Pronađite brojnik i nazivnik. Razlomak se sastoji od dva broja: broj iznad crte naziva se brojnik, a broj ispod crte naziva se nazivnik. Nazivnik označava ukupno dijelovi na koje je neka cjelina podijeljena, a brojnik je razmatrani broj takvih dijelova.

• Na primjer, u razlomku ½ brojnik je 1, a nazivnik 2.

Odredite nazivnik. Ako dva ili više razlomaka imaju zajednički nazivnik, takvi razlomci imaju isti broj ispod crte, odnosno u ovom slučaju je neka cjelina podijeljena na isti broj dijelova. Zbrajanje razlomaka sa zajedničkim nazivnikom je vrlo jednostavno, jer će nazivnik ukupnog razlomka biti isti kao nazivnik razlomaka koji se zbrajaju. Na primjer:

• Razlomci 3/5 i 2/5 imaju zajednički nazivnik 5.
• Razlomci 3/8, 5/8, 17/8 imaju zajednički nazivnik 8.

Odredi brojnike. Za zbrajanje razlomaka sa zajedničkim nazivnikom zbrojite njihove brojnike i rezultat napišite iznad nazivnika zbrojenih razlomaka.

• Razlomci 3/5 i 2/5 imaju brojnike 3 i 2.
• Razlomci 3/8, 5/8, 17/8 imaju brojnike 3, 5, 17.

Zbrojite brojnike. U zadatku 3/5 + 2/5 zbrojite brojnike 3 + 2 = 5. U zadatku 3/8 + 5/8 + 17/8 zbrojite brojnike 3 + 5 + 17 = 25.

Zapišite ukupno. Upamtite da kod zbrajanja razlomaka sa zajedničkim nazivnikom on ostaje nepromijenjen - zbrajaju se samo brojnici.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Pretvorite razlomak ako je potrebno. Ponekad se razlomak može napisati kao cijeli broj, a ne kao običan ili decimalni razlomak. Na primjer, razlomak 5/5 lako se pretvara u 1, budući da je svaki razlomak čiji je brojnik jednak nazivniku 1. Zamislite pitu izrezanu na tri dijela. Ako pojedete sva tri dijela, pojest ćete cijelu (jednu) pitu.

• Bilo koji obični razlomak može se pretvoriti u decimalu; Da biste to učinili, podijelite brojnik s nazivnikom. Na primjer, razlomak 5/8 može se napisati ovako: 5 ÷ 8 = 0,625.

Pojednostavite razlomak ako je moguće. Pojednostavljeni razlomak je razlomak čiji brojnik i nazivnik nemaju zajednički djelitelj.

• Na primjer, razmotrite razlomak 3/6. Ovdje ima i brojnik i nazivnik zajednički djelitelj, jednako 3, odnosno da su brojnik i nazivnik potpuno djeljivi s 3. Stoga se razlomak 3/6 može napisati na sljedeći način: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Ako je potrebno, pretvorite nepravi razlomak u mješoviti razlomak (mješoviti broj). Za nepravilan razlomak, brojnik je veći od nazivnika, na primjer, 25/8 (za pravilan razlomak, brojnik je manji od nazivnika). Nepravi razlomak se može pretvoriti u mješoviti razlomak, koji se sastoji od cijelog (odnosno cijelog broja) i razlomka (odnosno pravog razlomka). Da biste pretvorili nepravilan razlomak kao što je 25/8 u mješoviti broj, slijedite ove korake:

• Podijelite brojnik nepravog razlomka s njegovim nazivnikom; upišite nepotpuni količnik (cijeli odgovor). U našem primjeru: 25 ÷ 8 = 3 plus neki ostatak. NA ovaj slučaj cijeli odgovor je cijeli dio mješovitog broja.
• Pronađite ostatak. U našem primjeru: 8 x 3 = 24; oduzmite rezultat od izvornog brojnika: 25 - 24 \u003d 1, odnosno ostatak je 1. U ovom slučaju, ostatak je brojnik frakcijskog dijela mješovitog broja.
• Napiši mješoviti razlomak. Nazivnik se ne mijenja (odnosno, jednak je nazivniku nepravog razlomka), pa je 25/8 = 3 1/8.

Sadržaj lekcije

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima

Zbrajanje razlomaka ima dvije vrste:

1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Počnimo sa zbrajanjem razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, zbrojimo razlomke i . Brojnike zbrajamo, a nazivnik ostavljamo nepromijenjenim:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Dodate li pizzu na pizzu, dobit ćete pizzu:

Primjer 2 Zbrojite razlomke i .

Odgovor je nepravi razlomak. Ako dođe kraj zadatka, tada je uobičajeno riješiti se nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli broj se lako dodjeljuje - dva podijeljeno s dva jednako je jedan:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na dva dijela. Ako na pizzu dodate više pizza, dobit ćete jednu cijelu pizzu:

Primjer 3. Zbrojite razlomke i .

Opet zbrojite brojnike, a nazivnik ostavite nepromijenjenim:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako dodate više pizza na pizzu, dobit ćete pizze:

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojnike je potrebno zbrojiti, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim:

Pokušajmo slikom prikazati naše rješenje. Ako dodate pizze na pizzu i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima nije teško. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim;

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Kod zbrajanja razlomaka, nazivnici tih razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu zbrajati odjednom, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina svođenja razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, jer se ostale metode mogu činiti kompliciranima za početnika.

Bit ove metode leži u činjenici da se traži prvi (LCM) od nazivnika obaju razlomaka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Isto rade i s drugim razlomkom - LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Zatim se brojnici i nazivnici razlomaka množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati.

Primjer 1. Zbrojite razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Najprije podijelimo LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijemo prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.

Dobiveni broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da bismo to učinili, napravimo malu kosu liniju iznad razlomka i zapišemo pronađeni dodatni faktor iznad njega:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo s nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.

Dobiveni broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga drugom razlomku. Opet napravimo malu kosu crtu iznad drugog razlomka i iznad njega napišemo pronađeni dodatni faktor:

Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pogledajte pažljivo do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati. Dovršimo ovaj primjer do kraja:

Time se primjer završava. Za dodavanje ispada.

Pokušajmo slikom prikazati naše rješenje. Ako na pizzu dodate pizze, dobit ćete jednu cijelu pizzu i još jednu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik može se prikazati i slikom. Dovodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika bit će što će ovaj put biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik).

Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri komada od šest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od šest). Spajanjem ovih dijelova zajedno dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netočan, pa smo u njemu istaknuli cjelobrojni dio. Rezultat je bio (jedna cijela pizza i još jedna šesta pizza).

Imajte na umu da smo ovaj primjer naslikali previše detalja. NA obrazovne ustanove nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM oba nazivnika i dodatnih faktora uz njih, kao i brzo pomnožiti dodatne faktore koje su pronašli vaši brojnici i nazivnici. Dok smo u školi, morali bismo napisati ovaj primjer na sljedeći način:

Ali postoji i druga strana medalje. Ako se u prvim fazama učenja matematike ne naprave detaljne bilješke, onda pitanja te vrste “Odakle dolazi taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u sasvim druge razlomke? «.

Kako biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete upotrijebiti sljedeće upute korak po korak:

1. Odredite LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
4. Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se ispostavilo da je odgovor netočan razlomak, odaberite njegov cijeli dio;

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Poslužimo se gornjim uputama.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Odredite LCM nazivnika obaju razlomaka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak

Podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobivamo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobivamo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka svojim dodatnim faktorima

Množimo brojnike i nazivnike našim dodatnim faktorima:

Korak 4. Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje još zbrojiti ove razlomke. Zbrojiti:

Dodavanje nije stalo u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, prenosi se u sljedeći red, a potrebno je na kraju prvog i na početku novog reda staviti znak jednakosti (=). Znak jednakosti u drugom retku označava da se radi o nastavku izraza koji je bio u prvom retku.

Korak 5. Ako se ispostavilo da je odgovor netočan razlomak, odaberite cijeli dio u njemu

Naš odgovor je nepravi razlomak. Moramo izdvojiti cijeli dio toga. Ističemo:

Imam odgovor

Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, potrebno je od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza. Da bismo riješili ovaj primjer, potrebno je od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Napravimo to:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza.

Opet, od brojnika prvog razlomka oduzmite brojnik drugog razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka potrebno je oduzeti brojnike preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, trebate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
2. Ako se ispostavilo da je odgovor netočan razlomak, tada trebate odabrati cijeli dio u njemu.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak se može oduzeti od razlomka jer ti razlomci imaju iste nazivnike. Ali razlomak se ne može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik nalazimo po istom principu po kojem smo zbrajali razlomke s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika obaju razlomaka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se upisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobiva se drugi dodatni faktor koji se upisuje preko drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih treba dovesti na isti (zajednički) nazivnik.

Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Četvorku upišemo preko prvog razlomka:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM dijelimo s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobijemo 3. Preko drugog razlomka napiši trostruku:

Sada smo svi spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Dovršimo ovaj primjer do kraja:

Imam odgovor

Pokušajmo slikom prikazati naše rješenje. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze.

Ovo je detaljna verzija rješenja. Budući da smo u školi, morali bismo ovaj primjer riješiti na kraći način. Takvo bi rješenje izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ovi će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na iste razlomke (svedene na isti nazivnik):

Prvi crtež prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Odsijecanjem tri komada od osam dijelova, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet dijelova.

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo treba dovesti na isti (zajednički) nazivnik.

Odredite LCM nazivnika tih razlomaka.

Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo s nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 s 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobivamo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan redak, pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:

Ispostavilo se da je odgovor točan razlomak i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazan i ružan. Trebali bismo to olakšati. Što može biti učinjeno? Možete smanjiti ovaj ulomak.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik s (gcd) brojevima 20 i 30.

Dakle, nalazimo GCD brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo našem primjeru i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s pronađenim GCD-om, odnosno s 10

Imam odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak s brojem, potrebno je brojnik danog razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak s brojem 1.

Pomnožite brojnik razlomka s brojem 1

Unos se može shvatiti kao uzimanje pola 1 puta. Na primjer, ako uzmete pizzu 1 put, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da se umnožak neće promijeniti ako se množenik i množitelj zamijene. Ako je izraz napisan kao , tada će umnožak i dalje biti jednak . Opet, pravilo za množenje cijelog broja i razlomka funkcionira:

Ovaj unos se može shvatiti kao preuzimanje polovice jedinice. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i mi uzmemo pola, tada ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojnik razlomka s 4

Odgovor je nepravi razlomak. Uzmimo cijeli dio:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzimate pizze 4 puta, dobit ćete dvije cijele pizze.

A ako množenik i množitelj zamijenimo mjestima, dobit ćemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako je odgovor netočan razlomak, potrebno je odabrati cijeli dio u njemu.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza.

Imam odgovor. Poželjno je smanjiti ovaj udio. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje imati sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:

Kako od ove polovice uzeti dvije trećine? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Dobit ćemo pizzu. Prisjetite se kako izgleda pizza podijeljena u tri dijela:

Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Odgovor je nepravi razlomak. Uzmimo cijeli dio:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Ispostavilo se da je odgovor točan razlomak, ali bit će dobro ako se smanji. Da biste smanjili ovaj razlomak, morate brojnik i nazivnik ovog razlomka podijeliti s najvećim zajedničkim djeliteljem (NZD) brojeva 105 i 450.

Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD koji smo sada pronašli, to jest, s 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomka

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Iz ovoga, pet neće promijeniti svoje značenje, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jedan", a to je, kao što znate, jednako pet:

Obrnuti brojevi

Sada ćemo se upoznati s zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto prema brojua je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedinicu.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto prema broju 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedinicu.

Je li moguće pronaći broj koji pomnožen s 5 daje jedan? Ispostavilo se da možete. Predstavimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak samim sobom, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožimo razlomak samim sobom, samo obrnuto:

Što će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada se 5 pomnoži s jedan, dobije se jedan.

Recipročna vrijednost se također može pronaći za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, dovoljno ga je okrenuti.

Dijeljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pizze:

Podijelimo ga jednako na dvoje. Koliko će pizza dobiti svaki?

Vidljivo je da su nakon polovice pizze podijeljena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.

Dijeljenje razlomaka vrši se pomoću recipročnih vrijednosti. Recipročne vrijednosti vam omogućuju da zamijenite dijeljenje množenjem.

Da biste razlomak podijelili s brojem, morate taj razlomak pomnožiti s recipročnom vrijednošću djelitelja.

Koristeći ovo pravilo, zapisat ćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.

Dakle, trebate podijeliti razlomak s brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj 2.

Da biste razlomak podijelili s brojem 2, morate taj razlomak pomnožiti s recipročnom vrijednošću djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, morate pomnožiti sa

Da biste razlomku dodali cijeli broj, dovoljno je izvršiti niz radnji, odnosno izračuna.

Na primjer, imate 7 - cijeli broj, trebate ga dodati razlomku 1/2.

Postupamo na sljedeći način:

• Množimo 7 s nazivnikom (2), ispada 14,
• na 14 dodajemo gornji dio (1), ispada 15,
• i zamijenite nazivnik.
• rezultat je 15/2.

Na ovaj jednostavan način možete zbrajati cijele brojeve razlomcima.

A da biste iz razlomka odabrali cijeli broj, morate brojnik podijeliti s nazivnikom, a ostatak će biti razlomak.

Operacija zbrajanja ispravnom obični razlomak cijeli broj nije kompliciran i ponekad se sastoji jednostavno od formacije mješovita frakcija, u kojem se cijeli dio nalazi lijevo od frakcijskog dijela, na primjer, takav će se razlomak miješati:

Međutim, češće, kada razlomku dodate cijeli broj, dobijete nepravilan razlomak, u kojem je brojnik veći od nazivnika. Ova se operacija izvodi na sljedeći način: cijeli broj se predstavlja kao nepravi razlomak s istim nazivnikom kao razlomak koji se dodaje, a zatim se brojnici obaju razlomaka jednostavno zbrajaju. Na primjer, izgledat će ovako:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

Mislim da je vrlo jednostavno.

Na primjer, imamo razlomak 1/4 (ovo je isto što i 0,25, odnosno četvrtina cijelog broja).

I ovoj četvrtini možete dodati bilo koji cijeli broj, na primjer 3. Ispada tri i četvrt:

3.25. Ili se u razlomku izražava ovako: 3 1/4

Ovdje, slijedeći primjer ovog primjera, možete zbrajati bilo koje razlomke s bilo kojim cijelim brojevima.

Morate podići cijeli broj na razlomak s nazivnikom 10 (6/10). Zatim dovedite postojeći razlomak na zajednički nazivnik 10 (35=610). Pa, izvedite operaciju kao kod obični razlomci 610+610=1210 ukupno 12.

To možete učiniti na dva načina.

1). Razlomak se može pretvoriti u cijeli broj i dodati. Na primjer, 1/2 je 0,5; 1/4 jednako 0,25; 2/5 je 0,4 i tako dalje.

Uzimamo cijeli broj 5, kojemu trebamo dodati razlomak 4/5. Pretvorimo razlomak: 4/5 je 4 podijeljeno s 5 i dobivamo 0,8. Dodajte 0,8 na 5 i dobit ćete 5,8 ili 5 4/5.

2). Drugi način: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

Zbrajanje razlomaka je jednostavna matematička operacija, na primjer, trebate zbrojiti cijeli broj 3 i razlomak 1/7. Da biste zbrojili ova dva broja, morate imati jedan nazivnik, dakle morate pomnožiti tri sa sedam i podijeliti s ovom brojkom, tada ćete dobiti 21/7 + 1/7, nazivnik je jedan, zbrojite 21 i 1, dobit ćete odgovor 22/7 .

Samo uzmite i dodajte cijeli broj ovom razlomku. Recimo 6+1/2=6 1/2. Pa, ako je ovo decimalni razlomak, onda je, na primjer, 6 + 1,2 = 7,2.

Da biste dodali razlomak i cijeli broj, potrebno je dodati razlomak cijelom broju i zapisati ih kao složeni broj, na primjer, kada dodajete obični razlomak cijelom broju, dobivamo: 1/2 +3 \u003d 3 1/2; pri dodavanju decimalnog razlomka: 0,5 +3 \u003d 3,5.

Razlomak sam po sebi nije cijeli broj, jer ga količinski ne dostiže, pa stoga nema potrebe pretvarati cijeli broj u ovaj razlomak. Dakle, cijeli broj ostaje cijeli broj i u potpunosti pokazuje punu denominaciju, a razlomak mu se dodaje i pokazuje koliko tom cijelom broju nedostaje prije dodavanja sljedeće pune točke.

akademski primjer.

10 + 7/3 = 10 cijelih brojeva i 7/3.

Ako, naravno, postoje cijeli brojevi, onda se zbrajaju s cijelim brojevima.

12 + 5 7/9 = 17 i 7/9.

Što je cijeli broj, a što razlomak.

Ako oba pojma su pozitivna, ovaj razlomak treba dodijeliti cijelom broju. Dobivate mješoviti broj. Štoviše, mogu postojati 2 slučaja.

Slučaj 1

• Razlomak je točan, tj. brojnik je manji od nazivnika. Tada će mješoviti broj dobiven nakon pripisivanja biti odgovor.

4/9 + 10 = 10 4/9 (deset zarez četiri devetine).



Slučaj 2

• Razlomak je netočan, tj. brojnik je veći od nazivnika. Tada je potrebna mala transformacija. Nepravilan razlomak treba pretvoriti u mješoviti broj, drugim riječima, istaknuti cijeli dio. Radi se ovako:



Nakon toga cijelom broju trebate dodati cijeli dio nepravilnog razlomka i dobivenom iznosu dodati njegov razlomački dio. Na isti se način mješovitom broju dodaje cjelina.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 cijelih tri četvrtine).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 cijelih jedna sekunda).

Ako jedan od pojmova ili oba negativan, tada se zbrajanje izvodi prema pravilima za zbrajanje brojeva s različitim ili jednakim predznacima. Cijeli broj je predstavljen kao omjer ovog broja i 1, a zatim se i brojnik i nazivnik množe s brojem jednakim nazivniku razlomka kojem je dodan cijeli broj.

3) 1/5 + (-2)= 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (minus 1 cijele četiri petine).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (minus 8 zarez jedna trećina).

Komentar.

Nakon upoznavanja negativni brojevi, kada s njima proučavaju radnje, učenici 6. razreda trebali bi shvatiti da je dodavanje pozitivnog cijelog broja negativnom razlomku isto što i oduzimanje od prirodni broj frakcija. Ova se radnja, kao što znate, izvodi ovako:



Zapravo, da biste zbrojili razlomak i cijeli broj, jednostavno morate svesti postojeći cijeli broj na razlomak, a to je lako kao guliti kruške. Samo trebate uzeti nazivnik razlomka (dostupan u primjeru) i učiniti ga nazivnikom cijelog broja množenjem s tim nazivnikom i dijeljenjem, evo primjera:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

tvoje dijete donijelo domaća zadaća iz škole i ne znaš kako to riješiti? Onda je ovaj mini vodič za vas!

Kako zbrajati decimale

Pogodnije je zbrajati decimalne razlomke u stupcu. Da biste dodali decimale, morate slijediti jedno jednostavno pravilo:

• Znamenka mora biti ispod znamenke, zarez ispod zareza.

Kao što vidite u primjeru, cijele jedinice su jedna ispod druge, desetine i stotinke su jedna ispod druge. Sada zbrajamo brojeve, zanemarujući zarez. Što učiniti sa zarezom? Zarez se prenosi na mjesto gdje je stajao u ispisu cijelih brojeva.

Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Da biste izvršili zbrajanje sa zajedničkim nazivnikom, trebate zadržati nazivnik nepromijenjenim, pronaći zbroj brojnika i dobiti razlomak, koji će biti ukupni iznos.

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima nalaženjem zajedničkog višekratnika

Prvo na što treba obratiti pozornost su nazivnici. Nazivnici su različiti, zar nisu djeljivi jedan s drugim, zar ne primarni brojevi. Prvo morate dovesti do jednog zajedničkog nazivnika, postoji nekoliko načina za to:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, da bismo riješili ovaj primjer, moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) koji će biti djeljiv s 2 nazivnika. Za označavanje najmanjeg višekratnika a i b - LCM (a; b). U ovom primjeru LCM (3;4)=12. Provjera: 12:3=4; 12:4=3.
• Pomnožimo faktore i izvršimo zbrajanje dobivenih brojeva, dobivamo 13/12 - nepravilan razlomak.

• Da bismo nepravi razlomak pretvorili u pravi, brojnik podijelimo s nazivnikom, dobijemo cijeli broj 1, ostatak 1 je brojnik, a 12 je nazivnik.

Zbrajanje razlomaka unakrsnim množenjem

Za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima postoji još jedan način prema formuli "križ po križ". Ovo je zajamčeni način izjednačavanja nazivnika, za to morate pomnožiti brojnike s nazivnikom jednog razlomka i obrnuto. Ako ste samo na početno stanje učiti razlomke, onda je ova metoda najlakša i najpreciznija, kako dobiti pravi rezultat pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima.

Pravila za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima vrlo su jednostavna.

Razmotrite pravila za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima u koracima:

1. Pronađite LCM (najmanji zajednički višekratnik) nazivnika. Rezultirajući LCM bit će zajednički nazivnik razlomaka;

2. Dovesti razlomke na zajednički nazivnik;

3. Zbrajanje razlomaka svedenih na zajednički nazivnik.

Na jednostavan primjer Naučite kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima.

Primjer

Primjer zbrajanja razlomaka s različitim nazivnicima.

Zbrojite razlomke s različitim nazivnicima:

1	+	5
6		12

Odlučimo korak po korak.

1. Pronađite LCM (najmanji zajednički višekratnik) nazivnika.

Broj 12 je djeljiv sa 6.

Iz ovoga zaključujemo da je 12 najmanji zajednički višekratnik brojeva 6 i 12.

Odgovor: nok brojeva 6 i 12 je 12:

LCM(6, 12) = 12

Dobiveni NOC bit će zajednički nazivnik dvaju razlomaka 1/6 i 5/12.

2. Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.

U našem primjeru, samo prvi razlomak treba svesti na zajednički nazivnik 12, jer drugi razlomak već ima nazivnik 12.

Podijelite zajednički nazivnik broja 12 s nazivnikom prvog razlomka:

2 ima dodatni množitelj.

Pomnožite brojnik i nazivnik prvog razlomka (1/6) s dodatnim faktorom 2.