точки, които не лежат на една права? а) пресичат се; б) нищо не може да се каже; в) не се пресичат; г) мач; д) имат три общи точки.
2. Кое от следните твърдения е вярно? а) Ако две точки от окръжност лежат в равнина, то цялата окръжност лежи в тази равнина; б) права, лежаща в равнината на триъгълник, пресича две от страните му; в) всеки две равнини имат само една обща точка; г) равнина минава през две точки и освен това само една; д) права лежи в равнината на даден триъгълник, ако пресича две прави, съдържащи страните на триъгълника.
3. Могат ли две различни равнини да имат само две общи точки? а) никога; б) мога, но при допълнителни условия; в) винаги имам; г) на въпроса не може да се отговори; г) друг отговор.
4. Точките K, L, M лежат на една права, точка N не лежи на нея. През всеки три точки се прекарва една равнина. Колко различни самолета доведе до това? а) 1; б) 2; на 3; г) 4; д) безкрайно много.
5. Изберете правилното твърдение. а) Една равнина минава през всякакви три точки и освен това само една; б) ако две точки от една права лежат в равнина, то всички точки от правата лежат в тази равнина; в) ако две равнини имат обща точка, то те не се пресичат; г) през права и точка, лежаща върху нея, минава равнина, при това само една; д) Не може да се прекара равнина през две пресичащи се прави.
6. Назовете общата права на равнините PBM и MAB. а) PM б) АВ; в) PB; г) BM; г) не може да се определи.
7. Прави a и b се пресичат в точка M. Права c, която не минава през точка M, пресича прави a и b. Какво може да се каже за взаимното разположение на правите a, b и c? а) Всички прави лежат в различни равнини; б) правите a и b лежат в една равнина; в) всички прави лежат в една равнина; г) нищо не може да се каже д) линия c съвпада с една от линиите: или с a, или с b.
8. Правите a и b се пресичат в точка O. A € a, B € b, Y € AB. Изберете правилното твърдение. а) Точките O и Y не лежат в една равнина; б) правите OY и a са успоредни; в) правите a, b и точка Y лежат в една равнина; г) точките O и Y съвпадат; д) точки Y и A съвпадат.
Вариант 2.1. Какво може да се каже за взаимното разположение на две равнини, които имат три общи точки, които не лежат на една права?
а) пресичат се; б) нищо не може да се каже; в) не се пресичат; г) мач; д) имат три общи точки.
2. Кое от следните твърдения е вярно?
а) Ако две точки от окръжност лежат в равнина, то цялата окръжност лежи в тази равнина; б) права, лежаща в равнината на триъгълник, пресича две от страните му; в) всеки две равнини имат само една обща точка; г) равнина минава през две точки и освен това само една; д) права лежи в равнината на даден триъгълник, ако пресича две прави, съдържащи страните на триъгълника.
3. Могат ли две различни равнини да имат само две общи точки?
а) никога; б) мога, но при допълнителни условия; в) винаги имам; г) на въпроса не може да се отговори; г) друг отговор.
4. Точките K, L, M лежат на една права, точка N не лежи на нея. През всеки три точки се прекарва една равнина. Колко различни самолета доведе до това?
а) 1; б) 2; на 3; г) 4; д) безкрайно много.
5. Изберете правилното твърдение.
а) Една равнина минава през всякакви три точки и освен това само една; б) ако две точки от една права лежат в равнина, то всички точки от правата лежат в тази равнина; в) ако две равнини имат обща точка, то те не се пресичат; г) през права и точка, лежаща върху нея, минава равнина, при това само една; д) Не може да се прекара равнина през две пресичащи се прави.
6. Назовете общата права на равнините PBM и MAB.
а) PM б) АВ; в) PB; г) BM; г) не може да се определи.
7. Коя от изброените равнини пресича правата RM (фиг. 1)?
а) DD1C; б) D1PM; в) B1PM; г) ABC; д) CDA.
B1 C1
8. Две равнини се пресичат по права c. Точката M лежи само в една от равнините. Какво може да се каже за взаимното разположение на точка M и правата c?
а) Не може да се направи заключение; б) правата c минава през точка M; в) точката M лежи на правата c; г) права c не минава през точка M; г) друг отговор.
9. Прави a и b се пресичат в точка M. Права c, която не минава през точка M, пресича прави a и b. Какво може да се каже за взаимното разположение на правите a, b и c?
а) Всички прави лежат в различни равнини; б) правите a и b лежат в една равнина; в) всички прави лежат в една равнина; г) нищо не може да се каже д) линия c съвпада с една от линиите: или с a, или с b.
10. Правите a и b се пресичат в точка O. A € a, B € b, Y € AB. Изберете правилното твърдение.
а) Точките O и Y не лежат в една равнина; б) правите OY и a са успоредни; в) правите a, b и точка Y лежат в една равнина; г) точките O и Y съвпадат; д) точки Y и A съвпадат.
лъчите AB и AC са перпендикулярни на ръба му? 2. Вярно ли е, че линейният ъгъл BAC двустенен ъгълако лъчите AB и AC лежат върху стените на двустенния ъгъл? 3. Вярно ли е, че ъгълът BAC е линеен ъгъл на двустенен ъгъл, ако лъчите AB и AC са перпендикулярни на ръба му, а точките E и C лежат на стените на ъгъла? 4. Линейният ъгъл на двустенния ъгъл е 80 градуса. Има ли линия в една от страните на ъгъла, която е перпендикулярна на другата страна? 5. Ъгъл ABC - линеен ъгъл на двустенен ъгъл с алфа ребро. Правата alpha перпендикулярна ли е на равнината ABC? Вярно ли е, че всички прави, перпендикулярни на дадена равнина и пресичащи дадена права, лежат в една и съща равнина?
Аксиоми на стереометрията.
A1.През всякакви три точки, които не лежат на дадена права, минава равнина, при това само една;
Сл.1.През права и точка, която не лежи на нея, минава равнина, при това само една;
Сл.2.През две пресичащи се линии минава равнина, при това само една;
Сл.3.Една равнина минава през две успоредни прави и освен това само една.
A2 Ако две точки от права лежат в равнина, тогава всички точки от правата лежат в тази равнина;
A3.Ако две равнини имат обща точка, то те имат обща права, на която лежат всички общи точки на тези равнини.
Основните фигури на стереометрията- точки (A, B, C…), направо (а, б, в…), самолет ( …) , полиедри и тела на въртене.
Под режеща равнинаобемна фигура ще разберем равнината, от двете страни на която има точки на тази фигура.
пер мярка за разстояниемежду точка, права и равнина ще вземем дължината на общия им перпендикуляр.
2. Взаимно разположение на линиите в пространството.
В пространството две прави линии могат да са успоредни, да се пресичат или пресичат.
| 1А | Деф. Паралеленправите в пространството са прави, които лежат в една равнина и не се пресичат. Според 3. Равнината минава през две успоредни прави и освен това само една. | |
| 1Б | Т 1 (относно преходността).Две прави, успоредни на трета, са успоредни една на друга. | |
| 2А | По слово 2. След две пресичащи сеправи линии минават през равнина и освен това само една | |
| 3А | Деф. Двете линии се наричат кръстосванеако не лежат в една равнина. | |
| Т 2 (Знак за пресичащи се линии).Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата права пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права, тогава такива линии са коси. | ||
| 3B | Деф. Ъгъл между наклонени линиие ъгълът между пресичащите се прави, успоредни на тях. | |
| 3B | Деф. Общ перпендикуляр на две пресичащи се прави е отсечка, която има краища на тези прави и е перпендикулярна на тях (разстояние между косите линии). |
- Взаимно разположение на прави и равнини в пространството.
В пространството може да има права и равнина успоредни, пресичат сеили направо може да лежи изцяло в равнина.
| 1А | Деф. НаправоНаречен успоредна равнина, ако е успоредна на която и да е права, лежаща в тази равнина. | |
| 1Б | Т 3 (Знак за успоредност на права и равнина). Права, която не лежи в равнина, е успоредна на равнина, ако е успоредна на права, лежаща в тази равнина. | |
| 2А | Деф. Директно обаждане перпендикулярна на равнината , ако е перпендикулярна на всяка пресичаща се права, лежаща в тази равнина. | |
| 2B | Т 4 (знак за перпендикулярност на права и равнина)Ако права, пресичаща се с равнина, е перпендикулярна на всеки две пресичащи се прави, лежащи в тази равнина, тогава тя също е перпендикулярна на всяка трета права, лежаща в тази равнина. | |
| 2B | Т 5 (около две успоредни линии, перпендикулярни на третата).Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на равнина, то другата права също е перпендикулярна на тази равнина. | |
| 2G | Деф. Ъгълът между права и равнина е ъгълът между дадена права и нейната проекция върху равнината. | |
| 2D | Деф.. Всяка друга права линия, различна от перпендикуляра и пресичаща равнината, се нарича косокъм тази равнина (вижте фиг. по-долу). Деф. Проекция под наклон върху равнинанаречен сегмент, свързващ основата на перпендикуляра и наклонения. Т 6 (около дължината на перпендикуляра и наклонената). 1) Перпендикулярът, прекаран към равнината, е по-къс от наклонения към тази равнина; 2) Равни наклонени съответстват на равни проекции; 3) От двете наклонени по-голяма е тази, чиято проекция е по-голяма. | |
| 2E | Т 7 (около три перпендикуляра).Права линия, начертана в равнина през основата на наклонена проекция, перпендикулярна на нея, също е перпендикулярна на най-наклонената. Т 8 (обратен).Права линия, начертана в равнина през основата на наклонена равнина и перпендикулярна на нея, също е перпендикулярна на проекцията на наклонената равнина върху тази равнина. | |
| 3А | Според аксиома 2. Ако две точки на права линия лежат в равнина, тогава всички точки на права линия лежат в тази равнина |
- Взаимно разположение на равнините в пространството.
В космоса самолетите могат да бъдат паралеленили кръст.
| 1А | Деф. две самолетНаречен паралеленако не се пресичат. | |
| Т 9 (знак за успоредни равнини).Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две прави от друга равнина, то тези равнини са успоредни. | ||
| 1Б | T 10 Ако две успоредни равнини са пресечени от трета равнина, тогава преките пресечни точки са успоредни (свойство на успоредни равнини 1). | |
| 1Б | T 11 Отсечки от успоредни прави, затворени между успоредни равнини, са равни (свойство на успоредни равнини 2). | |
| 2А | По аксиома 3 . Ако две равнини имат обща точка, тогава те имат обща права, на която лежат всички общи точки на тези равнини ( равнините се пресичат по права линия). | |
| 2B | Т 12 (знак за перпендикулярност на равнините).Ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни. | |
| 2B | Деф. двустенен ъгълсе нарича фигура, образувана от две полуравнини, излизащи от една права линия. Равнина, перпендикулярна на ръба на двустенен ъгъл, пресича лицата му по два лъча. Ъгълът, образуван от тези лъчи, се нарича линеен ъгъл на двустенен ъгъл.пер мярка за двустенен ъгълвзема се мярката на съответния линеен ъгъл. |
I5 Каквито и да са трите точки, които не лежат на една и съща права, най-много една равнина минава през тези точки.
I6 Ако две точки A и B от една права лежат в равнината a, то всяка точка от правата a лежи в равнината a. (В този случай ще кажем, че правата a лежи в равнината a или че равнината a минава през правата a.
I7 Ако две равнини a и b имат обща точка A, то те имат поне още една обща точка B.
I8 Има поне четири точки, които не лежат в една и съща равнина.
Вече от тези 8 аксиоми могат да се изведат няколко теореми на елементарната геометрия, които са ясно очевидни и следователно не се доказват в училищния курс по геометрия и дори понякога, по логически причини, са включени в аксиомите на конкретен училищен курс
Например:
1. Две прави имат най-много една обща точка.
2. Ако две равнини имат обща точка, то те имат обща права, на която лежат всички общи точки на тези две равнини
Доказателство: (за показ):
Чрез I 7 $ B, което също принадлежи на a и b, защото A, B "a, тогава според I 6 AB "b. Така че правата AB е обща за две равнини.
3. През права и точка, която не лежи на нея, както и през две пресичащи се прави, минава една и само една равнина.
4. На всяка равнина има три точки, които не лежат на една права.
КОМЕНТИРАЙТЕ: С тези аксиоми можете да докажете няколко теореми и повечето от тях са толкова прости. По-специално, от тези аксиоми не може да се докаже, че множеството геометрични елементибезкрайно.
II ГРУПА Аксиоми на реда.
Ако три точки са дадени на права линия, тогава една от тях може да бъде разположена спрямо другите две в отношението "да лежи между", което удовлетворява следните аксиоми:
II1 Ако B лежи между A и C, тогава A, B, C са различни точки от една и съща права, а B лежи между C и A.
II2 Каквито и да са две точки A и B, има поне една точка C на правата AB, така че B да лежи между A и C.
II3 Сред всеки три точки от права има най-много една точка, разположена между две други.
Според Хилберт двойка точки A и B се разбира върху отсечка AB(BA).Точките A и B се наричат краища на отсечката, а всяка точка, разположена между точки A и B, се нарича вътрешна точка на отсечката AB(BA).
КОМЕНТАР:Но от II 1-II 3 още не следва, че всеки сегмент има вътрешни точки, а от II 2, z, че сегментът има външни точки.
II4 (Аксиома на Паш) Нека A, B, C са три точки, които не лежат на една и съща права линия, и нека A е права линия в равнината ABC, която не минава през никоя от точки A, B, C. Тогава, ако правата a минава през точката на отсечката AB, то тя минава и през точката на отсечката AC или BC.
Сл.1: Каквито и да са точките A и C, има поне една точка D на правата AC, лежаща между A и C.
Док-ин: I 3 Þ$, т.е. не лежи на правата AC
Сл.2.Ако C лежи на отсечката AD и B между A и C, тогава B лежи между A и D, а C лежи между B и D.Сега можем да докажем две твърдения
DC3Твърдение II 4 е в сила и ако точките A, B и C лежат на една и съща права.
И най-интересното.
Сл.4 . Между произволни две точки от една линия има безкраен брой други точки от нея (самодостатъчни).
Не може обаче да се установи, че множеството от точки на правата е неизброимо. .
Аксиомите от групи I и II ни позволяват да въведем такива важни понятия като полуравнина, лъч, полупространство и ъгъл. Нека първо докажем теоремата.
Th1. Правата a, лежаща в равнината a, разделя множеството точки от тази равнина, които не лежат на правата a, на две непразни подмножества, така че ако точките A и B принадлежат на едно и също подмножество, тогава отсечката AB няма обща точки с правата a; ако тези точки принадлежат на различни подмножества, тогава отсечката AB има обща точка с правата a.
Идея: въвежда се релация, а именно t.A и B Ï аса спрямо Δ, ако отсечката AB няма общи точки с правата аили тези точки съвпадат. След това бяха разгледани наборите от класове на еквивалентност по отношение на Δ. Доказано е, че има само две от тях с прости аргументи.
ODA1Всяко от подмножествата от точки, определени от предишната теорема, се нарича полуравнина с граница a.
По подобен начин можем да въведем концепциите за лъч и полупространство.
лъч- ч, а правата е .
ODA2Ъгълът е двойка лъчи h и k, излизащи от една и съща точка O и не лежащи на една и съща права линия. така че O се нарича връх на ъгъла, а лъчите h и k се наричат страни на ъгъла. Означава се по обичайния начин: Ðhk.
Точката M се нарича вътрешна точка на ъгъла hk, ако точката M и лъчът k лежат в една и съща полуравнина с границата, а точката M и лъчът k лежат в същата полуравнина с границата. Съвкупността от всички вътрешни точки се нарича вътрешност на ъгъла.
външна зонаъгъл - безкраен набор, т.к всички точки на сегмента с краища от различни страни на ъгъла са вътрешни. По методологични причини следното свойство често се включва в аксиомите.
Имот: Ако лъч излиза от върха на ъгъл и преминава през поне една вътрешна точка на този ъгъл, тогава той пресича всеки сегмент с краища от различни страни на ъгъла. (Аз.)
ГРУПА III. Аксиоми на конгруентност (равенство)
Върху множеството от сегменти и ъгли се въвежда връзка на конгруентност или равенство (означена с „=“), която удовлетворява аксиомите:
III 1 Ако са дадени отсечка AB и лъч, излизащ от точка A / , тогава $ t.B / принадлежащ на този лъч, така че AB=A / B / .
III 2 Ако A / B / =AB и A // B // =AB, тогава A / B / =A // B // .
III 3 Нека А-В-С, А / -В / -С / , АВ=А / В / и ВС=В / С / , тогава AC=А / С /
ODA3Ако O / е точка, h / е лъч, излизащ от тази точка, а l / е полуравнина с граница, тогава тройката от обекти O /,h / и l / се нарича флаг (O /,h / ,l /).
III 4 Нека са дадени Ðhk и флаг (O / ,h / ,l /). Тогава в полуравнината l / има единствен лъч k /, излизащ от точката O / такъв, че Ðhk = Ðh / k / .
III 5 Нека A, B и C са три точки, които не лежат на една права линия. Ако в същото време AB=A / B / , AC=A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, тогава RABC = ÐA / B / C / .
1. Точка B / B III 1 е единствената на този лъч (сама.)
2. Отношението на конгруентност на сегменти е отношение на еквивалентност върху множеството от сегменти.
3. В равнобедрен триъгълник ъглите при основите са равни. (Според III 5).
4. Признаци за равенство на триъгълници.
5. Връзка на съответствие на ъгъла е връзка на еквивалентност на набор от ъгли. (доклад)
6. Външен ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки ъгъл на триъгълника, който не е съседен на него.
7. Във всеки триъгълник по-голям ъгъл лежи срещу по-голямата страна.
8. Всеки сегмент има една и само една среда
9. Всеки ъгъл има една и само една ъглополовяща
Можете да въведете следните понятия:
ODA4Ъгъл, равен на прилежащия му ъгъл, се нарича прав ъгъл..
Може да дефинира вертикални ъгли, перпендикулярни и наклонени и др.
Възможно е да се докаже уникалността на ^. Можете да въведете понятията > и< для отрезков и углов:
ODA5Ако са дадени сегменти AB и A / B / и $ t.C, така че A / -C-B / и A / C \u003d AB, тогава A / B / > AB.
ODA6Ако са дадени два ъгъла Ðhk и Ðh / k / и ако лъч l може да бъде начертан през вътрешността на Ðhk и неговия връх така, че Ðh / k / = Ðhl, тогава Ðhk > Ðh / k / .
И най-интересното е, че с помощта на аксиомите от групи I-III е възможно да се въведе понятието движение (наслагване).
Прави се така:
Нека са дадени две множества от точки p и p /. Да приемем, че между точките на тези множества е установено еднозначно съответствие. Всяка двойка точки M и N от множеството p определя отсечката MN. Нека М / и N / са точки от множеството p /, съответстващи на точки МN. Ще се съгласим да наречем сегмента M / N /, съответстващ на сегмента MN.
ODA7Ако $ съответствието между p и p / е такова, че съответните сегменти винаги се оказват взаимно съвпадащи, тогава комплекти p и p / се наричат конгруентни . Също така се казва, че всяко от множествата p и p / е получено движениеот друго или че едно от тези множества може да бъде насложено върху друго. Съответстващите точки на множеството p и p / се наричат насложени.
Приложение 1: Точките, лежащи на права, при движение преминават в точки, лежащи също на някоя права.
Utv2 Ъгълът между две отсечки, свързващи която и да е точка от множеството с две други точки, е равен на ъгъла между съответните отсечки от равномерното множество.
Можете да въведете концепцията за въртене, изместване, композиция от движения и т.н.
ГРУПА IV. Аксиоми на непрекъснатостта и.
IV 1 (Аксиома на Архимед). Нека AB и CD са някои отсечки. Тогава на правата AB има крайно множество от точки А 1 , А 2 , …, А n такива, че са изпълнени следните условия:
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-An
IV2 (Аксиома на Кантор) Нека на произволна права a е дадена безкрайна последователност от отсечки А1В1, А2В2,…, от които всеки следващ лежи вътре в предходния и освен това за всяка отсечка CD има естествено число n, така че AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
