Primjena integrala na rješavanje primijenjenih problema

Izračun površine

Određeni integral kontinuirane nenegativne funkcije f(x) brojčano je jednak područje krivuljastog trapeza ograničenog krivuljom y \u003d f (x), osi O x i ravnim linijama x \u003d a i x \u003d b. U skladu s tim, formula površine je napisana na sljedeći način:

Razmotrite neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.

Zadatak broj 1. Izračunajte površinu omeđenu linijama y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x = 0, x \u003d 2.

Riješenje. Izgradimo figuru čiju ćemo površinu morati izračunati.

y \u003d x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomaknuta prema gore za jednu jedinicu u odnosu na os O y (slika 1).

Slika 1. Graf funkcije y = x 2 + 1

Zadatak broj 2. Izračunajte površinu omeđenu linijama y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 u rasponu od 0 do 1.

Riješenje. Graf ove funkcije je parabola grane koja je usmjerena prema gore, a parabola je pomaknuta prema dolje za jednu jedinicu u odnosu na O y os (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije y \u003d x 2 - 1

Zadatak broj 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure omeđene linijama

y = 8 + 2x - x 2 i y = 2x - 4.

Riješenje. Prva od ove dvije linije je parabola s granama usmjerenim prema dolje, budući da je koeficijent pri x 2 negativan, a druga linija je ravna linija koja siječe obje koordinatne osi.

Da bismo konstruirali parabolu, nađimo koordinate njenog vrha: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa vrha; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je njegov vrh.

Sada nalazimo točke sjecišta parabole i pravca rješavajući sustav jednadžbi:

Izjednačavanje desnih strana jednadžbe čije su lijeve strane jednake.

Dobivamo 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ili x 2 - 12 \u003d 0, odakle .

Dakle, točke su točke presjeka parabole i pravca (slika 1).

Slika 3. Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Izgradimo ravnu liniju y = 2x - 4. Ona prolazi kroz točke (0;-4), (2; 0) na koordinatnim osima.

Da biste izgradili parabolu, također možete imati njezine sjecišne točke s osi 0x, to jest, korijene jednadžbe 8 + 2x - x 2 = 0 ili x 2 - 2x - 8 = 0. Prema Vieta teoremu, to je lako pronaći njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = četiri.

Slika 3 prikazuje lik (parabolični segment M 1 N M 2) omeđen ovim linijama.

Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegovo područje može se pronaći pomoću određenog integrala pomoću formule .

S obzirom na ovaj uvjet dobivamo integral:

2 Izračunavanje obujma rotacijskog tijela

Volumen tijela dobiven rotacijom krivulje y \u003d f (x) oko osi O x izračunava se formulom:

Kod rotacije oko O y osi formula izgleda ovako:

Zadatak broj 4. Odredite volumen tijela dobivenog rotacijom krivocrtnog trapeza omeđenog ravnim linijama x \u003d 0 x \u003d 3 i krivuljom y \u003d oko osi O x.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 4).

Slika 4. Grafik funkcije y =

Željeni volumen jednak je

Zadatak broj 5. Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom krivuljastog trapeza omeđenog krivuljom y = x 2 i ravnima y = 0 i y = 4 oko osi O y .

Riješenje. Imamo:

Pregled pitanja

Razmotrimo krivuljasti trapez omeđen osi Ox, krivuljom y \u003d f (x) i dvije ravne linije: x \u003d a i x \u003d b (slika 85). Uzmite proizvoljnu vrijednost x (samo ne a i ne b). Dajmo mu prirast h = dx i razmotrimo traku omeđenu ravnim linijama AB i CD, osi Ox i lukom BD koji pripada krivulji koju razmatramo. Ova traka će se zvati elementarna traka. Područje elementarne trake razlikuje se od područja pravokutnika ACQB krivocrtnim trokutom BQD, a područje potonjeg je manje od područja pravokutnika BQDM sa stranicama BQ = =h= dx) QD=Ay i površina jednaka hAy = Ay dx. Kako se stranica h smanjuje, tako se i stranica Du smanjuje i, istovremeno s h, teži nuli. Prema tome, područje BQDM je infinitezimalno drugog reda. Površina elementarne trake je inkrement površine, a površina pravokutnika ACQB, jednaka AB-AC==/(x) dx> je diferencijal površine. Dakle, samu površinu nalazimo integracijom njenog diferencijala. Unutar razmatrane slike nezavisna varijabla l: mijenja se iz a u b, pa će tražena površina 5 biti jednaka 5= \f (x) dx. (I) Primjer 1. Izračunajte površinu omeđenu parabolom y - 1 -x *, ravnim linijama X \u003d - Fj-, x \u003d 1 i osi O * (slika 86). na sl. 87. Fig. 86. 1 Ovdje je f(x) = 1 - l?, granice integracije a = - i t = 1, dakle 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Primjer 2. Izračunajte površinu omeđenu sinusoidom. y = sinXy, os Ox i pravac (slika 87). Primjenom formule (I) dobivamo L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf Primjer 3. Izračunajte površinu ograničenu lukom sinusoide ^y \ u003d sin jc zatvoren između dvije susjedne sjecišne točke s osi Ox (na primjer, između ishodišta i točke s apscisom i). Imajte na umu da je iz geometrijskih razmatranja jasno da će ovo područje biti dvostruko veće od područja prethodnog primjera. Ipak, napravimo izračune: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i-(- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Doista, naša se pretpostavka pokazala pravednom. Primjer 4. Izračunajte površinu koju omeđuju sinusoida i ^ os Ox na jednu periodu (slika 88). Preliminarne prosudbe ras-figura sugeriraju da će se ispostaviti da je područje četiri puta veće nego u pr. 2. Međutim, nakon izvođenja izračuna, dobivamo “i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Ovaj rezultat zahtijeva pojašnjenje. Da bismo razjasnili bit stvari, također izračunavamo površinu ograničenu istom sinusoidom y \u003d sin l: i osi Ox u rasponu od l do 2n. Primjenom formule (I) dobivamo Dakle, vidimo da je ovo područje ispalo negativno. Uspoređujući ga s površinom izračunatom u primjeru 3, nalazimo da su njihove apsolutne vrijednosti iste, ali su predznaci različiti. Ako primijenimo svojstvo V (vidi Pogl. XI, § 4), tada dobivamo slučajno. Područje ispod x-osi, pod uvjetom da se nezavisna varijabla mijenja slijeva nadesno, dobiva se izračunavanjem pomoću negativnih integrala. U ovom tečaju uvijek ćemo razmatrati neoznačena područja. Stoga će odgovor u upravo analiziranom primjeru biti sljedeći: tražena površina jednaka je 2 + |-2| = 4. Primjer 5. Izračunajmo površinu BAB-a prikazanog na sl. 89. To područje ograničeno je osi Ox, parabolom y = - xr i pravcem y - = -x + \. Površina krivocrtnog trapeza Tražena površina OAB sastoji se od dva dijela: OAM i MAB. Budući da je točka A sjecište parabole i pravca, njezine koordinate ćemo pronaći rješavanjem sustava jednadžbi 3 2 Y \u003d mx. (samo trebamo pronaći apscisu točke A). Rješavajući sustav, nalazimo l; =~. Stoga se površina mora izračunati u dijelovima, prva pl. OAM, a zatim pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [zamjena:

] =

Dakle, nepravi integral konvergira i njegova vrijednost je jednaka .