, сторінка 6

11 Основні функції комплексної змінної

Нагадаємо визначення комплексної експоненти – . Тоді

Розкладання до ряду Маклорена. Радіус збіжності цього ряду дорівнює +∞, отже, комплексна експонента аналітична на всій комплексній площині і

(exp z) "=exp z; exp 0 = 1. (2)

Перша рівність тут випливає, наприклад, з теореми про почленное диференціювання статечного ряду.

11.1 Тригонометричні та гіперболічні функції

Синусом комплексного змінногоназивається функція

Косинус комплексного змінногоє функція

Гіперболічний синус комплексного змінноговизначається так:

Гіперболічний косинус комплексного змінного- це функція

Відзначимо деякі властивості нововведених функцій.

A.Якщо x∈ ℝ cos cos, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .

Б.Має місце наступний зв'язок тригонометричних та гіперболічних функцій:

cos iz = ch z; sin iz = ish z, ch iz = cos z; sh iz = isin z.

В. Основні тригонометричні та гіперболічні тотожності:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z = 1.

Доказ основної гіперболічної тотожності.

Основне тригонометрична тотожністьвипливає з оновленого гіперболічного тотожності при обліку зв'язку тригонометричних та гіперболічних функцій (див. властивість Б)

Г Формули додавання:

Зокрема,

Д.Для обчислення похідних тригонометричних та гіперболічних функцій слід застосувати теорему про почленное диференціювання статечного ряду. Отримаємо:

(cos z) "=-sin z; (sin z)" = cos z; (ch z) "= sh z; (sh z)" = ch z.

е.Функції cos z, ch z парні, а функції sin z, sh z непарні.

Ж. (Періодичність)Функція e z періодична з періодом 2π i. Функції cos z, sin z періодичні з періодом 2π, а функції ch z, sh z періодичні з періодом 2πi. Більш того,

Застосовуючи формули суми, отримуємо

З. Розкладання на дійсну та уявну частини:

Якщо однозначна аналітична функція f(z) відображає дію дію ділянку D на область G, то D називається областю однолистості.

І.Область D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Доведення. Зі співвідношення (5) випливає ін'єктивність відображення exp:D k → ℂ . Нехай w - будь-яке ненульове комплексне число. Тоді, розв'язуючи рівняння e x = | w | та e iy =w/|w| з дійсними змінними x та y (y вибираємо з напівінтервалу); іноді вводяться в розгляд. Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Функції, зворотні по відношенню до гіперболічних функцій sh х, ch х, th х; вони виражаються формулами (читається: ареа синус гіперболічний, ареа косинус гіперболічний, ареа тангенс... Велика Радянська Енциклопедія

Функції, зворотні до гіперболічу. функцій; виражаються формулами … Природознавство. Енциклопедичний словник

Зворотні гіперболічні функції визначаються як зворотні функції до гіперболічних функцій. Ці функції визначають площу сектора одиничної гіперболи x2 − y2 = 1 аналогічно до того, як зворотні тригонометричні функції визначають довжину ... Вікіпедія

Книги

• Гіперболічні функції, Янпольський А.Р.. У книзі викладаються властивості гіперболічних та зворотних гіперболічних функцій та даються співвідношення між ними та іншими елементарними функціями. Показано застосування гіперболічних функцій до…

Його можна записати в параметричному вигляді, використовуючи гіперболічні функції (це і пояснюється їх назва).

Позначимо y = b · sht, тоді х2 / а2 = 1 + sh2t = ch2t. Звідки x = ± a · cht.

Таким чином ми приходимо до наступних параметричних рівнянь гіперболи:

У = в · sht , -< t < . (6)

Рис. 1.

Знак "+" у верхній формулі (6) відповідає правій гілки гіперболи, а знак "-" - лівої (див. рис. 1). Вершинам гіперболи А(-а; 0) і В(а; 0) відповідає значення параметра t=0.

Для порівняння можна навести параметричні рівняння еліпса, які використовують тригонометричні функції:

X = а · cost ,

Y=sint , 0 t 2p . (7)

3. Очевидно, що функція y=chx є парною і набуває лише позитивних значень. Функція y=shx – непарна, т.к. :

Функції y=thx та y=cthx є непарними як приватні парної та непарної функції. Зазначимо, що на відміну від тригонометричних, гіперболічні функції не є періодичними.

4. Досліджуємо поведінку функції y = cthx на околиці точки розриву х = 0:

Таким чином вісь Оу є вертикальною асимптотою графіка функції y = cthx. Визначимо похилі (горизонтальні) асимптоти:

Отже, пряма у = 1 є правою горизонтальною асимптотою графіка функції y = cthx. Через непарність цієї функції її лівою горизонтальною асимптотою є пряма у = -1. Неважко показати, що це прямі одночасно є асимптотами й у функції y=thx. Функції shx та chx асимптот не мають.

2) (chx)"=shx (показується аналогічно).

4)

Тут також простежується певна аналогія з тригонометричними функціями. Повна таблиця похідних всіх гіперболічних функцій наведено у розділі IV.

Тангенс, котангенс

Визначення гіперболічних функцій, їх області визначень та значень

sh x- гіперболічний синус
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- гіперболічний косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
th x- гіперболічний тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- гіперболічний котангенс
, x ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

Графіки гіперболічних функцій

Графік гіперболічного синусу y = sh x

Графік гіперболічного косинуса y = ch x

Графік гіперболічного тангенсу y = th x

Графік гіперболічного котангенсу y = cth x

Формули з гіперболічними функціями

Зв'язок із тригонометричними функціями

sin iz = i sh z; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i th z; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z; cth iz = - i ctg z
Тут i - уявна одиниця, i 2 = - 1 .

Застосовуючи ці формули до тригонометричних функцій, отримуємо формули, що пов'язують гіперболічні функції.

Парність

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x; cth(-x) = - cth x.

Функція ch(x)- парна. Функції sh(x), th(x), cth(x)- непарні.

Різниця квадратів

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Формули суми та різниці аргументів

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Формули творів гіперболічного синуса та косинуса

,
,
,

,
,
.

Формули суми та різниці гіперболічних функцій

,
,
,
,
.

Зв'язок гіперболічного синуса та косинуса з тангенсом та котангенсом

, ,
, .

Похідні

,

Інтеграли від sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Розкладання до лав

Зворотні функції

Ареасинус

При - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Ареакосінус

При 1 ≤ x< ∞ і 0 ≤ y< ∞ мають місце формули:
,
.

Друга гілка ареакосинусу розташована при 1 ≤ x< ∞ та - ∞< y ≤ 0 :
.

Ареатангенс

При - 1 < x < 1 та - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

Поряд з виявленим нами в комплексній області зв'язком між тригонометричними та показовими функціями (формули Ейлера)

у комплексній області є такий дуже простий зв'язок між тригонометричними та гіперболічними функціями.

Нагадаємо, що, згідно з визначенням:

Якщо в тотожності (3) зробити заміну те що у правій частині вийде той самий вираз, що у правої частини тотожності звідки випливає рівність лівих частин. Те саме має місце для тотожностей (4) і (2).

Шляхом поділу обох частин тотожності (6) на відповідні частини тотожності (5) і, навпаки, (5) на (6) отримаємо:

Аналогічна заміна в тотожності (1) і (2) та порівняння З тотожністю (3) і (4) дають:

Нарешті, з тотожностей (9) та (10) знаходимо:

Якщо в тотожності (5)-(12) покласти де х - дійсне число, тобто вважати аргумент чисто уявним, то отримаємо ще вісім тотожностей між тригонометричними функціями чисто уявного аргументу і відповідними гіперболічними функціями дійсного аргументу, а також між гіперболічними уявного Аргументу та відповідними тригонометричними функціями дійсного аргументу:

Отримані співвідношення дають можливість переходити від тригонометричних функцій до гіперболічних та від

гіперболічних функцій до тригонометричних із заміною уявного аргументу дійсним. Вони можуть бути сформульовані у вигляді наступного правила:

Для переходу від тригонометричних функцій уявного аргументу до гіперболічних або, навпаки, від гіперболічних функцій уявного аргументу до тригонометричних слід у синуса та тангенсу уявну одиницю винести за знак функції, а у косинуса відкинути її зовсім.

Встановлений зв'язок чудовий, зокрема, тим, що дозволяє отримати всі співвідношення між гіперболічними функціями з відомих співвідношень між тригонометричними функціями шляхом заміни останніх гіпербіологічними функціями

Покажемо як це. робиться.

Візьмемо для прикладу основне тригонометричне тотожність

і покладемо в ньому де х – дійсне число; отримаємо:

Якщо в цьому тотожності замінити синус і косинус гіперболічними синусом і косинусом за формулами то отримаємо або а це і є основне тотожність між виведеним раніше іншим шляхом.

Аналогічним чином можна вивести всі інші формули, у тому числі формули для гіперболічних функцій суми та різниці аргументів, подвійного та половинного аргументів тощо, таким чином, із звичайної тригонометрії отримати «гіперболічну тригонометрію».