдето a = 4 и a = 0. Следователно има две допирателни, които удовлетворяват условието на задачата. Нека заместим стойностите a = 4 и a = 0 в уравнението на допирателната y = f '(a)(x - a) + f (а). За a = 4 имаме:и тангенс y1 \u003d - (x - 4) + 3 или y1 \u003d -x + 7. С \u003d 0 получаваме:и допирателна y2 \u003d - (x - 0) - 1 или y2 \u003d -x - 1. И така, уравненията на допирателни y1 \u003d -x + 7 и y2 \u003d -x - 1.

Имайте предвид, че ако f "(а ) не съществува, тогава допирателната или не съществува (както във функцията f (x) = |x| в точката (0; 0) - фиг. a или вертикално (като функциятав точката (0; 0) - фиг. b.


Така че съществуването на производна на функция f (x) в точка a е еквивалентно на съществуването на невертикална допирателна в точка (a; f (а)) графики. В този случай наклонът на тангентата е равен на f "(a). Това е геометричното значение на производната.

Концепцията за производна позволява да се извършват приблизителни изчисления. Многократно е отбелязвано, че при Δх→ 0 стойности на функцията f(x ) и неговата допирателна y(x) практически съвпадат. Следователно при Δx→ 0 функционално поведение f (x) в околност на точката x0 може да се опише приблизително с формулата(всъщност уравнението на допирателната). Тази формула се използва успешно за приблизителни изчисления.

Пример 6

Изчислете стойността на функциятав точката x = 2,03.

Намерете производната на тази функция: f "(x) \u003d 12x2 - 4x + 3. Ще приемем, че x \u003d a + Δx, където a = 2 и Δx \u003d 0,03. Изчисляваме стойностите на функцията и нейната производна в точка a и получи:и Сега нека дефинираме стойността на функцията в дадена точках = 2,03. Ние имаме:

Разбира се, горната формула е удобна за използване, ако стойностите f (a) и f "(a ) се изчислява лесно.

Пример 7

Изчислете

Помислете за функциятаНека намерим производната:Ще приемем, че x = a + Δx, където a = 8 и Δx = 0,03. Нека изчислим стойностите на функцията и нейната производна в точка a и да получим:Сега нека определим стойността на функцията в дадена точка x = 8,03. Ние имаме:

Пример 8

Нека обобщим получения резултат. Помислете за мощностната функция f (x) = x n и ще приемем, че x = a + Δx и Δx→ 0. Намерете f "(x) = n x n -1 и изчисляваме стойностите на функцията и нейната производна в точка а, получаваме: f (a) \u003d an и f ’(a) \u003d nan -1 . Сега имаме формулата f (x) = a n + nan -1 Δx. Нека го използваме, за да изчислим числото 0,98-20. Ще приемем, че a = 1, Δх = -0,02 и n = -20. Тогава получаваме:

Разбира се, горната формула може да се използва за всякакви други функции, по-специално тригонометрични.

Пример 9

Нека изчислим tg 48°.

Помислете за функцията f(x) = tg x и намерете производната:Ще приемем, че x = a + Δ x, където a = 45° = π/4 и (Още веднъж имайте предвид, че в тригонометрията ъглите обикновено се измерват в радиани). Нека намерим стойностите на функцията и нейната производна в точка a и да получим:Сега нека изчислим(като се има предвид, че π = 3,14).

IV. тестови въпроси

1. Уравнението на допирателната към графиката на функцията.

2. Алгоритъм за извеждане на уравнението на допирателната.

3. Геометричният смисъл на производната.

4. Приложение на уравнението на допирателната за приближени изчисления.

V. Задача в уроците

§ 29, № 1 (а); 2 (b); 5 (a, b); 6 (c, d); 9(а); 10 (b); 12 (d); 14(а); 17; 21(а); 22 (a, c); 24 (a, b); 25(а); 26.

VI. Домашна работа

§ 29, № 1 (b); 2 (c); 5 (c, d); 6 (a, b); 9 (b); 10(а); 12(b); 14 (b); осемнадесет; 21(c); 22 (b, d); 24 (c, d); 25 (b); 27.

VII. Творчески задачи

1. В кои точки x се допират до графики на функциипаралелно?

Отговор: x \u003d -1, x \u003d 3.

2. За какво x са допирателните към графиките на функциите y \u003d 3 cos 5 x - 7 и y = 5 cos 3 x + 4 са успоредни?

Отговор:

3. Под какви ъгли се пресичат кривите y = x2 и

Отговор: π/2 и arctg 3/5.

4. Под какви ъгли се пресичат кривите y = cos x и y = sin x?

Отговор:

5. Към параболата y \u003d 4 - x2 в точката с абсцисата x \u003d 1 е начертана допирателна. Намерете пресечната точка на тази допирателна с оста y.

Отговор: (0; 5).

6. Начертава се допирателна към параболата y \u003d 4x - x2 в точката с абсцисата x \u003d 3. Намерете пресечната точка на тази допирателна с оста x.

Отговор: (9/2; 0).

7. Намерете ъгъла между две допирателни, изтеглени от точката (0; -2) към параболата y \u003d x2.

Отговор:

8. Към графиката на функцията y \u003d 3x2 + 3x + 2, допирателните се начертават с наклони k 1 = 0 и k 2 = 15. Напишете уравнението на права линия, минаваща през допирните точки.

Отговор: y \u003d 12x - 4.

9. Намерете уравненията на прави, докосващи едновременно параболите y = x2 + x - 2 и y = -x2 + 7x - 11.

Отговор: y \u003d 7x - 11 и y \u003d x - 2.

10. Напишете уравнението на общата допирателна към параболите y \u003d -3x2 + 4x + 4 и y \u003d -3x2 + 16x - 20.

Отговор: y = -2x + 7.

11. Допирателната към графиката на функцията y \u003d x2 - 4x - 3 е начертана в точката x \u003d 0. Намерете площта на триъгълника, образуван от допирателната и координатните оси.

Отговор: 9/8.

12. Намерете площта на триъгълника, ограничен от координатните оси и допирателната към графиката на функциятав точката x = 2.

Отговор: 1.

VIII. Обобщаване на уроците

Раздели: Математика

цели.

  • Обобщават и систематизират правилата за диференциране;
  • Повторете алгоритъма за построяване на допирателна към графиката на функцията, схемата за изучаване на функцията;
  • Решаване на задачи за използване на най-големия и най-малката стойностфункции.

Оборудване.Плакат „Производно. Правила за изчисляване на деривати. Приложения на производното”.

По време на часовете

По картите учениците повтарят теоретичния материал.

1. Дефиниране на производната на функция в точка. Какво се нарича диференциация? Коя функция се нарича диференцируема в точка?

(Производната на функцията f в точката x е числото, към което клони отношението

Функция, която има производна в точка x 0, се нарича диференцируема в тази точка. Намирането на производната на f се нарича диференциране.)

2. Формулирайте правилата за намиране на производната.

(1. Производна на сумата (u + v)"=u"+v";
2. За постоянния фактор (Cu)"=Cu";
3. Производна на произведението (uv)"=u"v+uv";
4. Производна на дроб (u / v) "= (u" v-uv ") / v 2;
5. Производна степенна функция(xn)"=nxn+1 .)

3. Какви са производните на следните функции:

4. Как се намира производната на сложна функция?

(Трябва последователно да го представим под формата на елементарни функции и да вземем производната по известни правила).

5. Какви са производните на следните функции:

6. Какво е геометричното значение на производната?

(Съществуването на производна в точка е еквивалентно на съществуването на невертикална допирателна в точката (x 0, f (x 0)) на графиката на функцията, а наклонът на тази допирателна е f "( х 0)).

7. Какво представлява уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката (x 0, f (x 0))?

(Уравнението на допирателната има формата y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x-x 0))

8. Формулирайте алгоритъм за построяване на графика на функция с помощта на производна.

(1. Намерете OOF.
2. Проучете за паритет.
3. Проучете за периодичност.
4. Намерете пресечните точки на графиката с координатните оси.
5. Намерете производната на функцията и нейните критични точки.
6. Намерете интервали на монотонност и екстремуми на функцията.
7. Изградете таблица въз основа на резултатите от изследването.
8. Графика на функцията.)

9. Формулирайте теореми, с помощта на които е модерно да се начертае графика на функция.

(1. Знак за нарастване (намаляване).
2. Необходим признак на екстремум.
3. Знак за максимум (минимум).)

10. Какви формули съществуват за приблизителни изчисления на функции?

Индивидуална работа.

Ниво A (три опции), ниво B (една опция).

Ниво А

Опция 1.

1. Запишете уравнението на допирателната към графиката на функцията

f (x) \u003d (x -1) 2 (x -3) 3 успоредни прави y \u003d 5-24x.

2. Запишете числото 18 като сбор от три положителни члена, така че единият член да е два пъти по-голям от другия, а произведението на трите члена да е най-голямото.

4. Намерете интервалите на нарастване и намаляване на функцията f(x)=(x-1) e x+1.

Вариант 2.

1. Под какъв ъгъл спрямо абсцисата е допирателната към графиката на функцията f (x) \u003d 0.x 2 + x-1.5 в точката с абсцисата x 0 \u003d - 2? Напишете уравнението за тази допирателна и завършете чертежа за тази задача.

2. Както в Б. 1.

3. Намерете производната на функцията:

Ниво Б

1. Намерете производната на функцията:

а) f (x) \u003d e -5x;
b) f(x) = log 3 (2x 2 -3x+1).

2. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката с абсцисата x 0, ако f (x) \u003d e -x, x 0 \u003d 1.

3. Намерете интервалите на нарастване и намаляване на функцията f(x)=x·e 2х.

Обобщение на урока.

Работата се проверява, поставя се оценка за теория и практика.

Домашна работададени индивидуално:

а) повторете производните на тригонометричните функции;
б) интервален метод;
в) механичното значение на производната.

2. А: № 138, № 142, Б: № 137 (а, б), № 140 (а).

3. Вземете производната на функциите:

а) f(x)=x 4 -3x 2 -7;
b) f(x)=4x 3 -6x;
c) f(x)=-2sin(2x-4);
г) f(x)=cos(2x-4).

4. Назовете схемата за изследване на функцията.

клас: 10

Презентация към урока























Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако си заинтересован тази работамоля, изтеглете пълната версия.

Тип урок:изучаване на нов материал.

Методи на обучение: нагледни, частично търсещи.

Целта на урока.

  1. Въведете понятието допирателна към графиката на функция в точка, разберете какво е геометричното значение на производната, изведете уравнението на допирателната и научете как да го намерите за конкретни функции.
  2. Развивайте се логично мислене, математическа реч.
  3. Култивирайте воля и постоянство за постигане на крайни резултати.

Оборудване: интерактивна дъска, компютър.

План на урока

I. Организационен момент

Проверка на готовността на учениците за урока. Съобщение за темата на урока и целите.

II. Актуализация на знанията.

(Припомнете си с учениците геометричната дефиниция на допирателна към графика на функция. Дайте примери, показващи, че това твърдение не е пълно.)

Припомнете си какво е тангенс?

„Допирателната е права линия, която има една обща точка с дадена крива.“ (Слайд #2)

Обсъждане на коректността на това определение. (След обсъждане учениците стигат до извода, че това определение е неправилно.) За да илюстрираме заключението си, даваме следния пример.

Помислете за пример. (Слайд #3)

Нека са дадени парабола и две прави , която има една обща точка M (1; 1) с тази парабола. Има дискусия защо първата линия не е допирателна към тази парабола (фиг. 1), а втората е (фиг. 2).

В този урок трябва да разберем какво е допирателната към графиката на функция в точка, как да напишем уравнение за допирателна?

Помислете за основните задачи за съставяне на уравнението на допирателната.

За да направите това, припомнете си общата форма на уравнението на права линия, условията за успоредни линии, дефиницията на производна и правилата за диференциране. (Слайд номер 4)

III. Подготвителна работа за изучаване на нов материал.

  1. Формулирайте определението за производна. (Слайд номер 5)
  2. Попълнете таблицата с произволни елементарни функции. (Слайд номер 6)
  3. Запомнете правилата за диференциация. (Слайд номер 7)
  4. Кои от следните прави са успоредни и защо? (Уверете се визуално) (Слайд номер 8)

IV Изучаването на нов материал.

За да зададем уравнението на права линия в равнина, е достатъчно да знаем наклона и координатите на една точка.

Нека е дадена графиката на функцията. Върху нея е избрана точка, в тази точка е начертана допирателна към графиката на функцията (приемаме, че съществува). Намерете наклона на тангентата.

Нека увеличим аргумента и разгледаме на графиката (фиг. 3) точката P с абсцисата. Наклонът на секущата MP, т.е. тангенсът на ъгъла между секанса и оста x се изчислява по формулата.

Ако сега се стремим към нула, тогава точката P ще започне да се приближава по протежение на кривата до точката M. Ние характеризирахме допирателната като гранична позиция на секанса в това приближение. Така че естествено е да приемем, че наклонът на тангентата ще бъде изчислен по формулата.

Следователно,.

Ако към графиката на функцията y = f (x) в точката х = аможете да начертаете допирателна, неуспоредна на оста при, тогава изразява наклона на тангентата. (Слайд номер 10)

Или по друг начин. Производна в точка х = аравен на наклона на допирателната към графиката на функцията y = f(x)в този момент.

Това е геометричното значение на производната. (Слайд номер 11)

Освен това, ако:

Нека разберем общата форма на уравнението на допирателната.

Нека правата е дадена от уравнението . Ние знаем това. За да изчислим m, използваме факта, че правата минава през точката . Нека го поставим в уравнението. Получаваме, т.е. . Заменете намерените стойности ки мв уравнението на права линия:

е уравнението на допирателната към графиката на функцията. (Слайд номер 12)

Помислете за примери:

Нека съставим уравнението на допирателната:

(Слайд номер 14)

Решавайки тези примери, използвахме много прост алгоритъм, който е както следва: (Слайд № 15)

Помислете за типични задачи и тяхното решение.

№1 Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката.

(Слайд номер 16)

Решение. Нека използваме алгоритъма, като се има предвид, че в този пример .

2)

3) ;

4) Заместете намерените числа ,, във формулата.

№2 Начертайте допирателна към графиката на функцията, така че да е успоредна на правата. (Слайд номер 17)

Решение. Нека прецизираме формулировката на проблема. Изискването за „начертаване на допирателна“ обикновено означава „направете уравнение за допирателна“. Нека използваме алгоритъма за чертане на допирателната, като се има предвид, че в този пример .

Желаната допирателна трябва да е успоредна на правата линия. Две прави са успоредни тогава и само ако техните наклони са еднакви. Така че наклонът на тангентата трябва да бъде равен на наклона на дадената права линия: .No. Следователно: ; ., т.е.

V. Решаване на проблеми.

1. Решаване на задачи върху готови чертежи (Слайд № 18 и Слайд № 19)

2. Решаване на задачи от учебника: № 29.3 (а, в), № 29.12 (б, г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)

VI. Обобщаване.

1. Отговорете на въпросите:

  • Какво се нарича допирателна към графиката на функция в точка?
  • Какво е геометричното значение на производната?
  • Формулирайте алгоритъм за намиране на уравнението на допирателната?

2. Какви бяха трудностите в урока, кои моменти от урока ви харесаха най-много?

3. Маркиране.

VII. Коментари за домашна работа

№ 29.3 (б, г), № 29.12 (а, в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд № 22)

Литература. (Слайд 23)

  1. Алгебра и началото на математическия анализ: учеб. За 10-11 клетки. за студенти от образователни институции (основно ниво) / Под редакцията на A.G. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2009.
  2. Алгебра и началото на математическия анализ: Задачна книга, За 10-11 клетки. за студенти от образователни институции (основно ниво) / Под редакцията на A.G. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2009.
  3. Алгебра и началото на анализа. Независими и тестови работиза 10-11 клас. / Ершова А.П., Голобородко В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
  4. USE 2010. Математика. Задача B8. Работна тетрадка/ Под редакцията на А. Л. Семенов и И. В. Ященко - М .: Издателство МЦНМО, 2010 г.
Открит урок по алгебра в 11 клас 19.10. 2011 г

Учител: Горбунова С.В.

Тема на урока:Уравнението на допирателната към графиката на функцията.

Цели на урока


  1. Изяснете понятието "тангента".

  2. Изведете уравнението на допирателната.

  3. Напишете алгоритъм за "съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията
y = f(x)".

  1. Започнете да практикувате умения и способности за съставяне на допирателно уравнение в различни математически ситуации.

  2. Формиране на способността за анализиране, обобщаване, показване, използване на елементите на изследването, развиване на математическа реч.

Оборудване: компютър, презентация, проектор, интерактивна дъска, карти за напомняне, карти за размисъл.

Структура на урока:


  1. ТОЙ. U.

  2. Съобщение за темата на урока

  3. Повторение на изучения материал

  4. Формулиране на проблема.

  5. Обяснение на нов материал.

  6. Създаване на алгоритъм за "съставяне на уравнение на допирателна".

  7. История справка.

  8. Консолидация. Развитие на умения и способности за съставяне на уравнението на допирателната.

  9. Домашна работа.

  10. Самостоятелна работа със самопроверка

  11. Обобщаване на урока.

  12. Отражение
По време на часовете

1. О.Н.У.

2. Публикуване на темата на урока

Темата на днешния урок е „Уравнение на допирателната към графиката на функция“. Отворете тетрадките си, запишете датата и темата на урока. (слайд 1)

Нека думите, които виждате на екрана, станат мотото на днешния урок. (слайд 2)


  • Няма лоши идеи

  • Мислете креативно

  • поемат рискове

  • Не критикувайте
За да се подготвим за урока, ще повторим изучения по-рано материал. Внимание към екрана. Запишете решението в тетрадката си.

2. Повторение на изучения материал (слайд 3).

Цел: проверка на знанията за основните правила за диференциация.

Намерете производната на функция:

Кой има повече от една грешка? Кой има такъв?

3. Актуализиране

Цел: Активирайте вниманието, покажете липсата на знания за допирателната, формулирайте целите и задачите на урока. (Слайд 4)

Нека обсъдим какво е допирателна към графика на функция?

Съгласни ли сте с твърдението, че „Допирателната е права линия, която има една обща точка с дадена крива“?
Има дискусия. Твърдения на деца (да и защо, не и защо). По време на дискусията стигаме до извода, че това твърдение не е вярно.

Нека да разгледаме конкретни примери:

Примери.(слайд 5)
1) Правата x = 1 има една обща точка M(1; 1) с параболата y = x 2, но не е допирателна към параболата.

Правата y = 2x – 1, минаваща през същата точка, е допирателна към дадената парабола.

Правата x = π не е допирателна към графиката y = cos x, въпреки че има единствената обща точка K(π; 1) с него. От друга страна, правата y = - 1, минаваща през същата точка, е допирателна към графиката, въпреки че има безкрайно много общи точки от вида (π+2 πk; 1), където k е цяло число, във всяка от което се отнася до графиката.

^ 4. Поставяне на цели и задачи за децата в урока: (слайд 6)

Опитайте се сами да формулирате целта на урока.

Разберете каква е допирателната към графиката на функцията в точка, изведете уравнението на допирателната. Приложете формулата за решаване на проблеми
^ 5. Учене на нов материал

Вижте как позицията на правата x=1 се различава от позицията y=2x-1? (слайд 7)

Заключете какво е тангенс?

Тангентата е граничното положение на секанса.

Тъй като допирателната е права линия и трябва да напишем уравнението за допирателната, какво мислите, че трябва да запомним?

Спомнете си общата форма на уравнението на правата линия (y \u003d kx + b)

Какво е другото име на числото k? (наклон или тангенс на ъгъла между тази линия и положителната посока на оста Ox) k \u003d tg α

Какво е геометричното значение на производната?

Тангенсът на ъгъла на наклон между допирателната и положителната посока на оста x

Тоест, мога да напиша tg α = yˈ(x). (слайд 8)

Нека илюстрираме това с чертеж. (слайд 9)

Нека е дадена функция y = f (x) и точка M, принадлежаща на графиката на тази функция. Нека дефинираме координатите му по следния начин: x=a, y=f(a), т.е. M (a, f (a)) и нека има производна f "(a), т.е. в дадена точка производната е дефинирана. Начертайте допирателна през точката M. Уравнението на допирателната е уравнението на права линия , така че изглежда така: y \u003d kx + b. Следователно задачата е да намерите k и b. Обърнете внимание на черната дъска, от това, което е написано там, възможно ли е да намерите k? (да, k = f " (а).)

Как да намеря b сега? Желаната линия минава през точката M (a; f (a)), заместваме тези координати в уравнението на линията: f (a) \u003d ka + b, следователно b \u003d f (a) - ka, тъй като k \u003d tg α \u003d yˈ(x), тогава b = f(a) – f "(a)a

Заместете стойността на b и k в уравнението y = kx + b.

y \u003d f "(a) x + f (a) - f "(a) a, като извадим общия множител от скобата, получаваме:

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).

Получихме уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x) в точката x = a.

За да решите уверено задачи по допирателна, трябва ясно да разберете значението на всеки елемент в това уравнение. Нека се спрем на това отново: (слайд 10)


  1. (a, f (a)) - точка на контакт

  2. f "(a) \u003d tg α \u003d k ъгъл на наклон или наклон

  3. (x, y) - всяка точка от допирателната
И така изведехме уравнението на допирателната, анализирахме значението на всеки елемент в това уравнение, нека сега се опитаме да изведем алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f (x)

6. Съставяне на алгоритъм (слайд 11).

Предлагам да се създаде алгоритъм за самите ученици:


  1. Означаваме абсцисата на точката на контакт с буквата a.

  2. Нека изчислим f(a).

  3. Намерете f "(x) и изчислете f "(a).

  4. Нека заместим намерените стойности на числото a, f (a), f "(a) в уравнението на допирателната.

  5. y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).
(Раздавам предварително отпечатания алгоритъм на учениците като напомняне за по-късна работа.)

  1. Исторически фон (слайд 12).
Внимание към екрана. Разшифровайте думата

1
4/3
9
-4
-1
-3
5

Отговор: FLUX (слайд 13).

Каква е историята на произхода на това име? (слайд 14.15)

Концепцията за производна възниква във връзка с необходимостта от решаване на редица проблеми във физиката, механиката и математиката. Честта да открият основните закони на математическия анализ принадлежи на английския учен Нютон и немския математик Лайбниц. Лайбниц разглежда проблема за начертаване на допирателна към произволна крива.

Известният физик Исак Нютон, роден в английското село Улстроп, има значителен принос в математиката. Решавайки задачи за чертане на допирателни към криви, изчисляване на площите на криволинейни фигури, той създава общ метод за решаване на такива проблеми - метод на потока (производни) и се нарича самата производна свободно .

Той изчислява производната и интеграла на степенната функция. Той пише за диференциалното и интегралното смятане в своя труд "Метод на флуксиите" (1665 - 1666), който служи като едно от началото на математическия анализ, диференциалното и интегралното смятане, което ученият развива независимо от Лайбниц.

Много учени в различни годинисе интересуваха от тангентата. Понякога понятието допирателна се среща в произведенията на италианския математик Н. Тарталия (ок. 1500 - 1557) - тук допирателната се появява в хода на изучаването на въпроса за ъгъла на наклона на пистолета, който осигурява най-голяма даденост на полета на снаряда. И. Кеплер разглежда допирателната в хода на решаването на проблема за най-големия обем на паралелепипед, вписан в топка с даден радиус.

През 17 век, въз основа на теорията за движението на Г. Галилей, активно се развива кинематичната концепция за производната. Различни версии на представянето се срещат при Р. Декарт, френския математик Робервал, английския учен Д. Грегъри, в трудовете на И. Бароу.

8. Консолидация (слайд 16-18).

1) Съставете уравнението на допирателната към графиката на функцията f (x) \u003d x² - 3x + 5 в точката с абсцисата

Решение:

Да направим уравнението на допирателната (по алгоритъм). Обадете се на силен ученик.


  1. а = -1;

  2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

  3. f "(x) \u003d 2x - 3,
    f "(a) \u003d f "(-1) \u003d -2 - 3 \u003d -5;

  4. y \u003d 9 - 5 (x + 1),
y = 4 - 5x.

Отговор: y = 4 - 5x.

USE задачи 2011 B-8

1. Функцията y \u003d f (x) е дефинирана на интервала (-3; 4). Фигурата показва нейната графика и допирателната към тази графика в точката с абсцисата a \u003d 1. Изчислете стойността на производната f "(x) в точката a \u003d 1.

Решение: за да го решите, е необходимо да запомните, че ако са известни координатите на всеки две точки A и B, лежащи на дадена линия, тогава нейният наклон може да се изчисли по формулата: k \u003d, където (x 1; y 1), (x 2; y 2) са координатите съответно на точки A, B. Графиката показва, че тази допирателна минава през точки с координати (1; -2) и (3; -1), което означава k=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

2. Функцията y \u003d f (x) е дефинирана на интервала (-3; 4). Фигурата показва неговата графика и допирателната към тази графика в точката с абсцисата a = -2. Изчислете стойността на производната f "(x) в точка a \u003d -2.

Решение: графиката минава през точките (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8. Домашна работа (слайд 19).

Подготовка за изпит Б-8 № 3 - 10

^ 9. Самостоятелна работа

Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точката с абсцисата a.
вариант 1 вариант 2

f(x) = x²+ x+1, a=1 f(x)= x-3x², a=2

отговори: 1-ви вариант: y=3x; Вариант 2: y \u003d -11x + 12

10. Обобщаване.


  • Какво се нарича допирателна към графиката на функция в точка?

  • Какво е геометричното значение на производната?

  • Формулирайте алгоритъм за намиране на уравнението на допирателната в точка?
11. Отражение:

Изберете емотикон, който отговаря на вашето настроение и състояние след урока. Благодаря ти за урока.

Прочетете също