Mod i medijan- posebna vrsta prosjeka koji se koriste za proučavanje strukture varijacijskog niza. Ponekad se nazivaju strukturnim prosjecima, za razliku od prethodno raspravljenih prosjeka zakona potencije.

Moda- ovo je vrijednost atributa (varijante), koji se najčešće nalazi u ovoj populaciji, tj. ima najveću frekvenciju.

Moda ima veliku praktičnu primjenu, au nekim slučajevima samo moda može karakterizirati društvene pojave.

Medijan je varijanta koja je u sredini uređenog niza varijacija.

Medijan pokazuje kvantitativnu granicu vrijednosti varijabilnog obilježja koju doseže polovica populacijskih jedinica. Korištenje medijana uz prosjek ili umjesto njega preporučljivo je ako postoje otvoreni intervali u nizu varijacija, jer izračun medijana ne zahtijeva uvjetno uspostavljanje granica otvorenih intervala, pa stoga nedostatak informacija o njima ne utječe na točnost izračuna medijana.

Medijan se također koristi kada su pokazatelji koji će se koristiti kao ponderi nepoznati. Medijan se koristi umjesto aritmetičke sredine u statističkim metodama kontrole kvalitete proizvoda. Zbroj apsolutnih odstupanja opcija od medijana manji je nego od bilo kojeg drugog broja.

Razmotrimo izračun modusa i medijana u diskretnom varijacijskom nizu :

Odredite modus i medijan.

Moda Mo = 4 godine, jer ova vrijednost odgovara najvećoj frekvenciji f = 5.

Oni. najveći broj radnici imaju 4 godine iskustva.

Kako bismo izračunali medijan, prvo pronalazimo polovicu zbroja frekvencija. Ako je zbroj frekvencija neparan broj, tada ovom zbroju prvo dodamo jedan, a zatim ga podijelimo na pola:

Medijan će biti osma opcija.

Kako bismo pronašli koja će opcija biti osma po broju, skupljat ćemo frekvencije dok ne dobijemo zbroj frekvencija jednak ili veći od polovice zbroja svih frekvencija. Odgovarajuća opcija bit će medijan.

Mi = 4 godine.

Oni. pola radnika ima manje od četiri godine staža, pola više.

Ako je zbroj akumuliranih frekvencija prema jednoj opciji jednak polovici zbroja frekvencija, tada se medijan definira kao aritmetički prosjek ove i sljedeće opcije.

Izračun moda i medijana u nizu intervalnih varijacija

Modus u nizu intervalnih varijacija izračunava se formulom

gdje x M0- početna granica modalnog intervala,

hm 0 je vrijednost modalnog intervala,

fm 0 , fm 0-1 , fm 0+1 - učestalost modalnog intervala, odnosno, koji prethodi modalnom i naknadnom.

Modalni Interval s najvećom frekvencijom naziva se.

Primjer 1

Grupe po iskustvu	Broj radnika, osoba	Akumulirane frekvencije

Odredite modus i medijan.

Modalni interval, jer odgovara najvišoj frekvenciji f = 35. Tada:

Hm 0 =6, fm 0 =35

hm 0 =2, fm 0-1 =20

fm 0+1 =11

Zaključak: Najveći broj radnika ima staž od cca 6,7 ​​godina.

Za intervalni niz, Me se izračunava pomoću sljedeće formule:

gdje Hm e- donja granica medijalnog intervala,

hm e- veličina medijalnog intervala,

- pola zbroja frekvencija,

fm e je frekvencija srednjeg intervala,

Sm e-1 je zbroj akumuliranih frekvencija intervala koji prethodi medijanu.

Srednji interval je takav interval kojem odgovara kumulativna frekvencija, jednaka ili veća od polovine zbroja frekvencija.

Definirajmo medijan za naš primjer.

budući da je 82>50, tada srednji interval .

Hm e =6, fm e =35,

hm e =2, Sm e-1 =47,

Zaključak: Polovica radnika ima manje od 6,16 godina staža, a polovica više od 6,16 godina staža.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i Nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Kvantili su vrijednosti koje dijele skup na određeni broj dijelova jednakih po broju elemenata. Najpoznatiji su medijan, kvartili, decili, percentili.

1) Najpoznatiji kvantil je medijan, dijeleći skup na dva jednaka dijela. Osim medijana, često se koriste kvartili koji dijele rangirani niz na 4 jednaka dijela, decili - 10 dijelova i percentili - na 100 dijelova.

Medijan za diskretnu seriju.

Za određivanje medijani u diskretnom nizu prvi redni broj medijana prema formuli: a zatim oko odrediti koja vrijednost značajke ima kumulativnu frekvenciju jednaku srednjem broju.

Ako red sadrži Parni broj elemenata, tada će srednji broj biti necijeli broj, a medijan će biti jednak prosjeku dviju vrijednosti obilježja u sredini . Broj prve od ovih značajki je cijeli dio broj medijana, za drugo - broj medijana, zaokružen na cijeli broj.

Medijan za intervalne serije

Pri izračunavanju medijana za niz intervalnih varijacija prvo se određuje medijan interval unutar kojeg se nalazi medijan.

Za ovo:

1) broj medijana određen je formulom: ,

2) tada se akumuliranom frekvencijom određuje interval koji uključuje element s takvim brojem,

3) zatim - vrijednost medijana prema formuli:

- je željeni medijan

- je donja granica intervala koji sadrži medijan

-i- širina intervala (gornja granica intervala - donja granica)

- - zbroj frekvencija ili broj elemenata u skupini

Kumulativna učestalost intervala koji prethodi medijanu

- je frekvencija srednjeg intervala

Primjer. Pronađite modus i medijan za niz intervala.

Riješenje:

1) Definirajte modu

U ovom primjeru modalni interval je unutar dobne skupine od 25-30 godina, budući da ovaj interval ima najveću učestalost (1054).

Izračunajmo vrijednost moda:

To znači da je modalna dob učenika 27 godina.

2) Definirajte medijan.

Interval medijana je u dobnoj skupini od 25-30 godina, jer unutar ovog intervala postoji varijanta koja populaciju dijeli na dva jednaka dijela (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Zatim zamijenimo potrebne numeričke podatke u formulu i dobijemo vrijednost medijana:

To znači da je polovica studenata mlađa od 27,4 godine, a druga polovica starija od 27,4 godine.

2) Kvartili

Kvartili predstavljaju vrijednost značajke koja dijeli rangiranu populaciju na četiri dijela jednaka po broju elemenata.

Razlikujte kvartil prvog reda (donji kvartil) , kvartil trećeg reda (gornji kvartil). Prvi (donji) kvartil odsijeca ¼ jedinica s minimalnim vrijednostima iz populacije, a treći (gornji) odsijeca ¼ jedinica s maksimalnim vrijednostima, drugi kvartil je medijan. Drugi kvartil dijeli populaciju na dva jednaka dijela i predstavlja medijan.

Da biste izračunali kvartile, možete podijeliti niz varijacija medijanom na dva jednaka dijela, a zatim pronaći medijan u svakom od njih.

Na primjer, ako se uzorak sastoji od 6 čestica, tada se druga čestica uzima kao početni kvartil uzorka, a peta čestica se uzima kao donji kvartil.

medijan

Ako se niz varijacija sastoji, na primjer, od 9 elemenata, tada se aritam uzima kao gornji kvartil. prosjek 2. i 3. elementa, a za niži aritm. prosjek 7. i 8. elementa.

medijan

1. kvartil 3. kvartil

Izračunavanje kvartila za diskretni niz:

Izračun kvartila za diskretni niz:

1. U diskretnom nizu najprije odredite brojevi (pozicije) kvartila:

1. kvartilna pozicija

3. kvartilna pozicija

2. Ako je kvartilni broj je cijeli broj, tada će vrijednost kvartila biti jednaka vrijednosti elementa niza, koji ima akumuliranu frekvenciju jednaku broju kvartila. Na primjer, ako je kvartilni broj 20, njegova će vrijednost biti jednaka vrijednosti obilježja sa S = 20 (kumulativna frekvencija jednaka 20).

Ako je kvartilni broj nije cijeli broj, tada će kvartil biti uvjetni broj između dva promatranja. Vrijednost kvartila bit će zbroj vrijednosti elementa za koji je akumulirana frekvencija jednaka cjelobrojnoj vrijednosti broja kvartila i navedenog dijela (necijeli dio broja kvartila) razlike između vrijednosti ovaj element i vrijednost sljedećeg elementa.

Na primjer, ako je broj kvartila 20,25, kvartil pada između 20. i 21. promatranja, a njegova će vrijednost biti jednaka vrijednosti 20. promatranja plus 1/4 (0,25) razlike između vrijednosti 20. i 21. th opažanja.

Izračun kvartila za niz intervala:

Za izračunavanje kvartila za niz intervala:

1) Odredite kvartilni broj,

2) Odredite kvartilni interval,

3) Izračunajte kvartil pomoću formule:

Donja granica intervala koji sadrži prvi kvartil. Interval je određen akumuliranom frekvencijom intervala
- donja granica intervala koji sadrži treći kvartil. Interval je određen akumuliranom frekvencijom intervala
- širina intervala
- akumulirana frekvencija intervala koji prethodi intervalu koji sadrži prvi kvartil
- akumulirana frekvencija intervala koji prethodi intervalu koji sadrži treći kvartil
- učestalost intervala koji sadrži prvi kvartil
- učestalost intervala koji sadrži treći kvartil

Da biste pronašli medijan na stranicama trokuta, nije potrebno zapamtiti dodatnu formulu. Dovoljno je znati algoritam rješenja.

Prvo, pogledajmo problem općenito.

Dan je trokut sa stranicama a, b, c. Odredite duljinu medijane povučene na stranicu b.

AB=a, AC=b, BC=c.

Na zraku BF odvojimo isječak FD, FD=BF.

Spojimo točku D s točkama A i C.

Četverokut ABCD je paralelogram (po svojstvu), budući da su mu dijagonale u sjecištu podijeljene popola.

Svojstvo dijagonala paralelograma: zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica.

Dakle: AC²+BD²=2(AB²+BC²), pa b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². Prema konstrukciji, BF je pola BD, dakle,

Ovo je formula za pronalaženje medijana trokuta duž njegovih stranica. Obično se piše ovako:

Prijeđimo na konkretan problem.

Stranice trokuta su 13 cm, 14 cm i 15 cm.Nađite središnju trokuta povučenu na njegovu središnju stranicu.

Primjenom sličnog razmišljanja dobivamo:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Kratka teorija

U statistici se najčešće koriste strukturni prosjeci, koji uključuju mod i medijan (neparametarski prosjeci).

Moda- vrijednost svojstva (varijante) koja se javlja u seriji distribucije s najvećom učestalošću (težinom). Moda (Mo) služi za identifikaciju vrijednosti svojstva koje je najčešće (cijena na tržištu po kojoj je ostvaren najveći broj prodaja ovog proizvoda, broj cipela koji je najtraženiji među kupcima itd.) . Način se koristi samo u skupovima velikih brojeva. U diskretnom nizu mod se nalazi kao varijanta s najvećom frekvencijom. U nizu intervala prvo se pronalazi modalni interval, odnosno interval s najvećom frekvencijom, a zatim približna vrijednost modalne vrijednosti atributa prema formuli:

je donja granica modalnog intervala

- vrijednost modalnog intervala

je frekvencija intervala koji prethodi modalnom

– frekvencija modalnog intervala

je frekvencija intervala koji slijedi nakon modalnog

kvantili- veličine koje dijele skup na određeni broj dijelova jednakih po broju elemenata. Najpoznatiji kvantil je medijan koji populaciju dijeli na dva jednaka dijela. Osim medijana, često se koriste kvartili koji dijele rangirani niz na 4 jednaka dijela, decili - 10 dijelova i percentili - na 100 dijelova.

Medijan- vrijednost atributa jedinice koja se nalazi u sredini rangirane (poređene) serije. Ako je serija distribucije predstavljena određenim vrijednostima značajke, tada se medijan (Me) nalazi kao srednja vrijednost značajke.

Ako je serija distribucije diskretna, tada se medijan nalazi kao srednja vrijednost značajke (na primjer, ako je broj vrijednosti neparan - 45, tada odgovara 23 vrijednosti značajke u nizu vrijednosti ​​uzlaznim redoslijedom, ako je broj vrijednosti paran - 44, tada medijan odgovara polovici zbroja 22 i 23 vrijednosti obilježja).

Ako je serija distribucije intervalna, tada se inicijalno pronalazi srednji interval koji sadrži jedinicu koja se nalazi u sredini rangirane serije. Za određivanje tog intervala zbroj frekvencija se podijeli na pola i na temelju sekvencijalnog zbrajanja (zbrajanja) frekvencija intervala, počevši od prvog, pronađe se interval u kojem se nalazi medijan. Vrijednost medijana u nizu intervala izračunava se po formuli:

- donja granica srednjeg intervala

- vrijednost srednjeg intervala

Zbroj frekvencija niza

je zbroj akumuliranih frekvencija u intervalima koji prethode medijanu

je frekvencija srednjeg intervala

Kvartili- ovo su vrijednosti atributa u rangiranoj seriji, odabrane na takav način da će 25% jedinica populacije biti manje od vrijednosti , 25% jedinica bit će zatvoreno između i ; 25% - između i , preostalih 25% su superiorni. Kvartili se određuju pomoću formula sličnih formuli za izračun medijana. Za intervalne serije:

Decile naziva se strukturna varijabla koja raspodjelu dijeli na 10 jednakih dijelova prema broju jedinica u populaciji. Postoji 9 decila i 10 decilnih skupina. Decili se određuju pomoću formula sličnih formuli za izračun medijana i kvartila.

općenito opća formula izračunati kvantile u nizu intervala je kako slijedi:

– redni broj kvantila

- dimenzija kvantila (na koliko dijelova ti kvartili dijele populaciju)

je donja granica kvantilnog intervala

je širina kvantilnog intervala

Kumulativna pretkvantilna intervalna frekvencija

Za diskretnu seriju kvantilni broj može se pronaći pomoću formule:

Primjer rješenja problema

Uvjet problema 1 (diskretno rangirani niz)

Kao rezultat istraživanja utvrđeni su prosječni mjesečni prihodi stanara jednog ulaza:

Definirati:

Modalni i srednji dohodak, kvantili i decili dohotka.

Rješenje problema

Već imamo rangiranu seriju - vrijednosti prihoda stanovnika raspoređene su uzlaznim redoslijedom.

Način je vrijednost koja se najčešće pojavljuje. NA ovaj slučaj imamo red s dva načina.

Medijan je vrijednost značajke koja dijeli uređeni skup podataka na pola.

Kvartili - vrijednosti atributa u rangiranoj seriji, odabrane na takav način da će 25% jedinica populacije biti manje od vrijednosti; 25% jedinica bit će priloženo između i ; 25% - između i; preostalih 25% su superiorni.

Dicili dijele red na 10 jednakih dijelova:

Ako vam pomoć sada nije potrebna, ali će vam možda trebati u budućnosti, kako ne biste izgubili kontakt, pridružite se VK grupi.

Uvjet problema 2 (intervalni niz)

Za određivanje prosječnog iznosa depozita u kreditnoj instituciji dobiveni su sljedeći podaci:

Izračunajte strukturne prosjeke (mod, medijan, kvartile).

Rješenje problema

Izračunajmo način veličine doprinosa:

Način rada je varijanta s najvećom frekvencijom.

Modus se izračunava po formuli:

Početak modalnog intervala

Vrijednost intervala

Učestalost modalnog intervala

Učestalost intervala koji prethodi modalnom

Učestalost intervala koji slijedi nakon modalnog

Dakle, najveći broj depozita je 30,7 tisuća rubalja.

Medijan je vrijednost u sredini niza distribucije.

Medijan se izračunava pomoću formule:

Početak (donja granica) srednjeg intervala

Vrijednost intervala

Zbroj svih frekvencija niza

Srednja frekvencija intervala

Zbroj kumulativnih učestalosti varijanti do medijana

Dakle, polovica depozita ima veličinu do 28 tisuća rubalja, druga polovica - više od 28 tisuća rubalja.

Izračunajmo kvantile:

Tako je 25% depozita manje od 20,8 tisuća rubalja, 25% depozita je u rasponu od 20,8 tisuća rubalja. do 28 tisuća rubalja, 25% leži u rasponu od 28 tisuća rubalja. do 33 tisuće rubalja, 25% više od vrijednosti od 33 tisuće rubalja.

Uvjet problema 3

Iscrtajte grafove za niz varijacija. Na grafikonu prikažite modu, medijan, srednju vrijednost, kvartile.

Problem 3 rješenje

Izračunajte prosjek: Da biste to učinili, zbrojite umnoške srednjih točaka intervala i odgovarajućih frekvencija, a dobiveni zbroj podijelite sa zbrojem frekvencija.