Pagrindiniame geometrijos kurse įrodyta, kad išgaubto n kampo kampų suma yra 180° (n-2). Pasirodo, šis teiginys tinka ir neišgaubtiems daugiakampiams.

3 teorema. Savavališko n kampo kampų suma lygi 180° (n - 2).

Įrodymas. Daugiakampį padalinkime į trikampius, brėždami įstrižaines (11 pav.). Tokių trikampių skaičius lygus n-2, o kiekviename trikampyje kampų suma lygi 180°. Kadangi trikampių kampai yra daugiakampio kampai, daugiakampio kampų suma yra 180° (n - 2).

Dabar panagrinėkime savavališkas uždaras trūkines linijas, galbūt su savaiminėmis sankirtomis A1A2…AnA1 (12 pav., a). Tokios savaime susikertančios trūkinės linijos bus vadinamos žvaigždės formos daugiakampiais (12 pav., b-d).

Nustatykime kampų skaičiavimo kryptį prieš laikrodžio rodyklę. Atkreipkite dėmesį, kad kampai, kuriuos sudaro uždara polilinija, priklauso nuo krypties, kuria ji kerta. Jei polilinijos apėjimo kryptis yra atvirkštinė, daugiakampio kampai bus tie kampai, kurie papildys pradinio daugiakampio kampus iki 360°.

Jei M yra daugiakampis, sudarytas iš paprastos uždaros trūkinės linijos, einančios pagal laikrodžio rodyklę (13 pav., a), tai šio daugiakampio kampų suma bus lygi 180 ° (n - 2). Jei trūkinė linija praeina prieš laikrodžio rodyklę (13 pav., b), tada kampų suma bus lygi 180 ° (n + 2).

Šiuo būdu, bendroji formulė daugiakampio, sudaryto iš paprastos uždaros linijos, kampų suma yra \u003d 180 ° (n 2), kur yra kampų suma, n yra daugiakampio kampų skaičius, "+" arba "- “ paimamas atsižvelgiant į polilinijos apėjimo kryptį.

Mūsų užduotis yra išvesti savavališko daugiakampio, sudaryto iš uždaros (galbūt savaime susikertančios) polilinijos, kampų sumos formulę. Norėdami tai padaryti, pristatome daugiakampio laipsnio sąvoką.

Daugiakampio laipsnis yra apsisukimų skaičius, kurį taškas padaro visiškai nuosekliai apeinant jo puses. Be to, posūkiai prieš laikrodžio rodyklę laikomi „+“ ženklu, o posūkiai pagal laikrodžio rodyklę – „-“ ženklu.

Aišku, kad daugiakampio, sudaryto iš paprastos uždaros trūkinės linijos, laipsnis yra +1 arba -1, priklausomai nuo važiavimo krypties. Nutrūkusios linijos laipsnis 12 paveiksle a yra lygus dviem. Žvaigždžių septyniakampių laipsnis (12 pav., c, d) lygus atitinkamai dviem ir trims.

Panašiai laipsnio sąvoka apibrėžiama uždaroms plokštumos kreivėms. Pavyzdžiui, 14 paveiksle parodytos kreivės laipsnis yra du.

Norėdami sužinoti daugiakampio ar kreivės laipsnį, galite atlikti šiuos veiksmus. Tarkime, judėdami išilgai kreivės (15 pav., a), mes, pradėdami nuo kažkurios vietos A1, padarėme pilną posūkį ir atsidūrėme tame pačiame taške A1. Išimkime atitinkamą atkarpą iš kreivės ir toliau judėkime likusia kreive (15b pav.). Jei, pradėdami nuo kokios nors vietos A2, vėl padarėme pilną posūkį ir patekome į tą patį tašką, tai atitinkamą kreivės atkarpą ištriname ir judame toliau (15 pav., c). Suskaičiavę nutolusių ruožų skaičių su ženklais "+" arba "-", priklausomai nuo jų apėjimo krypties, gauname norimą kreivės laipsnį.

4 teorema. Savavališkam daugiakampiui formulė

180° (n+2m),

kur kampų suma, n – kampų skaičius, m – daugiakampio laipsnis.

Įrodymas. Tegul daugiakampis M turi laipsnį m ir yra sutartinai parodytas 16 paveiksle. M1, …, Mk yra paprastos uždaros trūkinės linijos, einančios per kurias taškas daro pilnus posūkius. A1, …, Ak yra atitinkami polilinijos savaiminio susikirtimo taškai, kurie nėra jos viršūnės. Daugiakampio M viršūnių, patenkančių į daugiakampius M1, …, Mk, skaičių pažymėkime atitinkamai n1, …, nk. Kadangi, be daugiakampio M viršūnių, prie šių daugiakampių pridedamos viršūnės A1, …, Ak, daugiakampių M1, …, Mk viršūnių skaičius bus lygus n1+1, …, nk+1, atitinkamai. Tada jų kampų suma bus lygi 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Pliusas arba minusas imamas priklausomai nuo nutrūkusių linijų apėjimo krypties. Daugiakampio M0 kampų suma, likusi iš daugiakampio M pašalinus daugiakampius M1, ..., Mk, lygi 180° (n-n1- ...-nk+k2). Daugiakampių M0, M1, …, Mk kampų sumos duoda daugiakampio M kampų sumą, o kiekvienoje viršūnėje A1, …, Ak papildomai gauname 360°. Todėl mes turime lygybę

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

kur m yra daugiakampio M laipsnis.

Kaip pavyzdį apsvarstykite penkiakampės žvaigždutės kampų sumos apskaičiavimą (17 pav., a). Atitinkamos uždaros polilinijos laipsnis yra -2. Todėl norima kampų suma yra 180.

Geometrinė figūra, sudaryta iš atkarpų AB,BC,CD, .., EF, FA taip, kad gretimos atkarpos nebūtų vienoje tiesėje, o negretimos atkarpos neturėtų bendrų taškų, vadinamas daugiakampiu. Šių segmentų galai taškai A, B, C, D, …, E, F vadinami viršūnės daugiakampis, o pačios atkarpos AB, BC, CD, .., EF, FA - vakarėliams poligonas.

Daugiakampis laikomas išgaubtu, jei jis yra kiekvienos tiesės, einančios per dvi gretimas viršūnes, vienoje pusėje. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas išgaubtas daugiakampis:

Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotas neišgaubtas daugiakampis:

Išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, kurį sudaro šio daugiakampio kraštinės, susiliejančios tam tikroje viršūnėje. Išorinis išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, esantis greta daugiakampio vidinio kampo tam tikroje viršūnėje.

Teorema: išgaubto n kampo kampų suma yra 180˚ *(n-2)

Įrodymas: apsvarstykite išgaubtą n-kampį. Norėdami rasti visų vidinių kampų sumą, vieną iš daugiakampio viršūnių sujungiame su kitomis viršūnėmis.

Dėl to gauname (n-2) trikampius. Mes žinome, kad trikampio kampų suma yra 180 laipsnių. Ir kadangi jų skaičius daugiakampyje yra (n-2), daugiakampio kampų suma yra 180˚ *(n-2). Tai ir reikėjo įrodyti.

Užduotis:

Raskite išgaubto a) penkiakampio b) šešiakampio c) dešimtkampio kampų sumą.

Apskaičiuokime išgaubto n kampo kampų sumą naudodami formulę.

a) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

c) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Atsakymas: a) 540˚. b) 720˚. c) 1440˚.

Vidinis daugiakampio kampas yra kampas, sudarytas iš dviejų gretimų daugiakampio kraštinių. Pavyzdžiui, ∠ ABC yra vidinis kampas.

Išorinis daugiakampio kampas yra kampas, kurį sudaro viena daugiakampio kraštinė ir kitos kraštinės tęsinys. Pavyzdžiui, ∠ LBC yra išorinis kampas.

Daugiakampio kampų skaičius visada lygus jo kraštinių skaičiui. Tai taikoma tiek vidiniams, tiek išoriniams kampams. Nors kiekvienai daugiakampio viršūnei galima sukurti du vienodus išorinius kampus, visada atsižvelgiama tik į vieną iš jų. Todėl norint rasti bet kurio daugiakampio kampų skaičių, reikia suskaičiuoti jo kraštinių skaičių.

vidinių kampų suma

Išgaubto daugiakampio vidinių kampų suma lygi 180° sandaugai ir kraštinių be dviejų sandaugai.

s = 2d(n - 2)

kur s yra kampų suma, 2 d- du statūs kampai (t. y. 2 90 = 180°) ir n- kraštų skaičius.

Jei brauktume iš viršaus A poligonas ABCDEF visos galimos įstrižainės, tada padalijame į trikampius, kurių skaičius bus dviem mažesnis už daugiakampio kraštines:

Todėl daugiakampio kampų suma bus lygi visų gautų trikampių kampų sumai. Kadangi kiekvieno trikampio kampų suma yra 180° (2 d), tada visų trikampių kampų suma bus lygi 2 sandaugai d už jų numerį:

s = 2d(n- 2) = 180 4 = 720°

Iš šios formulės išplaukia, kad vidinių kampų suma yra pastovią vertę ir priklauso nuo daugiakampio kraštinių skaičiaus.

Išorinių kampų suma

Išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma yra 360° (arba 4 d).

s = 4d

kur s yra išorinių kampų suma, 4 d- keturi statūs kampai (t. y. 4 90 = 360°).

Išorinių ir vidinių kampų suma kiekvienoje daugiakampio viršūnėje yra 180° (2 d), nes jie yra gretimi kampai. Pavyzdžiui, ∠ 1 ir ∠ 2 :

Todėl, jei daugiakampis turi n vakarėliams (ir n viršūnių), tada visų išorinių ir vidinių kampų suma n viršūnės bus lygios 2 dn. Taigi iš šios sumos 2 dn norint gauti tik išorinių kampų sumą, reikia iš jos atimti vidinių kampų sumą, tai yra 2 d(n - 2):

s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d

Įrodymas

Išgaubto n kampo atveju

Leisti A 1 A 2. . . A n (\displaystyle A_(1)A_(2)...A_(n)) yra duotas išgaubtas daugiakampis ir n> 3. Tada nubrėžkite iš vienos viršūnės į priešingas viršūnes ( n− 3) įstrižainės: A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 5 . . . A 1 A n − 1 (\displaystyle A_(1)A_(3),A_(1)A_(4),A_(1)A_(5)...A_(1)A_(n-1)). Kadangi daugiakampis yra išgaubtas, šios įstrižainės padalija jį į ( n− 2) trikampiai: Δ A 1 A 2 A 3 , Δ A 1 A 3 A 4 , . . . , Δ A 1 A n − 1 A n (\displaystyle \Delta A_(1)A_(2)A_(3),\Delta A_(1)A_(3)A_(4),...,\Delta A_ (1)A_(n-1)A_(n)). Daugiakampio kampų suma yra tokia pati kaip visų šių trikampių kampų suma. Kiekvieno trikampio kampų suma yra 180°, o šių trikampių skaičius yra n− 2. Todėl kampų suma n-kampas yra 180° ( n − 2) . Teorema įrodyta.

komentuoti

Neišgaubto n kampo kampų suma taip pat yra 180°( n− 2) . Įrodymas gali būti panašus, papildomai naudojant lemą, kad bet kurį daugiakampį įstrižainėmis galima išpjauti į trikampius, ir nepasikliaujant tuo, kad įstrižainės būtinai nubrėžtos iš vienos viršūnės (neišgaubto daugiakampio, kurį riboja tokia sąlyga, iškirpimas yra ne visada įmanoma ta prasme, kad neišgaubtas daugiakampis nebūtinai turi bent vieną viršūnę, kurios visos įstrižainės yra daugiakampio viduje, taip pat jų suformuoti trikampiai).

Šios geometrinės figūros supa mus visur. Išgaubti daugiakampiai yra natūralūs, pavyzdžiui, koriai, arba dirbtiniai (dirbti). Šie skaičiai naudojami gamyboje Įvairios rūšys dangos, tapyba, architektūra, apdaila ir kt. Išgaubti daugiakampiai turi savybę, kad visi jų taškai yra toje pačioje linijos, kuri eina per porą gretimų šios linijos viršūnių, pusėje. geometrinė figūra. Yra ir kitų apibrėžimų. Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra vienoje pusplokštumoje bet kurios tiesės, turinčios vieną iš jo kraštinių, atžvilgiu.

Elementariosios geometrijos eigoje visada atsižvelgiama tik į paprastus daugiakampius. Norint suprasti visas tokių savybių savybes, būtina suprasti jų prigimtį. Pirmiausia reikia suprasti, kad bet kuri linija vadinama uždara, kurios galai sutampa. Be to, jo suformuota figūra gali būti įvairių konfigūracijų. Daugiakampis yra paprasta uždara laužta linija, kurioje kaimyninės grandys nėra toje pačioje tiesioje linijoje. Jos jungtys ir viršūnės yra atitinkamai šios geometrinės figūros šonai ir viršūnės. Paprasta polilinija neturi turėti savarankiškų susikirtimų.

Daugiakampio viršūnės vadinamos gretimomis, jei jos žymi vienos iš jo kraštinių galus. Geometrinė figūra, kuri turi n-asis numeris viršūnių, taigi n-asis kiekis kraštinės vadinamos n kampu. Pati nutrūkusi linija vadinama šios geometrinės figūros riba arba kontūru. Daugiakampė plokštuma arba plokščias daugiakampis vadinamas bet kurios plokštumos, kurią ji riboja, galine dalimi. Šios geometrinės figūros gretimos kraštinės vadinamos trūkinės linijos, išeinančios iš vienos viršūnės, atkarpomis. Jie nebus gretimi, jei bus kilę iš skirtingų daugiakampio viršūnių.

Kiti išgaubtų daugiakampių apibrėžimai

Elementariojoje geometrijoje yra keletas lygiaverčių apibrėžimų, nurodančių, kuris daugiakampis vadinamas išgaubtu. Visi šie teiginiai yra vienodai teisingi. Išgaubtas daugiakampis yra tas, kuris turi:

Kiekviena linijos atkarpa, jungianti bet kuriuos du joje esančius taškus, yra visiškai jos viduje;

Visos jo įstrižainės guli jos viduje;

Bet koks vidinis kampas neviršija 180°.

Daugiakampis visada padalija plokštumą į 2 dalis. Vienas iš jų yra ribotas (gali būti uždarytas ratu), o kitas - neribotas. Pirmasis vadinamas vidiniu regionu, o antrasis - išorinė sritisši geometrinė figūra. Šis daugiakampis yra kelių pusiau plokštumų sankirta (kitaip tariant, bendras komponentas). Be to, kiekviena atkarpa, kurios galai yra taškuose, kurie priklauso daugiakampiui, visiškai priklauso jam.

Išgaubtų daugiakampių atmainos

Išgaubto daugiakampio apibrėžimas nerodo, kad yra daug jų rūšių. Ir kiekvienas iš jų turi tam tikrus kriterijus. Taigi, išgaubti daugiakampiai, kurių vidinis kampas yra 180°, vadinami silpnai išgaubtais. Išgaubta geometrinė figūra, turinti tris viršūnes, vadinama trikampiu, keturios – keturkampiu, penkios – penkiakampiu ir tt Kiekvienas išgaubtas n-kampis atitinka tokį esminį reikalavimą: n turi būti lygus 3 arba didesnis. trikampiai yra išgaubti. Tokio tipo geometrinė figūra, kurios visos viršūnės yra tame pačiame apskritime, vadinama įbrėžta į apskritimą. Išgaubtasis daugiakampis vadinamas apibrėžtuoju, jei visos jo kraštinės šalia apskritimo liečia jį. Sakoma, kad du daugiakampiai yra lygūs tik tada, kai juos galima uždėti superpozicija. Plokščiasis daugiakampis yra daugiakampė plokštuma (plokštumos dalis), kurią riboja ši geometrinė figūra.

Taisyklingi išgaubti daugiakampiai

Įprasti daugiakampiai yra geometrinės figūros su vienodi kampai ir vakarėlius. Jų viduje yra taškas 0, kuris yra vienodu atstumu nuo kiekvienos jo viršūnės. Jis vadinamas šios geometrinės figūros centru. Atkarpos, jungiančios centrą su šios geometrinės figūros viršūnėmis, vadinamos apotemais, o tos, kurios jungia tašką 0 su kraštinėmis – spinduliais.

Taisyklingas keturkampis yra kvadratas. taisyklingas trikampis vadinamas lygiakraštis. Tokioms figūroms galioja tokia taisyklė: kiekvienas išgaubto daugiakampio kampas yra 180° * (n-2)/n,

kur n yra šios išgaubtos geometrinės figūros viršūnių skaičius.

Bet kurio taisyklingo daugiakampio plotas nustatomas pagal formulę:

kur p lygus pusei visų duoto daugiakampio kraštinių sumos, o h lygus apotemos ilgiui.

Išgaubtų daugiakampių savybės

Išgaubti daugiakampiai turi tam tikrų savybių. Taigi, segmentas, jungiantis bet kuriuos 2 tokios geometrinės figūros taškus, būtinai yra jame. Įrodymas:

Tarkime, kad P yra duotas išgaubtas daugiakampis. Paimame 2 savavališkus taškus, pavyzdžiui, A, B, kurie priklauso P. Pagal esamą išgaubto daugiakampio apibrėžimą, šie taškai yra toje pačioje tiesės pusėje, kurioje yra bet kuri P kraštinė. Todėl AB taip pat turi šią savybę ir yra P. Išgaubtą daugiakampį visada galima suskaidyti į kelis trikampius absoliučiai visomis įstrižainėmis, kurios nubrėžtos iš vienos iš jo viršūnių.

Išgaubtų geometrinių formų kampai

Išgaubto daugiakampio kampai yra kampai, kuriuos sudaro jo šonai. Vidiniai kampai yra tam tikros geometrinės figūros vidinėje srityje. Kampas, kurį sudaro jo kraštinės, susiliejančios vienoje viršūnėje, vadinamas išgaubto daugiakampio kampu. su vidiniais tam tikros geometrinės figūros kampais vadinami išoriniais. Kiekvienas išgaubto daugiakampio kampas, esantis jo viduje, yra lygus:

kur x yra išorinio kampo reikšmė. Tai paprasta formule taikoma bet kurioms šio tipo geometrinėms figūroms.

Apskritai išoriniams kampams galioja tokia taisyklė: kiekvienas išgaubto daugiakampio kampas yra lygus skirtumui tarp 180° ir vidinio kampo vertės. Jo vertės gali svyruoti nuo -180° iki 180°. Todėl, kai vidinis kampas yra 120°, išorinis kampas bus 60°.

Išgaubtų daugiakampių kampų suma

Išgaubto daugiakampio vidinių kampų suma nustatoma pagal formulę:

kur n yra n kampo viršūnių skaičius.

Išgaubto daugiakampio kampų sumą apskaičiuoti gana paprasta. Apsvarstykite bet kurią tokią geometrinę figūrą. Norint nustatyti kampų sumą išgaubtame daugiakampyje, viena iš jo viršūnių turi būti sujungta su kitomis viršūnėmis. Dėl šio veiksmo gaunami (n-2) trikampiai. Žinome, kad bet kurio trikampio kampų suma visada yra 180°. Kadangi jų skaičius bet kuriame daugiakampyje yra (n-2), tai tokios figūros vidinių kampų suma yra 180° x (n-2).

Išgaubto daugiakampio, ty bet kurių dviejų vidinių ir gretimų išorinių kampų, kampų suma tam tikrai išgaubtai geometrinei figūrai visada bus 180°. Remdamiesi tuo, galite nustatyti visų jo kampų sumą:

Vidinių kampų suma yra 180° * (n-2). Remiantis tuo, visų tam tikros figūros išorinių kampų suma nustatoma pagal formulę:

180° * n-180°-(n-2) = 360°.

Bet kurio išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma visada bus 360° (nepriklausomai nuo kraštinių skaičiaus).

Išorinis išgaubto daugiakampio kampas paprastai vaizduojamas kaip skirtumas tarp 180° ir vidinio kampo.

Kitos išgaubto daugiakampio savybės

Be pagrindinių šių geometrinių formų savybių, jos turi ir kitų, kurios atsiranda manipuliuojant jomis. Taigi, bet kurį iš daugiakampių galima suskirstyti į kelis išgaubtus n-kampus. Norėdami tai padaryti, būtina tęsti kiekvieną jo pusę ir iškirpti šią geometrinę figūrą išilgai šių tiesių linijų. Taip pat galima bet kurį daugiakampį padalinti į keletą išgaubtų dalių taip, kad kiekvienos gabalo viršūnės sutaptų su visomis jo viršūnėmis. Iš tokios geometrinės figūros trikampius galima padaryti labai paprastai, iš vienos viršūnės nubrėžus visas įstrižaines. Taigi, bet kurį daugiakampį galiausiai galima suskirstyti į tam tikrą skaičių trikampių, o tai labai naudinga sprendžiant įvairias problemas, susijusias su tokiomis geometrinėmis formomis.

Išgaubto daugiakampio perimetras

Nutrauktos linijos atkarpos, vadinamos daugiakampio kraštinėmis, dažniausiai žymimos tokiomis raidėmis: ab, bc, cd, de, ea. Tai geometrinės figūros su viršūnėmis a, b, c, d, e kraštinės. Šio išgaubto daugiakampio visų kraštinių ilgių suma vadinama jo perimetru.

Daugiakampio apskritimas

Išgaubtus daugiakampius galima užrašyti ir apriboti. Apskritimas, kuris liečia visas šios geometrinės figūros puses, vadinamas įbrėžtu į jį. Toks daugiakampis vadinamas ribotu. Į daugiakampį įrašyto apskritimo centras yra visų kampų, esančių tam tikroje geometrinėje figūroje, susikirtimo taškas. Tokio daugiakampio plotas yra:

čia r yra įbrėžto apskritimo spindulys, o p yra duoto daugiakampio pusperimetras.

Apskritimas, kuriame yra daugiakampio viršūnės, vadinamas apibūdintu aplink jį. Be to, ši išgaubta geometrinė figūra vadinama įrašyta. Apskritimo centras, kuris yra apibrėžtas apie tokį daugiakampį, yra visų kraštinių vadinamųjų statmenų bisektorių susikirtimo taškas.

Išgaubtų geometrinių formų įstrižainės

Išgaubto daugiakampio įstrižainės yra tiesių atkarpos, jungiančios negretimas viršūnes. Kiekvienas iš jų yra šios geometrinės figūros viduje. Tokio n kampo įstrižainių skaičius nustatomas pagal formulę:

N = n (n - 3) / 2.

Išgaubto daugiakampio įstrižainių skaičius vaidina svarbų vaidmenį elementariojoje geometrijoje. Trikampių (K), į kuriuos galima padalyti kiekvieną išgaubtą daugiakampį, skaičius apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Išgaubto daugiakampio įstrižainių skaičius visada priklauso nuo jo viršūnių skaičiaus.

Išgaubto daugiakampio padalijimas

Kai kuriais atvejais išspręsti geometrinės problemos reikia padalyti išgaubtą daugiakampį į kelis trikampius, kurių įstrižainės nesikerta. Šią problemą galima išspręsti išvedus tam tikrą formulę.

Uždavinio apibrėžimas: pavadinkime teisingą išgaubto n kampo skaidinį į kelis trikampius įstrižainėmis, kurios susikerta tik šios geometrinės figūros viršūnėse.

Sprendimas: Tarkime, kad Р1, Р2, Р3 …, Pn yra šio n kampo viršūnės. Skaičius Xn yra jo skaidinių skaičius. Atidžiai apsvarstykime gautą geometrinės figūros Pi Pn įstrižainę. Bet kurioje įprastoje pertvaroje P1 Pn priklauso tam tikram trikampiui P1 Pi Pn, kuris turi 1

Tegu i = 2 yra viena taisyklingų pertvarų grupė, kurioje visada yra įstrižainė Р2 Pn. Į jį įtrauktų pertvarų skaičius sutampa su (n-1)-gono pertvarų skaičiumi Р2 Р3 Р4… Pn. Kitaip tariant, jis lygus Xn-1.

Jei i = 3, tai šioje kitoje pertvarų grupėje visada bus įstrižainės P3 P1 ir P3 Pn. Šiuo atveju įprastų skaidinių, esančių šioje grupėje, skaičius sutaps su (n-2)-gon Р3 Р4… Pn skaidinių skaičiumi. Kitaip tariant, jis bus lygus Xn-2.

Tegu i = 4, tai tarp trikampių taisyklingoje pertvaroje tikrai bus trikampis P1 P4 Pn, prie kurio ribosis keturkampis P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 ... Pn. Tokio keturkampio taisyklingųjų pertvarų skaičius yra X4, o (n-3)-kampo – Xn-3. Remdamiesi tuo, kas išdėstyta pirmiau, galime pasakyti, kad bendras teisingų skaidinių skaičius šioje grupėje yra Xn-3 X4. Kitose grupėse, kurioms i = 4, 5, 6, 7… bus Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … įprastos pertvaros.

Tegu i = n-2, tada teisingų skaidinių skaičius šioje grupėje bus toks pat kaip skaidinių skaičius grupėje, kur i=2 (kitaip tariant, lygus Xn-1).

Kadangi X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2…, tai visų išgaubto daugiakampio skirsnių skaičius yra lygus:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Taisyklingų pertvarų, susikertančių viena įstriža viduje, skaičius

Tikrinant specialius atvejus, galima daryti prielaidą, kad išgaubtų n-kampių įstrižainių skaičius yra lygus visų šios figūros skaidinių sandaugai iš (n-3).

Šios prielaidos įrodymas: įsivaizduokite, kad P1n = Xn * (n-3), tada bet kurį n-kampį galima padalyti į (n-2)-trikampius. Be to, iš jų gali būti sudarytas (n-3) keturkampis. Be to, kiekvienas keturkampis turės įstrižainę. Kadangi šioje išgaubtoje geometrinėje figūroje gali būti nubrėžtos dvi įstrižainės, tai reiškia, kad bet kuriame (n-3) keturkampyje gali būti nubrėžtos papildomos (n-3) įstrižainės. Remdamiesi tuo, galime daryti išvadą, kad bet kuriame reguliariame skirsnyje galima nubrėžti (n-3)-įstrižaines, atitinkančias šios problemos sąlygas.

Išgaubtų daugiakampių plotas

Dažnai, sprendžiant įvairias elementarios geometrijos problemas, reikia nustatyti išgaubto daugiakampio plotą. Tarkime, kad (Xi. Yi), i = 1,2,3… n yra visų gretimų daugiakampio, kuris neturi susikirtimų, viršūnių koordinačių seka. Šiuo atveju jo plotas apskaičiuojamas pagal šią formulę:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

kur (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).