Čo je to periodická funkcia? Vlastnosti periodických funkcií. Príklady periodických funkcií a ich grafy

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Algebra a začiatky analýzy, ročník 10 ( úroveň profilu) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Učiteľka Volkova S.E.

Definícia 1 Funkcia y = f (x), x ∈ X má periódu T, ak pre ľubovoľné x ∈ X platí rovnosť f (x - T) = f (x) = f (x + T). Ak je funkcia s periódou T definovaná v bode x, potom je definovaná aj v bodoch x + T, x - T. Každá funkcia má periódu, nula pri T \u003d 0 dostaneme f (x - 0) \u003d f (x) \u003d f (x + 0) .

Definícia 2 Funkcia, ktorá má nenulovú periódu T, sa nazýva periodická. Ak funkcia y = f (x), x ∈ X, má periódu T, potom ľubovoľný násobok T (t. j. číslo v tvare kT, k ∈ Z) je zároveň jej periódou.

Dôkaz Nech 2T je perióda funkcie. Potom f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x + 2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Podobne je dokázané, že f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) atď. Takže f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Najmenšia perióda medzi kladnými periódami periodickej funkcie sa nazýva hlavná perióda tejto funkcie.

Vlastnosti grafu periodickej funkcie Ak je T hlavnou periódou funkcie y \u003d f (x), potom stačí: vybudovať vetvu grafu na jednom z intervalov dĺžky T, vykonať paralelu prenos tejto vetvy pozdĺž osi x o ±T, ±2T, ±3T atď. Zvyčajne si vyberte medzeru s koncami v bodoch

Vlastnosti periodické funkcie 1. Ak f(x) je periodická funkcia s periódou T, potom funkcia g(x) = A f(kx + b), kde k > 0, je tiež periodická s periódou T 1 = T/k. 2. Nech je funkcia f 1 (x) a f 2 (x) definovaná na celej reálnej osi a je periodická s periódami T 1 > 0 a T 2 >0. Potom pre T 1 /T 2 ∈ Q je funkcia f(x) = f(x) + f 2 (x) periodická funkcia s periódou T rovnou najmenšiemu spoločnému násobku čísel T 1 a T 2 .

Príklady 1. Periodická funkcia y = f(x) je definovaná pre všetky reálne čísla. Jeho perióda je 3 a f(0) =4 . Nájdite hodnotu výrazu 2f(3) - f(-3). Riešenie. T \u003d 3, f (3) \u003d f (0 + 3) \u003d 4, f (-3) \u003d f (0–3) \u003d 4, f (0) \u003d 4. Nahradenie získaných hodnôt do výrazu 2f (3) - f(-3) dostaneme 8 - 4 =4. odpoveď: 4.

Príklady 2. Periodická funkcia y = f(x) je definovaná pre všetky reálne čísla. Jeho perióda je 5 a f(-1) = 1. Nájdite f(-12), ak 2f(3) - 5f(9) = 9. Riešenie T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Odpoveď: 7.

Literatúra A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Algebra a začiatky analýzy (úroveň profilu), 10. ročník A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Algebra a začiatky analýzy (úroveň profilu), 10. ročník. Toolkit pre učiteľa

K téme: metodologický vývoj, prezentácie a poznámky

Periodický zákon a periodický systém D.I. Mendelejev.

Všeobecná lekcia na túto tému je vedená formou hry s využitím prvkov technológie pedagogických dielní....

Mimoškolské podujatie "Periodický zákon a periodický systém chemických prvkov D.I. Mendelejeva"

Mimoškolská udalosť odhaľuje históriu vzniku periodického zákona a periodického systému D.I. Mendelejev. Informácie sú uvedené v poetickú formu, ktorá prispieva rýchle zapamätanie m...

Aplikácia na mimoškolské podujatie "Periodický zákon a periodická sústava chemických prvkov od D.I. Mendelejeva"

Objaveniu zákona predchádzalo dlhé a intenzívne vedecká práca DI. Mendelejev na 15 rokov a ďalších 25 rokov sa venovalo jeho ďalšiemu prehĺbeniu ....

Účel: zovšeobecniť a systematizovať vedomosti žiakov na tému „Periodika funkcií“; formovať zručnosti pri uplatňovaní vlastností periodickej funkcie, hľadaní najmenšej kladnej periódy funkcie, vykresľovaní periodických funkcií; podporovať záujem o štúdium matematiky; kultivovať pozorovanie, presnosť.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, kartičky s úlohami, diapozitívy, hodiny, stolíky na ozdoby, prvky ľudových remesiel

"Matematika je to, čo ľudia používajú na ovládanie prírody a seba."
A.N. Kolmogorov

Počas vyučovania

I. Organizačná etapa.

Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Prezentácia témy a cieľov lekcie.

II. Kontrola domácich úloh.

Kontrolujeme domáce úlohy podľa vzoriek, diskutujeme o najťažších bodoch.

III. Zovšeobecňovanie a systematizácia poznatkov.

1. Ústna frontálna práca.

Otázky teórie.

1) Vytvorte definíciu periódy funkcie
2) Aká je najmenšia kladná perióda funkcií y=sin(x), y=cos(x)
3). Aká je najmenšia kladná perióda funkcií y=tg(x), y=ctg(x)
4) Pomocou kruhu dokážte správnosť vzťahov:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Ako vykresliť periodickú funkciu?

ústne cvičenia.

1) Dokážte nasledujúce vzťahy

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Dokážte, že uhol 540º je jednou z periód funkcie y= cos(2x)

3. Dokážte, že uhol 360º je jednou z periód funkcie y=tg(x)

4. Transformujte tieto výrazy tak, aby uhly v nich obsiahnuté nepresiahli 90º v absolútnej hodnote.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Kde ste sa stretli so slovami OBDOBIE, PERIODICITA?

Odpovede študentov: Obdobie v hudbe je konštrukcia, v ktorej sa vyjadruje viac-menej úplná hudobná myšlienka. Geologické obdobie je súčasťou éry a delí sa na epochy s periódou 35 až 90 miliónov rokov.

Polčas rozpadu rádioaktívnej látky. Periodický zlomok. Periodiká sú tlačené publikácie, ktoré vychádzajú v presne stanovených dátumoch. Periodický systém Mendelejev.

6. Obrázky znázorňujú časti grafov periodických funkcií. Definujte periódu funkcie. Určite periódu funkcie.

Odpoveď T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.

7. Kde ste sa v živote stretli s konštrukciou opakujúcich sa prvkov?

Žiaci odpovedajú: Prvky ornamentov, ľudové umenie.

IV. Kolektívne riešenie problémov.

(Riešenie problémov na snímkach.)

Uvažujme o jednom zo spôsobov, ako študovať funkciu periodicity.

Táto metóda obchádza ťažkosti spojené s dokazovaním, že jedna alebo druhá perióda je najmenšia, a tiež nie je potrebné zaoberať sa otázkami o aritmetických operáciách s periodickými funkciami a o periodicite komplexnej funkcie. Úvaha je založená len na definícii periodickej funkcie a na nasledujúcej skutočnosti: ak T je perióda funkcie, potom nT(n? 0) je jej perióda.

Úloha 1. Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie f(x)=1+3(x+q>5)

Riešenie: Predpokladajme, že T-perióda tejto funkcie. Potom f(x+T)=f(x) pre všetky x ∈ D(f), t.j.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Nech x=-0,25 dostaneme

(T) = 0<=>T=n, n ∈ Z

Zistili sme, že všetky periódy uvažovanej funkcie (ak existujú) sú medzi celými číslami. Vyberte z týchto čísel najmenšie kladné číslo. to 1 . Pozrime sa, či je to skutočne obdobie 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Keďže (T+1)=(T) pre ľubovoľné T, potom f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), t.j. 1 - obdobie f. Pretože 1 je najmenšie zo všetkých celých čísel kladné čísla, potom T=1.

Úloha 2. Ukážte, že funkcia f(x)=cos 2 (x) je periodická a nájdite jej hlavnú periódu.

Úloha 3. Nájdite hlavnú periódu funkcie

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Predpokladajme T-periódu funkcie, potom pre ľubovoľnú X pomer

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Ak x = 0, potom

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ak x=-T, potom

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Pridaním dostaneme:

10 cos (0,75 T) = 10

2π n, n € Z

Vyberme zo všetkých čísel "podozrivých" pre obdobie najmenšie kladné a skontrolujme, či ide o bodku pre f. Toto číslo

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Preto je hlavná perióda funkcie f.

Úloha 4. Skontrolujte, či je funkcia f(x)=sin(x) periodická

Nech T je perióda funkcie f. Potom pre ľubovoľné x

sin|x+T|=sin|x|

Ak x=0, potom sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Predpokladajme. Že pre nejaké n je číslo π n bodka

uvažovaná funkcia π n>0. Potom sin|π n+x|=sin|x|

To znamená, že n musí byť párne aj nepárne súčasne, čo je nemožné. Preto danú funkciu nie je periodická.

Úloha 5. Skontrolujte, či je funkcia periodická

f(x)=

Nech T je obdobie f

, teda sinT=0, T=π n, n € Z. Predpokladajme, že pre nejaké n je číslo π n skutočne periódou danej funkcie. Potom číslo 2π n bude tiež bodka

Keďže čitatelia sú si rovní, rovnajú sa aj ich menovatelia, takže

Preto funkcia f nie je periodická.

Skupinová práca.

Úlohy pre skupinu 1.

Úlohy pre skupinu 2.

Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej hlavnú periódu (ak existuje).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Úlohy pre skupinu 3.

Na konci práce skupiny prezentujú svoje riešenia.

VI. Zhrnutie lekcie.

Reflexia.

Učiteľ rozdá žiakom kartičky s kresbami a ponúkne im premaľovať časť prvej kresby v súlade s tým, do akej miery, ako sa im zdá, zvládli metódy štúdia funkcie pre periodicitu a časť druhej kresby kreslenie, v súlade s ich prínosom k práci na vyučovacej hodine.

VII. Domáca úloha

jeden). Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej hlavnú periódu (ak existuje)

b). f(x)=x2-2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcia y=f(x) má periódu T=2 a f(x)=x 2 +2x pre x € [-2; 0]. Nájdite hodnotu výrazu -2f(-3)-4f(3,5)

Literatúra/

Mordkovich A.G. Algebra a začiatok analýzy s hĺbkovým štúdiom.
Matematika. Príprava na skúšku. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Šeremetěva T.G. , Tarasová E.A. Algebra a počiatočná analýza pre ročníky 10-11.

Prihláška č.7

Mestská vzdelávacia inštitúcia

priemer všeobecná škola № 3

učiteľ

Korotkov

Asya Edikovna

Kurganinsk

2008

OBSAH

Úvod ………………………………………………………… 2-3

Periodické funkcie a ich vlastnosti …………………. 4-6

Úlohy ………………………………………………… 7-14

Úvod

Všimnite si, že problémy s periodicitou v náučnej a metodologickej literatúre majú ťažký osud. Vysvetľuje to zvláštna tradícia - umožniť jednu alebo druhú nedbanlivosť pri definovaní periodických funkcií, ktoré vedú ku kontroverzným rozhodnutiam a vyvolávajú incidenty pri skúškach.

Napríklad v knihe Slovník matematické pojmy "- M, 1965, je uvedená nasledujúca definícia:" periodická funkcia - funkcia

y = f(x), pre ktoré existuje číslo t > 0, ktoré pre všetky x a x + t z oblasti f(x + t) = f(x).

Uveďme protipríklad ukazujúci nesprávnosť tejto definície. Podľa tejto definície je funkcia periodická s periódou t = 2π

с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 s obmedzenou doménou definície, čo je v rozpore so všeobecne akceptovaným názorom na periodické funkcie.

Podobné problémy vznikajú v mnohých najnovších alternatívnych učebniciach pre školy.

Učebnica A. N. Kolmogorova uvádza nasledujúcu definíciu: „Keď už hovoríme o periodicite funkcie f, predpokladá sa, že existuje také číslo T ≠ 0, že definičný obor definície D (f) spolu s každým bodom x obsahuje body, ktoré sa získajú z x rovnobežným posunom pozdĺž osi Ox (vpravo a vľavo) o vzdialenosť T. Volá sa funkcia f periodikum s periódou T ≠ 0, ak sú pre ktorýkoľvek z definičných oborov hodnoty tejto funkcie v bodoch x, x - T, x + T rovnaké, t.j. f (x + T) \u003d f (x) \u003d f (x - T) ". Ďalej sa v učebnici píše: „Keďže sínus a kosínus sú definované na celej číselnej osi a Sin (x + 2π) = Sin x,

Cos (x + 2π) \u003d Cos x pre ľubovoľné x, sínus a kosínus sú periódou funkcie s periódou 2π.

Z nejakého dôvodu tento príklad nekontroluje, čo sa vyžaduje v definícii podmienky, že

Sin (x - 2π) \u003d Sin x. Čo sa deje? Ide o to, že táto podmienka je v definícii nadbytočná. Ak je T > 0 periódou funkcie f(x), potom T bude tiež periódou tejto funkcie.

Chcem uviesť ešte jednu definíciu z učebnice M.I. Bashmakova "Algebra a začiatok analýzy v 10-11 bunkách." „Funkcia y \u003d f (x) sa nazýva periodická, ak existuje také číslo T ≠ 0, že rovnosť

f(x + T) = f(x) platí rovnako pre všetky hodnoty x.

Vyššie uvedená definícia nehovorí nič o rozsahu funkcie, hoci znamená x z rozsahu definície, nie žiadne skutočné x. Podľa tejto definície môže byť funkcia y \u003d Sin (√x) periodická 2 , definované len pre x ≥ 0, čo nie je pravda.

V jednotnej štátnej skúške sú úlohy na periodicitu. V jednom vedeckom časopise bolo ako školenie pre sekciu C USE uvedené riešenie problému: „je funkcia y (x) \u003d Sin 2 (2 + x) - 2 Sin 2 Sin x Cos (2 + x) periodicky?

Riešenie ukazuje, že y (x - π) \u003d y (x) v odpovedi - ďalší záznam

"T = π" (napokon, otázka nájdenia najmenšej kladnej periódy nie je nastolená). Je na vyriešenie tohto problému skutočne potrebné vykonať komplexnú trigonometrickú formáciu? Koniec koncov, tu sa môžete zamerať na koncept periodicity ako kľúča v stave problému.

Riešenie.

f1 (x) \u003d Sin x - periodická funkcia s periódou T \u003d 2π

f2 (x) = Cos x je periodická funkcia s periódou T = 2π, potom 2π je perióda a pre funkcie f 3(x) = Sin(2+x) a f 4 (x) = Cos (2 + x), (vyplýva to z definície periodicity)

f5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, jeho perióda je ľubovoľné číslo vrátane 2π.

Pretože súčet a súčin periodických funkcií so spoločnou periódou T je tiež T-periodický, potom je táto funkcia periodická.

Dúfam, že materiál uvedený v tejto práci pomôže pri príprave na singel štátna skúška pri riešení problémov pre periodicitu.

Periodické funkcie a ich vlastnosti

Definícia: funkcia f(t) sa nazýva periodická, ak pre ľubovoľné t z oblasti definície tejto funkcie D f existuje číslo ω ≠ 0 také, že:

1) čísla (t ± ω) є D f ;

2) f(t + co) = f(t).

1. Ak číslo ω = perióda funkcie f (t), potom číslo kω, kde k = ±1, ±2, ±3, … sú zároveň periódami funkcie f(t).

PRÍKLAD f(t) = Sint. Číslo T = 2π je najmenšia kladná perióda tejto funkcie. Nech T 1 = 4π. Ukážme, že T 1 je aj obdobie tejto funkcie.

F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.

Takže T1 je perióda funkcie f (t) = Sin t.

2. Ak je funkcia f(t) - ω periodická funkcia, potom funkcie f (at), kde a є R, a f (t + c), kde c je ľubovoľná konštanta, sú tiež periodické.

Nájdite periódu funkcie f(аt).

f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), t.j. f (аt) = f (а(t + ω/а).

Preto perióda funkcie f(аt) – ω 1 = ω/а.

PRÍKLAD 1. Nájdite periódu funkcie y = Sin t/2.

Príklad 2. Nájdite periódu funkcie y \u003d Sin (t + π / 3).

Nech f(t) = Sin t; y 0 \u003d Sin (t 0 + π / 3).

Potom funkcia f(t) = Sin t nadobudne tiež hodnotu y 0 pre t = t0 + π/3.

Tie. všetky hodnoty, ktoré má funkcia y, preberá aj funkcia f(t). Ak sa t interpretuje ako čas, potom každá hodnota y 0 funkcia y \u003d Sin (t + π / 3) sa berie o π / 3 jednotky času skôr ako funkcia f (t) "posune" doľava o π / 3. Je zrejmé, že obdobie funkcie sa od tohto nezmení, t.j. T y \u003d T 1.

3. Ak F(x) je nejaká funkcia a f(t) je periodická funkcia a taká, že f(t) patrí do definičného oboru funkcie F(x) – D F , potom funkcia F(f (t)) je periodická funkcia.

Nech F(f (t)) = φ.

Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) pre ľubovoľné t є D f.

PRÍKLAD Preskúmajte funkciu pre periodicitu: F(x) = ℓ hriech x .

Rozsah tejto funkcie D f sa zhoduje s množinou reálnych čísel R. f (x) = Sin x.

Množina hodnôt tejto funkcie je [-1; jeden]. Pretože segment [-1; 1] patrí D f , potom je funkcia F(x) periodická.

F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).

2 π je perióda tejto funkcie.

4. Ak funkcie f 1 (t) a f 2 (t) periodické s periódami ω 1 a ω 2 a ω 1 / ω 2 = r, kde r je racionálne číslo, potom funkcie

С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) a f 1 (t) f 2 (t) sú periodické (~ 1 a C2 sú konštanty).

Poznámka: 1) Ak r = ω 1/co 2 = p/q, pretože r je teda racionálne číslo

ω 1 q = ω 2 p = ω, kde ω je najmenší spoločný násobok čísel ω 1 a co2 (LCM).

Zvážte funkciu C 1 f1 (t) + C2f2 (t).

V skutočnosti ω = LCM (ω 1, co2 ) - obdobie tejto funkcie

С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .

2) ω je perióda funkcie f 1 (t) f 2 (t), pretože

f 1 (t + ω) f 2 (t + ω \u003d f 1 (t + ω 1 q) f 2 (t \u003d ω 2 p) \u003d f 1 (t) f 2 (t).

Definícia: Nech f 1 (t) a f (t) sú periodické funkcie s periódami ω 1 a ω 2 , potom sa hovorí, že dve obdobia sú porovnateľné, akω 1 / ω 2 = r je racionálne číslo.

3) Ak sú periódy ω 1 a ω 2 nie sú porovnateľné, potom funkcie f 1 (t) + f2 (t) a

f 1 (t) f 2 t) nie sú periodické. To znamená, ak f 1 (t) a f 2 (t) sú odlišné od konštanty, periodické, spojité, ich periódy nie sú úmerné, potom f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 t) nie sú periodické.

4) Nech f(t) = С, kde С je ľubovoľná konštanta. Táto funkcia je periodická. Jeho perióda je ľubovoľné racionálne číslo, čo znamená, že nemá najmenšiu kladnú periódu.

5) Výrok platí aj pre viac funkcie.

Príklad 1. Preskúmajte periodicitu funkcie

F(x) = Sin x + Cos x.

Riešenie. Nech f 1 (x) = Sin x, potom ω 1 = 2πk, kde k є Z.

T 1 = 2π je najmenšia kladná perióda.

f 2 (x) \u003d Cos x, T2 \u003d 2π.

Pomer T1/T2 = 2π/2π = 1 je racionálne číslo, t.j. funkčné obdobia f 1 (x) a f 2 x) sú primerané. Táto funkcia je teda periodická. Nájdime jej obdobie. Podľa definície periodickej funkcie máme

Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,

Sin (x + T) - Sin x \u003d Cos x - Cos (x + T),

2 Cos 2x + π / 2 Sin T / 2 \u003d 2 Sin 2x + T / 2 Sin T / 2,

Sin T / 2 (Cos T + 2x / 2 - Sin T + 2x / 2) \u003d 0,

√2 Sin T / 2 Sin (π / 4 - T + 2x / 2) \u003d 0, teda,

Sin T/2 = 0, potom T = 2πk.

Pretože (х ± 2πk) є D f , kde f(x) = Sin x + Cos x,

f(х + t) = f(х), potom je funkcia f(х) periodická s najmenšou kladnou periódou 2π.

Príklad 2. Je periodická funkcia f (x) \u003d Cos 2x Sin x, aká je jej perióda?

Riešenie. Nech f 1 (x) \u003d Cos 2x, potom T 1 \u003d 2π: 2 \u003d π (pozri 2)

Nech f 2 (x) = Sin x, potom T 2 = 2π. Pretože π/2π = ½ je racionálne číslo, potom je táto funkcia periodická. Jeho perióda T = LCM

(π, 2π) = 2π.

Táto funkcia je teda periodická s periódou 2π.

5. Nech je funkcia f(t), ktorá nie je zhodne rovná konštante, spojitá a periodická, potom má najmenšiu kladnú periódu ω 0 , akákoľvek iná perióda jeho ω má tvar: ω= kω 0, kde k є Z.

Poznámka: 1) V tejto vlastnosti sú veľmi dôležité dve podmienky:

f(t) je spojitá, f(t) ≠ C, kde C je konštanta.

2) Obráťte tvrdenie nepravda. To znamená, že ak sú všetky obdobia porovnateľné, potom z toho nevyplýva, že existuje najmenšie kladné obdobie. Tie. periodická funkcia nemusí mať najmenšiu kladnú periódu.

PRÍKLAD 1. f(t) = C, periodický. Jeho perióda je akékoľvek reálne číslo, neexistuje žiadna najmenšia perióda.

Príklad 2. Dirichletova funkcia:

D(x) =

Každé racionálne číslo je jeho perióda, neexistuje žiadna najmenšia kladná perióda.

6. Ak f(t) je spojitá periodická funkcia a ω 0 je jej najmenej kladná perióda, potom funkcia f(αt + β) má najmenej kladnú periódu ω 0 /‌‌/α/. Toto vyhlásenie vyplýva z bodu 2.

Príklad 1. Nájdite periódu funkcie y \u003d Sin (2x - 5).

Riešenie. y \u003d Sin (2x - 5) \u003d Sin (2 (x - 5/2)).

Graf funkcie y sa získa z grafu funkcie Sin x, najskôr dvakrát „stlačením“, potom „posunutím“ doprava o 2,5. „Posun neovplyvňuje periodicitu, T = π je perióda tejto funkcie.

Je ľahké získať obdobie tejto funkcie pomocou vlastnosti položky 6:

T \u003d 2π / 2 \u003d π.

7. Ak f (t) - ω je periodická funkcia a má spojitú deriváciu f "(t), potom f" (t) je tiež periodická funkcia, T \u003d ω

PRÍKLAD 1. f(t) = Sin t, T = 2πk. Jeho derivát f"(t) = Cos t

F "(t) \u003d Cena t, T \u003d 2πk, k є Z.

PRÍKLAD 2. f(t) = Cos t, T = 2πk. Jeho derivát

F "(t) \u003d - Sin t, T \u003d 2πk, k є Z.

Príklad 3. f(t) =tg t, jeho perióda je Т = πk.

F "(t) \u003d 1 / Cos 2 t je periodické aj podľa položky vlastnosti 7 a má periódu T = πk. Jeho najmenšia kladná perióda je T = π.

ÚLOHY.

№ 1

Je funkcia f(t) = Sin t + Sin πt periodická?

Riešenie. Pre porovnanie, tento problém riešime dvoma spôsobmi.

Po prvé, definíciou periodickej funkcie. Predpokladajme, že f(t) je periodické, potom pre akékoľvek t є D f máme:

Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,

Sin (t + T) - Sin t \u003d Sin πt - Sin π (t + T),

2 Cos 2t + T/2 Sin T/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.

Pretože to platí pre akékoľvek t є D f , potom najmä za t 0 , pri ktorej mizne ľavá strana poslednej rovnosti.

Potom máme: 1) Cos 2t 0 + T/2 Sin T/2 = 0. Vyriešte vzhľadom na T.

Sin Т/2 = 0 pri Т = 2 πk, kde k є Z.

2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πТ/2 = 0. Vyriešte vzhľadom na Т.

Sin πТ/2 = 0, potom Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, kde n є Z.

Pretože máme identitu, potom 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, čo nemôže byť, pretože π je iracionálne číslo a n/k je racionálne. To znamená, že náš predpoklad, že funkcia f(t) je periodická, nebol správny.

Po druhé, riešenie je oveľa jednoduchšie, ak použijeme vyššie uvedené vlastnosti periodických funkcií:

Nech f 1 (t) = Sin t, Т 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, Т 2 - 2π/π = 2. Potom Т 1 /Т 2 = 2π/2 = π je iracionálne číslo, t.j. obdobia T 1, T2 nie sú úmerné, takže f(t) nie je periodické.

odpoveď: nie.

№ 2

Ukážte, že ak α je iracionálne číslo, potom funkcia

F(t) = Cos t + Cos αt

nie je periodická.

Riešenie. Nech f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.

Potom sú ich obdobia T 1 \u003d 2π, T 2 = 2π//α/ - najmenšie kladné periódy. Poďme nájsť, T 1/T 2 = 2π/α//2π = /α/ je iracionálne číslo. Takže T 1 a T2 sú nekombinovateľné, a funkcia

f(t) nie je periodické.

№ 3

Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie f(t) = Sin 5t.

Riešenie. Podľa položky vlastnosti 2 máme:

f(t) je periodické; T = 2π/5.

Odpoveď: 2π/5.

№ 4

Je F(x) = arccos x + arcsin x periodická funkcia?

Riešenie. Zvážte túto funkciu

F(x) \u003d arccos x + arcsin x \u003d π - arcsin x + arcsin x \u003d π,

tie. F(x) je periodická funkcia (pozri vlastnosť 5, príklad 1.).

odpoveď: áno.

№ 5

Je to periodická funkcia

F(x) \u003d Sin 2x + Cos 4x + 5?

Riešenie. Nech f 1 (x) = Sin 2x, potom T 1 = π;

F 2 (x) \u003d Cos 4x, potom T2 \u003d 2π / 4 \u003d π / 2;

F 3 (x) \u003d 5, T 3 - akékoľvek reálne číslo, najmä T 3 môžeme predpokladať, že sa rovná T 1 alebo T2 . Potom je perióda tejto funkcie T = LCM (π, π/2) = π. To znamená, že f(x) je periodické s periódou Т = π.

odpoveď: áno.

№ 6

Je funkcia f(x) = x - E(x) periodická, kde E(x) je funkcia, ktorá spája argument x s najmenším celým číslom nepresahujúcim dané číslo.

Riešenie. Často sa funkcia f (x) označuje (x) - zlomková časť čísla x, t.j.

F(x) \u003d (x) \u003d x - E (x).

Nech f(х) je periodická funkcia, t.j. existuje číslo T >0 také, že x - E(x) = x + T - E(x + T). Napíšeme túto rovnicu

(x) + E(x) - E(x) = (x + T) + E(x + T) - E(x + T),

(x) + (x + T) - platí pre ľubovoľné x z domény D f, za predpokladu, že T ≠ 0 a T є Z. Najmenší kladný z nich je T = 1, t.j. T = 1 tak, že

X + T - E (x + T) \u003d x - E (x),

Navyše (х ± Тk) є D f , kde k є Z.

Odpoveď: Táto funkcia je pravidelná.

№ 7

Je funkcia f(x) = Sin x periodická? 2 .

Riešenie. Povedzme, že f(x) = Sin x 2 periodická funkcia. Potom podľa definície periodickej funkcie existuje číslo T ≠ 0 také, že: Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2 pre ľubovoľné x є D f.

Hriech x 2 \u003d Hriech (x + T) 2 \u003d 0,

2 Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 \u003d 0, potom

Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 = 0 alebo Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 = 0.

Zvážte prvú rovnicu:

Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d 0,

X 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d π (1 + 2 k) / 2 (k є Z),

T \u003d √ π (1 + 2 k) - x 2 - x. (jeden)

Zvážte druhú rovnicu:

Hriech x 2 – (x + T) 2 / 2 \u003d 0,

X + T \u003d √- 2πk + x 2,

T \u003d √x 2 – 2πk – x. (2)

Z výrazov (1) a (2) je vidieť, že nájdené hodnoty T závisia od x, t.j. neexistuje T>0 také, že

Hriech x 2 \u003d Hriech (x + T) 2

Pre ľubovoľné x z oblasti tejto funkcie. f(x) nie je periodické.

odpoveď: nie

№ 8

Preskúmajte periodicitu funkcie f(x) = Cos 2 x.

Riešenie. Predstavme si f(x) pomocou vzorca dvojitého uhla kosínusu

F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.

Nech f 1 (x) = ½, potom T 1 - môže to byť akékoľvek reálne číslo; f 2 (x) \u003d ½ Cos 2x je periodická funkcia, pretože súčin dvoch periodických funkcií, ktoré majú všeobecné obdobie T 2 = pi. Potom najmenšia kladná perióda tejto funkcie

T \u003d LCM (T 1, T 2) \u003d π.

Takže funkcia f(x) = Cos 2 x – π – je periodické.

Odpoveď: π je periodické.

№ 9

Môže byť doména periodickej funkcie:

A) polpriamka [a, ∞),

B) rezať?

Riešenie. Nie, pretože

A) podľa definície periodickej funkcie, ak x є D f, potom aj x ± ω

Musí patriť do rozsahu funkcie. Nech x = a

X1 \u003d (a - ω) є [a, ∞);

B) nech x = 1, potom x 1 \u003d (1 + T) є.

№ 10

Môže byť periodická funkcia:

A) prísne monotónne;

B) párne;

B) ani nie?

Riešenie. a) Nech f(x) je periodická funkcia, t.j. existuje T≠0 tak, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcií D f htsla

(x ± T) є D f a f (x ± T) \u003d f (x).

Opravte ľubovoľné x 0 ° D f , pretože f(x) je periodické, potom (x 0 + T) є D f a f (x 0) \u003d f (x 0 + T).

Predpokladajme, že f(x) je striktne monotónna a na celej doméne definície D f , napríklad zvyšuje. Potom podľa definície rastúcej funkcie pre ľubovoľné x 1 a x 2 z domény D f z nerovnosti x 1 2 vyplýva, že f(x 1 ) 2 ). Najmä z podmienky x 0 0 + T, z toho vyplýva

F(x 0) 0 +T), čo je v rozpore s podmienkou.

To znamená, že periodická funkcia nemôže byť striktne monotónna.

b) Áno, periodická funkcia môže byť párna. Uveďme si pár príkladov.

F (x) \u003d Cos x, Cos x \u003d Cos (-x), T \u003d 2π, f (x) je párna periodická funkcia.

0, ak x je racionálne číslo;

D(x) =

1, ak x je iracionálne číslo.

D(x) = D(-x), definičný obor funkcie D(x) je symetrický.

Direchletova funkcia D(x) je párna periodická funkcia.

f(x) = (x),

f (-x) \u003d -x - E (-x) \u003d (-x) ≠ (x).

Táto funkcia nie je rovnomerná.

c) Periodická funkcia môže byť nepárna.

f (x) \u003d Sin x, f (-x) \u003d Sin (-x) \u003d - Sin \u003d - f (x)

f(x) je nepárna periodická funkcia.

f (x) - Sin x Cos x, f (-x) \u003d Sin (-x) Cos (-x) \u003d - Sin x Cos x \u003d - f (x),

f(x) je nepárne a periodické.

f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),

f(x) nie je nepárne.

f(х) = tg x je nepárna periodická funkcia.

Odpoveď: nie; Áno; Áno.

№ 11

Koľko núl môže mať periodická funkcia na:

jeden); 2) na celej reálnej osi, ak sa perióda funkcie rovná T?

Riešenie: 1. a) Na intervale [a, b] nemusí mať periodická funkcia nuly, napríklad f(x) = C, C≠0; f (x) \u003d Cos x + 2.

b) Na segmente [a, b] môže mať periodická funkcia nekonečný počet núl, napríklad Direchletova funkcia

0, ak x je racionálne číslo,

D(x) =

1, ak x je iracionálne číslo.

c) Na segmente [a, b] môže mať periodická funkcia konečný počet núl. Poďme nájsť toto číslo.

Nech T je perióda funkcie. Označiť

X 0 = (min x є(a,b), takže f(х) = 0).

Potom počet núl na segmente [a, b]: N = 1 + E (v x 0/T).

Príklad 1. x є [-2, 7π / 2], f (x) \u003d Cos 2 х je periodická funkcia s periódou Т = π; X 0 = -π/2; potom počet núl funkcie f(x) na danom segmente

N \u003d 1 + E (7π / 2 - (-π / 2) / 2) \u003d 1 + E (8π / 2π) \u003d 5.

Príklad 2. f (x) \u003d x - E (x), x є [-2; 8,5]. f(х) – periodická funkcia, Т + 1,

x 0 = -2. Potom počet núl funkcie f(x) na danom segmente

N \u003d 1 + E (8,5 - (-2) / 1) \u003d 1 + E (10,5 / 1) \u003d 1 + 10 \u003d 11.

Príklad 3. f (x) \u003d Cos x, x є [-3π; π], T 0 \u003d 2π, x 0 \u003d - 5π / 2.

Potom počet núl tejto funkcie na danom segmente

N \u003d 1 + E (π - (-5π / 2) / 2π) \u003d 1 + E (7π / 2π) \u003d 1 + 3 \u003d 4.

2. a) Nekonečný počet núl, pretože X 0 є D f a f (х 0 ) = 0, potom pre všetky čísla

X 0 + Tk, kde k є Z, f (x 0 ± Tk) = f (x 0 ) =0 a body tvaru x 0 ± Tk je nekonečná množina;

b) nemajú nuly; ak f(х) je periodické a pre ľubovoľné

х є D f funkcia f(x) >0 alebo f(x)

F(x) \u003d Sin x +3,6; f(x) = C, C < 0;

F(x) \u003d Sin x - 8 + Cos x;

F(x) = hriech x cos x + 5.

№ 12

Môže byť súčet neperiodických funkcií periodický?

Riešenie. Áno možno. Napríklad:

f1 (х) = х je neperiodické, f 2 (x) \u003d E (x) - neperiodické

F (x) \u003d f 1 (x) - f 2 (x) \u003d x - E (x) - periodicky.

f1 (x) \u003d x - neperiodické, f (x) \u003d Sin x + x - neperiodické

F (x) \u003d f 2 (x) - f 1 (x) = Sin x - periodické.

odpoveď: áno.

№ 13

Funkcie f(x) a φ(x) sú periodické s periódami T 1 a T2 resp. Má ich produkt vždy periodickú funkciu?

Riešenie. Nie, iba ak T 1 a T2 - porovnateľný. Napríklad,

F(x) \u003d Sin x Sin πx, T 1 \u003d 2π, T 2 \u003d 2; potom T1/T2 = 2π/2 = π je iracionálne číslo, takže f(х) nie je periodické.

f (x) \u003d (x) Cos x \u003d (x - E (x)) Cos x. Nech f 1 (x) \u003d x - E (x), T1 \u003d 1;

f 2 (x) \u003d Cos (x), T2 \u003d 2π. T2/T1 = 2π/1 = 2π, takže f(x) nie je periodické.

odpoveď: Nie.

Úlohy na samostatné riešenie

Ktoré z funkcií sú periodické, nájdite periódu?

1. f (x) \u003d Sin 2x, 10. f (x) \u003d Sin x / 2 + tg x,

2. f (x) \u003d Cos x / 2, 11. f (x) \u003d Sin 3x + Cos 4x,

3. f (x) \u003d tg 3x, 12. f (x) \u003d Sin 2 x + 1,

4. f(x) = Cos (1 - 2x), 13. f(x) = tg x + ctg√2x,

5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πx + Cos x,

6. f (x) \u003d ctg x / 3, 15. f (x) \u003d x 2 - E (x 2),

7. f (x) \u003d Sin (3x - π / 4), 16. f (x) \u003d (x - E (x)) 2 ,

8. f (x) \u003d Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f (x) \u003d 2 x - E (x),

9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, ak n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…

№ 14

Nech f(x) - T je periodická funkcia. Ktoré z funkcií sú periodické (nájdite T)?

φ(х) = f(х + λ) je periodické, pretože "posun" pozdĺž osi Ox neovplyvňuje ω; jeho perióda ω = T.
φ(х) = а f(х + λ) + в je periodická funkcia s periódou ω = Т.
φ(x) = f(kx) je periodická funkcia s periódou ω = T/k.
φ(x) \u003d f (ax + b) - periodická funkcia s periódou ω \u003d T / a.
φ(x) = f(√x) nie je periodické, pretože jeho doména definície Dφ = (x/x ≥ 0), pričom doménou definície periodickej funkcie nemôže byť poloos.
φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) - 1) je periodická funkcia, pretože

φ (x + T) \u003d f (x + T) + 1 / f (x + T) - 1 \u003d φ (x), ω \u003d T.

φ (x) \u003d a f 2 (x) + v f (x) + c.

Nech φ 1 (x) = a f 2 (x) - periodické, ω 1 = t/2;

φ 2 (х) = v f(х) – periodické, ω 2=T/T=T;

φ 3 (х) = с – periodické, ω 3 - ľubovoľné číslo;

potom ω = LCM(Т/2; Т) = Т, φ(х) je periodické.

V opačnom prípade, pretože doménou definície tejto funkcie je celá číselná os, potom množina hodnôt funkcie f - E f є D φ , teda funkcia

φ(х) je periodické a ω = Т.

φ(х) = √φ(х), f(х) ≥ 0.

φ(х) je periodické s periódou ω = Т, pretože pre ľubovoľné x má funkcia f(x) hodnoty f(x) ≥ 0, t.j. jeho súbor hodnôt E f є D φ , kde

D φ je definičný obor funkcie φ(z) = √z.

№ 15

Je funkcia f(x) = x 2 periodicky?

Riešenie. Uvažujme x ≥ 0, potom pre f(x) existuje inverzná funkcia √x, čo znamená, že na tomto intervale f(x) - monotónna funkcia, potom nemôže byť periodická (pozri č. 10).

№ 16

Daný polynóm P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ... a n x.

Je P(x) periodická funkcia?

Riešenie. 1. Ak je identita konštantná, potom P(x) je periodická funkcia, t.j. Ak i = 0, kde i ≥ 1.

2. Nech P(x) ≠ c, kde c je nejaká konštanta. Nech P(x) je periodická funkcia a nech P(x) má reálne korene, potom od P(x) je periodická funkcia, potom ich musí byť nekonečný počet. A podľa základnej vety algebry je ich počet k taký, že k ≤ n. Takže P(x) nie je periodická funkcia.

3. Nech P(x) je polynóm, ktorý je identicky nenulový a nemá žiadne reálne korene. Povedzme, že P(x) je periodická funkcia. Zavedieme polynóm q(x) = a 0 , q(х) je periodická funkcia. Uvažujme rozdiel P(x) - q(x) = a 1 x 2 + ... + a n x n.

Pretože na ľavej strane rovnosti je periodická funkcia, potom je periodická aj funkcia na pravej strane, navyše má aspoň jeden skutočný koreň, x \u003d 0. Ak je funkcia periodická, potom musí existovať nekonečný počet núl. Máme rozpor.

P(x) nie je periodická funkcia.

№ 17

Funkcia f(t) – T je periodická. Je funkcia f do (t), kde

k є Z, periodická funkcia, ako súvisia ich periódy?

Riešenie. Dôkaz bude vykonaný metódou matematickej funkcie. Nechaj

f 1 = f(t), potom f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),

F 3 \u003d f 3 (t) \u003d f (t) f 2 je periodická funkcia podľa vlastnosti položky 4.

………………………………………………………………………….

Nech f k-1 = f k-1 (t) je periodická funkcia a jej perióda T k-1 úmerne perióde T. Obidve časti poslednej rovnosti vynásobíme f(t), dostaneme f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),

F to = f to (t) je periodická funkcia podľa položky 4 vlastnosti. ω ≤ Т.

№ 18

Nech f(x) je ľubovoľná funkcia definovaná na .Je funkcia f((x)) periodická?

A n e t: áno, pretože množina hodnôt funkcie (x) patrí do oblasti definície funkcie f(x), potom podľa položky vlastnosti 3 f((x)) je periodická funkcia, jej perióda ω = T = 1.

№ 19

F(x) je ľubovoľná funkcia definovaná na [-1; 1], je funkcia f(sinx) periodická?

Odpoveď: áno, jeho perióda je ω = T = 2π (dôkaz je podobný ako #18).

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, kartičky s úlohami, diapozitívy, hodiny, stolíky na ozdoby, prvky ľudových remesiel

"Matematika je to, čo ľudia používajú na ovládanie prírody a seba."
A.N. Kolmogorov

Počas vyučovania

I. Organizačná etapa.

Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Prezentácia témy a cieľov lekcie.

II. Kontrola domácich úloh.

Kontrolujeme domáce úlohy podľa vzoriek, diskutujeme o najťažších bodoch.

III. Zovšeobecňovanie a systematizácia poznatkov.

1. Ústna frontálna práca.

Otázky teórie.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Ako vykresliť periodickú funkciu?

ústne cvičenia.

1) Dokážte nasledujúce vzťahy

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Dokážte, že uhol 540º je jednou z periód funkcie y= cos(2x)

3. Dokážte, že uhol 360º je jednou z periód funkcie y=tg(x)

4. Transformujte tieto výrazy tak, aby uhly v nich obsiahnuté nepresiahli 90º v absolútnej hodnote.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Kde ste sa stretli so slovami OBDOBIE, PERIODICITA?

Polčas rozpadu rádioaktívnej látky. Periodický zlomok. Periodiká sú tlačené publikácie, ktoré vychádzajú v presne stanovených dátumoch. Periodický systém Mendelejeva.

6. Obrázky znázorňujú časti grafov periodických funkcií. Definujte periódu funkcie. Určite periódu funkcie.

Odpoveď T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.

7. Kde ste sa v živote stretli s konštrukciou opakujúcich sa prvkov?

Žiaci odpovedajú: Prvky ornamentov, ľudové umenie.

IV. Kolektívne riešenie problémov.

(Riešenie problémov na snímkach.)

Uvažujme o jednom zo spôsobov, ako študovať funkciu periodicity.

Úloha 1. Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie f(x)=1+3(x+q>5)

Riešenie: Predpokladajme, že T-perióda tejto funkcie. Potom f(x+T)=f(x) pre všetky x ∈ D(f), t.j.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Nech x=-0,25 dostaneme

(T) = 0<=>T=n, n ∈ Z

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Keďže (T+1)=(T) pre ľubovoľné T, potom f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), t.j. 1 - obdobie f. Keďže 1 je najmenšie zo všetkých kladných celých čísel, potom T=1.

Úloha 2. Ukážte, že funkcia f(x)=cos 2 (x) je periodická a nájdite jej hlavnú periódu.

Úloha 3. Nájdite hlavnú periódu funkcie

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Predpokladajme T-periódu funkcie, potom pre ľubovoľnú X pomer

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Ak x = 0, potom

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ak x=-T, potom

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Pridaním dostaneme:

10 cos (0,75 T) = 10

2π n, n € Z

Vyberme zo všetkých čísel "podozrivých" pre obdobie najmenšie kladné a skontrolujme, či ide o bodku pre f. Toto číslo

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Preto je hlavná perióda funkcie f.

Úloha 4. Skontrolujte, či je funkcia f(x)=sin(x) periodická

Nech T je perióda funkcie f. Potom pre ľubovoľné x

sin|x+T|=sin|x|

Ak x=0, potom sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Predpokladajme. Že pre nejaké n je číslo π n bodka

uvažovaná funkcia π n>0. Potom sin|π n+x|=sin|x|

To znamená, že n musí byť párne aj nepárne súčasne, čo je nemožné. Preto táto funkcia nie je periodická.

Úloha 5. Skontrolujte, či je funkcia periodická

f(x)=

Nech T je obdobie f

, teda sinT=0, T=π n, n € Z. Predpokladajme, že pre nejaké n je číslo π n skutočne periódou danej funkcie. Potom číslo 2π n bude tiež bodka

Keďže čitatelia sú si rovní, rovnajú sa aj ich menovatelia, takže

Preto funkcia f nie je periodická.

Skupinová práca.

Úlohy pre skupinu 1.

Úlohy pre skupinu 2.

Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej hlavnú periódu (ak existuje).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Úlohy pre skupinu 3.

Na konci práce skupiny prezentujú svoje riešenia.

VI. Zhrnutie lekcie.

Reflexia.

VII. Domáca úloha

jeden). Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej hlavnú periódu (ak existuje)

b). f(x)=x2-2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcia y=f(x) má periódu T=2 a f(x)=x 2 +2x pre x € [-2; 0]. Nájdite hodnotu výrazu -2f(-3)-4f(3,5)

Literatúra/

Mordkovich A.G. Algebra a začiatok analýzy s hĺbkovým štúdiom.
Matematika. Príprava na skúšku. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Šeremetěva T.G. , Tarasová E.A. Algebra a počiatočná analýza pre ročníky 10-11.

HARMONICKÁ ANALÝZA

Úvod.

Moderný vývoj technológia kladie vysoké nároky na matematickú prípravu inžinierov. V dôsledku formulovania a štúdia množstva špecifických problémov z mechaniky a fyziky vznikla teória trigonometrických radov. Fourierove rady hrajú najdôležitejšiu úlohu vo všetkých oblastiach techniky založenej na teórii oscilácií a teórii spektrálnej analýzy. Napríklad v systémoch prenosu údajov na popis signálov praktické využitie spektrálne reprezentácie vždy vedú k potrebe experimentálnej implementácie Fourierovej expanzie. Úloha trigonometrických radov v elektrotechnike je obzvlášť veľká pri štúdiu periodických nesínusových prúdov: amplitúdové spektrum funkcie sa nachádza pomocou Fourierovho radu v komplexnej forme. Fourierov integrál sa používa na reprezentáciu neperiodických procesov.

Trigonometrické rady majú dôležité aplikácie v mnohých odvetviach matematiky a poskytujú obzvlášť pohodlné metódy na riešenie zložitých problémov v matematickej fyzike, ako je vibrácia struny a šírenie tepla v tyči.

Periodické funkcie.

Mnohé problémy vedy a techniky sú spojené s periodickými funkciami, ktoré odrážajú cyklické procesy.

Definícia 1. Periodické javy sa nazývajú javy, ktoré sa opakujú v rovnakej postupnosti a v rovnakej forme v určitých intervaloch argumentu.

Príklad. V spektrálnej analýze - spektrá.

Definícia 2. Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodický s bodkou T, ak f(x + T) = f(X) pre všetkých X a x + T z rozsahu funkcie.

Na obrázku obdobie zobrazenej funkcie T = 2.

Definícia 3. Najmenšia kladná perióda funkcie sa nazýva hlavná perióda.

Tam, kde sa človek musí vysporiadať s periodickými javmi, sa takmer vždy stretneme s goniometrickými funkciami.

Funkčné obdobie sa rovná , perióda funkcií rovná sa .

Obdobie goniometrické funkcie s argumentom ( Oh) sa zistí podľa vzorca:

Príklad. Nájdite hlavné obdobie funkcií 1) .

Riešenie. 1) . 2) .

Lemma. Ak f(X) má bodku T, potom integrál tejto funkcie, braný v medziach líšiacich sa o T, nezávisí od voľby dolnej integračnej hranice, t.j. = .

Hlavné obdobie ťažkého periodická funkcia pri = f(X) (pozostávajúci zo súčtu periodických funkcií) je najmenší spoločný násobok periód jednotlivých funkcií.

Teda ak f(X) = f 1 (X) + f 2 (X), T 1 - funkčné obdobie f 1 (X), T 2 - funkčné obdobie f 2 (X), potom najmenšie kladné obdobie T musí spĺňať podmienku:

T = nt 1 + kT 2, kde(*) –

Popisy snímok:

K téme: metodologický vývoj, prezentácie a poznámky

Prečítajte si tiež