Додавання дробів з однаковими знаменниками
Додавання дробів буває двох видів:
- Додавання дробів з однаковими знаменниками
- Додавання дробів з різними знаменниками
Спочатку вивчимо додавання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни. Наприклад, складемо дроби та . Складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо до піци додати піци, то вийде піци:
приклад 2.Скласти дроби та .
У відповіді вийшов неправильний дріб. Якщо настає кінець завдання, то неправильних дробів прийнято позбавлятися. Щоб позбавиться від неправильного дробупотрібно виділити в ній цілу частину. У нашому випадку ціла частинавиділяється легко - два розділити на два одно одиниці:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на дві частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде одна ціла піца:
Приклад 3. Скласти дроби та .
Знову ж складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде піци:
приклад 4.Знайти значення виразу 
Цей приклад вирішується так само, як і попередні. Чисельники необхідно скласти, а знаменник залишити без зміни:
Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци і додати піци, то вийде 1 ціла і ще піци.
Як бачите у додаванні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:
- Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити без зміни;
Додавання дробів з різними знаменниками
Тепер навчимося складати дроби з різними знаменниками. Коли складають дроби, знаменники цих дробів мають бути однаковими. Але однаковими вони не завжди.
Наприклад, дроби і скласти можна, оскільки вони мають однакові знаменники.
А ось дроби і одразу скласти не можна, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.
Існує кілька способів приведення дробів до однакового знаменника. Сьогодні ми розглянемо лише один із них, оскільки інші способи можуть здатися складними для початківця.
Суть цього способу полягає в тому, що спочатку шукається (НОК) знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник. Аналогічно надходять і з другим дробом - НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник.
Потім чисельники та знаменники дробів множаться на свої додаткові множники. В результаті цих дій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо.
Приклад 1. Складемо дроби та
Насамперед знаходимо найменше загальне кратне знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 2. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 6
НОК (2 та 3) = 6
Тепер повертаємось до дробів та . Спочатку розділимо НОК на знаменник першого дробу та отримаємо перший додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо 2.
Отримане число 2 це перший додатковий множник. Записуємо його до першого дробу. Для цього робимо невелику косу лінію над дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:
Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу та отримуємо другий додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник другого дробу - число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо 3.
Отримане число 3 це другий додатковий множник. Записуємо його до другого дробу. Знову ж таки робимо невелику косу лінію над другим дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:
Тепер у нас все готове до складання. Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники:
Подивіться уважно до чого ми прийшли. Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:
Отже, приклад завершується. Додати виходить.
Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци, то вийде одна ціла піца та ще одна шоста піци:
Приведення дробів до однакового (загального) знаменника також можна зобразити малюнком. Привівши дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби і . Ці два дроби зображатимуться тими ж шматками піци. Відмінність буде лише в тому, що цього разу вони будуть поділені на однакові частки (наведені до однакового знаменника).
Перший малюнок зображує дріб (чотири шматочки із шести), а другий малюнок зображує дріб (три шматочки із шести). Склавши ці шматочки ми отримуємо (сім шматочків із шести). Цей дріб неправильний, тому ми виділили в ньому цілу частину. В результаті отримали (одну цілу піцу та ще одну шосту піци).
Зазначимо, що ми з вами розписали цей приклад дуже докладно. У навчальних закладахне прийнято писати так розгорнуто. Потрібно вміти швидко знаходити НОК обох знаменників та додаткові множники до них, а також швидко множити знайдені додаткові множники на чисельники та знаменники. Знаходячись у школі, цей приклад нам довелося б записати так:
Але є й зворотний бік медалі. Якщо перших етапах вивчення математики не робити докладних записів, то починають виникати питання роду «А звідки от та цифра?», «Чому дроби раптом перетворюються зовсім на інші дроби? «.
Щоб легше було складати дроби з різними знаменниками, можна скористатися наступною покроковою інструкцією:
- Знайти НОК знаменників дробів;
- Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу;
- Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники;
- Скласти дроби, які мають однакові знаменники;
- Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити її цілу частину;
приклад 2.Знайти значення виразу 
.
Скористайтеся інструкцією, яка наведена вище.
Крок 1. Знайти НОК знаменників дробів
Знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменники дробів це числа 2, 3 та 4
Крок 2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу
Ділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 12 на 2, отримуємо 6. Отримали перший додатковий множник 6. Записуємо його над першим дробом:
Тепер ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Отримали другий додатковий множник 4. Записуємо його над другим дробом:
Тепер ділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 12, а знаменник третього дробу це число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Отримали третій додатковий множник 3. Записуємо його над третім дробом:
Крок 3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники
Помножуємо чисельники та знаменники на свої додаткові множники:
Крок 4. Скласти дроби, у яких однакові знаменники
Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби, у яких однакові (загальні) знаменники. Залишилося скласти ці дроби. Складаємо:
Додавання не помістилося на одному рядку, тому ми перенесли вираз, що залишився, на наступний рядок. Це допускається у математиці. Коли вираз не міститься на один рядок, його переносять на наступний рядок, при цьому треба обов'язково поставити знак рівності (=) на кінці першого рядка та на початку нового рядка. Знак рівності на другому рядку говорить про те, що це продовження виразу, який був на першому рядку.
Крок 5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити в ньому цілу частину
У нас у відповіді вийшов неправильний дріб. Ми маємо виділити в неї цілу частину. Виділяємо:
Отримали відповідь
Віднімання дробів з однаковими знаменниками
Віднімання дробів буває двох видів:
- Віднімання дробів з однаковими знаменниками
- Віднімання дробів з різними знаменниками
Спочатку вивчимо віднімання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від числа першого числа вирахувати чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім.
Наприклад, знайдемо значення виразу. Щоб розв'язати цей приклад, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни. Так і зробимо:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:
приклад 2.Знайти значення виразу.
Знову ж таки з чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник залишаємо без зміни:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:
приклад 3.Знайти значення виразу 
Цей приклад вирішується так само, як і попередні. З чисельника першого дробу треба відняти чисельники інших дробів:
Як бачите у відніманні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Достатньо розуміти такі правила:
- Щоб відняти від одного дробу інший, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни;
- Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити в ньому цілу частину.
Віднімання дробів з різними знаменниками
Наприклад, від дробу можна відняти дріб, оскільки у цих дробів однакові знаменники. А ось від дробу не можна відняти дріб, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.
Загальний знаменник знаходять за тим самим принципом, яким ми користувалися при складанні дробів із різними знаменниками. Насамперед знаходять НОК знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник, який записується над першим дробом. Аналогічно НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник, який записується над другим дробом.
Потім дроби множаться на додаткові множники. В результаті цих операцій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо.
приклад 1.Знайти значення виразу:
Ці дроби мають різні знаменники, тому потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.
Спочатку знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 4. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 12
НОК (3 та 4) = 12
Тепер повертаємось до дробів і
Знайдемо додатковий множник для першого дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу - число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Записуємо четвірку над першим дробом:
Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу - число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Записуємо трійку над другим дробом:
Тепер у нас все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:
Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад остаточно:
Отримали відповідь
Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци
Це докладна версія рішення. Перебуваючи в школі, нам довелося б вирішити цей приклад коротше. Виглядало б таке рішення в такий спосіб:
Приведення дробів і до спільного знаменника може бути зображено за допомогою малюнка. Привівши ці дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби та . Ці дроби будуть зображуватись тими ж шматочками піци, але цього разу вони будуть розділені на однакові частки (приведені до однакового знаменника):
Перший малюнок зображує дріб (вісім шматочків із дванадцяти), а другий малюнок — дріб (три шматочки із дванадцяти). Відрізавши від восьми шматочків три шматочки ми отримуємо п'ять шматочків із дванадцяти. Дріб і описує ці п'ять шматочків.
приклад 2.Знайти значення виразу 
Ці дроби мають різні знаменники, тому спочатку потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.
Знайдемо НОК знаменників цих дробів.
Знаменники дробів це числа 10, 3 і 5. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник кожного дробу.
Знайдемо додатковий множник для першого дробу. НОК це число 30, а знаменник першого дробу - число 10. Ділимо 30 на 10, отримуємо перший додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:
Тепер знаходимо додатковий множник для другого дробу. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 30, а знаменник другого дробу - число 3. Ділимо 30 на 3, отримуємо другий додатковий множник 10. Записуємо його над другим дробом:
Тепер знаходимо додатковий множник для третього дробу. Розділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 30, а знаменник третього дробу - число 5. Ділимо 30 на 5, отримуємо третій додатковий множник 6. Записуємо його над третім дробом:
Тепер все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:
Ми прийшли до того, що дроби мали різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові (загальні) знаменники. А як вичитати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішуємо цей приклад.
Продовження прикладу не поміститься на одному рядку, тому переносимо продовження на наступний рядок. Не забуваємо про знак рівності (=) на новому рядку:
У відповіді вийшов правильний дріб, і начебто нас все влаштовує, але він занадто громіздкий і некрасивий. Треба зробити її простіше. А що можна зробити? Можна скоротити цей дріб.
Щоб скоротити дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на (НД) чисел 20 і 30.
Отже, знаходимо НОД чисел 20 та 30:
Тепер повертаємось до нашого прикладу і ділимо чисельник та знаменник дробу на знайдений НОД, тобто на 10
Отримали відповідь
Розмноження дробу на число
Щоб помножити дріб на число, потрібно чисельник цього дробу помножити на це число, а знаменник залишити тим самим.
Приклад 1. Помножити дріб на число 1 .
Помножимо чисельник дробу на число 1
Запис можна розуміти як взяти половину 1 раз. Наприклад, якщо піци взяти 1 раз, то вийде піци
З законів множення знаємо, що й множимое і множник поміняти місцями, то твір не зміниться. Якщо вираз, записати як, то твір як і раніше буде рівним. Знову ж таки спрацьовує правило перемноження цілого числа і дробу:
Цей запис можна розуміти, як взяття половини від одиниці. Наприклад, якщо є одна ціла піца і ми візьмемо від неї половину, то у нас виявиться піци:
Приклад 2. Знайти значення виразу
Помножимо чисельник дробу на 4
У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:
Вираз можна розуміти як взяття двох чвертей 4 рази. Наприклад, якщо піци взяти 4 рази, то вийде дві цілі піци
А якщо поміняти множимо і множник місцями, то отримаємо вираз . Воно теж дорівнюватиме 2. Цей вираз можна розуміти, як взяття двох піц від чотирьох цілих піц:
Розмноження дробів
Щоб перемножити дроби, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники. Якщо у відповіді вийде неправильний дріб, потрібно виділити в ньому цілу частину.
приклад 1.Знайти значення виразу.
Отримали відповідь. Бажано скоротити цей дріб. Дроб можна скоротити на 2. Тоді остаточне рішення набуде наступного вигляду:
Вираз можна розуміти як взяття піци від половини піци. Допустимо, у нас є половина піци:
Як узяти від цієї половини дві третини? Спочатку потрібно поділити цю половину на три рівні частини:
І взяти від цих трьох шматочків два:
У нас вийде піца. Згадайте, як виглядає піца, розділена на три частини:
Один шматок від цієї піци та взяті нами два шматочки матимуть однакові розміри:
Іншими словами, йдеться про один і той же розмір піци. Тому значення виразу дорівнює
Приклад 2. Знайти значення виразу
Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:
У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:
приклад 3.Знайти значення виразу
Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:
У відповіді вийшов правильний дріб, але буде добре, якщо його скоротити. Щоб скоротити цей дріб, потрібно чисельник і знаменник даного дробу поділити на найбільший спільний дільник(НОД) чисел 105 та 450.
Отже, знайдемо НОД чисел 105 і 450:
Тепер ділимо чисельник та знаменник нашої відповіді на НОД, яку ми зараз знайшли, тобто на 15
Подання цілого числа у вигляді дробу
Будь-яке ціле число можна подати у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна як . Від цього п'ятірка свого значення не змінить, оскільки вираз означає «число п'ять розділити на одиницю», а це, як відомо, одно п'ятірці:
Зворотні числа
Зараз ми познайомимося з дуже цікавою темоюу математиці. Вона називається «зворотні числа».
Визначення. Зворотнім доa називається число, яке при множенні наa дає одиницю.
Давайте підставимо на це визначення замість змінної aчисло 5 і спробуємо прочитати визначення:
Зворотнім до 5 називається число, яке при множенні на 5 дає одиницю.
Чи можна знайти таке число, яке при множенні на 5 дає одиницю? Виявляється, можна. Представимо п'ятірку у вигляді дробу:
Потім помножити цей дріб на саму себе, тільки поміняємо місцями чисельник та знаменник. Іншими словами, помножимо дріб на саму себе, тільки перевернутий:
Що вийде внаслідок цього? Якщо ми продовжимо вирішувати цей приклад, то отримаємо одиницю:
Значить зворотним до 5, є число , оскільки при множенні 5 виходить одиниця.
Зворотне число можна знайти також будь-якого іншого цілого числа.
Знайти зворотне число можна також для будь-якого іншого дробу. Для цього достатньо перевернути її.
Розподіл дробу на число
Допустимо, у нас є половина піци:
Розділимо її порівну на двох. Скільки піци дістанеться кожному?
Видно, що після поділу половини піци вийшло два рівні шматочки, кожен з яких складає піци. Значить кожному дістанеться піци.
Розподіл дробів виконується за допомогою зворотних чисел. Зворотні числа дозволяють замінити поділ множенням.
Щоб розділити дріб на число, потрібно цей дріб помножити на число, яке зворотне дільнику.
Користуючись цим правилом, запишемо поділ нашої половини піци на дві частини.
Отже, потрібно розділити дріб на число 2 . Тут поділеним є дріб, а дільником число 2.
Щоб розділити дріб на число 2, потрібно цей дріб помножити на число, зворотне дільнику 2. Зворотний дільнику 2 це дріб . Значить потрібно помножити на
Чисельником, а те, на яке ділять – знаменником.
Щоб записати дріб, напишіть спочатку його чисельник, потім проведіть під цим числом горизонтальну межу, а під лінією напишіть знаменник. Горизонтальна , що розділяє чисельник і знаменник, називається дробовою рисою. Іноді її зображують у вигляді похилої "/" або "∕". При цьому чисельник записується зліва від риси, а знаменник праворуч. Так, наприклад, дріб «дві треті» запишеться як 2/3. Для наочності чисельник зазвичай пишуть у верхній частині рядка, а знаменник – у нижній, тобто замість 2/3 можна зустріти: ⅔.
Щоб розрахувати добуток дробів, помножте спочатку чисельник одного дробина чисельник інший. Запишіть результат у чисельник нової дроби. Після цього перемножте знаменники. Підсумкове значення вкажіть у новій дроби. Наприклад, 1/3? 1/5 = 1/15 (1? 1 = 1; 3? 5 = 15).
Щоб поділити один дріб на інший, помножте спочатку чисельник першого на знаменник другого. Те саме зробіть і з другим дробом (ділителем). Або перед виконанням усіх дій спочатку «переверніть» дільник, якщо вам так зручніше: на місці чисельника має бути знаменник. Після цього помножте знаменник діленого на новий знаменник дільника та перемножте чисельники. Наприклад, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Джерела:
- Основні завдання на дроби
Дробові числа дозволяють виражати у різному вигляді точне значення величини. З дробами можна виконувати самі математичні операції, як і з цілими числами: віднімання, додавання, множення і розподіл. Щоб навчитися вирішувати дроби, треба пам'ятати про деякі їх особливості. Вони залежать від виду дроби, наявності цілої частини загального знаменника. Деякі арифметичні дії після виконання вимагають скорочення дрібної частини результату.
Вам знадобиться
- - Калькулятор
Інструкція
Уважно подивіться на числа. Якщо серед дробів є десяткові та неправильні, іноді зручніше спочатку виконати дії з десятковими, а потім перевести їх у неправильний вигляд. Можете перекласти дробиу такий вид спочатку, записавши значення після коми в чисельник і поставивши 10 знаменник. При необхідності скоротите дріб, розділивши числа вище та нижче на один дільник. Дроби, у яких виділяється ціла частина, приведіть до неправильного вигляду, помноживши її на знаменник і додавши до результату чисельник. Це значення стане новим чисельником дроби. Щоб виділити цілу частину спочатку неправильної дроби, Треба поділити чисельник на знаменник. Цілий результат записати від дроби. А залишок від поділу стане новим чисельником, знаменник дробиу своїй не змінюється. Для дробів із цілою частиною можливе виконання дій окремо спочатку для цілої, а потім для дробової частин. Наприклад, сума 1 2/3 і 2 ¾ може бути обчислена:
- Переведення дробів у неправильний вигляд:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Підсумовування окремо цілих та дробових частин доданків:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Перепишіть їх через роздільник: і продовжіть звичайний поділ.
Для отримання кінцевого результату отриманий дріб скоротить, розділивши чисельник і знаменник на одне ціле число, найбільше можливе в даному випадку. При цьому вище та нижче риси мають бути цілі числа.
Зверніть увагу
Не виконуйте арифметичні дії з дробами, знаменники яких відрізняються. Підберіть таке число, щоб при множенні на нього чисельника та знаменника кожного дробу в результаті знаменники обох дробів дорівнювали.
При записі дробових чиселділене пишеться над межею. Ця величина позначається як чисельник дробу. Під рисою записується дільник, чи знаменник, дроби. Наприклад, півтора кілограма рису у вигляді дробу запишеться так: 1 ½ кг рису. Якщо знаменник дробу дорівнює 10, такий дріб називають десятковим. При цьому чисельник (ділене) пишеться праворуч від цілої частини через кому: 1,5 кг рису. Для зручності обчислень такий дріб завжди можна записати в неправильному вигляді: 1 2/10 кг картоплі. Для спрощення можна скоротити значення чисельника та знаменника, поділивши їх на одне ціле число. В даному прикладі можливий поділ на 2. В результаті вийде 1 1/5 кг картоплі. Переконайтеся, що числа, з якими ви збираєтесь виконувати арифметичні дії, представлені в одному вигляді.
Інструкція
Прийнято розділяти звичайні та десяткові дроби, знайомство з якими починається ще в середній школі. В даний час немає такої галузі знань, де не застосовувалося б це . Навіть у нас говоримо перша 17 століття, і всі відразу , що маються на увазі 1600-1625 роки. Також часто доводиться стикатися з елементарними діями над , а також їх перетворенням з одного виду на інший.
Приведення дробів до спільного знаменника є, мабуть, найважливішою дією над . Це основа проведення всіх обчислень. Отже, припустимо, є дві дроби a/b та c/d. Тоді, щоб привести їх до спільного знаменника, потрібно знайти найменше загальне кратне (М) чисел b і d, і далі помножити чисельник першої дробина (М/b), а чисельник другий (M/d).
Порівняння дробів, ще одне важливе завдання. Для того, щоб це зробити, наведіть задані прості дробидо спільного знаменника і потім порівняйте чисельники, чий чисельник виявиться більшим, той дріб і більше.
Для того щоб виконати додавання або віднімання звичайних дробів, потрібно привести їх до спільного знаменника, а потім зробити необхідне математичне з цих дробів. Знаменник залишається без зміни. Допустимо потрібно від a/b відняти c/d. Для цього потрібно знайти найменше загальне кратне M чисел b і d, і після відняти з одного чисельника інший, не змінюючи при цьому знаменник: (a*(M/b)-(c*(M/d))/M
Достатньо просто помножити один дріб на інший, для цього слід просто перемножити їх чисельники та знаменники:
(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)Щоб поділити один дріб на інший, потрібно дріб поділеного помножити на дріб зворотний дільник. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Для того щоб отримати зворотний дріб, необхідно чисельник і знаменник поміняти місцями.
У математиці різні типичисел вивчаються із самого свого зародження. Існує велика кількість множин і підмножини чисел. Серед них виділяють цілі числа, раціональні, ірраціональні, натуральні, парні, непарні, комплексні та дробові. Сьогодні розберемо інформацію про останню множину - дробових числах.
Визначення дробів
Дроби – це числа, що складаються з цілої частини та часток одиниці. Також, як і цілих чисел, існує безліч дробових, між двома цілими. У математиці дії з дробами виконуються, оскільки з цілими і натуральними числами. Це досить просто і навчитися цього можна за кілька занять.
У статті представлено два види
Звичайні дроби
Звичайні дроби є цілою частиною a і два числа записаних через дробову рису b/c. Звичайні дроби можуть бути дуже зручні, якщо дробову частину не можна уявити в раціональному десятковому вигляді. Крім того, арифметичні операції зручніше проводити через дрібну межу. Верхня частина називається чисельником, нижня - знаменник.
Дії зі звичайними дробами: приклади
Основна властивість дробу. Примноженні чисельника і знаменника одне й те число, що є нулем, у результаті виходить число рівне даному. Ця властивість дробу відмінно допомагає привести знаменник для складання (про це буде розказано нижче) або скоротити дріб, зробити його зручнішим для рахунку. a/b = a*c/b*c. Наприклад, 36/24 = 6/4 або 9/13 = 18/26
Приведення до спільного знаменника.Щоб привести знаменник дробу необхідно уявити знаменник у вигляді множників, а потім помножити на числа, що бракують. Наприклад, 7/15 та 12/30; 7/5*3 та 12/5*3*2. Бачимо, що знаменники відрізняються двійкою, тому множимо чисельник і знаменник першого дробу на 2. Отримуємо: 14/30 та 12/30.
Складові дроби- Прості дроби з виділеною цілою частиною. (A b/c) Щоб уявити складовий дріб у вигляді звичайного, необхідно помножити число, що стоїть перед дробом на знаменник, а потім скласти з чисельником: (A*c + b)/c.
Арифметичні дії з дробами
Не зайвим буде розглянути відомі арифметичні дії лише під час роботи з дробовими числами.
Складання та віднімання.Складати і віднімати прості дроби так само легко, як і цілі числа, крім однієї проблеми - наявності дробової риси. Складаючи дроби з однаковим знаменником, необхідно додати лише чисельники обох дробів, знаменники залишаються без зміни. Наприклад: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7
Якщо ж знаменники двох дробів є різними числами спочатку потрібно привести їх до загального (як це було розглянуто вище). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Віднімання відбувається за таким самим принципом: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.
Множення та розподіл. Діїз дробами по множенню відбуваються за таким принципом: окремо перемножуються чисельники та знаменники. У загальному виглядіформула множення має такий вигляд: a/b *c/d = a*c/b*d. Крім того, у міру множення можна скоротити дріб, виключаючи однакові множники з чисельника та знаменника. Висловлюючись іншою мовою, чисельник і знаменник ділиться одне й те число: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.
Для поділу одного звичайного дробу на інший, необхідно змінити чисельник і знаменник дільника і виконати множення двох дробів, за принципом, розглянутим раніше: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5
Десяткові дроби
Десяткові дроби є більш популярною версією дробових чисел, що часто використовується. Їх простіше записати в рядок або уявити на комп'ютері. Структура десяткового дробу така: спочатку записується ціле число, а потім після коми записується дробова частина. За своєю суттю десяткові дроби - це складові звичайні дроби, проте їх частина представлена числом, поділеним на кратне цифрі 10. Звідси і походить їх назва. Дії з десятковими дробами аналогічні діям з цілими числами, так як вони так само записані в десятковій системі числення. Також на відміну від звичайних дробів десяткові можуть бути ірраціональними. Це означає, що вони можуть бути нескінченні. Записуються вони так 7(3). Читається такий запис: сім цілих, три десятих у періоді.
Основні дії з десятковими числами
Складання та віднімання десяткових дробів.Виконати дії з дробами не складніше, ніж із цілими натуральними числами. Правила абсолютно аналогічні до тих, що використовують при додаванні або відніманні натуральних чисел. Їх точно так само можна вважати стовпчиком, проте при необхідності замінювати відсутні місця нулями. Наприклад: 5,5697 – 1,12. Для того, щоб виконати віднімання стовпчиком, потрібно зрівняти кількість чисел після коми: (5,5697 - 1,1200). Так, числове значення не зміниться і можна буде рахувати в стовпчик.
Дії з десятковими дробамине можна робити, якщо одне з них має ірраціональний вигляд. Для цього потрібно перевести обидва числа у звичайні дроби, а потім скористатися прийомами, описаними раніше.
Множення та розподіл.Множення десяткових дробів аналогічне до множення натуральних. Їх також можна множити стовпчиком, просто, не звертаючи уваги на кому, а потім відокремити комою у підсумковому значенні таку ж кількість знаків, скільки в сумі після коми було у двох десяткових дробах. Наприклад, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все дуже просто, і не повинно викликати труднощів, якщо ви вже опанували множення натуральних чисел.
Поділ також збігається з розподілом натуральних чисел, але з невеликим відступом. Щоб поділити на десяткове числостовпчиком необхідно відкинути кому в дільнику, і помножити ділене на число знаків, що стояли після коми в дільнику. Після цього виконувати поділ як з натуральними числами. При неповному розподілі можна додавати нулі до діленого праворуч, також додаючи нуль у відповідь після коми.
Приклади дій із десятковими дробами.Десяткові дроби – дуже зручний інструмент для арифметичного рахунку. Вони поєднують у собі зручність натуральних, цілих чисел та точність звичайних дробів. До того ж, досить просто перевести одні дроби в інші. Дії з дробами не відрізняються від дій із натуральними числами.
- Додавання: 1,5 + 2,7 = 4,2
- Віднімання: 3,1 - 1,6 = 1,5
- Множення: 1,7 * 2,3 = 3,91
- Розподіл: 3,6: 0,6 = 6
Крім того, десяткові дроби підходять для подання відсотків. Так, 100% = 1; 60% = 0,6; і навпаки: 0,659 = 65,9%.
Ось і все, що потрібно знати про дроби. У статті було розглянуто два види дробів - звичайні та десяткові. Обидва досить прості у обчисленні, і якщо ви повністю опанували натуральні числа та дії з ними, можете сміливо приступати до вивчення дробових.
Щоб висловити частину в частках цілого, частину потрібно розділити на ціле.
Завдання 1.У класі 30 учнів відсутні четверо. Яка частина учнів відсутня?
Рішення:
Відповідь:у класі немає учнів.
Знаходження дробу від числа
Для вирішення завдань, в яких потрібно знайти частину цілого, справедливо наступне правило:
Якщо частина цілого виражена дробом, те щоб знайти цю частину, можна поділити на знаменник дробу і результат помножити на її чисельник.
Завдання 1.Було 600 рублів, цю суму витратили. Скільки грошей витратили?
Рішення:щоб знайти від 600 рублів, треба цю суму розділити на 4 частини, тим самим ми дізнаємося, скільки грошей складає одна четверта частина:
600: 4 = 150 (р.)
Відповідь:витратили 150 рублів.
Завдання 2.Було 1000 рублів, цю суму витратили. Скільки грошей було витрачено?
Рішення:з умови завдання ми знаємо, що 1000 рублів складається із п'яти рівних частин. Спочатку знайдемо скільки рублів становить одна п'ята частина від 1000, а потім дізнаємось скільки рублів складають дві п'ятих:
1) 1000: 5 = 200 (р.) – одна п'ята частина.
2) 200 · 2 = 400 (р.) - Дві п'ятих частини.
Ці дві дії можна поєднати: 1000: 5 · 2 = 400 (р.).
Відповідь:було витрачено 400 рублів.
Другий спосіб знаходження частини цілого:
Щоб знайти частину цілого, можна помножити ціле на дріб, що виражає цю частину цілого.
Завдання 3.За статутом кооперативу, для правомочності звітних зборів у ньому має бути щонайменше членів організації. У кооперативі 120 членів. За якого складу можуть відбутися звітні збори?
Рішення: 
Відповідь:Звітні збори можуть відбутися за наявності 80 членів організації.
Знаходження числа з його дробу
Для вирішення завдань, в яких потрібно знайти ціле в його частині, справедливо таке правило:
Якщо частина цілого, що шукається, виражена дробом, то щоб знайти це ціле, можна цю частину розділити на чисельник дробу і результат помножити на її знаменник.
Завдання 1.Витратили 50 рублів, це становило від початкової суми. Знайдіть початкову суму.
Рішення:з опису завдання бачимо, що 50 рублів у 6 разів менше початкової суми, т. е. первісна сума у 6 разів більше, ніж 50 рублів. Щоб знайти цю суму, треба 50 помножити на 6:
50 · 6 = 300 (р.)
Відповідь:первісна сума – 300 рублів.
Завдання 2.Витратили 600 рублів, це становило від початкової суми грошей. Знайдіть початкову суму.
Рішення:будемо вважати, що число, що шукається, складається з трьох третіх часток. За умовою дві третини числа дорівнюють 600 рублів. Спочатку знайдемо одну третину від початкової суми, а потім скільки рублів становлять три треті (первісна сума):
1) 600: 2 · 3 = 900 (р.)
Відповідь:первісна сума – 900 рублів.
Другий спосіб знаходження цілого з його частини:
Щоб знайти ціле за величиною частину, що виражає його, можна розділити цю величину на дріб, що виражає цю частину.
Завдання 3.Відрізок AB, рівний 42 см, становить довжину відрізка CD. Знайти довжину відрізка CD.
Рішення: 
Відповідь:довжина відрізка CD 70 см.
Завдання 4.До магазину привезли кавуни. До обіду магазин продав, після обіду - привезених кавунів, і залишилося продати 80 кавунів. Скільки всього кавунів привезли до магазину?
Рішення:спочатку дізнаємося, яку частину від привезених кавунів становить число 80. Для цього приймемо за одиницю загальну кількість привезених кавунів і віднімемо з неї кількість кавунів, яку вдалося реалізувати (продати):
І так, ми дізналися, що 80 кавунів складає від загальної кількостіпривезених кавунів. Тепер дізнаємось скільки кавунів від загальної кількості становить , а потім скільки кавунів складають (кількість привезених кавунів):
2) 80: 4 · 15 = 300 (кавунів)
Відповідь:Загалом у магазин привезли 300 кавунів.
