Pretože uvedené oblasti sú v tomto poradí rovnaké

S∆OAC=0,5∙OC∙OA hriech α= 0,5 sinα, S sekta. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙BC = 0,5 tga.

v dôsledku toho

sinα< α < tg α.

Všetky členy nerovnosti delíme sin α > 0: .

Ale . Preto na základe 4. vety o limitách usudzujeme, že odvodený vzorec sa nazýva prvá pozoruhodná limita.

Prvá pozoruhodná hranica teda slúži na odhalenie neistoty. Upozorňujeme, že výsledný vzorec by sa nemal zamieňať s limitmi Príklady.

11. Limit a súvisiace limity.

DRUHÝ VÝZNAMNÝ LIMIT

Druhá pozoruhodná hranica slúži na odhalenie neistoty 1 ∞ a vyzerá takto

Venujme pozornosť tomu, že vo vzorci pre druhú pozoruhodnú limitu musí exponent obsahovať výraz, ktorý je opačný ako ten, ktorý sa pridáva k jednotke v základe (keďže v tomto prípade je možné zaviesť zmenu premenných a znížiť požadovanú hranicu na druhú pozoruhodnú hranicu)

Príklady.

1. Funkcia f(x)=(X-1) 2 je nekonečne malý pre X→1, keďže (pozri obr.).

2. Funkcia f(x)=tg X je nekonečne malý X→0.

3. f(x)= log(1+ X) je nekonečne malý X→0.

4. f(x) = 1/X je nekonečne malý X→∞.

Stanovme si nasledujúci dôležitý vzťah:

Veta. Ak funkcia y=f(x) zastupiteľné pri x→a ako súčet konštantného čísla b a nekonečne malý α(x): f(x)=b+ α(x) potom .

Naopak, ak , tak f(x)=b+α(x), kde a(x) je nekonečne malý x→a.

Dôkaz.

1. Dokážme prvú časť tvrdenia. Z rovnosti f(x)=b+α(x) by mal |f(x) – b|=| a|. Ale odvtedy a(x) je nekonečne malé, potom pre ľubovoľné ε existuje δ, okolie bodu a, pre všetkých X z ktorých, hodnoty a(x) uspokojiť vzťah |α(x)|< ε. Potom |f(x) – b|< ε. A to znamená, že.

2. Ak , potom pre ľubovoľné ε >0 pre všetkých X od nejakého δ je okolie bodu a bude |f(x) – b|< ε. Ale ak označíme f(x) – b= α, potom |α(x)|< ε, čo znamená, že a- nekonečne malý.

Uvažujme o hlavných vlastnostiach infinitezimálnych funkcií.

Veta 1. Algebraický súčet dvoch, troch a vo všeobecnosti akéhokoľvek konečného počtu infinitezimálov je nekonečne malá funkcia.

Dôkaz. Dajme dôkaz na dve obdobia. Nechaj f(x)=α(x)+β(x), kde a . Musíme dokázať, že pre ľubovoľne malé ε > 0 tam δ> 0, takže pre X uspokojenie nerovnosti |x- a|<δ , vykonané |f(x)|< ε.

Stanovíme teda ľubovoľné číslo ε > 0. Keďže podľa hypotézy vety, α(x) je infinitezimálna funkcia, potom existuje δ 1 > 0, ktorá pri |x – a|< δ 1 máme |α(x)|< ε / 2. Rovnako tak od r β(x) je nekonečne malé, potom existuje také δ 2 > 0, ktorá pri |x – a|< δ 2 máme | β(x)|< ε / 2.

Vezmime δ=min(δ1 , δ2 } .Potom v susedstve bodu a polomer δ každá z nerovností bude uspokojená |α(x)|< ε / 2 a | β(x)|< ε / 2. Preto v tejto štvrti bude

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tie. |f(x)|< ε, čo sa malo dokázať.

Veta 2. Súčin infinitezimálnej funkcie a(x) pre obmedzenú funkciu f(x) pri x→a(alebo kedy x→∞) je nekonečne malá funkcia.

Dôkaz. Od funkcie f(x) je obmedzená, potom je ich množstvo M také, že pre všetky hodnoty X z nejakého okolia bodu a|f(x)|≤M. Okrem toho od r a(x) je nekonečne malá funkcia pre x→a, potom pre ľubovoľné ε > 0 je okolie bodu a, v ktorom je nerovnosť |α(x)|< ε /M. Potom v menšej z týchto štvrtí máme | αf|< ε /M= ε. A to znamená, že af- nekonečne malý. Pre prípad x→∞ dokazovanie sa vykonáva obdobným spôsobom.

Z dokázanej vety vyplýva:

Dôsledok 1. Ak a potom

Dôsledok 2. Ak a c= const, teda .

Veta 3. Pomer infinitezimálnej funkcie α(x) za funkciu f(x), ktorej limita je nenulová, je infinitezimálna funkcia.

Dôkaz. Nechajte . Potom 1 /f(x) je tam obmedzená funkcia. Preto je zlomok súčinom infinitezimálnej funkcie a ohraničenej funkcie, t.j. funkcia je nekonečne malá.

Príklady.

1. Je jasné, že za x→+∞ funkciu y = x 2 + 1 je nekonečný. Ale potom, podľa vety formulovanej vyššie, funkcia je nekonečne malá x→+∞, t.j. .

Dá sa dokázať aj opačná veta.

Veta 2. Ak funkcia f(x)- nekonečne malý pri x→a(alebo x→∞) a potom nezmizne y= 1/f(x) je nekonečná funkcia.

Dokážte vetu sami.

Príklady.

3. , keďže funkcie a sú nekonečne malé pre x→+∞, potom ako súčet infinitezimálnych funkcií je nekonečne malá funkcia. Funkcia je súčet konštantného čísla a nekonečne malej funkcie. Preto podľa vety 1 pre infinitezimálne funkcie získame požadovanú rovnosť.

Najjednoduchšie vlastnosti nekonečne malých a nekonečne veľkých funkcií možno teda zapísať pomocou nasledujúcich podmienených vzťahov: A≠ 0

13. Nekonečne malé funkcie rovnakého rádu, ekvivalentné nekonečne malé.

Nekonečne malé funkcie a nazývajú sa nekonečne malé rovnakého rádu maličkosti, ak , označujú . A nakoniec, ak neexistuje, potom nekonečne malé funkcie a sú neporovnateľné.

PRÍKLAD 2. Porovnanie infinitezimálnych funkcií

Ekvivalentné infinitezimálne funkcie.

Ak , potom sa volajú infinitezimálne funkcie a ekvivalent, označujú ~ .

Lokálne ekvivalentné funkcie:

Kedy ak

Niektoré ekvivalencie(na ):

Jednostranné limity.

Doteraz sme uvažovali o definícii limity funkcie kedy x→a svojvoľne, t.j. limit funkcie nezávisel od toho, ako X smerom k a, naľavo alebo napravo od a. Je však celkom bežné nájsť funkcie, ktoré za tejto podmienky nemajú limit, ale majú limit if x→a, zostávajúci na jednej strane a, vľavo alebo vpravo (pozri obr.). Preto sa zavádza pojem jednostranné limity.

Ak f(x) inklinuje k limitu b pri X snaha o nejaké číslo a tak X berie len hodnoty menšie ako a, potom píšte a volajte blimit funkcie f(x) v bode a vľavo.

Takže číslo b sa nazýva limita funkcie y=f(x) pri x→a vľavo, ak je nejaké kladné číslo ε, je tam číslo δ (menšie ako a

Podobne, ak x→a a nadobúda veľké hodnoty a, potom píšte a volajte b limit funkcie v bode a napravo. Tie. číslo b volal limita funkcie y=f(x) v x→a vpravo, ak existuje nejaké kladné číslo ε, existuje také číslo δ (väčšie ako a) že nerovnosť platí pre všetkých .

Všimnite si, že ak sú limity v určitom bode vľavo a vpravo a pre funkciu f(x) nezhodujú, potom funkcia nemá v bode žiadne (obojstranné) obmedzenie a.

Príklady.

1. Zvážte funkciu y=f(x), definovaný na segmente nasledovne

Poďme nájsť limity funkcie f(x) pri x→ 3. Je zrejmé, že a

Inými slovami, pre ľubovoľne malý počet epsilonov existuje taká delta v závislosti od epsilonov, že zo skutočnosti, že pre ľubovoľné x spĺňajúce nerovnosť vyplýva, že rozdiel v hodnotách funkcie v týchto bodoch bude byť svojvoľne malý.

Kritérium spojitosti funkcie v bode:

Funkcia bude nepretržitý v bode A práve vtedy, ak je spojitý v bode A vpravo aj vľavo, t.j. aby v bode A existovali dve jednostranné limity, sú si navzájom rovné a rovné hodnote funkcia v bode A.

Definícia 2: Funkcia je nepretržitá na množine, ak je spojitá vo všetkých bodoch tejto množiny.

Derivácia funkcie v bode

Nech je dané byť definované v okolí . Zvážte

Ak táto hranica existuje, potom sa nazýva derivácia funkcie f v bode .

Derivácia funkcie- hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď je argument inkrementovaný.

Operácia výpočtu alebo nájdenia derivácie v bode sa nazýva diferenciácie .

Pravidlá diferenciácie.

derivát funkcie f(x) v bode x = x 0 je pomer prírastku funkcie v tomto bode k prírastku argumentu, keďže ten má tendenciu k nule. Nájdenie derivácie sa nazýva diferenciácie. Derivácia funkcie sa vypočíta podľa všeobecného pravidla diferenciácie: Označme f(x) = u, g(x) = v- funkcie diferencovateľné v bode X. Základné pravidlá diferenciácie 1) (derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií) 2) (z toho najmä vyplýva, že derivácia súčinu funkcie a konštanty sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie konštantou) 3) Derivácia kvocientu: ak g  0 4) Derivácia komplexnej funkcie: 5) Ak je funkcia nastavená parametricky: , tak

Príklady.

1. r = X a - výkonová funkcia s ľubovoľným indexom.

Implicitná funkcia

Ak je funkcia daná rovnicou y=ƒ(x) vyriešenou vzhľadom na y, potom je funkcia daná explicitne (explicitná funkcia).

Pod implicitné zadanie funkcie rozumejú priradenie funkcie v tvare rovnice F(x;y)=0, neprípustné vzhľadom na y.

Jednoznačne akékoľvek danú funkciu y=ƒ(x) možno zapísať ako implicitne dané rovnicou ƒ(x)-y=0, ale nie naopak.

Nie je vždy ľahké a niekedy nemožné vyriešiť rovnicu pre y (napríklad y+2x+cozy-1=0 alebo 2y-x+y=0).

Ak je implicitná funkcia daná rovnicou F(x; y)=0, potom na nájdenie derivácie y vzhľadom na x nie je potrebné riešiť rovnicu vzhľadom na y: stačí túto rovnicu diferencovať vzhľadom na x, pričom y považujeme za funkciu x, a potom vyriešiť výslednú rovnicu vzhľadom na y“.

Derivácia implicitnej funkcie je vyjadrená pomocou argumentu x a funkcie y.

Príklad:

Nájdite deriváciu funkcie y danej rovnicou x 3 +y 3 -3xy=0.

Riešenie: Funkcia y je implicitne definovaná. Diferencujte vzhľadom na x rovnosť x 3 +y 3 -3xy=0. Z výsledného pomeru

3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0

z toho vyplýva, že y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, t.j. y "= (y-x 2) / (y 2 -x).

Deriváty vyšších rádov

Je jasné, že derivát

funkcie y=f(x) je tam aj funkcia od X:

y"=f" (x)

Ak funkcia f"(x) je diferencovateľný, potom sa jeho derivát označí symbolom y""=f""(x) x dvakrát.
Derivát druhého derivátu, t.j. funkcie y""=f""(x), sa volá tretia derivácia funkcie y=f(x) alebo derivácia funkcie f(x) tretieho rádu a je symbolizovaný

Vo všeobecnosti n-i odvodený alebo odvodený n funkcia -tého rádu y=f(x) označené symbolmi

F-la Leibniz:

Predpokladajme, že funkcie a sú diferencovateľné spolu s ich deriváciami až do n-tého rádu vrátane. Aplikovaním pravidla diferenciácie súčinu dvoch funkcií získame

Porovnajme tieto výrazy s mocnosťami dvojčlenky:

Zarážajúce je pravidlo korešpondencie: ak chcete získať vzorec pre deriváciu 1., 2. alebo 3. rádu zo súčinu funkcií a , musíte nahradiť stupne a vo výraze pre (kde n= 1,2,3) deriváty zodpovedajúcich rádov. Okrem toho nulové mocniny a mali by byť nahradené derivátmi nultého rádu, čo znamená funkcie a:

Zovšeobecnenie tohto pravidla na prípad derivátu ľubovoľného príkazu n, dostaneme Leibnizov vzorec,

kde sú binomické koeficienty:

Rolleho veta.

Táto veta umožňuje nájsť kritické body a potom pomocou dostatočných podmienok skúmať f-tu pre extrémy.

Nech je 1) f-ta f(x) definovaná a spojitá na niektorých uzavretá medzera; 2) existuje konečná derivácia, aspoň v otvorenom intervale (a;b); 3) na koncoch interval f-i nadobúda rovnaké hodnoty f(a) = f(b). Potom medzi bodmi a a b je taký bod c, že ​​derivácia v tomto bode bude = 0.

Podľa vety o vlastnosti f-tín, ktoré sú spojité na segmente, f-ta f(x) nadobúda na tomto segmente svoje maximálne a minimálne hodnoty.

f (x 1) \u003d M - max, f (x 2) \u003d m - min; x 1 ; x 2 О

1) Nech M = m, t.j. m £ f(x) £ M

Þ f-tá f(x) nadobudne interval od a do b konštantných hodnôt a Þ jej derivácia sa bude rovnať nule. f'(x)=0

2) Nech M>m

Pretože podľa podmienok vety je f(a) = f(b) z jej najmenšie alebo najväčšie f-tá hodnota nezaberie na koncoch segmentu, ale Þ vezme M alebo m vo vnútornom bode tohto segmentu. Potom podľa Fermatovej vety f'(c)=0.

Lagrangeova veta.

Vzorec konečného prírastku alebo Lagrangeova veta o strednej hodnote uvádza, že ak funkcia f súvislé na segmente [ a;b] a diferencovateľné v intervale ( a;b), potom je tu taký bod, že

Cauchyho veta.

Ak sú funkcie f(x) a g(x) spojité na intervale a diferencovateľné na intervale (a, b) a g¢(x) ¹ 0 na intervale (a, b), potom existuje aspoň jeden bod e, a< e < b, такая, что

Tie. pomer prírastkov funkcií na danom segmente sa rovná pomeru derivácií v bode e. Príklady riešenia problémov priebeh prednášok Výpočet objemu tela podľa slávnych námestí jeho paralelné úseky Integrálny počet

Príklady práce v kurze elektrotechnika

Na dokázanie tejto vety je na prvý pohľad veľmi vhodné použiť Lagrangeovu vetu. Napíšte vzorec konečného rozdielu pre každú funkciu a potom ich navzájom vydeľte. Tento názor je však mylný, pretože bod e pre každú z funkcií je vo všeobecnosti iný. Samozrejme, v niektorých špeciálnych prípadoch môže byť tento intervalový bod rovnaký pre obe funkcie, ale ide o veľmi zriedkavú náhodu, nie pravidlo, a preto sa nedá použiť na dôkaz vety.

Dôkaz. Zvážte funkciu pomocníka

Keď x→x 0, hodnota c má tiež tendenciu k x 0; prejdime v predchádzajúcej rovnosti na limit:

Pretože , potom .

Preto

(limita pomeru dvoch infinitezimál sa rovná limite pomeru ich derivátov, ak druhý existuje)

L'Hopitalovo pravidlo pri ∞ / ∞.

Veta o limite monotónnej funkcie. Dôkaz vety sa podáva dvoma spôsobmi. Uvádzajú sa aj definície prísne rastúcich, neklesajúcich, prísne klesajúcich a nezvyšujúcich sa funkcií. Definícia monotónnej funkcie.

Definície

Definície zvyšujúcich a klesajúcich funkcií
Nech funkcia f (X) je definovaný na nejakej množine reálnych čísel X .
Funkcia sa volá prísne rastúci (prísne klesajúci), ak pre všetky x′, x′′ ∈ X tak, že x′< x′′ выполняется неравенство:
f (X')< f(x′′) ( f (x′) > f(x′′) ) .
Funkcia sa volá neklesajúci (nezvyšujúci sa), ak pre všetky x′, x′′ ∈ X tak, že x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)( f (x′) ≥ f(x′′) ) .

To znamená, že prísne rastúca funkcia je tiež neklesajúca. Striktne klesajúca funkcia je tiež nerastúca.

Definícia monotónnej funkcie
Funkcia sa volá monotónna ak neklesá alebo nerastie.

Ak chcete študovať monotónnosť funkcie na nejakej množine X, musíte nájsť rozdiel jej hodnôt v dvoch ľubovoľných bodoch patriacich do tejto množiny. Ak , potom sa funkcia prísne zvyšuje; ak , potom funkcia neklesne; ak , potom prísne klesá; ak , potom sa nezvyšuje.

Ak je na niektorej množine funkcia kladná: , potom na určenie monotónnosti je možné preskúmať kvocient delenia jej hodnôt v dvoch ľubovoľných bodoch tejto množiny. Ak , potom sa funkcia prísne zvyšuje; ak , potom funkcia neklesne; ak , potom prísne klesá; ak , potom sa nezvyšuje.

Veta
Nech funkcia f (X) počas intervalu neklesá (a,b), kde .
Ak je zhora ohraničená číslom M : , potom je v bode b : konečná ľavá limita. Ak f (X) nie je ohraničené vyššie, potom .
Ak f (X) je zdola ohraničená číslom m:, potom je v bode a: konečná pravá limita. Ak f (X) nižšie nie je ohraničené, potom .

Ak sú body a a b v nekonečne, potom vo výrazoch medzné znamienka znamenajú, že .
Táto veta môže byť formulovaná kompaktnejšie.

Nech funkcia f (X) počas intervalu neklesá (a,b), kde . Potom existujú jednostranné limity v bodoch a a b:
;
.

Podobná veta pre nerastúcu funkciu.

Nech sa funkcia nezväčšuje na intervale , kde . Potom sú tu jednostranné limity:
;
.

Dôsledok
Nech je funkcia monotónna na intervale . Potom v ktoromkoľvek bode z tohto intervalu existujú jednostranné konečné limity funkcie:
a .

Dôkaz vety

Funkcia sa neznižuje

b - konečné číslo

Funkcia obmedzená zhora

1.1.1. Nech je funkcia zhora ohraničená číslom M : pre .

.
;
.

Keďže funkcia neklesá, potom pre . Potom
v .
Transformujme poslednú nerovnosť:
;
;
.
Pretože teda. Potom
v .

v .
"Definície jednostranných limitov funkcie v konečnom bode").

Funkcia nie je zhora obmedzená

1. Nech funkcia neklesá na intervale .
1.1. Nech je číslo b konečné: .
1.1.2. Nech je funkcia zhora neobmedzená.
Dokážme, že v tomto prípade existuje limit.

.

v .

Označme . Potom pre akékoľvek existuje , takže
v .
To znamená, že limita vľavo v bode b je (pozri "Definície jednostranných nekonečných limitov funkcie v koncovom bode").

b skoré plus nekonečno

Funkcia obmedzená zhora

1. Nech funkcia neklesá na intervale .
1.2.1. Nech je funkcia zhora ohraničená číslom M : pre .
Dokážme, že v tomto prípade existuje limit.

Keďže funkcia je ohraničená zhora, existuje konečná horná hranica
.
Podľa definície najmenšej hornej hranice sú splnené tieto podmienky:
;
pre každé pozitívum existuje argument, pre ktorý
.

Keďže funkcia neklesá, potom pre . Potom o . Alebo
v .

Takže sme zistili, že pre akúkoľvek existuje číslo , takže
v .
"Definície jednostranných limitov v nekonečne").

Funkcia nie je zhora obmedzená

1. Nech funkcia neklesá na intervale .
1.2. Nech je číslo b plus nekonečno: .
1.2.2. Nech je funkcia zhora neobmedzená.
Dokážme, že v tomto prípade existuje limit.

Keďže funkcia nie je zhora ohraničená, potom pre ľubovoľné číslo M existuje argument , pre ktorý
.

Keďže funkcia neklesá, potom pre . Potom o .

Takže pre všetky existuje číslo , takže
v .
To znamená, že limit v je (pozri "Definície jednostranných nekonečných limitov v nekonečne").

Funkcia sa nezvýši

Teraz zvážte prípad, keď sa funkcia nezvyšuje. Ako je uvedené vyššie, môžete zvážiť každú možnosť samostatne. Ale hneď ich zakryjeme. Na to používame. Dokážme, že v tomto prípade existuje limit.

Zvážte konečnú dolnú hranicu množiny funkčných hodnôt:
.
Tu B môže byť buď konečné číslo, alebo bod v nekonečne. Podľa definície presného infimu sú splnené tieto podmienky:
;
pre akékoľvek okolie bodu B existuje argument, pre ktorý
.
Podľa podmienky vety, . Preto .

Keďže funkcia sa nezvýši, potom pre . Odvtedy
v .
Alebo
v .
Ďalej si všimneme, že nerovnosť definuje ľavé prepichnuté okolie bodu b .

Zistili sme teda, že pre každé okolie bodu existuje také prepichnuté ľavé okolie bodu b, že
v .
To znamená, že limit vľavo v bode b je:

(pozri univerzálnu definíciu limity funkcie podľa Cauchyho).

Limit v bode a

Teraz ukážme, že v bode a je limita a nájdime jej hodnotu.

Uvažujme o funkcii. Podľa podmienky vety je funkcia monotónna pre . Nahraďte premennú x za - x (alebo urobte substitúciu a potom nahraďte premennú t za x ). Potom je funkcia monotónna pre . Násobenie nerovností o -1 a zmenou ich poradia dospejeme k záveru, že funkcia je monotónna pre .

Podobným spôsobom sa dá ľahko ukázať, že ak neklesá, tak nerastie. Potom, podľa toho, čo bolo dokázané vyššie, existuje hranica
.
Ak sa nezvýši, tak sa nezníži. V tomto prípade existuje limit
.

Teraz zostáva ukázať, že ak existuje limita funkcie v , potom existuje limita funkcie v , a tieto limity sú rovnaké:
.

Predstavme si notáciu:
(1) .
Vyjadrime f pomocou g :
.
Vezmite ľubovoľné kladné číslo. Nech existuje epsilon okolie bodu A . Okolie Epsilon je definované pre konečné aj nekonečné hodnoty A (pozri „Okolie bodu“). Keďže existuje limita (1), potom podľa definície limity pre každú existuje taká, že
v .

Nech a je konečné číslo. Vyjadrime ľavé prepichnuté okolie bodu -a pomocou nerovností:
v .
Nahradme x za -x a vezmime do úvahy, že:
v .
Posledné dve nerovnosti definujú prepichnuté pravé okolie bodu a . Potom
v .

Nech a je nekonečné číslo, . Opakujeme diskusiu.
v ;
v ;
v ;
v .

Zistili sme teda, že pre každú existuje taká, že
v .
Znamená to, že
.

Veta bola dokázaná.

Na množine A z domény D(f) budeme volať funkciu y=f(x) ZAHRNUTÉ (DNO), ak také číslo existuje. M , že pre ľubovoľné x z tohto nastavte podmienku

Pomocou logických symbolov možno definíciu zapísať takto:

f(x) – ohraničené zhora na sade

(f(x) – ohraničené zospodu na scéne

Do úvahy sa berú aj funkcie ohraničené v absolútnej hodnote alebo jednoducho ohraničené.

Funkciu BOUNDED na množine A zavoláme z definičného oboru, ak existuje kladné číslo M také, že

V jazyku logických symbolov

f(x) – obmedzené na súprave

Funkcia, ktorá nie je ohraničená, sa nazýva neohraničená. Vieme, že definície dané negáciou majú malý obsah. Na formulovanie tohto tvrdenia ako definície používame vlastnosti kvantifikátorových operácií (3.6) a (3.7). Potom odmietnutie ohraničenosti funkcie v jazyku logických symbolov poskytne:

f(x) – obmedzené na súprave

Získaný výsledok nám umožňuje sformulovať nasledujúcu definíciu.

Funkcia sa nazýva NEOBMEDZENÁ na množine A, ktorá patrí do definičného oboru funkcie, ak na tejto množine pre ľubovoľné kladné číslo M existuje taká hodnota argumentu x , že hodnota bude stále prevyšovať hodnotu M, teda .

Ako príklad zvážte funkciu

Je definovaný na celej reálnej osi. Ak vezmeme segment [–2;1] (množina A), bude na ňom ohraničený zhora aj zdola.

V skutočnosti, aby sme ukázali, že je ohraničený zhora, musíme zvážiť predikát

a ukážte, že existuje (existuje) M tak, že pre všetky x prijaté na segmente [–2;1] bude platiť

Nájsť takého M nie je ťažké. Môžeme predpokladať M = 7, kvantifikátor existencie znamená nájsť aspoň jednu hodnotu M. Prítomnosť takéhoto M potvrdzuje skutočnosť, že funkcia na segmente [–2;1] je zhora ohraničená.

Aby sme dokázali jeho ohraničenosť zdola, musíme zvážiť predikát

Hodnota M, ktorá zabezpečuje pravdivosť tohto predikátu, je napríklad M = -100.

Dá sa dokázať, že funkcia bude ohraničená aj modulo: pre všetky x zo segmentu [–2;1] sa hodnoty funkcie zhodujú s hodnotami , preto ako M môžeme vziať , napríklad predchádzajúca hodnota M = 7.

Ukážme, že tá istá funkcia, ale na intervale , bude neohraničená, tj.

Ak chcete ukázať, že takéto x existuje, zvážte tento výrok

Vyhľadaním požadovaných hodnôt x medzi kladnými hodnotami argumentu dostaneme

To znamená, že bez ohľadu na to, aké pozitívne Mwe vezmeme, hodnoty x zabezpečujú splnenie nerovnosti

sa získajú z pomeru.

Ak vezmeme do úvahy funkciu na celej reálnej osi, môžeme ukázať, že je neobmedzená v absolútnej hodnote.

Naozaj, z nerovnosti

To znamená, že bez ohľadu na to, aké veľké je kladné M, alebo zabezpečí splnenie nerovnosti .

EXTRÉMNA FUNKCIA.

Funkcia má v bode s miestne maximum (minimum), ak existuje také okolie tohto bodu, že pre X¹ s toto okolie spĺňa nerovnosť

najmä, že extrémny bod môže byť iba vnútorným bodom medzery a musí v ňom byť definovaná f(x). Možné prípady absencie extrému sú znázornené na obr. 8.8.

Ak sa funkcia v určitom intervale zvyšuje (klesá) a v určitom intervale klesá (zvyšuje sa), potom bod s je miestny maximálny (minimálny) bod.

Neprítomnosť maxima funkcie f(x) v bode s možno formulovať takto:

_______________________

f(x) má maximum v c

To znamená, že ak bod c nie je lokálnym maximálnym bodom, potom bez ohľadu na to, aké okolie obsahuje bod c ako vnútorné, existuje aspoň jedna hodnota x, ktorá sa nerovná c, pre ktorú platí . Ak teda v bode c nie je maximum, potom v tomto bode nemusí byť extrém vôbec, alebo to môže byť minimálny bod (obr. 8.9).

Koncept extrému poskytuje komparatívne hodnotenie hodnoty funkcie v akomkoľvek bode vo vzťahu k blízkym. Podobné porovnanie funkčných hodnôt je možné vykonať pre všetky body určitého intervalu.

NAJVÄČŠIA (MINIMÁLNA) hodnota funkcie v množine je jej hodnota v bode z tejto množiny tak, že – v . Najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne vo vnútornom bode segmentu a najmenšia – na jeho ľavom konci.

Na určenie najväčšej (najmenšej) hodnoty funkcie danej na segmente je potrebné vybrať najväčšie (najmenšie) číslo spomedzi všetkých hodnôt jej maxím (minimál), ako aj hodnôt získaných pri konce intervalu. Bude to najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie. Toto pravidlo bude špecifikované neskôr.

Problém hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie na otvorenom intervale nie je vždy ľahko vyriešený. Napríklad funkcia

v intervale (obr. 8.11) ich nemá.

Uistime sa napríklad, že táto funkcia nemá najväčšiu hodnotu. Vzhľadom na monotónnosť funkcie možno skutočne tvrdiť, že bez ohľadu na to, ako blízko nastavíme hodnoty x naľavo od jednoty, bude existovať ďalšie x, v ktorom budú hodnoty funkcie väčšie ako jeho hodnoty v daných pevných bodoch, ale stále menšie ako jednota.

Lekcia a prezentácia na tému: "Vlastnosti funkcie. Zvýšenie a zníženie funkcie"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 9
Interaktívna študijná príručka pre 9. ročník „Pravidlá a cvičenia z geometrie“
Elektronická učebnica "Zrozumiteľná geometria" pre ročníky 7-9

Chlapci, pokračujeme v štúdiu číselných funkcií. Dnes sa zameriame na takú tému, ako sú vlastnosti funkcií. Funkcie majú veľa vlastností. Pamätajte si, aké vlastnosti sme nedávno študovali. Presne tak, rozsah a rozsah, sú jednou z kľúčových vlastností. Nikdy na ne nezabúdajte a pamätajte, že funkcia má tieto vlastnosti vždy.

V tejto časti definujeme niektoré vlastnosti funkcií. Poradie, v akom ich budeme určovať, odporúčam dodržať pri riešení problémov.

Funkcia stúpajúca a klesajúca

Prvou vlastnosťou, ktorú zadefinujeme, je zvýšenie a zníženie funkcie.

Pojmy „zvýšenie“ a „zníženie“ funkcie sú veľmi ľahko pochopiteľné, ak sa pozorne pozriete na grafy funkcie. Pre rastúcu funkciu: ideme akosi do kopca, pre klesajúcu funkciu, respektíve ideme dole. Všeobecná forma Zvyšovacie a klesajúce funkcie sú uvedené v grafoch nižšie.

Zvýšenie a zníženie funkcie sa všeobecne nazýva monotónnosť. To znamená, že našou úlohou je nájsť intervaly klesajúcich a rastúcich funkcií. Vo všeobecnom prípade je to formulované takto: nájdite intervaly monotónnosti alebo preskúmajte funkciu monotónnosti.

Preskúmajte monotónnosť funkcie $y=3x+2$.
Riešenie: Skontrolujte funkciu pre ľubovoľné x1 a x2 a nechajte x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Pretože, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Obmedzenie funkcie

O funkcii $y=f(x)$ sa hovorí, že je zdola ohraničená na množine X⊂D(f), ak existuje číslo a také, že pre ľubovoľné xϵX je nerovnosť f(x)< a.

O funkcii $y=f(x)$ sa hovorí, že je zhora ohraničená na množine X⊂D(f), ak existuje číslo a také, že pre ľubovoľné xϵX je nerovnosť f(x)< a.

Ak interval X nie je uvedený, potom sa predpokladá, že funkcia je obmedzená v celej oblasti definície. Funkcia ohraničená hore aj dole sa nazýva ohraničená.

Obmedzenie funkcie je ľahko čitateľné z grafu. Je možné nakresliť priamku
$y=a$ a ak je funkcia vyššia ako tento riadok, tak je ohraničená zdola. Ak nižšie, tak respektíve vyššie. Nižšie je uvedený graf funkcie s dolnou hranicou. Rozvrh obmedzená funkcia Chlapci, skúste sa nakresliť.

Preskúmajte ohraničenosť funkcie $y=\sqrt(16-x^2)$.
Riešenie: Druhá odmocnina nejakého čísla je väčšia ako jedna nula. Je zrejmé, že naša funkcia je tiež väčšia alebo rovná nule, to znamená, že je zdola ohraničená.
Odmocninu môžeme extrahovať iba z nezáporného čísla, potom $16-x^2≥0$.
Riešením našej nerovnosti bude interval [-4;4]. Na tomto segmente $16-x^2≤16$ alebo $\sqrt(16-x^2)≤4$, ale to znamená ohraničenosť zhora.
Odpoveď: naša funkcia je obmedzená dvoma riadkami $y=0$ a $y=4$.

Najvyššia a najnižšia hodnota

Najmenšia hodnota funkcie y= f(x) na množine Х⊂D(f) je nejaké číslo m, takže:

b) Pre ľubovoľné xϵX platí $f(x)≥f(x0)$.

Najväčšia hodnota funkcie y=f(x) na množine Х⊂D(f) je nejaké číslo m, takže:
a) Existuje nejaké x0 také, že $f(x0)=m$.
b) Pre ľubovoľné xϵX je $f(x)≤f(x0)$ splnené.

Najväčšia a najmenšia hodnota sa zvyčajne označuje y max. a y meno. .

Pojmy ohraničenosť a najväčšia s najmenšou hodnotou funkcie spolu úzko súvisia. Nasledujúce tvrdenia sú pravdivé:
a) Ak existuje najmenšia hodnota funkcie, potom je ohraničená zdola.
b) Ak existuje najvyššia hodnota funkciu, vtedy je zhora ohraničená.
c) Ak funkcia nie je zhora ohraničená, potom neexistuje maximálna hodnota.
d) Ak funkcia nie je ohraničená nižšie, potom najmenšia hodnota neexistuje.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Riešenie: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5 $.
Pre $x=4$ $f(4)=5$, pre všetky ostatné hodnoty má funkcia menšie hodnoty alebo neexistuje, to znamená, že toto je najväčšia hodnota funkcie.
Podľa definície: 9-4x^2+16x≥0$. Poďme nájsť korene štvorcový trojčlen$(2x+1)(2x-9)≥0$. Pri $x=-0.5$ a $x=4.5$ funkcia zmizne, vo všetkých ostatných bodoch je väčšia ako nula. Potom je podľa definície najmenšia hodnota funkcie nula.
Odpoveď: y max. = 5 a y min. =0.

Chlapci, študovali sme aj koncepty konvexnosti funkcie. Pri riešení niektorých problémov môžeme túto vlastnosť potrebovať. Táto vlastnosť sa dá ľahko určiť aj pomocou grafov.

Funkcia je konvexná nadol, ak sú spojené ľubovoľné dva body grafu pôvodnej funkcie a graf funkcie je pod čiarou spájajúcou body.

Funkcia je konvexná smerom nahor, ak sú spojené ľubovoľné dva body grafu pôvodnej funkcie a graf funkcie je nad čiarou spájajúcou body.

Funkcia je spojitá, ak graf našej funkcie nemá žiadne nespojitosti, ako napríklad graf funkcie vyššie.

Ak chcete nájsť vlastnosti funkcie, postupnosť vyhľadávania vlastností je nasledovná:
a) Oblasť definície.
b) Monotónnosť.
c) obmedzenie.
d) Najväčšia a najmenšia hodnota.
e) Kontinuita.
f) Rozsah hodnôt.

Nájdite vlastnosti funkcie $y=-2x+5$.
Riešenie.
a) Definičná oblasť D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotónnosť. Skontrolujeme akékoľvek hodnoty x1 a x2 a necháme x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Pretože x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) obmedzenie. Je zrejmé, že funkcia nie je obmedzená.
d) Najväčšia a najmenšia hodnota. Keďže funkcia nie je ohraničená, neexistuje žiadna maximálna ani minimálna hodnota.
e) Kontinuita. Graf našej funkcie nemá žiadne medzery, potom je funkcia spojitá.
f) Rozsah hodnôt. E(y)=(-∞;+∞).

Úlohy o vlastnostiach funkcie pre samostatné riešenie