najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik ključni su aritmetički koncepti koji vam omogućuju rad bez napora obični razlomci. LCM i najčešće se koriste za pronalaženje zajedničkog nazivnika nekoliko razlomaka.

Osnovni koncepti

Djelitelj cijelog broja X je drugi cijeli broj Y kojim je X djeljiv bez ostatka. Na primjer, djelitelj broja 4 je 2, a 36 je 4, 6, 9. Višekratnik cijelog broja X je broj Y koji je djeljiv s X bez ostatka. Na primjer, 3 je višekratnik broja 15, a 6 je višekratnik broja 12.

Za svaki par brojeva možemo pronaći njihove zajedničke djelitelje i višekratnike. Na primjer, za 6 i 9, zajednički višekratnik je 18, a zajednički djelitelj je 3. Očito, parovi mogu imati nekoliko djelitelja i višekratnika, tako da se u izračunima koriste najveći djelitelj GCD-a i najmanji višekratnik LCM-a. .

Najmanji djelitelj nema smisla jer je za svaki broj uvijek jedan. Najveći višekratnik je također besmislen, jer niz višekratnika teži beskonačnosti.

Pronalaženje GCD-a

Postoje mnoge metode za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja, od kojih su najpoznatije:

• sekvencijalno nabrajanje djelitelja, odabir zajedničkih za par i traženje najvećeg od njih;
• rastavljanje brojeva na nedjeljive faktore;
• Euklidov algoritam;
• binarni algoritam.

Danas u obrazovne ustanove Najpopularnije metode su dekompozicija na glavni faktori i Euklidov algoritam. Potonji se pak koristi u rješavanju Diofantovih jednadžbi: traženje GCD-a potrebno je za provjeru mogućnosti rješavanja jednadžbe u cijelim brojevima.

Pronalaženje NOO-a

Najmanji zajednički višekratnik također je točno određen iterativnim nabrajanjem ili faktoriziranjem na nedjeljive faktore. Osim toga, lako je pronaći LCM ako je najveći djelitelj već određen. Za brojeve X i Y, LCM i GCD povezani su sljedećim odnosom:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Na primjer, ako je gcd(15,18) = 3, tada je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najočitija upotreba LCM-a je pronaći zajednički nazivnik, koji je najmanji zajednički višekratnik zadani razlomci.

Koprosti brojevi

Ako par brojeva nema zajedničkih djelitelja, onda se takav par naziva međusobno prostim. GCM za takve parove uvijek je jednak jedinici, a na temelju povezanosti djelitelja i višekratnika, GCM za koproste je jednak njihovom umnošku. Na primjer, brojevi 25 i 28 su prosti, jer nemaju zajedničkih djelitelja, a LCM(25, 28) = 700, što odgovara njihovom umnošku. Bilo koja dva nedjeljiva broja uvijek će biti međusobno prosti.

Zajednički djelitelj i višestruki kalkulator

S našim kalkulatorom možete izračunati GCD i LCM za bilo koji broj brojeva koje možete izabrati. Zadaci za izračunavanje zajedničkih djelitelja i višekratnika nalaze se u aritmetici 5. i 6. razreda, no GCD i LCM su ključni pojmovi matematike i koriste se u teoriji brojeva, planimetriji i komunikativnoj algebri.

Primjeri iz stvarnog života

Zajednički nazivnik razlomaka

Najmanji zajednički višekratnik koristi se kada se nalazi zajednički nazivnik nekoliko razlomaka. Pretpostavimo da je u aritmetičkom problemu potrebno zbrojiti 5 razlomaka:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Za zbrajanje razlomaka, izraz se mora svesti na zajednički nazivnik, što se svodi na problem pronalaženja LCM-a. Da biste to učinili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti nazivnika u odgovarajuće ćelije. Program će izračunati LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sada morate izračunati dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definirani kao omjer LCM i nazivnika. Dakle, dodatni množitelji bi izgledali ovako:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Nakon toga pomnožimo sve razlomke s odgovarajućim dodatnim faktorom i dobijemo:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takve razlomke možemo lako zbrojiti i dobiti rezultat u obliku 159/360. Smanjujemo razlomak za 3 i vidimo konačni odgovor - 53/120.

Rješenje linearnih diofantovih jednadžbi

Linearne Diofantove jednadžbe su izrazi oblika ax + by = d. Ako je omjer d / gcd(a, b) cijeli broj, onda je jednadžba rješiva ​​u cijelim brojevima. Provjerimo nekoliko jednadžbi za mogućnost cjelobrojnog rješenja. Prvo provjerite jednadžbu 150x + 8y = 37. Pomoću kalkulatora nalazimo gcd (150,8) = 2. Podijelite 37/2 = 18,5. Broj nije cijeli broj, stoga jednadžba nema cjelobrojne korijene.

Provjerimo jednadžbu 1320x + 1760y = 10120. Upotrijebite kalkulator da nađete gcd(1320, 1760) = 440. Podijelite 10120/440 = 23. Kao rezultat, dobivamo cijeli broj, stoga je Diofantova jednadžba rješiva ​​u cjelobrojnim koeficijentima .

Zaključak

GCD i LCM igraju važnu ulogu u teoriji brojeva, a sami koncepti naširoko se koriste u raznim područjima matematike. Koristite naš kalkulator za izračun najvećih djelitelja i najmanjih višekratnika bilo kojeg broja brojeva.

Materijal prikazan u nastavku logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pažnju posvetiti rješavanju primjera. Pokažimo prvo kako se LCM dvaju brojeva izračunava u smislu GCD tih brojeva. Zatim razmislite o pronalaženju najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva na proste faktore. Nakon toga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva, a također obratiti pažnju na izračun LCM-a negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Jedan način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik temelji se na odnosu između LCM i GCD. Postojeći odnos između LCM i GCD omogućuje vam izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju pozitivnih cijelih brojeva kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Razmotrite primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.

Primjer.

Odredi najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70 .

Riješenje.

U ovom primjeru a=126 , b=70 . Upotrijebimo odnos između LCM i GCD izražen formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM tih brojeva prema napisanoj formuli.

Pronađite gcd(126, 70) pomoću Euklidovog algoritma: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Odgovor:

LCM(126, 70)=630.

Primjer.

Što je LCM(68, 34)?

Riješenje.

Jer 68 je ravnomjerno djeljiv s 34 , tada je gcd(68, 34)=34 . Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Odgovor:

LCM(68, 34)=68.

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore

Drugi način pronalaska najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na rastavljanju brojeva na proste faktore. Ako napravimo umnožak svih prostih faktora tih brojeva, nakon čega iz tog umnoška isključimo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima tih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku tih brojeva.

Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM slijedi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora uključenih u proširenja brojeva a i b. Zauzvrat, gcd(a, b) jednak je proizvodu svi prosti faktori koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju GCD-a pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore).

Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite umnožak svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog umnoška izuzimamo sve faktore koji su prisutni i u razvitku broja 75 i u razvitku broja 210 (takvi su faktori 3 i 5), tada će umnožak imati oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog umnoška jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Primjer.

Nakon rastavljanja brojeva 441 i 700 na proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.

Riješenje.

Rastavimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:

Dobivamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Sada napravimo umnožak svih faktora uključenih u proširenja ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Isključimo iz ovog umnoška sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Na ovaj način, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odgovor:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM-a pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Pribrojimo li faktore koji nedostaju iz rastavljanja broja b faktorima iz rastavljanja broja a, tada će vrijednost dobivenog umnoška biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja na proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz rastavljanja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz rastavljanja broja 210, dobivamo umnožak 2 3 5 5 7 čija je vrijednost LCM(75 , 210) .

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Riješenje.

Prvo dobivamo rastavljanje brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz rastavljanja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz rastavljanja broja 648, dobivamo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.

Odgovor:

LCM(84, 648)=4 536 .

Pronalaženje LCM tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dvaju brojeva. Prisjetite se odgovarajućeg teorema koji daje način da se pronađe LCM tri ili više brojeva.

Teorema.

Neka su zadani pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiriju brojeva.

Primjer.

Odredite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.

Riješenje.

U ovom primjeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Prvo nalazimo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Odnosno, m 2 =1 260 .

Sada nalazimo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga preko gcd(1 260, 54) , koji je također određen Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18 , odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Odnosno, m 3 \u003d 3 780.

Preostalo pronaći m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) pomoću Euklidovog algoritma: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prema tome, gcd(3 780, 250)=10, odakle je gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Odnosno, m 4 \u003d 94 500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik originalna četiri broja je 94 500.

Odgovor:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

U mnogim slučajevima, najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva lako se pronalazi korištenjem prostih faktora zadanih brojeva. U ovom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički višekratnik više brojeva jednak je umnošku koji se sastavlja na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja zbrajaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja treći broj se dodaje dobivenim faktorima, i tako dalje.

Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću rastavljanja brojeva na proste faktore.

Primjer.

Odredi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.

Riješenje.

Prvo, dobivamo proširenja ovih brojeva na proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prostih faktora) i 143=11 13 .

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2 , 2 , 3 i 7 ) trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6 . Proširenje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, budući da su i 2 i 3 već prisutni u razvitku prvog broja 84 . Nadalje faktorima 2, 2, 3 i 7 dodamo faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržan u njemu. Na kraju faktorima 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 pribrajamo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143 . Dobivamo umnožak 2 2 2 2 3 7 11 13 koji je jednak 48 048 .

Drugi broj: b=

Razdjelnik znamenki Nema razdjelnika razmaka " ´

Proizlaziti:

Najveći zajednički djelitelj gcd( a,b)=6

Najmanji zajednički višekratnik LCM( a,b)=468

Najveći prirodni broj, kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka, naziva se najveći zajednički djelitelj(gcd) ovih brojeva. Označava se kao gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ili hcf(a,b).

Najmanji zajednički višekratnik(LCM) dva cijela broja a i b je najmanji prirodni broj koji je djeljiv s a i b bez ostatka. Označava se kao LCM(a,b) ili lcm(a,b).

Pozivaju se cijeli brojevi a i b istoprostorni ako nemaju zajedničkih djelitelja osim +1 i −1.

Najveći zajednički djelitelj

Neka su dana dva pozitivna broja a 1 i a 2 1). Potrebno je pronaći zajednički djelitelj ovih brojeva, tj. naći takav broj λ , koji dijeli brojeve a 1 i a 2 u isto vrijeme. Opišimo algoritam.

1) U ovom će članku riječ broj značiti cijeli broj.

Neka a 1 ≥ a 2 i neka

gdje m 1 , a 3 su neki cijeli brojevi, a 3 <a 2 (ostatak od dijeljenja a 1 uključeno a 2 bi trebalo biti manje a 2).

Hajdemo to pretvarati λ dijeli a 1 i a 2, dakle λ dijeli m 1 a 2 i λ dijeli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. tvrdnja članka "Djeljivost brojeva. Znak djeljivosti"). Slijedi da svaki zajednički djelitelj a 1 i a 2 je zajednički djelitelj a 2 i a 3 . Vrijedi i obrnuto ako λ zajednički djelitelj a 2 i a 3, dakle m 1 a 2 i a 1 =m 1 a 2 +a 3 se također dijele na λ . Odatle zajednički djelitelj a 2 i a 3 je također zajednički djelitelj a 1 i a 2. Jer a 3 <a 2 ≤a 1 , onda možemo reći da je rješenje problema nalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 sveo na jednostavniji problem nalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 2 i a 3 .

Ako a a 3 ≠0, onda možemo podijeliti a 2 uključeno a 3 . Zatim

,

gdje m 1 i a 4 su neki cijeli brojevi, ( a 4 ostatak dijeljenja a 2 uključeno a 3 (a 4 <a 3)). Sličnim razmišljanjem dolazimo do zaključka da zajednički djelitelji brojeva a 3 i a 4 je isto što i uobičajeni djelitelj brojeva a 2 i a 3 , a također i sa zajedničkim djeliteljima a 1 i a 2. Jer a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... brojevi koji se stalno smanjuju, a budući da postoji konačan broj cijelih brojeva između a 2 i 0, zatim na nekom koraku n, ostatak dijeljenja a n na a n+1 će biti jednako nuli ( a n+2=0).

.

Svaki zajednički djelitelj λ brojevima a 1 i a 2 je također djelitelj brojeva a 2 i a 3 , a 3 i a 4 , .... a n i a n+1. Vrijedi i obrnuto, zajednički djelitelji brojeva a n i a n+1 su također djelitelji brojeva a n−1 i a n , .... , a 2 i a 3 , a 1 i a 2. Ali zajednički djelitelj a n i a n+1 je broj a n+1, jer a n i a n+1 su djeljivi sa a n+1 (sjetite se toga a n+2=0). Slijedom toga a n+1 je također djelitelj brojeva a 1 i a 2 .

Imajte na umu da broj a n+1 je najveći djelitelj broja a n i a n+1 , budući da je najveći djelitelj a n+1 je sam a n+1. Ako a a n + 1 može se predstaviti kao umnožak cijelih brojeva, tada su ti brojevi također uobičajeni djelitelji brojeva a 1 i a 2. Broj a n+1 se nazivaju najveći zajednički djelitelj brojevima a 1 i a 2 .

Brojke a 1 i a 2 mogu biti i pozitivni i negativni brojevi. Ako je jedan od brojeva jednak nuli, tada će najveći zajednički djelitelj tih brojeva biti jednak apsolutnoj vrijednosti drugog broja. Najveći zajednički djelitelj brojeva nula nije definiran.

Gornji algoritam se zove Euklidov algoritam pronaći najveći zajednički djelitelj dvaju cijelih brojeva.

Primjer nalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva

Odredi najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva 630 i 434.

• Korak 1. Podijelite broj 630 sa 434. Ostatak je 196.
• Korak 2. Podijelite broj 434 sa 196. Ostatak je 42.
• Korak 3. Podijelite broj 196 sa 42. Ostatak je 28.
• Korak 4. Podijelite broj 42 sa 28. Ostatak je 14.
• Korak 5. Podijelite broj 28 sa 14. Ostatak je 0.

U koraku 5, ostatak dijeljenja je 0. Stoga je najveći zajednički djelitelj brojeva 630 i 434 14. Primijetite da su brojevi 2 i 7 također djelitelji brojeva 630 i 434.

Koprosti brojevi

Definicija 1. Neka je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 je jednako jedan. Zatim se pozivaju ti brojevi međusobno prosti brojevi koji nemaju zajednički djelitelj.

Teorema 1. Ako a a 1 i a 2 relativno prosta broja, i λ neki broj, zatim bilo koji zajednički djelitelj brojeva λa 1 i a 2 je također zajednički djelitelj brojeva λ i a 2 .

Dokaz. Razmotrimo Euklidov algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 (vidi gore).

.

Iz uvjeta teorema proizlazi da najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, i stoga a n i a n+1 je 1. tj. a n+1=1.

Pomnožimo sve te jednakosti s λ , onda

.

Neka zajednički djelitelj a 1 λ i a 2 je δ . Zatim δ ulazi kao faktor u a 1 λ , m 1 a 2 λ i u a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Vidi "Djeljivost brojeva", izjava 2). Unaprijediti δ ulazi kao faktor u a 2 λ i m 2 a 3 λ , pa stoga ulazi kao faktor u a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Ovakvim razmišljanjem uvjerili smo se da δ ulazi kao faktor u a n−1 λ i m n−1 a n λ , a samim tim i u a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Jer a n+1 =1, tada δ ulazi kao faktor u λ . Otuda broj δ je zajednički djelitelj brojeva λ i a 2 .

Razmotrimo posebne slučajeve teorema 1.

Posljedica 1. Neka a i c prosti brojevi su relativni b. Zatim njihov proizvod ak je prost broj u odnosu na b.

Stvarno. Iz teorema 1 ak i b imaju iste zajedničke djelitelje kao c i b. Ali brojke c i b koprime, tj. imaju jedan jedini zajednički djelitelj 1. Zatim ak i b također imaju jedan zajednički djelitelj 1. Dakle ak i b međusobno jednostavni.

Posljedica 2. Neka a i b međusobno prosti brojevi i neka b dijeli ak. Zatim b dijeli i k.

Stvarno. Iz uvjeta tvrdnje ak i b imaju zajednički djelitelj b. Na temelju teorema 1, b mora biti zajednički djelitelj b i k. Slijedom toga b dijeli k.

Korolar 1 može se generalizirati.

Posljedica 3. 1. Neka brojevi a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m su prosti u odnosu na broj b. Zatim a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , umnožak ovih brojeva je prost u odnosu na broj b.

2. Neka imamo dva reda brojeva

tako da je svaki broj u prvom redu prost u odnosu na svaki broj u drugom redu. Zatim proizvod

Potrebno je pronaći takve brojeve koji su djeljivi sa svakim od tih brojeva.

Ako je broj djeljiv sa a 1, onda izgleda sa 1, gdje s neki broj. Ako a q je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, dakle

gdje s 1 je neki cijeli broj. Zatim

je najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2 .

a 1 i a 2 međusobno prosti, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2:

Pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Iz navedenog slijedi da svaki višekratnik brojeva a 1 , a 2 , a 3 mora biti višekratnik brojeva ε i a 3 i obrnuto. Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε i a 3 je ε jedan . Nadalje, višekratnik brojeva a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti višekratnik brojeva ε 1 i ačetiri . Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε 1 i a 4 je ε 2. Tako smo saznali da su svi višekratnici brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m podudaraju se s višekratnicima nekog određenog broja ε n , koji se naziva najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva.

U konkretnom slučaju kada brojevi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m međusobno prosti, tada najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 kao što je gore prikazano ima oblik (3). Nadalje, budući da a 3 prosti broj u odnosu na brojeve a 1 , a 2, dakle a 3 je prosti relativni broj a jedan · a 2 (Korolar 1). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 ,a 2 ,a 3 je broj a jedan · a 2 · a 3 . Raspravljajući na sličan način, dolazimo do sljedećih tvrdnji.

Izjava 1. Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je jednako njihovom umnošku a jedan · a 2 · a 3 ··· a m .

Izjava 2. Svaki broj koji je djeljiv sa svakim od međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je također djeljiv njihovim umnoškom a jedan · a 2 · a 3 ··· a m .

Mrežni kalkulator omogućuje vam brzo pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika dva ili bilo kojeg drugog broja brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i NOC

Pronađite GCD i NOC

Pronađeni GCD i NOC: 5806

Kako koristiti kalkulator

• Unesite brojeve u polje za unos
• U slučaju unosa pogrešnih znakova, polje za unos bit će označeno crvenom bojom
• pritisnite gumb "Pronađi GCD i NOC"

Kako unositi brojeve

• Brojevi se unose odvojeni razmacima, točkama ili zarezima
• Duljina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje gcd i lcm dugih brojeva neće biti teško

Što je NOD i NOK?

Najveći zajednički djelitelj više brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi izvorni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj označava se skraćenicom GCD.
Najmanji zajednički višekratnik više brojeva je najmanji broj koji je djeljiv svakim od početnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik označava se skraćenicom NOC.

Kako provjeriti je li broj djeljiv drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali je li jedan broj djeljiv s drugim bez ostatka, možete se poslužiti nekim svojstvima djeljivosti brojeva. Zatim se njihovim kombiniranjem može provjeriti djeljivost po nekim od njih i njihovim kombinacijama.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Znak djeljivosti broja s 2
Da bi se utvrdilo je li broj djeljiv s dva (je li paran), dovoljno je pogledati posljednju znamenku tog broja: ako je jednaka 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 2.
Riješenje: pogledajte zadnju znamenku: 8 znači da je broj djeljiv s dva.

2. Znak djeljivosti broja s 3
Broj je djeljiv s 3 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 3. Stoga, da biste odredili je li broj djeljiv s 3, trebate izračunati zbroj znamenki i provjeriti je li djeljiv s 3. Čak i ako se zbroj znamenki pokazao vrlo velikim, možete ponoviti isti postupak opet.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 3.
Riješenje: brojimo zbroj znamenki: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 3, što znači da je broj djeljiv s tri.

3. Znak djeljivosti broja s 5
Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka nula ili pet.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 5.
Riješenje: pogledajte zadnju znamenku: 8 znači da broj NIJE djeljiv s pet.

4. Znak djeljivosti broja s 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti s tri: broj je djeljiv s 9 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 9.
Riješenje: računamo zbroj znamenki: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 9, što znači da je broj djeljiv s devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći GCD dva broja

Najjednostavniji način izračuna najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva jest pronaći sve moguće djelitelje tih brojeva i odabrati najveći od njih.

Razmotrite ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):

1. Rastavljamo oba broja na faktore: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Nalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
3. Izračunavamo proizvod ovih faktora: 1 2 2 \u003d 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina za pronalaženje najmanjeg višekratnika dvaju brojeva. Prvi način je da možete ispisati prve višekratnike dvaju brojeva, a zatim među njima izabrati takav broj koji će biti zajednički za oba broja, a ujedno i najmanji. A drugi je pronaći GCD ovih brojeva. Razmotrimo to.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati umnožak izvornih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

1. Nađi umnožak brojeva 28 i 36: 28 36 = 1008
2. već se zna da je gcd(28, 36) 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Pronalaženje GCD i LCM za više brojeva

Najveći zajednički djelitelj može se naći za više brojeva, a ne samo za dva. Za to se brojevi za kojima se traži najveći zajednički djelitelj rastavljaju na proste faktore, zatim se pronalazi umnožak zajedničkih prostih faktora tih brojeva. Također, da biste pronašli GCD nekoliko brojeva, možete koristiti sljedeću relaciju: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Slična relacija vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik brojeva: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

1. Prvo rastavimo brojeve na faktore: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2 .
3. Njihov umnožak će dati gcd: 1 2 2 = 4
4. Nađimo sada LCM: za ovo prvo pronađemo LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Da biste pronašli LCM sva tri broja, trebate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Učenici dobivaju puno matematičkih zadataka. Među njima vrlo često postoje zadaci sa sljedećom formulacijom: postoje dvije vrijednosti. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva? Potrebno je biti sposoban za obavljanje takvih zadataka, jer se stečene vještine koriste za rad s razlomcima s različitim nazivnicima. U članku ćemo analizirati kako pronaći LCM i osnovne pojmove.

Prije pronalaska odgovora na pitanje kako pronaći LCM potrebno je definirati pojam višestruke. Najčešće je formulacija ovog koncepta sljedeća: višekratnik neke vrijednosti A je prirodni broj koji će bez ostatka biti djeljiv s A. Dakle, za 4, 8, 12, 16, 20 i tako dalje, sve do potrebnu granicu.

U tom slučaju broj djelitelja za određenu vrijednost može biti ograničen, a višekratnika ima beskonačno mnogo. Tu je i ista vrijednost za prirodne vrijednosti. Ovo je pokazatelj koji se njima dijeli bez ostatka. Nakon što smo se pozabavili konceptom najmanje vrijednosti za određene pokazatelje, prijeđimo na to kako je pronaći.

Pronalaženje NOO-a

Najmanji višekratnik dvaju ili više eksponenata je najmanji prirodni broj koji je u cijelosti djeljiv sa svim zadanim brojevima.

Postoji nekoliko načina da se pronađe takva vrijednost. Razmotrimo sljedeće metode:

1. Ako su brojevi mali, upišite u red sve djeljive s njima. Nastavite tako dok ne pronađete nešto zajedničko među njima. U zapisu se označavaju slovom K. Na primjer, za 4 i 3 najmanji višekratnik je 12.
2. Ako su veliki ili trebate pronaći višekratnik za 3 ili više vrijednosti, tada biste ovdje trebali upotrijebiti drugu tehniku, koja uključuje rastavljanje brojeva na proste faktore. Prvo položite najveći od navedenih, a zatim sve ostale. Svaki od njih ima svoj broj množitelja. Kao primjer, rastavimo 20 (2*2*5) i 50 (5*5*2). Za manji od njih podcrtajte faktore i dodajte najvećem. Rezultat će biti 100, što će biti najmanji zajednički višekratnik gornjih brojeva.
3. Kod pronalaženja 3 broja (16, 24 i 36) principi su isti kao i za druga dva. Proširimo svaki od njih: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. U razlaganje najvećeg nisu ušle samo dvije dvojke iz proširenja broja 16. Zbrajamo ih i dobivamo 144, što je najmanji rezultat za prethodno navedene brojčane vrijednosti.

Sada znamo koja je opća tehnika za pronalaženje najmanje vrijednosti za dvije, tri ili više vrijednosti. Međutim, postoje i privatne metode, pomoć u traženju NOC-a, ako prethodni ne pomognu.

Kako pronaći GCD i NOC.

Privatni načini pronalaženja

Kao i kod svakog matematičkog dijela, postoje posebni slučajevi pronalaženja LCM-ova koji pomažu u određenim situacijama:

• ako je jedan od brojeva djeljiv s ostalima bez ostatka, tada mu je najmanji višekratnik tih brojeva jednak (NOC 60 i 15 jednako je 15);
• Koprosti brojevi nemaju zajedničke proste djelitelje. Njihova najmanja vrijednost jednaka je umnošku tih brojeva. Dakle, za brojeve 7 i 8 to će biti 56;
• isto pravilo vrijedi i za druge slučajeve, uključujući posebne, o kojima se može pročitati u stručnoj literaturi. Tu treba uključiti i slučajeve dekompozicije kompozitnih brojeva, koji su predmet zasebnih članaka, pa čak i doktorskih disertacija.

Posebni slučajevi su rjeđi od standardnih primjera. Ali zahvaljujući njima, možete naučiti kako raditi s frakcijama različitih stupnjeva složenosti. To posebno vrijedi za razlomke., gdje postoje različiti nazivnici.

Neki primjeri

Pogledajmo nekoliko primjera zahvaljujući kojima možete razumjeti princip pronalaženja najmanjeg višekratnika:

1. Nalazimo LCM (35; 40). Prvo postavljamo 35 = 5*7, zatim 40 = 5*8. Najmanjem broju dodamo 8 i dobijemo NOC 280.
2. NOK (45; 54). Postavljamo svaki od njih: 45 = 3*3*5 i 54 = 3*3*6. Dodamo broj 6 na 45. Dobit ćemo NOC jednak 270.
3. Pa, posljednji primjer. Postoje 5 i 4. Za njih ne postoje jednostavni višekratnici, pa će najmanji zajednički višekratnik u ovom slučaju biti njihov umnožak, jednak 20.

Zahvaljujući primjerima, možete razumjeti kako se nalazi NOC, koje su nijanse i koje je značenje takvih manipulacija.

Pronalaženje NOC-a puno je lakše nego što se na prvi pogled čini. Za to se koriste i jednostavna dekompozicija i množenje jednostavnih vrijednosti jedna s drugom.. Sposobnost rada s ovim dijelom matematike pomaže u daljnjem proučavanju matematičkih tema, posebno razlomaka različitih stupnjeva složenosti.

Ne zaboravite povremeno rješavati primjere različitim metodama, to razvija logički aparat i omogućuje vam pamćenje brojnih pojmova. Naučite metode za pronalaženje takvog pokazatelja i moći ćete dobro raditi s ostatkom matematičkih dijelova. Sretno učenje matematike!

Video

Ovaj će vam video pomoći razumjeti i zapamtiti kako pronaći najmanji zajednički višekratnik.