Prezentácia na tému: Znak kolmosti priamky a roviny

1 z 24

Prezentácia na tému: Znak kolmosti priamky a roviny

snímka číslo 1

Popis snímky:

snímka číslo 2

Popis snímky:

Ciele lekcie: Materiály tejto lekcie predstavia znamienko kolmosti priamky a roviny a vlastnosti kolmíc a roviny. Svet okolo nás uvádza mnoho príkladov kolmosti priamky a roviny. Správne nainštalovaný vertikálny stĺpik je kolmý na rovinu zeme. Priesečníky stien miestnosti sú kolmé na rovinu podlahy. Pri stavbe budov, pri inštalácii stĺpov, je pre ich stabilitu veľmi dôležité zabezpečiť kolmosť k povrchu zeme. Na to existujú špeciálne metódy kontroly kolmosti, založené na znamienku kolmosti priamky a roviny a vlastnostiach kolmých priamok a roviny, ktoré budeme študovať. Po preštudovaní materiálov predchádzajúcej lekcie ste sa oboznámili s definíciou a vlastnosťami kolmých čiar, s definíciou čiary kolmej na rovinu. Zopakujte tieto materiály znova. Pomôže vám to správne odpovedať na otázky testu, ktorý preverí vaše znalosti na tému „Kolmice“.

snímka číslo 3

Popis snímky:

Kolmé čiary Dve čiary v priestore sa nazývajú kolmé (vzájomne kolmé), ak je medzi nimi uhol 900. Znamienko ┴ sa používa na označenie kolmosti. Na obrázku je priamka m kolmá na priamku n alebo m┴n. Lema na kolmých priamkach Ak je jedna z dvoch rovnobežných priamok kolmá na tretiu priamku, potom je aj druhá priamka kolmá na túto priamku. Symbolicky môže byť táto lemma napísaná ako

snímka číslo 4

Popis snímky:

Čiara kolmá na rovinu Čiara sa nazýva kolmá na rovinu, ak je kolmá na akúkoľvek čiaru v tejto rovine. Znamienko ┴ sa používa na označenie kolmosti. Obrázok znázorňuje priamku a, kolmú na rovinu a alebo a┴α.

snímka číslo 5

Popis snímky:

Veta o dvoch rovnobežkách a rovine Ak je jedna z dvoch rovnobežných priamok kolmá na rovinu, potom je aj druhá priamka kolmá na túto rovinu. Symbolicky možno túto vetu napísať nasledovne Veta o dvoch priamkach kolmých na rovinu Ak sú dve priamky kolmé na rovinu, potom sú navzájom rovnobežné. Symbolicky možno túto vetu napísať ako

snímka číslo 6

Popis snímky:

Znak kolmosti priamky a roviny Asi každý musel kopať do tyčí futbalovej bránky. Niekedy to nedosiahlo ani brvno. Aké dôležité bolo nastaviť latku tak, aby bola kolmá na zemský povrch. Ak použijete definíciu kolmosti priamky k rovine, potom by ste mali skontrolovať kolmosť tyče ku každej priamke na futbalovom ihrisku. Je možné obmedziť sa na menší počet kontrol? Ukazuje sa, že môžete. Jedna kontrola však zjavne nestačí. Ak je daná priamka kolmá len na jednu priamku v rovine, tak nie je kolmá na samotnú rovinu (obr. 3). Môže ležať v tejto rovine. Ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine, potom je kolmá na samotnú rovinu (obr. 4). Toto tvrdenie sa nazýva znak kolmosti priamky a roviny a je formulované ako veta. Aby sme teda postavili bránkovú tyč kolmo na rovinu poľa, stačí skontrolovať jej kolmosť pohľadom z dvoch rôznych, ale nie opačných strán.

snímka číslo 7

Popis snímky:

Veta Ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine, potom je kolmá na túto rovinu. Nech b┴q; b┴p; p a; qa; p ∩ q=O. Dokážme, že b┴a. Aby sme to dosiahli, musíme dokázať, že priamka b je kolmá na ľubovoľnú (ľubovoľnú) priamku m v rovine a. Uvažujme najprv prípad, keď priamka b prechádza priesečníkom O. Vedieme priamku l bodom O rovnobežne s priamkou m. Na priamke b označíme body A a B, rovnako vzdialené od bodu O, a v rovine a nakreslíme priamku, ktorá pretína priamky p, l a q v bodoch P, L a Q. Keďže priamky p a q sú kolmice, potom АР = BP a AQ = BQ. Preto ∆APQ=∆BPQ (na troch stranách). Potom APL= BPL a ∆ APL= ∆ BPL (na dvoch stranách a rohu). Potom AL=BL. Preto je ∆ALB rovnoramenný, segment LO je stred a výška v tomto trojuholníku, AOL=900 a b┴l. Pretože l || m, potom b┴m (podľa lemy na kolmých čiarach), teda b┴a.

snímka číslo 8

Popis snímky:

Uvažujme teraz prípad, keď priamka a neprechádza bodom O, ale a┴q; a┴p. Vedieme priamku cez bod O rovnobežnú s priamkou a. Táto priamka je kolmá na priamky p a q (podľa lemy kolmých priamok), a preto sa zhoduje s priamkou b. Keďže b┴a a b||a, potom a┴a (podľa vety o dvoch rovnobežných priamkach a rovine). Veta bola dokázaná. Symbolicky možno túto vetu napísať nasledovne Dokážme dve vety, ktoré odôvodňujú existenciu roviny prechádzajúcej daným bodom a kolmej na danú priamku a existenciu priamky prechádzajúcej daným bodom a kolmej na danú rovinu. Pri dokazovaní týchto viet použijeme znamienko kolmosti priamky a roviny.

snímka číslo 9

Popis snímky:

Rovina kolmá na priamku Veta Cez ktorýkoľvek bod v priestore prechádza rovina kolmá na danú priamku a navyše iba jedna. Danú priamku označíme písmenom a a ľubovoľný bod v priestore písmenom M. 1. Dokážme existenciu roviny kolmej na priamku a a prechádzajúcej bodom M. Narysujme dve roviny cez priamku a a tak, aby rovina prechádzala bodom M .. V rovine vedieme bodom M priamku p, kolmú na priamku a, ktorá ju pretína v bode A. V rovine narysujeme priamku q kolmú k priamke a a prechádzajúcej bodom A. Uvažujme rovinu prechádzajúcu priamkami p a q. Táto rovina je kolmá na priamku a (na základe kolmosti priamky a roviny) a prechádza ľubovoľným bodom M. Ide teda o požadovanú rovinu. Existencia bola preukázaná.

snímka číslo 10

Popis snímky:

2. Dokážme jedinečnosť takejto roviny. Dokážme protirečením. Nech bodom M prechádzajú dve roviny u, ktoré sú kolmé na priamku a. Ale potom || . Ale roviny a nemôžu byť navzájom rovnobežné, keďže majú spoločný bod M. Náš predpoklad je teda nesprávny a ľubovoľným bodom v priestore kolmo na danú priamku prechádza iba jedna rovina. Jedinečnosť je dokázaná.

snímka číslo 11

Popis snímky:

Veta o priamke kolmej na rovinu Cez ktorýkoľvek bod v priestore prechádza priamka kolmá na danú rovinu a navyše iba jedna. Označiť danej rovine písmeno a, a ľubovoľný bod v priestore - písmeno M. 1. Dokážme existenciu priamky kolmej na rovinu a prechádzajúcej bodom M. Narysujte v rovine priamku b. Cez bod M nakreslíme rovinu kolmú na priamku b (môžeme to urobiť na základe predchádzajúcej vety na rovine kolmej na priamku). Nech c je spoločná priamka rovín a. Narysujme priamku a v rovine cez bod M, kolmú na priamku c. Potom je priamka a kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine. Preto je priamka a kolmá na rovinu a (podľa kritéria kolmosti priamky a roviny). Preto a je požadovaná čiara. Existencia bola preukázaná.

snímka číslo 12

Popis snímky:

2. Dokážme jedinečnosť takejto línie. Dokážme protirečením. Nech bodom M a prechádzajú dve priamky a a a1 kolmé roviny a. Ale potom a||a1 (pozri vetu o dvoch priamkach kolmých na rovinu). Priamky a a a1 však nemôžu byť navzájom rovnobežné, pretože majú spoločný bod M. Náš predpoklad je teda nesprávny a ľubovoľným bodom v priestore kolmom na danú rovinu prechádza iba jedna priamka. Jedinečnosť je dokázaná.

snímka číslo 13

Popis snímky:

Príklady problémov na dôkaz. Príklady úloh na výpočet Dané: rovina (ABC), MV┴AB, MV┴BC, D(ABC). Dokážte: ∆MBD je obdĺžnikový. Dôkaz. MV┴AB, MV┴BC. Preto МВ┴(АВС) (podľa kolmosti priamky a roviny). Potom МВ┴BD (podľa definície priamka kolmá na rovinu). Preto DBM=900 a ∆MBD je pravouhlý, čo bolo potrebné dokázať.

snímka číslo 14

Popis snímky:

Dané: ABCD - štvorec, MA ┴, ABCD. Dokázať: BD┴MO. Dôkaz. MA┴, teda MA┴BD (podľa definície priamka kolmá na rovinu). ВD┴АО (podľa vlastnosti štvorca). Potom ВD┴(АОМ) (podľa kritéria kolmosti priamky a roviny je BD kolmá na dve pretínajúce sa priamky AO a MA ležiace v tejto rovine). Preto BD┴MO (podľa definície priamka kolmá na rovinu), ktorá sa mala dokázať.

Popis snímky:

Skontrolujte sa. Kolmé čiary Predtým, ako napíšete vety, rozdelené na dve časti. Zamyslite sa nad tým, ktorú možnosť si musíte vybrať, aby ste uspeli správna veta. Zadajte číslo vybranej možnosti. Ak sú dve priamky rovnobežné s treťou priamkou, potom všetky tri priamky ležia vždy v rovnakej rovine. potom sa medzi sebou krížia. potom sú navzájom rovnobežné. potom sú na seba kolmé.

snímka číslo 19

Popis snímky:

Skontrolujte sa. Kolmé čiary Predtým, ako napíšete vety, rozdelené na dve časti. Zamyslite sa nad tým, ktorú z možností si musíte vybrať, aby ste dostali správnu vetu. Zadajte číslo vybranej možnosti. Ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných rovín, potom patrí do druhej roviny. potom druhá rovina nie je kolmá na danú priamku. potom je kolmá na druhú rovinu. potom je vždy rovnobežná s inou rovinou.

Popis snímky:

snímka číslo 24

Popis snímky:

Domáca úloha: L.S. Atanasyan a ďalší.Geometria. Učebnica pre ročníky 10-11 stredná škola. 1. Cvičenie 129 b) Priamka AM je kolmá na rovinu štvorca ABCD, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v bode O. Dokážte, že MO > MD. 2. Cvičenie 131 V štvorstene ABCD je bod M stredom hrany BC, AB=AC, DB=DC. Dokážte, že rovina trojuholníka ADM je kolmá na priamku BC. 3. Cvičenie 134 Dokážte, že všetky priamky prechádzajúce daným bodom M priamky a a kolmé na túto priamku ležia v rovine prechádzajúcej bodom M a kolmej na priamku a. 4. Cvičenie 137 Dokážte, že každou z dvoch vzájomne kolmých šikmých priamok prechádza rovina kolmá na druhú priamku.

V tejto lekcii si zopakujeme teóriu a dokážeme vetu-atribút kolmosti priamky a roviny.
Na začiatku hodiny si pripomíname definíciu priamky kolmej na rovinu. Ďalej uvažujeme a dokážeme vetu-atribút kolmosti priamky a roviny. Na dôkaz tejto vety si pripomenieme vlastnosť odvesny.
Ďalej riešime niekoľko úloh o kolmosti priamky a roviny.

Téma: Kolmosť priamky a roviny

Poučenie: Znak kolmosti priamky a roviny

V tejto lekcii si zopakujeme teóriu a dokážeme veta-znak kolmosti priamky a roviny.

Definícia. Rovno a sa nazýva kolmá na rovinu α, ak je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine.

Ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine, potom je kolmá na túto rovinu.

Dôkaz.

Dajme nám rovinu α. V tejto rovine ležia dve pretínajúce sa čiary. p a q. Rovno a kolmo na čiaru p a priamy q. Musíme to dokázať a je kolmá na rovinu α, to znamená, že priamka a je kolmá na ľubovoľnú priamku ležiacu v rovine α.

Pripomenutie.

Aby sme to dokázali, musíme si spomenúť na vlastnosti kolmice na úsečku. Stredná kolmá R do segmentu AB je miesto bodov v rovnakej vzdialenosti od koncov segmentu. Teda ak bod OD leží na odvesne p, potom AC = BC.

Nechajte bod O- priesečník priamky a a rovina α (obr. 2). Bez straty všeobecnosti budeme predpokladať, že riadky p a q pretínajú v bode O. Musíme dokázať kolmosť priamky a na ľubovoľnú čiaru m z roviny α.

Prejdime cez pointu O priamy l, rovnobežne s čiarou m. Na priamke a odložiť segmenty OA a OV, a OA = OV, teda pointa O- stred segmentu AB. Nakreslíme rovnú čiaru PL, .

Rovno R kolmo na čiaru a(z podmienky), (podľa konštrukcie). znamená, R AB. Bodka R leží na priamke R. znamená, RA = RV.

Rovno q kolmo na čiaru a(z podmienky), (podľa konštrukcie). znamená, q- stredná kolmá na segment AB. Bodka Q leží na priamke q. znamená, QA =QB.

trojuholníky ARQ a VRQ rovnaký na troch stranách (RA = RV, QA =QB, PQ- spoločná strana). Takže rohy ARQ a VRQ sú si rovné.

trojuholníky ALEPL a BPL rovnaký uhol a dve susedné strany (∠ ARL= ∠VRL, RA = RV, PL- spoločná strana). Z rovnosti trojuholníkov to dostaneme AL=BL.

Zvážte trojuholník ABL. Je to rovnostranné, pretože AL=B.L. V rovnoramennom trojuholníku stred LO je aj výška, teda čiara LO kolmý AB.

Ujasnili sme si to a kolmo na čiaru l, a teda rovno m, Q.E.D.

bodov A, M, O ležia na priamke kolmej na rovinu α, a body Oh, V, S a D ležia v rovine α (obr. 3). Ktorý z nasledujúcich uhlov je správny: ?

Riešenie

Zoberme si uhol. Rovno JSC je kolmá na rovinu α, a teda na priamku JSC je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v rovine α vrátane priamky IN. Znamená, .

Zoberme si uhol. Rovno JSC kolmo na čiaru OS, znamená, .

Zoberme si uhol. Rovno JSC kolmo na čiaru OD, znamená, . Zvážte trojuholník DAO. Trojuholník môže mať iba jeden pravý uhol. Takže uhol PRIEHRADA- nie je priamy.

Zoberme si uhol. Rovno JSC kolmo na čiaru OD, znamená, .

Zoberme si uhol. Toto je uhol v pravouhlom trojuholníku BMO, nemôže byť rovný, keďže uhol MoU- rovný.

Odpoveď: .

V trojuholníku ABC dané: , AU= 6 cm, slnko= 8 cm, CM- medián (obr. 4). Cez vrchol OD priamy SC kolmá na rovinu trojuholníka ABC, a SC= 12 cm Nájdite KM.

Riešenie:

Poďme nájsť dĺžku AB podľa Pytagorovej vety: (cm).

Podľa majetku správny trojuholník stred prepony M v rovnakej vzdialenosti od vrcholov trojuholníka. Teda SM = AM = VM, (cm).

Zvážte trojuholník KSM. Rovno KS kolmo na rovinu ABC, čo znamená KS kolmý CM. Takže trojuholník KSM- pravouhlý. Nájdite preponu KM z Pytagorovej vety: (pozri).

1. Geometria. 10. – 11. ročník: učebnica pre žiakov vzdelávacie inštitúcie(základ a úrovne profilu) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opravené a doplnené - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: ill.

Úlohy 1, 2, 5, 6 strana 57

2. Definujte kolmosť priamky a roviny.

3. Určte dvojicu v kocke - hranu a plochu, ktoré sú kolmé.

4. Bod Komu leží mimo roviny rovnoramenného trojuholníka ABC a rovnako vzdialené od bodov AT a OD. M- stred základne slnko. Dokážte, že linka slnko kolmo na rovinu AKM.

TEXTOVÉ VYSVETLENIE LEKCIE:

Inžinier trávi veľa času vývojom dizajnu zariadenia. Zmena a úprava dizajnu zariadenia. Prečo má napríklad ventilátor do domácnosti takýto tvar? Konštrukcia musí byť taká, aby ventilátor počas prevádzky nespadol a stál pevne kolmo k podlahe. Dizajn tohto domáceho spotrebiča je možné preniesť na výkres.

Podlahu nahradíme rovinou α, tyč ventilátora nakreslíme priamkou a a montážne nohy nakreslíme priamkou b a c.

Predpokladajme, že ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v rovine, potom je kolmá na túto rovinu.

Dokážme predpoklad.

Uvažujme našu priamku a, ktorá bude kolmá na pretínajúce sa priamky b a c ležiace v rovine α. Priesečník priamok označme ako bod M.

Dokážme, že priamka a je kolmá na rovinu α.

Keďže vieme, že priamka je kolmá na rovinu, ak je kolmá na ľubovoľnú priamku ležiacu v tejto rovine, musíme dokázať, že priamka a je kolmá na ľubovoľnú priamku x.

Aby sme to dokázali, zostrojíme dodatočne priamku y rovnobežnú s priamkou x a prechádzajúcu bodom M.

Okrem toho na priamke a označíme body M1 a M2 tak, že bod M je stredom úsečky M1M2.

Nakreslíme tiež priamku v rovine pretínajúcej priamky b, c, y v body B, C, Y resp.

Získané body spojíme s koncami segmentu M1M2. Keďže priamky b a c sú kolmé na priamku a a prechádzajú stredom úsečky M1M2, možno ich nazvať kolmice na úsečku M1M2. Potom sú body B a C rovnako vzdialené od koncov segmentu, to znamená, že segment M1B sa rovná segmentu VM2 a segment M1C sa rovná segmentu CM2.

Trojuholník VM1M sa na troch stranách rovná trojuholníku VM2M. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že uhol M1BY sa rovná uhlu.

Potom sa trojuholníky M1BY rovnajú trojuholníku M2BY na dvoch stranách a uhlu medzi nimi. Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva rovnosť úsečiek M1Y a M2Y.

To znamená, že trojuholník M1YM2 je rovnoramenný so základňou M1M2 a úsečka YM je jeho mediánom a podľa vlastnosti mediánu rovnoramenného trojuholníka nakresleného na základňu trojuholníka je úsečka YM výška, čo znamená, že priamky y a a obsahujúce tieto segmenty možno považovať za kolmé.

Priamka y je kolmá na priamku a a rovnobežná s priamkou x. Z lemy o kolmosti dvoch rovnobežných priamok na tretiu priamku vyplýva, že priamka x je kolmá aj na priamku a.

Čiara a je kolmá na ľubovoľnú priamku x, čo znamená, že je kolmá na rovinu α.

Ale v tejto vete je možný ešte jeden prípad umiestnenia priamky a, čo naša konfigurácia výkresu nepreukazuje. Keď priamka a neprechádza priesečníkom priamok b a c.

Dokážme túto možnosť.

V tomto prípade nakreslíme priamku a1 rovnobežnú s priamkou a a prechádzajúcu bodom M.

Je dôležité si zapamätať vetu študovanú v predchádzajúcej lekcii:

ak je jedna z dvoch rovnobežných priamok kolmá na rovinu, potom druhá priamka je tiež kolmá na túto rovinu.

Keďže priamka a je kolmá na priamky b a c a rovnobežná s priamkou a1, potom podľa lemy bude aj priamka a1 kolmá na priamky b a c.

Pri tomto usporiadaní priamok sme už dokázali, že priamka je kolmá na rovinu.

Ale ak je potom priamka a1 kolmá na rovinu a rovnobežná s priamkou a, potom podľa vety 1 je priamka a kolmá na rovinu α.

Táto veta umožňuje dokázať kolmosť priamky k rovine tým, že naznačí kolmosť iba dvoch pretínajúcich sa priamok ležiacich v tejto rovine a nie akejkoľvek priamky. V geometrii sa toto tvrdenie nazýva znakom kolmosti priamky a roviny.

Zvážte použitie znamienka kolmosti priamky a roviny.

Je daný trojuholník ABC so súčtom uhlov A a B rovným 90 stupňom. Čiara BD je vedená kolmo na rovinu trojuholníka ABC.

Priamka CD leží v rovine trojuholníka BC.

Trojuholník ABC je pravouhlý, pretože uhol DAB sa rovná rozdielu 180 stupňov a súčtu uhlov A a B. Čiara AC je teda kolmá na priamku BC.

Podľa podmienky je priamka BD kolmá na rovinu ABC, teda je kolmá na priamku AC.

Potom je priamka AC kolmá na dve pretínajúce sa priamky BC a BD ležiace v rovine trojuholníka BCD, čo znamená, že AC je kolmá na rovinu BCD a kolmá na priamku CD ležiacu v tejto rovine.

Zvážte ďalší príklad riešenia problému.

Sú dané dva štvorce ABCD a ABEF, ktoré sú usporiadané tak, že strana AD AF.

Keďže ABEF je štvorec, čiara AB je kolmá na stranu AF.

Potom na základe kolmosti priamky a roviny AF na rovinu štvorca ABCD a priamku BC ležiacu v tejto rovine.

Podľa definície štvorca ABCD je strana BC kolmá na priamku AB, ale priamka AB je rovnobežná s priamkou FE k rovine ABEF, preto podľa lemy na rovnobežných priamkach kolmých na tretiu priamku, priamku FE je kolmá na priamku BC.

Čiara BC je teda kolmá na pretínajúce sa priamky AF a FE ležiace v rovine AEF, čo teda podľa znamienka kolmosti priamky k rovine znamená, že priamka BC je kolmá na rovinu AEF.

V budúcnosti sa pomocou tejto vlastnosti dokáže niekoľko hlavných teorémov o kolmosti priamok a rovín v priestore.

Je jasné, že nie je možné skontrolovať kolmosť priamky a roviny priamo pomocou definície

tohto pojmu: veď sa zaoberá kolmosťou nekonečnej množiny párov priamok. Ukazuje sa však, že na to stačí určiť kolmosť iba dvoch párov čiar. Toto hovorí ďalšia veta.

Veta 2. Priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v danej rovine je kolmá na túto rovinu.

Vysvetlenie: Tu je príklad: otvorte knihu a položte ju na stôl (obrázok 2.14).

Chrbát knihy je kolmý na okraje obalu ležiaceho na stole, a tým aj na samotný stôl. Ďalší príklad. Pri zvislom postavení stožiara ho stačí urobiť tak, aby bol kolmý na dve priame čiary pretiahnuté jeho základňou na palube alebo na zemi. A to sa dá urobiť vytiahnutím dvoch párov kotevných drôtov rovnakej dĺžky z jedného bodu sťažňa a ich upevnením v rovnakej vzdialenosti od základne sťažňa na každej z dvoch priamych línií (obr. 2.15). Dôkaz znamienka kolmosti priamky a roviny je založený na tejto skutočnej konštrukcii.

Nech priamka a pretína rovinu a v bode O a je kolmá na dve priamky b a C prechádzajúce v rovine a bodom O. Je potrebné dokázať, že priamka a je kolmá na ľubovoľnú priamku prechádzajúcu bodom O. v lietadle a. Vezmite akúkoľvek takúto priamku d inú ako b a C (obrázok 2.16).

Vyberme si na priamkach b a C pozdĺž bodu B a C tak, aby úsečka BC pretínala úsečku d v nejakom bode D. Zoberme body a C, EC tak, aby bod O bol stredom úsečiek, t.j. symetricky k bodom B a C vzhľadom na bod O v rovine a. Potom úsečka ВХСХ, ktorá je symetrická vzhľadom na O k úsečke BC, pretína priamku d v bode symetrickom k bodu D vzhľadom na O (dokážte to!).

Vďaka symetrii bodov k bodom B, C, D máme rovnosť

Teraz zoberme ľubovoľný bod na priamke a a spojíme ho s úsečkami AB, AC, AD as bodmi Od a potom je a je kolmica na úsečku. Preto . Podobne. Keďže navyše , t.j. . Okrem týchto rovnaké uhly, v trojuholníkoch ABD a máme a . Ale potom a