Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangensa (), kotangensa () neraskidivo su povezani s pojmom kuta. Kako bismo dobro razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa) i uvjerili se da „vrag nije tako strašan kako ga slikaju“, krenimo od samog početka i shvatimo pojam kuta.
Pojam kuta: radijan, stupanj
Pogledajmo sliku. Vektor se "okrenuo" u odnosu na točku za određeni iznos. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početni položaj bit će kutak.
Što još trebate znati o pojmu kuta? Pa, jedinice kuta, naravno!
Kut se, kako u geometriji tako iu trigonometriji, može mjeriti u stupnjevima i radijanima.
Kut pri (jedan stupanj) je središnji kut u krugu, zasnovan na kružnom luku jednakom dijelu kruga. Dakle, cijela se kružnica sastoji od "komada" kružnih lukova ili je kut koji opisuje kružnica jednak.
Odnosno, gornja slika prikazuje kut koji je jednak, odnosno taj kut se temelji na kružnom luku veličine opsega.
Kut u radijanima naziva se središnji kut u krugu, koji se temelji na kružnom luku, čija je duljina jednaka polumjeru kruga. Pa, jeste li razumjeli? Ako ne, onda pogledajmo sliku.
Dakle, na slici je prikazan kut jednak radijanu, odnosno taj kut se temelji na kružnom luku čija je duljina jednaka polumjeru kruga (duljina je jednaka duljini ili polumjer jednak duljina luka). Dakle, duljina luka izračunava se formulom:
Gdje je središnji kut u radijanima.
Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži kut opisan kružnicom? Da, za ovo morate zapamtiti formulu za opseg kruga. Evo je:
Pa, povežimo sada ove dvije formule i ustanovimo da je kut opisan kružnicom jednak. To jest, korelirajući vrijednost u stupnjevima i radijanima, dobivamo to. Odnosno,. Kao što vidite, za razliku od "stupnjeva", riječ "radijan" je izostavljena, jer je mjerna jedinica obično jasna iz konteksta.
Koliko je radijana? Tako je!
kužiš Zatim pričvrstite naprijed:
Ima li poteškoća? Onda pogledajte odgovori:
Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta
Dakle, s konceptom kuta smo shvatili. Ali što je sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta? Hajdemo shvatiti. U tome će nam pomoći pravokutni trokut.
Kako se zovu stranice pravokutnog trokuta? Tako je, hipotenuza i noge: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru, ovo je stranica); noge su dvije preostale strane i (one uz pravi kut), osim toga, ako uzmemo u obzir krake u odnosu na kut, tada je krak susjedni krak, a krak suprotni. Dakle, odgovorimo sada na pitanje: što su sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta?
Sinus kuta je omjer suprotne (daleke) noge prema hipotenuzi.
u našem trokutu.
Kosinus kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.
u našem trokutu.
Kutna tangenta- ovo je omjer suprotne (dalje) noge u odnosu na susjednu (blizu).
u našem trokutu.
Kotangens kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema suprotnoj (daleko).
u našem trokutu.
Ove definicije su neophodne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate jasno razumjeti da u tangens i kotangens samo katete sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus i kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:
kosinus→dodir→dodir→susjedni;
Kotangens→dodir→dodir→susjedni.
Prije svega, potrebno je zapamtiti da sinus, kosinus, tangens i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod jednim kutom). Ne vjeruj? Zatim se uvjerite gledajući sliku:
Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta. Po definiciji, iz trokuta: , ali možemo izračunati kosinus kuta iz trokuta: . Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.
Ako razumijete definicije, samo naprijed i popravite ih!
Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.
Pa, jeste li shvatili? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut.
Jedinična (trigonometrijska) kružnica
Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmotrili smo krug čiji je polumjer jednak. Takav se krug zove singl. Vrlo je koristan u proučavanju trigonometrije. Stoga se malo detaljnije zadržavamo na njemu.
Kao što vidite, ovaj krug je ugrađen Kartezijanski sustav koordinate. Polumjer kružnice jednak je jedinici, dok središte kružnice leži u ishodištu, početni položaj radijus vektora fiksiran je duž pozitivnog smjera osi (u našem primjeru to je polumjer).
Svakoj točki kruga odgovaraju dva broja: koordinata duž osi i koordinata duž osi. Koji su to koordinatni brojevi? I uopće, kakve oni veze imaju s ovom temom? Da biste to učinili, sjetite se razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmotrimo trokut. Pravokutan je jer je okomit na os.
Što je jednako iz trokuta? Tako je. Osim toga, znamo da je polumjer jedinične kružnice, i prema tome, . Zamijenite ovu vrijednost u našu formulu kosinusa. Evo što se događa:
A čemu je jednako iz trokuta? Pa naravno, ! Zamijenite vrijednost polumjera u ovu formulu i dobijte:
Dakle, možete li mi reći koje su koordinate točke koja pripada krugu? Pa nema šanse? A ako to shvatite i samo su brojke? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinata! Kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordiniraj! Dakle, točka.
I što su onda jednaki i? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangensa i kotangensa i dobijemo to, a.
Što ako je kut veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:
Što se promijenilo u ovom primjeru? Hajdemo shvatiti. Za ovo se ponovno okrećemo pravokutni trokut. Razmotrimo pravokutni trokut: kut (kao susjedni kutu). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa kuta? Tako je, pridržavamo se relevantnih definicija trigonometrijske funkcije:
Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati; vrijednost kosinusa kuta - koordinate; i vrijednosti tangensa i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ove relacije su primjenjive na sve rotacije radijus vektora.
Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi. Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što se događa ako ga rotiramo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i kut određene veličine, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada rotiramo radijus vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a kada se okreće u smjeru kazaljke na satu - negativan.
Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kruga ili. Je li moguće rotirati radijus vektor za ili za? Pa naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jedan potpuni krug i zaustaviti se na položaju ili.
U drugom slučaju, odnosno, radijus vektor će napraviti tri potpuna kruga i zaustaviti se na poziciji ili.
Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju za ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.
Donja slika prikazuje kut. Ista slika odgovara kutu, i tako dalje. Ovaj popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)
Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jediničnu kružnicu, pokušajte odgovoriti čemu su jednake vrijednosti:
Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:
Ima li poteškoća? Onda idemo shvatiti. Dakle, znamo da:
Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim mjerama kuta. Pa, počnimo redom: kut na odgovara točki s koordinatama, dakle:
Ne postoji;
Nadalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da kutovi u odgovaraju točkama s koordinatama, odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.
odgovori:
Ne postoji
Ne postoji
Ne postoji
Ne postoji
Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:
Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:
Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i, dane u donjoj tablici, mora se zapamtiti:
Ne bojte se, sada ćemo pokazati jedan od primjera prilično jednostavno pamćenje odgovarajućih vrijednosti:
Da biste koristili ovu metodu, važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta (), kao i vrijednost tangensa kuta u. Poznavajući ove vrijednosti, vrlo je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, to jest:
Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojnik " " će odgovarati i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa prenose se u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti cijelu vrijednost iz tablice.
Koordinate točke na kružnici
Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na kružnici, poznavanje koordinata središta kruga, njegovog polumjera i kuta zakreta?
Pa naravno da možete! Iznesimo opća formula pronaći koordinate točke.
Evo, na primjer, imamo takav krug:
Zadano nam je da je točka središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom točke za stupnjeve.
Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata točke odgovara duljini segmenta. Duljina segmenta odgovara koordinati središta kruga, odnosno jednaka je. Duljina segmenta može se izraziti pomoću definicije kosinusa:
Onda to imamo za koordinatu točke.
Po istoj logici nalazimo vrijednost y koordinate za točku. Na ovaj način,
Dakle u opći pogled koordinate točke određuju se formulama:
Koordinate centra kruga,
radijus kruga,
Kut rotacije radijus vektora.
Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate središta nula, a radijus je jednak jedan:
Pa, probajmo ove formule za okus, vježbajući pronalaženje točaka na kružnici?
1. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj okretanjem točke.
2. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom točke na.
3. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj okretanjem točke.
4. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.
5. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.
Imate problema s pronalaženjem koordinata točke na kružnici?
Riješite ovih pet primjera (ili dobro razumite rješenje) i naučit ćete kako ih pronaći!
1.
Vidi se da. A znamo što odgovara punom okretu početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao kod okretanja. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:
2. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:
Vidi se da. Znamo što odgovara dvjema potpunim rotacijama početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao kod okretanja. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:
Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Pamtimo njihove vrijednosti i dobivamo:
Dakle, željena točka ima koordinate.
3. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:
Vidi se da. Oslikajmo razmatrani primjer na slici:
Polumjer čini kutove s osi jednake i. Znajući da su tablične vrijednosti kosinusa i sinusa jednake i utvrdivši da kosinus ovdje ima negativnu vrijednost, a sinus pozitivan, imamo:
Slični primjeri detaljnije se analiziraju pri proučavanju formula za redukciju trigonometrijskih funkcija u temi.
Dakle, željena točka ima koordinate.
4.
Kut rotacije radijus vektora (po uvjetu)
Da bismo odredili odgovarajuće predznake sinusa i kosinusa, konstruiramo jediničnu kružnicu i kut:
Kao što vidite, vrijednost tj. je pozitivna, a vrijednost tj. negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobivamo da je:
Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađimo koordinate:
Dakle, željena točka ima koordinate.
5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku, gdje
Koordinate središta kruga (u našem primjeru,
Polumjer kruga (prema uvjetu)
Kut rotacije radijus vektora (po uvjetu).
Zamijenite sve vrijednosti u formulu i dobijte:
i - tablične vrijednosti. Sjećamo se i zamijenimo ih u formulu:
Dakle, željena točka ima koordinate.
SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA
Sinus kuta je omjer suprotnog (daljeg) kraka i hipotenuze.
Kosinus kuta je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.
Tangens kuta je omjer suprotnog (daljeg) kraka prema susjednom (bliskom).
Kotangens kuta je omjer susjednog (bliskog) kraka prema suprotnom (dalekom).
U ovom ćemo članku sveobuhvatno pogledati. Glavni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta i omogućuju vam da pronađete bilo koju od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznatu drugu.
Odmah navodimo glavne trigonometrijske identitete koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapisujemo ih u tablicu, au nastavku donosimo izvođenje ovih formula i dajemo potrebna objašnjenja.
Navigacija po stranici.
Odnos između sinusa i kosinusa jednog kuta
Ponekad se ne govori o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tablici, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet ljubazan 
. Objašnjenje ove činjenice je prilično jednostavno: jednakosti se dobivaju iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nakon dijeljenja oba njegova dijela s i redom, a jednakosti 
i 
slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. O tome ćemo detaljnije raspravljati u sljedećim paragrafima.
Odnosno, od posebnog je interesa jednakost koja je dobila naziv glavni trigonometrijski identitet.
Prije nego dokažemo osnovni trigonometrijski identitet, dat ćemo njegovu formulaciju: zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta identički je jednak jedan. Sada dokažimo.
Osnovni trigonometrijski identitet vrlo se često koristi u transformacija trigonometrijski izrazi . Omogućuje da se zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta zamijeni jedinicom. Ne manje često, osnovni trigonometrijski identitet koristi se obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.
Tangens i kotangens kroz sinus i kosinus
Identiteti koji povezuju tangens i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog kuta oblika i 
neposredno proizlaze iz definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Doista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangens je omjer ordinate i apscise, tj. 
, a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. 
.
Zbog te očitosti identiteta i često se definicije tangensa i kotangensa ne daju kroz omjer apscise i ordinate, već kroz omjer sinusa i kosinusa. Dakle, tangens kuta je omjer sinusa i kosinusa ovog kuta, a kotangens je omjer kosinusa i sinusa.
Za kraj ovog odjeljka, treba napomenuti da su identiteti i vrijede za sve takve kutove za koje trigonometrijske funkcije u njima imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za sve osim (inače će nazivnik biti nula, a nismo definirali dijeljenje s nulom), a formula - za sve, različite od, gdje je z bilo koji.
Odnos tangensa i kotangensa
Još očitiji trigonometrijski identitet od prethodna dva je identitet koji povezuje tangens i kotangens jednog kuta oblika . Jasno je da se to događa za sve kutove osim , inače ni tangens ni kotangens nisu definirani.
Dokaz formule jako jednostavno. Po definiciji i odakle 
. Dokaz se mogao provesti i na malo drugačiji način. Od i , onda 
.
Dakle, tangens i kotangens jednog kuta, u kojem imaju smisla, je.
Jedna od grana matematike s kojom se školarci nose s najvećim poteškoćama je trigonometrija. Nije ni čudo: da biste slobodno svladali ovo područje znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangensa, kotangenata pomoću formula, pojednostavljivanje izraza i sposobnost korištenja broja pi u izračunima. Osim toga, morate znati primijeniti trigonometriju pri dokazivanju teorema, a to zahtijeva ili razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost dedukcije složenih logičkih lanaca.
Porijeklo trigonometrije
Upoznavanje s ovom znanošću trebalo bi započeti definicijom sinusa, kosinusa i tangensa kuta, ali prvo morate shvatiti što trigonometrija uopće radi.
Povijesno gledano, pravokutni trokuti bili su glavni predmet proučavanja u ovom dijelu matematičke znanosti. Prisutnost kuta od 90 stupnjeva omogućuje izvođenje različitih operacija koje omogućuju određivanje vrijednosti svih parametara figure koja se razmatra pomoću dvije strane i jednog kuta ili dva kuta i jedne strane. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj uzorak i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak i umjetnosti.
Prva razina
U početku se o odnosu kutova i stranica govorilo isključivo na primjeru pravokutnog trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica upotrebe u svakodnevnom životu ovog dijela matematike.
Učenje trigonometrije u školi danas počinje s pravokutnim trokutima, nakon čega stečeno znanje učenici koriste u fizici i rješavanju apstraktnih trigonometrijskih jednadžbi s kojima rad počinje u srednjoj školi.
Sferna trigonometrija
Kasnije, kada je znanost dosegla sljedeći stupanj razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangensom, kotangensom počele su se koristiti u sfernoj geometriji, gdje vrijede druga pravila, a zbroj kutova u trokutu uvijek je veći od 180 stupnjeva. Ovaj odjeljak se ne proučava u školi, ali je potrebno znati za njegovo postojanje, barem zato Zemljina površina, a površina bilo kojeg drugog planeta je konveksna, što znači da će svaka oznaka površine biti "lučna" u trodimenzionalnom prostoru.
Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Obratite pozornost - dobio je oblik luka. Upravo se takvim oblicima bavi sferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim područjima.
Pravokutni trokut
Nakon što smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangens, koji se proračuni mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.
Prvi korak je razumijevanje pojmova koji se odnose na pravokutni trokut. Prvo, hipotenuza je strana nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Ona je najduža. Sjećamo se da je, prema Pitagorinom teoremu, njegova brojčana vrijednost jednaka korijenu zbroja kvadrata druge dvije strane.
Na primjer, ako su dvije strane 3 odnosno 4 centimetra, duljina hipotenuze bit će 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i pol tisuće godina.
Preostale dvije stranice koje tvore pravi kut zovu se katete. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbroj kutova u trokutu u pravokutnom koordinatnom sustavu 180 stupnjeva.
Definicija
Konačno, uz dobro razumijevanje geometrijske osnove, možemo se okrenuti definiciji sinusa, kosinusa i tangensa kuta.
Sinus kuta je omjer suprotnog kraka (tj. stranice nasuprot željenog kuta) i hipotenuze. Kosinus kuta je omjer susjedne katete i hipotenuze.
Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto? Budući da je hipotenuza standardno najduža. Bez obzira na to koliko je krak dug, bit će kraći od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako u odgovoru na zadatak dobijete sinus ili kosinus s vrijednošću većom od 1, potražite pogrešku u izračunima ili zaključivanju. Ovaj je odgovor očito pogrešan.
Konačno, tangens kuta je omjer suprotne strane prema susjednoj strani. Isti rezultat će dati dijeljenje sinusa s kosinusom. Pogledajte: u skladu s formulom, duljinu stranice podijelimo s hipotenuzom, nakon čega podijelimo s duljinom druge stranice i pomnožimo s hipotenuzom. Dakle, dobivamo isti omjer kao u definiciji tangente.
Kotangens je, odnosno, omjer stranice koja graniči s kutom i suprotne strane. Isti rezultat dobivamo dijeljenjem jedinice s tangentom.
Dakle, razmotrili smo definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa i možemo se pozabaviti formulama.
Najjednostavnije formule
U trigonometriji se ne može bez formula - kako pronaći sinus, kosinus, tangens, kotangens bez njih? A to je upravo ono što se traži pri rješavanju problema.
Prva formula koju morate znati kada počnete proučavati trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa kuta jednak jedan. Ova je formula izravna posljedica Pitagorinog poučka, ali štedi vrijeme ako želite znati vrijednost kuta, a ne stranice.
Mnogi učenici se ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna u rješavanju školske zadatke: zbroj jedan i kvadrata tangensa kuta jednak je jedan podijeljen s kvadratom kosinusa kuta. Pogledajte bolje: na kraju krajeva, ovo je ista tvrdnja kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene s kvadratom kosinusa. Ispostavilo se da jednostavna matematička operacija čini trigonometrijsku formulu potpuno neprepoznatljivom. Upamtite: znajući što su sinus, kosinus, tangens i kotangens, pravila pretvorbe i nekoliko osnovnih formula, možete u bilo kojem trenutku sami izvesti traženo više složene formule na komadu papira.
Formule dvostrukog kuta i zbrajanje argumenata
Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbroj i razliku kutova. Oni su prikazani na donjoj slici. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se dodaje umnožak sinusa i kosinusa u paru.
Postoje i formule povezane s argumentima u obrascu dvostruki kut. U potpunosti su izvedeni iz prethodnih - kao praksu, pokušajte ih dobiti sami uzimajući alfa kut jednaka kutu beta.
Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog kuta mogu pretvoriti u niži stupanj sinusa, kosinusa, tangensa alfa.
Teoremi
Dva glavna teorema u osnovnoj trigonometriji su sinusni teorem i kosinusni teorem. Uz pomoć ovih teorema, možete lako razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangens, a time i površinu figure, veličinu svake strane itd.
Sinusni teorem kaže da kao rezultat dijeljenja duljine svake strane trokuta s vrijednošću suprotnog kuta, dobivamo isti broj. Štoviše, taj će broj biti jednak dvama radijusima opisane kružnice, odnosno kružnice koja sadrži sve točke zadanog trokuta.
Kosinusni teorem generalizira Pitagorin teorem, projicirajući ga na sve trokute. Ispada da od zbroja kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod, pomnožen s dvostrukim kosinusom kuta koji im je susjedan - dobivena vrijednost bit će jednaka kvadratu treće strane. Stoga se Pitagorin teorem ispostavlja kao poseban slučaj kosinusnog teorema.
Pogreške zbog nepažnje
Čak i znajući što su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog odsutnosti ili pogreške u najjednostavnijim izračunima. Da bismo izbjegli takve pogreške, upoznajmo se s najpopularnijim od njih.
Prvo, ne biste trebali pretvarati obične razlomke u decimale dok ne dobijete konačni rezultat - možete ostaviti odgovor u obrascu obični razlomak osim ako uvjetom nije drugačije navedeno. Takva se transformacija ne može nazvati pogreškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi problema mogu pojaviti novi korijeni, koji bi se, prema ideji autora, trebali smanjiti. U tom ćete slučaju gubiti vrijeme na nepotrebne matematičke operacije. To posebno vrijedi za vrijednosti kao što je korijen iz tri ili dva, jer se one pojavljuju u zadacima na svakom koraku. Isto vrijedi i za zaokruživanje "ružnih" brojeva.
Nadalje, imajte na umu da se kosinusni teorem odnosi na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorin teorem! Ako greškom zaboravite oduzeti dva puta umnožak stranica pomnožen s kosinusom kuta između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete pokazati i potpuno nerazumijevanje teme. Ovo je gore od greške iz nepažnje.
Treće, nemojte brkati vrijednosti za kutove od 30 i 60 stupnjeva za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stupnjeva jednak kosinusu od 60, i obrnuto. Lako ih je pomiješati, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.
Primjena
Mnogi studenti ne žure početi proučavati trigonometriju, jer je ne razumiju primijenjeni smisao. Što je sinus, kosinus, tangens za inženjera ili astronoma? To su koncepti zahvaljujući kojima možete izračunati udaljenost do dalekih zvijezda, predvidjeti pad meteorita, poslati istraživačku sondu na drugi planet. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, dizajnirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi posvuda, od glazbe do medicine.
Konačno
Dakle, vi ste sinus, kosinus, tangens. Možete ih koristiti u izračunima i uspješno rješavati školske zadatke.
Cijela bit trigonometrije svodi se na činjenicu da se nepoznati parametri moraju izračunati iz poznatih parametara trokuta. Ukupno ima šest parametara: duljine triju stranica i veličine triju kutova. Sva razlika u zadacima leži u činjenici da su zadani različiti ulazni podaci.
Sada znate kako pronaći sinus, kosinus, tangens na temelju poznatih duljina kateta ili hipotenuze. Budući da ovi izrazi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, Glavni cilj pronalaženje korijena obične jednadžbe ili sustava jednadžbi postaje trigonometrijski problem. I tu će vam pomoći obična školska matematika.
Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa za dva kuta α i β omogućuju vam da prijeđete od zbroja navedenih kutova do produkta kutova α + β 2 i α - β 2 . Odmah napominjemo da ne smijete brkati formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa s formulama za sinuse i kosinuse zbroja i razlike. U nastavku navodimo te formule, dajemo njihovo izvođenje i prikazujemo primjere primjene za specifične probleme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa
Zapišimo kako izgledaju formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa
Formule zbroja i razlike za sinuse
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Formule zbroja i razlike za kosinuse
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2
Ove formule vrijede za sve kutove α i β. Kutovi α + β 2 i α - β 2 nazivaju se poluzbroj odnosno polurazlika kutova alfa i beta. Dajemo formulaciju za svaku formulu.
Definicije formula zbroja i razlike za sinuse i kosinuse
Zbroj sinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbroja ovih kutova i kosinusa polurazlike.
Razlika sinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa polurazlike ovih kutova i kosinusa poluzbroja.
Zbroj kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku kosinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova.
Razlika kosinusa dvaju kutova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbroja i kosinusa polurazlike ovih kutova, uzetog s negativnim predznakom.
Izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa
Za izvođenje formula za zbroj i razliku sinusa i kosinusa dvaju kutova koriste se formule zbrajanja. Predstavljamo ih u nastavku
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Same kutove također predstavljamo kao zbroj poluzbroja i polurazlike.
α \u003d α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Nastavljamo izravno s izvođenjem formula zbroja i razlike za sin i cos.
Derivacija formule za zbroj sinusa
U zbroju sin α + sin β, zamjenjujemo α i β s izrazima za ove kutove danima gore. Dobiti
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Sada primjenjujemo formulu zbrajanja na prvi izraz, a formulu sinusa razlika kutova na drugi (pogledajte formule iznad)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Koraci za izvođenje ostalih formula su slični.
Izvod formule za razliku sinusa
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Derivacija formule za zbroj kosinusa
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Derivacija formule razlike kosinusa
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Primjeri rješavanja praktičnih problema
Za početak ćemo provjeriti jednu od formula zamjenom određenih vrijednosti kuta u nju. Neka je α = π 2 , β = π 6 . Izračunajmo vrijednost zbroja sinusa tih kutova. Prvo koristimo tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, a zatim primjenjujemo formulu za zbroj sinusa.
Primjer 1. Provjera formule za zbroj sinusa dvaju kutova
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2
Razmotrimo sada slučaj kada se vrijednosti kutova razlikuju od osnovnih vrijednosti prikazanih u tablici. Neka je α = 165°, β = 75°. Izračunajmo vrijednost razlike sinusa ovih kutova.
Primjer 2. Primjena formule razlike sinusa
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Koristeći formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa, možete prijeći od zbroja ili razlike do umnoška trigonometrijskih funkcija. Često se te formule nazivaju formulama za prijelaz sa zbroja na umnožak. Formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa naširoko se koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi i pretvorbi trigonometrijskih izraza.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Dani su omjeri između glavnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to također objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju snižavanje stupnja, četvrte - izražavanje svih funkcija kroz tangentu polukuta itd.
U ovom ćemo članku redom navesti sve glavne trigonometrijske formule, koji su dovoljni za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja, grupirat ćemo ih prema namjeni, te unijeti u tablice.
Navigacija po stranici.
Osnovni trigonometrijski identiteti
Osnovni trigonometrijski identiteti postaviti odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, kao i pojma jedinične kružnice. Omogućuju vam izražavanje jedne trigonometrijske funkcije kroz bilo koju drugu.
Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene, pogledajte članak.
Cast formule
Cast formule proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka za zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam prijelaz s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nula do 90 stupnjeva.
Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučiti u članku.
Formule zbrajanja
Trigonometrijske adicijske formule pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju preko trigonometrijskih funkcija tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.
Formule za dvostruko, trostruko itd. kut
Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (također se nazivaju formulama višestrukih kutova) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostrukog, trostrukog itd. kutovi () su izraženi u smislu trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.
Detaljnije informacije prikupljene su u članku formule za dvostruko, trostruko itd. kut .
Formule polukuta
Formule polukuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju preko kosinusa cijelog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog kuta.
Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se naći u članku.
Formule redukcije
Trigonometrijske formule za opadanje stupnjeva dizajnirani su za olakšavanje prijelaza s prirodnih potencija trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse na prvom stupnju, ali više kutova. Drugim riječima, oni omogućuju smanjenje potencije trigonometrijskih funkcija na prvu.
Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija
glavno odredište formule zbroja i razlike trigonometrijskih funkcija sastoji se u prijelazu na umnožak funkcija, što je vrlo korisno kod pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza. Ove se formule također naširoko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi jer omogućuju rastavljanje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.
Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus
Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se pomoću formula za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus.
Autorska prava pametnih učenika
Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.site, uključujući interne materijale i vanjski dizajn, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku niti koristiti bez prethodnog pisanog dopuštenja nositelja autorskih prava.
