); showPlots(;0 noAxes0 );

Ryža. 1.10: Kváder

1.3 Vlastnosti rovnobežných rezov v pyramíde

1.3.1 Vety o úsekoch pyramídy

Ak pyramídu (1.11) pretína rovina rovnobežná so základňou, potom:

1) bočné okraje a výška sú rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;

2) v reze sa získa mnohouholník (abcde), podobný základni;

3) plochy rezu a základne sú spojené ako druhé mocniny ich vzdialeností od vrcholu.

1) Priamky ab a AB možno považovať za priesečníky dvoch rovnobežných rovín (základne a sečny) treťou rovinou ASB; tak abkAB. Z rovnakého dôvodu, bckBC, cdkCD.... a amkAM; tým

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm :

2) Z podobnosti trojuholníkov ASB a aSb, potom BSC a bSc atď. odvodíme:

AB ab = BS bS; BS bS = BC bc;

AB ab = BC bc:

BC bc = CS cS; CS cS = CD cd;

BC bc = CD cd

Preukážeme tiež proporcionalitu zostávajúcich strán mnohouholníkov ABCDE a abcde, keďže tieto mnohouholníky majú navyše zodpovedajúce uhly (ako ich tvoria rovnobežné a rovnako smerované strany), sú si podobné. Plochy podobných mnohouholníkov sú spojené ako štvorce podobných strán; preto

AB ab = AS ako = M msS;






set2D(1; 9; 1; 14);

;0 pomlčka0);

			Ryža. 1.11: Pyramída
p5 = bodyPlot(
p5 = bodyPlot(

[0A0; 0 B 0; 0 C0; 0 D 0; 0 E 0; 0 až 0; 0 b 0; 0 c 0; 0d0; 0M0; 0 m0; 0SO];

); showPlots(;0 noAxes0 );

1.3.2 Dôsledok

V prípade pravidelného zrezaného ihlana je horná základňa pravidelným mnohouholníkom podobným spodnej základni a bočné steny sú rovnaké a rovnostranné lichobežníky (1.11).

Výška ktoréhokoľvek z týchto lichobežníkov sa nazýva apotém pravidelnej zrezanej pyramídy.

1.3.3 Veta o paralelnom reze v pyramíde

Ak sú dve pyramídy s rovnakými výškami rozdelené v rovnakej vzdialenosti od vrcholu rovinami, paralelné základne, potom sú plochy sekcií úmerné plochám základov.

Nech (1.12) B a B1 sú plochy podstav dvoch ihlanov, H výška každého z nich, b a b1 plochy rezov rovinami rovnobežnými s podstavami a v rovnakej vzdialenosti h od vrcholov.

Podľa predchádzajúcej vety budeme mať:

H2 B1

set2D(2; 36; 2; 23);

23 );

p10 = tabuľkový graf(			;0 šípka0);

p11 = tabuľkový graf(			;0 šípka0);

p12 = tabuľkový graf(			;0 šípka0);

p13 = tabuľkový graf(			;0 šípka0);

p14 = tabuľkový graf(				;0 pomlčka0);

otázka:

Pyramídu pretína rovina rovnobežná so základňou. Plocha základne je 1690 dm2 a plocha prierezu je 10 dm2. V akom pomere, počítajúc zhora, delí rovina rezu výšku pyramídy?

Odpovede:

rovnobežná rovina vyreže pyramídu podobnú tejto (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

Podobné otázky

Test na tému: „Pravopis prísloviek“ Kontrolujeme pravopis príslovkových prípon, oddeľujeme a súvislý pravopis nie s príslovkami, zlúčený, oddelený, delenie slov príslovky Možnosť 1. 1. Otvorte zátvorky. Označte „tretiu extra“: a) sedel (stále) nehybne; videl (ne)nádejne; spieval (ne)nahlas; b) vôbec (nie) neskoro; vôbec (ne)krásne; veľmi (ne)slušné; c) (ne)priateľský; (nie) svojim spôsobom; (nesprávne; d) (ne)smiešne; (nie) mätúce; (nie) blízko, ale ďaleko; e) mimoriadne (ne)nátlakovo; veľmi (ne)príťažlivý; vôbec (ne)hrozí; 2. "Nie" sa píše spolu vo všetkých slovách série: a) (ne)pravda; (ne)veve; (ne)príjemný; vôbec (ne)zaujímavý; b) (ne)čuduj sa; (nespravodlivosť; vôbec (nie) ďaleko; (ne)veselý; c) (nie) úprimne; (ne)pekný; (ne)rozhorčený; (nenáročné; d) (nevedomosť); (ne)po príchode; (nie) nezmysel; (v nesprávnom čase; 3. Vyberte riadok so zápornými príslovkami: a) vôbec nie; nikto; nikde; s nikým; b) nikde nikto; nikdy; nikde; c) vôbec nie; vôbec nie; nikde; nie je potreba; 4. Nájdite "tretiu extra": a) n ... takmer vystrašený; n ... ako nenašiel; n ... koľkokrát; b) n ... kam ísť; n ... prečo sa pýtať; n ... akokoľvek závistlivý; c) n ... bez ohľadu na to, ako rozrušený; n ... keď sa nehnevá; n ... kde očakávať; 5. "Нн" je napísané všetkými slovami série: a) beshe ... o pradení; hovoril strach...och; pracoval zúfalo...och; b) zrazu sa zachvel ... oh; kreslil kvalifikovaný ... oh; nepracovný čas...ach; c) hovoril vzrušene ... o; odišiel nečakane ... oh; puta odpovedal ... oh; 6. Definujte vetu príslovkou: a) Stretnutie je nadšené ... správou. b) Spoločnosť bola nadšená... oh. c) Hovorila vzrušene ... oh. V príslovke sa píše _____________________________________ 7. Doplňte chýbajúce písmená. Označte „štvrtú extra“: a) horúcu ...; čerstvé…; brilantný ...; dobre…; b) viac ...; melodický...; viskózna ..; zlovestný...; c) batožina ... m; už ... m; nosiť ... th; nôž ... m; d) grganie ... nok; skvorch ... nok; čerešňa ... nka; ježko ... nok; 8. Napíšte písmená označujúce príslovky, ktoré sa píšu s príponami - a a - o: a o a) z diaľky ...; b) obnoviť ...; c) nepočujúci ...; d) správne ...; e) biela ...; e) žiadosť ...; g) od mladosti ...; h) suché ...; i) synovia ...; Napíšte príslovku, ktorá nemá prípony - a a - o: ______________________________ Možnosť 2. 1. Otvorte zátvorky. Označte „tretí navyše“: a) vôbec (ne)zaujímavý; úplne (ne)zaujímavé; ďaleko (ne)zábava; b) (ne)priateľský; (nie) našim spôsobom; (nesprávne; c) (ne)harmonický; (ne)priateľský; (nie) dobrý, ale zlý; d) čítať (ne) expresívne; vyzeral (ne)zmätene; žil (ne)ďaleko; e) veľmi (ne)krásna; to nikdy nie je neskoro; mimoriadne (ne)premyslene; 2. „Nie“ sa píše spolu vo všetkých slovách série: a) (nie) trochu; (ne)smiešne; (in) zrozumiteľné; (ne)skrývanie sa; b) (ne)nedbalo; (neúprimnosť; (ne)krásna; (ne)premýšľavý; c) ďaleko (ne)zábava; (nechcel) nechcel; (nie ďaleko; (problém; d) (ne)načas; (fidget; (ne)hovorí; (ne)dôverčivý; 3. Zvýraznite riadok zápornými príslovkami: a) nič; nikde; nikde; veľa; b) vôbec nie; nie je potreba; v žiadnom prípade; nikde; c) nič; nikto; nikto; nikto; 4. Nájdite "tretiu extra": a) nebolo ... kde; n...prečo sa pýtať; n ... keď bol kočišom; b) neublížil n ... trochu; n ... koľko nezarmútil; n...kde sa ubytovať; c) n ... kam nepôjdem; n ... keď sa nepýtam; Bol som n ... kedy; 5. "N" je napísané všetkými slovami série: a) na ulici je bezvetrie ... o; odpoveď na myšlienku ... o; nezhda prišiel ... oh-negada ... oh; b) hovoril múdro ... o; vstúpil vietor ... oh; puta povedal ... oh; c) zúrivo točil ... oh; spieval prenikavo ... ach; pracoval s nadšením ... oh; 6. Definujte vetu s príslovkou: a) Jeho rozhodnutie sa bude posudzovať ... ach, odborne. B) Vždy koná s rozvahou...ach. C) Všetko bolo starostlivo zvážené ... oh. 7. Vložte chýbajúce písmená. Označte „štvrtú extra“: a) hovorte všeobecne...; horúce…; čerstvé…; vyčerpávajúce...; b) priateľ ... komu; popruh ... na; kohútik ... do; vish ... nka; c) viac ...; protestovať...; volanie...; zlovestný...; d) lekár ... m; rýchly ... m; tlačiť…t; uložiť ... t; 8. Do rámčekov napíšte písmená označujúce príslovky, ktoré sa píšu s príponami - a a - o: a o a) prvý ...; b) od mladosti ...; c) rozsvietiť ...; d) vľavo ...; e) čisté ...; e) rozžeravené...; g) vľavo ...; h) tmavý ...; i) na dlhú dobu ...; Napíšte príslovku, ktorá nemá prípony - a a - o: _______________________________

Ako môžete postaviť pyramídu? Na povrchu R zostrojte nejaký mnohouholník, napríklad päťuholník ABCDE. Mimo lietadla R vezmite bod S. Spojením bodu S segmentmi so všetkými bodmi mnohouholníka dostaneme pyramídu SABCDE (obr.).

Bod S sa nazýva summit a mnohouholník ABCDE - základ túto pyramídu. Pyramída s vrcholom S a základňou ABCDE je teda spojením všetkých segmentov, kde M ∈ ABCDE.

Trojuholníky sa nazývajú SAB, SBC, SCD, SDE, SEA bočné steny pyramídy, spoločné strany bočných plôch SA, SB, SC, SD, SE - bočné rebrá.

Pyramídy sú tzv trojuholníkové, štvoruholníkové, n-uholníkové v závislosti od počtu strán základne. Na obr. sú uvedené obrázky trojuholníkových, štvoruholníkových a šesťuholníkových pyramíd.

Rovina prechádzajúca vrcholom pyramídy a uhlopriečkou základne sa nazýva uhlopriečka a výsledný prierez - uhlopriečka. Na obr. 186 jeden z diagonálnych rezov šesťhranná pyramída zatienené.

Úsečka kolmice vedená cez vrchol pyramídy k rovine jej podstavy sa nazýva výška pyramídy (konce tejto úsečky sú vrchol pyramídy a základňa kolmice).

Pyramída je tzv správne ak základňa pyramídy je pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.

Všetky bočné steny správna pyramída sú zhodné rovnoramenné trojuholníky. V pravidelnej pyramíde sú všetky bočné hrany zhodné.

Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, nakreslená z jej vrcholu, sa nazýva apotéma pyramídy. Všetky apotémy pravidelnej pyramídy sú zhodné.

Ak stranu základne označíme ako a, a apothema cez h, potom je plocha jednej bočnej strany pyramídy 1/2 ach

Súčet plôch všetkých bočných plôch pyramídy sa nazýva bočná plocha povrchu pyramídy a označuje sa S stranou.

Keďže bočná plocha pravidelnej pyramídy pozostáva z n kongruentné tváre teda

S strana = 1/2 ahn=P h / 2 ,

kde P je obvod základne pyramídy. v dôsledku toho

S strana =P h / 2

t.j. plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému.

Celková plocha pyramídy sa vypočíta podľa vzorca

S = S ocn. + S strana. .

Objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy jej základne Socn. do výšky H:

V = 1/3 S ocn. N.

Odvodenie tohto a niektorých ďalších vzorcov bude uvedené v ďalšej kapitole.

Teraz postavme pyramídu iným spôsobom. Nech je daný mnohostenný uhol, napríklad päťstenný, s vrcholom S (obr.).

Nakreslite rovinu R tak, že pretína všetky hrany daného polyedrického uhla v rôznych bodoch A, B, C, D, E (obr.). Potom možno pyramídu SABCDE považovať za priesečník mnohostenného uhla a polpriestoru s hranicou R, ktorý obsahuje vrchol S.

Je zrejmé, že počet všetkých stien pyramídy môže byť ľubovoľný, ale nie menej ako štyri. Keď rovina pretína trojstenný uhol, získa sa trojuholníková pyramída, ktorá má štyri strany. Akákoľvek trojuholníková pyramída sa niekedy nazýva štvorsten, čo znamená štvoruholník.

zrezaná pyramída možno získať, ak pyramídu pretína rovina rovnobežná s rovinou základne.

Na obr. je uvedený obraz štvorbokého zrezaného ihlana.

Skrátené pyramídy sú tiež tzv trojuholníkové, štvoruholníkové, n-uholníkové v závislosti od počtu strán základne. Z konštrukcie zrezaného ihlana vyplýva, že má dve základne: hornú a dolnú. Základňami zrezanej pyramídy sú dva mnohouholníky, ktorých strany sú párovo rovnobežné. Bočné steny zrezanej pyramídy sú lichobežníky.

Výška Zrezaný ihlan je segment kolmice nakreslený z ľubovoľného bodu hornej základne k rovine spodnej základne.

Správna zrezaná pyramída nazývaná časť pravidelnej pyramídy, uzavretá medzi základňou a rovinou rezu rovnobežnou so základňou. Výška bočnej plochy pravidelného zrezaného ihlana (lichobežníka) je tzv apotéma.

Dá sa dokázať, že pravidelný zrezaný ihlan má zhodné bočné hrany, všetky bočné steny sú zhodné a všetky apotémy sú zhodné.

Ak je správne skrátený n- uhoľná pyramída cez a a b n označujú dĺžky strán hornej a dolnej základne a cez h- dĺžka apotému, potom je plocha každej bočnej strany pyramídy

1 / 2 (a + b n) h

Súčet plôch všetkých bočných plôch pyramídy sa nazýva plocha jej bočného povrchu a označuje sa ako S strana. . Je zrejmé, že pre bežné skrátené n- uhoľná pyramída

S strana = n 1 / 2 (a + b n) h.

Pretože pa= P a nb n\u003d P 1 - potom obvody podstavcov skrátenej pyramídy

S strana \u003d 1/2 (P + P 1) h ,

t.j. plocha bočného povrchu pravidelnej zrezanej pyramídy sa rovná polovici súčinu súčtu obvodov jej základní a apotému.

Rez rovnobežná so základňou pyramídy

Veta. Ak pyramídu pretína rovina rovnobežná so základňou, potom:

1) bočné rebrá a výška budú rozdelené na proporcionálne časti;

2) v sekcii získate mnohouholník podobný základni;

3) plochy rezu a základne sú spojené ako druhé mocniny ich vzdialeností od vrcholu.

Stačí dokázať vetu pre trojuholníkovú pyramídu.

Keďže rovnobežné roviny pretína tretia rovina pozdĺž rovnobežných čiar, potom (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (obr.).

Rovnobežné čiary rozrežú strany uhla na proporcionálne časti, a preto

Preto ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 a

∆SBC ~ ∆SB 1 C 1 a

Touto cestou,

Zodpovedajúce uhly trojuholníkov ABC a A 1 B 1 C 1 sú zhodné, ako uhly s rovnobežnými a rovnako smerujúcimi stranami. Preto

∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1

Plochy podobných trojuholníkov sú spojené ako štvorce príslušných strán:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

v dôsledku toho

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Veta. Ak sú dve pyramídy s rovnakými výškami rozdelené v rovnakej vzdialenosti od vrcholu rovinami rovnobežnými so základňami, potom sú plochy sekcií úmerné plochám základov.

Nech (obr. 84) B a B 1 sú plochy podstav dvoch pyramíd, H je výška každej z nich, b a b 1 - plochy prierezu rovinami rovnobežnými so základňami a odstránenými z vrcholov o rovnakú vzdialenosť h.

Podľa predchádzajúcej vety budeme mať:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: a \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
kde
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: alebo \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Dôsledok. Ak B \u003d B 1, potom a b = b 1, t.j. ak dve pyramídy s rovnakou výškou majú rovnaké základne, potom sú rovnaké aj úseky rovnako vzdialené od vrcholu.

Iné materiály

KAPITOLA TRETIA

POLYHEDRALY

1. ROVNOBEŽNÁ A PYRAMÍDA

Vlastnosti rovnobežných rezov v pyramíde

74. Veta. Ak pyramída (dev. 83) prekrížená rovinou rovnobežnou so základňou, potom:

1) bočné okraje a výška sú rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;

2) prierez je mnohouholník (a B C d e ), prízemný;

3) plochy rezu a základne sú spojené ako druhé mocniny ich vzdialeností od vrcholu.

1) Priamo ab a AB možno považovať za priesečníky dvoch rovnobežných rovín (základňa a sečna) treťou rovinou ASB; preto ab||AB (§ 16). Z rovnakého dôvodu bc||BC, cd||CD, ... a pri||AM; tým

S a / a A=S b / b B=S c / c C=...=S m / m M

2) Z podobnosti trojuholníkov ASB a a S b, potom BSC a b S c atď. výstup:

AB / ab= BS / bs; BS / bs= pred Kr / bc ,

AB / ab= pred Kr / bc

BC / bc= CS / cs; CS / cs= CD / cd odkiaľ pred Kr / bc= CD / cd .

Preukážeme aj proporcionalitu zvyšných strán polygónov ABCDE a a B C d e. Pretože tieto mnohouholníky majú navyše rovnaké zodpovedajúce uhly (ako sú tvorené rovnobežnými a rovnako nasmerovanými stranami), sú podobné.

3) Plochy podobností mnohouholníkov sú spojené ako štvorce podobných strán; preto

75. Dôsledok. Správne zrezaná pyramída horná základňa je pravidelný mnohouholník podobný spodnej základni a bočné steny sú rovnaké a rovnoramenné lichobežníky(dev. 83).

Výška ktoréhokoľvek z týchto lichobežníkov sa nazýva apotéma pravidelná zrezaná pyramída.

76. Veta. Ak sú dve pyramídy s rovnakými výškami rozdelené v rovnakej vzdialenosti od vrcholu rovinami rovnobežnými so základňami, potom sú plochy sekcií úmerné plochám základov.

Podľa predchádzajúcej vety budeme mať:

77. Dôsledok. Ak B \u003d B 1, potom a b = b 1, t.j. ak dve pyramídy s rovnakou výškou majú rovnaké základne, potom sú rovnaké aj úseky rovnako vzdialené od vrcholu.