Čo znamená faktorizovať? Ako to spraviť? Čo sa dá naučiť rozkladom čísla na prvočísla? Odpovede na tieto otázky sú ilustrované konkrétnymi príkladmi.

Definície:

Prvočíslo je číslo, ktoré má práve dvoch odlišných deliteľov.

Zložené číslo je číslo, ktoré má viac ako dvoch deliteľov.

rozložiť prirodzené číslo na faktory znamená reprezentovať ho ako súčin prirodzených čísel.

Rozložiť prirodzené číslo do prvočísel znamená reprezentovať ho ako súčin prvočísel.

Poznámky:

• Pri expanzii prvočísla sa jeden z faktorov rovná jednému a druhý sa rovná tomuto samotnému číslu.
• O rozklade jednoty na faktory nemá zmysel hovoriť.
• Zložené číslo možno rozložiť na faktory, z ktorých každý sa líši od 1.

	Rozložme číslo 150 na faktor. Napríklad 150 je 15 krát 10. 15 je zložené číslo. Dá sa rozložiť na prvočiniteľa 5 a 3. 10 je zložené číslo. Dá sa rozložiť na prvočiniteľa 5 a 2. Zapísaním ich expanzií na prvočísla namiesto 15 a 10 sme dostali rozklad čísla 150.
	Číslo 150 je možné rozložiť aj iným spôsobom. Napríklad 150 je súčin čísel 5 a 30. 5 je prvočíslo. 30 je zložené číslo. Môže byť reprezentovaný ako súčin 10 a 3. 10 je zložené číslo. Dá sa rozložiť na prvočiniteľa 5 a 2. Rozklad čísla 150 na prvočísla sme dostali iným spôsobom.
	Všimnite si, že prvé a druhé rozšírenie sú rovnaké. Líšia sa len v poradí násobiteľov. Je zvykom zapisovať faktory vzostupne.
Akékoľvek zložené číslo možno rozložiť na prvočísla jedinečným spôsobom až do poradia faktorov.

Pri rozklade veľké čísla pre prvočíselné faktory použite stĺpcový zápis:

	Najmenšie prvočíslo, ktorým je 216 deliteľné, je 2. Vydeľte 216 dvomi. Dostaneme 108.
	Výsledné číslo 108 je deliteľné 2. Urobme rozdelenie. Výsledkom je 54.
	Podľa testu deliteľnosti 2 je číslo 54 deliteľné 2. Po rozdelení dostaneme 27.
	Číslo 27 končí nepárnym číslom 7. to Nedeliteľné 2. Ďalšie prvočíslo je 3. Vydeľte 27 3. Dostaneme 9. Najmenšie prvočíslo Číslo, ktoré je 9 deliteľné, je 3. Tri je samo sebou prvočíslo, je deliteľné samo sebou a jedným. Rozdeľme si 3 sami. V dôsledku toho sme získali 1.

• Číslo je deliteľné len tými prvočíslami, ktoré sú súčasťou jeho rozkladu.
• Číslo je deliteľné len tými zloženými číslami, ktorých rozklad na prvočísla je v ňom úplne obsiahnutý.

Zvážte príklady:

	4900 je deliteľné prvočíslami 2, 5 a 7 (sú zahrnuté v expanzii čísla 4900), ale nie je deliteľné napríklad 13.
	11 550 75. Je tomu tak preto, lebo rozšírenie čísla 75 je úplne obsiahnuté v expanzii čísla 11550. Výsledkom delenia bude súčin faktorov 2, 7 a 11. 11550 nie je deliteľné 4, pretože v expanzii 4 je navyše 2.

Nájdite podiel delenia čísla a číslom b, ak sa tieto čísla rozložia na prvočísla takto a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Rozklad čísla b je úplne obsiahnutý v rozklade čísla a.
	Výsledkom delenia a číslom b je súčin troch čísel zostávajúcich v expanzii a. Takže odpoveď je: 30.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. - Gymnázium. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - M.: Osveta, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy pre kurz matematiky 5.-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Príručka pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Rozhovorová učebnica pre ročníky 5-6 stredná škola. - M .: Vzdelávanie, Knižnica pre učiteľov matematiky, 1989.

1. Internetový portál Matematika-na.ru ().
2. Internetový portál Math-portal.ru ().

Domáca úloha

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012. č.127, č.129, č.141.
2. Ďalšie úlohy: č.133, č.144.

Všetko to začína geometrickým postupom. Na prvej prednáške o sérii (pozri časť 18.1. Základné definície) sme dokázali, že táto funkcia je súčtom radu a rad konverguje k funkcii at
. takže,

.

Napíšme niekoľko druhov tejto série. Výmena X na - X , dostaneme

pri výmene X na
dostaneme

atď.; oblasť konvergencie všetkých týchto radov je rovnaká:
.

2.
.

Všetky derivácie tejto funkcie v bode X =0 sú rovnaké
, tak seriál vyzerá

.

Oblasťou konvergencie tohto radu je celá číselná os (príklad 6 časti 18.2.4.3. Polomer konvergencie, interval konvergencie a oblasť konvergencie mocninného radu), preto
pri
. V dôsledku toho zvyšok Taylorovho vzorca
. Séria teda konverguje k
v ktoromkoľvek bode X .

3.
.

Táto séria absolútne konverguje

, a jeho súčet sa skutočne rovná
. Zvyšný člen Taylorovho vzorca má tvar
, kde
alebo
- obmedzená funkcia, a
(toto je bežný termín predchádzajúcej expanzie).

4.
.

Toto rozšírenie možno získať, podobne ako predchádzajúce, postupným výpočtom derivácií, ale budeme postupovať inak. Rozlíšme predchádzajúcu sériu pojmov podľa pojmov:

Konvergencia k funkcii na celej osi vyplýva z vety o členení mocninového radu po členoch.

5. Dokážte sami, že na celej číselnej osi , .

6.
.

Séria pre túto funkciu sa nazýva binomický rad. Tu budeme počítať deriváty.

…Séria Maclaurin má formu

Hľadáme konvergenčný interval: teda interval konvergencie je
. Nebudeme skúmať zvyšok a správanie radu na koncoch konvergenčného intervalu; ukazuje sa, že kedy
séria absolútne konverguje v oboch bodoch
, o
rad podmienene konverguje v bode
a v bode sa rozchádza
, o
sa v oboch bodoch rozchádza.

7.
.

Tu využijeme fakt, že
. Od , potom, po integrácii medzi jednotlivými obdobiami,

Oblasť konvergencie tohto radu je polovičný interval
, konvergencia k funkcii vo vnútorných bodoch vyplýva z vety o integrácii mocninového radu po členoch, v bode X =1 - zo spojitosti funkcie aj súčtu mocninového radu vo všetkých bodoch, ľubovoľne blízko k X = 1 vľavo. Všimnite si, že brať X =1, nájdeme súčet radu .

8. Integrovaním člena radu po člene dostaneme rozšírenie funkcie
. Vykonajte všetky výpočty sami, napíšte oblasť konvergencie.

9. Napíšme rozšírenie funkcie
podľa vzorca binomického radu s
: . Menovateľ
reprezentovaný ako , dvojitý faktoriál
znamená súčin všetkých prirodzených čísel rovnakej parity ako , nepresahujúci . Expanzia konverguje k funkcii pre
. Termínovo to integruje od 0 do X , dostaneme . Ukazuje sa, že tento rad konverguje k funkcii na celom intervale
; pri X =1 dostaneme ďalšie krásne znázornenie čísla :
.

18.2.6.2. Riešenie úloh na rozšírenie funkcií v rade. Väčšina problémov, v ktorých je potrebné rozšíriť elementárnu funkciu do mocninového radu
, je riešený pomocou štandardných rozšírení. Našťastie každá základná elementárna funkcia má vlastnosť, ktorá vám to umožňuje. Uvažujme o niekoľkých príkladoch.

1. Rozložte funkciu
podľa stupňov
.

Riešenie. . Séria konverguje na
.

2. Rozbaľte funkciu
podľa stupňov
.

Riešenie.
. Oblasť konvergencie:
.

3. Rozbaľte funkciu
podľa stupňov
.

Riešenie. . Séria konverguje na
.

4. Rozložte funkciu
podľa stupňov
.

Riešenie. . Séria konverguje na
.

5. Rozložte funkciu
podľa stupňov
.

Riešenie. . Oblasť konvergencie
.

6. Rozbaľte funkciu
podľa stupňov
.

Riešenie. Rozšírenie do radu jednoduchých racionálnych zlomkov druhého typu sa získa členením po členoch zodpovedajúcich expanzií zlomkov prvého typu. V tomto príklade. Ďalej, diferenciáciou po členoch možno získať rozšírenia funkcií
,
atď.

7. Rozložte funkciu
podľa stupňov
.

Riešenie. Ak racionálny zlomok nie je jednoduchý, najskôr sa zobrazí ako súčet jednoduché zlomky:
, a potom postupujte ako v príklade 5: , kde
.

Prirodzene, takýto prístup je nepoužiteľný napríklad pri rozklade funkcie podľa stupňov X . Tu, ak potrebujete získať niekoľko prvých výrazov Taylorovho radu, najjednoduchším spôsobom je nájsť hodnoty v bode X =0 požadovaný počet prvých derivácií.

Táto online kalkulačka je určená na faktorizáciu funkcie.

Napríklad faktorizujte: x 2 /3-3x+12 . Zapíšme to ako x^2/3-3*x+12 . Môžete využiť aj túto službu, kde sú všetky výpočty uložené vo formáte Word.

Napríklad rozložiť na pojmy. Napíšme to ako (1-x^2)/(x^3+x) . Ak chcete zobraziť priebeh riešenia, kliknite na položku Zobraziť kroky . Ak potrebujete získať výsledok vo formáte Word, použite túto službu.

Poznámka: číslo "pi" (π) sa píše ako pi ; druhá odmocnina ako sqrt , napríklad sqrt(3) , tangens tg sa zapíše ako tan . Odpoveď nájdete v časti Alternatívy.

1. Ak je zadaný jednoduchý výraz, napríklad 8*d+12*c*d , potom rozdelenie výrazu na faktor znamená rozdelenie výrazu na faktor. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť spoločné faktory. Tento výraz zapíšeme ako: 4*d*(2+3*c) .
2. Vyjadrite súčin ako dva dvojčleny: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Tu už musíme nájsť niekoľko spoločných faktorov: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Vyberieme (x+7z) a dostaneme: (x+7z)(x + 3y) .

pozri tiež Delenie polynómov rohom (zobrazené sú všetky kroky delenia stĺpcom)

Užitočné pri učení pravidiel faktorizácie sú skrátené vzorce násobenia, pomocou ktorého bude jasné, ako otvoriť zátvorky so štvorcom:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoringové metódy

Po naučení pár trikov faktorizácia Riešenia možno klasifikovať nasledovne:

1. Používanie skrátených vzorcov na násobenie.
2. Hľadajte spoločný faktor.

Každé prirodzené číslo iné ako jedna má dvoch alebo viacerých deliteľov. Napríklad číslo 7 je bezo zvyšku deliteľné iba 1 a 7, to znamená, že má dvoch deliteľov. A číslo 8 má deliteľov 1, 2, 4, 8, teda až 4 deliteľov naraz.

Aký je rozdiel medzi prvočíslami a zloženými číslami

Čísla, ktoré majú viac ako dva faktory, sa nazývajú zložené čísla. Čísla, ktoré majú iba dvoch deliteľov, jedného a samotné číslo, sa nazývajú prvočísla.

Číslo 1 má len jeden delenie, a to číslo samotné. Jednotka sa nevzťahuje na prvočísla alebo zložené čísla.

• Napríklad číslo 7 je prvočíslo a číslo 8 je zložené.

Prvých 10 prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Číslo 2 je jediné párne prvočíslo, všetky ostatné prvočísla sú nepárne.

Číslo 78 je zložené, pretože okrem 1 a samého seba je deliteľné aj 2. Pri delení 2 dostaneme 39. Teda 78 = 2 * 39. V takýchto prípadoch sa hovorí, že číslo bolo vynásobené 2 a 39.

Akékoľvek zložené číslo sa dá rozložiť na dva faktory, z ktorých každý je väčší ako 1. S prvočíslom takýto trik nebude fungovať. Tak to ide.

Rozloženie čísla na prvočísla

Ako je uvedené vyššie, akékoľvek zložené číslo možno rozložiť na dva faktory. Vezmime si napríklad číslo 210. Toto číslo možno rozložiť na dva faktory 21 a 10. Ale čísla 21 a 10 sú tiež zložené, rozložme ich na dva faktory. Dostaneme 10 = 2*5, 21=3*7. A výsledkom je, že číslo 210 sa už rozložilo na 4 faktory: 2,3,5,7. Tieto čísla sú už prvočísla a nedajú sa rozložiť. To znamená, že sme rozložili číslo 210 na prvočísla.

Pri rozklade zložených čísel na prvočísla sa zvyčajne píšu vo vzostupnom poradí.

Malo by sa pamätať na to, že akékoľvek zložené číslo možno rozložiť na prvočísla a navyše jedinečným spôsobom až po permutáciu.

• Zvyčajne sa pri rozklade čísla na prvočísla používajú znaky deliteľnosti.

Rozložme číslo 378 na prvočísla

Napíšeme čísla a oddelíme ich zvislou čiarou. Číslo 378 je deliteľné 2, keďže sa končí 8. Pri delení dostaneme číslo 189. Súčet cifier čísla 189 je deliteľný 3, čo znamená, že samotné číslo 189 je deliteľné 3. As výsledkom je 63.

Číslo 63 je tiež deliteľné 3 na základe deliteľnosti. Dostaneme 21, číslo 21 môžeme opäť deliť 3, dostaneme 7. Sedmička je deliteľná len sama sebou, dostaneme jednotku. Tým je rozdelenie dokončené. Vpravo za čiarou sa nám dostali prvočísla, na ktoré je rozložené číslo 378.

378|2
189|3
63|3
21|3