Razmotrite avion str i pravac koji ga siječe . Neka ALI je proizvoljna točka u prostoru. Nacrtajte liniju kroz ovu točku , paralelno s linijom . Neka . Točka naziva se točkasta projekcija ALI do aviona str u paralelnom dizajnu duž zadane linije . Avion str , na koju se projiciraju točke prostora naziva se projekcijska ravnina.
p - ravnina projekcije;
- izravno projektiranje; ;
; ; ;
Ortogonalni dizajn je poseban slučaj paralelnog dizajna. Ortogonalna projekcija je paralelna projekcija u kojoj je pravac projekcije okomit na ravninu projekcije. Ortogonalna projekcija široko se koristi u tehničkom crtanju, gdje se lik projicira na tri ravnine - horizontalnu i dvije okomite.
Definicija:
Ortografska projekcija točke M do aviona str naziva baza M 1 okomito MM 1, spušteno s točke M do aviona str.
Oznaka: , 
, .
Definicija: Ortografska projekcija figure F do aviona str je skup svih točaka ravnine koje su ortogonalne projekcije skupa točaka lika F do aviona str.
Ortogonalni dizajn, kao poseban slučaj paralelnog dizajna, ima ista svojstva:
p - ravnina projekcije;
- izravno projektiranje; ;
1) ;
2) , .
- Projekcije paralelnih pravaca su paralelne.
PROJEKCIJSKA POVRŠINA RAVNE FIGURE
Teorema: Površina projekcije ravnog poligona na određenu ravninu jednaka je površini projiciranog mnogokuta pomnoženoj s kosinusom kuta između ravnine mnogokuta i ravnine projekcije.
1. stupanj: Projicirani lik je trokut ABC čija stranica AC leži u ravnini projekcije a (paralelno s ravninom projekcije a).
S obzirom:
Dokazati:
Dokaz:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Prema teoremu o tri okomice;
VD - visina; U 1 D - visina;
5. - linearni kut diedralni kut ;
6. ; ; ; 
;
Faza 2: Projicirani lik je trokut ABC, čija niti jedna stranica ne leži u ravnini projekcije a i nije s njom paralelna.
S obzirom:
Dokazati:
Dokaz:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(Faza 1);
5. ; ; ;
(Faza 1);
Faza: Dizajnirana figura je proizvoljan poligon.
Dokaz:
Mnogokut je podijeljen dijagonalama povučenim iz jednog vrha na konačan broj trokuta od kojih je za svaki teorem točan. Stoga će teorem vrijediti i za zbroj površina svih trokuta čije ravnine s ravninom projekcije tvore isti kut.
Komentar: Dokazani teorem vrijedi za bilo koji ravna figura, omeđen zatvorenom krivuljom.
Vježbe:
1. Odredite površinu trokuta čija je ravnina nagnuta prema ravnini projekcije pod kutom ako je njegova projekcija pravilan trokut sa stranicom a.
2. Odredite površinu trokuta čija je ravnina nagnuta prema ravnini projekcije pod kutom ako je njegova projekcija jednakokračni trokut sa stranicom 10 cm i osnovicom 12 cm.
3. Odredite površinu trokuta čija je ravnina nagnuta prema ravnini projekcije pod kutom ako je njegova projekcija trokut sa stranicama 9, 10 i 17 cm.
4. Izračunajte površinu trapeza čija je ravnina nagnuta prema ravnini projekcije pod kutom ako je njegova projekcija jednakokračni trapez čija je veća osnovica 44 cm, stranica 17 cm i dijagonala 39 cm.
5. Izračunajte površinu projekcije pravilan šesterokut sa stranicom 8 cm, čija je ravnina nagnuta prema ravnini projekcije pod kutom.
6. Romb sa stranicom 12 cm i oštar kut tvori kut sa zadanom ravninom. Izračunajte površinu projekcije romba na ovu ravninu.
7. Romb sa stranicom 20 cm i dijagonalom 32 cm sa zadanom ravninom tvori kut. Izračunajte površinu projekcije romba na ovu ravninu.
8. Projekcija nadstrešnice na horizontalnu ravninu je pravokutnik sa stranicama i . Nađite površinu nadstrešnice ako su bočne strane jednaki pravokutnici nagnuti prema vodoravnoj ravnini pod kutom, a srednji dio nadstrešnice je kvadrat paralelan s ravninom projekcije.
11. Vježbe na temu "Prave i ravnine u prostoru":
Stranice trokuta su 20 cm, 65 cm, 75 cm. Iz vrha većeg kuta trokuta na njegovu ravninu povučena je okomica jednaka 60 cm. Odredite udaljenost od krajeva okomice do veće stranice. od trokuta.
2. Iz točke odvojene od ravnine na udaljenosti od cm, povučene su dvije nagnute koje tvore kutove s ravninom jednake , a između sebe - pravi kut. Nađite udaljenost između točaka sjecišta nagnute ravnine.
3. Zabava pravokutni trokut jednaka je 12 cm.Točka M odabrana je tako da odsječci koji spajaju točku M sa svim vrhovima trokuta tvore kutove s njegovom ravninom. Odredi udaljenost točke M od vrhova i stranica trokuta.
4. Kroz stranicu kvadrata pod kutom prema dijagonali kvadrata povučena je ravnina. Odredite kutove pod kojima su dvije stranice kvadrata nagnute prema ravnini.
5. Jednakokračni krak pravokutni trokut nagnut prema ravnini a koja prolazi kroz hipotenuzu pod kutom . Dokažite da je kut između ravnine a i ravnine trokuta .
6. Diedarski kut između ravnina trokuta ABC i DBC je . Nađi AD ako je AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
ispitna pitanja na temu "Prave i ravnine u prostoru"
1. Nabrojite osnovne pojmove stereometrije. Formulirajte aksiome stereometrije.
2. Dokažite posljedice aksioma.
3. Kakav je međusobni položaj dviju linija u prostoru? Definirajte pravce koji se sijeku, paralelne, sijeku.
4. Dokažite kriterij za presječne pravce.
5. Kakav je međusobni položaj pravca i ravnine? Dati definicije siječnih, paralelnih pravaca i ravnina.
6. Dokažite znak paralelnosti pravca i ravnine.
7. Kakav je međusobni položaj dviju ravnina?
8. Definirajte paralelne ravnine. Dokažite kriterij paralelnosti dviju ravnina. Formulirajte teoreme o paralelnim ravninama.
9. Definirajte kut između pravaca.
10. Dokažite znak okomitosti pravca i ravnine.
11. Dati definicije baze okomice, osnovice kose, projekcije kose na ravninu. Formulirajte svojstva okomice i kose, spuštene na ravninu iz jedne točke.
12. Definirajte kut između pravca i ravnine.
13. Dokažite teorem o tri okomice.
14. Dati definicije diedarskog kuta, linearnog kuta diedarskog kuta.
15. Dokažite znak okomitosti dviju ravnina.
16. Definirajte udaljenost između dvije različite točke.
17. Definirajte udaljenost od točke do pravca.
18. Definirajte udaljenost od točke do ravnine.
19. Definirajte udaljenost između pravca i s njim paralelne ravnine.
20. Definirajte udaljenost između paralelnih ravnina.
21. Definirajte udaljenost između kosih linija.
22. Definirajte ortogonalnu projekciju točke na ravninu.
23. Definirajte ortogonalnu projekciju lika na ravninu.
24. Formulirajte svojstva projekcija na ravninu.
25. Formulirajte i dokažite teorem o površini projekcije ravnog poligona.
Razmotrit ću pitanje formule za projekcije stranica pravokutnog tetraedra. Prvo ću razmotriti ortogonalnu projekciju segmenta koji leži u ravnini α, ističući dva slučaja položaja tog segmenta u odnosu na pravac l=α∩π.
Slučaj 1
AB∥l(slika 8). Odsječak A 1 B 1 , koji je ortogonalna projekcija odsječka AB, jednak je i paralelan odsječku AB.
Riža. osam
Slučaj 2
CD⊥l(slika 8). Prema teoremu o tri okomice, pravac C 1 D 1 , koji je ortogonalna projekcija pravca CD, također je okomit na pravac l. Dakle, ∠CEC 1 je kut između ravnine α i ravnine projekcija π , tj. C 0 D=C 1 D 1. Stoga je |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
Sada razmotrite pitanje ortogonalne projekcije trokuta.
Površina ortogonalne projekcije trokuta na ravninu jednaka je površini projiciranog trokuta pomnoženoj s kosinusom kuta između ravnine trokuta i ravnine projekcija.
Dokaz. Područje projekcije trokuta. Prema teoremu o tri okomice, pravac B 1 H 1 - ortogonalna projekcija pravca BH - okomit je na pravac l, stoga je odsječak B 1 H 1 visina trokuta A 1 B 1 C 1. Zato . Na ovaj način, .
a) Neka je jedna od stranica, npr. AC, projiciranog trokuta ABC paralelna s pravcem l=α∩π (sl. 9) ili leži na njemu.
Tada je njegova visina VN okomita na pravac l, a površina jednaka t.j.
Riža. 9
b) Niti jedna stranica projiciranog trokuta ABC nije paralelna s pravcem l (slika 10). Kroz svaki vrh trokuta povuci pravac paralelan s pravcem l. Jedan od tih pravaca nalazi se između druga dva (na slici je to pravac m) i, prema tome, dijeli trokut ABC na trokute ABD i ACD s visinama BH odnosno CE povučenim na njihovu zajedničku stranicu AD (odnosno njezinu nastavak), koji je paralelan s l. Pravac m 1 - ortogonalna projekcija pravca m - također dijeli trokut A 1 B 1 C 1 - ortogonalna projekcija trokuta ABC - na trokute A 1 B 1 D 1 i A 1 C 1 D 1 , gdje je . Uzimajući u obzir (9) i (10), dobivamo
NA novije vrijeme u zadatku C2 nalaze se zadaci u kojima je potrebno konstruirati presjek poliedra ravninom i pronaći njegovu površinu. Takav zadatak predložen je u demo verziji. Često je prikladno pronaći područje presjeka kroz područje njegove ortogonalne projekcije. U prezentaciji je data formula za takvo rješenje i detaljna analiza zadatak, koji je popraćen nizom crteža.
Preuzimanje datoteka:
Pregled:
Za korištenje pregleda prezentacija kreirajte Google račun (račun) i prijavite se: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Pripreme za jedinstveni državni ispit - 2014. iz matematike. Određivanje površine presjeka kroz područje njegove ortogonalne projekcije. Zadatak C2 Profesorica matematike MBOU srednje škole br. 143 iz Krasnojarska Knyazkina T.V.
Razmotrimo rješenje takvog problema: U pravokutnom paralelopipedu, . Odsječak paralelopipeda prolazi kroz točke B i D i tvori kut s ravninom ABC. Pronađite područje presjeka. Često je prikladno pronaći područje presjeka kroz područje njegove ortogonalne projekcije. Pronalaženje površine trokuta u smislu površine njegove ortogonalne projekcije lako se ilustrira sljedećom slikom:
CH je visina trokuta ABC , C 'H je visina trokuta ABC " , koji je ortogonalna projekcija trokuta ABC . Iz pravokutnog trokuta CHC " : Površina trokuta ABC " je Površina trokuta ABC je, dakle, površina trokuta ABC jednaka površini trokuta ABC ' podijeljenom s kosinusom kuta između ravnina trokuta ABC i trokuta ABC", koji je ortogonalna projekcija trokuta ABC.
Budući da se površina bilo kojeg poligona može prikazati kao zbroj površina trokuta, površina poligona jednaka je površini njegove ortogonalne projekcije na ravninu podijeljenu kosinusom kuta između ravnine mnogokuta i njegove projekcije. Koristimo ovu činjenicu da riješimo naš problem (vidi slajd 2). Plan rješenja je sljedeći: A) Gradimo presjek. B) Nađite njegovu ortogonalnu projekciju na ravninu baze. C) Pronađite područje ortogonalne projekcije. D) Odredite površinu presjeka.
1. Prvo moramo izgraditi ovaj odjeljak. Očito je da dužina BD pripada presječnoj ravnini i osnovici, odnosno da pripada presjecištu ravnina:
Kut između dviju ravnina je kut između dviju okomica koje su povučene na presjek ravnina i leže u tim ravninama. Neka je točka O sjecište dijagonala baze. OC - okomito na liniju sjecišta ravnina, koja leži u ravnini baze:
2. Odredite položaj okomice, koja leži u presječnoj ravnini. (Zapamtimo da ako je pravac okomit na projekciju kosog, onda je okomit i na najkosi. Kosi tražimo po njegovoj projekciji (OC) i kutu između projekcije i kosog. jedan). Nađite tangens kuta COC ₁ između OC ₁ i OC
Stoga je kut između presječne ravnine i ravnine baze veći nego između OC ₁ i OC. Odnosno, presjek se nalazi nekako ovako: K je sjecište OP i A ₁C₁, LM||B₁D₁.
Dakle, evo našeg presjeka: 3. Pronađite projekciju BLMD presjeka na osnovnu ravninu. Da bismo to učinili, nalazimo projekcije točaka L i M .
Četverokut BL ₁M₁D je projekcija presjeka na ravninu baze. 4. Odredite površinu četverokuta BL ₁M₁D . Da biste to učinili, oduzmite površinu trokuta L ₁CM₁ od površine trokuta BCD Pronađite površinu trokuta L ₁CM₁. Trokut L ₁CM₁ sličan je trokutu BCD. Nađimo koeficijent sličnosti.
Da biste to učinili, razmotrite m trokuta OPC i OKK₁ : Prema tome, površina trokuta L₁CM₁ je 4/25 površine trokuta BCD (omjer površina sličnih figura jednak je kvadratu koeficijent sličnosti). Tada je površina četverokuta BL₁M₁D jednaka 1-4/25=21/25 površine trokuta BCD i jednaka je
5. Sada pronađite 6 . I na kraju dobijemo: Odgovor: 112
O temi: metodološki razvoj, prezentacije i bilješke
Kontrolni rad iz discipline "Inženjerska računalna grafika" sastoji se od četiri ispitni predmeti uspostaviti sukladnost. Imat ćete 15-20 minuta za rješavanje zadataka....
Priprema za jedinstveni državni ispit iz matematike 2014. Korištenje derivata i antiderivacija (B8 prototipovi iz otvorene banke USE zadataka)
Prezentacija sa kratki tečaj teorija i rješenja raznih prototipova B8 iz otvorena banka USE zadaci. Moguće je koristiti za interaktivnu ploču ili računalo za učenike za samostalno učenje....
Priprema za jedinstveni državni ispit iz matematike 2014. Rješenje zadatka C1.
Materijal daje rješenja zadatka C1 (trigonometrijska jednadžba) i 4 načina odabira korijena koji pripadaju intervalu: pomoću trigonometrijske kružnice, pomoću grafa funkcije, nabrajanje ...
Detaljan dokaz teorema o ortogonalnoj projekciji poligona
Ako - projekcija stana n -gon na ravninu, dakle, gdje je kut između ravnina poligona i. Drugim riječima, površina projekcije ravnog mnogokuta jednaka je umnošku površine projiciranog poligona i kosinusa kuta između ravnine projekcije i ravnine projiciranog poligona.
Dokaz. ja pozornici. Prvo napravimo dokaz za trokut. Razmotrimo 5 slučajeva.
1 slučaj. leže u ravnini projekcije .
Neka su projekcije točaka na ravninu, odnosno. U našem slučaju. Pretpostavimo da. Neka je - visina, tada po teoremu o tri okomice možemo zaključiti da je - visina (- projekcija pognute, - njezina osnovica i pravac prolazi kroz osnovicu pognute, štoviše).
Smatrati. Pravokutnog je oblika. Prema definiciji kosinusa:
S druge strane, budući da je i, tada je, po definiciji, linearni kut diedralnog kuta koji tvore poluravnine ravnina i s graničnom linijom, pa je stoga njegova mjera također mjera kuta između projekcijske ravnine trokuta i sam trokut tj.
Pronađite omjer površine prema:
Imajte na umu da formula ostaje istinita čak i kada . U ovom slučaju
2. slučaj. Leži samo u ravnini projekcije i paralelan je s ravninom projekcije .
Neka su projekcije točaka na ravninu, odnosno. U našem slučaju.
Povucimo ravnu liniju kroz točku. U našem slučaju pravac siječe ravninu projekcije, što znači, prema lemi, pravac također siječe ravninu projekcije. Neka bude u točki Budući da, tada točke leže u istoj ravnini, a budući da je paralelna s ravninom projekcije, slijedi iz znaka paralelnosti pravca i ravnine da. Prema tome, je paralelogram. Razmotrite i. Jednake su na tri strane (- zajedničke, poput suprotnih stranica paralelograma). Imajte na umu da je četverokut pravokutnik i da je jednak (po kraku i hipotenuzi), dakle, jednak je na tri strane. Zato.
Za 1 slučaj vrijedi:, tj.
3. slučaj. Leži samo u ravnini projekcije i nije paralelna s ravninom projekcije .
Neka je točka presjecište pravca s ravninom projekcije. Napomenimo da i. Jednom prilikom: i. Tako dobivamo to
4 slučaj. Vrhovi ne leže u ravnini projekcije . Razmotrite okomice. Uzmite najmanju među tim okomicama. Neka bude okomito. Može se pokazati da ili samo, ili samo. Onda ga ipak uzimamo.
Odvojimo točku od točke na segmentu, tako da i od točke na segmentu, točku, tako da. Takva konstrukcija je moguća, jer - najmanja od okomica. Imajte na umu da je to projekcija i, po konstrukciji. Dokažimo da smo jednaki.
Razmotrimo četverokut. Po uvjetu - okomice na jednu ravninu, dakle, prema teoremu, dakle. Budući da konstrukcijom, dakle, na temelju paralelograma (na paralelnim i jednakim suprotnim stranicama) možemo zaključiti da je - paralelogram. Sredstva, . Slično se dokazuje da, . Stoga, i su jednaki na tri strane. Zato. Imajte na umu da i, kao suprotne strane paralelograma, dakle, na temelju paralelnosti ravnina, . Budući da su te ravnine paralelne, one tvore isti kut s ravninom projekcije.
Za prethodne slučajeve vrijedi:
5 slučaj. Ravnina projekcije siječe stranice . Pogledajmo ravne linije. Oni su okomiti na ravninu projekcije, pa su prema teoremu paralelni. Na suusmjerenim zrakama s ishodištima u točkama izdvajamo jednake segmente, redom, tako da vrhovi leže izvan ravnine projekcije. Imajte na umu da je to projekcija i, po konstrukciji. Pokažimo da je jednak.
Od i, konstrukcijom, dakle. Dakle, na temelju paralelograma (na dvije jednake i paralelne stranice), - paralelogram. Slično se može dokazati da i su paralelogrami. Ali tada, i (kao suprotne strane), dakle, jednako je u tri strane. Sredstva, .
Osim toga, i, prema tome, na temelju paralelnosti ravnina. Budući da su te ravnine paralelne, one tvore isti kut s ravninom projekcije.
Za primjenjivi slučaj 4:.
II pozornici. Podijelimo ravni poligon na trokute pomoću dijagonala povučenih iz vrha: Zatim, prema prethodnim slučajevima za trokute: .
Q.E.D.
Podsjetimo se da je kut između pravca i ravnine kut između zadanog pravca i njegove projekcije na ravninu (slika 164).
Teorema. Površina ortogonalne projekcije mnogokuta na ravninu jednaka je površini projiciranog poligona pomnoženoj s kosinusom kuta koji čine ravnina poligona i ravnina projekcije.
Svaki poligon može se podijeliti na trokute, čiji je zbroj površina jednak površini poligona. Stoga je dovoljno dokazati teorem za trokut.
Neka se \(\Delta\)ABC projicira na ravninu R. Razmotrimo dva slučaja:
a) jedna od stranica \(\Delta\)ABC paralelna je s ravninom R;
b) niti jedna stranica \(\Delta\)ABC nije paralelna R.
Smatrati prvi slučaj: neka [AB] || R.
Nacrtaj kroz (AB) ravninu R 1 || R i projicirajte ortogonalno \(\Delta\)ABC na R 1 i dalje R(Slika 165); dobivamo \(\Delta\)ABC 1 i \(\Delta\)ABC.
Po svojstvu projekcije imamo \(\Delta\)ABC 1 \(\cong\) \(\Delta\) ABC, pa stoga
S \(\Delta\)ABC1 = S \(\Delta\)ABC
Nacrtajmo ⊥ i isječak D 1 C 1 . Tada je ⊥ , a \(\widehat(CD_(1)C_(1))\) = φ kut između ravnine \(\Delta\) ABC i ravnine R jedan . Zato
S \(\Delta\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1/2 |AB| | CD 1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
i stoga S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)ABC cos φ.
Prijeđimo na razmatranje drugi slučaj. Nacrtaj ravninu R 1 || R kroz taj vrh \(\Delta\)ABC, udaljenost od kojeg do ravnine R najmanji (neka to bude vrh A).
Dizajnirajmo \(\Delta\)ABC u avionu R 1 i R(Slika 166); neka su \(\Delta\)AB 1 C 1 i \(\Delta\)ABC njegove projekcije redom.
Neka (BC) \(\cap \) str 1 = D. Zatim
S \(\Delta\)ABC = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\) ADC - S \( \Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ
Zadatak. Kroz stranicu osnovke pravilne trokutaste prizme povučena je ravnina pod kutom φ = 30° prema ravnini njezine osnovke. Nađite površinu rezultirajućeg presjeka ako je stranica baze prizme a= 6 cm.
Nacrtajmo presjek ove prizme (slika 167). Budući da je prizma pravilna, njezini su bočni rubovi okomiti na ravninu baze. Dakle, \(\Delta\)ABC je projekcija \(\Delta\)ADC, pa je
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(S_(\Delta ABC))(cos\phi) = \frac(a\cdot a\sqrt3)(4cos\phi) $$
ili
$$ S_(\Delta ADC) = \frac(6\cdot 6\cdot \sqrt3)(4\cdot\frac(\sqrt3)(2)) = 18 (cm^2) $$
