Formule volumena za figure rotacije oko osi. Izračunavanje volumena rotacijskih tijela pomoću određenog integrala. Izračunavanje obujma tijela nastalog rotacijom ravnog lika oko osi

Korištenje integrala za pronalaženje volumena revolucijskih tijela

Praktična korisnost matematike je zbog činjenice da bez

specifično matematičko znanje otežava razumijevanje principa uređaja i korištenja Moderna tehnologija. Svaka osoba u svom životu mora izvesti prilično složene izračune, koristiti uobičajenu opremu, pronaći potrebne formule u referentnim knjigama i sastaviti jednostavne algoritme za rješavanje problema. NA moderno društvo više specijalnosti zahtijevaju visoka razina obrazovanje je povezano s izravnom primjenom matematike. Tako za školarca matematika postaje profesionalno značajan predmet. Vodeća uloga pripada matematici u formiranju algoritamskog mišljenja, ona odgaja sposobnost postupanja prema zadanom algoritmu i osmišljavanja novih algoritama.

Obučavajući temu Korištenje integrala za izračunavanje obujma rotacijskih tijela, predlažem da učenici u fakultativnoj nastavi razmotre temu: „Vopremni rotacijskih tijela pomoću integrala“. Evo nekoliko smjernica za bavljenje ovom temom:

1. Područje ravne figure.

Iz kolegija algebre znamo da je koncept određeni integral vodio praktične zadatke..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Da bismo pronašli volumen tijela rotacije nastalog rotacijom krivocrtnog trapeza oko osi Ox, omeđenog izlomljenom linijom y=f(x), osi Ox, ravnim linijama x=a i x=b, izračunavamo po formuli

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Volumen cilindra.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Stožac se dobiva rotacijom pravokutni trokut ABC(C=90) oko osi Ox na kojoj leži krak AC.

Segment AB leži na pravcu y=kx+c, gdje je https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Neka je a=0, b=H (H je visina stošca), tada je Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Volumen krnjeg stošca.

Krnji stožac može se dobiti rotacijom pravokutni trapez ABCD (CDOx) oko osi Ox.

Odsječak AB leži na pravoj y=kx+c, gdje je , c=r.

Budući da pravac prolazi točkom A (0; r).

Dakle, ravna linija izgleda kao https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Neka je a=0, b=H (H je visina krnjeg stošca), tada https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Volumen lopte.

Lopta se može dobiti rotacijom kruga sa središtem (0;0) oko x-osi. Polukrug koji se nalazi iznad x-osi dan je jednadžbom

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Tema: "Izračunavanje volumena rotacijskih tijela pomoću određenog integrala"

Vrsta lekcije: kombinirani.

Svrha lekcije: naučiti izračunati volumene rotacijskih tijela pomoću integrala.

Zadaci:

učvrstiti sposobnost odabira krivuljastih trapeza iz reda geometrijski oblici te razraditi vještinu izračunavanja površina krivuljastih trapeza;

upoznati pojam trodimenzionalnog lika;

naučiti izračunavati obujme rotacijskih tijela;

doprinose razvoju logično mišljenje, kompetentan matematički govor, točnost u izradi crteža;

njegovati interes za predmet, operirati matematičkim pojmovima i slikama, njegovati volju, samostalnost, ustrajnost u postizanju konačnog rezultata.

Tijekom nastave

I. Organizacijski momenat.

Grupni pozdrav. Priopćavanje učenicima ciljeva lekcije.

Želio bih započeti današnju lekciju prispodobom. “Bio je jedan mudar čovjek koji je sve znao. Jedna je osoba htjela dokazati da mudrac ne zna sve. Držeći leptira u rukama, upitao je: "Reci mi, mudrače, koji je leptir u mojim rukama: mrtav ili živ?" A on sam misli: "Ako živa kaže, ubit ću je, ako mrtva kaže, pustit ću je." Mudrac je, nakon razmišljanja, odgovorio: "Sve je u tvojim rukama."

Stoga, danas radimo plodonosno, steknimo novu zalihu znanja, a stečene vještine i sposobnosti primijenit ćemo u kasnijem životu i praktičnim aktivnostima. „Sve je u vašim rukama.“

II. Ponavljanje prethodno naučenog gradiva.

Prisjetimo se glavnih točaka prethodno proučenog materijala. Da bismo to učinili, dovršit ćemo zadatak "Izbriši suvišnu riječ".

(Učenici kažu dodatnu riječ.)

Ispravno "Diferencijal". Pokušajte s ostalim riječima imenovati jednu zajednička riječ. (Integralni račun.)

Prisjetimo se glavnih faza i pojmova vezanih uz integralni račun.

Vježbajte. Vratite propusnice. (Učenik izlazi i piše flomasterom potrebne riječi.)

Rad u bilježnicama.

Izvedena je Newton-Leibnizova formula engleski fizičar Isaac Newton (1643-1727) i njemački filozof Gottfried Leibniz (1646-1716). I to ne čudi, jer je matematika jezik kojim govori sama priroda.

Razmotrite kako se ova formula koristi u rješavanju praktičnih zadataka.

Primjer 1: Izračunajte površinu figure omeđene linijama

Riješenje: Gradimo dalje koordinatna ravnina grafovi funkcija . Odaberite područje figure koje želite pronaći.

III. Učenje novog gradiva.

Obratite pažnju na ekran. Što je prikazano na prvoj slici? (Slika prikazuje ravnu figuru.)

Što je prikazano na drugoj slici? Je li ova figura ravna? (Slika prikazuje trodimenzionalnu figuru.)

U svemiru, na zemlji iu svakodnevnom životu susrećemo se ne samo s ravnim figurama, već i s trodimenzionalnima, ali kako izračunati volumen takvih tijela? Na primjer: volumen planeta, kometa, meteorita itd.

O volumenu razmišljaju kada grade kuće i prelijevaju vodu iz jedne posude u drugu. Trebali su se pojaviti pravila i metode za izračunavanje volumena, druga je stvar koliko su bili točni i opravdani.

1612. bilo je za stanovnike austrijski grad Linz, u kojem je živio tada poznati astronom Johannes Kepler, vrlo je rodan, posebno za grožđe. Ljudi su pripremali vinske bačve i željeli su znati kako praktično odrediti njihov volumen.

Stoga su razmatrana Keplerova djela označila početak čitavog toka istraživanja, koji je kulminirao u posljednjoj četvrt XVII u. dizajn u djelima I. Newtona i G.V. Leibnizov diferencijalni i integralni račun. Od tog vremena matematika varijabli veličine zauzima vodeće mjesto u sustavu matematičkog znanja.

Dakle, danas ćemo se baviti takvim praktičnim aktivnostima, dakle,

Tema naše lekcije: "Izračunavanje volumena tijela revolucije pomoću određenog integrala."

Naučit ćete definiciju tijela revolucije ispunjavanjem sljedećeg zadatka.

"Labirint".

Vježbajte. Pronađite izlaz iz zbunjujuće situacije i zapišite definiciju.

IVIzračun volumena.

Koristeći određeni integral, možete izračunati volumen tijela, posebno tijela revolucije.

Okretno tijelo je tijelo dobiveno rotacijom krivocrtnog trapeza oko njegove baze (sl. 1, 2)

Volumen tijela rotacije izračunava se po jednoj od formula:

1. oko x-osi.

2. , ako je rotacija krivocrtnog trapeza oko y-osi.

Učenici zapisuju osnovne formule u bilježnicu.

Učitelj objašnjava rješenje primjera na ploči.

1. Odredite obujam tijela dobivenog rotacijom oko y-osi krivocrtnog trapeza omeđenog linijama: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Riješenje.

Odgovor: 1163 cm3.

2. Odredite obujam tijela dobivenog rotacijom paraboličnog trapeza oko osi apscisa. y = , x = 4, y = 0.

Riješenje.

V. Simulator matematike.

2. Skup svih antiderivacija zadane funkcije naziva se

ALI) neodređeni integral,

B) funkcija,

B) diferencijacija.

7. Odredite obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi apscisa krivocrtnog trapeza omeđenog linijama:

D/Z. Popravljanje novog materijala

Izračunaj obujam tijela koje nastaje rotacijom latice oko osi x y=x2, y2=x.

Nacrtajmo grafove funkcije. y=x2, y2=x. Graf y2 = x transformiramo u oblik y = .

Imamo V = V1 - V2. Izračunajmo volumen svake funkcije:

Zaključak:

Određeni integral svojevrsna je podloga za proučavanje matematike koja daje nezaobilazan doprinos rješavanju problema praktičnog sadržaja.

Tema "Integral" jasno pokazuje povezanost matematike i fizike, biologije, ekonomije i tehnologije.

Razvoj moderna znanost nezamislivo bez uporabe integrala. S tim u vezi potrebno ga je proučavati u okviru srednjeg Posebna edukacija!

VI. Ocjenjivanje.(S komentarom.)

Veliki Omar Khayyam - matematičar, pjesnik, filozof. On poziva da budemo gospodari svoje sudbine. Poslušajte ulomak iz njegovog rada:

Kažeš da je ovaj život samo trenutak.
Cijenite to, crpite inspiraciju iz toga.
Kako ga potrošiš, tako će i proći.
Ne zaboravi: ona je tvoja kreacija.

Definicija 3. Okretno tijelo je tijelo dobiveno rotacijom ravnog lika oko osi koja ne siječe lik i leži s njim u istoj ravnini.

Os rotacije također može presijecati lik ako je os simetrije lika.

Teorem 2.
, os
i ravnih segmenata
i

rotira oko osi
. Tada se volumen rezultirajućeg tijela revolucije može izračunati formulom

(2)

Dokaz. Za takvo tijelo, presjek s apscisom je krug radijusa
, sredstva
a formula (1) daje željeni rezultat.

Ako je slika ograničena grafovima dviju neprekidnih funkcija
i
, i segmente linije
i
, štoviše
i
, tada pri rotaciji oko apscisne osi dobijemo tijelo čiji volumen

Primjer 3 Izračunaj obujam torusa dobivenog rotacijom kružnice omeđene kružnicom

oko x-osi.

R riješenje. Navedeni krug je odozdo omeđen grafom funkcije
, i iznad -
. Razlika kvadrata ovih funkcija:

Željeni volumen

(graf integranda je gornji polukrug, tako da je gore napisani integral površina polukruga).

Primjer 4 Parabolični segment s bazom
, i visina , vrti se oko baze. Izračunaj obujam dobivenog tijela ("limun" po Cavalieriju).

R riješenje. Postavite parabolu kao što je prikazano na slici. Zatim njegova jednadžba
, i
. Pronađimo vrijednost parametra :
. Dakle, željeni volumen:

Teorem 3. Neka je krivolinijski trapez omeđen grafom kontinuirane nenegativne funkcije
, os
i ravnih segmenata
i
, štoviše
, rotira oko osi
. Tada se volumen rezultirajućeg tijela revolucije može pronaći formulom

(3)

dokazna ideja. Dijeljenje segmenta
točkice

, na dijelove i nacrtajte ravne linije
. Cijeli trapez će se rastaviti na trake, koje se mogu smatrati približno pravokutnicima s bazom
i visine
.

Cilindar koji nastaje rotacijom takvog pravokutnika prereže se duž generatrise i rasklopi. Dobivamo "gotovo" paralelepiped s dimenzijama:
,
i
. Njegov volumen
. Dakle, za volumen tijela revolucije ćemo imati približnu jednakost

Da bismo dobili točnu jednakost, moramo prijeći do granice na
. Gore napisani zbroj je integralni zbroj funkcije
, dakle, u limitu dobivamo integral iz formule (3). Teorem je dokazan.

Napomena 1. U teoremima 2 i 3, uvjet
može se izostaviti: formula (2) općenito je neosjetljiva na znak
, au formuli (3) dovoljno je
zamijenjen sa
.

Primjer 5 Parabolični segment (baza
, visina ) vrti se oko visine. Odredi obujam dobivenog tijela.

Riješenje. Rasporedite parabolu kao što je prikazano na slici. I iako os rotacije prelazi lik, ona - os - je os simetrije. Stoga treba uzeti u obzir samo desnu polovicu segmenta. Jednadžba parabole
, i
, sredstva
. Za volumen imamo:

Napomena 2. Ako je krivocrtna granica krivocrtnog trapeza dana parametarskim jednadžbama
,
,
i
,
onda se formule (2) i (3) mogu koristiti sa zamjenom na
i
na
kada se mijenja t iz
prije .

Primjer 6 Lik je omeđen prvim lukom cikloide
,
,
, i os apscisa. Odredi obujam tijela koje se dobije rotacijom ove figure oko: 1) osi
; 2) osovine
.

Riješenje. 1) Opća formula
U našem slučaju:

2) Opća formula
Za našu figuru:

Potičemo učenike da sami rade sve izračune.

Napomena 3. Neka je krivuljasti sektor omeđen neprekidnom linijom
i zrake
,

, rotira oko polarne osi. Volumen dobivenog tijela može se izračunati formulom.

Primjer 7 Dio figure omeđen kardioidom
, koji leži izvan kruga
, rotira oko polarne osi. Odredi obujam dobivenog tijela.

Riješenje. Obje linije, a time i figura koju ograničavaju, simetrične su oko polarne osi. Stoga je potrebno razmotriti samo dio za koji
. Krivulje se sijeku na
i

na
. Nadalje, brojka se može smatrati razlikom dvaju sektora, a stoga se volumen može izračunati kao razlika dvaju integrala. Imamo:

Zadaci za samostalno rješenje.

1. Kružni isječak čija je osnovica
, visina , vrti se oko baze. Nađi obujam tijela rotacije.

2. Odredi obujam okretnog paraboloida čija je baza , a visina je .

3. Figura omeđena astroidom
,
rotira oko x-osi. Nađite obujam tijela koji se u ovom slučaju dobije.

4. Slika omeđena linijama
i
rotira oko x-osi. Nađi obujam tijela rotacije.

I. Volumeni tijela revolucije. Prethodno proučite XII. poglavlje, str. 197, 198, prema udžbeniku G. M. Fikhtengoltsa* Detaljno analizirajte primjere dane na str. 198.

508. Izračunaj obujam tijela koje nastaje rotacijom elipse oko osi x.

Na ovaj način,

530. Nađite površinu površine koja nastaje rotacijom oko osi Ox luka sinusoide y \u003d sin x od točke X \u003d 0 do točke X \u003d It.

531. Izračunajte površinu stošca visine h i polumjera r.

532. Izračunajte površinu koju čine

rotacija astroida x3 -) - y* - a3 oko x-osi.

533. Izračunajte površinu površine koja nastaje inverzijom petlje krivulje 18 y-x(6-x)r oko x-osi.

534. Nađite površinu torusa koja nastaje rotacijom kružnice X2 - j - (y-3)2 = 4 oko x-osi.

535. Izračunajte površinu plohe koja nastaje rotacijom kruga X = a trošak, y = asint oko osi Ox.

536. Izračunajte površinu površine koja nastaje rotacijom petlje krivulje x = 9t2, y = St - 9t3 oko osi Ox.

537. Nađite površinu površine koja nastaje rotacijom luka krivulje x = e * sint, y = el cost oko osi Ox

od t = 0 do t = -.

538. Pokažite da je površina nastala rotacijom luka cikloide x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) oko osi Oy, jednaka 16 u2 o2.

539. Nađi plohu dobivenu rotacijom kardioide oko polarne osi.

540. Nađite površinu plohe koja nastaje rotacijom lemniskate oko polarne osi.

Dodatni zadaci za IV. poglavlje

Površine ravnih figura

541. Nađite cijelu površinu područja omeđenog krivuljom I os Oh.

542. Nađite površinu područja omeđenog krivuljom

I os Oh.

543. Nađite dio područja regije koji se nalazi u prvom kvadrantu i omeđen krivuljom

l koordinatne osi.

544. Odredite površinu unutarnje površine

petlje:

545. Nađite područje regije ograničene jednom petljom krivulje:

546. Pronađite područje područja koje se nalazi unutar petlje:

547. Nađite površinu područja omeđenog krivuljom

I os Oh.

548. Nađite površinu područja omeđenog krivuljom

I os Oh.

549. Odredite površinu područja omeđenog osi Oxr

ravno i krivo

Osim pronalaženje površine ravnog lika pomoću određenog integrala (vidi 7.2.3.) najvažnija primjena teme je proračun obujma tijela rotacije. Gradivo je jednostavno, ali čitatelj mora biti pripremljen: potrebno je znati riješiti neodređeni integrali srednje složenosti i primijeniti Newton-Leibnizovu formulu u određeni integral, n Potrebne su i dobre vještine crtanja. Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu; pomoću određenog integrala možete izračunati površinu figure, volumen okretnog tijela, duljinu luka, površinu tijelo i još mnogo toga. Zamislite neke ravna figura na koordinatnoj ravnini. Zastupljeni? ... Sada se ova figura također može rotirati, i to na dva načina:

- oko x-osi ;

- oko y-osi .

Pogledajmo oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najveće poteškoće, ali je zapravo rješenje gotovo isto kao i kod uobičajenije rotacije oko x-osi. Počnimo s najpopularnijom vrstom rotacije.

Izračunavanje obujma tijela nastalog rotacijom ravnog lika oko osi VOL

Primjer 1

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom lika omeđenog crtama oko osi.

Riješenje: Kao u problemu pronalaženja područja, rješenje počinje crtežom ravnog lika. Odnosno u avionu XOY morate izgraditi figuru, omeđen linijama, , pritom ne zaboravite da jednadžba definira os . Crtež je ovdje prilično jednostavan:

Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom, ona se okreće oko osi. Kao rezultat rotacije dobiva se takav leteći tanjur blago jajolikog oblika s dva oštra vrha na osi. VOL, simetričan u odnosu na os VOL. Zapravo, tijelo ima matematičko ime, pogledajte u priručniku.

Kako izračunati volumen tijela rotacije? Ako je tijelo nastalo kao rezultat rotacije oko osiVOL, mentalno je podijeljen u paralelne slojeve male debljine dx koji su okomiti na os VOL. Volumen cijelog tijela očito je jednak zbroju volumena takvih elementarnih slojeva. Svaki sloj, poput okrugle kriške limuna, visok je nizak cilindar dx i s polumjerom baze f(x). Tada je volumen jednog sloja umnožak osnovne površine π f 2 do visine cilindra ( dx), odnosno π∙ f 2 (x)∙dx. A područje cijelog tijela revolucije je zbroj elementarnih volumena ili odgovarajući određeni integral. Zapremina tijela rotacije može se izračunati po formuli:

Kako postaviti granice integracije "a" i "be" lako je pogoditi iz završenog crteža. Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je odozgo omeđena grafom parabole. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli. U praktičnim zadacima ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi VOL. Ovo ne mijenja ništa - funkcija u formuli je na kvadrat: f 2 (x), Tako, volumen tijela revolucije je uvijek nenegativan, što je sasvim logično. Izračunajte obujam okretnog tijela pomoću ove formule:

Kao što smo već primijetili, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

U odgovoru je potrebno navesti dimenziju - kubične jedinice. Odnosno, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 "kockica". Zašto baš kubični jedinice? Zato što je to najuniverzalnija formulacija. Mogu biti kubični centimetri, mogu biti Kubični metri, možda kubičnih kilometara itd., toliko zelenih čovječuljaka vaša mašta može stati u leteći tanjur.

Primjer 2

Odredi obujam tijela nastalog rotacijom oko osi VOL lik omeđen linijama , , .

Ovo je primjer "uradi sam". Kompletno rješenje a odgovor na kraju lekcije.

Primjer 3

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi apscisa lika omeđenog pravcima , , i .

Riješenje: Nacrtajmo na crtežu ravnu figuru omeđenu linijama , , , , ne zaboravljajući da je jednadžba x= 0 određuje os OY:

Željena figura je osjenčana plavom bojom. Kada se okreće oko osi VOL ispada ravna kutna peciva (podloška s dvije konusne površine).

Volumen tijela rotacije izračunava se kao razlika volumena tijela. Prvo, pogledajmo lik koji je zaokružen crvenom bojom. Kada se okreće oko osi VOLšto rezultira krnjim stošcem. Označimo obujam tog krnjeg stošca kao V 1 .

Razmotrimo lik koji je zaokružen u zelenoj boji. Ako ovu figuru zarotiramo oko osi VOL, tada također dobijete krnji stožac, samo malo manji. Označimo njegov volumen s V 2 .

Očito, razlika u glasnoći V = V 1 - V 2 je volumen naše "krafne".

Koristimo standardnu formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

1) Lik zaokružen crvenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Lik zaokružen zelenom bojom ograničen je odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela revolucije: