Тригонометричні функції для чайників. Тригонометрія – це й зрозуміло. Тригонометричні формули приведення

Ще 1905 р. російські читачі могли прочитати у книзі Вільяма Джеймса “Психологія” його міркування у тому, “чому зубрение представляє такий поганий спосіб вчення?”

“Знання, набуті шляхом простого зубріння, майже неминуче забуваються абсолютно безвісти. Навпаки, розумовий матеріал, що набирається пам'яттю поступово, день за днем, у зв'язку з різними контекстами, пов'язаний асоціативно з іншими зовнішніми подіями і неодноразово обговорений, утворює таку систему, вступає в такий зв'язок з іншими сторонами нашого інтелекту, легко відновлюється в пам'яті масою зовнішніх приводів, що надовго залишається міцним придбанням”.

З того часу минуло понад 100 років, а ці слова вражаюче залишаються злободенними. У цьому щодня переконуєшся, займаючись зі школярами. Масові прогалини у знаннях настільки великі, що можна стверджувати: шкільний курс математики в дидактичному та психологічному відносинах – не система, а якийсь пристрій, що заохочує короткочасну пам'ятьі анітрохи не дбати про пам'ять довготривалу.

Знати шкільний курс математики – отже володіти матеріалом кожного з напрямів математики, бути в змозі актуалізувати будь-яке їх у час. Щоб досягти цього, потрібно систематично звертатися до кожного з них, що часом не завжди можливо через сильну завантаженість на уроці.

Є інший шлях довготривалого запам'ятовування фактів та формул – це опорні сигнали.

Тригонометрія – один із великих розділів шкільної математики, що вивчається в курсі геометрії 8, 9 класів та в курсі алгебри 9 класу, алгебри та почав аналізу у 10 класі.

Найбільший обсяг матеріалу, що вивчається по тригонометрії припадає на частку 10 класу. Більшість цього матеріалу з тригонометрії можна вивчити і запам'ятати на тригонометричному колі(Окружність одиничного радіусу з центром на початку прямокутної системикоординат). Додаток1.ppt

Це такі поняття тригонометрії:

визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута;
радіальний вимір кутів;
область визначення та область значень тригонометричних функцій
значення тригонометричних функцій для деяких значень числового та кутового аргументу;
періодичність тригонометричних функцій;
парність та непарність тригонометричних функцій;
зростання та зменшення тригонометричних функцій;
формули наведення;
значення обернених тригонометричних функцій;
вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь;
вирішення найпростіших нерівностей;
основні формули тригонометрії

Розглянемо вивчення цих понять на тригонометричному колі.

1) Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Після введення поняття тригонометричного кола (коло одиничного радіусу з центром на початку координат), початкового радіуса (радіус кола у напрямку осі Ох), кута повороту, учні самостійно отримують визначення для синуса, косинуса, тангенса і котангенса на тригонометричному колі, використовуючи визначення з курсу геометрії, тобто, розглядаючи прямокутний трикутник із гіпотенузою, що дорівнює 1.

Косинусом кута називається абсцис точки на колі при повороті початкового радіусу на даний кут.

Синусом кута називається ордината точки на колі при повороті початкового радіусу на даний кут.

2) Радіанний вимір кутів на тригонометричному колі.

Після введення радіанної міри кута (1 радіан – це центральний кут, якому відповідає довжина дуги, рівна довжині радіуса кола), учні роблять висновок, що радіанне вимір кута – це числове значення кута повороту на колі, що дорівнює довжині відповідної дуги при повороті початкового радіуса на заданий кут. .

Тригонометричне коло поділено на 12 рівних частин діаметрами кола. Знаючи, що кут радіанам, можна визначити радіальний вимір для кратних кутів .

А радіальні виміри кутів, кратних, виходять аналогічно:

3) Область визначення та область значень тригонометричних функцій.

Чи буде відповідність кутів повороту та значень координат точки на колі функцією?

Кожному куту повороту відповідає єдина точка на колі, отже це відповідність – функція.

Отримуємо функції

На тригонометричному колі видно, область визначення функцій – безліч всіх дійсних чисел, а область значень - .

Введемо поняття ліній тангенсів та котангенсів на тригонометричному колі.

1) Нехай Введемо допоміжну пряму, паралельну осі Оу, де визначаються тангенси для будь-якого числового аргументу.

2) Аналогічно отримуємо лінію котангенсів. Нехай у = 1, тоді. Значить значення котангенса визначаються на прямій, паралельній осі Ох.

На тригонометричному колі легко можна визначити область визначення і область значень тригонометричних функцій:

для тангенсу -

для котангенсу -

4) Значення тригонометричних функцій на тригонометричному колі.

Катет, протилежний куту дорівнює половині гіпотенузи, тобто Інший катет по теоремі Піфагора:

Значить за визначенням синуса, косинуса, тангенсу, котангенсу можна визначити значення для кратних кутів або радіанам. Значення синуса визначаються по осі Оу, косинуса по осі Ох, а значення тангенсу та котангенсу можна визначити за додатковими осями, паралельними осям Оу та Ох відповідно.

Табличні значення синуса та косинуса розташовані на відповідних осях наступним чином:

Табличні значення тангенсу та котангенсу -

5) Періодичність тригонометричних функцій.

На тригонометричному колі видно, що значення синуса, косинуса повторюються через кожні радіана, а тангенсу та котангенсу – через радіан.

6)парність і непарність тригонометричних функцій.

Цю властивість можна отримати, порівнюючи значення позитивних і протилежних їм кутів повороту тригонометричних функцій. Отримуємо, що

Значить, косинус – парна функція, Решта функції – непарні.

7) Зростання та спадання тригонометричних функцій.

По тригонометричному колу видно, що функція синус зростає і зменшується

Аналогічно розмірковуючи, отримуємо проміжки зростання та зменшення функцій косинуса, тангенсу та котангенсу.

8) Формули наведення.

За кут беремо менше значення кута на тригонометричному колі. Усі формули виходять порівняння значень тригонометричних функцій на катетах виділених прямокутних трикутників.

Алгоритм застосування формул приведення:

1) Визначити знак функції під час повороту на заданий кут.

При повороті на кут функція зберігається, при повороті на кут - ціле, непарне число, виходить кофункція (

9) Значення зворотних тригонометричних функцій.

Введемо зворотні функції для тригонометричних функцій, використовуючи визначення функції.

Кожному значенню синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу на тригонометричному колі відповідає лише одне значення кута повороту. Отже, для функції область визначення , область значень - Для функції область визначення - , область значень - . Аналогічно отримуємо область визначення та область значень зворотних функцій для косинуса та котангенсу.

Алгоритм знаходження значень зворотних тригонометричних функцій:

1) знаходження на відповідній осі значення аргументу зворотної тригонометричної функції;

2) знаходження кута повороту початкового радіусу з урахуванням області значень зворотної тригонометричної функції.

Наприклад:

10) Вирішення найпростіших рівнянь на тригонометричному колі.

Щоб розв'язати рівняння виду, знайдемо точки на колі, ординати яких рівні і запишемо відповідні кути з урахуванням періоду функції.

Для рівняння знайдемо точки на колі, абсциси яких рівні і запишемо відповідні кути з урахуванням періоду функції.

Аналогічно для рівнянь виду Значення визначаються лініях тангенсів і котангенсів і записуються відповідні кути повороту.

Усі поняття та формули тригонометрії одержують самі учні під чітким керівництвом вчителя за допомогою тригонометричного кола. Надалі це “коло” служитиме їм опорним сигналом чи зовнішнім чинником відтворення у пам'яті понять і формул тригонометрії.

Вивчення тригонометрії на тригонометричному колі сприяє:

вибору оптимального для цього уроку стиль спілкування, організації навчального співробітництва;
цільові орієнтири уроку стають особистісно значущими кожного учня;
новий матеріалспирається на особистий досвіддії, мислення, відчуття учня;
урок включає в себе різні формироботи та способи отримання та засвоєння знань; присутні елементи взаємо- та самонавчання; само- та взаємоконтролю;
має місце швидке реагуванняна нерозуміння та помилку (спільне обговорення, опори-підказки, взаємоконсультації).

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

1. Введення.

Підходячи до школи, чую голоси хлопців із спортивної зали, йду далі – співають, малюють… скрізь емоції, почуття. Мій кабінет, урок алгебри, десятикласники. Ось і наш підручник, у якому курс тригонометрії складає половину його обсягу, і в ньому дві закладки – це ті місця, де я знайшла слова, які не належать до теорії тригонометрії.

До небагатьох відносяться учні, які люблять математику, відчуває її красу і не питає, навіщо потрібно вивчати тригонометрію, де застосовується вивчений матеріал? Більшість - хто просто виконує завдання, щоб не отримати погану оцінку. І твердо впевнені, що прикладне значення математики – це отримати знання, достатні для успішної здачі ЄДІта вступи до ВНЗ (вступити та забути).

Основна мета уроку – показати прикладне значення тригонометрії в різних сферахдіяльність людини. Наведені приклади допоможуть учням побачити зв'язок цього розділу математики коїться з іншими предметами, які вивчаються у шкільництві. Зміст цього уроку – елемент професійної підготовки учнів.

Розповісти нове про, здавалося б, давно відомий факт. Показати логічний зв'язок між тим, що вже знаємо, і те, що належить вивчити. Трохи прочинити двері і заглянути за рамки шкільної програми. Незвичайні завдання, зв'язок із подіями сьогоднішнього дня – ось ті прийоми, які я використовую для досягнення поставленої мети. Адже шкільна математика як предмет сприяє не так навчанню, як розвитку особистості, його мислення, культури.

2. Конспект уроку з алгебри та початків аналізу (10 клас).

Організаційний момент:Розставити шість столів півколом (модель транспортира), листи із завданнями для учнів на столах (Додаток 1).

Оголошення теми уроку: “Тригонометрія – це і зрозуміло”.

У курсі алгебри і початку аналізу ми приступаємо до вивчення тригонометрії, мені хотілося б розповісти про прикладне значення цього розділу математики.

Теза уроку:

“Велика книгаприроди може бути прочитана тільки тими, хто знає мову, якою вона написана, і ця мова – математика”.
(Г. Галілей).

Наприкінці уроку подумаємо разом, чи змогли ми заглянути в цю книгу і зрозуміти мову, якою вона написана.

Тригонометрія гострого кута.

Тригонометрія – слово грецьке й у перекладі означає “вимір трикутників”. Виникнення тригонометрії пов'язані з вимірами землі, будівельною справою, астрономією. А перше знайомство з нею сталося тоді, коли ви взяли до рук транспортир. Звернете увагу на те, як стоять столи? Прикиньте в думці: якщо прийняти один стіл за хорду, то яка градусна міра дуги, яку вона стягує?

Згадаймо про міру вимірювання кутів: 1 ° = 1/360частина кола (“градус” – від латинського grad – крок). Чи знаєте ви, чому коло розділили на 360 частин, чому не розбили на 10, 100 або 1000 частин, як це відбувається, наприклад, при вимірі довжин? Розкажу вам одну із версій.

Раніше люди вважали, що Земля - це центр Всесвіту і вона нерухома, а Сонце здійснює за добу один оберт навколо Землі, геоцентрична система світу, "гео" - Земля ( Малюнок №1). Вавилонські жерці, які проводили астрономічні спостереження, виявили, що в день рівнодення Сонце від сходу до заходу сонця описує на небесному склепінні півколо, в якому видимий діаметр (діаметр) Сонця укладається рівно 180 разів. ° - Слід Сонця. ( Малюнок № 2).

Тривалий час тригонометрія мала чисто геометричний характер. Ви продовжуєте знайомство з тригонометрією, вирішуючи прямокутні трикутники. Дізнаєтеся, що синус гострого кута прямокутного трикутника - це відношення протилежного катета до гіпотенузи, косинус - відношення прилеглого катета до гіпотенузи, тангенс - відношення протилежного катета до прилеглого катета і котангенс - відношення прилеглого катета до протилежного. І запам'ятовуєте, що в прямокутному трикутнику, Що має даний кут, відносини сторін не залежать від розмірів трикутника. Знайомтесь з теоремами синусів та косінусів для вирішення довільних трикутників.

2010 року московському метрополітену виповнилося 75 років. Щодня ми спускаємось у метро і не помічаємо, що …

Завдання №1.Кут нахилу всіх ескалаторів московського метро дорівнює 30 градусам. Знаючи це, кількість ламп на ескалаторі та зразкову відстань між лампами, можна обчислити приблизну глибину закладення станції. На ескалаторі станції "Кольоровий бульвар" 15 ламп, а на станції "Празька" 2 лампи. Розрахуйте, якою є глибина закладення цих станцій, якщо відстані між лампами, від входу ескалатора до першої лампи і від останньої лампи до виходу з ескалатора дорівнюють 6 м ( Малюнок №3). Відповідь: 48 м та 9 м

Домашнє завдання. Найглибша станція московського метро – Парк Перемоги. Яка глибина її закладання? Пропоную вам самостійно знайти дані для вирішення домашнього завдання.

У мене в руках лазерна указка, вона ж далекомір. Виміряємо, наприклад, відстань до дошки.

Китайський дизайнер Хуань Цяокун здогадався з'єднати в один пристрій два лазерні далекоміри, транспортир і отримав інструмент, що дозволяє визначати відстань між двома точками на площині. Малюнок № 4). Як ви вважаєте, за допомогою якої теореми вирішується це завдання? Згадайте формулювання теореми косінусів. Чи погоджуєтесь ви зі мною, що ваших знань вже достатньо для того, щоб зробити такий винахід? Вирішуйте завдання з геометрії та робіть кожен день маленькі відкриття!

Сферична тригонометрія.

Крім плоскої геометрії Евкліда (планіметрії) можуть існувати інші геометрії, в яких розглядаються властивості фігур не на площині, а на інших поверхнях, наприклад на поверхні кулі ( Малюнок № 5). Перший математик, який заклав фундамент у розвиток неевклидовых геометрій був Н.І. Лобачевський - "Коперник геометрії". З 1827 р. протягом 19 років він був ректором Казанського Університету.

Сферична тригонометрія, що є частиною сферичної геометрії, розглядає співвідношення між сторонами та кутами трикутників у сфері, утворених дугами великих кіл у сфері ( Малюнок № 6).

Історично сферична тригонометрія та геометрія виникли з потреб астрономії, геодезії, навігації, картографії. Подумайте, який із цих напрямків у Останніми рокамиотримало настільки бурхливий розвиток, що його результат вже застосовується у сучасних комунікаторах. … Сучасне застосування навігації – це система супутникової навігації, яка дозволяє визначити місцезнаходження та швидкість об'єкта за сигналом його приймача.

Глобальна навігаційна система (GPS). Для визначення широти та довготи приймача необхідно, як мінімум, приймати сигнали від трьох супутників. Прийом сигналу від четвертого супутника дозволяє визначити висоту об'єкта над поверхнею ( Малюнок № 7).

Комп'ютер приймача вирішує чотири рівняння з чотирма невідомими доти, доки не знайдеться рішення, яке проводить усі кола через одну точку ( Малюнок № 8).

Знання з тригонометрії гострого кута виявилися недостатні для вирішення складніших практичних завдань. При вивченні обертальних та кругових рухів значення величини кута та кругової дуги не обмежені. Виникла необхідність переходу до тригонометрії узагальненого аргументу.

Тригонометрія узагальненого аргументу.

В якості моделі, за допомогою якої математики працюють з кутами, було обрано коло ( Малюнок № 9). Позитивні кути відкладаються проти годинникової стрілки, негативні – за годинниковою. Чи знайомі ви з історією такої угоди?

Як відомо, механічний і сонячний годинник влаштовані так, що їх стрілки обертаються "по сонцю", тобто. в тому ж напрямку, в якому ми бачимо рух Сонця навколо Землі. (Згадайте початок уроку – геоцентрична система світу). Але з відкриттям Коперником істинного (позитивного) руху Землі навколо Сонця, видимий нами (тобто здається) рух Сонця навколо Землі є фіктивним (негативним). Геліоцентрична система світу (геліо – Сонце) ( Малюнок № 10).

Розминка.

Витягнути праву рукуперед собою, паралельно поверхні столу і виконати круговий поворот на 720 градусів.
Витягнути ліву рукуперед собою, паралельно поверхні столу і виконати круговий поворот на (-1080) градусів.
Покладіть кисті рук на плечі і зробіть по 4 кругові рухи вперед і назад. Яка сума кутів повороту?

У 2010 пройшли Зимові Олімпійські ігриу Ванкувері, критерії виставлення оцінок за виконану вправу фігуристом ми дізнаємось, вирішивши завдання.

Завдання №2.Якщо фігурист робить поворот на кут 10 800 градусів під час виконання вправи “гвинт” за 12 секунд, він отримує оцінку “відмінно”. Визначте, яку кількість обертів здійснить фігурист за цей час та швидкість його обертання (обороти на секунду). Відповідь: 2,5 обороти/сек.

Домашнє завдання. На який кут повертається фігурист, який отримав оцінку "незадовільно", якщо за такого ж часу обертання його швидкість була 2 обороти на секунду.

Найбільш зручною мірою вимірювання дуг і кутів, пов'язаних з обертальними рухами, виявилася радіальна (радіусна) міра, як більша одиниця виміру кута або дуги ( Малюнок № 11). Ця міра виміру кутів увійшла до науки через чудові праці Леонарда Ейлера. Швейцарець за походженням, він 30 років прожив у Росії, був членом Петербурзької Академії наук. Саме йому завдячуємо “аналітичної” трактуванням всієї тригонометрії, він вивів формули, які ви зараз вивчаєте, ввів однакові знаки:. sin x, cos x, tg x, ctg x.

Якщо до 17-го століття розвиток вчення про тригонометричні функції будувалося на геометричній основі, то, починаючи з 17-го століття, тригонометричні функції почали застосовувати до вирішення завдань механіки, оптики, електрики, для опису коливальних процесів, поширення хвиль. Скрізь, де доводиться мати справу з періодичними процесами та коливаннями, знайшли застосування тригонометричні функції. Функції, що виражають закони періодичних процесів, мають особливу лише їм властиву властивість: вони повторюють свої значення через один і той же проміжок зміни аргументу. Зміни будь-якої функції найбільш наочно передаються з її графіці ( Малюнок № 12).

Ми вже зверталися за допомогою до свого організму при вирішенні завдань на обертання. Давайте прислухаємось до биття свого серця. Серце – самостійний орган. Головний мозок управляє будь-яким нашим м'язом, крім серцевого. Вона має власний центр управління – синусний вузол. При кожному скороченні серця по всьому організму – починаючи від синусного вузла (розміром із просяне зерно) – поширюється електричний струм. Його можна зареєструвати за допомогою електрокардіографів. Він викреслює електрокардіограму (синусоїду) ( Малюнок № 13).

Тепер поговоримо про музику. Математика – це музика, це спілка розуму та краси.
Музика – це математика з обчислень, алгебра з абстрагування, тригонометрія з краси. Гармонічне коливання(Гармоніка) - це синусоїдальне коливання. Графік показує, як змінюється повітряний тиск на барабанну перетинку слухача: вгору і вниз дугою, періодично. Повітря тисне то сильніше, то слабше. Сила впливу зовсім невелика і коливання відбуваються дуже швидко: сотні та тисячі поштовхів кожну секунду. Такі періодичні коливання ми сприймаємо як звук. Додавання двох різних гармонік дає коливання складнішої форми. Сума трьох гармонік – ще складніша, а природні, природні звуки та звуки музичних інструментів складаються з великої кількості гармонік. ( Малюнок № 14.)

Кожна гармоніка характеризується трьома параметрами: амплітудою, частотою та фазою. Частота коливань показує, скільки поштовхів тиску повітря відбувається за секунду. Великі частоти сприймаються як "високі", "тонкі" звуки. Понад 10 КГц – писк, свист. Маленькі частоти сприймаються як "низькі", "басові" звуки, гуркіт. Амплітуда – це розмах вагань. Чим більший розмах, тим сильніший вплив на барабанну перетинку, і тим голосніше звук, який ми чуємо ( Малюнок № 15). Фаза – це усунення коливань у часі. Фаза може вимірюватися у градусах чи радіанах. Залежно від фази зміщується нульовий відлік графіку. Для завдання гармоніки достатньо вказати фазу від -180 до +180 градусів, оскільки при більших значеннях повторюється коливання. Два синусоїдальні сигнали з однаковими амплітудою і частотою, але різними фазами складаються алгебраїчно ( Малюнок № 16).

Підсумок уроку.Як ви думаєте, чи змогли ми прочитати кілька сторінок з Великої книги природи? Дізнавшись про прикладне значення тригонометрії, чи стала вам зрозуміліша її роль у різних сферах діяльності людини, чи зрозумілий вам був викладений матеріал? Тоді згадайте та перерахуйте сфери застосування тригонометрії, з якими ви познайомилися сьогодні чи знали раніше. Я сподіваюся, що кожен із вас знайшов у сьогоднішньому уроці щось нове для себе, цікаве. Можливо, це нове підкаже вам шлях у виборі майбутньої професіїАле, ким би ви не стали, ваша математична освіченість допоможе стати професіоналом своєї справи та інтелектуально розвиненою людиною.

Домашнє завдання. Ознайомитись з конспектом уроку (

Колись у школі на вивчення тригонометрії виділявся окремий курс. В атестат виставляли оцінки з трьох математичних дисциплін: алгебри, геометрії та тригонометрії.

Потім у рамках реформи шкільної освітитригонометрія перестала існувати як окремий предмет. У сучасній школіПерше знайомство з тригонометрією відбувається у курсі геометрії 8 класу. Більш глибоке вивчення предмета продовжується у курсі алгебри 10 класу.

Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу спочатку даються в геометрії через зв'язок сторін прямокутного трикутника.

гострого кута в прямокутному трикутнику називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Косинусомгострого кута у прямокутному трикутнику називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенсомгострого кута у прямокутному трикутнику називається відношення протилежного катета до прилеглого.

Котангенсомгострого кута у прямокутному трикутнику називається відношення прилеглого катета до протилежного.

Ці визначення можна застосовувати лише для гострих кутів (від 0º до 90°).

Наприклад,

у трикутнику ABC, де ∠C=90°, BC - катет, що протилежить куту A, AC - прилеглий до кута A катет, AB - гіпотенуза.

У курсі алгебри 10 класу вводяться визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для будь-якого кута (у тому числі негативного).

Розглянемо коло радіуса R із центром на початку координат — точці O(0;0). Точку перетину кола з позитивним напрямом осі абсцис позначимо P 0 .

У геометрії кут сприймається як частина площини, обмежена двома променями. За такого визначення величина кута змінюється від 0° до 180°.

У тригонометрії кут розглядають як наслідок повороту променя OP 0 навколо початкової точки O.

При цьому поворот променя проти годинникової стрілки домовилися вважати позитивним напрямом обходу, за годинниковою стрілкою - негативним (ця угода пов'язана з дійсним рухом Сонця навколо Землі).

Наприклад, при повороті променя OP 0 навколо точки O на кут α проти годинникової стрілки точка P 0 перейде в точку P α

при повороті на кут α за годинниковою стрілкою в точку F.

При такому визначенні величина кута може набувати будь-яких значень.

Якщо продовжити обертання променя OP 0 проти годинникової стрілки, при повороті на кут α°+360°, α°+360°·2,…,α°+360°·n, де n — ціле число (n∈Ζ), знову потрапимо до точки P α:

Кути вимірюють у градусах та у радіанах.

1° - це кут, що дорівнює 1/180 частини градусної міри розгорнутого кута.

1 радіан - це центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола:

∠AOB=1 рад.

Позначення радіану зазвичай не пишуть. Позначення градуса у записі пропускати не можна.

Наприклад,

Точка P α отримана з точки P 0 поворотом променя OP 0 навколо точки O на кут α проти годинникової стрілки має координати P α (x; y).

Опустимо з точки P α перпендикуляр P α A на вісь абсцис.

У прямокутному трикутнику OP α A:

P α A - катет, що протилежить куту α,

OA - катет, що прилягає до кута α,

OP α - гіпотенуза.

P A = y, OA = x, OP = R.

За визначенням синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу у прямокутному трикутнику маємо:

Таким чином, у разі кола з центром на початку координат довільного радіусу синусомкута α називається відношення ординати точки P α до довжини радіусу.

Косинусомкута α називається відношення абсциси точки P α до довжини радіусу.

Тангенсомкута α називається відношення ординати точки P α до її абсцис.

Котангенсомкута α називається відношення абсциси точки P α до її ординати.

Значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать тільки від величини α і не залежать від довжини радіусу R (це випливає з подібності кіл).

Тому зручно вибрати R=1.

Окружність з центром на початку координат і радіусом R=1 називається одиничною.

Визначення

1) Синусомкута α називається ордината точки P α (x; y) одиничного кола:

2) Косинусомкута α називається абсциса точки P α (x; y) одиничного кола:

3) Тангенсомкута α називається відношення ординати точки P α (x; y) до її абсцисі, тобто відношення sinα до cosα (де cosα≠0):

4) Котангенсомкута α називається відношення абсциси точки P α (x; y) до її ординати, тобто відношення cosα до sinα (де sinα≠0):

Введені таким чином визначення дозволяють розглядати не тільки тригонометричні функції кутів, але і тригонометричні функції числових аргументів (якщо розглядати sinα, cosα, tgα і ctgα як відповідні тригонометричні функції кута в радіан, тобто синус числа α — це синус кута в радіан, косинус числа α - це косинус кута в α радіан і т.д.).

Властивості тригонометричних функцій вивчаються в курсі алгебри у 10 чи 11 класі окремою темою. Тригонометричні функціїшироко застосовуються у фізиці.

Рубрика: |

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Збірна нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчих подіях.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

На цьому уроці ми поговоримо, як виникає необхідність у введенні тригонометричних функцій і чому їх вивчають, що треба розуміти в цій темі, а де просто необхідно набити руку (що є технікою). Зауважимо, що техніка та розуміння – це різні речі. Погодьтеся, є різниця: навчитися кататися на велосипеді, тобто розуміти, як це робити, або стати професійним велогонником. Ми говоритимемо саме про розуміння, про те, навіщо потрібні тригонометричні функції.

Існує чотири тригонометричні функції, але їх можна виразити через одну використовуючи тотожності (рівності, які їх пов'язують).

Формальні визначення тригонометричних функцій для гострих кутів у прямокутних трикутниках (рис. 1).

Синусомгострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Косинусомгострого кута прямокутного трикутника називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенсомгострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенсомгострого кута прямокутного трикутника називають відношення прилеглого катета до протилежного катета.

Рис. 1. Визначення тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника

Ці визначення є формальними. Правильніше сказати, що є лише одна функція, наприклад, синус. Якби вони не були такі потрібні (не так часто використовувалися) в техніці, не вводили б і стільки різних тригонометричних функцій.

Наприклад, косинус кута дорівнює синусу цього ж кута з додаванням (). Крім того, косинус кута завжди можна виразити через синус цього ж кута з точністю до знака, використовуючи головне тригонометрична тотожність(). Тангенс кута - це відношення синуса до косинус або перевернутий котангенс (Рис. 2). Деякі не використовують котангенс взагалі, замінюючи його на . Тому важливо розуміти та вміти працювати з однією тригонометричною функцією.

Рис. 2. Зв'язок різних тригонометричних функцій

Але навіщо взагалі потрібні такі функції? Аби вирішити яких практичних завдань їх використовують? Давайте розглянемо кілька прикладів.

Дві людини ( Аі У) виштовхують машину з калюжі (Рис. 3). Людина Уможе штовхати машину вбік, при цьому він навряд чи допоможе А. З іншого боку, спрямування його зусиль може поступово зрушуватися (Рис. 4).

Рис. 3. Уштовхає машину вбік

Рис. 4. Упочинає змінювати напрямок своїх зусиль

Зрозуміло, що найефективніше їхні зусилля складуться тоді, коли вони штовхатимуть машину однією сторону (Мал. 5).

Рис. 5. Найбільш ефективний спільний напрямок зусиль

Те, наскільки Удопомагає виштовхуванню машини, наскільки напрямок його сили близький до напрямку сили, з якою діє А, є функцією кута та виражається через його косинус (Рис. 6).

Рис. 6. Косинус як характеристика ефективності зусиль У

Якщо помножити величину сили, з якою діє У, на косинус кута, отримаємо проекцію його сили на напрям сили, з якою діє А. Чим ближче кут між напрямками сил до , тим ефективнішим буде результат спільних дій Аі У(Мал. 7). Якщо вони штовхатимуть машину з однаковою силою у протилежних напрямках, то машина залишиться на місці (Мал. 8).

Рис. 7. Ефективність спільних зусиль Аі У

Рис. 8. Протилежний напрямок дії сил Аі У

Важливо розуміти, чому ми можемо замінити кут (внесок його в кінцевий результат) на косинус (або іншу тригонометричну функцію кута). Насправді це випливає з такої якості таких трикутників. Тому що фактично ми говоримо наступне: кут можна замінити на відношення двох чисел (катет-гіпотенуза чи катет-катет). Це було б неможливо, якби, наприклад, для одного й того самого кута різних прямокутних трикутників ці стосунки були б різні (Мал. 9).

Рис. 9. Рівні відносини сторін у подібних трикутниках

Наприклад, якби відношення і відношення було б різним, то ми б не змогли ввести функцію тангенсу, оскільки для одного й того самого кута в різних прямокутних трикутниках тангенс виявився б різним. Але завдяки тому, що відносини довжин катетів подібних прямокутних трикутників однакові, значення функції не залежатиме від трикутника, а отже, гострий кут і його тригонометричних функцій взаємно однозначні.

Припустимо, ми знаємо висоту якогось дерева (Рис. 10). Як виміряти висоту будівлі, розташованої поряд?

Рис. 10. Ілюстрація умови прикладу 2

Знаходимо точку, таку, що лінія, проведена через цю точку та вершину будинку, пройде через вершину дерева (Мал. 11).

Рис. 11. Ілюстрація розв'язання задачі прикладу 2

Ми можемо виміряти відстань від цієї точки до дерева, відстань від неї до будинку та знаємо висоту дерева. З пропорції можна визначити висоту будинку: .

Пропорція- це рівність відношення двох чисел. У даному випадкурівність відношення довжин катетів подібних до прямокутних трикутників. Причому ці відносини до певної міри рівні кута, яка виражається через тригонометричну функцію (за визначенням, це тангенс). Отримуємо, що з кожного гострого кута значення його тригонометричної функції однозначно. Тобто синус, косинус, тангенс, котангенс - це дійсно функції, тому що кожному гострому кутку відповідає одне значення кожної з них. Отже, їх можна далі досліджувати та користуватися їхніми властивостями. Значення тригонометричних функцій для всіх кутів вже обчислені, ними можна користуватися (їх можна дізнатися з таблиць Брадіса або за допомогою будь-якого інженерного калькулятора). А ось вирішити обернену задачу (наприклад, за значенням синуса відновити міру кута, який йому відповідає) ми можемо не завжди.

Нехай синус деякого кута дорівнює або приблизно (Мал. 12). Який кут відповідатиме цьому значенню синуса? Звичайно, ми можемо знову скористатися таблицею Брадіса і знайти якесь значення, але виявляється, що воно не буде єдиним (Рис. 13).

Рис. 12. Знаходження кута за значенням його синусу

Рис. 13. Багатозначність зворотних тригонометричних функцій

Отже, при відновленні за значенням тригонометричної функції кута виникає багатозначність зворотних тригонометричних функцій. Це може здатися складним, але насправді ми стикаємося зі схожими ситуаціями щодня.

Якщо зашторити вікна і не знати, світло чи темно на вулиці, або опинитися в печері, то, прокинувшись, важко сказати, зараз година дня, ночі або наступного дня (Мал. 14). Насправді, якщо запитати у нас «Котра година?», ми повинні чесно відповісти: «Годину плюс помножити на , де »

Рис. 14. Ілюстрація багатозначності на прикладі з годинником

Можна зробити висновок, що - це період (проміжок, через який годинник показуватиме той самий час, що і зараз). Періоди є і тригонометричних функцій: синуса, косинуса тощо. Тобто, їх значення через деяку зміну аргументу повторюються.

Якби на планеті не було зміни дня та ночі чи зміни сезонів, то ми не могли б користуватися періодичним часом. Адже у нас тільки нумерація років триває зростаючою, а в добу години, і кожну нову добу рахунок починається заново. З місяцями та сама ситуація: якщо зараз січень, то за місяці знову настане січень тощо. Використовувати періодичний рахунок часу (години, місяців) нам допомагають зовнішні орієнтири – наприклад, обертання Землі навколо своєї осі та зміна положення Сонця та Місяця на небі. Якби Сонце завжди висіло в тому самому положенні, то для підрахунку часу нам би вважати кількість секунд (хвилин) з моменту виникнення цього самого підрахунку. Дата і час могли б звучати так: мільярд секунд.

Висновок: жодних складнощів щодо багатозначності зворотних функцій немає. Справді можуть бути варіанти, коли для одного синуса існують різні значення кута (Рис. 15).

Рис. 15. Відновлення кута за значенням його синусу

Зазвичай під час вирішення практичних завдань ми завжди працюємо у стандартному діапазоні від до . У цьому діапазоні для кожного значення тригонометричної функції є лише два відповідні значення міри кута.

Розглянемо стрічку, що рухається, і маятник у вигляді відра з отвором, з якого висипається пісок. Маятник хитається, стрічка рухається (Рис. 16). В результаті пісок залишить слід у вигляді графіка функції синус (або косинус), який називають синусоїда.

Насправді графіки синуса і косинуса відрізняються один від одного тільки точкою відліку (якщо намалювати один з них, а потім стерти осі координат, то визначити, який графік був намальований, не вийде). Тому називати графік косінусоїда немає сенсу (навіщо вигадувати окрему назву для того ж самого графіка)?

Рис. 16. Ілюстрація постановки завдання на прикладі 4

За графіком функції можна зрозуміти, чому зворотні функції матимуть багато значень. Якщо значення синуса зафіксувати, тобто. провести пряму паралельно осі абсцис, то на перетині отримаємо всі точки, в яких синус кута дорівнює цьому. Зрозуміло, що таких точок буде дуже багато. Як у прикладі з годинником, де було значення часу відрізнялося на , тільки тут значення кута буде відрізнятися на величину (Рис. 17).

Рис. 17. Ілюстрація багатозначності для синусу

Якщо розглянути приклад із годинником, то точка (кінець годинникової стрілки) рухається по колу. Так само можна визначити і тригонометричні функції - розглядати не кути в прямокутному трикутнику, а кут між радіусом кола і позитивним напрямом осі. Кількість кіл, що пройде точка (домовлялися вважати рух за годинниковою стрілкою зі знаком мінус, а проти - зі знаком плюс), це період (Мал. 18).

Рис. 18. Значення синуса на колі

Отже, зворотна функціяоднозначно визначено на деякому інтервалі. І тому інтервалу можемо порахувати її значення, проте інші отримати знайдених значень, додаючи і віднімаючи період функції.

Розглянемо ще один приклад періоду. Машина рухається дорогою. Припустимо, що її колесо в'їхало в фарбу або в калюжу. Можна побачити періодичні мітки від фарби чи калюжі на дорозі (Мал. 19).

Рис. 19. Ілюстрація періоду

Тригонометричних формул у шкільному курсі досить багато, але за великим рахунком досить пам'ятати лише одну (рис. 20).

Рис. 20. Тригонометричні формули

Формулу подвійного кутатак само легко вивести із синуса суми, підставивши (аналогічно для косинуса). Також можна вивести формули твору.

Насправді пам'ятати треба дуже мало, тому що з розв'язанням задач ці формули самі запам'ятаються. Звичайно, хтось багато вирішувати полінується, але йому тоді ця техніка, а отже, і самі формули, потрібні й не будуть.

А якщо формули не знадобляться, то не треба їх запам'ятовувати. Потрібно легко розуміти ідею, що тригонометричні функції - це функції, з яких розраховуються, наприклад, мости. Без їх використання та розрахунку не обходиться практично жоден механізм.

1. Часто виникає питання, чи можуть дроти бути абсолютно паралельними землі. Відповідь: ні, не можуть, тому що одна сила діє вниз, а інші паралельно – вони ніколи не врівноважуються (Рис. 21).

2. Лебідь, рак та щука тягнуть віз в одній площині. Лебідь летить в один бік, рак тягне в інший, а щука – в третій (Рис. 22). Їхні сили можуть врівноважуватися. Порахувати це врівноваження можна за допомогою тригонометричних функцій.