Definícia. Ak je každému prirodzenému číslu n priradené číslo xn, potom hovoríme, že je daná postupnosť

x1, x2, …, xn = (xn)

Spoločným prvkom postupnosti je funkcia n.

Na sekvenciu sa teda možno pozerať ako na funkciu.

Postupnosť môžete špecifikovať rôznymi spôsobmi - hlavnou vecou je, že je špecifikovaná metóda na získanie ľubovoľného člena postupnosti.

Príklad. (xn) = ((-1)n) alebo (xn) = -1; jeden; - jeden; jeden; …

(xn) = (sinn/2) alebo (xn) = 1; 0; jeden; 0; …

Pre sekvencie môžete definovať nasledujúce operácie:

Násobenie postupnosti číslom m: m(xn) = (mxn), t.j. mx1, mx2,…

Sčítanie (odčítanie) sekvencií: (xn) (yn) = (xn yn).

Súčin sekvencií: (xn)(yn) = (xnyn).

Podiel sekvencií: pri (yn) 0.

Ohraničené a neohraničené postupnosti.

Definícia. Postupnosť (xn) sa nazýva ohraničená, ak existuje číslo M>0 také, že pre každé n platí nerovnosť:

tie. všetky členy postupnosti patria do intervalu (-M; M).

Definícia. O postupnosti (xn) sa hovorí, že je ohraničená zhora, ak pre akékoľvek n existuje číslo M také, že xn M.

Definícia. O postupnosti (xn) sa hovorí, že je ohraničená zdola, ak pre ľubovoľné n existuje číslo M také, že xn M

Príklad. (xn) = n - ohraničené zdola (1, 2, 3, …).

Definícia. Číslo a sa nazýva limita postupnosti (xn), ak pre ľubovoľné kladné >0 existuje také číslo N, že pre všetky n > N je splnená podmienka: Píše sa: lim xn = a.

V tomto prípade sa hovorí, že postupnosť (xn) konverguje k a pre n.

Vlastnosť: Ak zahodíme ľubovoľný počet členov postupnosti, tak sa získajú nové postupnosti a ak jeden z nich konverguje, potom konverguje aj druhý.

Príklad. Dokážte, že limit postupnosti je lim .

Nech platí pre n > N, t.j. . Toto platí pre , takže ak sa N berie ako celá časť čísla , potom platí vyššie uvedené tvrdenie.

Príklad. Ukážte, že pre n je postupnosť 3, má limit 2.

Celkom: (xn) = 2 + 1/n; 1/n = xn - 2

Je zrejmé, že existuje číslo n také, že t.j. lim (xn) = 2.

Veta. Postupnosť nemôže mať viac ako jeden limit.

Dôkaz. Predpokladajme, že postupnosť (xn) má dve limity a a b, ktoré sa navzájom nerovnajú.

xn a; xnb; a b.

Potom podľa definície existuje číslo >0 také, že

Ak je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel N, potom sa takáto funkcia nazýva nekonečná postupnosť čísel. Obvykle sa číselná postupnosť označuje ako (Xn), kde n patrí do množiny prirodzených čísel N.

Číselná postupnosť môže byť daná vzorcom. Napríklad Xn=1/(2*n). Ku každému prirodzenému číslu n teda priradíme nejaký určitý prvok postupnosti (Xn).

Ak teraz postupne vezmeme n rovné 1,2,3, …., dostaneme postupnosť (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Typy sekvencií

Postupnosť môže byť obmedzená alebo neobmedzená, rastúca alebo klesajúca.

Sekvencia (Xn) volá obmedzené ak existujú dve čísla m a M také, že pre ľubovoľné n patriace do množiny prirodzených čísel platí rovnosť m<=Xn

sekvencia (Xn), nie je obmedzený, sa nazýva neohraničená postupnosť.

zvyšujúci sa ak pre všetky kladné celé čísla n platí rovnosť: X(n+1) > Xn. Inými slovami, každý člen postupnosti, počnúc druhým, musí byť väčší ako predchádzajúci člen.

Zavolá sa postupnosť (Xn). ubúdajúce, ak pre všetky kladné celé čísla n platí nasledujúca rovnosť X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Príklad sekvencie

Skontrolujme, či postupnosti 1/n a (n-1)/n klesajú.

Ak je postupnosť klesajúca, potom X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn = n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Takže postupnosť (n-1)/n je zvyšujúci sa.

3. Limit číselnej postupnosti

3.1. Pojem číselnej postupnosti a funkcie prirodzeného argumentu

Definícia 3.1.Číselná postupnosť (ďalej len postupnosť) je usporiadaná spočítateľná množina čísel

{x1 x2 x3 ... }.

Venujte pozornosť dvom bodom.

1. V poradí je nekonečne veľa čísel. Ak existuje konečný počet čísel, nejde o postupnosť!

2. Všetky čísla sú usporiadané, to znamená usporiadané v určitom poradí.

V nasledujúcom texte budeme často používať skratku pre sekvenciu ( xn}.

Určité operácie možno vykonávať so sekvenciami. Uvažujme o niektorých z nich.

1. Násobenie postupnosti číslom.

Následná sekvencia c×{ xn) je sekvencia s prvkami ( c× xn), tj

c×{ x1 x2 x3 ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Sčítanie a odčítanie postupností.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

alebo podrobnejšie,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Násobenie postupností.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Delenie sekvencií.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Prirodzene sa predpokladá, že v tomto prípade všetky yn¹ 0.

Definícia 3.2. Následná sekvencia ( xn) sa nazýva ohraničené zhora, ak https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. Postupnosť (xn) sa nazýva ohraničená, ak je ohraničená nad aj pod.

3.2. Limit sekvencie. Nekonečne veľká sekvencia

Definícia 3.3.číslo a sa nazýva limita postupnosti ( xn) pri n sklon k nekonečnu, ak

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> ak .

Hovoria, že ak .

Definícia 3.4. Následná sekvencia ( xn) sa nazýva nekonečne veľký, ak (teda ak ).

3.3. Nekonečne malá sekvencia.

Definícia 3.5. Postupnosť (xn) sa nazýva infinitezimálna if , teda ak .

Infinitezimálne postupnosti majú nasledujúce vlastnosti.

1. Súčet a rozdiel infinitezimálnych postupností je tiež nekonečne malá postupnosť.

2. Infinitezimálna postupnosť je ohraničená.

3. Súčin infinitezimálnej postupnosti a ohraničenej postupnosti je nekonečne malá postupnosť.

4. Ak ( xn) je nekonečne veľká postupnosť, ktorá začína od niektorých N, sekvencia (1/ xn) a je to nekonečne malá postupnosť. Naopak, ak ( xn) je nekonečne malá postupnosť a všetky xn sa líšia od nuly, potom (1/ xn) je nekonečne veľká postupnosť.

3.4. konvergentné sekvencie.

Definícia 3.6. Ak existuje koncový limit https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Ak , potom .

3.5. Prejazd na doraz v nerovnostiach.

Veta 3.1. Ak, počnúc od niektorých N, všetky xn ³ b, potom .

Dôsledok. Ak, počnúc od niektorých N, všetky xn ³ yn, potom .

Komentujte. Všimnite si, že ak, počnúc od niektorých N, všetky xn > b, potom , to znamená, že pri prechode na limit sa prísna nerovnosť môže stať neprísnou.

Veta 3.2.("Veta o dvoch policajtoch") Ak, počnúc od niektorých N, platia nasledujúce vlastnosti

1..gif" width="163" height="33 src=">,

potom existuje.

3.6. Limit monotónnej postupnosti.

Definícia 3.7. Následná sekvencia ( xn) sa nazýva monotónne rastúce, ak existuje n xn+1 ³ xn.

Následná sekvencia ( xn) sa nazýva striktne monotónne rastúce, ak existuje n xn+1> xn.

xn­.

Definícia 3.8. Následná sekvencia ( xn) sa nazýva monotónne klesajúci, ak existuje n xn+1 £ xn.

Následná sekvencia ( xn) sa nazýva striktne monotónne klesajúci, ak existuje n xn+1< xn.

Oba tieto prípady sú kombinované so symbolom xn¯.

Veta o existencii limity monotónnej postupnosti.

1. Ak sekvencia ( xn) je monotónne rastúca (klesajúca) a ohraničená zhora (zdola), potom má konečnú hranicu rovnajúcu sa sup( xn) (inf( xn}).

2 Ak sekvencia ( xn) monotónne rastie (klesá), ale nie je obmedzený zhora (zdola), potom má hranicu rovnajúcu sa +¥ (-¥).

Na základe tejto vety je dokázané, že existuje takzvaná pozoruhodná limita

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Nazýva sa to sekvenčná podsekvencia ( xn}.

Veta 3.3. Ak sekvencia ( xn) konverguje a jeho limita je a, potom ktorákoľvek jeho podsekvencia tiež konverguje a má rovnakú limitu.

Ak ( xn) je nekonečne veľká postupnosť, potom je každá jej podsekvencia tiež nekonečne veľká.

Bolzanova-Weierstrassova lemma.

1. Z ľubovoľnej ohraničenej postupnosti možno extrahovať podsekvenciu, ktorá konverguje ku konečnej limite.

2. Nekonečne veľkú podsekvenciu možno extrahovať z ľubovoľnej neobmedzenej postupnosti.

Na základe tejto lemy je dokázaný jeden z hlavných výsledkov teórie limitov - Bolzano-Cauchyho konvergenčné kritérium.

Aby bola postupnosť ( xn) existovala konečná hranica, je potrebné a postačujúce, že

Postupnosť, ktorá spĺňa túto vlastnosť, sa nazýva základná postupnosť alebo postupnosť, ktorá sama osebe konverguje.

Úvod ……………………………………………………………………………………………… 3

1.Teoretická časť……………………………………………………………………….4

Základné pojmy a pojmy………………………………………………………....4

1.1 Typy sekvencií………………………………………………………………...6

1.1.1.Obmedzené a neobmedzené číselné postupnosti…..6

1.1.2. Monotónnosť sekvencií………………………………………………6

1.1.3. Infinitezimálne a nekonečne malé postupnosti…….7

1.1.4 Vlastnosti nekonečne malých postupností………………………8

1.1.5 Konvergentné a divergentné postupnosti a ich vlastnosti...…9

1.2 Limit sekvencie………………………………………………………..11

1.2.1.Vety o limitách postupností………………………………………………………………………15

1.3. Aritmetický postup……………………………………………………………… 17

1.3.1. Vlastnosti aritmetického postupu………………………………………………..17

1.4Geometrická postupnosť………………………………………………………………..19

1.4.1. Vlastnosti geometrickej postupnosti……………………………………….19

1.5. Fibonacciho čísla………………………………………………………………..21

1.5.1 Spojenie Fibonacciho čísel s inými oblasťami poznania………………………….22

1.5.2. Použitie série Fibonacciho čísel na opis živej a neživej prírody……………………………………………………………………………………….23

2. Vlastný výskum……………………………………………………………….28

Záver……………………………………………………………………………….. 30

Zoznam použitej literatúry…………………………………………………..31

Úvod.

Číselné postupnosti sú veľmi zaujímavou a poučnou témou. Táto téma sa nachádza v úlohách zvýšená zložitosť ponúkli študentom autori didaktické materiály, v úlohách matematických olympiád, vstupné testy k Vyššiemu Vzdelávacie zariadenia a na skúške. Zaujíma ma prepojenie matematických postupností s inými oblasťami poznania.

Cieľ výskumná práca: Rozšírte znalosti o číselnej postupnosti.

1. Zvážte postupnosť;

2. Zvážte jeho vlastnosti;

3. Zvážte analytickú úlohu sekvencie;

4. Ukázať jeho úlohu pri rozvoji iných oblastí poznania.

5. Predveďte použitie radu Fibonacciho čísel na opis živej a neživej prírody.

1. Teoretická časť.

Základné pojmy a pojmy.

Definícia. Číselná postupnosť je funkciou tvaru y = f(x), x О N, kde N je množina prirodzených čísel (alebo funkcia prirodzeného argumentu), označená y = f(n) alebo y1, y2 ,…, yn,…. Hodnoty y1, y2, y3,… sa nazývajú prvý, druhý, tretí, … člen postupnosti.

Číslo a sa nazýva limita postupnosti x \u003d ( x n ), ak je pre ľubovoľný vopred určený ľubovoľne malý kladné čísloε prirodzené číslo N také, že pre všetky n>N je nerovnosť |x n - a|< ε.

Ak je číslo a limitom postupnosti x \u003d (x n), potom hovoria, že x n smeruje k a, a napíšu

.

Postupnosť (yn) sa nazýva rastúca, ak je každý z jej členov (okrem prvého) väčší ako predchádzajúci:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Postupnosť (yn) sa nazýva klesajúca, ak je každý z jej členov (okrem prvého) menší ako predchádzajúci:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Rastúce a klesajúce sekvencie spája spoločný pojem - monotónne sekvencie.

Postupnosť sa nazýva periodická, ak existuje prirodzené číslo T také, že od nejakého n platí rovnosť yn = yn+T. Číslo T sa nazýva dĺžka periódy.

Aritmetický postup je postupnosť (an), v ktorej každý člen, začínajúc od druhého, sa rovná súčtu predchádzajúci člen a rovnaké číslo d sa nazýva aritmetická postupnosť a číslo d sa nazýva rozdiel aritmetickej postupnosti.

Touto cestou, aritmetická progresia je číselná postupnosť (an) daná rekurzívne vzťahmi

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

Geometrická postupnosť je postupnosť, v ktorej sú všetky členy nenulové a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom q.

Geometrický postup je teda číselná postupnosť (bn) daná rekurzívne vzťahmi

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Typy sekvencií.

1.1.1 Ohraničené a neohraničené postupnosti.

O postupnosti (bn) sa hovorí, že je ohraničená zhora, ak existuje číslo M také, že pre ľubovoľné číslo n je splnená nerovnosť bn ≤ M;

O postupnosti (bn) sa hovorí, že je ohraničená zdola, ak existuje číslo M také, že pre akékoľvek číslo n je splnená nerovnosť bn≥ M;

Napríklad:

1.1.2 Monotónnosť sekvencií.

Postupnosť (bn) sa nazýva nerastúca (neklesajúca), ak pre ľubovoľné číslo n platí nerovnosť bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Postupnosť (bn) sa nazýva klesajúca (rastúca), ak pre ľubovoľné číslo n je nerovnosť bn > bn+1 (bn

Klesajúce a rastúce postupnosti sa nazývajú prísne monotónne, nerastúce - monotónne v širšom zmysle.

Postupnosti ohraničené nad aj pod sebou sa nazývajú ohraničené.

Postupnosť všetkých týchto typov sa nazýva monotónna.

1.1.3 Nekonečne veľké a malé sekvencie.

Infinitezimálna postupnosť je numerická funkcia alebo postupnosť, ktorá má tendenciu k nule.

Postupnosť an sa nazýva nekonečne malé ak

Funkcia sa nazýva infinitezimálna v okolí bodu x0, ak ℓimx→x0 f(x)=0.

Funkcia sa nazýva infinitezimálna v nekonečne, ak ℓimx→.+∞ f(x)=0 alebo ℓimx→-∞ f(x)=0

Infinitezimálna je tiež funkcia, ktorá je rozdielom medzi funkciou a jej limitou, teda ak ℓimx→.+∞ f(x)=a, potom f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Nekonečne veľká postupnosť je numerická funkcia alebo postupnosť, ktorá má tendenciu k nekonečnu.

Postupnosť an sa nazýva nekonečne veľká, ak

ℓimn→0 an=∞.

Funkcia sa nazýva nekonečná v okolí bodu x0, ak ℓimx→x0 f(x)= ∞.

O funkcii sa hovorí, že je nekonečne veľká v nekonečne, ak

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ alebo ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Vlastnosti infinitezimálnych postupností.

Súčet dvoch nekonečne malých postupností je sám o sebe tiež nekonečnou postupnosťou.

Rozdiel dvoch nekonečne malých postupností je sám o sebe tiež nekonečne malými postupnosťami.

Algebraický súčet ľubovoľného konečného počtu infinitezimálnych postupností je sám o sebe tiež nekonečnou postupnosťou.

Súčinom ohraničenej postupnosti a infinitezimálnej postupnosti je nekonečná postupnosť.

Súčin akéhokoľvek konečného počtu nekonečne malých postupností je nekonečne malá postupnosť.

Akákoľvek infinitezimálna postupnosť je ohraničená.

Ak je stacionárna postupnosť nekonečne malá, potom sa všetky jej prvky, počnúc niektorými, rovnajú nule.

Ak celá infinitezimálna postupnosť pozostáva z rovnakých prvkov, potom sú tieto prvky nuly.

Ak (xn) je nekonečne veľká postupnosť, ktorá neobsahuje žiadne nulové členy, potom existuje postupnosť (1/xn), ktorá je nekonečne malá. Ak však (xn) obsahuje nula prvkov, potom môže byť postupnosť (1/xn) stále definovaná od nejakého čísla n a bude stále nekonečne malá.

Ak (an) je nekonečne malá postupnosť, ktorá neobsahuje žiadne nulové členy, potom existuje postupnosť (1/an), ktorá je nekonečne veľká. Ak však (an) obsahuje nula prvkov, potom postupnosť (1/an) môže byť stále definovaná od nejakého čísla n a bude stále nekonečne veľká.

1.1.5 Konvergentné a divergentné postupnosti a ich vlastnosti.

Konvergentná postupnosť je postupnosť prvkov množiny X, ktorá má v tejto množine limitu.

Divergujúca postupnosť je postupnosť, ktorá nie je konvergentná.

Každá infinitezimálna postupnosť je konvergentná. Jeho hranica je nulová.

Odstránenie akéhokoľvek konečného počtu prvkov z nekonečnej postupnosti neovplyvní ani konvergenciu, ani limitu tejto postupnosti.

Akákoľvek konvergentná postupnosť je ohraničená. Nie každá ohraničená postupnosť však konverguje.

Ak postupnosť (xn) konverguje, ale nie je nekonečne malá, potom od nejakého čísla je definovaná postupnosť (1/xn), ktorá je ohraničená.

Súčet konvergentných sekvencií je tiež konvergentná postupnosť.

Rozdiel konvergentných sekvencií je tiež konvergentná postupnosť.

Súčinom konvergentných postupností je tiež konvergentná postupnosť.

Podiel dvoch konvergentných postupností je definovaný od nejakého prvku, pokiaľ druhá postupnosť nie je nekonečne malá. Ak je definovaný podiel dvoch konvergentných postupností, potom ide o konvergentnú postupnosť.

Ak je konvergentná postupnosť ohraničená nižšie, potom žiadna z jej dolných hraníc nepresahuje jej limit.

Ak je konvergentná postupnosť ohraničená zhora, jej limita nepresahuje žiadnu z jej horných hraníc.

Ak pre ľubovoľné číslo členy jednej konvergentnej postupnosti nepresiahnu členy inej konvergentnej postupnosti, potom limita prvej postupnosti tiež nepresiahne hranicu druhej.