Môžeme vykonávať násobenie a delenie aritmetických zlomkov, napríklad:

ak písmená a, b, c a d znamenajú aritmetické celé čísla.

Vzniká otázka, či tieto rovnosti nezostanú v platnosti, ak a, b, c a d označujú: 1) nejaké aritmetické čísla a 2) akékoľvek relatívne čísla.

Najprv budete musieť zvážiť zložité zlomky, napríklad:

Tieto príklady už stačia na overenie platnosti rovníc týkajúcich sa násobenia a delenia zlomkov, keď čísla a, b, c a d sú ľubovoľné (celé alebo zlomkové) aritmetiky. Všimnite si, že existujú iba 2 základné rovnosti, a to:

Teraz zostáva zvážiť, či tieto rovnosti zostanú platné, ak sa niektoré z čísel a, b, c a d považujú za záporné: ak napr. záporné číslo, b, c a d sú kladné, potom je zlomok záporný a zlomok je kladný; preto napríklad delením by malo vzniknúť záporné číslo, ale vidíme, že podľa nášho predpokladu by výraz mal vyjadrovať aj záporné číslo, teda rovnosť je opodstatnená aj v tomto prípade. Je tiež ľahké zvážiť ďalšie predpoklady pre znamienka a, b, c a d. Výsledkom tejto úvahy je viera v platnosť rovnosti

a pre prípad, keď a, b, c a d vyjadrujú akékoľvek relatívne čísla, teda pre násobenie a delenie algebraické zlomky platia rovnaké pravidlá ako pre aritmetiku.

Teraz môžeme vykonať násobenie a delenie algebraických zlomkov. Najväčšou ťažkosťou je tu otázka redukcie zlomkov získaných po násobení alebo delení. Ak sú algebraické zlomky jednočlenné, potom redukcia získaného výsledku nebude predstavovať žiadne ťažkosti, a ak sú zlomky algebraické, potom je potrebné najskôr rozložiť čitateľa a menovateľa každého z týchto zlomkov.

V tejto lekcii zvážime pravidlá násobenia a delenia algebraických zlomkov, ako aj príklady použitia týchto pravidiel. Násobenie a delenie algebraických zlomkov sa nelíši od násobenia a delenia obyčajných zlomkov. Prítomnosť premenných však vedie k trochu zložitejším spôsobom zjednodušenia výsledných výrazov. Napriek tomu, že násobenie a delenie zlomkov je jednoduchšie ako ich sčítanie a odčítanie, k štúdiu tejto témy treba pristupovať veľmi zodpovedne, keďže je v nej veľa „úskalí“, ktorým sa zvyčajne nevenuje pozornosť. V rámci lekcie budeme nielen študovať pravidlá násobenia a delenia zlomkov, ale aj analyzovať nuansy, ktoré môžu vzniknúť pri ich aplikácii.

téma:Algebraické zlomky. Aritmetické operácie na algebraických zlomkoch

lekcia:Násobenie a delenie algebraických zlomkov

Pravidlá násobenia a delenia algebraických zlomkov sú úplne podobné pravidlám násobenia a delenia obyčajných zlomkov. Pripomeňte si ich:

To znamená, že na vynásobenie zlomkov je potrebné vynásobiť ich čitateľov (toto bude čitateľ súčinu) a vynásobiť ich menovateľov (bude to menovateľ súčinu).

Delenie zlomkom je násobenie prevráteným zlomkom, to znamená, že na rozdelenie dvoch zlomkov je potrebné vynásobiť prvý z nich (delenec) prevráteným druhým (deliteľom).

Napriek jednoduchosti týchto pravidiel sa veľa ľudí pri riešení príkladov na túto tému mýli v množstve špeciálnych prípadov. Pozrime sa bližšie na tieto špeciálne prípady:

Vo všetkých týchto pravidlách sme použili nasledujúcu skutočnosť: .

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov násobenia a delenia obyčajných zlomkov, aby sme si zapamätali, ako používať uvedené pravidlá.

Príklad 1

Poznámka: pri redukcii zlomkov sme použili rozšírenie čísla do hlavné faktory. Pripomeň si to základné čísla sa nazývajú také celé čísla, ktoré sú deliteľné len samými sebou. Zvyšné čísla sú volané zložka . Číslo nie je ani prvočíslo, ani zložené. Príklady základné čísla: .

Príklad 2

Pozrime sa teraz na jeden zo špeciálnych prípadov s obyčajné zlomky.

Príklad 3

Ako vidíte, násobenie a delenie obyčajných zlomkov, ak sú pravidlá aplikované správne, nie je ťažké.

Zvážte násobenie a delenie algebraických zlomkov.

Príklad 4

Príklad 5

Všimnite si, že je možné a dokonca potrebné zmenšiť zlomky po násobení podľa rovnakých pravidiel, ktoré sme predtým zvažovali v lekciách o redukcii algebraických zlomkov. Zvážte niekoľko jednoduché príklady pre špeciálne prípady.

Príklad 6

Príklad 7

Poďme sa teraz pozrieť na niekoľko ďalších ťažké príklady na násobenie a delenie zlomkov.

Príklad 8

Príklad 9

Príklad 10

Príklad 11

Príklad 12

Príklad 13

Doteraz sme uvažovali o zlomkoch, v ktorých čitateľ aj menovateľ sú jednočlenné. V niektorých prípadoch je však potrebné násobiť alebo deliť zlomky, ktorých čitateľmi a menovateľmi sú polynómy. V tomto prípade ostávajú pravidlá rovnaké a na zmenšenie je potrebné použiť vzorce skráteného násobenia a zátvorky.

Príklad 14

Príklad 15

Príklad 16

Príklad 17

Príklad 18

V tejto lekcii zvážime pravidlá násobenia a delenia algebraických zlomkov, ako aj príklady použitia týchto pravidiel. Násobenie a odčítanie algebraických zlomkov sa nelíši od násobenia a delenia obyčajných zlomkov. Prítomnosť premenných však vedie k trochu zložitejším spôsobom zjednodušenia výsledných výrazov. Napriek tomu, že násobenie a delenie zlomkov je jednoduchšie ako ich sčítanie a odčítanie, k štúdiu tejto témy treba pristupovať veľmi zodpovedne, keďže je v nej veľa „úskalí“, ktorým sa zvyčajne nevenuje pozornosť. V rámci lekcie budeme nielen študovať pravidlá násobenia a delenia zlomkov, ale aj analyzovať nuansy, ktoré môžu vzniknúť pri ich aplikácii.

téma:Algebraické zlomky. Aritmetické operácie na algebraických zlomkoch

lekcia:Násobenie a delenie algebraických zlomkov

1. Pravidlá násobenia a delenia obyčajných a algebraických zlomkov

Pravidlá pre násobenie a delenie algebraických zlomkov sú úplne rovnaké ako pravidlá pre násobenie a delenie obyčajných zlomkov. Pripomeňte si ich:

To znamená, že na vynásobenie zlomkov je potrebné vynásobiť ich čitateľov (toto bude čitateľ súčinu) a vynásobiť ich menovateľov (bude to menovateľ súčinu).

Delenie zlomkom je násobenie prevráteným zlomkom, to znamená, že na rozdelenie dvoch zlomkov je potrebné vynásobiť prvý z nich (delenec) prevráteným druhým (deliteľom).

2. Konkrétne prípady použitia pravidiel násobenia a delenia zlomkov

Napriek jednoduchosti týchto pravidiel sa veľa ľudí pri riešení príkladov na túto tému mýli v množstve špeciálnych prípadov. Pozrime sa bližšie na tieto špeciálne prípady:

Vo všetkých týchto pravidlách sme použili nasledujúcu skutočnosť: .

3. Príklady násobenia a delenia obyčajných zlomkov

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov násobenia a delenia obyčajných zlomkov, aby sme si zapamätali, ako používať uvedené pravidlá.

Príklad 1

Poznámka: pri redukcii zlomkov sme použili rozklad čísla na prvočiniteľa. Pripomeň si to základné čísla sú prirodzené čísla, ktoré sú deliteľné iba sebou samým. Zvyšné čísla sú volané zložka. Číslo nie je ani prvočíslo, ani zložené. Príklady prvočísel: .

Príklad 2

Uvažujme teraz o jednom zo špeciálnych prípadov s obyčajnými zlomkami.

Príklad 3

Ako vidíte, násobenie a delenie obyčajných zlomkov, ak sú pravidlá aplikované správne, nie je ťažké.

4. Príklady násobenia a delenia algebraických zlomkov (jednoduché prípady)

Zvážte násobenie a delenie algebraických zlomkov.

Príklad 4

Príklad 5

Všimnite si, že je možné a dokonca potrebné zmenšiť zlomky po násobení podľa rovnakých pravidiel, ktoré sme predtým zvažovali v lekciách o redukcii algebraických zlomkov. Zoberme si niekoľko jednoduchých príkladov pre špeciálne prípady.

Príklad 6

Príklad 7

Uvažujme teraz o niektorých zložitejších príkladoch násobenia a delenia zlomkov.

Príklad 8

Príklad 9

Príklad 10

Príklad 11

Príklad 12

Príklad 13

5. Príklady násobenia a delenia algebraických zlomkov (ťažké prípady)

Doteraz sme uvažovali o zlomkoch, v ktorých čitateľ aj menovateľ sú jednočlenné. V niektorých prípadoch je však potrebné násobiť alebo deliť zlomky, ktorých čitateľmi a menovateľmi sú polynómy. V tomto prípade ostávajú pravidlá rovnaké a na zmenšenie je potrebné použiť vzorce skráteného násobenia a zátvorky.

Príklad 14

Téma: Násobenie a delenie algebraických zlomkov

Vzdelanie je to, čo zostáva, keď všetko naučené už bolo zabudnuté.

Laue

Ciele:

Vzdelávacie:

opraviť ZUN k téme

vykonávať primárnu aktuálnu kontrolu vedomostí

pracovať na medzerách

vyvíja sa:

prispievajú k rozvoju komunikatívnej kompetencie, t.j. schopnosť efektívne spolupracovať s ostatnými.

podporovať rozvoj kooperatívnej kompetencie, t.j. schopnosť pracovať vo dvojiciach.

prispieť k rozvoju kompetencie riešiť problémy, t.j. schopnosť pochopiť nevyhnutnosť ťažkostí v priebehu akejkoľvek činnosti.

Vzdelávacie:

vštepiť schopnosť primerane ohodnotiť prácu vykonanú priateľom;

pri práci vo dvojiciach pestovať vlastnosti vzájomnej pomoci, podpory.

Metodické:

vytváranie podmienok pre prejav individuality, kognitívna aktivitaštudenti;

ukázať metodiku vyučovacej hodiny s návrhom výsledkov vzdelávacie aktivity a metódy ich výskumu na základe kompetenčného prístupu.

Vybavenie: doska, farebná krieda. Tabuľka "Násobenie a delenie algebraických zlomkov"; karty pre individuálna práca, pamäťové karty. Voľná ​​minútová úloha.

Počas vyučovania

Organizovanie času

Plán hodiny je napísaný na tabuli:

Ústne cvičenie.

Samostatná práca.

Riešenie problémov.

Práca vo dvojici.

Zhrnutie lekcie.

Domáca úloha.

učiteľ: Za starých čias v Rusku sa verilo, že ak je človek oboznámený s matematikou, znamená to najvyšší stupeň učenie. A schopnosť správne vidieť a počuť je prvým krokom k múdrosti. Chcem, aby dnes všetci žiaci vo vašej triede ukázali, akí sú múdri a ako sa ľudia vyznajú v algebre 7. ročníka.

Takže téma hodiny je "Násobenie a delenie algebraických zlomkov" V poslednej lekcii ste začali študovať táto téma, a diskutovali sme o tom, prečo to študujeme. Pripomeňme si, kde sa nám o pár lekcií bude hodiť.

Študenti: Pre spoločná akcia s algebraickými zlomkami, na riešenie rovníc, a teda aj problémov.

učiteľ: Dokonca aj za starých čias v Rusku hovorili, že množenie je trápenie a delenie je problém. Každý, kto vedel rýchlo a presne násobiť a deliť, bol považovaný za veľkého matematika.

Aké ciele si stanovíte?

Študenti: Pokračujte v štúdiu témy, naučte sa rýchlo a presne násobiť a deliť.

učiteľ: Aby sme dosiahli naše ciele, (otvoríme plán napísaný na tabuli, vyslovíme ho)

1. Ústna rozcvička: (v tomto čase 3 - 4 ľudia riešia simulátor zmenšovania zlomkov v pároch) faktorizujte vypĺňaním medzier

1= (y-1) (...), 5a+5b=... (a+b), xy-x=x (...), 14-2x=...

znížiť zlomok

Zlomky, zlomky, zlomky poraziť ich nešetria.

nájsť chybu pri násobení a delení algebraických zlomkov

učiteľ: kde je chyba? Prečo došlo k chybe? Aké pravidlo študent nepoznal? čo ste vedeli? Ako to urobiť správne?

2. Práca v zošite, č. z učebnice 488 (1) Analýza, riešenie, overenie.

učiteľ: A teraz budete mať možnosť ukázať svoje vedomosti pri písaní testu, a aby som vás inšpiroval k práci, prečítam si riekanku "Aby si učiteľ napísal" 5 "do denníka, stihnite vynásobiť čitateľa čitateľom v okamih, a aby bol s vami učiteľ spokojný, vynásobíte prvého menovateľa druhým“

Samokontrola, vzájomná kontrola. Podľa kritérií (vyvesených na tabuli) B-1 (321), B-2 (132) podľa správnych kódov, hodnotenie vo dvojiciach. počiatočný výsledok. Odhady.

Práca na chybách vo dvojici "študent-učiteľ"

Ak vo dvojiciach nie sú žiadne chyby, úlohu urobia vo voľnej minúte.

Zjednodušte výraz a nájdite jeho hodnotu, keď

5. Zhrnutie vyučovacej hodiny

Na záver hodiny by som sa Vás chcel opýtať, aké druhy práce Vám spôsobovali ťažkosti? Prečo si myslíš? Čo nové ste sa naučili? Kto z vás je spokojný so svojou prácou v triede? Myslíte si, že ciele stanovené na začiatku hodiny boli dosiahnuté?

Učiteľ: Chcel by som ukončiť lekciu slovami francúzskeho inžiniera-fyzika Laue: "Vzdelanie je to, čo zostáva, keď všetko, čo sa naučil, je už zabudnuté."

Dúfam, že na tento materiál nezabudnete, aby sa tak nestalo, musíte vyplniť d/z č. 486 487 488 párne.

Video lekcia „Násobenie a delenie algebraických zlomkov. Zvýšenie algebraického zlomku na mocninu "- pomoc viesť hodinu matematiky na danú tému. Pomocou video lekcie si učiteľ ľahšie formuje schopnosť žiakov vykonávať násobenie a delenie algebraických zlomkov. Názorná pomôcka obsahuje podrobný, zrozumiteľný popis príkladov, v ktorých sa vykonávajú operácie násobenia a delenia. Materiál je možné predviesť počas výkladu učiteľa alebo sa stať samostatnou súčasťou vyučovacej hodiny.

Aby sa vytvorila schopnosť riešiť úlohy na násobenie a delenie algebraických zlomkov, dôležité komentáre sú uvedené pri popise riešenia, momenty, ktoré si vyžadujú zapamätanie a hlboké porozumenie, sú zvýraznené farbou, tučným písmom a ukazovateľmi. Pomocou video lekcie môže učiteľ zvýšiť efektivitu lekcie. Táto vizuálna pomôcka vám pomôže rýchlo a efektívne dosiahnuť vaše vzdelávacie ciele.

Videonávod začína predstavením témy. Potom je naznačené, že operácie násobenia a delenia s algebraickými zlomkami sa vykonávajú podobne ako operácie s obyčajnými zlomkami. Na obrazovke sú zobrazené pravidlá pre násobenie, delenie a umocňovanie zlomkov. Násobenie zlomkov je demonštrované pomocou doslovných parametrov. Je potrebné poznamenať, že pri násobení zlomkov sa násobia čitateľa, ako aj menovateľ. Takto sa získa výsledný zlomok a/b c/d=ac/bd. Delenie zlomkov je demonštrované pomocou výrazu a/b:c/d ako príkladu. Uvádza sa, že na vykonanie operácie delenia je potrebné do čitateľa zapísať súčin čitateľa dividendy a menovateľa deliteľa. Menovateľ podielu je súčinom menovateľa dividendy a čitateľa deliteľa. Operácia delenia sa teda zmení na operáciu násobenia zlomku dividendy a zlomku prevráteného deliteľa. Zvýšenie na mocninu zlomku je ekvivalentné zlomku, v ktorom sa čitateľ a menovateľ zvýši na určenú mocninu.

Nasleduje príklad riešenia. V príklade 1 musíte vykonať akcie (5x-5y) / (x-y) (x 2 -y 2) / 10x. Na vyriešenie tohto príkladu sa čitateľ druhej frakcie obsiahnutej v produkte rozloží na faktory. Pomocou vzorcov skráteného násobenia sa vykoná transformácia x 2 -y 2 \u003d (x + y) (x-y). Potom sa vynásobia čitatelia zlomkov a menovateľov. Po vykonaní operácií je zrejmé, že v čitateli a menovateli sú faktory, ktoré možno znížiť pomocou hlavnej vlastnosti zlomku. V dôsledku transformácií sa získa zlomok (x + y) 2 / 2x. Považuje aj vykonanie úkonov 7a 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 . Všetky čitatelia a menovatelia sa berú do úvahy pre možnosť faktorizácie, prideľovania spoločných faktorov. Potom sa čitatelia a menovatelia vynásobia. Po vynásobení sa vykonajú redukcie. Výsledkom premeny je zlomok 2(a-b)/7a.

Uvažuje sa príklad, v ktorom je potrebné vykonať akcie (x 3 -1) / 8r: (x 2 + x + 1) / 16r 2. Na vyriešenie výrazu sa navrhuje previesť čitateľa prvej frakcie pomocou skráteného vzorca násobenia x 3 -1 \u003d (x-1) (x 2 + x + 1). Podľa pravidla delenia zlomkov sa prvý zlomok násobí prevrátenou hodnotou druhého. Po vynásobení čitateľov a menovateľov sa získa zlomok, ktorý obsahuje rovnaké faktory v čitateli a menovateli. Zmršťujú sa. Výsledkom je zlomok (x-1) 2y. Je tu tiež opísané riešenie príkladu (a4-b4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2). Podobne ako v predchádzajúcom príklade sa na prevod čitateľa používa skrátený vzorec násobenia. Prevedie sa aj menovateľ zlomku. Potom sa prvý zlomok vynásobí prevrátenou hodnotou druhého zlomku. Po vynásobení sa vykonajú transformácie, redukcie čitateľa a menovateľa spoločnými činiteľmi. Výsledkom je zlomok - (a + b) (a 2 + b 2) / (b-3). Pozornosť žiakov upútava na to, ako sa pri násobení menia znamienka čitateľa a menovateľa.

V treťom príklade musíte vykonať operácie so zlomkami ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2 . Pri riešení tohto príkladu sa uplatňuje pravidlo zvýšenia zlomku na mocninu. Prvý aj druhý zlomok sú umocnené. Prevádzajú sa zvýšením čitateľa a menovateľa na mocninu. Okrem toho sa na prevod menovateľov zlomkov používa skrátený vzorec násobenia, ktorý zvýrazňuje spoločný faktor. Ak chcete vydeliť prvý zlomok druhým, musíte vynásobiť prvý zlomok prevráteným zlomkom druhého. Čitateľ a menovateľ tvoria výrazy, ktoré možno redukovať. Po konverzii sa získa zlomok (x-2) / 27x3 (x + 2).

Video lekcia „Násobenie a delenie algebraických zlomkov. Zvýšenie algebraického zlomku na mocninu “sa používa na zvýšenie účinnosti tradičnej hodiny matematiky. Materiál môže byť užitočný pre učiteľa, ktorý poskytuje dištančné vzdelávanie. Podrobný prehľadný popis riešenia príkladov pomôže študentom, ktorí samostatne ovládajú predmet alebo vyžadujú ďalšie hodiny.