Operacije s ovlastima i korijenima. Stupanj s negativnim ,

nula i razlomak indikator. O izrazima koji nemaju smisla.

Operacije sa stupnjevima.

1. Pri množenju potencija s istom bazom zbrajaju se njihovi indikatori:

a m · a n = a m + n.

2. Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom, njihovi pokazatelji oduzeto .

3. Stupanj umnoška dvaju ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva tih faktora.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. Stupanj omjera (razlomka) jednak je omjeru stupnjeva djelitelja (brojnika) i djelitelja (nazivnika):

(a/b ) n = a n / b n.

5. Prilikom podizanja stupnja na potenciju, njihovi pokazatelji se množe:

(a m ) n = a m n .

Sve gore navedene formule se čitaju i izvode u oba smjera slijeva na desno i obrnuto.

PRIMJER (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operacije s korijenima. U svim formulama ispod, simbol sredstva aritmetički korijen(radikalni izraz je pozitivan).

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijeni ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru korijena dividende i djelitelja:

3. Kod podizanja korijena na potenciju, dovoljno je dići se na ovu potenciju korijenski broj:

4. Ako povećamo stupanj korijena u m jednom i istovremeno podići na m stepen je korijen broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjimo stupanj korijena u m izvadite korijen jednom i u isto vrijeme m stupnja od radikalnog broja, tada vrijednost korijena nijeće promijeniti:

Proširenje pojma stupnja. Do sada smo stupnjeve razmatrali samo s prirodnim pokazateljem; ali radnje stupnjeva i korijena također može dovesti do negativan, nula I frakcijski indikatori. Svi ti eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.

Stupanj s negativnim eksponentom. Snaga nekog broja sa negativan (cijeli) pokazatelj je definiran kao jedinica podijeljena sa na potenciju istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednostinegativan indikator:

T sada formula a m: a n= a m - n može se koristiti ne samo zam, više od n, ali i kod m, manje od n .

PRIMJER a 4 :a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Ako želimo formulua m : a n= a m - nbio pošten um = n, potrebna nam je definicija nultog stupnja.

Stupanj s nultim eksponentom. Stupanj bilo kojeg broja različitog od nule s nultim eksponentom je 1.

PRIMJERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Podići pravi broj i na snagu m/n , morate izvaditi korijen n-ta potencija od m stepen ovog broja A:

O izrazima koji nemaju smisla. Postoji nekoliko takvih izraza. bilo koji broj.

Doista, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak nekom broju x, tada prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 x. Ali ova jednakost vrijedi za bilo koji broj x, što je trebalo dokazati.

Slučaj 3

0 0 - bilo koji broj.

Stvarno,

Rješenje. Razmotrite tri glavna slučaja:

1) x = 0 – ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednadžbu

(Zašto?).

2) kada x> 0 dobivamo: x / x = 1, tj. 1 = 1, odakle slijedi,

Što x- bilo koji broj; ali uzimajući u obzir da

Naš slučaj x> 0, odgovor jex > 0 ;

3) kada x < 0 получаем: – x / x= 1, tj . –1 = 1, dakle,

U ovom slučaju rješenja nema.

Tako, x > 0.

Nerijetko se pri rješavanju problema susrećemo s velikim brojevima iz kojih trebamo izdvajati Korijen. Mnogi učenici odluče da je to pogreška i počnu rješavati cijeli primjer. Ni pod kojim uvjetima to ne smijete učiniti! Postoje dva razloga za to:

1. Korijeni velikih brojeva pojavljuju se u problemima. Pogotovo u tekstu;
2. Postoji algoritam kojim se ti korijeni razmatraju gotovo verbalno.

Danas ćemo razmotriti ovaj algoritam. Možda će vam se neke stvari učiniti neshvatljivima. Ali ako obratite pozornost na ovu lekciju, dobit ćete najmoćnije oružje protiv kvadratni korijeni.

Dakle, algoritam:

1. Ograničite željeni korijen iznad i dolje na višekratnike od 10. Stoga ćemo smanjiti raspon pretraživanja na 10 brojeva;
2. Iz ovih 10 brojeva izlučite one koji definitivno ne mogu biti korijeni. Kao rezultat toga, ostat će 1-2 broja;
3. Kvadrirajte ova 1-2 broja. Onaj od njih, čiji je kvadrat jednak izvornom broju, bit će korijen.

Prije nego što primjena ovog algoritma funkcionira u praksi, pogledajmo svaki pojedinačni korak.

Ograničenje korijena

Prije svega, moramo saznati između kojih brojeva se nalazi naš korijen. Vrlo je poželjno da brojevi budu višestruki od deset:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Dobijamo niz brojeva:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Što nam ove brojke daju? Jednostavno je: dobivamo granice. Uzmimo, na primjer, broj 1296. Nalazi se između 900 i 1600. Dakle, njegov korijen ne može biti manji od 30 ni veći od 40:

[Natpis slike]

Isto je s bilo kojim drugim brojem iz kojeg možete izvući kvadratni korijen. Na primjer, 3364:

[Natpis slike]

Tako, umjesto nerazumljivog broja, dobivamo vrlo specifičan raspon u kojem se nalazi izvorni korijen. Da biste dodatno suzili opseg pretraživanja, prijeđite na drugi korak.

Uklanjanje očito suvišnih brojeva

Dakle, imamo 10 brojeva - kandidata za korijen. Dobili smo ih vrlo brzo, bez kompleksnog razmišljanja i množenja u koloni. Vrijeme je da krenemo dalje.

Vjerovali ili ne, sada ćemo broj kandidata smanjiti na dva – i opet bez ikakvih kompliciranih izračuna! Dovoljno je znati posebno pravilo. Evo ga:

Zadnja znamenka kvadrata ovisi samo o zadnjoj znamenki izvorni broj.

Drugim riječima, dovoljno je pogledati posljednju znamenku kvadrata - i odmah ćemo shvatiti gdje završava izvorni broj.

Na zadnjem mjestu može biti samo 10 znamenki. Pokušajmo saznati u što se pretvaraju kada se kvadriraju. Pogledajte tablicu:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ova tablica je još jedan korak prema izračunavanju korijena. Kao što vidite, ispostavilo se da su brojevi u drugom retku simetrični u odnosu na pet. Na primjer:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kao što vidite, zadnja znamenka je ista u oba slučaja. A to znači da, na primjer, korijen od 3364 nužno završava na 2 ili 8. S druge strane, sjećamo se ograničenja iz prethodnog paragrafa. Dobivamo:

[Natpis slike]

Crveni kvadratići pokazuju da još ne znamo tu brojku. Ali ipak, korijen leži između 50 i 60, na kojem postoje samo dva broja koji završavaju na 2 i 8:

[Natpis slike]

To je sve! Od svih mogućih korijena ostavili smo samo dvije opcije! I to je u najtežem slučaju, jer posljednja znamenka može biti 5 ili 0. I tada će ostati jedini kandidat za korijene!

Konačni izračuni

Dakle, ostala su nam 2 broja kandidata. Kako znaš koji je korijen? Odgovor je očit: kvadrirajte oba broja. Onaj koji je na kvadrat dat će izvorni broj i bit će korijen.

Na primjer, za broj 3364 pronašli smo dva kandidata kandidata: 52 i 58. Kvadratirajmo ih:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

To je sve! Pokazalo se da je korijen 58! Pritom sam, kako bih pojednostavio izračune, koristio formulu kvadrata zbroja i razlike. Zahvaljujući tome, čak niste morali množiti brojeve u stupcu! Ovo je još jedna razina optimizacije izračuna, ali, naravno, potpuno je opcionalna :)

Primjeri izračunavanja korijena

Teorija je dobra, naravno. Ali provjerimo to u praksi.

[Natpis slike]

Najprije saznajmo između kojih se brojeva nalazi broj 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Sada pogledajmo posljednji broj. Jednako je 6. Kada se to događa? Samo ako korijen završava na 4 ili 6. Dobivamo dva broja:

Ostaje kvadrirati svaki broj i usporediti ga s izvornikom:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Sjajno! Pokazalo se da je prvi kvadrat jednak izvornom broju. Dakle, ovo je korijen.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis slike]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pogledajmo posljednji broj:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadriramo to:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Evo odgovora: 37.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis slike]

Ograničavamo broj:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pogledajmo posljednji broj:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadriramo to:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Dobili smo odgovor: 52. Drugi broj više neće trebati kvadrirati.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis slike]

Ograničavamo broj:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pogledajmo posljednji broj:

4225 → 5;
65.

Kao što vidite, nakon drugog koraka ostaje samo jedna opcija: 65. Ovo je željeni korijen. Ali kvadrirajmo to i provjerimo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Sve je točno. Zapisujemo odgovor.

Zaključak

Jao, ništa bolje. Pogledajmo razloge. Postoje dva od njih:

• Zabranjeno je koristiti kalkulatore na bilo kojem uobičajenom ispitu iz matematike, bilo da se radi o GIA ili Jedinstvenom državnom ispitu. A zbog nošenja kalkulatora u učionicu lako ih se može izbaciti s ispita.
• Ne budite kao glupi Amerikanci. Koji nisu poput korijena - ne mogu zbrojiti dva prosta broja. A pri pogledu na razlomke uglavnom histeriziraju.

Prisutnost kvadratnih korijena u izrazu komplicira proces dijeljenja, ali postoje pravila prema kojima rad s razlomcima postaje puno lakši.

Jedina stvar koju morate stalno imati na umu- radikalni izrazi se dijele na radikalne izraze, a faktori na faktore. U procesu dijeljenja kvadratnih korijena, pojednostavljujemo razlomak. Također, podsjetite da korijen može biti u nazivniku.

Metoda 1. Podjela radikalnih izraza

Algoritam akcije:

Napiši razlomak

Ako izraz nije predstavljen kao razlomak, potrebno ga je napisati ovako, jer je lakše slijediti princip dijeljenja kvadratnih korijena.

Primjer 1

144 ÷ 36 , ovaj izraz treba prepisati ovako: 144 36

Koristite jedan korijenski znak

Ako i brojnik i nazivnik sadrže kvadratne korijene, potrebno je njihove korijenske izraze napisati pod istim znakom korijena kako bi se olakšalo rješavanje.

Podsjećamo vas da je radikalni izraz (ili broj) izraz pod znakom korijena.

Primjer 2

144 36 . Ovaj izraz treba napisati ovako: 144 36

Rastavljeni korijenski izrazi

Samo podijelite jedan izraz s drugim i zapišite rezultat ispod znaka korijena.

Primjer 3

144 36 = 4 , zapisujemo ovaj izraz na sljedeći način: 144 36 = 4

Pojednostavite radikalni izraz (ako je potrebno)

Ako je korijenski izraz ili jedan od faktora potpuni kvadrat, pojednostavite taj izraz.

Podsjetimo se da je potpuni kvadrat broj koji je kvadrat nekog cijelog broja.

Primjer 4

4 je savršen kvadrat jer je 2 × 2 = 4. Stoga:

4 = 2 × 2 = 2. Stoga je 144 36 = 4 = 2 .

Metoda 2. Rastavljanje radikalnog izraza na faktore

Algoritam akcije:

Napiši razlomak

Prepiši izraz kao razlomak (ako je tako predstavljen). Ovo uvelike pojednostavljuje proces dijeljenja izraza s kvadratnim korijenom, posebno kod rastavljanja na faktore.

Primjer 5

8 ÷ 36 , prepiši ovako 8 36

Faktorizirajte svaki od radikalnih izraza

Faktoriziraj broj pod korijen, kao i svaki drugi cijeli broj, samo faktore zapiši ispod znaka korijena.

Primjer 6

8 36 = 2 x 2 x 2 6 x 6

Pojednostavite brojnik i nazivnik razlomka

Da biste to učinili, potrebno je ispod znaka korijena izvaditi faktore koji su puni kvadrati. Tako faktor korijenskog izraza postaje faktor ispred znaka korijena.

Primjer 7

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , odakle slijedi: 8 36 = 2 2 6

Racionalizirajte nazivnik (riješite se korijena)

U matematici postoje pravila prema kojima je ostavljanje korijena u nazivniku znak neukusa, tj. Zabranjeno je. Ako postoji kvadratni korijen u nazivniku, onda ga se riješite.

Pomnožite brojnik i nazivnik s kvadratnim korijenom kojeg se želite riješiti.

Primjer 8

U izrazu 6 2 3 potrebno je brojnik i nazivnik pomnožiti s 3 da bi se to riješilo u nazivniku:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Pojednostavite dobiveni izraz (ako je potrebno)

Ako brojnik i nazivnik sadrže brojeve koji se mogu i trebaju smanjivati. Pojednostavite takve izraze kao što biste pojednostavili bilo koji razlomak.

Primjer 9

2 6 se pojednostavljuje na 1 3 ; pa se 2 2 6 pojednostavljuje na 1 2 3 = 2 3

Metoda 3. Dijeljenje kvadratnih korijena s faktorima

Algoritam akcije:

Pojednostavite množitelje

Podsjetimo se da su faktori brojevi ispred znaka korijena. Da biste pojednostavili faktore, morat ćete ih podijeliti ili reducirati. Ne dirajte korijenske izraze!

Primjer 10

4 32 6 16 . Prvo reduciramo 4 6: podijelimo s 2 i brojnik i nazivnik: 4 6 \u003d 2 3.

Pojednostavite kvadratne korijene

Ako je brojnik ravnomjerno djeljiv s nazivnikom, podijelite. Ako ne, onda pojednostavite radikalne izraze kao i sve druge.

Primjer 11

32 je ravnomjerno djeljiv sa 16, pa je 32 16 = 2

Pomnožite pojednostavljene faktore s pojednostavljenim korijenima

Zapamtite pravilo: ne ostavljajte korijene u nazivniku. Stoga jednostavno množimo brojnik i nazivnik ovim korijenom.

Primjer 12

2 3 × 2 = 2 2 3

Racionalizirati nazivnik (riješiti se korijena u nazivniku)

Primjer 13

4 3 2 7 . Pomnožite brojnik i nazivnik sa 7 da biste se riješili korijena u nazivniku.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Metoda 4. Dijeljenje binomom s kvadratnim korijenom

Algoritam akcije:

Utvrdite je li binom (binom) u nazivniku

Podsjetimo se da je binom izraz koji uključuje 2 monoma. Ova metoda se primjenjuje samo u slučajevima kada je nazivnik binom s kvadratnim korijenom.

Primjer 14

1 5 + 2 - postoji binom u nazivniku, jer postoje dva monoma.

Pronađite izraz konjugiran binomu

Prisjetimo se da je konjugirani binom binom s istim monomima, ali suprotnih predznaka. Da biste pojednostavili izraz i riješili se korijena u nazivniku, trebali biste pomnožiti konjugirane binome.

Primjer 15

5 + 2 i 5 - 2 su konjugirani binomi.

Pomnožite brojnik i nazivnik binomom koji je konjugiran s binomom u nazivniku

Ova opcija pomoći će vam da se riješite korijena u nazivniku, budući da je umnožak konjugiranih binoma jednak razlici kvadrata svakog binomnog člana: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

Primjer 16

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Iz ovoga slijedi: 1 5 + 2 = 5 - 2 23 .

savjet:

1. Ako radite s kvadratnim korijenom mješovitih brojeva, pretvorite ih u nepravilan razlomak.
2. Razlika između zbrajanja i oduzimanja od dijeljenja je u tome što radikalne izraze u slučaju dijeljenja nije preporučljivo pojednostaviti (zbog punih kvadrata).
3. Nikad (!) ne ostavljajte korijen u nazivniku.
4. Bez decimala ili miješanih ispred korijena - morate ih pretvoriti u obični razlomak, a zatim pojednostaviti.
5. Je li nazivnik zbroj ili razlika dvaju monoma? Pomnožite takav binom s njegovim konjugiranim binomom i riješite se korijena u nazivniku.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Za uspješno korištenje operacije vađenja korijena u praksi potrebno je upoznati se sa svojstvima ove operacije.
Sva svojstva su formulirana i dokazana samo za ne-negativne vrijednosti varijabli sadržanih pod predznacima korijena.

Teorem 1. N-ti korijen (n=2, 3, 4,...) umnoška dva nenegativna skupa čipova jednak je umnošku n-tih korijena ovih brojeva:

Komentar:

1. Teorem 1 ostaje vrijedan za slučaj kada je radikalni izraz umnožak više od dva nenegativna broja.

Teorem 2.Ako, a n prirodni broj veći od 1, onda je jednakost

Kratak(iako netočna) formulacija koja je praktičnija za korištenje u praksi: korijen razlomka jednak je razlomku korijena.

Teorem 1 nam omogućuje množenje m samo korijeni istog stupnja , tj. samo korijeni s istim eksponentom.

Teorem 3. Ako ,k je prirodan broj i n je prirodan broj veći od 1, onda je jednakost

Drugim riječima, da bi se korijen podigao na prirodnu snagu, dovoljno je podići korijenski izraz na ovu snagu.
To je posljedica teorema 1. Doista, na primjer, za k = 3 dobivamo

Teorem 4. Ako ,k, n prirodni brojevi veći od 1, onda je jednakost

Drugim riječima, za izvlačenje korijena iz korijena dovoljno je pomnožiti eksponente korijena.
Na primjer,

Budi oprezan! Naučili smo da se nad korijenima mogu izvoditi četiri operacije: množenje, dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena (iz korijena). Ali što je sa zbrajanjem i oduzimanjem korijena? Nema šanse.
Na primjer, ne možete pisati umjesto Indeed, ali to je očito

Teorem 5. Ako indikatori korijena i korijenskog izraza pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, tada se vrijednost korijena neće promijeniti, tj.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Izračunati

Riješenje. Koristeći prvo svojstvo korijena (teorem 1), dobivamo:

Primjer 2 Izračunati
Riješenje. Pretvorite mješoviti broj u nepravi razlomak.
Imamo koristeći drugo svojstvo korijena ( teorem 2 ), dobivamo:

Primjer 3 Izračunati:

Riješenje. Svaka formula u algebri, kao što dobro znate, koristi se ne samo "s lijeva na desno", već i "s desna na lijevo". Dakle, prvo svojstvo korijena znači da se može prikazati kao i, obrnuto, može se zamijeniti izrazom. Isto vrijedi i za drugo svojstvo korijena. Imajući ovo na umu, napravimo izračune.

Čestitamo: danas ćemo analizirati korijene - jednu od najzanimljivijih tema 8. razreda. :)

Mnogi se zbune oko korijena ne zato što su složeni (što je komplicirano - par definicija i još par svojstava), već zato što su u većini školskih udžbenika korijeni definirani kroz takve divljine da samo autori udžbenika mogu sami shvati ovo škrabanje. I to samo uz bocu dobrog viskija. :)

Stoga ću sada dati najtočniju i najkompetentniju definiciju korijena - jedinu koju stvarno trebate zapamtiti. I tek tada ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.

Ali prvo zapamtite jednu važnu točku, koju iz nekog razloga mnogi sastavljači udžbenika "zaboravljaju":

Korijeni mogu biti parnog stupnja (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i bilo koji $\sqrt(a)$ i parni $\sqrt(a)$) i neparnog stupnja (bilo koji $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ itd.). I definicija korijena neparnog stupnja je nešto drugačija od parnog.

Ovdje u ovom jebenom "nešto drugačijem" krije se, vjerojatno, 95% svih pogrešaka i nesporazuma povezanih s korijenima. Dakle, raščistimo terminologiju jednom zauvijek:

Definicija. Čak i korijen n od broja $a$ je bilo koji nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$. A korijen neparnog stupnja iz istog broja $a$ općenito je bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.

U svakom slučaju, korijen se označava ovako:

\(a)\]

Broj $n$ u takvom se zapisu naziva korijenski eksponent, a broj $a$ radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobivamo naš "omiljeni" kvadratni korijen (usput, ovo je korijen parnog stupnja), a za $n=3$ dobivamo kubični korijen (neparni stupanj), koji se također često nalazi u problemima i jednadžbama.

Primjeri. Klasični primjeri kvadratnih korijena:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Usput, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično jer $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Kubični korijeni su također uobičajeni - nemojte ih se bojati:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Pa, par "egzotičnih primjera":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stupnja, ponovno pročitajte definiciju. Vrlo je važno!

U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.

Zašto nam uopće trebaju korijeni?

Nakon što pročitaju definiciju, mnogi studenti će se zapitati: “Što su matematičari popušili kad su ovo smislili?” I stvarno: zašto nam trebaju svi ti korijeni?

Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak u osnovnu školu. Zapamtite: u ta daleka vremena, kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša glavna briga bila je ispravno pomnožiti brojeve. Pa nešto u duhu "pet po pet - dvadeset i pet", to je sve. Ali uostalom, brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Međutim, nije u tome poanta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa su množenje deset petica morali zapisati ovako:

Pa su došli do diploma. Zašto ne biste broj faktora napisali kao superskript umjesto dugog niza? Kao ova:

Vrlo je povoljno! Svi izračuni smanjeni su nekoliko puta, a ne možete potrošiti hrpu listova pergamentnih bilježnica da napišete nekih 5 183 . Takav unos nazvan je stupanj broja, u njemu je pronađena hrpa svojstava, ali sreća se pokazala kratkotrajnom.

Nakon grandiozne pijanke, koja je organizirana upravo oko “otkrića” stupnjeva, neki posebno nabusiti matematičar iznenada upita: “Što ako znamo stupanj broja, ali ne znamo sam broj?” Doista, ako znamo da određeni broj $b$, na primjer, daje 243 na 5. potenciju, kako onda možemo pogoditi čemu je jednak sam broj $b$?

Pokazalo se da je ovaj problem mnogo globalniji nego što se na prvi pogled čini. Jer pokazalo se da za većinu “konfekcijskih” diploma ne postoje te “početne” brojke. Prosudite sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(align)\]

Što ako $((b)^(3))=50$? Ispada da trebate pronaći određeni broj, koji će nam, pomnožen sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3 jer je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. tj. ovaj broj leži negdje između tri i četiri, ali čemu je jednak - FIG shvatit ćete.

Upravo su zato matematičari došli do $n$-tih korijena. Zato je uvedena radikalna ikona $\sqrt(*)$. Za označavanje istog broja $b$, koji će nam, na zadanu potenciju, dati prethodno poznatu vrijednost

\[\sqrt[n](a)=b\desna strelica ((b)^(n))=a\]

Ne raspravljam: često se ti korijeni lako razmatraju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera gore. No ipak, u većini slučajeva, ako zamislite proizvoljan broj, a zatim pokušate iz njega izvući korijen proizvoljnog stupnja, čeka vas okrutna nevolja.

Što je tamo! Čak ni najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se prikazati u našem uobičajenom obliku - kao cijeli broj ili razlomak. A ako ovaj broj unesete u kalkulator, vidjet ćete ovo:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kao što vidite, iza decimalne točke nalazi se beskonačan niz brojeva koji se ne pokoravaju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj za brzu usporedbu s drugim brojevima. Na primjer:

\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]

Ili evo još jednog primjera:

\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]

Ali sva ta zaokruživanja su, prvo, prilično gruba; i drugo, također morate znati raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti hrpu neočitih pogrešaka (usput, vještina uspoređivanja i zaokruživanja nužno se provjerava na ispitu za profil).

Stoga se u ozbiljnoj matematici ne može bez korijena - oni su isti ravnopravni predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, poput razlomaka i cijelih brojeva koje odavno poznajemo.

Nemogućnost predstavljanja korijena kao razlomka oblika $\frac(p)(q)$ znači da taj korijen nije racionalan broj. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim i ne mogu se točno prikazati osim uz pomoć radikala ili drugih za to posebno dizajniranih konstrukcija (logaritmi, stupnjevi, limiti itd.). Ali o tome drugom prilikom.

Razmotrite nekoliko primjera u kojima će nakon svih izračuna u odgovoru i dalje ostati iracionalni brojevi.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]

Naravno, po izgledu korijena gotovo je nemoguće pogoditi koji će brojevi doći iza decimalne točke. Međutim, moguće je izračunati na kalkulatoru, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma daje nam samo prvih nekoliko znamenki iracionalnog broja. Stoga je mnogo ispravnije odgovore pisati kao $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Za to su i izmišljeni. Da biste lakše zapisivali odgovore.

Zašto su potrebne dvije definicije?

Pažljivi čitatelj vjerojatno je već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima uzeti iz pozitivnih brojeva. Pa barem od nule. Ali kockasti korijeni mirno se izvlače iz apsolutno bilo kojeg broja - čak i pozitivnog, čak i negativnog.

Zašto se ovo događa? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:

Graf kvadratne funkcije daje dva korijena: pozitivan i negativan

Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj grafikon. Da biste to učinili, na grafikonu se nacrta vodoravna linija $y=4$ (označena crvenom bojom) koja siječe parabolu u dvije točke: $((x)_(1))=2$ i $((x) _(2)) =-2$. To je sasvim logično, jer

Sve je jasno s prvim brojem - pozitivan je, dakle korijen:

Ali što onda učiniti s drugom točkom? Ima li 4 dva korijena odjednom? Uostalom, ako kvadriramo broj −2, također ćemo dobiti 4. Zašto onda ne napisati $\sqrt(4)=-2$? A zašto profesori gledaju takve zapise kao da vas žele pojesti? :)

Problem je u tome što će, ako se ne nametnu dodatni uvjeti, četiri imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I bilo koji pozitivan broj također će ih imati dva. Ali negativni brojevi uopće neće imati korijene - to se može vidjeti iz istog grafikona, budući da parabola nikada ne pada ispod osi g, tj. ne uzima negativne vrijednosti.

Sličan problem javlja se za sve korijene s parnim eksponentom:

1. Strogo govoreći, svaki pozitivan broj će imati dva korijena s parnim eksponentom $n$;
2. Iz negativnih brojeva uopće se ne izvlači korijen s parnim $n$.

Zato definicija parnog korijena $n$ posebno propisuje da odgovor mora biti nenegativan broj. Tako se rješavamo dvosmislenosti.

Ali za neparnih $n$ nema tog problema. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:

Kubična parabola poprima bilo koju vrijednost, tako da se kubni korijen može uzeti iz bilo kojeg broja

Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:

1. Grane kubične parabole, za razliku od uobičajene, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, na kojoj god visini nacrtali vodoravnu crtu, ta će se linija sigurno presijecati s našim grafikonom. Dakle, kubni korijen uvijek se može uzeti, apsolutno iz bilo kojeg broja;
2. Osim toga, takvo će sjecište uvijek biti jedinstveno, tako da ne morate razmišljati o tome koji broj smatrati "ispravnim" korijenom, a koji bodovati. Zato je definicija korijena za neparni stupanj jednostavnija nego za parni (ne postoji zahtjev za nenegativnošću).

Šteta je što te jednostavne stvari nisu objašnjene u većini udžbenika. Umjesto toga, naši se mozgovi počinju lebdjeti sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.

Da, ne raspravljam: što je aritmetički korijen - također morate znati. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo također govoriti o njemu, jer bez njega bi sva razmišljanja o korijenima $n$-te višestrukosti bila nepotpuna.

Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. U suprotnom, zbog obilja pojmova, u vašoj će glavi početi takva zbrka da na kraju nećete razumjeti baš ništa.

I sve što trebate razumjeti je razlika između parnih i neparnih brojeva. Stoga ćemo još jednom prikupiti sve što stvarno trebate znati o korijenima:

1. Parni korijen postoji samo iz nenegativnog broja i sam je uvijek nenegativan broj. Za negativne brojeve takav je korijen nedefiniran.
2. Ali korijen neparnog stupnja postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve on je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što se naslućuje na vrhu, on je negativan.

Je li teško? Ne, nije teško. To je jasno? Da, očito je! Stoga ćemo sada malo vježbati s izračunima.

Osnovna svojstva i ograničenja

Korijeni imaju mnogo čudnih svojstava i ograničenja - ovo će biti zasebna lekcija. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "čip", koji se odnosi samo na korijene s parnim eksponentom. Ovo svojstvo zapisujemo u obliku formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lijevo| x\desno|\]

Drugim riječima, ako broj podignemo na parnu potenciju, a zatim iz toga izvučemo korijen istog stupnja, nećemo dobiti izvorni broj, već njegov modul. Ovo je jednostavan teorem koji je lako dokazati (dovoljno je posebno razmotriti nenegativne $x$, a zatim posebno razmotriti negativne). Učitelji stalno pričaju o tome, to je navedeno u svakom školskom udžbeniku. Ali čim dođe do rješavanja iracionalnih jednadžbi (tj. jednadžbi s predznakom radikala), učenici zajedno zaborave ovu formulu.

Da bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo na trenutak sve formule i pokušajmo brojati dva broja unaprijed:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=?\]

Ovo su vrlo jednostavni primjeri. Prvi primjer će većina ljudi riješiti, ali na drugom se mnogi drže. Da biste bez problema riješili takvo sranje, uvijek razmotrite postupak:

1. Prvo se broj diže na četvrtu potenciju. Pa, nekako je lako. Dobit će se novi broj, koji se čak može naći u tablici množenja;
2. A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući korijen četvrtog stupnja. Oni. nema "redukcije" korijena i stupnjeva - to su sekvencijalne radnje.

Pozabavimo se prvim izrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očito, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:

Sada učinimo isto s drugim izrazom. Prvo dižemo broj −3 na četvrtu potenciju, za što ga trebamo pomnožiti samim sobom 4 puta:

\[((\lijevo(-3 \desno))^(4))=\lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \ lijevo(-3 \desno)=81\]

Dobili smo pozitivan broj, jer je ukupan broj minusa u proizvodu 4 komada i svi će se poništiti (uostalom, minus za minus daje plus). Zatim ponovno izvucite korijen:

U principu, ovaj redak ne bi mogao biti napisan, jer nije pametno da će odgovor biti isti. Oni. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od uobičajenog modula:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\lijevo| 3\desno|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \desno|=3. \\ \end(align)\]

Ovi izračuni dobro se slažu s definicijom korijena parnog stupnja: rezultat je uvijek nenegativan, a radikalni predznak također je uvijek nenegativan broj. Inače, korijen nije definiran.

Napomena o redoslijedu operacija

1. Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim vadimo kvadratni korijen dobivene vrijednosti. Prema tome, možemo biti sigurni da se nenegativan broj uvijek nalazi ispod znaka korijena, jer $((a)^(2))\ge 0$ ionako;
2. Ali oznaka $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da iz određenog broja $a$ prvo izvučemo korijen, a tek onda kvadriramo rezultat. Dakle, broj $a$ ni u kojem slučaju ne može biti negativan - to je obavezan zahtjev ugrađen u definiciju.

Dakle, ni u kojem slučaju ne treba nepromišljeno smanjivati ​​korijene i stupnjeve, čime se navodno "pojednostavljuje" izvorni izraz. Jer ako je ispod korijena negativan broj, a njegov eksponent je paran, dobit ćemo puno problema.

Međutim, svi ovi problemi relevantni su samo za parne pokazatelje.

Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena

Naravno, i korijeni s neparnim eksponentima imaju svoje svojstvo, koje u principu ne postoji za parne. Naime:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Ukratko, možete izvaditi minus ispod znaka korijena neparnog stupnja. Ovo je vrlo korisno svojstvo koje vam omogućuje da "izbacite" sve minuse:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \lijevo(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge izračune. Sada se ne morate brinuti: što ako je negativan izraz ušao ispod korijena, a stupanj u korijenu se pokazao jednakim? Dovoljno je sve minuse “izbaciti” izvan korijena, nakon čega se oni mogu međusobno množiti, dijeliti i općenito raditi mnoge sumnjive stvari, koje nas u slučaju “klasičnih” korijena garantirano vode do greške. .

I tu na scenu stupa još jedna definicija - upravo ona s kojom većina škola započinje proučavanje iracionalnih izraza. I bez kojih bi naše razmišljanje bilo nepotpuno. Upoznajte!

aritmetički korijen

Pretpostavimo na trenutak da samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula mogu biti ispod znaka korijena. Ocjenjujmo parne/neparne pokazatelje, ocjenjujmo sve gore navedene definicije - radit ćemo samo s nenegativnim brojevima. Što onda?

I onda dobijemo aritmetički korijen - on se djelomično presijeca s našim "standardnim" definicijama, ali se ipak razlikuje od njih.

Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stupnja nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.

Kao što vidite, više nas ne zanima paritet. Umjesto toga pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz je sada uvijek nenegativan, a sam korijen je također nenegativan.

Da biste bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafikone kvadratne i kubične parabole koji su nam već poznati:

Područje pretraživanja korijena - nenegativni brojevi

Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafikona koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrtini - gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati indikator da biste shvatili imamo li pravo na korijen negativnog broja ili ne. Budući da se negativni brojevi više u načelu ne razmatraju.

Možete pitati: "Pa, zašto nam treba tako kastrirana definicija?" Ili: "Zašto se ne možemo snaći s gore navedenom standardnom definicijom?"

Pa, dat ću samo jedno svojstvo, zbog kojeg nova definicija postaje prikladna. Na primjer, pravilo stepenovanja:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Imajte na umu: radikalni izraz možemo podići na bilo koju potenciju i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo nekoliko primjera:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Pa, što je loše u tome? Zašto to nismo mogli prije? Evo zašto. Razmotrimo jednostavan izraz: $\sqrt(-2)$ je broj koji je sasvim normalan u našem klasičnom smislu, ali apsolutno neprihvatljiv sa stajališta aritmetičkog korijena. Pokušajmo to pretvoriti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\lijevo(-2 \desno))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kao što vidite, u prvom smo slučaju izvadili minus ispod radikala (imamo potpuno pravo, jer je indikator neparan), au drugom smo upotrijebili gornju formulu. Oni. s gledišta matematike, sve se radi po pravilima.

WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo što formula za potenciranje, koja odlično funkcionira za pozitivne brojeve i nulu, počinje davati potpunu herezu u slučaju negativnih brojeva.

Ovdje su, kako bi se riješili takve dvosmislenosti, smislili aritmetičke korijene. Njima je posvećena posebna velika lekcija, gdje detaljno razmatramo sva njihova svojstva. Stoga se sada nećemo zadržavati na njima - lekcija se ionako pokazala predugom.

Algebarski korijen: za one koji žele znati više

Dugo sam razmišljao: napraviti ovu temu u zasebnom paragrafu ili ne. Na kraju sam odlučio otići odavde. Ovaj je materijal namijenjen onima koji žele još bolje razumjeti korijene - ne više na prosječnoj "školskoj" razini, već na razini bliskoj olimpijadi.

Dakle: osim "klasične" definicije korijena $n$-tog stupnja iz broja i pripadajuće podjele na parne i neparne pokazatelje, postoji "odraslija" definicija, koja ne ovisi o parnosti i druge suptilnosti uopće. To se zove algebarski korijen.

Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji dobro utvrđena oznaka za takve korijene, pa samo stavite crticu na vrh:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\lijevo\( b\lijevo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]

Temeljna razlika u odnosu na standardnu ​​definiciju danu na početku lekcije je u tome što algebarski korijen nije određeni broj, već skup. A budući da radimo sa stvarnim brojevima, ovaj skup ima samo tri vrste:

1. Prazan set. Javlja se kada je potrebno pronaći algebarski korijen parnog stupnja iz negativnog broja;
2. Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija od nule, spadaju u ovu kategoriju;
3. Konačno, skup može uključivati ​​dva broja - iste $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na grafikon kvadratne funkcije. Prema tome, takvo je poravnanje moguće samo kada se iz pozitivnog broja izvlači korijen parnog stupnja.

Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera da shvatimo razliku.

Primjer. Izračunaj izraze:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Riješenje. Prvi izraz je jednostavan:

\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo\( 2;-2 \desno\)\]

To su dva broja koji su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo\( -3 \desno\)\]

Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. To je sasvim logično, jer je eksponent korijena neparan.

Na kraju, posljednji izraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Imamo prazan set. Jer ne postoji niti jedan realan broj koji će nam, kad ga se podigne na četvrtu (tj. parnu!) potenciju, dati negativan broj −16.

Završna napomena. Napomena: nisam slučajno posvuda primijetio da radimo s realnim brojevima. Jer postoje i složeni brojevi - tamo je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$ i mnoge druge čudne stvari.

Međutim, u suvremenom školskom kurikulumu matematike kompleksni brojevi se gotovo nikada ne nalaze. Oni su izostavljeni iz većine udžbenika jer naši dužnosnici smatraju temu "preteškom za razumijevanje".

To je sve. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati sva ključna svojstva korijena i konačno naučiti kako pojednostaviti iracionalne izraze. :)