Vrsta jednadžbe f(x; a) = 0 se zove jednadžba varijable x i parametar a.
Riješite jednadžbu s parametrom a To znači da za svaku vrijednost a pronaći vrijednosti x zadovoljavajući ovu jednadžbu.
Primjer 1 Oh= 0
Primjer 2 Oh = a
Primjer 3
x + 2 = sjekira
x - sjekira \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2
Ako 1 - a= 0, tj. a= 1, tada x 0 = -2 bez korijena
Ako 1 - a 0, tj. a 1, dakle x =
Primjer 4
(a 2 – 1) x = 2a 2 + a – 3
(a – 1)(a + 1)x = 2(a – 1)(a – 1,5)
(a – 1)(a + 1)x = (1a – 3)(a – 1)
Ako a a= 1, zatim 0 x = 0
x- bilo koji realni broj
Ako a a= -1, zatim 0 x = -2
bez korijena
Ako a a 1, a-1 onda x= (jedino rješenje).
To znači da za svaku valjanu vrijednost a odgovara jednoj vrijednosti x.
Na primjer:
ako a= 5, tada x = = ;
ako a= 0, tada x= 3 itd.
Didaktički materijal
1. Oh = x + 3
2. 4 + Oh = 3x – 1
3. a = +
na a= 1 nema korijena.
na a= 3 nema korijena.
na a = 1 x bilo koji realni broj osim x = 1
na a = -1, a= 0 nema rješenja.
na a = 0, a= 2 nema rješenja.
na a = -3, a = 0, 5, a= -2 nema rješenja
na a = -S, S= 0 nema rješenja.
Kvadratne jednadžbe s parametrom
Primjer 1 riješiti jednadžbu
(a – 1)x 2 = 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0
Na a = 1 6x + 7 = 0
Kada a 1 odaberite one vrijednosti parametra za koje D ide na nulu.
D = (2(2 a + 1)) 2 – 4(a – 1)(4a + 30 = 16a 2 + 16a + 4 – 4(4a 2 + 3a – 4a – 3) = 16a 2 + 16a + 4 – 16a 2 + 4a + 12 = 20a + 16
20a + 16 = 0
20a = -16
Ako a a < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Ako a a> -4/5 i a 1, dakle D > 0,
x = 
Ako a a= 4/5, dakle D = 0,
Primjer 2 Pri kojim vrijednostima parametra a jednadžba
x 2 + 2( a + 1)x + 9a– 5 = 0 ima 2 različita negativna korijena?
D = 4( a + 1) 2 – 4(9a – 5) = 4a 2 – 28a + 24 = 4(a – 1)(a – 6)
4(a – 1)(a – 6) > 0
prema t. Vieta: x 1 + x 2 = -2(a + 1)
x 1 x 2 = 9a – 5
Po stanju x 1 < 0, x 2 < 0 то –2(a + 1) < 0 и 9a – 5 > 0
| Eventualno | 4(a – 1)(a – 6) > 0 - 2(a + 1) < 0 9a – 5 > 0 |
a < 1: а > 6 a > - 1 a > 5/9 |
 (Riža. jedan) < a < 1, либо a > 6 |
Primjer 3 Pronađite vrijednosti a za koje ova jednadžba ima rješenje.
x 2 - 2( a – 1)x + 2a + 1 = 0
D = 4( a – 1) 2 – 4(2a + 10 = 4a 2 – 8a + 4 – 8a – 4 = 4a 2 – 16a
4a 2 – 16 0
4a(a – 4) 0
a( a – 4)) 0
a( a – 4) = 0
a = 0 ili a – 4 = 0
a = 4
(Riža. 2)
Odgovor: a 0 i a 4
Didaktički materijal
1. U kojoj vrijednosti a jednadžba Oh 2 – (a + 1) x + 2a– 1 = 0 ima jedan korijen?
2. U kojoj vrijednosti a jednadžba ( a + 2) x 2 + 2(a + 2)x+ 2 = 0 ima jedan korijen?
3. Za koje vrijednosti a vrijedi jednadžba ( a 2 – 6a + 8) x 2 + (a 2 – 4) x + (10 – 3a – a 2) = 0 ima više od dva korijena?
4. Za koje vrijednosti jednadžbe 2 x 2 + x – a= 0 ima barem jedan zajednički korijen s jednadžbom 2 x 2 – 7x + 6 = 0?
5. Za koje vrijednosti a rade jednadžbe x 2 +Oh+ 1 = 0 i x 2 + x + a= 0 imaju barem jedan zajednički korijen?
1. Kada a = - 1/7, a = 0, a = 1
2. Kada a = 0
3. Kada a = 2
4. Kada a = 10
5. Kada a = - 2
Eksponencijalne jednadžbe s parametrom
Primjer 1.Pronađi sve vrijednosti a, za koju je jednadžba
9 x - ( a+ 2) * 3 x-1 / x +2 a*3 -2/x = 0 (1) ima točno dva korijena.
Riješenje. Množenjem obje strane jednadžbe (1) s 3 2/x, dobivamo ekvivalentnu jednadžbu
3 2(x+1/x) – ( a+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 a = 0 (2)
Neka je 3 x+1/x = na, tada jednadžba (2) poprima oblik na 2 – (a + 2)na + 2a= 0, ili
(na – 2)(na – a) = 0, odakle na 1 =2, na 2 = a.
Ako a na= 2, tj. 3 x + 1/x = 2 tada x + 1/x= log 3 2 , ili x 2 – x log 3 2 + 1 = 0.
Ova jednadžba nema prave korijene jer D= log 2 3 2 – 4< 0.
Ako a na = a, tj. 3 x+1/x = a zatim x + 1/x= dnevnik 3 a, ili x 2 –x log 3 a + 1 = 0. (3)
Jednadžba (3) ima točno dva korijena ako i samo ako
D = log 2 3 2 – 4 > 0, ili |log 3 a| > 2.
Ako je log 3 a > 2, tada a> 9, a ako je log 3 a< -2, то 0 < a < 1/9.
Odgovor: 0< a < 1/9, a > 9.
Primjer 2. Pri kojim vrijednostima jednadžbe 2 2x - ( a - 3) 2 x - 3 a= 0 ima rješenja?
Do dana jednadžba ima rješenja, potrebno je i dovoljno da jednadžba t 2 – (a - 3) t – 3a= 0 ima barem jedan pozitivan korijen. Nađimo korijene koristeći Vietin teorem: x 1 = -3, x 2 = a = >
a je pozitivan broj.
Odgovor: kada a > 0
Didaktički materijal
1. Pronađite sve vrijednosti a za koje jednadžba
25 x - (2 a+ 5) * 5 x-1 / x + 10 a* 5 -2/x = 0 ima točno 2 rješenja.
2. Za koje vrijednosti a vrijedi jednadžba
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 ima jedan korijen?
3. Za koje vrijednosti parametra a jednadžba
4 x - (5 a-3) 2 x +4 a 2 – 3a= 0 ima jedinstveno rješenje?
Logaritamske jednadžbe s parametrom
Primjer 1 Pronađite sve vrijednosti a, za koju je jednadžba
log 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)
ima jedinstveno rješenje.
Riješenje. Jednadžba (1) je ekvivalentna jednadžbi
1 + Oh = 2x na x > 0, x 1/4 (3)
x = na
au 2 - na + 1 = 0 (4)
Uvjet (2) iz (3) nije zadovoljen.
Neka a 0, dakle au 2 – 2na+ 1 = 0 ima prave korijene ako i samo ako D = 4 – 4a 0, tj. na a 1. Za rješavanje nejednadžbe (3) konstruiramo grafove funkcija Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Detaljno proučavanje tečaja algebre i matematičke analize. - M.: Prosvjetljenje, 1990
Razmotrimo sada kvadratnu jednadžbu
gdje je nepoznata veličina, su parametri (koeficijenti) jednadžbe.
Kritične vrijednosti parametra trebaju uključivati, prije svega, vrijednost. Pri navedenoj vrijednosti parametra, jednadžba (1) ima oblik
stoga se red jednadžbe smanjuje za jedan. Jednadžba (2) je linearna jednadžba i način njenog rješavanja je razmatran ranije.
Za ostale kritične vrijednosti parametara određuje se diskriminanta jednadžbe. Poznato je da pri , jednadžba (1) nema korijena; jer ima jedan korijen za jednadžbu (1) ima dva različita korijena i
jedan). Pronađite sve vrijednosti parametara za koje je kvadratna jednadžba
a) ima dva različita korijena;
b) nema korijena;
c) ima dva jednaka korijena.
Riješenje. Ova jednadžba je kvadratna po uvjetu, pa stoga razmotrite diskriminant ove jednadžbe
Kada jednadžba ima dva različita korijena, jer
Kada jednadžba nema korijena, jer Ova kvadratna jednadžba ne može imati dva jednaka korijena, jer jer i to proturječi uvjetu problema.
Odgovor: Kada jednadžba ima dva različita korijena.
Kada jednadžba nema korijena.
2).Riješi jednadžbu. Za svaku dopuštenu vrijednost parametra riješite jednadžbu
Riješenje. Razmotrimo prvo slučaj kada
(u ovom slučaju izvorna jednadžba postaje linearna jednadžba). Dakle, vrijednost parametra i njegove su kritične vrijednosti. Jasno je da je za , korijen ove jednadžbe i za , njen korijen je
Ako one. i tada je ova jednadžba kvadratna. Nađimo njegovu diskriminantu:
Za sve vrijednosti, diskriminant uzima nenegativne vrijednosti, a nestaje na (ove vrijednosti parametra su također njegove kritične vrijednosti).
Stoga, ako tada ova jednadžba ima jedan korijen
U ovom slučaju vrijednost parametra odgovara korijenu
a vrijednost odgovara korijenu
Ako tada jednadžba ima dva različita korijena. Pronađimo ove korijene.
Odgovor. Ako onda ako onda ako onda
ako tada , .
3).Riješi jednadžbu. Na kojim vrijednostima parametra a ima li jednadžba jedinstveno rješenje?
Riješenje. Ova jednadžba je ekvivalentna sustavu
Prisutnost kvadratne jednadžbe i uvjet jedinstvenosti rješenja prirodno će dovesti do potrage za korijenima diskriminante. Međutim, uvjet x ≠ -3 trebao bi privući pozornost. A "suptilna točka" je da kvadratna jednadžba sustava može imati dva korijena! Ali samo jedan od njih mora biti jednak -3. Imamo
D= a 2 - 4, stoga je D = 0 ako a= ±2; x \u003d -3 - korijen jednadžbe x 2 - a x +1 = 0 at
a= -10/3, i s ovom vrijednošću a drugi korijen kvadratne jednadžbe je različit
Odgovor. a= ±2 ili a = -10/3.
4).Riješi jednadžbu. Na kojim vrijednostima parametra a jednadžba
(a- 2)x 2 + (4 - 2a) x+3 = 0 ima jedinstveno rješenje?
Riješenje. Jasno je da je potrebno početi od slučaja a= 2. Ali kod a = 2 Izvorna jednadžba uopće nema rješenja. Ako a a ≠ 2, onda je ova jednadžba kvadratna i, čini se, željene vrijednosti parametra su korijeni diskriminante. Međutim, diskriminant nestaje kada a = 2 ili a = 5. Pošto smo to utvrdili a=2 ne odgovara, dakle
Odgovor, a = 5.
9).Riješi jednadžbu. Na kojim vrijednostima parametra a jednadžba Oh 2 - 4x + a+ 3 = 0 ima više od jednog korijena?
Riješenje. Na a= 0 jednadžba ima jedan korijen, što ne zadovoljava uvjet. Na a≠ 0 izvorna jednadžba, budući da je kvadratna, ima dva korijena ako je njezina diskriminanta 16 – 4 a 2 – 12a pozitivan. Odavde dobivamo -4<a<1.
Međutim, dobiveni interval (-4; 1) uključuje broj 0. Odgovor. -4<a<0 или 0<a<1.
deset). Na kojim vrijednostima parametra a jednadžba a(a+3)x 2 + (2a+6)x– 3a– 9 = 0 ima više od jednog korijena?
Riješenje. Standardni korak - počnite s slučajevima a= 0 i a= -3. Na a= 0 jednadžba ima jedinstveno rješenje. Zanimljivo je da kod a= -3 rješenje jednadžbe je bilo koji realni broj. Na a≠ -3 i a≠ 0, dijeljenjem obje strane ove jednadžbe s a + 3, dobivamo kvadratnu jednadžbu Oh 2 + 2x- 3 = 0, čija je diskriminanta 4 (1 + Z a) je pozitivan za a > ⅓. Iskustvo prethodnih primjera govori da iz intervala
(-⅓ ;∞) trebate isključiti točku a= 0, i ne zaboravite uključiti a = -3.
Odgovor. a= -3, ili - ⅓< а < 0, или а > 0.
11).Riješi jednadžbu :
Riješenje. Prvo, primijetite da je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi koja nema rješenja. Ako
1. Zadatak.
Na kojim vrijednostima parametra a jednadžba ( a - 1)x 2 + 2x + a- 1 = 0 ima točno jedan korijen?
1. Odluka.
Na a= 1 jednadžba ima oblik 2 x= 0 i očito ima jedan korijen x= 0. Ako a br. 1, onda je ova jednadžba kvadratna i ima jedan korijen za one vrijednosti parametra za koje je diskriminant kvadratnog trinoma jednak nuli. Izjednačavajući diskriminantu s nulom, dobivamo jednadžbu za parametar a
4a 2 - 8a= 0, odakle a= 0 ili a = 2.
1. Odgovor: jednadžba ima jedan korijen na a O(0; 1; 2).
2. Zadatak.
Pronađite sve vrijednosti parametara a, za koju jednadžba ima dva različita korijena x 2 +4sjekira+8a+3 = 0.
2. Odluka.
Jednadžba x 2 +4sjekira+8a+3 = 0 ima dva različita korijena ako i samo ako D =
16a 2 -4(8a+3) > 0. Dobivamo (nakon smanjenja za zajednički faktor 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, odakle
2. Odgovor:
| a O (-Ґ ; 1 - | C 7 2 |
) I (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. Zadatak.
Poznato je da
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Grafički nacrtajte funkciju f 1 (x) na a = 1.
b) U kojoj vrijednosti a grafovi funkcija f 1 (x) i f 2 (x) imaju jednu zajedničku točku?
3. Rješenje.
3.a. Preobrazimo se f 1 (x) na sljedeći način
Graf ove funkcije a= 1 prikazan je na slici desno.
3.b. Odmah napominjemo da grafici funkcija g =
kx+b i g = sjekira 2 +bx+c
(a br. 0) sijeku se u jednoj točki ako i samo ako kvadratna jednadžba kx+b =
sjekira 2 +bx+c ima jedan korijen. Korištenje Pogleda f 1 od 3.a, izjednačujemo diskriminant jednadžbe a = 6x-x 2 -6 do nula. Iz jednadžbe 36-24-4 a= 0 dobivamo a= 3. Učinite isto s jednadžbom 2 x-a = 6x-x 2 -6 pronaći a= 2. Lako je provjeriti da ove vrijednosti parametara zadovoljavaju uvjete problema. Odgovor: a= 2 ili a = 3.
4. Zadatak.
Pronađite sve vrijednosti a, pod kojim je skup rješenja nejednadžbe x 2 -2sjekira-3a i 0 sadrži segment .
4. Rješenje.
Prva koordinata vrha parabole f(x) =
x 2 -2sjekira-3a jednako je x 0 =
a. Od svojstava kvadratne funkcije uvjet f(x) i 0 na intervalu ekvivalentan je ukupnosti triju sustava
ima točno dva rješenja?
5. Odluka.
Prepišimo ovu jednadžbu u obliku x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Ovo je kvadratna jednadžba, ima točno dva rješenja ako je njezina diskriminanta strogo veća od nule. Izračunavanjem diskriminante dobivamo da je uvjet za točno dva korijena ispunjenje nejednadžbe a 2 +a-6 > 0. Rješavajući nejednadžbu, nalazimo a < -3 или a> 2. Prva od nejednadžbi je očito rješenja u prirodni brojevi nema, a najmanje prirodno rješenje drugog je broj 3.
5. Odgovor: 3.
6. Zadatak (10 ćelija)
Pronađite sve vrijednosti a, za koji je graf funkcije ili, nakon očitih transformacija, a-2 = |
2-a| . Posljednja jednadžba je ekvivalentna nejednadžbi a ja 2.
6. Odgovor: a O)
