Nerijetko se pri rješavanju problema susrećemo s velikim brojevima iz kojih trebamo izdvajati Korijen. Mnogi učenici odluče da je to pogreška i počnu rješavati cijeli primjer. Ni pod kojim uvjetima to ne smijete učiniti! Postoje dva razloga za to:

1. Korijeni velikih brojeva pojavljuju se u problemima. Pogotovo u tekstu;
2. Postoji algoritam kojim se ti korijeni razmatraju gotovo verbalno.

Danas ćemo razmotriti ovaj algoritam. Možda će vam se neke stvari učiniti neshvatljivima. Ali ako obratite pozornost na ovu lekciju, dobit ćete najmoćnije oružje protiv kvadratni korijeni.

Dakle, algoritam:

1. Ograničite željeni korijen iznad i dolje na višekratnike od 10. Stoga ćemo smanjiti raspon pretraživanja na 10 brojeva;
2. Iz ovih 10 brojeva izlučite one koji definitivno ne mogu biti korijeni. Kao rezultat toga, ostat će 1-2 broja;
3. Kvadrirajte ova 1-2 broja. Onaj od njih, čiji je kvadrat jednak izvornom broju, bit će korijen.

Prije nego što primjena ovog algoritma funkcionira u praksi, pogledajmo svaki pojedinačni korak.

Ograničenje korijena

Prije svega, moramo saznati između kojih brojeva se nalazi naš korijen. Vrlo je poželjno da brojevi budu višestruki od deset:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Dobijamo niz brojeva:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Što nam ove brojke daju? Jednostavno je: dobivamo granice. Uzmimo, na primjer, broj 1296. Nalazi se između 900 i 1600. Dakle, njegov korijen ne može biti manji od 30 ni veći od 40:

[Natpis slike]

Isto je s bilo kojim drugim brojem iz kojeg možete izvući kvadratni korijen. Na primjer, 3364:

[Natpis slike]

Tako, umjesto nerazumljivog broja, dobivamo vrlo specifičan raspon u kojem se nalazi izvorni korijen. Da biste dodatno suzili opseg pretraživanja, prijeđite na drugi korak.

Uklanjanje očito suvišnih brojeva

Dakle, imamo 10 brojeva - kandidata za korijen. Dobili smo ih vrlo brzo, bez kompleksnog razmišljanja i množenja u koloni. Vrijeme je da nastaviš dalje.

Vjerovali ili ne, sada ćemo broj kandidata smanjiti na dva – i opet bez ikakvih kompliciranih izračuna! Dovoljno je znati posebno pravilo. Evo ga:

Zadnja znamenka kvadrata ovisi samo o zadnjoj znamenki izvorni broj.

Drugim riječima, dovoljno je pogledati posljednju znamenku kvadrata - i odmah ćemo shvatiti gdje završava izvorni broj.

Na zadnjem mjestu može biti samo 10 znamenki. Pokušajmo saznati u što se pretvaraju kada se kvadriraju. Pogledajte tablicu:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ova tablica je još jedan korak prema izračunavanju korijena. Kao što vidite, ispostavilo se da su brojevi u drugom retku simetrični u odnosu na pet. Na primjer:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kao što vidite, zadnja znamenka je ista u oba slučaja. A to znači da, na primjer, korijen od 3364 nužno završava na 2 ili 8. S druge strane, sjećamo se ograničenja iz prethodnog paragrafa. Dobivamo:

[Natpis slike]

Crveni kvadratići pokazuju da još ne znamo tu brojku. Ali ipak, korijen leži između 50 i 60, na kojem postoje samo dva broja koji završavaju na 2 i 8:

[Natpis slike]

To je sve! Od svih mogućih korijena ostavili smo samo dvije opcije! I to je u najtežem slučaju, jer posljednja znamenka može biti 5 ili 0. I tada će ostati jedini kandidat za korijene!

Konačni izračuni

Dakle, ostala su nam 2 broja kandidata. Kako znaš koji je korijen? Odgovor je očit: kvadrirajte oba broja. Onaj koji je na kvadrat dat će izvorni broj i bit će korijen.

Na primjer, za broj 3364 pronašli smo dva kandidata kandidata: 52 i 58. Kvadratirajmo ih:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

To je sve! Ispostavilo se da je korijen 58! Pritom sam, kako bih pojednostavio izračune, koristio formulu kvadrata zbroja i razlike. Zahvaljujući tome, čak niste morali množiti brojeve u stupcu! Ovo je još jedna razina optimizacije izračuna, ali, naravno, potpuno je opcionalna :)

Primjeri izračunavanja korijena

Teorija je dobra, naravno. Ali provjerimo to u praksi.

[Natpis slike]

Najprije saznajmo između kojih se brojeva nalazi broj 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Sada pogledajmo posljednji broj. Jednako je 6. Kada se to događa? Samo ako korijen završava na 4 ili 6. Dobivamo dva broja:

Ostaje kvadrirati svaki broj i usporediti ga s izvornikom:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Fino! Pokazalo se da je prvi kvadrat jednak izvornom broju. Dakle, ovo je korijen.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis slike]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pogledajmo posljednji broj:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadriramo to:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Evo odgovora: 37.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis slike]

Ograničavamo broj:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pogledajmo posljednji broj:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadriramo to:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Dobili smo odgovor: 52. Drugi broj više neće trebati kvadrirati.

Zadatak. Izračunajte kvadratni korijen:

[Natpis slike]

Ograničavamo broj:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pogledajmo posljednji broj:

4225 → 5;
65.

Kao što vidite, nakon drugog koraka ostaje samo jedna opcija: 65. Ovo je željeni korijen. Ali kvadrirajmo to i provjerimo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Sve je točno. Zapisujemo odgovor.

Zaključak

Jao, ništa bolje. Pogledajmo razloge. Postoje dva od njih:

• Zabranjeno je koristiti kalkulatore na bilo kojem uobičajenom ispitu iz matematike, bilo da se radi o GIA ili Jedinstvenom državnom ispitu. A zbog nošenja kalkulatora u učionicu lako ih se može izbaciti s ispita.
• Ne budite kao glupi Amerikanci. Koji nisu poput korijena - ne mogu zbrojiti dva prosta broja. A pri pogledu na razlomke uglavnom histeriziraju.

Operacije s ovlastima i korijenima. Stupanj s negativnim ,

nula i razlomak indikator. O izrazima koji nemaju smisla.

Operacije sa stupnjevima.

1. Pri množenju potencija s istom bazom zbrajaju se njihovi indikatori:

a m · a n = a m + n.

2. Pri dijeljenju stupnjeva s istom bazom, njihovi pokazatelji oduzeto .

3. Stupanj umnoška dvaju ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva tih faktora.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. Stupanj omjera (razlomka) jednak je omjeru stupnjeva djelitelja (brojnika) i djelitelja (nazivnika):

(a/b ) n = a n / b n.

5. Prilikom podizanja stupnja na potenciju, njihovi pokazatelji se množe:

(a m ) n = a m n .

Sve gore navedene formule se čitaju i izvode u oba smjera slijeva na desno i obrnuto.

PRIMJER (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operacije s korijenima. U svim formulama ispod, simbol sredstva aritmetički korijen(radikalni izraz je pozitivan).

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijeni ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru korijena dividende i djelitelja:

3. Kod podizanja korijena na potenciju, dovoljno je dići se na ovu potenciju korijenski broj:

4. Ako povećamo stupanj korijena u m jednom i istovremeno podići na m stepen je korijen broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjimo stupanj korijena u m izvadite korijen jednom i u isto vrijeme m stupnja od radikalnog broja, tada vrijednost korijena nijeće promijeniti:

Proširenje pojma stupnja. Do sada smo stupnjeve razmatrali samo s prirodnim pokazateljem; ali radnje stupnjeva i korijena također može dovesti do negativan, nula i frakcijski indikatori. Svi ti eksponenti zahtijevaju dodatnu definiciju.

Stupanj s negativnim eksponentom. Snaga nekog broja sa negativan (cijeli) pokazatelj je definiran kao jedinica podijeljena sa na potenciju istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednostinegativan indikator:

T sada formula a m: a n= a m - n može se koristiti ne samo zam, više od n, ali i kod m, manje od n .

PRIMJER a 4 :a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Ako želimo formulua m : a n= a m - nbio pošten um = n, potrebna nam je definicija nultog stupnja.

Stupanj s nultim eksponentom. Stupanj bilo kojeg broja različitog od nule s nultim eksponentom je 1.

PRIMJERI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Podići pravi broj i na snagu m/n , morate izvaditi korijen n-ta potencija od m stepen ovog broja a:

O izrazima koji nemaju smisla. Postoji nekoliko takvih izraza. bilo koji broj.

Doista, ako pretpostavimo da je ovaj izraz jednak nekom broju x, tada prema definiciji operacije dijeljenja imamo: 0 = 0 x. Ali ova jednakost vrijedi za bilo koji broj x, što je trebalo dokazati.

Slučaj 3

0 0 - bilo koji broj.

Stvarno,

Rješenje. Razmotrite tri glavna slučaja:

1) x = 0 – ova vrijednost ne zadovoljava ovu jednadžbu

(Zašto?).

2) kada x> 0 dobivamo: x / x = 1, tj. 1 = 1, odakle slijedi,

što x- bilo koji broj; ali uzimajući u obzir da

Naš slučaj x> 0, odgovor jex > 0 ;

3) kada x < 0 получаем: – x / x= 1, tj . –1 = 1, dakle,

U ovom slučaju rješenja nema.

Tako, x > 0.

Na početku lekcije ponovit ćemo osnovna svojstva kvadratnih korijena, a zatim ćemo pogledati neke složene primjere pojednostavljivanja izraza koji sadrže kvadratne korijene.

Tema:Funkcija. Svojstva kvadratnog korijena

Lekcija:Pretvaranje i pojednostavljenje složenijih izraza s korijenima

1. Ponavljanje svojstava kvadratnih korijena

Ponovimo ukratko teoriju i prisjetimo se glavnih svojstava kvadratnih korijena.

Svojstva kvadratnih korijena:

1. , dakle, ;

3. ;

4. .

2. Primjeri za pojednostavljenje izraza s korijenima

Prijeđimo na primjere korištenja ovih svojstava.

Primjer 1: Pojednostavite izraz .

Odluka. Da pojednostavimo, broj 120 mora se rastaviti na proste faktore:

Otvorit ćemo kvadrat zbroja prema odgovarajućoj formuli:

Primjer 2: Pojednostavite izraz .

Odluka. Uzimamo u obzir da ovaj izraz nema smisla za sve moguće vrijednosti varijable, budući da ovaj izraz sadrži kvadratne korijene i razlomke, što dovodi do "sužavanja" raspona prihvatljivih vrijednosti. ODZ: ().

Izraz u zagradi dovodimo na zajednički nazivnik, a brojnik zadnjeg razlomka zapisujemo kao razliku kvadrata:

Na.

Odgovor. na.

Primjer 3: Pojednostavite izraz .

Odluka. Vidi se da je druga zagrada brojnika nezgodnog oblika i treba je pojednostaviti, pokušajmo je faktorizirati metodom grupiranja.

Da bismo mogli izvaditi zajednički faktor, pojednostavili smo korijene rastavljajući ih na faktore. Zamijenite dobiveni izraz u izvorni razlomak:

Nakon redukcije razlomka, primjenjujemo formulu razlike kvadrata.

3. Primjer oslobađanja od iracionalnosti

Primjer 4. Oslobodite se iracionalnosti (korijena) u nazivniku: a) ; b) .

Odluka. a) Da bi se uklonila iracionalnost u nazivniku, koristi se standardna metoda množenja i brojnika i nazivnika razlomka faktorom konjugiranim na nazivnik (isti izraz, ali sa suprotnim predznakom). To se radi kako bi se nazivnik razlomka dopunio razlikom kvadrata, što vam omogućuje da se riješite korijena u nazivniku. Učinimo ovo u našem slučaju:

b) izvršiti slične radnje:

Odgovor.; .

4. Primjer za dokaz i izbor potpunog kvadrata u kompleksnom radikalu

Primjer 5. Dokaži jednakost .

Dokaz. Poslužimo se definicijom kvadratnog korijena iz koje slijedi da kvadrat desnog izraza mora biti jednak korijenskom izrazu:

. Otvorimo zagrade prema formuli kvadrata zbroja:

, dobivamo točnu jednadžbu.

dokazano.

Primjer 6. Pojednostavite izraz.

Odluka. Ovaj izraz se obično naziva složeni radikal (korijen ispod korijena). U ovom primjeru morate pogoditi kako biste odabrali cijeli kvadrat iz radikalnog izraza. Da bismo to učinili, napominjemo da je od dva pojma kandidat za ulogu dvostrukog proizvoda u formuli za kvadrat razlike (razlika, budući da postoji minus). Zapišimo to u obliku takvog umnoška: , tada , tvrdi da je jedan od članova punog kvadrata, a 1 da igra ulogu drugog.

Zamijenimo ovaj izraz ispod korijena.

Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama često zahtijeva skakanje s korijena na potencije i obrnuto. U ovom ćemo članku analizirati kako se takvi prijelazi provode, što je u njihovoj osnovi i u kojim se točkama najčešće pojavljuju pogreške. Sve to opskrbit ćemo karakterističnim primjerima uz detaljnu analizu rješenja.

Navigacija po stranici.

Prijelaz s potencija s razlomačkim eksponentima na korijene

Mogućnost prelaska sa stupnja s razlomačkim eksponentom na korijen diktira sama definicija stupnja. Podsjetimo se kako se određuje: stupanj pozitivnog broja a s razlomačkim eksponentom m / n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj, naziva se n-ti korijen od a m , to jest, gdje je a> 0, m∈Z, n∈ N. Frakcijska potencija nule definirana je na sličan način , s jedinom razlikom što se u ovom slučaju m već smatra ne cijelim, već prirodnim, tako da se ne događa dijeljenje s nulom.

Dakle, stupanj se uvijek može zamijeniti korijenom. Na primjer, možete ići od do , a stupanj se može zamijeniti korijenom. Ali ne biste se trebali kretati od izraza do korijena, budući da stupanj u početku nema smisla (stupanj negativnih brojeva nije definiran), unatoč činjenici da korijen ima smisla.

Kao što vidite, nema apsolutno ništa teško u prijelazu s moći brojeva na korijene. Slično se provodi prijelaz na korijene potencija s frakcijskim eksponentima na temelju proizvoljnih izraza. Imajte na umu da se naznačeni prijelaz provodi na ODZ varijabli za izvorni izraz. Na primjer, izraz na cijeloj ODZ varijabli x za ovaj izraz može se zamijeniti korijenom . I od diplome idi na root , takva se zamjena odvija za bilo koji skup varijabli x, y i z iz DPV-a za izvorni izraz.

Zamjena korijena ovlastima

Moguća je i obrnuta zamjena, odnosno zamjena korijena po stupnjevima s frakcijskim eksponentima. Također se temelji na jednakosti, koja se u ovom slučaju koristi s desna na lijevo, odnosno u obliku.

Za pozitivno a, ovaj prijelaz je očit. Na primjer, možete zamijeniti stupanj, a od korijena prijeći na stupanj s frakcijskim indikatorom oblika.

A za negativno a, jednakost nema smisla, ali korijen može imati smisla. Na primjer, korijeni imaju smisla, ali se ne mogu zamijeniti moćima. Dakle, mogu li se oni uopće pretvoriti u izraze moći? To je moguće ako izvršimo preliminarne transformacije, koje se sastoje u prijelazu na korijene s nenegativnim brojevima ispod njih, koji se zatim zamjenjuju stupnjevima s frakcijskim eksponentima. Pokažimo što su te preliminarne transformacije i kako ih izvesti.

U slučaju korijena, možete izvršiti sljedeće transformacije: . A budući da je 4 pozitivan broj, zadnji korijen se može zamijeniti potencijom. I u drugom slučaju određivanje korijena neparnog stupnja iz negativnog broja−a (u ovom slučaju a je pozitivan), što je izraženo jednakošću , omogućuje zamjenu korijena izrazom u kojem se kubni korijen iz dva već može zamijeniti stupnjem, a poprimit će oblik .

Ostaje shvatiti kako se korijeni ispod kojih se nalaze izrazi zamjenjuju stupnjevima koji sadrže te izraze u osnovi. Ovdje ne biste trebali žuriti sa zamjenom, mi smo slovom A označili neki izraz. Uzmimo primjer da pojasnimo što to znači. Želi se korijen zamijeniti diplomom, na temelju jednakosti. Ali takva je zamjena prikladna samo ako je x−3≥0<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

Zbog takve netočne primjene formule često dolazi do pogrešaka pri prelasku s korijena na potencije. Na primjer, u udžbeniku je dan zadatak prikazati izraz kao stupanj s racionalnim eksponentom i dan je odgovor koji postavlja pitanja, jer u uvjetu nije postavljeno ograničenje b>0. I u udžbeniku je prijelaz iz izraza , najvjerojatnije kroz sljedeće transformacije iracionalnog izraza

do izražaja. Posljednji prijelaz također izaziva pitanja, jer sužava ODZ.

Postavlja se logično pitanje: “Kako je ispravno kretati se od korijena do stupnja za sve vrijednosti varijabli iz ODZ”? Ova zamjena temelji se na sljedećim tvrdnjama:

Prije nego potkrijepimo zabilježene rezultate, dat ćemo nekoliko primjera njihove uporabe za prijelaz s korijena na moći. Prvo, vratimo se na izraz. Nije ga trebalo zamijeniti s , nego s (u ovom slučaju m=2 je paran cijeli broj, n=3 je prirodan broj). Još jedan primjer: .

Sada obećano potkrepljenje rezultata.

Kada je m neparan cijeli broj, a n pozitivan cijeli broj, tada je za bilo koji skup varijabli iz DPV za izraz, vrijednost izraza A pozitivna (ako je m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ). Zato, .

Prijeđimo na drugi rezultat. Neka je m pozitivan neparan cijeli broj i n neparan prirodni broj. Za sve vrijednosti varijabli iz ODZ za koje je vrijednost izraza A nenegativna, , a za koji je negativan,

Sljedeći rezultat se dokazuje na sličan način za negativne i neparne cijele brojeve m i prirodni neparni n. Za sve vrijednosti varijabli iz ODZ za koje je vrijednost izraza A pozitivna, , a za koji je negativan,

Konačno, zadnji rezultat. Neka je m paran cijeli broj, n bilo koji prirodni broj. Za sve vrijednosti varijabli iz ODZ za koje je vrijednost izraza A pozitivna (ako je m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . I za koje je negativan, . Dakle, ako je m paran cijeli broj, n je bilo koji prirodni broj, tada se za bilo koji skup vrijednosti varijabli iz DPV za izraz može zamijeniti s .

Bibliografija.

1. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; ur. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
2. Algebra i početak matematičke analize. 11. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; izd. A. B. Žižčenko. - M .: Obrazovanje, 2009. - 336 str.: Ilustr. - ISBN 979-5-09-016551-8.

Čestitamo: danas ćemo analizirati korijene - jednu od najzanimljivijih tema 8. razreda. :)

Mnogi se zbune oko korijena ne zato što su složeni (što je komplicirano - par definicija i još par svojstava), već zato što su u većini školskih udžbenika korijeni definirani kroz takve divljine da samo autori udžbenika mogu sami shvati ovo škrabanje. I to samo uz bocu dobrog viskija. :)

Stoga ću sada dati najtočniju i najkompetentniju definiciju korijena - jedinu koju stvarno trebate zapamtiti. I tek tada ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.

Ali prvo zapamtite jednu važnu točku, koju iz nekog razloga mnogi sastavljači udžbenika "zaboravljaju":

Korijeni mogu biti parnog stupnja (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i bilo koji $\sqrt(a)$ i parni $\sqrt(a)$) i neparnog stupnja (bilo koji $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ itd.). I definicija korijena neparnog stupnja je nešto drugačija od parnog.

Ovdje u ovom jebenom "nešto drugačijem" krije se, vjerojatno, 95% svih pogrešaka i nesporazuma povezanih s korijenima. Dakle, raščistimo terminologiju jednom zauvijek:

Definicija. Čak i korijen n od broja $a$ je bilo koji nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$. A korijen neparnog stupnja iz istog broja $a$ općenito je bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.

U svakom slučaju, korijen se označava ovako:

\(a)\]

Broj $n$ u takvom se zapisu naziva korijenski eksponent, a broj $a$ radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobivamo naš "omiljeni" kvadratni korijen (usput, ovo je korijen parnog stupnja), a za $n=3$ dobivamo kubični korijen (neparni stupanj), koji se također često nalazi u problemima i jednadžbama.

Primjeri. Klasični primjeri kvadratnih korijena:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Usput, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično jer $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Kubični korijeni su također uobičajeni - nemojte ih se bojati:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Pa, par "egzotičnih primjera":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stupnja, ponovno pročitajte definiciju. Vrlo je važno!

U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.

Zašto nam uopće trebaju korijeni?

Nakon što pročitaju definiciju, mnogi studenti će se zapitati: “Što su matematičari popušili kad su ovo smislili?” I stvarno: zašto nam trebaju svi ti korijeni?

Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak u osnovnu školu. Zapamtite: u ta daleka vremena, kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša glavna briga bila je pravilno pomnožiti brojeve. Pa nešto u duhu "pet po pet - dvadeset i pet", to je sve. Ali uostalom, brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Međutim, nije u tome poanta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa su množenje deset petica morali zapisati ovako:

Pa su došli do diploma. Zašto ne biste broj faktora napisali kao superskript umjesto dugog niza? Kao ova:

Vrlo je povoljno! Svi izračuni smanjeni su nekoliko puta, a ne možete potrošiti hrpu pergamentnih listova bilježnica da zapišete nekih 5 183 . Takav unos nazvan je stupanj broja, u njemu je pronađena hrpa svojstava, ali sreća se pokazala kratkotrajnom.

Nakon grandiozne pijanke, koja je organizirana upravo oko “otkrića” stupnjeva, neki posebno nabusiti matematičar iznenada upita: “Što ako znamo stupanj broja, ali ne znamo sam broj?” Doista, ako znamo da određeni broj $b$, na primjer, daje 243 na 5. potenciju, kako onda možemo pogoditi čemu je jednak sam broj $b$?

Pokazalo se da je ovaj problem mnogo globalniji nego što se na prvi pogled čini. Jer pokazalo se da za većinu “konfekcijskih” diploma ne postoje te “početne” brojke. Prosudite sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(align)\]

Što ako $((b)^(3))=50$? Ispada da trebate pronaći određeni broj, koji će nam, pomnožen sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3 jer je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. tj. ovaj broj leži negdje između tri i četiri, ali čemu je jednak - FIG shvatit ćete.

Upravo su zato matematičari došli do $n$-tih korijena. Zato je uvedena radikalna ikona $\sqrt(*)$. Za označavanje istog broja $b$, koji će nam, na zadanu potenciju, dati prethodno poznatu vrijednost

\[\sqrt[n](a)=b\desna strelica ((b)^(n))=a\]

Ne raspravljam: često se ti korijeni lako razmatraju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera gore. Ali ipak, u većini slučajeva, ako zamislite proizvoljan broj, a zatim pokušate iz njega izvući korijen proizvoljnog stupnja, čeka vas okrutna nevolja.

Što je tamo! Čak ni najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se prikazati u našem uobičajenom obliku - kao cijeli broj ili razlomak. A ako ovaj broj unesete u kalkulator, vidjet ćete ovo:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kao što vidite, iza decimalne točke nalazi se beskonačan niz brojeva koji se ne pokoravaju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj za brzu usporedbu s drugim brojevima. Na primjer:

\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]

Ili evo još jednog primjera:

\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]

Ali sva ta zaokruživanja su, prvo, prilično gruba; i drugo, također morate znati raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti hrpu neočitih pogrešaka (usput, vještina uspoređivanja i zaokruživanja nužno se provjerava na ispitu za profil).

Stoga se u ozbiljnoj matematici ne može bez korijena - oni su isti ravnopravni predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, poput razlomaka i cijelih brojeva koje odavno poznajemo.

Nemogućnost predstavljanja korijena kao razlomka oblika $\frac(p)(q)$ znači da taj korijen nije racionalan broj. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim i ne mogu se točno prikazati osim uz pomoć radikala ili drugih za to posebno dizajniranih konstrukcija (logaritmi, stupnjevi, limiti itd.). Ali o tome drugom prilikom.

Razmotrite nekoliko primjera u kojima će nakon svih izračuna u odgovoru i dalje ostati iracionalni brojevi.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]

Naravno, po izgledu korijena gotovo je nemoguće pogoditi koji će brojevi doći iza decimalne točke. Međutim, moguće je izračunati na kalkulatoru, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma daje nam samo prvih nekoliko znamenki iracionalnog broja. Stoga je mnogo ispravnije odgovore pisati kao $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Za to su i izmišljeni. Da biste lakše zapisivali odgovore.

Zašto su potrebne dvije definicije?

Pažljivi čitatelj vjerojatno je već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima uzeti iz pozitivnih brojeva. Pa barem od nule. Ali kockasti korijeni mirno se izvlače iz apsolutno bilo kojeg broja - čak i pozitivnog, čak i negativnog.

Zašto se ovo događa? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:

Graf kvadratne funkcije daje dva korijena: pozitivan i negativan

Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj grafikon. Da biste to učinili, na grafikonu se nacrta vodoravna linija $y=4$ (označena crvenom bojom) koja siječe parabolu u dvije točke: $((x)_(1))=2$ i $((x) _(2)) =-2$. To je sasvim logično, jer

Sve je jasno s prvim brojem - pozitivan je, dakle korijen:

Ali što onda učiniti s drugom točkom? Ima li 4 dva korijena odjednom? Uostalom, ako kvadriramo broj −2, također ćemo dobiti 4. Zašto onda ne napisati $\sqrt(4)=-2$? A zašto profesori gledaju takve zapise kao da vas žele pojesti? :)

Problem je u tome što će, ako se ne nametnu dodatni uvjeti, četiri imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I bilo koji pozitivan broj također će ih imati dva. Ali negativni brojevi uopće neće imati korijene - to se može vidjeti iz istog grafikona, budući da parabola nikada ne pada ispod osi g, tj. ne uzima negativne vrijednosti.

Sličan problem javlja se za sve korijene s parnim eksponentom:

1. Strogo govoreći, svaki pozitivan broj će imati dva korijena s parnim eksponentom $n$;
2. Iz negativnih brojeva uopće se ne izvlači korijen s parnim $n$.

Zato definicija parnog korijena $n$ posebno propisuje da odgovor mora biti nenegativan broj. Tako se rješavamo dvosmislenosti.

Ali za neparnih $n$ nema tog problema. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:

Kubična parabola poprima bilo koju vrijednost, tako da se kubni korijen može uzeti iz bilo kojeg broja

Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:

1. Grane kubične parabole, za razliku od uobičajene, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, na kojoj god visini nacrtali vodoravnu crtu, ta će se linija sigurno presijecati s našim grafikonom. Dakle, kubni korijen uvijek se može uzeti, apsolutno iz bilo kojeg broja;
2. Osim toga, takvo će sjecište uvijek biti jedinstveno, tako da ne morate razmišljati o tome koji broj smatrati "ispravnim" korijenom, a koji bodovati. Zato je definicija korijena za neparni stupanj jednostavnija nego za parni (ne postoji zahtjev za nenegativnošću).

Šteta je što te jednostavne stvari nisu objašnjene u većini udžbenika. Umjesto toga, naši se mozgovi počinju lebdjeti sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.

Da, ne raspravljam: što je aritmetički korijen - također morate znati. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo također govoriti o njemu, jer bez njega bi sva razmišljanja o korijenima $n$-te višestrukosti bila nepotpuna.

Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. U suprotnom, zbog obilja pojmova, u vašoj će glavi početi takva zbrka da na kraju nećete razumjeti baš ništa.

I sve što trebate razumjeti je razlika između parnih i neparnih brojeva. Stoga ćemo još jednom prikupiti sve što stvarno trebate znati o korijenima:

1. Parni korijen postoji samo iz nenegativnog broja i sam je uvijek nenegativan broj. Za negativne brojeve takav je korijen nedefiniran.
2. Ali korijen neparnog stupnja postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve on je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što se naslućuje na vrhu, on je negativan.

Je li teško? Ne, nije teško. Razumljivo? Da, očito je! Stoga ćemo sada malo vježbati s izračunima.

Osnovna svojstva i ograničenja

Korijeni imaju mnogo čudnih svojstava i ograničenja - ovo će biti zasebna lekcija. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "čip", koji se odnosi samo na korijene s parnim eksponentom. Ovo svojstvo zapisujemo u obliku formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lijevo| x\desno|\]

Drugim riječima, ako broj podignemo na parnu potenciju, a zatim iz toga izvučemo korijen istog stupnja, nećemo dobiti izvorni broj, već njegov modul. Ovo je jednostavan teorem koji je lako dokazati (dovoljno je posebno razmotriti nenegativne $x$, a zatim posebno razmotriti negativne). Učitelji stalno pričaju o tome, to je navedeno u svakom školskom udžbeniku. Ali čim dođe do rješavanja iracionalnih jednadžbi (tj. jednadžbi s predznakom radikala), učenici zajedno zaborave ovu formulu.

Da bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo na trenutak sve formule i pokušajmo brojati dva broja unaprijed:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=?\]

Ovo su vrlo jednostavni primjeri. Prvi primjer će većina ljudi riješiti, ali na drugom se mnogi drže. Da biste bez problema riješili takvo sranje, uvijek razmotrite postupak:

1. Prvo se broj diže na četvrtu potenciju. Pa, nekako je lako. Dobit će se novi broj, koji se čak može naći u tablici množenja;
2. A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući korijen četvrtog stupnja. Oni. nema "redukcije" korijena i stupnjeva - to su sekvencijalne radnje.

Pozabavimo se prvim izrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očito, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:

Sada učinimo isto s drugim izrazom. Prvo dižemo broj −3 na četvrtu potenciju, za što ga trebamo pomnožiti samim sobom 4 puta:

\[((\lijevo(-3 \desno))^(4))=\lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \ lijevo(-3 \desno)=81\]

Dobili smo pozitivan broj, jer je ukupan broj minusa u proizvodu 4 komada i svi će se poništiti (uostalom, minus za minus daje plus). Zatim ponovno izvucite korijen:

U principu, ovaj redak ne bi mogao biti napisan, jer nije pametno da će odgovor biti isti. Oni. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od uobičajenog modula:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\lijevo| 3\desno|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \desno|=3. \\ \end(align)\]

Ovi izračuni dobro se slažu s definicijom korijena parnog stupnja: rezultat je uvijek nenegativan, a radikalni predznak također je uvijek nenegativan broj. Inače, korijen nije definiran.

Napomena o redoslijedu operacija

1. Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim vadimo kvadratni korijen dobivene vrijednosti. Prema tome, možemo biti sigurni da se nenegativan broj uvijek nalazi ispod znaka korijena, jer $((a)^(2))\ge 0$ ionako;
2. Ali oznaka $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da iz određenog broja $a$ prvo izvučemo korijen, a tek onda kvadriramo rezultat. Dakle, broj $a$ ni u kojem slučaju ne može biti negativan - to je obavezan zahtjev ugrađen u definiciju.

Dakle, ni u kojem slučaju ne treba nepromišljeno smanjivati ​​korijene i stupnjeve, čime se navodno "pojednostavljuje" izvorni izraz. Jer ako je ispod korijena negativan broj, a njegov eksponent je paran, dobit ćemo puno problema.

Međutim, svi ovi problemi relevantni su samo za parne pokazatelje.

Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena

Naravno, i korijeni s neparnim eksponentima imaju svoje svojstvo, koje u principu ne postoji za parne. Naime:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Ukratko, možete izvaditi minus ispod znaka korijena neparnog stupnja. Ovo je vrlo korisno svojstvo koje vam omogućuje da "izbacite" sve minuse:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \lijevo(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge izračune. Sada se ne morate brinuti: što ako je negativan izraz ušao ispod korijena, a stupanj u korijenu se pokazao jednakim? Dovoljno je sve minuse “izbaciti” izvan korijena, nakon čega se oni mogu međusobno množiti, dijeliti i općenito raditi mnoge sumnjive stvari, koje nas u slučaju “klasičnih” korijena garantirano vode do greške. .

I tu na scenu stupa još jedna definicija - upravo ona s kojom većina škola započinje proučavanje iracionalnih izraza. I bez kojih bi naše razmišljanje bilo nepotpuno. Upoznajte!

aritmetički korijen

Pretpostavimo na trenutak da samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula mogu biti ispod znaka korijena. Ocjenjujmo parne/neparne pokazatelje, ocjenjujmo sve gore navedene definicije - radit ćemo samo s nenegativnim brojevima. Što onda?

I onda dobijemo aritmetički korijen - on se djelomično presijeca s našim "standardnim" definicijama, ali se ipak razlikuje od njih.

Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stupnja nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.

Kao što vidite, više nas ne zanima paritet. Umjesto toga pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz je sada uvijek nenegativan, a sam korijen je također nenegativan.

Da biste bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafikone kvadratne i kubične parabole koji su nam već poznati:

Područje pretraživanja korijena - nenegativni brojevi

Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafikona koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrtini - gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati indikator da biste shvatili imamo li pravo na korijen negativnog broja ili ne. Budući da se negativni brojevi više u načelu ne razmatraju.

Možete pitati: "Pa, zašto nam treba tako kastrirana definicija?" Ili: "Zašto se ne možemo snaći s gore navedenom standardnom definicijom?"

Pa, dat ću samo jedno svojstvo, zbog kojeg nova definicija postaje prikladna. Na primjer, pravilo stepenovanja:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Imajte na umu: radikalni izraz možemo podići na bilo koju potenciju i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo nekoliko primjera:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Pa, što je loše u tome? Zašto to nismo mogli prije? Evo zašto. Razmotrimo jednostavan izraz: $\sqrt(-2)$ je broj koji je sasvim normalan u našem klasičnom smislu, ali apsolutno neprihvatljiv sa stajališta aritmetičkog korijena. Pokušajmo to pretvoriti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\lijevo(-2 \desno))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kao što vidite, u prvom smo slučaju izvadili minus ispod radikala (imamo potpuno pravo, jer je indikator neparan), au drugom smo upotrijebili gornju formulu. Oni. s gledišta matematike, sve se radi po pravilima.

WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo što formula za potenciranje, koja odlično funkcionira za pozitivne brojeve i nulu, počinje davati potpunu herezu u slučaju negativnih brojeva.

Ovdje su, kako bi se riješili takve dvosmislenosti, smislili aritmetičke korijene. Njima je posvećena posebna velika lekcija, gdje detaljno razmatramo sva njihova svojstva. Stoga se sada nećemo zadržavati na njima - lekcija se ionako pokazala predugom.

Algebarski korijen: za one koji žele znati više

Dugo sam razmišljao: napraviti ovu temu u zasebnom paragrafu ili ne. Na kraju sam odlučio otići odavde. Ovaj je materijal namijenjen onima koji žele još bolje razumjeti korijene - ne više na prosječnoj "školskoj" razini, već na razini bliskoj olimpijadi.

Dakle: osim "klasične" definicije korijena $n$-tog stupnja iz broja i pripadajuće podjele na parne i neparne pokazatelje, postoji "odraslija" definicija, koja ne ovisi o parnosti i druge suptilnosti uopće. To se zove algebarski korijen.

Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji dobro utvrđena oznaka za takve korijene, pa samo stavite crticu na vrh:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\lijevo\( b\lijevo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]

Temeljna razlika u odnosu na standardnu ​​definiciju danu na početku lekcije je u tome što algebarski korijen nije određeni broj, već skup. A budući da radimo sa stvarnim brojevima, ovaj skup ima samo tri vrste:

1. Prazan set. Javlja se kada je potrebno pronaći algebarski korijen parnog stupnja iz negativnog broja;
2. Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija od nule, spadaju u ovu kategoriju;
3. Konačno, skup može uključivati ​​dva broja - iste $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na grafikon kvadratne funkcije. Prema tome, takvo je poravnanje moguće samo kada se iz pozitivnog broja izvlači korijen parnog stupnja.

Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera da shvatimo razliku.

Primjer. Izračunaj izraze:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Odluka. Prvi izraz je jednostavan:

\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo\( 2;-2 \desno\)\]

To su dva broja koji su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo\( -3 \desno\)\]

Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. To je sasvim logično, jer je eksponent korijena neparan.

Na kraju, posljednji izraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Imamo prazan set. Jer ne postoji niti jedan realan broj koji će nam, kad ga se podigne na četvrtu (tj. parnu!) potenciju, dati negativan broj −16.

Završna napomena. Napomena: nisam slučajno posvuda primijetio da radimo s realnim brojevima. Jer postoje i složeni brojevi - tamo je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$ i mnoge druge čudne stvari.

Međutim, u suvremenom školskom kurikulumu matematike kompleksni brojevi se gotovo nikada ne nalaze. Oni su izostavljeni iz većine udžbenika jer naši dužnosnici smatraju temu "preteškom za razumijevanje".

To je sve. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati sva ključna svojstva korijena i konačno naučiti kako pojednostaviti iracionalne izraze. :)