Ak sú všetky čísla A, B, C a D nenulové, potom sa volá všeobecná rovnica roviny kompletný. V opačnom prípade sa nazýva všeobecná rovnica roviny neúplné.

Zvážte všetky možné spoločné neúplné rovnice rovine v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz v trojrozmernom priestore.

Nech D = 0, potom máme všeobecnú neúplnú rovnicu roviny tvaru . Táto rovina v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz prechádza počiatkom. Pri dosadení súradníc bodu do výslednej neúplnej rovnice roviny sa totiž dostaneme k identite .

Pre , alebo , alebo máme všeobecné neúplné rovnice rovín , alebo , resp. Tieto rovnice definujú roviny, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými rovinami Oxy , Oxz a Oyz (pozri článok Podmienka rovnobežnosti pre roviny) a prechádzajú bodmi a zodpovedajúcim spôsobom. O. Od veci patrí do roviny podľa podmienky, potom súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu roviny, to znamená, že rovnosť musí byť pravdivá. Odtiaľto nájdeme. Požadovaná rovnica má teda tvar .

Uvádzame druhý spôsob riešenia tohto problému.

Keďže rovina, ktorej všeobecnú rovnicu musíme zostaviť, je rovnobežná s rovinou Oyz, potom ako jej normálny vektor môžeme vziať normálny vektor lietadlo Oyz . Normálny vektor súradnicová rovina Oyz je súradnicový vektor. Teraz poznáme normálny vektor roviny a bod roviny, preto si môžeme zapísať jeho všeobecnú rovnicu (podobný problém sme riešili v predchádzajúcom odseku tohto článku):
, potom jeho súradnice musia spĺňať rovnicu roviny. Preto tá rovnosť kde nájdeme. Teraz môžeme napísať požadovanú všeobecnú rovnicu roviny, má tvar .

odpoveď:

Bibliografia.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Vyššia matematika. Prvý diel: Prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytická geometria.

Rovinná rovnica. Ako napísať rovnicu pre rovinu?
Vzájomné usporiadanie rovín. Úlohy

Priestorová geometria nie je oveľa komplikovanejšia ako „plochá“ geometria a naše lety do vesmíru začínajú týmto článkom. Aby človek porozumel téme, musí jej dobre rozumieť vektory Okrem toho je žiaduce poznať geometriu roviny - bude tam veľa podobností, veľa analógií, takže informácie budú oveľa lepšie strávené. V sérii mojich lekcií sa 2D svet otvára článkom Rovnica priamky na rovine. Teraz však Batman vystúpil z TV s plochou obrazovkou a štartuje z kozmodrómu Bajkonur.

Začnime s kresbami a symbolmi. Schematicky môže byť rovina nakreslená ako rovnobežník, ktorý vytvára dojem priestoru:

Rovina je nekonečná, no my máme možnosť znázorniť len jej kúsok. V praxi sa okrem rovnobežníka kreslí aj ovál či dokonca oblak. Z technických dôvodov je pre mňa pohodlnejšie znázorniť lietadlo takto a v tejto polohe. Skutočné roviny, o ktorých budeme uvažovať praktické príklady, môže byť usporiadaný, ako sa vám páči - mentálne vezmite kresbu do rúk a otočte ju v priestore, čím dodáte rovine akýkoľvek sklon, akýkoľvek uhol.

Notový zápis: je zvykom označovať lietadlá malými gréckymi písmenami, zrejme preto, aby nedošlo k ich zámene rovno v lietadle alebo s priamo v priestore. Som zvyknutý používať písmeno . Na výkrese je to písmeno "sigma" a vôbec nie diera. Aj keď, dierované lietadlo, je to určite veľmi zábavné.

V niektorých prípadoch je vhodné použiť rovnaké grécke písmená s dolnými indexmi na označenie lietadiel, napríklad .

Je zrejmé, že rovina je jednoznačne určená tromi rôznymi bodmi, ktoré neležia na rovnakej priamke. Preto sú pomerne obľúbené trojpísmenové označenia lietadiel – podľa bodov k nim patriacich napr. Písmená sú často uzavreté v zátvorkách: , aby nedošlo k zámene roviny s iným geometrickým útvarom.

Pre skúsených čitateľov dám menu skratiek:

• Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a dvoch vektorov?
• Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a normálového vektora?

a nebudeme sa zdržiavať dlhým čakaním:

Všeobecná rovnica roviny

Všeobecná rovnica roviny má tvar , kde koeficienty sú súčasne nenulové.

Množstvo teoretických výpočtov a praktických problémov platí ako pre bežnú ortonormálnu, tak aj pre afinnú základňu priestoru (ak je ropa ropa, vráťte sa k lekcii Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ). Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že všetky udalosti sa vyskytujú na ortonormálnom základe a karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme.

A teraz si potrénujme trochu priestorovej predstavivosti. Nevadí, ak to máte zlé, teraz to trochu rozvinieme. Aj hranie na nervy si vyžaduje cvik.

V najvšeobecnejšom prípade, keď sa čísla nerovnajú nule, rovina pretína všetky tri súradnicové osi. Napríklad takto:

Ešte raz opakujem, že rovina pokračuje donekonečna všetkými smermi a my máme možnosť znázorniť len jej časť.

Zvážte najjednoduchšie rovnice rovín:

Ako rozumieť tejto rovnici? Premýšľajte o tom: „Z“ VŽDY, pre akékoľvek hodnoty „X“ a „Y“ sa rovná nule. Toto je rovnica "natívnej" súradnicovej roviny. Formálne možno rovnicu prepísať takto: , odkiaľ je jasne vidieť, že nám je jedno, aké hodnoty „x“ a „y“ naberajú, je dôležité, aby sa „z“ rovnalo nule.

Podobne:
je rovnica súradnicovej roviny ;
je rovnica súradnicovej roviny.

Skúsme si problém trochu skomplikovať, uvažujme rovinu (tu a ďalej v odseku predpokladáme, že číselné koeficienty sa nerovnajú nule). Prepíšme rovnicu v tvare: . Ako tomu rozumieť? "X" je VŽDY, pre akúkoľvek hodnotu "y" a "z" sa rovná určitému číslu. Táto rovina je rovnobežná s rovinou súradníc. Napríklad rovina je rovnobežná s rovinou a prechádza bodom.

Podobne:
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc;
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc.

Pridať členov: . Rovnicu možno prepísať takto: , to znamená, že „Z“ môže byť čokoľvek. Čo to znamená? "X" a "Y" sú spojené pomerom, ktorý nakreslí určitú priamku v rovine (samozrejme rovnica priamky v rovine?). Keďže Z môže byť čokoľvek, táto čiara sa „replikuje“ v akejkoľvek výške. Rovnica teda definuje rovinu rovnobežnú so súradnicovou osou

Podobne:
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou;
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou.

Ak sú voľné členy nula, potom budú roviny priamo prechádzať cez príslušné osi. Napríklad klasická „priama úmernosť“:. Nakreslite rovnú čiaru v rovine a mentálne ju vynásobte hore a dole (keďže „z“ je ľubovoľné). Záver: rovina daná rovnicou prechádza súradnicovou osou.

Uzatvárame prehľad: rovnica roviny prechádza cez pôvod. No tu je úplne zrejmé, že bod spĺňa danú rovnicu.

A nakoniec prípad, ktorý je znázornený na výkrese: - rovina je priateľská so všetkými súradnicovými osami, pričom vždy „odreže“ trojuholník, ktorý sa môže nachádzať v ktoromkoľvek z ôsmich oktantov.

Lineárne nerovnosti v priestore

Na pochopenie informácií je potrebné dobre študovať lineárne nerovnosti v rovine pretože veľa vecí bude podobných. Tento odsek bude obsahovať stručný prehľad s niekoľkými príkladmi, keďže tento materiál je v praxi pomerne zriedkavý.

Ak rovnica definuje rovinu, potom nerovnosti
opýtať sa polovičné medzery. Ak nerovnosť nie je striktná (posledné dve v zozname), tak riešenie nerovnosti okrem polpriestoru zahŕňa aj samotnú rovinu.

Príklad 5

Nájdite jednotkový normálový vektor roviny .

Riešenie: Jednotkový vektor je vektor, ktorého dĺžka je jedna. Označme tento vektor . Je celkom jasné, že vektory sú kolineárne:

Najprv odstránime normálový vektor z rovnice roviny: .

Ako nájsť jednotkový vektor? Ak chcete nájsť jednotkový vektor, potrebujete každý vektorová súradnica delená dĺžkou vektora.

Prepíšeme normálny vektor do formulára a zistíme jeho dĺžku:

Podľa vyššie uvedeného:

Odpoveď:

Check: , ktorý bol povinný skontrolovať.

Čitatelia, ktorí si pozorne preštudovali posledný odsek lekcie, si to pravdepodobne všimli súradnice jednotkového vektora sú presne smerové kosínusy vektora:

Odbočme od rozobraného problému: keď dostanete ľubovoľný nenulový vektor a podľa podmienky je potrebné nájsť jej smerové kosínusy (pozri posledné úlohy lekcie Bodový súčin vektorov), potom v skutočnosti nájdete aj jednotkový vektor kolineárny s daným. V skutočnosti dve úlohy v jednej fľaši.

Potreba nájsť jednotkový normálový vektor vzniká v niektorých problémoch matematickej analýzy.

Prišli sme na lov normálneho vektora, teraz odpovieme na opačnú otázku:

Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a normálového vektora?

Táto tuhá konštrukcia normálneho vektora a bodu je dobre známa terčom šípok. Natiahnite ruku dopredu a v duchu vyberte ľubovoľný bod v priestore, napríklad malú mačku v príborníku. Je zrejmé, že cez daný bod môžete nakresliť jednu rovinu kolmú na vašu ruku.

Rovnica roviny prechádzajúcej bodom kolmým na vektor je vyjadrená vzorcom:

Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.

Existuje nekonečne veľa čiar, ktoré možno nakresliť cez ktorýkoľvek bod.

Cez akékoľvek dva nezhodné body vedie iba jedna priamka.

Dve nezhodné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú

paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).

V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch čiar:

• čiary sa pretínajú;

• priame čiary sú rovnobežné;

• priamky sa pretínajú.

Rovno riadok je algebraická krivka prvého rádu: in karteziánsky systém súradnicová priamka

je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).

Všeobecná rovnica priamky.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého poriadku

Ah + Wu + C = 0,

a konštantný A, B nerovná sa zároveň nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný

priamka rovnica. V závislosti od hodnôt konštánt A, B a OD Možné sú tieto špeciálne prípady:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- čiara prechádza počiatkom

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU

. B = C = 0, A ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou OU

. A = C = 0, B ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou Oh

Rovnica priamky môže byť reprezentovaná v rôznych formách v závislosti od danej veličiny

počiatočné podmienky.

Rovnica priamky bodom a normálovým vektorom.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)

kolmo na čiaru daný rovnicou

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).

Riešenie. Zostavme pri A \u003d 3 a B \u003d -1 rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Ak chcete nájsť koeficient C

do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda

C = -1. Celkom: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a M2 (x 2, y 2, z 2), potom priamka rovnica,

prechádza cez tieto body:

Ak niektorý z menovateľov nula, príslušný čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Na

rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:

ak x 1 ≠ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2 .

Zlomok = k volal faktor sklonu rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky bodom a sklonom.

Ak je všeobecná rovnica priamky Ah + Wu + C = 0 uveďte do formulára:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva

rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky na bode a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu

priamka cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku

Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.

Ah + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície

koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

x + y - 3 = 0

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ah + Wu + C = 0 C≠0, potom po delení -C dostaneme:

alebo , kde

geometrický zmysel koeficienty v tom, že koeficient a je súradnicou priesečníka

rovný s nápravou oh, a b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ah + Wu + C = 0 deliť číslom , ktorá sa volá

normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ * C< 0.

R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k čiare,

a φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.

Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky 12x - 5r - 65 = 0. Povinné napísať odlišné typy rovnice

túto priamku.

Rovnica tejto priamky v segmentoch:

Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)

Rovnica priamky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,

rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Uhol medzi čiarami v rovine.

Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, potom ostrý roh medzi týmito riadkami

bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dva priame čiary sú kolmé,

ak k 1 \u003d -1 / k 2 .

Veta.

Priamy Ah + Wu + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ak tiež С 1 \u003d λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok

sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom je kolmá na danú priamku.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b

reprezentovaný rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k čiare Ah + Wu + C = 0 definovaný ako:

Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice klesla z hrotu M za danú

priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

(1)

Súradnice x 1 a 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo

daný riadok. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Môže byť špecifikovaný rôznymi spôsobmi (jeden bod a vektor, dva body a vektor, tri body atď.). S ohľadom na to môže mať rovnica roviny rôzne formy. Taktiež za určitých podmienok môžu byť roviny rovnobežné, kolmé, pretínajúce sa atď. Budeme o tom hovoriť v tomto článku. Naučíme sa písať všeobecnú rovnicu roviny a nielen to.

Normálny tvar rovnice

Povedzme, že existuje priestor R 3, ktorý má pravouhlý súradnicový systém XYZ. Nastavíme vektor α, ktorý sa uvoľní z počiatočného bodu O. Cez koniec vektora α nakreslíme rovinu P, ktorá bude naň kolmá.

Označme P ľubovoľný bod Q=(x, y, z). Vektor polomeru bodu Q označíme písmenom p. Dĺžka vektora α je p=IαI a Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Toto je jednotkový vektor, ktorý ukazuje nabok, rovnako ako vektor α. α, β a γ sú uhly, ktoré zvierajú vektor Ʋ a kladné smery priestorových osí x, y, z. Priemet nejakého bodu QϵП do vektora Ʋ je konštantná hodnota, čo sa rovná p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Táto rovnica dáva zmysel, keď p=0. Jedine, že rovina P bude v tomto prípade pretínať bod O (α=0), ktorý je počiatkom, a jednotkový vektor Ʋ uvoľnený z bodu O bude kolmý na P bez ohľadu na jeho smer, čo znamená, že vektor Ʋ je určený zo znamienkovej presnosti. Predchádzajúca rovnica je rovnica našej roviny P, vyjadrená vo vektorovej forme. Ale v súradniciach to bude vyzerať takto:

P je tu väčšie alebo rovné 0. Našli sme rovnicu roviny v priestore v jej normálnom tvare.

Všeobecná rovnica

Ak rovnicu v súradniciach vynásobíme ľubovoľným číslom, ktoré sa nerovná nule, dostaneme rovnicu ekvivalentnú danej, ktorá určuje tú istú rovinu. Bude to vyzerať takto:

Tu A, B, C sú čísla, ktoré sa súčasne líšia od nuly. Táto rovnica sa označuje ako všeobecná rovinná rovnica.

Rovinné rovnice. Špeciálne prípady

Rovnica v všeobecný pohľad môžu byť upravené za dodatočných podmienok. Uvažujme o niektorých z nich.

Predpokladajme, že koeficient A je 0. To znamená, že daná rovina je rovnobežná s danou osou Ox. V tomto prípade sa tvar rovnice zmení: Ву+Cz+D=0.

Podobne sa tvar rovnice zmení za nasledujúcich podmienok:

• Po prvé, ak B = 0, potom sa rovnica zmení na Ax + Cz + D = 0, čo bude indikovať rovnobežnosť s osou Oy.
• Po druhé, ak С=0, potom sa rovnica transformuje na Ах+Ву+D=0, čo bude indikovať rovnobežnosť s danou osou Oz.
• Po tretie, ak D=0, rovnica bude vyzerať ako Ax+By+Cz=0, čo znamená, že rovina pretína O (počiatok).
• Po štvrté, ak A=B=0, potom sa rovnica zmení na Cz+D=0, čo bude paralelné s Oxy.
• Po piate, ak B=C=0, potom sa rovnica zmení na Ax+D=0, čo znamená, že rovina k Oyz je rovnobežná.
• Po šieste, ak A=C=0, potom rovnica bude mať tvar Ву+D=0, to znamená, že bude hlásiť rovnobežnosť s Oxz.

Typ rovnice v segmentoch

V prípade, že čísla A, B, C, D sú nenulové, tvar rovnice (0) môže byť nasledovný:

x/a + y/b + z/c = 1,

v ktorých a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Dostaneme ako výsledok Stojí za zmienku, že táto rovina bude pretínať os Ox v bode so súradnicami (a,0,0), Oy - (0,b,0) a Oz - (0,0,c) .

Ak vezmeme do úvahy rovnicu x/a + y/b + z/c = 1, je ľahké vizuálne znázorniť umiestnenie roviny vzhľadom na daný súradnicový systém.

Normálne vektorové súradnice

Normálny vektor n k rovine P má súradnice, ktoré sú koeficientmi všeobecná rovnica danej rovine, teda n (A, B, C).

Na určenie súradníc normály n stačí poznať všeobecnú rovnicu danej roviny.

Pri použití rovnice v segmentoch, ktorá má tvar x/a + y/b + z/c = 1, ako aj pri použití všeobecnej rovnice, je možné zapísať súradnice ľubovoľného normálového vektora danej roviny: (1 /a + 1/b + 1/ s).

Treba poznamenať, že normálny vektor pomáha riešiť rôzne problémy. Najčastejšie ide o úlohy, ktoré spočívajú v dokazovaní kolmosti alebo rovnobežnosti rovín, problémy pri hľadaní uhlov medzi rovinami alebo uhlov medzi rovinami a priamkami.

Pohľad na rovnicu roviny podľa súradníc bodu a normálového vektora

Nenulový vektor n kolmý na danú rovinu sa nazýva normálny (normálny) pre danú rovinu.

Predpokladajme, že v súradnicovom priestore (pravouhlý súradnicový systém) sú Oxyz dané:

• bod Mₒ so súradnicami (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulový vektor n=A*i+B*j+C*k.

Je potrebné zostaviť rovnicu pre rovinu, ktorá bude prechádzať bodom Mₒ kolmým na normálu n.

V priestore si vyberieme ľubovoľný bod a označíme ho M (x y, z). Nech je vektor polomeru ľubovoľného bodu M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k a vektor polomeru bodu Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Bod M bude patriť do danej roviny, ak je vektor MₒM kolmý na vektor n. Podmienku ortogonality zapíšeme pomocou skalárneho súčinu:

[M2M, n] = 0.

Pretože MₒM \u003d r-rₒ, vektorová rovnica roviny bude vyzerať takto:

Táto rovnica môže mať inú podobu. Na to sa využívajú vlastnosti skalárneho súčinu a strana po ľavej ruke rovnice. = - . Ak je označené ako c, získame nasledujúcu rovnicu: - c \u003d 0 alebo \u003d c, ktorá vyjadruje stálosť projekcií na normálny vektor vektorov polomerov daných bodov, ktoré patria do roviny.

Teraz môžete získať súradnicový tvar zápisu vektorovej rovnice našej roviny = 0. Keďže r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, a n = A*i+B *j+C*k, máme:

Ukazuje sa, že máme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom kolmým na normálu n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Pohľad na rovinnú rovnicu podľa súradníc dvoch bodov a vektora kolineárne s rovinou

Definujeme dva ľubovoľné body M′ (x′,y′,z′) a M″ (x″,y″,z″), ako aj vektor a (a′,a″,a‴).

Teraz môžeme zostaviť rovnicu pre danú rovinu, ktorá bude prechádzať dostupnými bodmi M′ a M″, ako aj ľubovoľným bodom M so súradnicami (x, y, z) rovnobežnými s daným vektorom a.

V tomto prípade musia byť vektory M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) a M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) v jednej rovine s vektorom a=(a′,a″,a‴), čo znamená, že (M′M, M″M, a)=0.

Takže naša rovnica roviny vo vesmíre bude vyzerať takto:

Typ rovnice roviny pretínajúcej tri body

Predpokladajme, že máme tri body: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ktoré nepatria do tej istej priamky. Je potrebné napísať rovnicu roviny prechádzajúcej danými tromi bodmi. Teória geometrie tvrdí, že tento druh roviny skutočne existuje, len je jediný a nenapodobiteľný. Keďže táto rovina pretína bod (x′, y′, z′), tvar jej rovnice bude takýto:

Tu sú A, B, C odlišné od nuly súčasne. Daná rovina tiež pretína dva ďalšie body: (x″,y″,z″) a (x‴,y‴,z‴). V tejto súvislosti musia byť splnené tieto podmienky:

Teraz môžeme zostaviť homogénny systém s neznámymi u, v, w:

V našom prípad x,y alebo z je ľubovoľný bod, ktorý spĺňa rovnicu (1). Berúc do úvahy rovnicu (1) a sústavu rovníc (2) a (3), sústava rovníc naznačená na obrázku vyššie vyhovuje vektoru N (A, B, C), ktorý je netriviálny. Preto je determinant tohto systému rovný nule.

Rovnica (1), ktorú sme získali, je rovnica roviny. Prechádza presne cez 3 body a to sa dá ľahko skontrolovať. Aby sme to dosiahli, musíme rozšíriť náš determinant o prvky v prvom riadku. Z existujúcich vlastností determinantu vyplýva, že naša rovina súčasne pretína tri pôvodne dané body (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . To znamená, že sme vyriešili úlohu, ktorá je pred nami.

Dihedrálny uhol medzi rovinami

Dihedrálny uhol je priestorový geometrický obrazec, tvorený dvoma polrovinami, ktoré vychádzajú z jednej priamky. Inými slovami, toto je časť priestoru, ktorá je obmedzená týmito polrovinami.

Povedzme, že máme dve roviny s nasledujúcimi rovnicami:

Vieme, že vektory N=(A,B,C) a N¹=(A¹,B¹,C¹) sú kolmé podľa daných rovín. V tomto ohľade sa uhol φ medzi vektormi N a N¹ rovná uhlu (dihedrálnemu), ktorý je medzi týmito rovinami. Skalárny súčin má tvar:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

práve preto

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Stačí vziať do úvahy, že 0≤φ≤π.

V skutočnosti dve roviny, ktoré sa pretínajú, zvierajú dva (dihedrálne) uhly: φ 1 a φ 2 . Ich súčet sa rovná π (φ 1 + φ 2 = π). Pokiaľ ide o ich kosínusy, ich absolútne hodnoty sú rovnaké, ale líšia sa znamienkami, to znamená cos φ 1 =-cos φ 2. Ak v rovnici (0) nahradíme A, B a C číslami -A, -B a -C, potom rovnica, ktorú dostaneme, určí rovnakú rovinu, jediný uhol φ v rovnici cos φ= NN 1 /| N||N 1 | sa nahradí π-φ.

Rovnica kolmej roviny

Roviny sa nazývajú kolmé, ak je uhol medzi nimi 90 stupňov. Pomocou vyššie uvedeného materiálu môžeme nájsť rovnicu roviny kolmej na druhú. Povedzme, že máme dve roviny: Ax+By+Cz+D=0 a A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Môžeme konštatovať, že budú kolmé, ak cosφ=0. To znamená, že NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Rovnica rovnobežnej roviny

Rovnobežné sú dve roviny, ktoré neobsahujú spoločné body.

Podmienkou (ich rovnice sú rovnaké ako v predchádzajúcom odseku) je, že vektory N a N¹, ktoré sú na ne kolmé, sú kolineárne. To znamená, že sú splnené tieto podmienky proporcionality:

A/A1=B/B1=C/C1.

Ak sa rozšíria podmienky proporcionality – A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

to naznačuje, že tieto roviny sa zhodujú. To znamená, že rovnice Ax+By+Cz+D=0 a A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisujú jednu rovinu.

Vzdialenosť k rovine od bodu

Povedzme, že máme rovinu P, ktorá je daná rovnicou (0). Je potrebné nájsť vzdialenosť k nemu od bodu so súradnicami (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Aby ste to dosiahli, musíte uviesť rovnicu roviny P do normálneho tvaru:

(p,v)=p (p>0).

V tomto prípade je ρ(x,y,z) vektor polomeru nášho bodu Q, ktorý sa nachádza na P, p je dĺžka kolmice P, ktorá sa uvoľnila z nulového bodu, v je jednotkový vektor, ktorý je umiestnený v smere a.

Rozdiel ρ-ρº vektora polomeru niektorého bodu Q \u003d (x, y, z) patriaceho k P, ako aj vektora polomeru daného bodu Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) je taký vektor, ktorého absolútna hodnota projekcie na v sa rovná vzdialenosti d, ktorú treba nájsť od Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) po P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ale

(ρ-ρo,v)= (ρ,v)-(ρo,v) =R-(ρo,v).

Tak sa ukazuje

d=|(ρ0,v)-p|.

Nájdeme teda absolútnu hodnotu výsledného výrazu, teda želané d.

Pomocou jazyka parametrov dostaneme zrejmé:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Ak daný bod Q 0 je na druhej strane roviny P, rovnako ako počiatok, potom medzi vektorom ρ-ρ 0 a v je teda:

d=-(ρ-ρo,v)=(ρo,v)-p>0.

V prípade, že sa bod Q 0 spolu s počiatkom nachádza na tej istej strane P, vytvorený uhol je ostrý, to znamená:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Výsledkom je, že v prvom prípade (ρ 0 ,v)> р, v druhom (ρ 0 ,v)<р.

Dotyková rovina a jej rovnica

Dotyková rovina k povrchu v bode dotyku Mº je rovina obsahujúca všetky možné dotyčnice ku krivkám nakresleným cez tento bod na povrchu.

S týmto tvarom povrchovej rovnice F (x, y, z) \u003d 0 bude rovnica dotykovej roviny v dotykovom bode Mº (xº, yº, zº) vyzerať takto:

Fx(xº, yº, zº)(x-xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y-yº)+ Fx(xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Ak zadáte povrch v explicitnom tvare z=f (x, y), dotyková rovina bude opísaná rovnicou:

z-z° = f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Priesečník dvoch rovín

V súradnicovom systéme (obdĺžnikovom) sa nachádza Oxyz, sú dané dve roviny П′ a П″, ktoré sa pretínajú a nezhodujú sa. Keďže každá rovina umiestnená v pravouhlom súradnicovom systéme je určená všeobecnou rovnicou, budeme predpokladať, že P′ a P″ sú dané rovnicami A′x+B′y+C′z+D′=0 a A″x +B″y+ С″z+D″=0. V tomto prípade máme normálu n′ (A′, B′, C′) roviny P′ a normálu n″ (A″, B″, C″) roviny P″. Keďže naše roviny nie sú rovnobežné a nezhodujú sa, tieto vektory nie sú kolineárne. Pomocou jazyka matematiky môžeme túto podmienku zapísať takto: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Čiara, ktorá leží v priesečníku P′ a P″, označme písmenom a, v tomto prípade a = P′ ∩ P″.

a je priamka pozostávajúca z množiny všetkých bodov (spoločných) rovín П′ a П″. To znamená, že súradnice ktoréhokoľvek bodu patriaceho do priamky a musia súčasne spĺňať rovnice A′x+B′y+C′z+D′=0 a A″x+B″y+C″z+D″= 0. To znamená, že súradnice bodu budú konkrétnym riešením nasledujúceho systému rovníc:

V dôsledku toho sa ukazuje, že (všeobecné) riešenie tohto systému rovníc určí súradnice každého z bodov priamky, ktoré budú pôsobiť ako priesečník П′ a П″, a určí priamku. priamka a v súradnicovom systéme Oxyz (obdĺžnikový) v priestore.

Aby mohla byť jedna rovina vedená cez ľubovoľné tri body v priestore, je potrebné, aby tieto body neležali na jednej priamke.

Uvažujme body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v spoločnej karteziánskej súradnicovej sústave.

Aby ľubovoľný bod M(x, y, z) ležal v rovnakej rovine ako body M 1 , M 2 , M 3 , musia byť vektory koplanárne.

(
) = 0

Touto cestou,

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

Rovnica roviny vzhľadom na dva body a vektor kolineárny s rovinou.

Nech body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) a vektor
.

Zostavme rovnicu roviny prechádzajúcej danými bodmi M 1 a M 2 a ľubovoľným bodom M (x, y, z) rovnobežným s vektorom .

vektory
a vektor
musia byť koplanárne, t.j.

(
) = 0

Rovinná rovnica:

Rovnica roviny vzhľadom na jeden bod a dva vektory,

kolineárna rovina.

Nech sú dané dva vektory
a
, kolineárne roviny. Potom pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine, vektory
musí byť koplanárna.

Rovinná rovnica:

Rovinná rovnica podľa bodu a normálového vektora .

Veta. Ak je bod M daný v priestore 0 (X 0 , r 0 , z 0 ), potom rovnica roviny prechádzajúcej bodom M 0 kolmo na normálny vektor (A, B, C) vyzerá ako:

A(X – X 0 ) + B(r – r 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dôkaz. Pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine zostavíme vektor . Pretože vektor - normálový vektor, potom je kolmý na rovinu, a teda kolmý na vektor
. Potom skalárny súčin

= 0

Tak dostaneme rovnicu roviny

Veta bola dokázaná.

Rovnica roviny v segmentoch.

Ak je vo všeobecnej rovnici Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, vydeľte obe časti (-D)

,

nahradenie
, dostaneme rovnicu roviny v segmentoch:

Čísla a, b, c sú priesečníky roviny s osami x, y, z.

Rovinná rovnica vo vektorovom tvare.

kde

- vektor polomeru aktuálneho bodu M(x, y, z),

Jednotkový vektor, ktorý má smer kolmice klesnutý na rovinu z počiatku.

,  a  sú uhly, ktoré zviera tento vektor s osami x, y, z.

p je dĺžka tejto kolmice.

V súradniciach má táto rovnica tvar:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Vzdialenosť od bodu k rovine.

Vzdialenosť od ľubovoľného bodu M 0 (x 0, y 0, z 0) k rovine Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 je:

Príklad. Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P (4; -3; 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku do tejto roviny.

Takže A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, použite vzorec:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej dvoma bodmi P(2; 0; -1) a

Q(1; -1; 3) je kolmá na rovinu 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normálny vektor k rovine 3x + 2y - z + 5 = 0
rovnobežne s požadovanou rovinou.

Dostaneme:

Príklad. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi A(2, -1, 4) a

В(3, 2, -1) kolmo na rovinu X + pri + 2z – 3 = 0.

Požadovaná rovinná rovnica má tvar: A X+ B r+ C z+ D = 0, normálový vektor k tejto rovine (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) patrí do roviny. Rovina, ktorá je nám daná, kolmá na požadovanú, má normálny vektor (1, 1, 2). Pretože body A a B patria obom rovinám a roviny sú teda navzájom kolmé

Takže normálny vektor (11, -7, -2). Pretože bod A patrí do želanej roviny, potom jeho súradnice musia spĺňať rovnicu tejto roviny, t.j. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Celkovo dostaneme rovnicu roviny: 11 X - 7r – 2z – 21 = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P(4, -3, 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku do tejto roviny.

Nájdenie súradníc normálového vektora
= (4, -3, 12). Požadovaná rovnica roviny má tvar: 4 X – 3r + 12z+ D = 0. Aby sme našli koeficient D, dosadíme súradnice bodu Р do rovnice:

16 + 9 + 144 + D = 0

Celkovo dostaneme požadovanú rovnicu: 4 X – 3r + 12z – 169 = 0

Príklad. Vzhľadom na súradnice vrcholov pyramídy A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Nájdite dĺžku hrany A 1 A 2 .

Nájdite uhol medzi hranami A 1 A 2 a A 1 A 4.

Nájdite uhol medzi hranou A 1 A 4 a plochou A 1 A 2 A 3 .

Najprv nájdite normálový vektor k ploche A 1 A 2 A 3 ako krížový produkt vektorov
a
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Nájdite uhol medzi normálovým vektorom a vektorom
.

-4 – 4 = -8.

Požadovaný uhol  medzi vektorom a rovinou bude rovný  = 90 0 - .

Nájdite oblasť tváre A 1 A 2 A 3 .

Nájdite objem pyramídy.

Nájdite rovnicu roviny А 1 А 2 А 3 .

Vzorec používame na rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z-4 = 0;

Pri použití PC verzie „ Kurz vyššej matematiky” môžete spustiť program, ktorý vyrieši vyššie uvedený príklad pre ľubovoľné súradnice vrcholov pyramídy.

Program spustíte dvojitým kliknutím na ikonu:

V okne programu, ktoré sa otvorí, zadajte súradnice vrcholov pyramídy a stlačte Enter. Všetky rozhodovacie body je teda možné získať jeden po druhom.

Poznámka: Na spustenie programu musíte mať na svojom počítači nainštalovaný Maple ( Waterloo Maple Inc.), akúkoľvek verziu začínajúcu MapleV Release 4.