Prilikom izvođenja trigonometrijskih transformacija slijedite ove savjete:
- Ne pokušavajte odmah smisliti shemu za rješavanje primjera od početka do kraja.
- Ne pokušavajte pretvoriti cijeli primjer odjednom. Idite naprijed malim koracima.
- Ne zaboravite da osim trigonometrijskih formula u trigonometriji još uvijek možete primijeniti sve poštene algebarske transformacije (stavljanje u zagrade, smanjivanje razlomaka, skraćene formule množenja i tako dalje).
- Vjerujte da će sve biti u redu.
Osnovne trigonometrijske formule
Većina formula u trigonometriji često se primjenjuje i s desna na lijevo i slijeva na desno, tako da te formule morate naučiti toliko dobro da možete lako primijeniti neku formulu u oba smjera. Za početak zapisujemo definicije trigonometrijske funkcije. Neka postoji pravokutni trokut:
Zatim, definicija sinusa je:
Definicija kosinusa:
Definicija tangente:
Definicija kotangensa:
Osnovni trigonometrijski identitet:
Najjednostavniji korolari iz osnovnog trigonometrijskog identiteta:
Formule dvostrukog kuta. Sinus dvostrukog kuta:
Kosinus dvostrukog kuta:
Tangens dvostrukog kuta:
Kotangens dvostrukog kuta:
Dodatne trigonometrijske formule
Trigonometrijske adicijske formule. Sinus zbroja:
Sinus razlike:
Kosinus zbroja:
Kosinus razlike:
Tangens zbroja:
Tangens razlike:
Kotangens zbroja:
Kotangens razlike:
Trigonometrijske formule za pretvaranje zbroja u umnožak. Zbroj sinusa:
Sinusna razlika:
Zbroj kosinusa:
Razlika kosinusa:
zbroj tangensi:
Tangentna razlika:
Zbroj kotangenata:
Razlika kotangensa:
Trigonometrijske formule za pretvaranje umnoška u zbroj. Proizvod sinusa:
Umnožak sinusa i kosinusa:
Umnožak kosinusa:
Formule za smanjenje stupnja.
Formule polukuta.
Trigonometrijske redukcijske formule
Funkcija kosinus se zove kofunkcija funkcija sinusa i obrnuto. Slično, funkcije tangens i kotangens su kofunkcije. Formule redukcije mogu se formulirati kao sljedeće pravilo:
- Ako se u formuli redukcije kut oduzme (doda) od 90 stupnjeva ili 270 stupnjeva, tada se reducibilna funkcija mijenja u kofunkciju;
- Ako se u formuli redukcije kut oduzme (doda) od 180 stupnjeva ili 360 stupnjeva, tada se naziv reducirane funkcije čuva;
- U tom slučaju reduciranoj funkciji prethodi predznak koji reducirana (tj. izvorna) funkcija ima u odgovarajućoj četvrtini, ako oduzeti (dodani) kut smatramo šiljastim.
Cast formule dati su u obliku tabele:
Po trigonometrijski krug lako je odrediti tablične vrijednosti trigonometrijskih funkcija:
Trigonometrijske jednadžbe
Da bi se riješila određena trigonometrijska jednadžba, ona se mora svesti na jednu od najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi, o čemu će biti riječi u nastavku. Za ovo:
- Može se primijeniti trigonometrijske formule iznad. U ovom slučaju ne morate pokušavati pretvoriti cijeli primjer odjednom, već morate ići naprijed malim koracima.
- Ne smijemo zaboraviti na mogućnost transformacije nekog izraza uz pomoć algebarskih metoda, tj. na primjer, staviti nešto iz zagrade ili, obrnuto, otvoriti zagradu, smanjiti razlomak, primijeniti skraćenu formulu množenja, svesti razlomke na zajednički nazivnik i tako dalje.
- Pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi možete primijeniti metoda grupiranja. Treba imati na umu da je dovoljno da bilo koji od njih bude jednak nuli da bi proizvod nekoliko faktora bio jednak nuli, a ostalo je postojalo.
- Primjena metoda zamjene varijable, kao i obično, jednadžba bi nakon uvođenja zamjene trebala postati jednostavnija i ne bi sadržavala izvornu varijablu. Također morate zapamtiti da radite obrnutu zamjenu.
- Zapamtite da se homogene jednadžbe često pojavljuju iu trigonometriji.
- Prilikom otvaranja modula ili rješavanja iracionalnih jednadžbi s trigonometrijskim funkcijama, potrebno je zapamtiti i uzeti u obzir sve suptilnosti rješavanja odgovarajućih jednadžbi s običnim funkcijama.
- Ne zaboravite na ODZ (u trigonometrijskim jednadžbama, ograničenja na ODZ se u osnovi svode na činjenicu da ne možete dijeliti s nulom, ali ne zaboravite na druga ograničenja, posebno na pozitivnost izraza u racionalnim potencijama i ispod korijena parnih stupnjeva ). Također zapamtite da vrijednosti sinusa i kosinusa mogu ležati samo između minus jedan i plus jedan, uključivo.
Glavna stvar je, ako ne znate što učiniti, učinite barem nešto, dok je glavna stvar ispravno koristiti trigonometrijske formule. Ako ono što dobivate postaje sve bolje i bolje, nastavite s rješenjem, a ako se pogoršava, vratite se na početak i pokušajte primijeniti druge formule, tako dok ne naiđete na točno rješenje.
Formule za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Za sinus postoje dva ekvivalentna oblika pisanja rješenja:
Za ostale trigonometrijske funkcije zapis je jedinstven. Za kosinus:
Za tangentu:
Za kotangens:
Rješenje trigonometrijskih jednadžbi u nekim posebnim slučajevima:
Uspješno, marljivo i odgovorno provođenje ove tri točke, kao i odgovorno proučavanje završnih testova obuke, omogućit će vam da na CT-u pokažete odličan rezultat, maksimum onoga za što ste sposobni.
Pronašli ste grešku?
Ako ste, kako vam se čini, pronašli pogrešku u materijalima za obuku, molimo vas da o tome pišete e-poštom (). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) gdje je po vašem mišljenju greška. Također opišite što je navodna pogreška. Vaše pismo neće proći nezapaženo, pogreška će biti ispravljena ili će vam biti objašnjeno zašto nije pogreška.
Dani su omjeri između glavnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to također objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju snižavanje stupnja, četvrte - izražavanje svih funkcija kroz tangentu polukuta itd.
U ovom članku navodimo redom sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja, grupirat ćemo ih prema namjeni, te unijeti u tablice.
Navigacija po stranici.
Osnovni trigonometrijski identiteti
Glavni trigonometrijski identiteti postaviti odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, kao i pojma jedinične kružnice. Omogućuju vam izražavanje jedne trigonometrijske funkcije kroz bilo koju drugu.
Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene, pogledajte članak.
Cast formule
Cast formule proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka za zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam prijelaz s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nula do 90 stupnjeva.
Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučiti u članku.
Formule zbrajanja
Trigonometrijske adicijske formule pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju preko trigonometrijskih funkcija tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.
Formule za dvostruko, trostruko itd. kut
Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (također se nazivaju formulama višestrukih kutova) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostrukog, trostrukog itd. kutovi () su izraženi u smislu trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.
Detaljnije informacije prikupljene su u članku formule za dvostruko, trostruko itd. kut .
Formule polukuta
Formule polukuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju preko kosinusa cijelog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog kuta.
Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se naći u članku.
Formule redukcije
Trigonometrijske formule za opadanje stupnjeva dizajnirani su za olakšavanje prijelaza s prirodnih potencija trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse na prvom stupnju, ali više kutova. Drugim riječima, oni omogućuju smanjenje potencije trigonometrijskih funkcija na prvu.
Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija
glavno odredište formule zbroja i razlike trigonometrijskih funkcija sastoji se u prijelazu na umnožak funkcija, što je vrlo korisno kod pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza. Ove se formule također naširoko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi jer omogućuju rastavljanje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.
Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus
Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se pomoću formula za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus.
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Pregled osnovnih formula trigonometrije završavamo formulama koje izražavaju trigonometrijske funkcije preko tangensa polukuta. Ova zamjena se zove univerzalna trigonometrijska supstitucija. Njegova pogodnost leži u činjenici da su sve trigonometrijske funkcije izražene u smislu tangensa polukuta racionalno bez korijena.
Bibliografija.
- Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosj. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ur. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjetljenje, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. prosj. škola - 3. izd. - M.: Prosvjetljenje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; ur. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkim školama): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.
Autorska prava pametnih učenika
Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući unutarnje materijale i vanjski dizajn, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pisanog dopuštenja nositelja autorskih prava.
Trigonometrija, trigonometrijske formule
Dane su relacije između glavnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to također objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju snižavanje stupnja, četvrte - izražavanje svih funkcija kroz tangentu polukuta itd.
U ovom članku navodimo redom sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja, grupirat ćemo ih prema namjeni, te unijeti u tablice.
Osnovni trigonometrijski identiteti postaviti odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, kao i pojma jedinične kružnice. Omogućuju vam izražavanje jedne trigonometrijske funkcije kroz bilo koju drugu.
Detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene potražite u članku Osnovni trigonometrijski identiteti.
Vrh stranice
Cast formule
Cast formule proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka za zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam prijelaz s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nula do 90 stupnjeva.
Obrazloženje ovih formula, mnemotehničko pravilo za njihovo pamćenje i primjere njihove primjene možete pronaći u članku o redukcijskim formulama.
Vrh stranice
Formule zbrajanja
Trigonometrijske adicijske formule pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju preko trigonometrijskih funkcija tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.
Više detaljne informacije sadržan je u članku adicijskih formula.
Vrh stranice
Formule za dvostruko, trostruko itd. kut
Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (također se nazivaju formulama višestrukih kutova) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostrukog, trostrukog itd. kutovi () su izraženi u smislu trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.
Detaljnije informacije prikupljene su u članku formule za dvostruko, trostruko itd. kut.
Vrh stranice
Formule polukuta
Formule polukuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju preko kosinusa cijelog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog kuta.
Njihovo izvođenje i primjeri primjene mogu se naći u članku formule polukuta.
Vrh stranice
Formule redukcije
Trigonometrijske formule za opadanje stupnjeva dizajnirani su za olakšavanje prijelaza s prirodnih potencija trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse na prvom stupnju, ali više kutova. Drugim riječima, oni omogućuju smanjenje potencije trigonometrijskih funkcija na prvu.
Vrh stranice
Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija
glavno odredište formule zbroja i razlike trigonometrijskih funkcija sastoji se u prijelazu na umnožak funkcija, što je vrlo korisno kod pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza. Ove se formule također naširoko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi jer omogućuju rastavljanje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.
Za izvođenje formula, kao i primjere njihove primjene, pogledajte članak formule za zbroj i razliku sinusa i kosinusa.
Vrh stranice
Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus
Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se pomoću formula za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus.
Vrh stranice
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Pregled osnovnih formula trigonometrije završavamo formulama koje izražavaju trigonometrijske funkcije preko tangensa polukuta. Ova zamjena se zove univerzalna trigonometrijska supstitucija. Njegova pogodnost leži u činjenici da su sve trigonometrijske funkcije izražene u smislu tangensa polukuta racionalno bez korijena.
Za više informacija pogledajte članak univerzalna trigonometrijska supstitucija.
Vrh stranice
- Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosj. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ur. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjetljenje, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. prosj. škola - 3. izd. — M.: Prosvjetljenje, 1993. — 351 str.: ilustr. — ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; ur. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkim školama): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.
Trigonometrijske formule- ovo su najpotrebnije formule u trigonometriji, potrebne za izražavanje trigonometrijskih funkcija koje se izvode za bilo koju vrijednost argumenta.
Adicinske formule.
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
Formule dvostrukog kuta.
jer 2α = cos²α — grijeh²α
jer 2α = 2cos²α — 1
jer 2α = 1 - 2sin²α
grijeh 2α = 2sinα cosα
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg²α - 1) ÷ (2ctgα )
Formule trostrukog kuta.
sin3α = 3sinα - 4sin³α
jer 3α = 4cos³α — 3cosα
tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 - 3tg²α )
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
Formule polukuta.
Formule lijevanja.
|
Funkcija / kut u rad. |
π/2 - α |
π/2 + α |
3π/2 - α |
3π/2 + α |
2π - α |
2π + α |
||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Funkcija / kut u ° |
90° - α |
90° + α |
180° - α |
180° + α |
270° - α |
270° + α |
360° - α |
360° + α |
Detaljan opis formula redukcije.
Osnovne trigonometrijske formule.
Osnovni trigonometrijski identitet:
sin2α+cos2α=1
Taj je identitet rezultat primjene Pitagorinog poučka na trokut u jediničnoj trigonometrijskoj kružnici.
Odnos između kosinusa i tangensa:
1/cos 2 α−tan 2 α=1 ili sec 2 α−tan 2 α=1.
Ova formula je posljedica osnovne trigonometrijske identičnosti i iz nje se dobiva dijeljenjem lijevog i desnog dijela s cos2α. Pretpostavlja se da α≠π/2+πn,n∈Z.
Odnos između sinusa i kotangensa:
1/sin 2 α−cot 2 α=1 ili csc 2 α−cot 2 α=1.
Ova formula također proizlazi iz osnovnog trigonometrijskog identiteta (koji se iz njega dobiva dijeljenjem lijevog i desnog dijela s grijeh2α. Ovdje se pretpostavlja da α≠πn,n∈Z.
Definicija tangente:
tanα=sinα/cosα,
gdje α≠π/2+πn,n∈Z.
Definicija kotangensa:
cotα=cosα/sinα,
gdje α≠πn,n∈Z.
Posljedica iz definicija tangensa i kotangensa:
tanα⋅ cotα=1,
gdje α≠πn/2,n∈Z.
Definicija sekante:
secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z
Definicija kosekansa:
cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z
Trigonometrijske nejednadžbe.
Najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe:
sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,
cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,
tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,
cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.
Kvadrati trigonometrijskih funkcija.
Formule kubova trigonometrijskih funkcija.
Trigonometrija Matematika. Trigonometrija. Formule. Geometrija. Teorija
Razmotrili smo najosnovnije trigonometrijske funkcije (ne dajte se zavarati, osim sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, postoji još puno drugih funkcija, ali o njima kasnije), ali za sada ćemo razmotriti neke od osnovna svojstva već proučavanih funkcija.
Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta
Koji god se realni broj t uzme, može mu se dodijeliti jedinstveno definiran broj sin(t).
Istina, pravilo korespondencije prilično je komplicirano i sastoji se u sljedećem.
Da biste pronašli vrijednost sin (t) prema broju t, trebate:
- postavite krug s brojevima koordinatna ravnina tako da se središte kružnice poklapa s ishodištem, a početna točka A kružnice pogađa točku (1; 0);
- pronaći točku na kružnici koja odgovara broju t;
- nađi ordinatu ove točke.
- ova ordinata je željeni sin(t).
Zapravo, govorimo o funkciji s = sin(t), gdje je t bilo koji realni broj. Znamo kako izračunati neke vrijednosti ove funkcije (na primjer, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), itd.) , znamo neka njegova svojstva.
Povezanost trigonometrijskih funkcija
Kao što, nadam se, pretpostavljate da su sve trigonometrijske funkcije međusobno povezane i čak i bez poznavanja vrijednosti jedne, ona se može pronaći preko druge.
Na primjer, najvažnija formula cijele trigonometrije je osnovni trigonometrijski identitet:
\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]
Kao što vidite, znajući vrijednost sinusa, možete pronaći vrijednost kosinusa i obrnuto.
Trigonometrijske formule
Također vrlo uobičajene formule koje povezuju sinus i kosinus s tangensom i kotangensom:
\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]
Iz zadnje dvije formule može se izvesti još jedan trigometrijski identitet, koji ovoga puta povezuje tangens i kotangens:
\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]
Sada da vidimo kako ove formule rade u praksi.
PRIMJER 1. Pojednostavite izraz: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)
a) Najprije napišemo tangentu zadržavajući kvadrat:
\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
Sada sve podvodimo pod zajednički nazivnik i dobivamo:
\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]
I konačno, kao što vidimo, brojnik se može svesti na jedan prema osnovnom trigonometrijskom identitetu, kao rezultat dobivamo: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]
b) S kotangensom izvodimo sve iste radnje, samo nazivnik više neće imati kosinus, već sinus, a odgovor će ispasti ovako:
\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]
Nakon što smo obavili ovaj zadatak, izveli smo još dvije vrlo važne formule koje povezuju naše funkcije, a koje također morate znati kao svoj džep:
\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]
Morate znati napamet sve formule predstavljene unutar okvira, inače je daljnje proučavanje trigonometrije bez njih jednostavno nemoguće. U budućnosti će biti još formula i bit će ih puno, a uvjeravam vas da ćete ih se svih sigurno dugo sjećati ili ih se možda nećete sjećati, ali ovih šest komada SVATKO bi trebao znati !
Potpuna tablica svih osnovnih i rijetkih formula trigonometrijske redukcije.
Ovdje možete pronaći trigonometrijske formule u prikladnom obliku. A trigonometrijske formule redukcije možete vidjeti na drugoj stranici.
Osnovni trigonometrijski identiteti
su matematički izrazi za trigonometrijske funkcije koje se izvršavaju za svaku vrijednost argumenta.
- sin² α + cos² α = 1
- tgα ctgα = 1
- tan α = sin α ÷ cos α
- ctg α = cos α ÷ sin α
- 1 + tan² α = 1 ÷ cos² α
- 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α
Formule zbrajanja
- sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
- sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
- cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
- cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
- tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
- tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
- ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
- ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org
Formule dvostrukog kuta
- cos 2α = cos² α - sin² α
- cos2α = 2cos²α - 1
- cos 2α = 1 - 2sin² α
- sin2α = 2sinα cosα
- tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
- ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)
Formule trostrukog kuta
- sin3α = 3sinα - 4sin³α
- cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
- tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
- ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
Formule redukcije
- sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
- sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
- cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
- cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
- sin² α cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
- sin³ α cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32
Prijelaz s umnoška na zbroj
- sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
- sin α sin β \u003d ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
- cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))
Naveli smo dosta trigonometrijskih formula, ali ako nešto nedostaje, napišite.
Sve za učenje » Matematika u školi » Trigonometrijske formule - varalica
Da biste označili stranicu, pritisnite Ctrl+D.
Skupina s hrpom korisna informacija(potpišite ako morate polagati ispit ili ispit):
Cjelokupna baza sažetaka, seminarskih radova, diplomskih radova i ostalog nastavni materijali pruža besplatno. Korištenjem materijala stranice potvrđujete da ste pročitali korisnički ugovor i da se slažete sa svim njegovim odredbama u cijelosti.
detaljno se razmatra transformacija grupa općih rješenja trigonometrijskih jednadžbi. Treći dio bavi se nestandardnim trigonometrijskim jednadžbama čija se rješenja temelje na funkcionalnom pristupu.
Sve trigonometrijske formule (jednadžbe): sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)
Četvrti dio bavi se trigonometrijskim nejednadžbama. Detaljno se razmatraju metode rješavanja elementarnih trigonometrijskih nejednakosti, kako na jediničnom krugu tako i na ...
… kut 1800-α= duž hipotenuze i šiljasti kut: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Dakle, u školskom kolegiju geometrije pojam trigonometrijske funkcije uvodi se geometrijskim sredinama zbog njihove veće dostupnosti. Tradicionalna metodološka shema za proučavanje trigonometrijskih funkcija je sljedeća: 1) prvo se određuju trigonometrijske funkcije za oštar kut pravokutni ...
… Domaća zadaća 19(3,6), 20(2,4) Postavljanje ciljeva Aktualizacija temeljnih znanja Svojstva trigonometrijskih funkcija Redukcijske formule novi materijal Vrijednosti trigonometrijskih funkcija Rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi Konsolidacija Rješavanje zadataka Svrha lekcije: danas ćemo izračunati vrijednosti trigonometrijskih funkcija i riješiti ...
... postavljena hipoteza morala je riješiti sljedeće zadatke: 1. Utvrditi ulogu trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi u nastavi matematike; 2. Razviti metodologiju za formiranje vještina rješavanja trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi, s ciljem razvoja trigonometrijskih prikaza; 3. Eksperimentalno provjeriti učinkovitost razvijene metodologije. Za rješenja…
Trigonometrijske formule
Trigonometrijske formule
Predstavljamo vam razne formule vezane uz trigonometriju.
| ctg(2α) = | ctg 2 (α) - 1 2ctg (α) |
Opće formule
- verzija za ispis
Definicije Sinus kuta α (oznaka sin(α)) je omjer katete nasuprot kutu α prema hipotenuzi. Kosinus kuta α (oznaka cos(α)) je omjer kraka uz kut α prema hipotenuzi. Tangens kuta α (oznaka tg(α)) je omjer kraka nasuprot kutu α prema susjednom kraku. Ekvivalentna definicija je omjer sinusa kuta α i kosinusa istog kuta, sin(α)/cos(α). Kotangens kuta α (oznaka ctg(α)) je omjer stranice koja graniči s kutom α i suprotne stranice. Ekvivalentna definicija je omjer kosinusa kuta α i sinusa istog kuta - cos(α)/sin(α). Ostale trigonometrijske funkcije: sječna — sec(α) = 1/cos(α); kosekant cosec(α) = 1/sin(α). Bilješka Posebno ne pišemo znak * (množenje), - gdje su dvije funkcije napisane u nizu, bez razmaka, to se podrazumijeva. Trag Za izvođenje formula za kosinus, sinus, tangens ili kotangens višestrukih (4+) kutova dovoljno ih je napisati prema formulama. kosinus, sinus, tangens ili kotangens zbroja, ili svesti na prethodne slučajeve, svodeći na formule trostrukih i dvostrukih kutova. Dodatak Tablica izvedenica© školarac. Matematika (uz podršku Branch Tree) 2009—2016
Na ovoj stranici pronaći ćete sve osnovne trigonometrijske formule koje će vam pomoći u rješavanju mnogih vježbi, uvelike pojednostavljujući sam izraz.
Trigonometrijske formule su matematičke jednakosti za trigonometrijske funkcije koje vrijede za sve važeće vrijednosti argumenata.
Formule postavljaju odnos između glavnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa.
Sinus kuta je y-koordinata točke (ordinata) na jediničnoj kružnici. Kosinus kuta je x-koordinata točke (apscisa).
Tangens i kotangens su, redom, omjer sinusa i kosinusa i obrnuto.
`grijeh\\alfa,\cos\\alfa`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`
I dva koja se rjeđe koriste - sekans, kosekans. Oni označavaju omjere 1 prema kosinusu i sinusu.
`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`
Iz definicija trigonometrijskih funkcija možete vidjeti koje predznake imaju u svakoj četvrtini. Predznak funkcije ovisi samo o tome u kojem se kvadrantu argument nalazi.
Pri promjeni predznaka argumenta iz "+" u "-" samo funkcija kosinus ne mijenja svoju vrijednost. Zove se čak. Njegov graf je simetričan u odnosu na y-osu.
Ostale funkcije (sinus, tangens, kotangens) su neparne. Kada se predznak argumenta promijeni iz "+" u "-", njihova se vrijednost također mijenja u negativnu. Njihovi grafikoni su simetrični u odnosu na ishodište.
`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`
Osnovni trigonometrijski identiteti
Osnovni trigonometrijski identiteti su formule koje uspostavljaju odnos između trigonometrijskih funkcija jednog kuta (`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \ \alpha`) i koje vam omogućuju da pronađete vrijednost svake od ovih funkcija kroz bilo koju drugu poznatu.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`
Formule za zbroj i razliku kutova trigonometrijskih funkcija
Formule za zbrajanje i oduzimanje argumenata izražavaju trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova kroz trigonometrijske funkcije tih kutova.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`
Formule dvostrukog kuta
`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Formule trostrukog kuta
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Formule polukuta
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alfa)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
Formule pola, dvostrukog i trostrukog argumenta izražavaju funkcije `sin, \cos, \tg, \ctg` ovih argumenata (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) u uvjeti tih istih funkcija argumenta `\alpha`.
Njihov izlaz može se dobiti iz prethodne grupe (zbrajanje i oduzimanje argumenata). Na primjer, identiteti dvostrukog kuta lako se dobivaju zamjenom `\beta` sa `\alpha`.
Formule redukcije
Formule kvadrata (kubova, itd.) trigonometrijskih funkcija omogućuju vam prijelaz od 2,3, ... stupnjeva do trigonometrijskih funkcija prvog stupnja, ali više kutova (`\alpha, \ 3\alpha, \ ... ` ili `2\alfa, \ 4\alfa, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija
Formule su transformacije zbroja i razlike trigonometrijskih funkcija različitih argumenata u umnožak.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`
Ovdje se zbrajanje i oduzimanje funkcija jednog argumenta pretvara u umnožak.
`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`
Sljedeće formule pretvaraju zbroj i razliku jedinice i trigonometrijske funkcije u umnožak.
`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
Formule za pretvorbu funkcija
Formule za pretvaranje umnoška trigonometrijskih funkcija s argumentima "\alfa" i "\beta" u zbroj (razliku) tih argumenata.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Ove formule izražavaju trigonometrijske funkcije u smislu tangensa polukuta.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \u Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \u Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \u Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \u Z,` `\alfa \ne \pi + 2\pi n, n \u Z`
Cast formule
Formule redukcije mogu se dobiti pomoću takvih svojstava trigonometrijskih funkcija kao što su periodičnost, simetrija, svojstvo pomaka za zadani kut. Omogućuju pretvaranje proizvoljnih kutnih funkcija u funkcije čiji je kut između 0 i 90 stupnjeva.
Za kut (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ili (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Za kut (`\pi \pm \alpha`) ili (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Za kut (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ili (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Za kut (`2\pi \pm \alpha`) ili (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Izraz jednih trigonometrijskih funkcija preko drugih
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \ alpha)=\frac 1(ctg \ \ alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`
Trigonometrija se doslovno prevodi kao "mjerenje trokuta". Počinje se proučavati u školi, a detaljnije nastavlja na sveučilištima. Stoga su potrebne osnovne formule za trigonometriju, počevši od 10. razreda, kao i za položivši ispit. One označavaju veze između funkcija, a budući da je tih veza mnogo, i samih formula ima dosta. Zapamtiti ih sve nije lako, a nije ni potrebno - ako je potrebno, sve ih je moguće zaključiti.
Trigonometrijske formule se koriste u integralnom računu, kao iu trigonometrijskim pojednostavljenjima, izračunima i transformacijama.
