Anošina O.V.

Glavna literatura

1. V. S. Šipačev, Viša matematika. Osnovni tečaj: udžbenik i
radionica za prvostupnike [Potvrda Ministarstva obrazovanja Ruske Federacije] / V. S.
Šipačev; izd. A. N. Tihonova. - 8. izdanje, revidirano. i dodatni Moskva: Yurayt, 2015. - 447 str.
2. V. S. Šipačev, Viša matematika. Cijeli predmet: udžbenik
za akad. Bachelor's degree [Certificate of UMO] / V. S. Shipachev; izd. ALI.
N. Tihonova. - 4. izd., Rev. i dodatni - Moskva: Yurayt, 2015. - 608
S
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. viša matematika
u vježbama i zadacima. [Tekst] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Koževnikov. U 2 sata - M .: postdiplomske studije, 2007. - 304+415c.

Izvještavanje

1.
Test. Izvodi se u skladu sa:
Zadaci i smjernice obavljati kontrolni rad
u disciplini "PRIMIJENJENA MATEMATIKA", Yekaterinburg, FGAOU
VO "Ruski državni stručni pedagoški
Sveučilište", 2016 - 30s.
Opcija kontrolni rad odabrati po zadnjoj znamenki
knjiga zapisa.
2.
Ispit

Neodređeni integral, njegova svojstva i izračun Antiderivacijski i neodređeni integral

Definicija. Poziva se funkcija F x
antiderivativna funkcija f x definirana na
neki interval ako je F x f x za
svaki x iz ovog intervala.
Na primjer, funkcija cos x je
antiderivativna funkcija sin x , jer
cos x sin x .

Očito, ako je F x antiderivacija
funkcije f x, tada je i F x C, gdje je C neka konstanta
antiderivativna funkcija f x .
Ako je F x neka antiderivacija
funkcija f x , zatim bilo koja funkcija oblika
F x F x C je također
antiderivativna funkcija f x i bilo koja
primitivno se može prikazati u ovom obliku.

Definicija. Ukupnost svega
antiderivacije funkcije f x ,
definirana na nekim
između se zove
neodređeni integral od
funkcije f x na ovom intervalu i
označen s f x dx .

Ako je F x neka antiderivacija funkcije
f x , tada pišu f x dx F x C , iako
ispravnije bi bilo pisati f x dx F x C .
Mi ćemo, po ustaljenoj tradiciji, pisati
f x dx F x C .
Dakle isti simbol
f x dx će označavati kao cjelinu
skup antiderivacija funkcije f x ,
i bilo koji element ovog skupa.

Integralna svojstva

Derivacija neodređenog integrala je
integrand, i njegov diferencijal prema integrandu. Stvarno:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Integralna svojstva

3. Neodređeni integral od
diferencijal kontinuirano (x)
diferencijabilna funkcija jednaka je sama sebi
ovu funkciju do konstante:
d (x) (x) dx (x) C,
budući da je (x) antiderivacija od (x).

Integralna svojstva

4. Ako funkcije f1 x i f 2 x imaju
antiderivacije, zatim funkcija f1 x f 2 x
također ima antiderivat, i
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4.a x dx
C.
u a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8.2 ctgx C .
grijeh x
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

Tablica neodređenih integrala

11.
dx
arcsin x C .
1x2
dx
1
x
12. 2 2 arktan C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
arcsin C ..
a
dx
1
x a
ul
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 a
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x

Svojstva diferencijala

Prilikom integracije, prikladno je koristiti
svojstva: 1
1. dx d (sjekira)
a
1
2. dx d (os b),
a
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Primjeri

Primjer. Izračunajte cos 5xdx.
Riješenje. U tablici integrala nalazimo
cos xdx sin x C .
Preobrazimo se dati integral do stola
iskorištavajući činjenicu da d ax adx .
Zatim:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Primjeri

Primjer. Izračunajte x
3x x 1 dx.
Riješenje. Pošto pod integralnim znakom
je zbroj četiri člana, dakle
proširiti integral kao zbroj četiri
integrali:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Neovisnost o vrsti varijable

Pri izračunu integrala je prikladno
koristite sljedeća svojstva
integrali:
Ako je f x dx F x C , tada
f x b dx F x b C .
Ako je f x dx F x C , tada
1
f ax b dx F ax b C .
a

Primjer

Izračunaj
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Metode integracije Integracija po dijelovima

Ova se metoda temelji na formuli udv uv vdu.
Metodom integracije po dijelovima uzimaju se sljedeći integrali:
a) x n sin xdx, gdje je n 1,2...k;
b) x n e x dx , gdje je n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx , gdje je n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , gdje je n 0, 1, 2,... k .
Pri računanju integrala a) i b) upiši
n 1
zapis: x n u , zatim du nx dx , i npr
sin xdx dv , zatim v cos x .
Pri računanju integrala c), d) za u označavamo funkciju
arctgx , ln x , a za dv uzimaju x n dx .

Primjeri

Primjer. Izračunajte x cos xdx.
Riješenje.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Primjeri

Primjer. Izračunati
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
u x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
u x
C.
=
2
2
2
2 2

Metoda zamjene varijable

Neka se traži pronaći f x dx, i
izravno pokupiti primitivno
za f x ne možemo, ali to znamo
ona postoji. Često se nalazi
antiderivacija uvođenjem nove varijable,
prema formuli
f x dx f t t dt, gdje su x t i t novi
varijabla

Integracija funkcija koje sadrže kvadratni trinom

Razmotrimo integral
axb
dx,
x px q
koji sadrži kvadratni trinom u
nazivnik integranda
izrazi. Uzima se i takav integral
metoda promjene varijabli,
prethodno identificiran u
nazivnik puni kvadrat.
2

Primjer

Izračunati
dx
.
x4x5
Riješenje. Transformirajmo x 2 4 x 5 ,
2
odabir punog kvadrata prema formuli a b 2 a 2 2ab b 2 .
Tada dobivamo:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Primjer

Pronaći
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Određeni integral, njegova glavna svojstva. Newton-Leibnizova formula. Primjene određenog integrala.

Koncept određenog integrala dovodi do
problem pronalaženja područja krivulje
trapez.
Neka je dan neki interval
kontinuirana funkcija y f (x) 0
Zadatak:
Nacrtajte njegov grafikon i pronađite F površinu figure,
omeđena ovom krivuljom, dvije ravne crte x = a i x
= b, a odozdo - segment osi apscise između točaka
x = a i x = b.

Lik aABb zove se
krivolinijski trapez

Definicija

b
f(x)dx
Pod određenim integralom
a
od zadane kontinuirane funkcije f(x) dalje
ovaj segment je shvaćen
odgovarajući prirast
primitivno, tj
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Brojevi a i b su limiti integracije,
je interval integracije.

Pravilo:

Određeni integral jednak je razlici
vrijednosti integranda antiderivacije
funkcije za gornje i donje granice
integracija.
Uvođenje oznake za razliku
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Newton-Leibnizova formula.

Osnovna svojstva određenog integrala.

1) Vrijednost određenog integrala ne ovisi o
notacija integracijske varijable, tj.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
gdje su x i t bilo koja slova.
2) Određeni integral s istim
vani
integracija je nula
a
f (x)dx F (a) F (a) 0
a

3) Prilikom preuređivanja granica integracije
određeni integral mijenja predznak
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(svojstvo aditivnosti)
4) Ako se interval podijeli na konačan broj
parcijalni intervali, zatim određeni integral,
uzeti duž intervala jednak je zbroju određeni
integrali uzeti po svim njegovim parcijalnim intervalima.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx

5) Konstantni množitelj se može izbaciti
za predznak određenog integrala.
6) Određeni integral algebarskog
zbrojevi konačnog broja kontinuiranih
funkcije jednaka je istoj algebarskoj
iznos određeni integrali od ovih
funkcije.

3. Promjena varijable u određenom integralu.

3. Zamjena varijable u određenoj
sastavni.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
a
a(), b(), (t)
gdje
za t[; ] , funkcije (t) i (t) su kontinuirane na;
5
Primjer:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t04
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Nepravilni integrali.

Nepravilni integrali.
Definicija. Neka je funkcija f(x) definirana na
beskonačni interval, gdje je b< + . Если
postoji
b
lim
f(x)dx,
b
a
onda se ta granica naziva nepravilnom
integral funkcije f(x) na intervalu
}