U srednjoškolskom i srednjoškolskom tečaju učenici su proučavali temu „Razlomci“. Međutim, ovaj koncept je mnogo širi nego što je dan u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često, a ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.

Što je razlomak?

Povijesno se dogodilo da su se frakcijski brojevi pojavili zbog potrebe mjerenja. Kao što praksa pokazuje, često postoje primjeri za određivanje duljine segmenta, volumena pravokutnog pravokutnika.

U početku se učenici upoznaju s takvim konceptom kao dionica. Na primjer, ako lubenicu podijelite na 8 dijelova, tada će svaki dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj dio od osam naziva se dionica.

Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovica; ⅓ - trećina; ¼ - četvrtina. Pozivaju se unosi poput 5/8, 4/5, 2/4 obični razlomci. Obični razlomak dijelimo na brojnik i nazivnik. Između njih je razlomačka crta, ili razlomačka crta. Razlomačka traka može se nacrtati kao vodoravna ili nagnuta linija. U ovom slučaju, to je znak dijeljenja.

Nazivnik predstavlja na koliko jednakih dijelova je vrijednost podijeljena; a brojnik koliko je jednakih dijelova uzeto. Brojnik je napisan iznad razlomka, a nazivnik ispod njega.

Najprikladnije je obične razlomke prikazati na koordinatnoj zraci. Ako je jedan segment podijeljen na 4 jednaka dijela, svaki dio je označen latiničnim slovom, tada kao rezultat možete dobiti izvrsnu vizualnu pomoć. Dakle, točka A pokazuje udio jednak 1/4 cijelog segmenta jedinice, a točka B označava 2/8 ovog segmenta.

Varijante razlomaka

Razlomci su obični, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomke možemo podijeliti na prave i neprave. Ova klasifikacija je prikladnija za obične razlomke.

Pod, ispod pravilan razlomak razumjeti broj čiji je brojnik manji od nazivnika. Prema tome, nepravi razlomak je broj čiji je brojnik veći od nazivnika. Druga vrsta se obično piše kao mješoviti broj. Takav izraz sastoji se od cijelog i razlomljenog dijela. Na primjer, 1½. 1 - cijeli broj, ½ - frakcijski. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjivanje ili pretvaranje), mješoviti broj se pretvara u nepravilan razlomak.

Točan razlomački izraz uvijek je manji od jedan, a netočan je uvijek veći ili jednak 1.

Što se tiče ovog izraza, oni razumiju zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se nazivnik frakcijskog izraza može izraziti kroz jedan s nekoliko nula. Ako je razlomak točan, onda cijeli dio u decimalni zapis bit će jednaka nuli.

Da biste napisali decimalu, prvo morate napisati cijeli dio, odvojiti ga od razlomka zarezom, a zatim napisati razlomački izraz. Treba imati na umu da nakon zareza brojnik mora sadržavati onoliko brojčanih znakova koliko ima nula u nazivniku.

Primjer. Predstavite razlomak 7 21 / 1000 u decimalnom zapisu.

Algoritam za pretvaranje nepravog razlomka u mješoviti broj i obrnuto

U odgovoru zadatka nije ispravno zapisati nepravi razlomak, pa ga je potrebno pretvoriti u mješoviti broj:

• podijeliti brojnik s postojećim nazivnikom;
• u konkretnom primjeru, nepotpuni kvocijent je cijeli broj;
• a ostatak je brojnik razlomka, a nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Pretvorite nepravi razlomak u mješoviti broj: 47/5 .

Riješenje. 47: 5. Nepotpuni količnik je 9, ostatak = 2. Dakle, 47/5 = 9 2/5.

Ponekad trebate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Tada morate koristiti sljedeći algoritam:

• cjelobrojni dio množi se nazivnikom frakcijskog izraza;
• dobiveni umnožak dodaje se brojniku;
• rezultat se upisuje u brojnik, nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Izrazi broj u mješovitom obliku kao nepravi razlomak: 9 8 / 10 .

Riješenje. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojnik.

Odgovor: 98 / 10.

Množenje običnih razlomaka

Na običnim razlomcima možete izvoditi razne algebarske operacije. Da biste pomnožili dva broja, morate brojnik pomnožiti s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom. Štoviše, množenje razlomaka sa različite nazivnike ne razlikuje se od umnoška razlomaka s istim nazivnicima.

Događa se da nakon pronalaženja rezultata trebate smanjiti frakciju. NA bez greške dobiveni izraz treba što više pojednostaviti. Naravno, ne može se reći da je netočan razlomak u odgovoru pogreška, ali ga je također teško nazvati točnim odgovorom.

Primjer. Pronađite umnožak dva obična razlomka: ½ i 20/18.

Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaženja umnoška dobiva se reducibilni razlomački zapis. I brojnik i nazivnik u ovom su slučaju djeljivi s 4, a rezultat je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih razlomaka

Umnožak decimalnih razlomaka po svom je principu sasvim drugačiji od umnoška običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je sljedeće:

• dva decimalna razlomka moraju biti napisana jedan ispod drugog tako da krajnje desne znamenke budu jedna ispod druge;
• napisane brojeve treba množiti, unatoč zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
• izbrojati broj znamenki iza zareza u svakom od brojeva;
• u rezultatu dobivenom nakon množenja potrebno je izbrojati onoliko digitalnih znakova s ​​desne strane koliko je sadržano u zbroju u oba faktora iza decimalne točke i staviti znak za razdvajanje;
• ako u umnošku ima manje znamenki, ispred njih treba napisati toliko nula da pokriju taj broj, staviti zarez i dodijeliti cjelobrojni dio jednak nuli.

Primjer. Izračunajte umnožak dviju decimala: 2,25 i 3,6.

Riješenje.

Množenje mješovitih razlomaka

Da biste izračunali umnožak dva mješovita razlomka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:

• pretvarati mješovite brojeve u neprave razlomke;
• pronaći umnožak brojnika;
• pronaći umnožak nazivnika;
• zapišite rezultat;
• pojednostaviti izraz što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak 4½ i 6 2/5.

Množenje broja razlomkom (razlomci brojem)

Osim pronalaženja umnoška dvaju razlomaka, mješovitih brojeva, postoje zadaci u kojima treba množiti s razlomkom.

Dakle, pronaći posao decimalni razlomak i prirodni broj, potrebno vam je:

• upišite broj ispod razlomka tako da krajnje desne znamenke budu jedna iznad druge;
• pronaći djelo, unatoč zarezu;
• u dobivenom rezultatu zarezom odvojite cijeli broj od razlomka, brojeći udesno broj znakova koji se nalazi iza decimalne točke u razlomku.

Da biste pomnožili obični razlomak s brojem, trebali biste pronaći umnožak brojnika i prirodnog faktora. Ako je odgovor svodivi razlomak, treba ga pretvoriti.

Primjer. Izračunajte umnožak 5/8 i 12.

Riješenje. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovor: 7 1 / 2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno reducirati dobiveni rezultat i pretvoriti netočan frakcijski izraz u mješoviti broj.

Također, množenje razlomaka također se odnosi na pronalaženje umnoška broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste pomnožiti cijeli dio mješovitog faktora s brojem, pomnožiti brojnik s istom vrijednošću, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, morate pojednostaviti rezultat što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak broja 9 5 / 6 i 9.

Riješenje. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Odgovor: 88 1 / 2.

Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001

Sljedeće pravilo proizlazi iz prethodnog odlomka. Da biste decimalni razlomak pomnožili s 10, 100, 1000, 10000 itd., trebate pomaknuti zarez udesno za onoliko znamenki koliko je nula u množitelju iza jedan.

Primjer 1. Pronađite umnožak 0,065 i 1000.

Riješenje. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovor: 65.

Primjer 2. Pronađite umnožak broja 3,9 i 1000.

Riješenje. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovor: 3900.

Ako trebate umnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, itd., trebate pomaknuti zarez ulijevo u rezultirajućem umnošku za onoliko znamenki koliko ima nula ispred jedan. Po potrebi se ispred prirodnog broja upisuje dovoljan broj nula.

Primjer 1. Pronađite umnožak broja 56 i 0,01.

Riješenje. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovor: 0,56.

Primjer 2. Pronađite umnožak 4 i 0,001.

Riješenje. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovor: 0,004.

Dakle, pronalaženje umnoška raznih frakcija ne bi trebalo uzrokovati poteškoće, osim možda izračuna rezultata; U ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.

) a nazivnik nazivnikom (dobivamo nazivnik umnoška).

Formula množenja razlomaka:

Na primjer:

Prije nastavka množenja brojnika i nazivnika potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomka. Ako uspijete smanjiti razlomak, bit će vam lakše nastaviti s izračunima.

Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka s prirodnim brojem.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, cijeli broj pretvaramo u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

• pretvoriti mješovite razlomke u neprave;
• množiti brojnike i nazivnike razlomaka;
• smanjujemo razlomak;
• ako dobijemo nepravi razlomak, tada nepravi razlomak pretvaramo u mješoviti.

Bilješka! Da biste pomnožili mješoviti razlomak drugim mješovitim razlomkom, prvo ih trebate dovesti u oblik nepravih razlomaka, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.

Pogodnije je koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da bismo razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka podijeli bez ostatka s prirodnim brojem.

Višerazinski razlomci.

U srednjoj školi često se nalaze trokatni (ili više) razlomci. Primjer:

Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se dijeljenje kroz 2 točke:

Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako zbuniti.

Bilješka, na primjer:

Kada dijelite jedan bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnut:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar u radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost. Sve izračune izvodite pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redaka u nacrt nego se zbuniti u izračunima u svojoj glavi.

2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka – prijeći na vrstu običnih razlomaka.

3. Sve razlomke reduciramo dok više nije moguće reducirati.

4. Donosimo višerazinske frakcijske izraze u obične, koristeći dijeljenje kroz 2 točke.

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u mislima, jednostavnim okretanjem razlomka.

Obični frakcijski brojevi prvi put se susreću sa školskom djecom u 5. razredu i prate ih cijeli život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno razmotriti ili koristiti neki predmet ne u cijelosti, već u zasebnim dijelovima. Početak proučavanja ove teme - podijelite. Udjeli su jednaki dijelovi na koje je predmet podijeljen. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, duljinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili udjele bilo koje mjere. Nastala od glagola "zdrobiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, u VIII stoljeću sama riječ "frakcija" pojavila se na ruskom.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežim dijelom matematike. U 17. stoljeću, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, nazvani su "razbijeni brojevi", što je bilo vrlo teško prikazati ljudima.

Suvremeni oblik jednostavnih frakcijskih ostataka, čiji su dijelovi odvojeni precizno vodoravnom crtom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegovi spisi datiraju iz 1202. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako nastaje množenje mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima.

Množenje razlomaka s različitim nazivnicima

U početku je potrebno odrediti raznolikosti razlomaka:

• ispravan;
• pogrešno;
• mješoviti.

Zatim se morate sjetiti kako se množe razlomački brojevi s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa lako je samostalno formulirati: rezultat množenja jednostavnih razlomaka s istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik je umnožak nazivnika tih razlomaka. . To jest, zapravo, novi nazivnik je kvadrat jednog od početnih postojećih.

Pri množenju jednostavni razlomci s različitim nazivnicima za dva ili više faktora, pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod frakcijske trake biti proizvod različitih brojeva i, naravno, ne može se nazvati kvadratom jednog numeričkog izraza.

Vrijedno je razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

U primjerima se koriste načini smanjivanja frakcijskih izraza. Možete smanjiti samo brojeve brojnika s brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.

Uz jednostavne razlomački brojevi, postoji koncept mješovitih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog i razlomka, odnosno zbroj je ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako radi množenje?

Navedeno je nekoliko primjera za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primjer koristi množenje broja s obični razlomački dio, možete zapisati pravilo za ovu radnju formulom:

a * b/c = a*b /c.

Zapravo, takav umnožak je zbroj identičnih frakcijskih ostataka, a broj članova označava taj prirodni broj. Poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedna opcija za rješavanje množenja broja ostatkom u razlomku. Samo trebate podijeliti nazivnik ovim brojem:

d* e/f = e/F D.

Korisno je koristiti ovu tehniku ​​kada je nazivnik podijeljen prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, potpuno.

Pretvorite mješovite brojeve u neprave razlomke i dobijete umnožak na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način predstavljanja mješovitog razlomka kao nepravog razlomka, također se može predstaviti kao opća formula:

a bc = a*b+ c / c, gdje se nazivnik novog razlomka formira množenjem cijelog dijela s nazivnikom i njegovim dodavanjem brojniku izvornog razlomka, a nazivnik ostaje isti.

Ovaj proces radi i obrnuto. Da biste odabrali cjelobrojni dio i razlomački ostatak, potrebno je brojnik nepravog razlomka podijeliti s njegovim nazivnikom "kutom".

Množenje nepravih razlomaka proizvedeno na uobičajeni način. Kada unos ide ispod jedne crte razlomaka, prema potrebi morate smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i lakše izračunali rezultat.

Na internetu postoji mnogo pomoćnika za rješavanje čak i složenih problema. matematički problemi u raznim programima. Dovoljan broj takvih servisa nudi svoju pomoć u izračunavanju množenja razlomaka s različitim brojevima u nazivnicima - tzv. online kalkulatori za izračunavanje razlomaka. Oni su sposobni ne samo množiti, već i izvoditi sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješoviti brojevi. Nije teško raditi s njim, odgovarajuća polja se popunjavaju na stranici web mjesta, odabire se znak matematičke akcije i pritisne se "izračunaj". Program automatski broji.

Tema aritmetičkih operacija s razlomačkim brojevima relevantna je za cijelo obrazovanje srednjoškolske i starije školske djece. U srednjoj školi više se ne razmatraju najjednostavnije vrste, već cjelobrojni frakcijski izrazi, ali znanje o pravilima za transformaciju i izračune, stečeno ranije, primjenjuje se u izvornom obliku. Dobro naučena osnovna znanja daju punu sigurnost u uspješno rješavanje najsloženijih zadataka.

U zaključku ima smisla navesti riječi Lava Tolstoja koji je napisao: “Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojnik - vlastite zasluge, ali svako može smanjiti svoj nazivnik - svoje mišljenje o sebi, i tim smanjenjem se približiti svom savršenstvu.