kvantový systém

Na vysvetlenie mnohých vlastností mikročastíc (fotónov, elektrónov atď.) sú potrebné špeciálne zákony a prístupy kvantovej mechaniky. Kvantové vlastnosti mikrokozmu sa prejavujú prostredníctvom vlastností makrosystémov. Mikroobjekty tvoria určitý fyzikálny systém, ktorý sa nazýva kvantový. Príklady kvantových systémov sú: fotónový plyn, elektróny v kovoch. Za podmienok kvantový systém, kvantová častica treba rozumieť hmotnému objektu, ktorý je opísaný pomocou špeciálneho aparátu kvantovej mechaniky.

Kvantová mechanika skúma vlastnosti a javy sveta mikročastíc, ktoré nie je možné interpretovať klasickou mechanikou. Takýmito vlastnosťami sú napríklad: vlnovo-časticová dualita, diskrétnosť, existencia spinov. Metódy klasickej mechaniky nedokážu opísať správanie častíc mikrosveta. Súčasné vlnové a korpuskulárne vlastnosti mikročastice znemožňujú určiť stav častice z klasického hľadiska.

Táto skutočnosť sa odráža v Heisenbergovom vzťahu neurčitosti (1925 $):

kde $\trojuholník x$ je nepresnosť pri určení súradnice, $\trojuholník p$ je chyba pri určení hybnosti mikročastice. Tento pomer možno zapísať ako:

kde $\trojuholník E$ je energetická neistota, $\trojuholník t$ je časová neistota. Vzťahy (1) a (2) naznačujú, že ak je jedna z veličín v týchto vzťahoch určená s vysokou presnosťou, potom druhý parameter má veľkú chybu v určení. V týchto pomeroch $\hbar =1,05\cdot (10)^(-34)J\cdot s$. Stav mikročastice v kvantovej mechanike teda nemožno opísať pomocou súradníc a hybnosti súčasne, čo je možné v klasickej mechaniky. Podobná situácia platí aj pre energetiku v danom čase. Stavy s konkrétnou energetickou hodnotou je možné získať len v stacionárnych prípadoch (teda v prípadoch, ktoré nemajú presné časové vymedzenie).

Mikročastica, ktorá má korpuskulárne a zároveň vlnové vlastnosti, nemá presnú súradnicu, ale je „rozmazaná“ v určitej oblasti priestoru. Ak sú v určitej oblasti priestoru prítomné dve alebo viac častíc, nie je možné ich od seba rozlíšiť, pretože nie je možné sledovať pohyb každej z nich. Z vyššie uvedeného vyplýva identita častíc v kvantovej mechanike.

Niektoré parametre súvisiace s mikročasticami nadobúdajú diskrétne hodnoty, ktoré nemožno vysvetliť klasickou mechanikou. V súlade s ustanoveniami a zákonmi kvantovej mechaniky môže byť okrem energie systému aj uhlová hybnosť systému diskrétna:

kde $l=0,1,2,\bodky$

spin môže nadobudnúť nasledujúce hodnoty:

kde $s=0,\ \frac(1)(2),\ 1,\ \frac(3)(2),\bodky $

Projekcia magnetický moment v smere vonkajšieho poľa nadobúda tieto hodnoty:

kde $m_z$ je magnetické kvantové číslo, ktoré nadobúda hodnoty: $2s+1: s, s-1,...0,...,-(s-1), -s.$

$(\mu )_B$ je Bohrov magnetón.

Pre účely matematického popisu kvantových vlastností fyzikálnych veličín je každej veličine priradený operátor. Takže v kvantovej mechanike sú fyzikálne veličiny reprezentované operátormi, zatiaľ čo ich hodnoty sú určené priemermi vlastných hodnôt operátorov.

Stav kvantového systému

Akýkoľvek stav v kvantovom systéme je opísaný vlnovou funkciou. Avšak danú funkciu predpovedá parametre budúceho stavu systému s istou mierou pravdepodobnosti a nie spoľahlivo, to je zásadný rozdiel oproti klasickej mechanike. Pre parametre systému teda vlnová funkcia určuje pravdepodobnostné hodnoty. Takáto neistota, nepresnosť predpovedí vyvolala medzi vedcami predovšetkým polemiku.

Merané parametre kvantového systému

Najglobálnejšie rozdiely medzi klasickou a kvantovou mechanikou spočívajú v úlohe merania parametrov skúmaného kvantového systému. Problém meraní v kvantovej mechanike spočíva v tom, že pri pokuse zmerať parametre mikrosystému výskumník pôsobí na systém makro zariadením, ktoré mení stav samotného kvantového systému. Takže pri pokuse o presné meranie parametra mikroobjektu (súradnica, hybnosť, energia) sa stretávame s tým, že samotný proces merania mení parametre, ktoré sa snažíme merať, a to výrazne. V mikrokozme nie je možné robiť presné merania. Vždy budú existovať chyby v súlade s princípom neistoty.

V kvantovej mechanike dynamické premenné predstavujú operátory, takže nemá zmysel hovoriť o číselných hodnotách, pretože operátor určuje pôsobenie na stavový vektor. Výsledok je reprezentovaný tiež Hilbertovým priestorovým vektorom, nie číslom.

Poznámka 1

Iba ak je stavový vektor vlastným vektorom operátora dynamickej premennej, potom jeho pôsobenie na vektor možno zredukovať na násobenie číslom bez zmeny stavu. V takom prípade môže byť operátor dynamickej premennej mapovaný na jedno číslo, ktoré sa rovná vlastnej hodnote operátora. V tomto prípade môžeme predpokladať, že dynamická premenná má určitú číselnú hodnotu. Potom má dynamická premenná kvantitatívnu hodnotu nezávislú od merania.

V prípade, že stavový vektor nie je vlastným vektorom operátora dynamickej premennej, potom sa výsledok merania nestane jednoznačným a hovorí sa len o pravdepodobnosti tej či onej hodnoty získanej pri meraní.

Výsledky teórie, ktoré sú empiricky overiteľné, sú pravdepodobnosti získania dynamickej premennej v dimenzii s veľkým počtom dimenzií pre rovnaký stavový vektor.

Hlavnou charakteristikou kvantového systému je vlnová funkcia, ktorú zaviedol M. Born. fyzický význam najčastejšie sa určuje nie pre vlnovú funkciu samotnú, ale pre druhú mocninu jej modulu, ktorý určuje pravdepodobnosť, že kvantový systém sa v danom časovom bode nachádza v danom bode priestoru. Základom mikrosveta je pravdepodobnosť. Okrem znalosti vlnovej funkcie si popis kvantového systému vyžaduje informácie o ďalších parametroch, napríklad o parametroch poľa, s ktorým systém interaguje.

Procesy, ktoré prebiehajú v mikrokozme, ležia za hranicami ľudského zmyslového vnímania. V dôsledku toho koncepty a javy, ktoré kvantová mechanika používa, postrádajú vizualizáciu.

Príklad 1

Cvičenie: Aká je minimálna chyba, s ktorou je možné určiť rýchlosť elektrónu a protónu, ak sú súradnice častíc známe s neistotou $1$ µm.

Riešenie:

Ako základ pre riešenie problému používame Heisenbergov vzťah neurčitosti v tvare:

\[\trojuholník p_x\trojuholník x\ge \hbar \left(1.1\right),\]

kde $\trojuholník x$ je neistota súradnice, $\trojuholník p_x$ je neistota projekcie hybnosti častice na os X. Veľkosť neistoty hybnosti môže byť vyjadrená ako:

\[\trojuholník p_x=m\trojuholník v_x\vľavo(1,2\vpravo).\]

Náhradník pravá strana výraz (1.2) namiesto neistoty projekcie hybnosti vo výraze (1.1) máme:

Zo vzorca (1.3) vyjadríme požadovanú neistotu rýchlosti:

\[\trojuholník v_x\ge \frac(\hbar )(m\trojuholník x)\vľavo(1,4\vpravo).\]

Z nerovnosti (1.4) vyplýva, že minimálna chyba pri určovaní rýchlosti častice je:

\[\trojuholník v_x=\frac(\hbar )(m\trojuholník x).\]

Keď poznáme hmotnosť elektrónu $m_e=9,1\cdot (10)^(-31)kg,$, vykonáme výpočty:

\[\triangle v_(ex)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(9,1\cdot (10)^(-31)\cdot (10)^(-6) )=1,1\cbodka (10)^2(\frac(m)(c)).\]

hmotnosť protónu sa rovná $m_p=1,67\cdot (10)^(-27)kg$, vypočítame chybu merania rýchlosti protónu za daných podmienok:

\[\triangle v_(px)=\frac(1,05\cdot (10)^(-34))(1,67\cdot (10)^(-27)\cdot (10)^(-6) )=0,628\ cdot (10)^(-1)(\frac(m)(s)).\]

odpoveď:$\triangle v_(ex)=1,1\cdot (10)^2\frac(m)(s), $ $\triangle v_(px)=0,628\cdot (10)^(-1)\frac( m) (s).$

Príklad 2

Cvičenie: Aká je minimálna chyba merania kinetickej energie elektrónu, ak sa nachádza v oblasti, ktorej veľkosť je l.

Riešenie:

Ako základ pre riešenie problému používame Heisenbergov vzťah neurčitosti v tvare:

\[\triangle p_xl\ge \hbar \to \trojuholník p_x\ge \frac(\hbar )(l)\left(2.1\right).\]

Z nerovnosti (2.1) vyplýva, že minimálna chyba hybnosti sa rovná:

\[\triangle p_x=\frac(\hbar )(l)\vľavo(2,2\vpravo).\]

Chybu kinetickej energie možno vyjadriť ako:

\[\triangle E_k=\frac((\left(\trojuholník p_x\right))^2)(2m)=\frac((\left(\hbar \right))^2)((\left(l\ vpravo))^22\cdot m_e).\]

odpoveď:$\triangle E_k=\frac((\left(\hbar \right))^2)((\left(l\right))^22\cdot m_e).$

Kabardin O.F. Jadrové spektrá // Kvant. - 1987. - č. 3. - S. 42-43.

Po osobitnej dohode s redakčnou radou a redakciou časopisu "Kvant"

Ako viete, atómové jadrá pozostávajú z nukleónov - protónov a neutrónov, medzi ktorými pôsobia jadrové sily príťažlivosti a Coulombove odpudivé sily. Čo sa môže stať s jadrom, keď sa zrazí s iným jadrom, časticou alebo gama žiarením? Experimenty E. Rutherforda uskutočnené v roku 1919 napríklad ukázali, že vplyvom alfa častice môže byť z jadra vyrazený protón. V experimentoch vykonaných D. Chadwickom v roku 1932 sa zistilo, že častice alfa môžu tiež vyradiť neutróny z atómových jadier („Fyzika 10“, § 106). Končí sa však proces kolízie vždy takto? Nemôže atómové jadro absorbovať energiu prijatú pri zrážke a prerozdeliť ju medzi svoje základné nukleóny, čím zmení svoju vnútornú energiu? Čo bude s takýmto jadrom ďalej?

Odpovede na tieto otázky poskytli priame experimenty pri štúdiu interakcie protónov s atómovými jadrami. Ich výsledky sú veľmi podobné výsledkom experimentov Franka a Hertza o štúdiu zrážok elektrónov s atómami ("Fyzika 10", § 96). Ukazuje sa, že pri postupnom zvyšovaní energie protónov sa pozorujú najskôr len elastické zrážky s atómovými jadrami, kinetická energia sa nepremieňa na iné druhy energie, ale iba sa prerozdeľuje medzi protón a atómové jadro ako jedna častica. Od určitej hodnoty energie protónov však môže dochádzať aj k nepružným zrážkam, pri ktorých je protón pohltený jadrom a úplne mu odovzdá svoju energiu. Jadro každého izotopu je charakterizované presne definovaným súborom „častí“ energie, ktoré môže prijať.

Transformácia jadra dusíka so záchytom častice alfa a emisiou protónu.

Tieto experimenty dokazujú, že jadrá majú diskrétne spektrá možných energetických stavov. Kvantovanie energie a množstvo ďalších parametrov je teda vlastnosťou nielen atómov, ale aj atómových jadier. Štát atómové jadro s minimálnym množstvom energie sa nazýva zem, alebo normálne, stavy s prebytkom energie (v porovnaní so základným stavom) sa nazývajú excitované.

Atómy sú zvyčajne v excitovaných stavoch asi 10 -8 sekúnd a excitované atómové jadrá sa zbavia prebytočnej energie za oveľa kratší čas - asi 10 -15 - 10 -16 sekúnd. Rovnako ako atómy, aj excitované jadrá sa uvoľňujú z prebytočnej energie vyžarovaním kvanta elektromagnetického žiarenia. Tieto kvantá sa nazývajú gama kvantá (alebo gama lúče). Samostatný súbor energetických stavov atómového jadra zodpovedá diskrétnemu spektru frekvencií, ktoré emitujú gama lúče. Gama lúče sú priečne elektromagnetické vlny, rovnako ako rádiové vlny, viditeľné svetlo alebo röntgenové lúče. Sú to najkratšie známe typy elektromagnetického žiarenia a ich zodpovedajúce vlnové dĺžky sa pohybujú od približne 10 -11 m do 10 -13 m.

Energetické stavy atómových jadier a prechody jadier z jedného stavu do druhého s absorpciou alebo emisiou energie sa zvyčajne opisujú pomocou energetických diagramov podobných energetickým diagramom atómov („Fyzika 10“, § 94). Na obrázku je znázornený energetický diagram jadra izotopu železa - \(~^(58)_(26)Fe\), získaný na základe experimentov s protónovým bombardovaním. Všimnite si, že zatiaľ čo energetické diagramy atómov a jadier sú kvalitatívne podobné, existujú medzi nimi významné kvantitatívne rozdiely. Ak prechod atómu zo základného stavu do excitovaného vyžaduje energiu niekoľkých elektrónvoltov, potom excitácia atómového jadra vyžaduje energiu rádovo stoviek tisíc alebo miliónov elektrónvoltov. Tento rozdiel je spôsobený tým, že jadrové sily pôsobiace medzi nukleónmi v jadre do značnej miery prevyšujú sily coulombovskej interakcie elektrónov s jadrom.

Diagram energetickej hladiny jadra izotopu železa.

Schopnosť atómových jadier spontánne prejsť zo stavov s veľkou zásobou energie do stavu s menšou energiou vysvetľuje vznik nielen gama žiarenia, ale aj rádioaktívneho rozpadu jadier.

Mnohé vzory v jadrových spektrách možno vysvetliť pomocou takzvaného plášťového modelu štruktúry atómového jadra. Podľa tohto modelu nie sú nukleóny v jadre zmiešané v neusporiadanosti, ale podobne ako elektróny v atóme sú usporiadané vo viazaných skupinách, ktoré vypĺňajú povolené jadrové obaly. V tomto prípade sú protónové a neutrónové obaly naplnené nezávisle od seba. Maximálny počet neutrónov: 2, 8, 20, 28, 40, 50, 82, 126 a protónov: 2, 8, 20, 28, 50, 82 v naplnených obaloch sa nazýva mágia. Jadrá s magickými číslami protónov a neutrónov majú mnoho pozoruhodných vlastností: zvýšenú hodnotu špecifickej väzbovej energie, nižšiu pravdepodobnosť vstupu do jadrovej interakcie, odolnosť proti rádioaktívny rozpad atď.

Prechod jadra zo základného do excitovaného stavu a jeho návrat do základného stavu sa z pohľadu modelu obalu vysvetľuje prechodom nukleónu z jedného obalu do druhého a späť.

S veľkým množstvom výhod, obalový model jadra nie je schopný vysvetliť vlastnosti všetkých jadier v rôzne druhy interakcie. V mnohých prípadoch sa ako plodnejšia ukazuje koncepcia jadra ako kvapky jadrovej kvapaliny, v ktorej sú nukleóny viazané jadrovými silami, Coulombovými silami a silami povrchového napätia. Existujú aj iné modely, ale žiadny z navrhovaných nemožno považovať za univerzálny.

Energetické úrovne (atómové, molekulárne, jadrové)

1. Charakteristika stavu kvantového systému
2. Energetické hladiny atómov
3. Energetické hladiny molekúl
4. Energetické hladiny jadier

Charakteristika stavu kvantového systému

Jadrom vysvetlenia sv v atómoch, molekulách a atómových jadrách, t.j. javy vyskytujúce sa v objemových prvkoch s lineárnymi mierkami 10 -6 -10 -13 cm leží kvantová mechanika. Podľa kvantovej mechaniky je každý kvantový systém (tj systém mikročastíc, ktorý sa riadi kvantovými zákonmi) charakterizovaný určitým súborom stavov. Vo všeobecnosti môže byť táto množina stavov buď diskrétna (diskrétne spektrum stavov) alebo spojitá (spojité spektrum stavov). Charakteristika stavu izolovanej sústavy yavl. vnútorná energia systému (všade dole, len energia), celkový moment hybnosti (MKD) a parita.

Energia systému.
Kvantový systém, ktorý je vo všeobecnosti v rôznych stavoch, má rôzne energie. Energia viazaného systému môže mať akúkoľvek hodnotu. Tento súbor možných energetických hodnôt sa nazýva. diskrétne energetické spektrum a energia je údajne kvantovaná. Príkladom môže byť energia. spektrum atómu (pozri nižšie). Neviazaný systém interagujúcich častíc má spojité energetické spektrum a energia môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Príkladom takéhoto systému je voľný elektrón (E) v Coulombovom poli atómového jadra. Spojité energetické spektrum môže byť reprezentované ako množina nekonečna Vysoké číslo diskrétne stavy, medzi to-rymi energ. medzery sú nekonečne malé.

Stav, to-rum zodpovedá najnižšej možnej energii pre daný systém, tzv. základné: všetky ostatné štáty sú tzv. vzrušený. Často je vhodné použiť podmienenú škálu energie, v ktorej je energia základná. stav sa považuje za východiskový bod, t.j. spolieha nula(v tejto podmienenej škále je energia všade pod písmenom označená E). Ak je systém v stave n(a index n=1 je priradené k hlavnej. štát), má energiu E n, potom sa hovorí, že systém je na energetickej úrovni E n. číslo n, číslovanie U.e., tzv. kvantové číslo. Vo všeobecnom prípade každý U.e. možno charakterizovať nie jedným kvantovým číslom, ale ich kombináciou; potom index n znamená súhrn týchto kvantových čísel.

Ak štáty n 1, n 2, n 3,..., nk zodpovedá rovnakej energii, t.j. jeden U.e., potom sa táto úroveň nazýva degenerovaná a číslo k- mnohopočetnosť degenerácie.

Pri akýchkoľvek premenách uzavretého systému (ako aj systému v konštantnom vonkajšom poli) zostáva jeho celková energia, energia, nezmenená. Preto energia označuje tzv. zachované hodnoty. Zákon zachovania energie vyplýva z homogenity času.

Celkový moment hybnosti.
Táto hodnota je yavl. vektor a získa sa pridaním MCD všetkých častíc v systéme. Každá častica má oboje svoje MCD - spin a orbitálny moment v dôsledku pohybu častice vzhľadom k spoločnému ťažisku systému. Kvantovanie MCD vedie k tomu, že jeho abs. rozsah J nadobúda presne definované hodnoty: , kde j- kvantové číslo, ktoré môže nadobudnúť nezáporné celé číslo a polovičné celočíselné hodnoty (kvantové číslo orbitálneho MCD je vždy celé číslo). Projekcia MKD na c.-l. názov osi magn. kvantové číslo a môže vziať 2j+1 hodnoty: m j = j, j-1,...,-j. Ak k.-l. moment J yavl. súčet dvoch ďalších momentov, potom podľa pravidiel na sčítanie momentov v kvantovej mechanike kvantové číslo j môže nadobudnúť nasledujúce hodnoty: j=|j 1 -j 2 |, |j 1 -j 2 -1|, ...., |j 1 +j 2 -1|, j 1 +j 2, a. Podobne aj sumár viac momenty. Pre stručnosť je zvykom hovoriť o systéme MCD j, naznačujúci moment, abs. ktorého hodnota je ; o magn. O kvantovom čísle sa jednoducho hovorí ako o projekcii hybnosti.

Pri rôznych transformáciách systému v stredovo symetrickom poli sa celkový MCD zachová, t.j. ako energia je zachovaná veličina. Zákon zachovania MKD vyplýva z izotropie priestoru. V osovo symetrickom poli je zachovaný len priemet celého MCD na os symetrie.

Štátna parita.
V kvantovej mechanike sa stavy systému opisujú tzv. vlnové funkcie. Parita charakterizuje zmenu vlnovej funkcie systému počas prevádzky priestorovej inverzie, t.j. zmena znamienok súradníc všetkých častíc. Pri takejto operácii sa energia nemení, pričom vlnová funkcia môže buď zostať nezmenená (párny stav), alebo zmeniť svoje znamienko na opačné (nepárny stav). Parita P nadobúda dve hodnoty, resp. Ak v systéme fungujú jadrové alebo el.-magnety. síl sa zachováva parita pri atómových, molekulárnych a jadrových premenách, t.j. toto množstvo platí aj pre konzervované množstvá. Zákon zachovania parity yavl. dôsledok symetrie priestoru vzhľadom na zrkadlové odrazy a je porušený v tých procesoch, v ktorých sú zapojené slabé interakcie.

Kvantové prechody
- prechody systému z jedného kvantového stavu do druhého. Takéto prechody môžu viesť k zmene energie. stav systému a jeho kvality. zmeny. Sú to viazané, voľne viazané, voľné voľné prechody (pozri Interakcia žiarenia s hmotou), napríklad excitácia, deaktivácia, ionizácia, disociácia, rekombinácia. Je to tiež chem. a jadrové reakcie. Prechody môžu nastať pod vplyvom žiarenia - radiačné (alebo radiačné) prechody, alebo pri zrážke daného systému s c.-l. iný systém alebo častica - nežiarivé prechody. Dôležitá charakteristika kvantového prechodu yavl. jeho pravdepodobnosť v jednotkách. čas s uvedením toho, ako často sa tento prechod uskutoční. Táto hodnota sa meria v s -1 . Pravdepodobnosti žiarenia. prechody medzi úrovňami m a n (m>n) s emisiou alebo absorpciou fotónu, ktorého energia sa rovná, sú určené koeficientom. Einstein A mn, B mn a B nm. Prechod úrovne m na úroveň n sa môže vyskytnúť spontánne. Pravdepodobnosť vyžarovania fotónu Bmn v tomto prípade sa rovná Amn. Typové prechody pôsobením žiarenia (indukované prechody) sú charakterizované pravdepodobnosťou emisie fotónu a absorpcie fotónu, kde je hustota energie žiarenia s frekvenciou.

Možnosť implementácie kvantového prechodu z daného R.e. na k.-l. ďalšie w.e. znamená, že charakteristika porov. čas, počas ktorého môže byť systém samozrejme na tomto UE. Je definovaná ako prevrátená hodnota celkovej pravdepodobnosti rozpadu danej úrovne, t.j. súčet pravdepodobností všetkých možných prechodov z uvažovanej úrovne do všetkých ostatných. Pre žiarenie prechodov, celková pravdepodobnosť je , a . Konečnosť času podľa vzťahu neurčitosti znamená, že energiu hladiny nemožno určiť absolútne presne, t.j. U.e. má určitú šírku. Preto emisia alebo absorpcia fotónov počas kvantového prechodu nenastáva pri presne definovanej frekvencii , ale v určitom frekvenčnom intervale ležiacom v blízkosti hodnoty . Rozloženie intenzity v rámci tohto intervalu je dané profilom spektrálnej čiary, ktorý určuje pravdepodobnosť, že frekvencia fotónu emitovaného alebo absorbovaného v danom prechode je rovná:
(1)
kde je polovičná šírka profilu čiary. Ak rozšírenie W.e. a spektrálne čiary sú spôsobené len spontánnymi prechodmi, vtedy sa takémuto rozšíreniu hovorí. prirodzené. Ak pri rozšírení zohrávajú určitú úlohu zrážky sústavy s inými časticami, potom má rozšírenie kombinovaný charakter a veličinu je potrebné nahradiť súčtom , kde sa počíta podobne ako , ale radiát. pravdepodobnosti prechodu by sa mali nahradiť pravdepodobnosťami kolízií.

Prechody v kvantových systémoch sa riadia určitými selekčnými pravidlami, t.j. pravidlá, ktoré stanovujú, ako sa kvantové čísla charakterizujúce stav systému (MKD, parita atď.) môžu meniť počas prechodu. Najjednoduchšie pravidlá výberu sú formulované pre žiariče. prechody. V tomto prípade sú určené vlastnosťami počiatočného a konečného stavu, ako aj kvantovými charakteristikami emitovaného alebo absorbovaného fotónu, najmä jeho MCD a parity. Takzvaný. elektrické dipólové prechody. Tieto prechody sa uskutočňujú medzi úrovňami opačnej parity, kompletný MCD na rykh sa líši o množstvo (prechod nie je možný). V rámci súčasnej terminológie sa tieto prechody nazývajú. povolenej. Všetky ostatné typy prechodov (magnetický dipól, elektrický kvadrupól a pod.) sú tzv. zakázané. Význam tohto termínu je len v tom, že ich pravdepodobnosti sú oveľa menšie ako pravdepodobnosti elektrických dipólových prechodov. Nie sú však yavl. absolútne zakázané.

Kvantové systémy a ich vlastnosti.

Rozloženie pravdepodobnosti cez energie v priestore.

Štatistika bozónov. Fermiho-Einsteinovo rozdelenie.

štatistiky fermionov. Fermi-Diracovo rozdelenie.

Kvantové systémy a ich vlastnosti

V klasickej štatistike sa predpokladá, že častice, ktoré tvoria systém, sa riadia zákonmi klasickej mechaniky. No pri mnohých javoch je pri popise mikroobjektov potrebné použiť kvantovú mechaniku. Ak sa systém skladá z častíc, ktoré sa riadia kvantovou mechanikou, potom ho budeme nazývať kvantový systém.

Medzi základné rozdiely medzi klasickým a kvantovým systémom patria:

1) Korpuskulárno-vlnový dualizmus mikročastíc.

2) Diskrétnosť fyzikálnych veličín popisujúcich mikroobjekty.

3) Spinové vlastnosti mikročastíc.

Z prvého vyplýva nemožnosť presného určenia všetkých parametrov systému, ktoré z klasického hľadiska určujú jeho stav. Táto skutočnosť sa odráža v Heisandbergovom vzťahu neurčitosti:

Aby bolo možné matematicky opísať tieto vlastnosti mikroobjektov v kvantová fyzika, veličine je priradený lineárny hermitovský operátor , ktorý pôsobí na vlnovú funkciu .

Vlastné hodnoty operátor určiť možné číselné hodnoty tohto fyzikálne množstvo, priemer nad ktorým sa zhoduje s hodnotou samotnej veličiny.

Keďže hybnosť a koeficienty mikročastíc systému nemožno merať súčasne, vlnová funkcia je prezentovaná buď ako funkcia súradníc:

Alebo ako funkcia impulzov:

Druhá mocnina modulu vlnovej funkcie určuje pravdepodobnosť detekcie mikročastice na jednotku objemu:

Popis vlnovej funkcie špecifický systém, sa nachádza ako vlastná funkcia Hameltonovho operátora:

Stacionárna Schrödingerova rovnica.

Nestacionárna Schrödingerova rovnica.

V mikrosvete funguje princíp nerozoznateľnosti mikročastíc.

Ak vlnová funkcia spĺňa Schrödingerovu rovnicu, potom funkcia spĺňa aj túto rovnicu. Stav systému sa nezmení, keď sa vymenia 2 častice.

Nech je prvá častica v stave a a druhá častica v stave b.

Stav systému je opísaný takto:

Ak sú častice zamenené, potom: keďže pohyb častice by nemal ovplyvniť správanie systému.

Táto rovnica má 2 riešenia:

Ukázalo sa, že prvá funkcia je realizovaná pre častice s celočíselným spinom a druhá pre polovičné celé číslo.

V prvom prípade môžu byť 2 častice v rovnakom stave:

V druhom prípade:

Častice prvého typu sa nazývajú spinové celočíselné bozóny, častice druhého typu sa nazývajú femióny (platí pre ne Pauliho princíp.)

Fermióny: elektróny, protóny, neutróny...

Bosóny: fotóny, deuteróny...

Fermióny a bozóny sa riadia neklasickými štatistikami. Aby sme videli rozdiely, spočítajme počet možných stavov systému pozostávajúceho z dvoch častíc s rovnakou energiou na dvoch bunkách vo fázovom priestore.

1) Klasické častice sú rôzne. Je možné sledovať každú časticu samostatne.

klasické častice.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania veľkosti Celý komplex javov, ktorý sa zvyčajne chápe pod slovami „elektronické vlastnosti nízkorozmerných elektronických systémov“ je založený na zásadnom fyzikálnom fakte: zmene energetického spektra elektrónov a tzv. otvory v štruktúrach s veľmi malými rozmermi. Ukážme základnú myšlienku kvantovania veľkosti na príklade elektrónov vo veľmi tenkom kovovom alebo polovodičovom filme hrúbky a.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania Elektróny vo filme sú v potenciálovej jamke s hĺbkou rovnajúcou sa pracovnej funkcii. Hĺbku potenciálnej studne možno považovať za nekonečne veľkú, pretože pracovná funkcia presahuje o niekoľko rádov termálna energia dopravcov. Typické hodnoty pracovných funkcií vo väčšine pevné látky majú hodnotu W = 4 -5 e. B, o niekoľko rádov vyššia ako charakteristická tepelná energia nosičov, ktorá je rádovo k. T, rovná pri teplote miestnosti 0,026 e. C. Podľa zákonov kvantovej mechaniky je energia elektrónov v takejto jamke kvantovaná, t.j. môže nadobudnúť len niekoľko diskrétnych hodnôt En, kde n môže nadobúdať celočíselné hodnoty 1, 2, 3, …. Tieto diskrétne hodnoty energie sa nazývajú úrovne kvantovania veľkosti.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania Pre voľnú časticu s efektívnou hmotnosťou m*, ktorej pohyb v kryštáli v smere osi z obmedzujú nepreniknuteľné bariéry (t.j. bariéry s nekonečnou potenciálnou energiou), je energia tzv. základný stav sa zvyšuje v porovnaní so stavom bez obmedzenia Tento nárast energie sa nazýva kvantizačná energia veľkosti častice. Kvantovacia energia je dôsledkom princípu neurčitosti v kvantovej mechanike. Ak je častica priestorovo obmedzená pozdĺž osi z vo vzdialenosti a, neistota zložky z jej hybnosti sa zvýši o hodnotu rádovo ħ/a. Zodpovedajúcim spôsobom sa kinetická energia častice zvýši o hodnotu E 1. Preto sa uvažovaný efekt často nazýva efekt kvantovej veľkosti.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania veľkosti Záver o kvantovaní energie elektronického pohybu sa vzťahuje len na pohyb cez potenciálnu jamu (pozdĺž osi z). Potenciál studne neovplyvňuje pohyb v rovine xy (paralelne s hranicami filmu). V tejto rovine sa nosiče pohybujú ako voľné a sú charakterizované, ako v objemovej vzorke, spojitým energetickým spektrom kvadratickej hybnosti s efektívnou hmotnosťou. Celková energia nosičov vo filme s kvantovou jamkou má zmiešané diskrétne spojité spektrum

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania veľkosti Okrem zvýšenia minimálnej energie častice vedie efekt kvantovej veľkosti aj ku kvantovaniu energií jej excitovaných stavov. Energetické spektrum kvantovo-rozmerného filmu - hybnosť nosičov náboja v rovine filmu

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania veľkosti Nech elektróny v systéme majú energie menšie ako E 2 a preto patria do nižšej úrovne kvantovania veľkosti. Potom žiadny elastický proces (napríklad rozptyl nečistotami alebo akustickými fonónmi), ako aj rozptyl elektrónov medzi sebou, nemôže zmeniť kvantové číslo n prenosom elektrónu na vyššiu úroveň, pretože by to vyžadovalo dodatočné náklady na energiu. To znamená, že počas elastického rozptylu môžu elektróny meniť svoju hybnosť iba v rovine filmu, t.j. správajú sa ako čisto dvojrozmerné častice. Preto sa kvantovo-rozmerné štruktúry, v ktorých je vyplnená iba jedna kvantová úroveň, často nazývajú dvojrozmerné elektronické štruktúry.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania veľkosti Existujú aj ďalšie možné kvantové štruktúry, kde je pohyb nosičov obmedzený nie v jednom, ale v dvoch smeroch, ako v prípade mikroskopického drôtu alebo vlákna (kvantové vlákna alebo drôty). V tomto prípade sa nosiče môžu voľne pohybovať len jedným smerom, po závite (nazvime to os x). V priereze (rovina yz) je energia kvantovaná a nadobúda diskrétne hodnoty Emn (ako každý dvojrozmerný pohyb je opísaný dvoma kvantovými číslami m a n). Celé spektrum je tiež diskrétne spojité, ale iba s jedným súvislým stupňom voľnosti:

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Princíp kvantovania Taktiež je možné vytvárať kvantové štruktúry pripomínajúce umelé atómy, kde je pohyb nosičov obmedzený vo všetkých troch smeroch (kvantové bodky). V kvantových bodoch už energetické spektrum neobsahuje súvislú zložku, t.j. nepozostáva z čiastkových pásiem, ale je čisto diskrétne. Rovnako ako v atóme je opísaný tromi diskrétnymi kvantovými číslami (nepočítajúc spin) a možno ho zapísať ako E = Elmn a rovnako ako v atóme môžu byť energetické hladiny degenerované a závisia len od jedného alebo dvoch čísel. spoločný znak nízkorozmernými štruktúrami je skutočnosť, že ak je pohyb nosičov aspoň v jednom smere obmedzený na veľmi malú oblasť porovnateľnú veľkosťou s de Broglieho vlnovou dĺžkou nosičov, ich energetické spektrum sa výrazne zmení a stane sa čiastočne alebo úplne diskrétnym.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Definície Kvantové bodky - kvantové bodky - štruktúry, ktorých rozmery vo všetkých troch smeroch sú niekoľko medziatómových vzdialeností (nulové dimenzie). Kvantové drôty (vlákna) - kvantové drôty - štruktúry, ktorých rozmery v dvoch smeroch sa rovnajú niekoľkým medziatómovým vzdialenostiam av treťom - makroskopickej hodnote (jednorozmerné štruktúry). Kvantové studne - kvantové studne - štruktúry, ktorých veľkosť v jednom smere je niekoľko medziatómových vzdialeností (dvojrozmerné štruktúry).

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Minimálne a maximálne rozmery Spodná hranica kvantovania veľkosti je určená kritickou veľkosťou Dmin, pri ktorej existuje aspoň jedna elektronická úroveň v štruktúre kvantovej veľkosti. Dmin závisí od prerušenia vodivého pásu DEc v zodpovedajúcej heterojunkcii použitej na získanie štruktúr kvantovej veľkosti. V kvantovej studni existuje aspoň jedna elektronická hladina, ak DEc presiahne hodnotu h - Planckova konštanta, me* - efektívna hmotnosť elektrónu, DE 1 QW - prvá hladina v pravouhlej kvantovej studni s nekonečnými stenami.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Minimálne a maximálne rozmery Ak sa vzdialenosť medzi energetickými hladinami stane porovnateľnou s tepelnou energiou k. BT , potom sa populácia zvyšuje vysoké úrovne. Pre kvantovú bodku je podmienka, za ktorej je možné zanedbať populáciu vyšších úrovní, napísaná ako E 1 QD, E 2 QD sú energie prvej a druhej kvantizačnej úrovne. To znamená, že výhody kvantovania veľkosti možno plne realizovať, ak táto podmienka stanovuje horné limity pre kvantovanie veľkosti. Pre Ga. As-Alx. Ga 1-x. Keďže táto hodnota je 12 nm.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Dôležitou charakteristikou každého elektronického systému je popri jeho energetickom spektre hustota stavov g(E) (počet stavov na jednotkový energetický interval E) . Pre trojrozmerné kryštály sa hustota stavov určuje pomocou Born-Karmanových cyklických okrajových podmienok, z ktorých vyplýva, že zložky vektora elektrónových vĺn sa nemenia plynule, ale nadobúdajú množstvo diskrétnych hodnôt, tu ni = 0 , ± 1, ± 2, ± 3, a sú rozmery kryštálu (v tvare kocky so stranou L). Objem k-priestoru na jeden kvantový stav sa rovná (2)3/V, kde V = L 3 je objem kryštálu.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Počet elektronických stavov na objemový prvok dk = dkxdkydkz, vypočítaný na jednotku objemu, tu teda bude rovnaký, faktor 2 zohľadňuje dva možné spiny orientácií. Počet stavov na jednotku objemu v recipročnom priestore, t. j. hustota stavov) nezávisí od vlnového vektora Inými slovami, v recipročnom priestore sú povolené stavy rozdelené s konštantnou hustotou.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Vo všeobecnom prípade je prakticky nemožné vypočítať funkciu hustoty stavov vzhľadom na energiu, keďže izoenergetické povrchy môžu mať pomerne zložitý tvar. V najjednoduchšom prípade zákona izotropnej parabolickej disperzie, ktorý platí pre okraje energetických pásov, možno nájsť počet kvantových stavov na objem guľovej vrstvy uzavretej medzi dvoma blízkymi izoenergetickými povrchmi zodpovedajúcimi energiám E a E+d. E.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Objem guľovej vrstvy v k-priestore. dk je hrúbka vrstvy. Tento objem bude predstavovať d. N stavov Berúc do úvahy vzťah medzi E a k podľa parabolického zákona, dostaneme Hustota stavov v energii sa bude rovnať m * - efektívna hmotnosť elektrónu

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach V trojrozmerných kryštáloch s parabolickým energetickým spektrom sa teda so zvyšovaním energie úmerne zvýši hustota povolených energetických hladín (hustota stavov). na hustotu hladín vo vodivom pásme a vo valenčnom pásme. Plocha zatienených oblastí je úmerná počtu úrovní v energetickom intervale d. E

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKORMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Vypočítajme hustotu stavov pre dvojrozmerný systém. Celková nosná energia pre zákon izotropnej parabolickej disperzie vo filme s kvantovou jamkou, ako je uvedené vyššie, má zmiešané diskrétne spojité spektrum. V dvojrozmernom systéme sú stavy vodivostného elektrónu určené tromi číslami (n, kx , ky). Energetické spektrum je rozdelené na samostatné dvojrozmerné En subpásy zodpovedajúce pevným hodnotám n.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Krivky konštantnej energie predstavujú kruhy v recipročnom priestore. Každému diskrétnemu kvantovému číslu n zodpovedá absolútna hodnota z-ovej zložky vlnového vektora, preto je objem v recipročnom priestore ohraničený uzavretým povrchom danej energie E v prípade dvojrozmerného systému. rozdelené do niekoľkých sekcií.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKORMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Určme energetickú závislosť hustoty stavov pre dvojrozmerný systém. Aby sme to dosiahli, pre dané n nájdeme plochu S kruhu ohraničenú dvoma izoenergetickými plochami zodpovedajúcimi energiám E a E+d. E: Tu Hodnota dvojrozmerného vlnového vektora zodpovedajúceho danému n a E; dkr je šírka prsteňa. Keďže jeden stav v rovine (kxky) zodpovedá oblasti, kde L2 je plocha dvojrozmerného filmu hrúbky a, počet elektronických stavov v kruhu, vypočítaný na jednotku objemu kryštálu, bude rovnaké, berúc do úvahy spin elektrónov

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Keďže tu je energia zodpovedajúca spodnej časti n-tého subpásma. Hustota stavov v dvojrozmernom filme je teda taká, kde Q(Y) je jednotková Heavisideova funkcia, Q(Y) =1 pre Y≥ 0 a Q(Y) =0 pre Y

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v dvojrozmernom filme môže byť tiež reprezentovaná ako - celú časť rovná počtu subpásiem, ktorých dno je pod energiou E. Pre dvojrozmerné filmy so zákonom parabolickej disperzie je teda hustota stavov v akomkoľvek subpásme konštantná a nezávisí od energie. Každé subpásmo prispieva rovnakým dielom k celkovej hustote stavov. Pre pevnú hrúbku filmu sa hustota stavov mení náhle, keď sa nemení po jednote.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Závislosť hustoty stavov dvojrozmerného filmu od energie (a) a hrúbky a (b).

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Distribúcia kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach V prípade ľubovoľného zákona rozptylu alebo pri inom type potenciálovej studne sa môžu závislosti hustoty stavu od energie a hrúbky filmu líšiť od uvedených. vyššie, ale hlavná črta, nemonotónny priebeh, zostane.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKORMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Vypočítajme hustotu stavov pre jednorozmernú štruktúru - kvantový drôt. Zákon izotropnej parabolickej disperzie v tomto prípade možno zapísať tak, že x je nasmerované pozdĺž kvantového vlákna, d je hrúbka kvantového vlákna pozdĺž osí yaz, kx je jednorozmerný vlnový vektor. m, n sú celé čísla kladné čísla charakterizujúce, kde osou sú kvantové subpásy. Energetické spektrum kvantového drôtu je teda rozdelené do samostatných prekrývajúcich sa jednorozmerných podpásiem (parabol). Pohyb elektrónov pozdĺž osi x sa ukazuje ako voľný (ale s efektívnou hmotnosťou), zatiaľ čo pohyb pozdĺž ďalších dvoch osí je obmedzený.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Energetické spektrum elektrónov pre kvantový drôt

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovom drôte verzus energia Počet kvantových stavov na interval dkx , vypočítané na jednotku objemu kde je energia zodpovedajúca spodnej časti subpásma s dané n a m.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovom drôte ako funkcia energie. Pri odvodzovaní tohto vzorca teda vychádza spinová degenerácia stavov a skutočnosť, že jeden interval d. E zodpovedá dvom intervalom ±dkx každého subpásma, pre ktoré (E-En, m) > 0. Energia E sa počíta od spodnej časti vodivého pásma hromadnej vzorky.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKORMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovom drôte od energie Závislosť hustoty stavov kvantového drôtu od energie. Čísla vedľa kriviek ukazujú kvantové čísla n a m. Faktory degenerácie úrovní podpásov sú uvedené v zátvorkách.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovom drôte ako funkcia energie V rámci jedného subpásma hustota stavov klesá s rastúcou energiou. Celková hustota stavov je superpozícia identických klesajúcich funkcií (zodpovedajúcich jednotlivým subpásiám) posunutých pozdĺž energetickej osi. Pre E = Em, n je hustota stavov rovná nekonečnu. Subpásy s kvantovými číslami n m sa ukázali byť dvojnásobne degenerované (len pre Ly = Lz d).

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovej bodke ako funkcia energie Pri trojrozmernom obmedzení pohybu častíc sa dostávame k problému hľadania povolených stavov v kvantová bodka alebo systém s nulovou dimenziou. Použitím efektívnej hmotnostnej aproximácie a parabolického disperzného zákona bude mať pre okraj izotropného energetického pásma spektrum povolených stavov kvantovej bodky s rovnakými rozmermi d pozdĺž všetkých troch súradnicových osí tvar n, m, l = 1 , 2, 3 ... - kladné čísla číslovanie subpásiem. Energetické spektrum kvantovej bodky je množina diskrétnych povolených stavov zodpovedajúcich fixným n, m, l.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovej bodke ako funkcia energie Degenerácia hladín je primárne určená symetriou problému. g je faktor degenerácie úrovne

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovej bodke verzus energia Degenerácia hladín je primárne určená symetriou problému. Napríklad pre uvažovaný prípad kvantovej bodky s rovnakými rozmermi vo všetkých troch dimenziách budú úrovne trikrát zdegenerované, ak sa dve kvantové čísla navzájom rovnajú a nerovnajú sa tretiemu, a šesťkrát degenerované, ak sú všetky kvantové čísla. čísla sa navzájom nerovnajú. Špecifický typ potenciálu môže tiež viesť k ďalšej, takzvanej náhodnej degenerácii. Napríklad pre uvažovanú kvantovú bodku na trojnásobnú degeneráciu úrovní E(5, 1, 1); E(1,5,1); E(1, 1, 5), spojená so symetriou problému, sa pridáva náhodná degenerácia E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 v prvom aj druhom prípade), spojené s tvarom obmedzujúcim potenciálom (nekonečná pravouhlá potenciálová studňa).

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH SYSTÉMOV Rozloženie kvantových stavov v nízkorozmerných štruktúrach Hustota stavov v kvantovom bode verzus energia Rozdelenie počtu povolených stavov N ​​v pásme vodivosti pre kvantový bod s rovnakými rozmermi vo všetkých troch rozmeroch. Čísla predstavujú kvantové čísla; v zátvorkách sú uvedené faktory degenerácie úrovne.

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH SYSTÉMOV Štatistika nosičov v nízkorozmerných štruktúrach Trojrozmerné elektrónové systémy Vlastnosti rovnovážnych elektrónov v polovodičoch závisia od Fermiho distribučnej funkcie, ktorá určuje pravdepodobnosť, že elektrón bude v kvantovom stave s energiou E. EF je Fermiho hladina alebo elektrochemický potenciál, T je absolútna teplota, k je Boltzmannova konštanta. Výpočet rôznych štatistických veličín sa značne zjednoduší, ak Fermiho hladina leží v energetickom pásme a je ďaleko od spodnej časti vodivostného pásma Ec (Ec – EF) > k. T. Potom vo Fermi-Diracovom rozdelení možno jednotku v menovateli zanedbať a prejsť do Maxwell-Boltzmannovho rozdelenia klasickej štatistiky. Toto je prípad nedegenerovaného polovodiča

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH SYSTÉMOV Štatistika nosičov v nízkorozmerných štruktúrach Trojrozmerné elektrónové systémy Distribučná funkcia hustoty stavov vo vodivom pásme g(E), Fermi-Diracova funkcia pre tri teploty a Maxwell- Boltzmannova funkcia pre trojrozmerný elektrónový plyn. Pri T = 0 má Fermi-Diracova funkcia tvar nespojitej funkcie. Pre Е EF je funkcia rovná nule a zodpovedajúce kvantové stavy sú úplne voľné. Pre T > 0, Fermiho funkcia. Dirac sa rozmazáva v blízkosti Fermiho energie, kde sa rýchlo mení z 1 na 0 a toto rozmazanie je úmerné k. T, teda čím viac, tým vyššia teplota. (Obr. 1. 4. Hrany)

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMERNÝCH SYSTÉMOV Štatistika nosičov v nízkorozmerných štruktúrach Trojrozmerné elektrónové systémy Hustotu elektrónov vo vodivom pásme zistíme súčtom cez všetky stavy Všimnite si, že by sme mali brať energiu horného okraja vodivého pásma ako horná hranica tohto integrálu. Ale keďže Fermi-Diracova funkcia pre energie E >EF klesá exponenciálne s rastúcou energiou, nahradenie hornej hranice nekonečnom nemení hodnotu integrálu. Dosadením hodnôt funkcií do integrálu získame efektívnu hustotu stavov vo vodivom pásme

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH SYSTÉMOV Štatistika nosičov v nízkorozmerných štruktúrach Dvojrozmerné elektrónové systémy Určme koncentráciu nosiča náboja v dvojrozmernom elektrónovom plyne. Od hustoty stavov dvojrozmerného elektrónového plynu, ktorú získame, sa tu tiež berie horná hranica integrácie rovná nekonečnu, berúc do úvahy ostrú závislosť Fermi-Diracovej distribučnej funkcie od energie. Integrácia kde

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH SYSTÉMOV Štatistika nosičov v nízkorozmerných štruktúrach Dvojrozmerné elektrónové systémy Pre nedegenerovaný elektrónový plyn, keď V prípade ultratenkých vrstiev, keď je možné brať do úvahy len spodnú časť subpásma Pre silnú degeneráciu elektrónový plyn, keď kde n 0 je celá časť

ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNYCH SYSTÉMOV Štatistika nosičov v nízkorozmerných štruktúrach Treba si uvedomiť, že v kvantovo-jamkových systémoch si v dôsledku nižšej hustoty stavov podmienka úplnej degenerácie nevyžaduje extrémne vysoké koncentrácie ani nízke teploty a je pomerne často implementované v experimentoch. Napríklad v n-Ga. Rovnako ako pri N 2 D = 1012 cm-2, degenerácia bude prebiehať už pri izbovej teplote. V kvantových drôtoch sa integrál na výpočet, na rozdiel od dvojrozmerných a trojrozmerných prípadov, nevypočítava analyticky svojvoľnou degeneráciou a jednoduché vzorce možno napísať len v extrémnych prípadoch. V nedegenerovanom jednorozmernom elektrónovom plyne, v prípade hypertenkých vlákien, keď je možné brať do úvahy len obsadenie najnižšej úrovne energiou E 11, je koncentrácia elektrónov tam, kde je jednorozmerná efektívna hustota stavov